UFABC – UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC

(1)

! " # $ %$% ! "

& '(()(*

!"#$

% & '( '

#)# *+*, $ (

(2)

/

0 (

/

-1

p

2

p

3

p

4

p

. 1 2' '

(3)

1

p

3

p

/

0

5 (6

n

M

dS

d F

dS

n

d F

M

1

d F

2

d F

3

(4)

/

0 dS

n

d F

M

1

d F

2

d F

3

d F

(((( ))))

n

dS 0

d F

t

lim

dS

→ →→ →

====

(((( ))))

n

{{{{

₁ ₂ ₃

}}}}

_{(((( ))))}

n

t

====

t ,t ,t

1

1 dS 0

d F

lim

t

dS

→ → →

→

====

2

2 dS 0

d F

lim

t

dS

→ →→

→

====

3

3 dS 0

d F

lim

t

dS

→ → →

→

====

(5)

-/

0

x

y

z

n // y

d F

y

d F

z

d F

x

d F

y

y y

dS 0

d F

lim

t

dS

σσσσ

→ → →

→

= =

z

z yz dS 0

d F

lim

t

dS

ττττ

→ → →

→

= =

x

x yx dS 0

d F

lim

t

dS

ττττ

→ → →

→

= =

n // x

σσσσ

x

xy

ττττ

xz

ττττ

n // z

z

σσσσ

zx

ττττ

zy

ττττ

(6)

-[ ]













=

z zy

zx

yz y

yx

xz xy

x

σ

τ

σ

τ

σ

/ 3- // 06 8

(7)

/

0 *

9 3-

.

/

-# ( . - ( ' ( :

( 9 3- ; ( ( < 4

4 ( . , ( .

. 9 4 ( . ,

(8)

=

/

0

6 /

0

1 2' 3 8> ?@

( A

1 2'

3-4 . # . B,

' C ;

xy

dydzdx

yx

dxdzdy

0 τ

τ

−

τ

=

xy yx

τ

====

τ

(9)

+

/

0 /

0 [[[[ ]]]]

xyx xyy xzyz

xz yz z

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

 

 

====  

 

 

D

.

/

0 3-

1

(10)

3-x y

z

x y

z

/

0

xx

αααα

x y

αααα

xz

αααα

(((( ))))

_yx 2

cos

αααα

====

l

(((( ))))

_{y y} 2

cos

αααα

====

m

(((( ))))

_yz 2

cos

αααα

====

n

(((( ))))

_xx 1

cos

αααα

====

l

(((( ))))

_{x y} 1

cos

αααα

====

m

(((( ))))

_xz 1

cos

αααα

====

n

(((( ))))

_zx 3

cos

αααα

====

l

(((( ))))

_{z y} 3

cos

αααα

====

m

(((( ))))

_zz 3

cos

αααα

====

n

(11)

/

0

1 1 1

2 2 2

3 3 3

x _l _m _n _x

y l m n y

l m n z

z

     

  ____ ____{  }_{ }_{ }_{ }  

     

   

    

====

   

  ____ ____ 

   

  ____ ____{  }       

 

 

 

               

i _ij _j

v

====

ββββ

v

1 2 3

x

x l l l

y m m m y

z n n n _z

      

 

       

      

   

  ____ ____ 

====

   

  ____ ____ 

   

  ____ ____   

   

   _{  }_{ }_{ }_{ }_{ }_{ }_{ }_{ }

/

3-9

/

.

