Experimentos aleatórios; Espaço amostral e evento

(1)

E x p e rim e n to s a le a tó rio s ;

E s p a ç o a m o s tra l e e v e n to

P ro b a b ilid a d e c o n d ic io n a l

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

A probabilidade de ocorrer o evento A nB

ponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

éigual àprobabilidade de ocorrer o evento A multiplicada pela probabilidade de ocorrer o

evento B na certeza de o evento A ter ocorrido. P(AnB)=P(A)· P(BIA)

• Todo experimento ou fenômeno que, ao ser repetido várias vezes sob as mesmas condições, pode apresentar resultados diferentesédenominado experimento aleatório.

• O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatórioédenominado espaço amostra!

• Todo subconjunto do espaço amostraléchamado deeven to .

Dois eventos sãoin d ep en d en tes quando a ocorrência de um deles não altera a probabilidade de ocorrência do outro. Como consequência, se A e B são eventos independentes, então a probabilidade de ocorrer o evento AnB é o produto da probabilidade deocorrer A e da probabilidade deocorrer B.

PIAnB)=P(A)· P(B)

P ro b a b ilid a d e

QuandoPIAnB)*-P(A)· P(B) , os eventos são dependentes.

Considere um espaço amostral finito e equiprovável, ou seja, que tem um determinado número de elementos e todos eles têm a mesma chance de ocorrência. A p ro b ab ilid ad e de ocorrer o evento A, indicada por PIA),éa razãoentre o número de elementos de A, n(A), e o número de elementos do espaço amostralS,n(S).

P(A)=n(A) n(S)

D is trib u iç ã o b in o m ia l

Considere um experimento aleatório realizado n vezes, nas mesmas condições, e que tenha as seguintes características: • existem apenas dois resultados possíveis: A e B;

• em cada uma das vezes que o experimento for realizado, as probabilidades de ocorrência dos resultados A e B não se alteram;

• um resultado não altera a probabilidade de ocorrência de outro, ou seja, são independentes.

Ainda podemos escrever:

n ú m ero de casos favo ráveis

PIA)

n ú m ero d e caso s p o ssíveis

E v e n to s c o m p le m e n ta re s

Assim:

- se p é a probabilidade de ocorrer o resultado A, então a probabilidade de ocorrer o resultado Bé1 ~ p;

- se o resultado A ocorre k vezes, então o resultado B ocorre n - k vezes;

- a probabilidade de o resultado A ocorrer k vezesédada por: P(kresu ltad o s A)=C~.p k .(1- p)n-k

Para dois eventos complementares A e A" podemos escrever que P(A,)=1- P(A).

P ro b a b ilid a d e d a u n iã o d e e v e n to s

A probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B, ou seja, de ocorrer o evento AuB,é igual à probabilidade de ocorrer o evento A, mais a probabilidade de ocorrer o evento B, menos a probabilidade de ocorrer o evento AnB .

PIAu B)=PIA)+P(B) - PIA n B)

Quando A e B são disjuntos, ou seja, AnB=0, os eventos A e B são denominadosm u tu am en te exclusivos. Para esses even-tos, vale a igualdade

(2)

E s p a ç o a m o s tra l e e v e n to

1 .

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Determine o número de elementos do espaço amostral de cada experimento e de cada evento associado a ele.

a ) Lançar uma moeda três vezes e observar a face vol-tada para cima.

Evento A={a face voltada para cima é cara em ape-nas dois dos lançamentos}

Número de elementos do espaço amostra!.

ponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

2 2· 2 23 8

A = {(cara cara, coroa), (cara, coroa, cara), (coroa, cara cara)}. O número de elementos do evento A e 3.

b)

Retirar 2 bilhetes de uma urna que contêm 15 bilhe-tes numerados de 1 a 15,

Evento B= {um dos bilhetes retirados tem número par e o outro tem número ímpar}

Número de eiernentos do espaço amostra!.

C2 15 14 105

1 2 1

Numero de elementos do evento B:

C1 C 8 7 :i6

O número de elementos do evento B e 56.

c ) Um casal pretende ter três filhos,

Evento C={pelo menos dois dos filhos são meninas}

Numero de elementos do espaço amostral 22228

Número de elementos do evento C:

C .- {(menino, menina, menina), (menina menino, menina), (menina rrenina menino), (menina menina, menina)) O numero de elementos do evento Cé4.

AtividA.dES

d ) Formar uma comissão com 4 alunos de uma turma, sendo a turma composta por 7 meninos e 9 meninas.

Evento D

=

{a comissão é formada por dois meninos}

Númen, de elementos do espaço amostral: C . 16 15 14 13 1820

16 4 3 2 1

Numero de elementos do evento O:

C2 C2 _ 7 6 9· 8 756

7 2.1 2 1

O numero de elemertos do evento O e 756,

2 .(FGV - SP) Conta a lenda:

Havia um rei que tinha costume de dar liberdade a um prisioneiro no dia do seu aniversário. Em certa ocasião levou três condenados a um' quarto escuro, no qual havia três chapéus brancos e dois chapéus negros. Contou aos prisioneiros quantos chapéus havia e a cor de cada um. Colocou um chapéu em cada prisioneiro, depois os tirou do quarto e levou-os a um lugar onde cada um pudesse ver o chapéu dos outros dois, mas não o seu.

Perguntou ao prisioneiro A a cor do seu chapéu e ele não soube responder.

a

mesmo aconteceu com o prisioneiro B.

Finalmente, fez a mesma pergunta ao prisioneiro C, que era totalmente cego e havia escutado as respostas dos outros dois.

"Não necessito enxergar para saber que meu chapéu é branco."

Foi colocado em liberdade assim que todos observa-ram que havia acertado a resposta.

a ) Faça uma tabela em que apareçam todas as possibilidades das cores dos chapéus colocados nos prisioneiros.

Possibilidade Prisioneiro Prisioneiro Prisioneiro

A B C

1 Branco Branco Branco

2 Branco Branco Negro

3 Branco Negro Branco

4 Negro Branco Branco

5 Branco Negro Negro

6 Negro Branco Negro

7

(3)

b)

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Explique por que o condenado C somente poderia estar com o chapéu branco.

o

prisioneiro A viu dois chapéus brancos ou um branco

e um negro, pois não sabia a cor do dele.

ponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

O prisioneiro B viu o chapéu do cego; se fosse negro, ele saberia

que o dele era branco, porque A teria visto um chapéu negro e um branco. ComoB não sabia responder, o

chapéu do cego não era negro, era branco.

ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

P

ro b a b ilid a d e

3 .Uma urna contém 30 bolinhas numeradas de 1 a 30. Sorteando-se uma bolinha, determine a probabilidade de que:Onúmero de elementos do espaço amostral é n(S) =30.

a ) a bolinha tenha um número ímpar.

Como15das bolinhas são ímpares, o número de ele-mentos do evento A = {o número observado é ímpar} én(A)=15.

PIA) =.!§. =.! 30 2

b)

a bolinha tenha um número maior que 18.

Como12 das bolinhas têm números maiores que 18.o número de elementos do evento A = {o número observado é maior que18}é n(A) = 12.

P(A)'

.!.?=.?

30 5

c ) a bolinha tenha um número primo.

Como10 das bolinhas são números primos (2, 3, 5. 7, 11 13,17,19,23,29), o número de elementos do evento A = {o número observado é primo}én(A) =10.

PIA) -.!Q .: 30 3

d)

a bolinha tenha um número múltiplo de 7.

Como 4 das bolinhas são múltiplos de 7, o número de elementos do evento A = {o número observado é um múltiplo de 7} é n(A) = 4.

P(A)=~=~ 30 15

V O I\..1 V \1 1 E 8

4 .Joaquim lançou dois dados, um verde e um amarelo, e verificou os rêsultados mostrados nas faces voltadas para cima.

a ) Elabore uma tabela com os pares de resultados possíveis para representar o espaço amostral do experimento.

. Resultados possíveis:

\

1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

2 (2,1) (2.2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

5 (5,1 ) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Onúmero de elementos do espaço amostral é n(S) ;::36.

b)

Determine a probabilidade de que o par obtido seja formado por dois números ímpares.

Como 9 dos resultados têm os dois

núme-ros ímpares, o número de elementos do evento

A = {o par obtido é formado por dois números ímpares} én(A)

=

9.

P(A)=~=.! 36 4

c ) Elabore uma tabela com a soma dos pontos de cada par obtido e determine a probabilidade de que a soma dos dois números seja maior do que 5.

Somas possíveis:

~ 1 2

3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

Como26dos resultados têm soma maior que 5, o número de elementos do evento A = {a soma dos resultados obti-dos é um número maior do que 5} é n(A) =26.

PIA) 26 13

(4)

d )

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Determine a probabilidade de que os dois números sejam primos.

Como 9 dos resultados são formados por dois números primos, o número de elementos do evento A = {os dois

números são primos}

ponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

én(A)

=

9. P(A)=~=~

36 4

e ) Determine a probabilidade de que a soma dos dois números seja um múltiplo de 3.

Como 12 dos resultados têm como soma um múltiplo de 3, o número de elementos do evento A ={a soma dos resultados obtidos éum múltiplo de 3}én(A)= 12

P(A)-~ 1

36 3

5 .Considere um experimento que consiste em sortear um aluno entre os vinte de uma turma, numerados de 1 a 20. Determine a probabilidade de:

o

número de elementos do espaço amostral é n(S)

6 .Considere uma carta retirada de um baralho comum, com 52 cartas. Determine a probabilidade de:

o

número de elementos do espaço amostral én(S)=52.

a ) ela ser vermelha.

Como 26 das cartas são vermelhas (13 de copas e 13 de ouros), o número de elementos do evento A = {a .cartaretirada évermelha} én(A)=26.

P(A)= 26 =~ 52 2

b)

ela ser uma carta de copas.

Como 13 das cartas são de copas, o número de ele-mentos do evento A

=

{a carta retirada éde copas} é n(A)

=

13.

P(A)

21

= 1 52 4

c ) ser uma figura.

Como 12 das cartas são de figuras (4 valetes, 4 damas e 4 reis), o número de elementos do evento A

=

{a carta retirada éuma figura} én(A)

=

12.

P(A) ~ ~

52 13

d)

ser uma dama ou um seis.

Como há4damas e4 seis em Um baralho, o número de elementos do evento A

=

{a carta retirada é uma dama ou um seis} én(A)=8.

P(A)_~_2. 52 13

e } ser um rei ou uma carta de paus.

Nesse caso, temos 4 reis e 13 cartas de paus, o Que totalizaria 17, mas como um dos reiséde paus, o nú-mero de elementos do evento A

=

{a carta retirada é um rei ou uma carta de paus}én(A)

=

4+13 -1

=

16.

P(A) 4 13 1 16 4

(5)

7 .

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Uma pesquisa foi realizada com 800 habitantes de uma cidade. A pesquisa revelou que 350 são' sócios do clube Sol de Verão, 250 do clube Curta as Férias e 150 são sócios dos dois clubes. Escolhendo-se uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade:

a ) de ela ser sócia somente do clube Curta as Férias?

ponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

350

o

número de elementos do espaço amostral é n(S) ; 800. Como 100 das pessoas são sócias somente do clube Curta as Férias, o número de elementos do evento A=

{a pessoa é sócia somente do clube Curta as Férias} é n(A)=100.

8

8 .O painel de seleção de um jogo apresenta 15 persona-gens, 8 masculinos e 7 femininos.

Sabe-se que cada time é formado por 2 integrantes, sem a possibilidade de selecionar duas vezes o mesmo personagem.

a ) Determine o total de duplas possíveis.

Existem 15 personagens disponíveis, para serem selecionados dois a dois. Então, o total de duplas possíveis para a formação do time é:

C~5= 15·14 =105 2·1

b ) Carlos USOU Omodo aleatório de escolha das duplas, que define automaticamente o time. Determine a probabilidade de que o time escolhido tenha como integrante o personagem número 5, que é o preferido do garoto.

o

=

105. Como um escolhido é o personagem número 5, o segun-do deve ser escolhisegun-do entre os 14 personagens restantes, assim:

P _ H ~ 4 _1·14 _ 14 _ 2 - C~5 - 105 -105-15

c ) Usando o modo aleatório de escolha, qual a probabilidade de que a dupla seja formada por um personagem do sexo masculino e um do sexo feminino?

Como existem 8 maneiras de escolher um personagem do sexo masculino e 7 maneiras de escolher um perso-nagem do sexo feminino, a probabilidade pedida é:

P_ 8·7_{- - - -}_ 56 _ 8

105 105 15

(6)

assuntos escolares. Qual a probabilidade de que essa comissão seja formada por 2 meninas e 1 menino?

3

ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

a )

-56

b) ~

56

c ) ~

56 ponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

x

d ) 27

56

e ) 33

56 o

número de elementos do espaço amostral é dado pela combinação das 16 pessoas tomadas 3 a 3'

C3 16 1~14 560 16 3 2 1 ASSim. n{S)=560.

Como a equipe deve ser formada por 2 meninas e 1 menino temos'

C' _C' 10 9 6 45·6 270 10 6 2.1

Onúmero de elementos do evento A ={a equipe éfor mada por 2 meninas e 1 menino} én{A)

=

270.

PIA) 270. 27

56(1 56

Portanto, a probabilidade de ocorrêncía desse evento é 27

56

1 0 .Escolhendo-se por sorteio um estudante de uma clas-se, a probabilidade de que seja um rapaz é o quádruplo da probabilidade de que seja uma moça. Qual é a pro-babilidade de que:

a ) seja escolhido um rapaz?

Como sabemos que a probabilidade de sortear um rapaz mais a probabilidade de sortear uma moça tem que s r Igual a1 e que a probabilidade de sortear um rapaz éo quádruplo da probabilidade de sortear uma moça, temos o seguinte sistema.

{

p{rapaz) tP{moça)

=

1-"'>P{moça)

=

1- P{rapaz) (I) P{rapaz) =4 P{moça)

Assim, substituindo (I)na segunda equação, temos: P{rapaz) 4 (1 P{rapaz))

P{rapaz) 4 4 P{rapaz) 5 . P(rapaz) =4

4 P(rapaz) =

5

Portanto, a probabilidade de sortear um rapaz é 4 5 b )seja escolhida uma moça?

Como a probabilidade de sortear um rapaz é ~, a 5 probabilidade de sortear uma moça é 1- 4= 1.

5 5

1 1 .Na central de

GFEDCBA

te /e m a r k e tín g de um provedor de internei, 55% dos funcionários são do sexo masculino. . Avaliando-se o relatório de rendimento dos funcionários

dessa central, obtiveram-se as seguintes conclusões:

I. 40% dos problemas informados pelos clientes são resolvidos na primeira chamada quando o cliente é atendido por um homem.

11.55% dos problemas informados pelos clientes são resolvidos na primeira chamada quando o cliente é atendido por uma mulher.

Quando um cliente liga para a central, o sistema di-reciona a ligação, aleatoriamente, para um de seus atendentes. Qual a probabilidade de esse atendente resolver o problema do cliente na primeira ligação?

Do enunciado, sabemos que:

I. 55% dos funcionários são do sexo masculino e, por-tanto, 45% são do sexo feminino.

11.40% dos problemas são resolvidos na primeira liga-ção quando o atendente e do sexo masculino e 55% dos problemas são resolvidos na primeira ligação quando o atendente édo sexo feminmo.

Assim, há duas situações:

1 2 .A tabela a seguir mostra a distribuição das idades dos alunos.de uma turma do 1~ano do Ensino Médio.

Escolhendo um aluno ao acaso, determine a probabili-dade de que ele: Onúmero de elementos do espaço amos-trai én(S)=7 + 4 + 2 + 5 + 5 + 2 - 25

a ) tenha 14anos.

Como 12 dos alunos têm 14 anos, o numero de ele-mentos do evento A

=

{o aluno escolhido tem 14 anos} én{A)

=

12

(7)

b )

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

seja uma menina.

Como 12 dos alunos são meninas, o número de elemen-tos do evento A = {o aluno escolhido é uma menina} é n(A)

ponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

=

12.