2 2 2

k k k

l ++++ m ++++ n ==== 1

{{{{

k ==== 1, 2 , 3

}}}}

k l k l k l

l l ++++ m m ++++ n n ==== 0

{{{{

k ≠≠≠≠ l

}}}}

(12)

/

0

dS . 2( (

E

x y z

dS ,dS ,dS - . < 30

n

(13)

-/

0 ((((

))))

x

dS ==== dS cos N , x ==== dSl

((((

))))

y

dS ==== dS cos N , y ==== dSm

((((

))))

z

dS ==== dS cos N , z ==== dSn

( 1 2'

x x x yx y xz z

y xy x y y yz z

z xz x yz y z z

dS dS dS dS

ρ

σ

τ

ρ

σ

τ

ρ

σ

τ

ρ

τ

σ

τ

ρ

τ

σ

τ

ρ

τ

σ

τ

ρ

τ

σ

ρ

τ

σ

ρ

τ

σ

= + +

x x yx xz

y xy y yz

z xz yz z

dS dSl dSm dSn

ρ

σ

τ

ρ

σ

τ

ρ

σ

τ

ρ

σ

τ

ρ

τ

σ

τ

ρ

τ

σ

τ

ρ

τ

σ

τ

ρ

τ

σ

τ

ρ

τ

σ

ρ

τ

σ

ρ

τ

σ

ρ

τ

σ

= + +

== ++ ++

= + +

(14)

/

0

x x yx xz

y xy y yz

z xz yz z

l m n

ρ

σ

τ

ρ

σ

τ

ρ

σ

τ

ρ

τ

σ

τ

ρ

τ

σ

τ

ρ

τ

σ

τ

ρ τ

τ

σ

ρ τ

τ

σ

ρ τ

τ

σ

= + +

== ++ ++

= + +

== ++ ++

= + +

x xy xz x

y yx y yz

z zx zy z

l

m

n

σ

τ

σ

τ

σ

τ

ρρρρ

ρ

τ

σ

τ

ρ

τ

σ

τ

ρ

τ

σ

τ

ρ

τ

σ

τ

ρ

τ

σ

ρ

τ

σ

ρ

τ

σ

ρ

τ

σ

 

     

  _{ }_{ }_{ }_{ }

 

     

  _{ }_{ }_{ }_{ }

====  

   

 

   

       

 

     

  ____ ____

{{{{ }}}}

ρ

====

[[[[ ]]]]

σ

{{{{ }}}}

n " (6

i ijnj

ρ σ

(15)

/

0

y z x y z x y y

σ

ρ

σ

ρ

σ

ρ

σ

====

ρ

yx x

τ

ρ

τ

ρ

τ

====

ρ

yz z

τ

ρ

τ

ρ

τ

ρ

τ

====

ρ

3- ; xy x y y z yz

ττττ

ρρρρ

ρ

σ

ρ

σ

ρ

σ

ρ

σ

ρ

τ

ρ

τ

ρ

τ

                                                ====                                                    

x 1 2 3 _x

y 1 2 3 _y

1 2 3

z _z

l l l

m m m

n n n

ρ

(16)

/

0

x xy xz x

y yx y yz

z zx zy z

l m

n

σ

τ

σ

τ

σ

τ

ρρρρ

ρ

τ

σ

τ

ρ

τ

σ

τ

ρ

τ

σ

τ

ρ

τ

σ

τ

ρ

τ

σ

ρ

τ

σ

ρ

τ

σ

ρ

τ

σ

              _{ }_{ }_{ }_{ }               _{ }_{ }_{ }_{ } ====                                                           ____ ____

x 1 2 3 _x

y 1 2 3 _y

1 2 3

z _z

l l l

m m m

n n n

ρ

ρρρρ

_ρρρρ

                ____ ____                 ____ ________ ____ ====               ____ ____                ____ ____               

  ____ ____ x xy xz 2 1 2 3 xy

yx y yz 2 1 2 3 _y

2 1 2 3

zx zy z _yz

l l l l

m m m m

n n n n

ττττ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

_ττττ

               ____ ____ ____ ____                _{ }___ ____ ____ ________ ____ ====           ____ ____            ____ ____                    ____ ____         ____ ____ [[[[ ]]]] T T

x xy xz xy

1 2 3 2 1 2 3 1 2 3

1 2 3 yx y yz 2 1 2 3 1 2 3 _y

1 2 3 _zx _zy _z 2 1 2 3 1 2 3

yz I

l l l l l l l l l l

m m m m m m m m m m

n n n n n n n n n n

ττττ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

_ττττ

(17)