P(A)=~ 25

c ) seja um menino de 16 anos.

Como 2 dos meninos têm 16 anos, o número de ele-mentos do evento A = {o aluno escolhido éum menino de 16 anos} é n(A) = 2.

P(A)=~ 25

1 3 .Num saquinho, foram colocadas bolas brancas e pre-tas, totalizando 50 bolas. Sabendo que a chance de tirar uma bola branca é de 34%, pode-se concluir que o total de bolas pretas dentro do saquinho é:

x

a ) 33.

b)

16.

c ) 25.

d)17.

e ) 24.

Primeiramente, determinamos o número de bolas bran-cas existentes no saquinho:

P(branca) n(brancas) 50 O 34 = n(brancas)

, 50

n(brancas) = 50 ·0.34 n(brancas) 17

Como o número de bolas brancas é 17, o número de bolas pretas é50 - 17 = 33.

14.Jogando certo dado viciado, a chance de sair um nú-mero par é o quíntuplo da chance de sair um número ímpar. Lançando-se esse dado uma única vez, determi-ne a probabilidade de a face voltada para cima mostrar um número ímpar.

Como sabemos Que a probabilidade de sair um núme-ro par mais a pnúme-robabilidade de sair um número ímpar é igual a 1 e Que a probabilidade de sair um número paré o quíntuplo da probabilidade de sair um· número ímpar, temos o seguinte sistema:

{

p(par)+p(ímpar) '= 1 ~ P(par) = 1-P(ímpar) (I) P(par) = 5 . P(ímpar)

Assim, substituindo (I)na segunda equação. temos: 1- P(lmpar) = 5 P(ímpar)

1= 6 P(ímpar) P(ímpar),=2

6

VOllo1W'iE 8

Portanto, a probabilidade de sair um número impar é 2. 6 É possível resolver esse problema usando raciocínio de proporcionalidade.

Se a probabilidade de sair um número paréo quíntuplo da probabilidade de sair um numero ímpar é como se tivéssemos, por exemplo. 3 números impares e 5 . 3 = 15 números pares. Portanto, a probabilidade de sair um número ímpar é de 3 em 18, ou seja, 2.

6

1 5 .Considere todos os números com quatro algarismos distintos obtidos pela permutação dos algarismos 4,

6,

7 e 8. Escolhendo um desses números, ao acaso, determine a probabilidade de:

o

número de elementos do espaçoamostrae n(S) P4 4! 24. a ) ele ser um número ímpar;

Os números irnpares formados com esses Quatro algarismos têm COIT'Oalgansmo da unidade o número 7

QM [

[[

rU

3 . 2 1 1 =6.

Assim, o rúmero de elementos do evento A={o número formado da permutação dos Quatro algarismos é impar} en(A) =6.

P(A) 6 =2 24 4

b )ele ser um múltiplo de 2;

Os números múltiplos de 2 formados com esses Quatro algarismos têm como algarismo da unidade um número par.

~[ç

f!i

U

3 2· 1 . 3 - 18.

Assim, o número de elementos do evento A = {o número formado da permutação dos Quatro algarismos é múltiplo de 2}én(A) = 18.

P(A)- 6 _ 1 24 4

c ) de ele ser maior que 7000.

Os números maiores Que 7 000 formados com esses Quatro algarismos têm como algarismo da unidade de milhar o numero 7 ou o número 8.

~

[ill

2 3· 2 1 =12

Assim. o número de elementos do evento A = {o nu mero formado da permutação dos Quatro algarismos é maior Que 7 OOO} é n(A) = 12.

(8)

16. Complete a tabela abaixo usando as informações que

seguem.GFEDCBA

D o s 2 0 0 fu n c io n á r io s d e u m a e m p r e s a , s a b e - s e q u e - 3 0 % tê m n ív e l u n iv e r s itá r io , 6 0 % s ã o d o s e x o m a s c u lin o

e 55% d a s m u lh e r e s n ã o tê m n ív e l u n iv e r s itá r io .

a) o

número de elementos do espaço amostral

ponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

én(S) = 200.

Masculino Feminino Total

1

Têm nível

60 - 36 = 24 80 - 44 = 36 30% universitário de 200 = 60

I Não têm nível

120- 24 = 96 55% 70% universitário de 80 = 44 de 200 = 140

-Total 60% 80 200

de 200 = 120

I

b) Determine a probabilidade õe um funcionário

sele-cionado ser do sexo feminino.

Como 80 funcíonános são do sexo feminino, o

núme-ro de elementos do evento A = {o funcionário escolhi-doédo sexo feminino} én(A) = 80.

P(A)=~-~ 200 5

c) Determine a probabilidade de ser selecionado um

funcionário que não tenha nível universitário.

Como 140 funcionários não têm nível universitário, o número de elementos do evento A = {selecionar um funcionário que não tem nível universitário} én(A) = 140.

P(A)= 140 =~ 200 10

d) Qual

é

a probabilidade de ser selecionado um

fun-cionário do sexo feminino ou um que tenha nível

universitário?

Nesse caso, temos 80 funcionános do sexo feminino e 60 funcionários com nível universitário, o que totalizaria 140. Entretanto, como 36 funcionários do sexo feminino têm nível universitário, o número de elementos do evento A = {selecionar um funcionário do sexo feminino ou um

funcionário que tenha nível universitário} é n(A) = 80 + 60 - 36 = 104.

P A 80 60 36 104 13 () 200 +200 - 200 200 25

e) Determine a probabilidade de ser selecionado um

funcionário do sexo masculino que não-tenha nível

universitário.

Como 96 funcionários do sexo masculino não têm nível universitário, o número de elementos do evento A = {se-lecionar um funcionário do sexo masculino que não tem . nível universitário} én(A) = 96.

P(A)=~=~ 200 25

17. (FGV - SP) As sels faces do dado A estão marcadas

com 1, 2, 3, 3, 5, 6; e as seis faces do dado B estão

. marcadas com 1, 2, 4, 4, 5 e 6. Considere que os

da-dos A e B são honestos no sentido de que a chance

de ocorrência de cada uma de suas faces

é

a mesma.

Se os dados A e B forem lançados simultaneamente, a

probabilidade de que a soma dos números obtidos seja

ímpar

é

igual a

4

c) -9

d) ~ 3

2

e)

-9

As somas possíveis podem ser representadas por meio de uma tabela:

B

1 2 4 4 5 6

I

A

1 2 3 5 5 6 7

2 3 4 6 6 7 8

3 4 5 7 7 8 9

5 6 7 9 9

_I

10 11

6 7 8 10 10 11 12

o

número de elementos do espaço amostral én(S) = 36. Como 20 dos resultados têm soma ímpar, o número de elementos do evento A = {a soma dos resultados obti-doséum número ímpar} én(A)

=

20.

P(A)- 2fl ~ 36 11

18. (ACAFE- SC) Uma indústria de calçados recolheu em

seus revendedores produtos defeituosos e, entre os

pares defeituosos, observou o seguinte:

• 25% haviam descolado a sola.

(9)

• 15% dos calçados recolhidos tinham descolado a sola e possuíam problemas na costura.

• em 18%, o único defeito era a falta de um dos ca-darços.

Nesse sentido, analise as seguintes afirmações:

I. A probabilidade que um dos calçados recolhidos te-nha como defeito as costuras ou a sola descolada é

de 42%.

ponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

F

11. 55% dos calçados recolhidos apresentaram outros

defeitos não listados acima. v

111.A probabilidade do calçado recolhido não ter como defeito a sola ou as costuras descoladas é de 73%. v

Assinale a alternativa correta.

x

ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

a ) As afirmações II e III estão corretas.

b)

Apenas a afirmação II está correta.

c ) Apenas a afirmação 111está correta.

d ) Nenhuma das afirmações está correta.

De acordo com a situação descrita, temos:

Costura Sola descolada

Falta cadarço

8

55%

I. 2 + 15 + 10 = 27%

11.100 - 2 - 15 - 10 - 18 = 55%

111.55 + 18 = 73%

1 9 .(ACAFE - SC) Para a realização de uma olimpíada

es-colar, os professores de Educação Física montam as

turmas por meio da distribuição das idades dos alunos. O gráfico abaixo representa a quantidade de alunos por suas idades.