/

0

T

xy ₁ ₂ ₃ x xy xz ₂

1 2 3 yx y yz 2

y

1 2 3 _zx _zy _z 2

yz

l l l l

m m m m

n n n n

ττττ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

ττττ

        ____ ____ ____ ____ _ _             ____ ____                   ====                 ____ ____                         ____ ____                _{ }___ ____                   T

x xy zx ₁ ₂ ₃ x xy xz ₁ ₂ ₃

1 2 3 yx y yz 1 2 3

xy y yz

1 2 3 _zx _zy _z 1 2 3

zx yz z

l l l l l l

m m m m m m

n n n n n n

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

_σ

_τ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

(18)

/

0

30 ( .

T

x xy xz

1 2 3 2

1 2 3 yx y yz 2

y

1 2 3 _zx _zy _z 2

0 l l l l

m m m m

n n n n

0

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

                ____ ____ ____ ____                 ____ ____ ____ ____ ====                 ____ ____                         ____ ____                  _{ }___ ____          

x xy xz

1 2 3 1 2 3 1 1 1 2

1 2 3 _y 1 2 3 2 2 2 yx y yz 2

1 2 3 1 2 3 3 3 3 _zx _zy _z 2

I

l l l 0 l l l l m n l

m m m m m m l m n m

n n n ₀ n n n l m n n

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

(19)

/

0

y ₂ x xy xz ₂

2 yx y yz 2

y

2 _zx _zy _z 2

y

0 0 _l _l

0 0 m m

n n

0 0

σσσσ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

σσσσ

       ____ ____ ____ ________ ____        ____ ____ ____ ________ ____        ____ ____ ₌₌₌₌ ____ ________ ____        ____ ____ ____ ________ ____                         ____ ____        

x xy xz ₂ y ₂

yx y yz 2 _y 2

2 2

zx zy z _y

0 0

l l

m 0 0 m 0

n ₀ ₀ n

σσσσ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

_σσσσ

               _{ }___ ____ ____ ____                _{ }___ ____ ____ ____         − = −− == − =                                           ____ ____                  ____ ____

x _y xy xz

2

yx y _y yz 2

2

zx zy z _y

l

m 0

n

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ σ

τ

σ σ

τ

σ σ

τ

σ σ

(20)

/

0

x _y xy xz

yx y _y yz

zx zy z _y

det 0

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ σ

τ

σ σ

τ

σ σ

τ

σ σ

−−−−

− =

−− ==

− =

−−−−

(((( ))))

((((

))))

(((( ))))

((((

))))

((((

))))

3 2

2 2 2

x y z x y y z z x xy yz zx

y y y

2 2 2

x y z x yz y zx z xy 2 xy yz zx 0

σ

σ σ

σ σ σ σ

τ

τ σ

σ

σ σ

σ σ σ σ

τ

τ σ

σ

σ σ

σ σ σ σ

τ

τ σ

σ

σ σ

σ σ σ σ

τ

τ σ

σ σ σ σ τ

σ τ

τ τ τ

σ σ σ σ τ

σ τ

τ τ τ

σ σ σ σ τ

σ τ

τ τ τ

σ σ σ σ τ

σ τ

τ τ τ

− + + + + + − − − −

−− ++ ++ ++ ++ ++ −− −− −− −−

− + + + + + − − − −

− − − − + =

(((( )))) (((( ))))

3 2

1 2 3

y I y I y I 0

σ

−−−−

σ

++++

σ

−−−− ====

y

σσσσ

12 3

σσσσ

1 2 3

σ

(21)

/

0

1 2 3

I , I , I

- (6

9 - , .

-

B

(

1 .

(

,

-

. ;

((((

2 2 2

))))

x xy xz

3 x y z x yz y zx z xy xy yz zx xy y yz

xz yz z

I 2

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ σ σ σ τ

σ τ

τ τ τ

τ

σ

τ

σ σ σ σ τ

σ τ

τ τ τ

τ

σ

τ

σ σ σ σ τ

σ τ

τ τ τ

τ

σ

τ

σ σ σ σ τ

σ τ

τ τ τ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

= − − − + =

((((

))))

1 x y z

I ====

σ

++++

σ

++++

σ

((((

₂ ₂ ₂

))))

x xy _x _xz y yz

2 x y y z z x xy yz zx

xz z

xy y yz z

I

σ σ

σ σ σ σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

= + + − − − = + +

(22)

/

0

30 ( . F ! 9 B ( 6 ( 0 . ( . , .

( 30 . ( . ;

1

σσσσ

x 1 xy xz 1

yx y 1 yz 1

1

zx zy z 1

l

m 0

n

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ σ

τ

σ σ

τ

σ σ

 

 ₋₋₋₋ ____ ____

 

 _{ }___ ____

− =

 

   

 

   

−−−−  

 

 

1 30 - . # , C

( @

3-2 2 2

1 1 1

(23)

G

.

E

6 /

-/

0 ((((

))))

((((

))))

((((

))))

N x cos N , x y cos N , y z cos N , z l x m y n z

σ

ρ

σ

ρ

σ

ρ

σ

====

ρ

++++

ρ

++++

ρ

====

ρ

++++

ρ

++++

ρ

x xy xz x

y yx y yz

z zx zy z

l m

n

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

ρρρρ

ρ

τ

σ

τ

ρ

τ

σ

τ

ρ

τ

σ

τ

ρ

τ

σ

τ

ρ

τ

σ

ρ

τ

σ

ρ

τ

σ

 

 

 

 

  _{ }_{ }_{ }_{ }

 

 

 

 

  _{ }_{ }_{ }_{ }

====  

   

 

 

 

   

 

  

 

 

 

 

 

   

2 2 2

N xl ym zn 2 xylm 2 xz ln 2 yzm n

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

====

σ

++++

σ

++++

σ

++++

τ

++++

τ

++++

τ

2 2 2

N x y z

ρ

====

ρ

++++

ρ

++++

ρ

2 2 2

N N N

τ

ρ

σ

τ

ρ

σ

τ

ρ

σ

(24)

/

0 H /

0 I( C

(

#

0 ( C

(

.

( <

-

(

3-

4 J (

6 (

30 .

( .

((((

))))

oct

N 1 2 3

1 3

σ

σ σ

σ

σ σ

σ

σ σ

σ

====

σ σ

++++ ++++

σ

((((

))))

((((

)))) ((((

))))

oct

1

2 2 2 ₂

N 1 2 1 3 2 3

1 3

τ

σ σ

σ

τ

σ σ

σ

τ

==== ____

σ σ

−−−− ++++

σ σ

−−−− ++++

σ

−−−−

σ

____

(25)

/

0 (

.

3-

/

0

I 0 , C ( , . ( . . (

6 @ ( 9 , ;

( 6 @ ( ; . 6 @ ( 0 #

( . 0 30 . ( .

-m

x y z

H m m

m

0 0

0 0 ,onde

3

0 0

σσσσ

_σ

σ

σσσσ

 

 

 

+ +

++ ++

+ +

 

 

 

= =

= ____ ____ =

 

 

_ _

 

 

H mI

σ

====

σ

H_ij ====

σ δ

m ij

(26)

/

0

( 9 ; ( J ( . ( 6

x m xy xz

x y z

D xy y m yz m

xz yz z m

,onde

3

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ σ

τ

σ σ

τ

σ σ

 

 

 ₋₋₋₋ 

 

 

  ₊₊₊₊ ₊₊₊₊

= − =

=  −  =

 

 

 

−−−−

 

 

_ _

 

 

D H

σ

σ σ

σ

σ σ

σ

σ σ

σ

= −= −= −= −

σ σ

ij

D ij m ij

σ

σ δ

σ

σ δ

σ

====

σ

−−−−