70

(/) 60

o z

50.

I

::;,

;;;!

40

U J

Q 30 o a: LU

20

I

:2

.::;,

10 z

o

16 17 18 19 20 21

ID A D E DOS ALUNOS (em anos)

VOllo1ltV1E 8

Considere as seguintes informações:

(v) Se um deles é sorteado aleatoriamente, a

proba-bilidade de que tenha idade abaixo da média da turma é de 44%.

Média das idades =

60 ·16+ 50·17 +40 ·18 + 30 ·19 + 50·20+ 20·21

250

960+850+ 720+570+ 1000+420

250

= 4520 == 18 anos 250

O número de elementos do espaço amostral é

n(S) = 250. Como 60 + 50 = 110 alunos têm idade abaixo da média, o número de elementos do evento A = {alunos com idade abaixo da média da turma}

én(A)=110.

P(A)=~=O 44=44% 250 '

( v) O percentual de alunos de uma turma constituída por alunos cuja idade é maior ou igual a 18 anos é 56.

o

número de elementos do espaço amostral é n(S) = 250. Como 40 + 30 + 50 + 20 = 140 alunos têm idade maior ou igual a 18 anos, o número de elementos do evento A = {alunos com idade maior ou

igual a 18 anos} é n(A) = 140.

140

P(A)=-=O 56=56% 250 '

( V ) A média de idade aproximada (em anos) de uma

equipe formada por alunos cuja idade é menor ou igual a 18 anos é 17.

Média das idades = 60·16 + 50·17 + 40·18 150

960 + 850 + 720 2530 = 17 anos 150 150

A sequência correta, de cima para baixo, é:

xa) V -V - V

b)

V - V - F

c ) V - F - F

(10)

20. (IFG - GO) Uma criança ganhou dois saquinhos, um azul e outro vermelho, com 10 bombons de mesmo tamanho em cada um. A tabela a seguir indica as quantidades de bombons recheados de cada sabor em cada saquinho:

Sabor Saquinho Saquinho

Azul Vermelho

Morango

ponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

3 1

Coco 2 4

Leite condensado 5 5

A probabilidade de a criança tirar, aleatoriamente, do saquinho azul, um bombom recheado com coco e, do saquinho vermelho, um bombom recheado com leite condensado, éde:

a) 70%

b) 50%

e) 30%

x c)

10%

d) 25%

I.Para o saquinho azul. o número de elementos do es-paço amostral é n(S)

=

10. Como2 bombons são de coco, o número de elementos do evento A

=

{retirar um bombom de coco do saquinho azul}én(A)

=

2.

P(A)=~=~

10 5

11. Para o saquinho vermelho: o número de elementos do espaço amostral é n(S)

=

10. Como5 bombons são recheados com leite condensado, o número de elementos do evento B={retirar um bombom recheado com leite condensado do saquinho vermelho} é n(B)

=

5.

P(B)=~=~

10 2

Assim, a probabilidade de a criança tirar do saquinho azul um bombom recheado com coco e do saquinho vermelho um bombom recheado com leite condensado

éde P(A)· P(B)=

~.1

=

J.-

=O 1=10%.

5 2 10 '

(ENEM) Texto para as questões 21 e 22.

Em um concurso de televisão, apresentam-se ao participante 3 fichas voltadas para baixo, estando re-presentada em cada uma delas as letras T, V e [ As fichas encontram-se alinhadas em uma ordem qual-quer. O participante deve ordenar as fichas ao seu gosto, mantendo as letras voltadas para baixo, ten-tando obter a sigla TVE. Ao desvirá-Ias, para cada letra que esteja na posição correta ganhará um prêmio de R$ 200,00.

21.A probabilidade de o participante não ganhar qualquer prêmio éigual a:

a) O

x

b)

.l

3

c)

1

4

d)

.l

2

1 e)

-6

o

=

P3 - 3! 6 que são: TVE,TEV,ETV,EVT,VTE e

VET. Como 2 delas apresentam as três cartas em ordem incorreta (ETVe VET),o número de elementos do evento A

=

{o participante não ganhar qualquer prêmio} én(A)=2.

P(A)- 2 1

6 3

22.A probabilidade de o concorrente ganhar exatamente o valor de R$ 400,00 é igual a:

6

(11)

face que fica voltada para cima, é anotado. Em se-guida, uma bola é retirada aleatoriamente da urna e o seu número n é também anotado. A probabilidade de m

+

n ser um número primo é igual a:

a)

.L

10

ponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

b)

.L

13

7

c)

-30

d) ~ 60

23 xe)

-60

I. Para o dado, os possíveis resultados são 1, 2, 3, 4,

5ou6.

11.Para a retirada da bola da urna, os possíveis resulta-dos são 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8,9 ou 10.

~ 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

7 8 9 10 11 12 13

8 9 10 11 12 13 14

9 10 11 12 13 14 15

ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

1 0 11 12 13 14 15 16

o

número de elementos do espaço amostral é n(S)=60. Como 23 das somas são números primos, o número de elementos do evento A={a soma dos resultados obtidos no dado e na bola retirada da urna é um número primo} én(A)

=

23.

P(A)= 23 60

24. (ENEM) A tabela ao lado indica a posição relativa de quatro times de futebol na classificação geral de um torneio, em dois anos consecutivos. O símbolo • signi-fica que o time indicado na linha ficou, no ano de 2004,

à frente do indicado na coluna. O símbolo

*

significa que o time indicado na linha ficou, no ano de 2005, à

frente do indicado na coluna.

A

B

C

O

A

_*

B

e*

e

e*

C

e*

_*

O

e

A probabilidade de que um desses quatro times, esco-lhido ao acaso, tenha obtido a mesma classificação no torneio, em 2004 e 2005, é igual a

x a) 0,00.

b) 0,25.

c) 0,50.

d) 0,75.

e) 1,00.

A simples observação da tabela pode nos indicar que esse fato não ocorreu, pois pelo menos um dos times teria que apresentar quantidades iguais dos dois sím-bolos para obter a mesma classificação nos dois anos. Podemos também resolver a questão montando uma tabela que mostre a classificação em 2004 e 2005:

2004 2005

1? B C

2? D B

3? C A

4? A D

Portanto,a pro bilidade de que um dos times tenha obti-do a mesma classificaçã nos anos de 2004 e 2005 é zero.

25. (IFRS) Na composição de um painel de arte, são utili-zadas seis peças iguais, com lados iguais, como a que aparece ilustrada na figura A. As peças são dispostas em duas filas, cada qual com três peças e de forma que cada uma delas pode apontar para um dos qua-tro sentidos possíveis, como aparece ilustrado em um exemplo de montagem na figura B.

.ó.

o

<> <>

V

~

<?

Figura A Figura B

Colocadas ao acaso as seis peças, a probabilidade de que todas as setas estejam apontando no mesmo sen-tido é de

1 a)

-24

b) 1 180

1 e) 4096

c) 1 324

1

x

d) 1024

Cada uma das seis peças pode ser colocada na compo-sição da figura em 4 sentidos diferentes, assim, exis-tem 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4

=

4096 possíveis composições de um painel. E existem 4 formações em que todas as setas apontam para a mesma posição. Portanto, a pro-babilidade de que todas as setas estejam apontando no

id . d 4 1

(12)

,

ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

2 6 .(IFSP) O gráfico representa o número de alunos de uma

escola distribuídos por idade. Sabe-se que os alunos

com exatamente 15 anos correspondem

ponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

à quinta parte do grupo de idade a que pertence. Se um aluno dessa

escola é escolhido ao acaso, a probabilidade de esse aluno ter exatamente 15 anos é:

Número de alunos

_de6a8anos _ de 9 a 11 anos Dde 12 a 14 anos Dde 15 a 17 anos

Idade (anos)

2 a )

-5

b) ~

15

xe) ~

45

c ) ~ 9

d ) ~

50

Como os alunos que tem exatamente15anos corres-pondem a um quinto do total de alunos do grupo a que pertencem, então temos exatamente 40=8 alunos

5 com exatamente15anos de idade.

O número de elementos do espaço amostral é n(S) =30 +60 +50+ 40= 180. Como8dos alunos têm 15 anos, o número de elementos do evento A = {escolher um aluno com exatamente15 anos}é n(A)

=

8.

P(A) 1:0 =425

2 7 .(UFPR) Considere três caixas contendo bolas brancas e pretas, conforme ilustra a figura.

1 ••

0

1

caixa 1

100 ••

1 W

caixa 2 caixa 3

Uma bolaéretirada aleatoriamente da caixa 1 e coloca-da na caixa 2. Então, uma bola éretirada aleatoriamente da caixa 2 e colocada na caixa 3. Finalmente, uma bola

éretirada aleatoriamente da caixa 3.Calcule a probabi-lidade de que essa última bola retirada seja branca.

A retirada da bola branca da caixa3 depende das reti-radas das caixas1e2,dessa forma temos as seguintes possibilidades:

I. A = {Retirar uma bola branca da caixa 1, retirar uma bola branca da caixa2e retirar uma bola branca da caixa3}

. 1 3 2 6

P(A)=-·_·_=-3 5 P(A)=-·_·_=-3 45

li. B = {Retirar uma bola branca da caixa 1,retirar uma bola preta da caixa2e retirar uma bola branca da caixa3}

1 2 1 2 P(B)=3'S'3= 45

111.C = {Retirar uma bola preta da caixa1,retirar uma bola branca da caixa2e retirar uma bola branca da caixa3}

2 2 2 8 P(C)=3'5'3= 45

IV.

b

= {Retirar uma bola preta da caixa 1, retirar uma preta da caixa2e retirar uma bola branca da caixa3}

2 3 1 6 P(D)=3'5'3= 45

Assim, a probabilidade da retirada de uma bola branca da caixa3é:

P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=~+2. t~ 6 22 45 45 45 45 45

2 8 .(FUVEST - SP) Para a prova de um concurso vestibular, foram elaboradas 14 questões, sendo 7 de Português, 4 de Geografia e 3 de Matemática. Diferentes versões da prova poderão ser produzidas, permutando-se livre-mente essas 14 questões.

a ) Quantas versões distintas da prova poderão ser produzidas?

A prova pode ser elaborada permutando-se as 14

questões, ou seja, P14=14!

(13)

consecutivas. Quantas versões classe A distintas da prova poderão ser produzidas?

De acordo com o que fOI exposto, a sequêncía da prova classe A pode ser representada como se segue:

PPPPPPP GM

ponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

4 l

I. As 7 primeiras questões são de Português, portanto temos a permutação de 7 elementos.

11A última questão é de Matemática, portanto. a penúlti-ma questão é de Geografia, obrigatoriamente, Já que não pode haver duas questões consecutivas de Matemática.

111. Resta, ainda, posicionarmos 5 questões, 2 de Mate-mática e 3 de Geografia, não podendo as de MateMate-mática ocuparem posições consecutivas. Para isso. podemos permutar todas as 5 e descontar os casos em que as 2 de Matemática ocupam posições consecutivas. Assim 5! - 4! . 2!=72.

Logo, existem 71 72· 4 . 3

=

864 . 71 provas possíveis da versão classe A.

ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

c ) Dado que um candidato vai receber uma prova que começa com 7 questões de Português, qual é a pro-babilidade de que ele receba unia versão classe A?

o

número de casos possíveis em que o candidato recebe uma prova que começa com 7 questões de Português e 7! 7!. Assim, a probabilidade P pedida é:

P=864 7!= 864 6 7!·7! 5 040 35

2 9 .(UFMG) Uma pesquisa em- um segmento populacio-nal registrou o número de filhos por mulher. Em uma comunidade, à época da pesquisa, foram consultadas 1 200 mulheres, revelando uma distribuição conforme mostra o gráfico abaixo.

Distribuição de filhos por mulher

Observe que o gráfico informa o número de filhos por mulher e a porcentagem correspondente de mulheres com esse número de filhos, exceto na

V 6ll..lW 1E 8

faixa correspondente a 5 filhos. Com base nessas informações,

a ) determine o número de mulheres entrevistadas com 5 filhos.

Como a uruca Informação que falta éa porcentagem de mulheres com 5 filhos, podemos obter esse valor por meio das informações do gráfico

I. Mulheres com O, 1, 2, 3 ou 4 filhos totalizam 7% + 20% + 30% + 20% + 15%

=

92%. Portanto, c número de mulheres que têm 5 filhos corresponde a 8% do total.

11. Fazendo uma regra de três simples, podemos deter minar esse valor:

mulheres porcentagem

1 200 100

x 8

100 . x

=

1200 . 8 100x - 9600

x=96

Portanto, 96 mulheres têm 5 filhos.

b) calcule a média de filhos por mulher.

Média de filhos por mulher'

7 .O+20 . 1 .• 30 . 2t20· 3+15 . 4t8 5 100

0+20+60+60+60+40240 24

100 100'

Portanto, a média é de 2,4 filhos por mulher.

c ) Calcule a probabilidade de uma mulher, escolhida ao acaso, ter 3 filhos ou mais.

A probabilidade de uma mulher, escolhida ao acaso, ter 3 filhos ou mais é a soma do percentual de mulheres com 3,4 e 5 filhos:

20% + 15% + 8% =43% ou 0,43.

3 0 .Numa sala, há 9 crianças com os números de 1 a 9 estampados nas camisetas que estão usando. Selecio-nando-se conjuntamente duas crianças ao acaso, qual a probabilidade de que ambas tenham estampado um número par na camiseta?

4 3 12 1

P(par,par) -

'9' 8

72

'6

Portanto, a probabilidade de que as duas crianças escolhidas tenham estampado m suas camisetas um número par é

.!.

(14)

31.As orobabüõades de três jogadores acertarem uma cesta numa partida de basquete são, respectivamente

~, ~ e ~. Se cada um lançar a bola uma única vez,

3

6

10

qual a probabilidade de:

a) todos acertarem a cesta?

Considerando que a probaoüdade de um jogador acertar a cesta não se altera pelo fato de outro jogador acertar

ou não e, nomeando a probabilidade de os

ponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

3 Jogado-res acertarem a cesta, respectivamente, por P(A), P(B)

e P(C), temos:

P(A" B (C) P(A) P(B)· P(C) p(Ar Bf"'C)",2:'; 7 7~_~

3 6 íO 180 18

ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

b ) só um acertar a cesta?

As probabilidades de que os jogadores não consigam acertar uma cesta são:

P(A) o

!.

P(B)

..!

e P(C) = ~

3 6 10

- - -

-P P(A) P(B) P(C)+P(A) P(B) P(C)+P(A)· P(B)· P(C) P- ~ .

..!.~+..!.~.~+..!

...!.~

3 6 10 3 6 10 3 6 10 " P ~ ~ 15 ~~

180 180 180 28 7 P

-=-180 45

c) todos errarem

a

cesta?

- - -

-P(Ar BnC)=P(A)·P(B)·P(C) ---i1331

p(Ar

BnC)=-·_·_=-3 6 10 180 60

32. (ENEM) Em uma central de atendimento, cem pessoas receberam senhas numeradas de 1 até 100. Uma das senhas é sorteada ao acaso. Qual é a probabilidade de a senha sorteada ser um número de 1 a 20?

a) 1 100

b) ~

100

x c) 20 100

d) ~ 100

e) 80 100

Como20das senhas têm números de1a20,onúmero de elementos do evento A

=

{a senha sorteada é um número de1a20}én(A) =20.

P(A) ~ 1

100 5

33. (ENEM) No próximo final de semana, um grupo de alunos participará de uma aula de campo. Em dias chuvosos, aulas de campo não podem ser realizadas. A ideia é que essa aula seja no sábado, mas, se estiver chovendo no sábado, a aula será adiada para o domingo. Segundo a meteorologia, a probabilidade de chover no sábado é de 30% e a de chover no domingo é de 25%. A probabilidade de que a aula de campo ocorra no domingo é de:

a) 5,0%

b)

7,5%

e) 75,0% x c) 22,5%

d ) 30,0%

Com base no enunciado, sabe-se que:

I. há30 Vode chance de chover no sábado e, portanto, 70%de chance de não chover nesse dia;

11.há25%de chance de chover no domingo e, portan-to.75%de chance de não chover nesse dia. Assim, temos a seguinte situação: para a aula de cam-po ocorrer no domingo, é necessário haver sábado com chuva e domingo sem chuva, portanto'

P (aula de campo ocorrer no domingo) -= = ~ ~ 0,3 0,75=0,225 =22 5%

chance de chance de chover no nao chover sacado no domingo

Assim. a chance de a aula acontecer no domingo é de22,5% .

34. (ENEM) Uma competição esportiva envolveu 20 equipes com 10 atletas cada. Uma denúncia àorganização dizia que um dos atletas havia utilizado substância proibida.

Os organizadores, então, decidiram fazer um exame

GFEDCBA

a n tid o p in g . Foram propostos três modos diferentes para escolher os atletas que irão reallzá-lo:

Modo I: sortear três atletas dentre todos os participantes;

Modo 11: sortear primeiro uma das equipes e, desta, sortear três atletas;

(15)

Considere que todos os atletas têm igual probabilidade de serem sorteados e que P(I), P(II) e P(III) sejam as probabilidades de que o atleta que utilizou a substância proibida seja um dos escolhidos para o exame no caso do sorteio ser feito pelo modo I, II ou 111.Comparando-se essas probabilidades, obtém-se:

a) P(I)

ponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

< P(III)< P(II)

b) P(II)< P(I)< P(lII)

c) P(I)< P(II)=P(lII)

d) P(I)

=

P(II)< P(lII)

x e) P(I)

=

P(II)

=

P(lII)

De acordo com o enunciado, há 20 equipes com 10 atletas, ou seja, um total de 20 . 10 = 200 atletas, dos quais, segundo a denúncia, .apenas um havia utilizado substância proibida.

Acompanhe a probabilidade de o atleta ser um dos esco-lhidos segundo cada modo.

I. Modo I: P(I)= 3._1_. 199.198 =~, já que o atleta 200 199 198 200

considerado pode ser o primeiro, o segundo ou o terceiro a ser sorteado.

11.Modo11:

- a probabilidade de ser sorteada a equipe do atleta é

J...

20 - a probabilidade de o atleta ser sorteado dentro de cada

d . '31983 .. tlt

uma as equipes e '10'9'8=10' Ja que o a e a considerado pode ser o primeiro, o segundo ou o terceiro a ser sorteado.

Assim P(II)=

J...1.

=~.

, 20 10 200

111.Modo 111:

- a probabilidade de sorteio das três equipes é 3·

J... ~. ~

=

1.,

já que a equipe do atleta

conside-20 19 18 20

rado pode ser a primeira, a segunda ou a terceira a ser sorteada.

- a probabilidade de o atleta ser sorteado na equipe é

1 10 10 1

-'-'-=-. 10 10 10 10 Assim P(lII) =

2. ..L

=~.

r 20 10 200

Portanto, P(I) = P(II) = P(III).

35. (ENEM) Em uma escola, a probabilidade de um aluno compreender e falar inglês é de 30%. Três alunos des-sa escola, que estão em seleção final de intercâmbio, aguardam, em uma sala, serem chamados para uma entrevista. Mas, ao invés de charná-los um a um, o en-trevistador entra na sala e faz, oralmente, uma pergunta em inglês que pode ser respondida por qualquer um dos alunos. A probabilidade de oernevstador ser entendido e ter sua pergunta oralmente respondida em inglês é:

V O IV lW lE 8

a) 23,7%

b) 30,0%

c) 44,1%

x

d) 65,7%

e) 90,0%.

I. Cada aluno tem chance de 30% de compreender e fa-lar inglês. Portanto, cada um deles tem70% de chance de não compreender nem falar inglês.

11.A única situação que não satisfaz o solicitado no enun-ciado éaquela em que nenhum dos três alunos realiza a tarefa solicitada pelo entrevistador, ou seja, a probabilida-de probabilida-de nenhum dos três alunos responprobabilida-der àpergunta feita pelo entrevistador éP = 70%. 70% . 70% =

= 0,70 .0,70.0,70 = 0,343 = 34,3%.

Assim, a probabilidade de o entrevistador ser enten-dido e de ter sua pergunta respondida em inglês é: 100% - 34,3% = 65,7%.

36. (UERJ - RJ) Os consumidores de uma loja podem concorrer a brindes ao fazerem compras acima de R$ 100,00. Para isso, recebem um cartão de raspar no qual estão registradas 23 letras do alfabeto em cinco linhas. Ao consumidor é informado que cada linha dis-põe as seguintes letras, em qualquer ordem:

• linha 1 - {A, B, C, D, E};

• linha 2 - {F, G, H, I, J};

• linha 3 - {L, M, N, O, P};

• linha 4 - {Q, R, S, T, U};

• linha 5 - {V, X, Z}.

Observe um exemplo desses cartões, com as letras ainda visíveis:

®®®@©

©®®CDQ)

@@(D@®

®@®@(f)

®®~

Para que um consumidor ganhasse um secador, teria de raspar o cartão exatamente nas letras dessa pala-vra, como indicado abaixo: '

®®.@©

ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

• • • • •

@••••

®.® ••

(16)

Considere um consumidor que receba um cartão para concorrer a um ventilador. Se ele raspar as letras corretas em

cada linha para formar a palavra VENTILADOR, a probabilidade de que ele seja premiado corresponde a:

ponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

1

x a)

15000

1 b) 18000

1 c) 20000

1 d) 25000

I. Raspar as letras E, A e D na linha 1: P(1) = ~ .

.?.~

= ~ =~.

5 4 3 60 10

11.Raspar a letra I na linha 2: P(2) =~.

5

111.Raspar as letras O, N eL na linha 3: P(3) = ~ .

.?. ~

= ~ =~. 5 4 3 60 10

IV. Raspar as letras R e T na linha 4: P(4) =

.?.~

= ~.,-~. 5 4 20 10

V. Raspar a letra V na linha 5: P(5) =~.

3

Assim, a probabilidade de o cliente ganhar o prêmio é de P(1).P(2).P(3).P(4).P(5) = ~. ~. ~. ~. ~ = _1 -. 10 5 10 10 3 15000

37. (VUNESP - SP) Um dado convencional e uma moeda, ambos não viciados, serão lançados simultaneamente. Uma das faces da moeda está marcada com o número 3, e a outra com o número 6. A probabilidade de que a média aritmética entre o número obtido da face do dado e o da face da moeda esteja entre 2 e 4 é igual a:

x a)

2

3

b) ~

3

1

c)

-2

d) ~

4

1 e)

-4

Chamando dexo resultado do lançamento da moeda e de y o resultado do lançamento do dado, temos os espaços amostrais x

=

{3, 6}éY

=

{1, 2, 3, 4, 5, 6}.

As médias aritméticas possíveis com os pares (x, y) podem ser representadas por meio de uma tabela:

Y

1 2 3 4 5 6

x

-,

3 ~+1 =2 3+2 =2 5 3+3 =3 3+4=35 3.,,5 =4 3+6=45

2 2 ' 2 2 ' 2 2 '

6 _~=35 6+2 =4 6+3 =4 5 6+4 =5 6+5=55 6+6 =6

2 '_- ₂ 2 ' 2 2 ' 2

Onúmero de elementos do espaço amostral é n(S) = 12. Como 4 dos pares (x, y) obtidos têm média aritmética entre 2 e 4, o númeróde elementos do evento A = {média aritmética entre o número obtido da face do dado e o da face da moeda está entre

2e4}é n(A)

=

4.

P(A\.;=~:~

I 12 3

38. (UFRN) Uma prova de Matemática contém trinta questões, das quais quatro são consideradas difíceis. Cada questão tem quatro opções de resposta, das quais somente uma é correta. Se uma pessoa marcar aleatoriamente uma opção

em cada uma das questões difíceis, é correto afirmar que: 3 1

Inicialmente temos: P(errar uma questão difícil) = - e P(acertar uma questão difícil)

=-4 4

a) a probabilidade de errar as questões difíceis

é

maior que a probabilidade de acertar pelo menos uma questão difícil. F

(17)

x

ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

c ) a probabilidade de errar as questões difíceis

ponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

é menor que a probabilidade de acertar pelo menos uma questão difícil.

d ) a probabilidade de errar as questões difíceis está entre ~ e ~.

5

2

) P( d d'f' 3 3 3 3 81

a errar to asas Ilcels)=, --=0,31-31%. 4 4 4 4 256 P(acertar pelo menos uma difíCil) =1 -0,31

=

0,69 = 69%.

A probabilidade de errar todas as questões difíceis émenor que a de acertar pelo menos uma questão difícil.

... 3 3 3 3 81

b) P(errar todas as drtíceis) -.- -=0.31 31%. 4 4 4 4 256

1 A probabilidade de errar todas as questões difíceis émenor que

'2'

d) A probabilidade de errar todas as questões difíceis e de aproximadamente 31 %, portanto não está entre 2 (0,4) e

2

(0.5) .

5 2

3 9 .(UFPB) Uma escola de línguas estrangeiras sorteou uma bolsa de estudos entre 20 alunos de escola pública que

I

demonstraram ter algum conhecimento de, pelo menos, um dos idiomas: inglês, espanhol e francês. Sobre os alunos sorteados sabe-se que:

• 9 demonstraram ter algum conhecimento de espanhol;

• 8 demonstraram ter algum conhecimento de francês;

• 14 demonstraram ter algum conhecrnerro de inglês;

• 4 demonstraram ter algum conhecimento de espanhol e de francês;

• 5 demonstraram ter algum conhecimento de espanhol e de inglês;

• 3 demonstraram ter algum conhecimento de francês e de inglês;

• 1 demonstrou ter algum conhecimento dos três idiomas citados.

Com base nas informações apresentadas, identifique as afirmativas corretas:

a ) (V) A probabilidade de o aluno sorteado ter conhecimento apenas de espanhol éde 5%.

b)

(V) A probabilidade de o aluno sorteado ter apenas conhecimento de francês e de inglês é de 10%.

c ) (V) A probabilidade de o aluno sorteado não ter conhecimento de inglês éde 30%.

d ) (V) A probabilidade de o aluno sorteado ter conhecimento apenas de inglês éde 35%.

e ) (F) A probabilidade de o

aluno

com conhecimento apenas de espanhol ter sido sorteado é maior que a probabili-dade do aluno com conhecimento apenas de francês.

1

a) P(apenas espanhol) - - 0,05 5% 20

b) P(francês e Inglês) _ 2 =0,1 = 1 0% 20

c) P(não ter conhecimento de inglês) - ~ =0,3 - 30% 20

d) P(apenas inglês)

=

7 0,35

=

35% 20

e) A probabilidade de o aluno com conhecimento apenas de espanhol ter Sido sorteado éde 5%. menor que a probabilidade do aluno com conhecimento apenas de francês, que éde 10%

(18)

P ro b a b ilid a d e c o n d ic io n a l

4 0 .

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Uma pessoa tem nas mãos um chaveiro com 5 chaves idênticas e somente uma delas abre um cofre.Determine a probabilidade de essa pessoa abrir o cofre na segunda tentativa, sabendo que a primeira chave escolhida não foi a correta.

P(Abrir na 2~ tentativa I Falhou na 1

ponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

atestatíve)

=

_ n(chaves corretas)

n(chaves restantes)

P(Abrir na 2~ tentativa I Falhou na 1atentativa)

=

=

{a pessoa .escolhida édo sexo masculino dado que éprofissional da

área de engenharia} e n(A)

=

2. P(homem I engenharia) 2

5

4 2 .Uma urna tem 5 bolas vermelhas, 3 marrons e 4 ama-relas. Retirando-se duas bolas sucessivamente da urna sem reposição, determine a probabilidade de:

a ) ambas serem da mesma cor;

A probabilidade P de que as duas bolas tenham a mesma cor éa soma da probabilidade de as duas bolas serem vermelhas com a probabilidade de ambas serem marrons e com a probabilidade de que as duas sejam amarelas.

P P(V₁ _{Vz) + P(M}₁ _{Mz) + P(A}₁

_GFEDCBA

A z )

P - P(V₁_{)·P(Vzl V.) +-P(M}₁)·P(M₂IM₁₎ +P(A,)·P(Azl A,)

5 4 3 2 4 3

P _.- - - t- - .-12 11 12 11 12 11 P 20 t~ t 12

132 132 132

P 38 19

132 66

b ) ambas serem de cores diferentes.

A probabilidade P de que as duas bolas tenham cores diferentes é igual a 1 menos a probabilidade de duas bolas serem da mesma cor'

P 1 (P(V₁ V₂₎ P(M₁r M₂₎ tP(A₁ A z ) )

P 1 19 66 P 66 19

66 P 47

(19)

c )

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

a segunda bola retirada ser vermelha, sendo a pri-meira marrom.

Sejam os eventos:

M

ponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

1= {a primeira bola é marrom}

V2= {a segunda bola é vermelha}

P=P(V2IM1)

P=~ 11

4 3 .Num baleiro, há 17 balas de café, 5 de morango e 10

de uva. Retiram-se sucessivamente e sem reposição

3 balas do recipiente. Sabendo que as duas primeiras

balas retiradas são de café, assinale a afirmação

correta.

a ) A probabilidade de a terceira ser de morango é ~.

. 32

b)

A probabilidade de a terceira ser de café é ~.

30

c ) A probabilidade de a terceira ser de morango é ~ .

10

xd )A probabilidade de a terceira ser de uva é ~ .

3

5 1

a) P(M3IC1C2)= - =

30 6

15 1 b) P(C3IC1C2)= - =

30 2

c) Ver item a.

10 1

d) P(U31 C1C2) =- =

30 3

4 4 .Numa escola, estudam 300 alunos no Ensino Médio, sendo 200 meninos e 100 meninas, e 500 alunos no Ensino Fundamental, sendo 200 meninos e 300 me-ninas. Ao escolher um aluno dessa escola, calcule a probabilidade de ser:

a ) menino, sabendo que é aluno do Ensino Médio.

o

=

300, já Que se sabe Que é aluno do Ensino Médio. Como 200 dos alunos do Ensino Médio são meninos, a probabilidade pedida é:

P(menmo. IEnSlno. MOd')e 10 = -200=-.2

300 3

b)

4 5 .Dois garotos, Paulo e Victor, lançam um par de dados. Nas apostas, ficou definido que, se a soma for 7, Paulo ganha e, se a soma for 9, quem ganha é Victor.

Deter-mine a probabilidade de Victor ter ganhado a aposta,

sabendo que Paulo não foi o ganhador.

P

1 2 3 4 5 6

V

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

o

=

30, pois sabe-se Que Paulo não ganhou. Como 4 dos resul-tados têm soma 9, o número de elementos do evento A={Victor ganha dado Que Paulo não ganhou}én(A)=4.

P(Victor ganha I Paulo não ganhou)= 4 =~.

(20)

4 6 .

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

No lançamento de um dado honesto, o resultado ob-servado na face superior foi um número maior do que 3. Qual é a probabilidade de esse número ser ímpar?

1

a )

-6

b )ponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

2

~

xc)

-3

d) ~

5

2

e )

-3

o

número de elementos do espaço amostral én(S) = 3, pois sabe-se que o resultado observado no dado émaior que 3, o número de elementos do evento A = {o número éímpar, dado que o número observado émaior que 3}é n(A)

=

1.

P(ímpar I maior que 3) =.!. 3

4 7 .(ENEM) As 23 ex-alunas de uma turma que completou

o Ensino Médio há 10 anos se encontraram em uma

reunião comemorativa. Várias delas haviam se casado

e tido filhos. A distribuição das mulheres, de acordo

com a quantidade de filhos, é

mosraca

no gráfico

abaixo.

T

10r---~

8

6

4

2

o~-------~----~

3 filhos sem filhos 1 filho 2 filhos

Um prêmio foi sorteado entre todos os filhos dessas ex-alunas. A probabilidade de que a criança premiada tenha sido um(a) filho(a) único(a) é

1

a )

-3

b)

2

4

7

c ) -15

d )

L

23

7

xe)

-25

o

número de elementos do espaço amostral é n(S) = 7 . 1 + 6 . 2 + 2 . 3 = 25. Como 7 das

crian-ças são filhos únicos, o número de elementos do evento A = {a criança sorteada éfilho único} én(A) = 7.

7

-P(A)- -. 25

4 8 .(UFPR) Para verificar a redução de efeitos colaterais de um novo tratamento, pesquisadores ministraram a dois

grupos distintos de voluntários o tratamento

conven-cional e o novo tratamento. Os resultados obtidos estão descritos na tabela a seguir:

A p resen to u E feito s C o laterais

S IM N Ã O T ratam en to C o n vQ n cio n al 54 41

-N o vo T ratam en to 51 34

a ) Qual a probabilidade de um voluntário, escolhido

aleatoriamente dentre os participantes dessa

pes-quisa, ter apresentado efeitos colaterais?

o

número de elementos do espaço amostral é n(S)=54+51 +41 +34=180.Com054 +51 =105 voluntários apresentaram efeito colateral, o número de elementos do evento A = {o voluntário escolhido teve efeito colateral} én(A) = 105.

P(A)= 105 =~. 180 12

b ) Qual a probabilidade de um voluntário ter sido

submetido ao novo tratamento, dado que ele

apresentou efeitos colaterais?

o

número de elementos do espaço amostral é n(S) = 54 + 51 = 105, já que o voluntário escolhido

apresentou efeitos colaterais. Como 51 voluntários

apre-sentarãrn efeito colateral quando submetidos ao novo tratamento, o número de elementos do evento A = {o vo-luntário foi submetido ao novo tratamento, dado que ele

apresentou efeitos colaterais} én(A) = 51.

P(A)=~=]2. 105 35

4 9 .(ENEM) Um protocolo tem como objetivo firmar

acor-dos e discussões internacionais para conjuntamente

estabelecer metas de redução de emissão de gases de efeito estufa na atmosfera. O quadro mostra alguns dos países que assinaram o protocolo, organizados de acordo com o continente ao qual pertencem.

P aíses d a A m érica d o N o rte P aíses d a Á sia

(21)

Em um dos acordos firmados, ao final do ano, dois dos países relacionados serão escolhidos aleatoriamente, um após o outro, para verificar se as metas de redução do protocolo estão sendo praticadas.

A probabilidade de o primeiro país escolhido pertencer

ponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

à América do Norte e o segundo pertencer ao continente asiático é:

1 a)

-9

1

b)

-4

3

xc)

-10

d) ~

3

e) 1

P=P(primeiro país é da América do Norte nsegundo pais é da Ásia)

P-=P(primeiro país é da América do Norte)· P(segundo pais é da Ásia I primeiro país é da Aménca do Norte)

p : 3 3 6 5

P=~ 3

30 10

50. (ENEM) Um bairro residencial tem cinco mil moradores, dos quais mil são classificados como vegetarianos, 40% são esportistas, enquanto que, entre os não vegetarianos, essa porcentagem cai para 20%. Uma pessoa desse bairro, escolhida ao acaso, é esportista. A probabilidade de ela ser vegetariana é:

2

a)

-25

b)

2

5

1 c)

-4

1 xd)

-3

5

e) -6

Podemos elaborar uma tabela com os dados apresentados.

Esportista Não Esportista Total

Vegetariano 40% de 1 000

=

400 60% de 1000

=

600 1000

Não vegetariano 20% de 4000

=

15 7 4.3.2.1

11.O total de comissões possíveis com 1 professor de Matematica. 3 professores de outras áreas e 1 servidor administrativo é:

C1 .C3 C' 2. 13.1 2 11 7 4004

2 13 7 3.2 1 4004

Portanto, a probabilidade de que, na comissão. haja exatamente um professor de Matemática é de 9555 '" 0,419 =41,9%.

(22)

52. (ACAFE - SC) O Exame de Papanicolaou

ponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

é um teste usado para o diagrióstico do câncer cervical (câncer de

colo de útero), muitas vezes causado pela infecção do papiloma vírus humano, HPV. Para avaliar a qualidade de diagnóstico do Exame Papanicolaou, 600 mulheres de uma determinada região foram submetidas ao teste, sendo que 500 estavam sadias (sem câncer) e 100 estavam doentes (com câncer). Após o teste, verificou--se que, dos resultados referentes às mulheres sadias, 350 deram negativo e, dos resultados referentes às mulheres doentes, 94 deram positivo. Analise as pro-posições abaixo e classifique-as em V - verdadeiras ou F - falsas.

(F) A probabilidade do teste Papanicolaou ter resul-tado negativo, dentre as pacientes que não têm câncer, éde 58%.

(v ) A probabilidade do teste Papanicolaou ter resulta-do positivo, dentre as pacientes que realmente têm câncer, é0,94.

(F) A probabilidade de uma paciente realmente ter câncer, dentre aquelas' com resultado positivo no teste Papanicolaou, éde 40,6%.

(v ) A probabilidade de uma paciente não ter câncer, dentre aquelas com resultado negativo no teste Papanicolaou, éaproximadamente 98%.

(v) A probabilidade de uma paciente realmente ter câncer, dentre aquelas com resultado negativo no teste Papanicolaou, é inferior a 2%.

A sequência correta, de cima para baixo, é:

a) V - V - F - F - V

b)

F - F - V - V - V

c) V - F - V - F - F

x

d)

F - V - F - V - V

Das 600 mulheres submetidas ao teste:

- 500 eram sadias, entretanto o teste apontou que ape-nas 350 estavam sadias e que as outras 150 tinham o vírus do HPV.

- 100 eram doentes, entretanto o teste apontou que 94 tinham o vírus do HPV e que as outras 6 estavam sadias. ( F) P(negativo I sadia) 350 0,7 70%

500 ( V) P(p OSltiVOIdoente) - 94 0.94

100 94

( F) P(doente posítivo) 0,385 38.5% 244

(V) _{P(sadlo negativo)}. I . 350_- _{- 0.983} _98,3% 356

(V) P(doente I negativo) _ 6 0.017 1.7% 356

53. (UFRGS) Um jogo consiste em responder corretamente a perguntas sorteadas, ao girar um ponteiro sobre uma roleta numerada de 1 a 10, no sentido horário. O nú-mero no qual o ponteiro parar corresponde à pergunta a ser respondida. A cada número corresponde somente uma pergunta, e cada pergunta só pode ser sorteada uma vez. Caso o põnteiro pare sobre um número que já foi sorteado, o participante deve responder à

próxi-ma pergunta não sorteada, no sentido horário. Em um jogo, já foram sorteadas

?S

perguntas 1, 2, 3, 5, 6, 7 e 10. Assim, a probabilidade de que a pergunta 4 seja a próxima a ser respondida é de:

1 a)

-4

b)

2

3

e)

-4 1

x c)

-2

ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

d ) ~

3

Os números sorteados que possibilitam que a próxima questão seja a 4 são: {1 , 2, 3, 4 ,1 O}.

Portanto. a probabilidade pedida é P ~ 1 10 2

D is trib u iç ã o b in o m ia l

54.Um casal pretende ter 3 filhos. Supondo que a proba-bilidade de nascer menino é igual à probabilidade de nascer menina, determine a probabilidade de:

a) somente 2 serem meninas.

P(menino). 1e (menina)P . 1

2 2

1 l 1 3·2 1 1

P(2 meninas)

C;

2 2 2142

6 3

P(2 meninas) 16 8

b) nascerem pelo menos 2 meninos.

P(pelo menos 2 meninos) P(2 meninos e 1 menina) j

t P(3 meninos)

2 P(pelo menos 2meninos,) C~. 1

2 1 1

t

2 3

C3 1 1

+ 3'

2 2

P(pelo menos 2 meninos) 3:2.1 ~+1.1 1

2 1 4 2 8

6 1 3 1 4 1

t

16 8 8 8 8 2