Ibmec/RJ
Professor Christiano Arrigoni
Hipóteses fundamentais do modelo
1. 2 períodos: curto e longo prazo.2. Modelo AS x AD (y x p).
3. Economia fechada sem investimento.
4. Microfundamentação da demanda e da oferta.
5. Ampla tributação do governo que distorce decisões econômicas de famílias e firmas.
6. Firmas: concorrência monopolista + rigidez de preços no curto prazo.
7. Política monetária não neutra no curto prazo feita por meio do controle da taxa nominal e real de juros.
Problema de otimização do agente
representativo:
𝑚𝑎𝑥𝐶, 𝐶,𝐿, 𝐿 𝑢 𝐶 − 𝑣 𝐿 + 𝛽 𝑢 𝐶 − 𝑣 𝐿 (1)
𝑠. 𝑎. 1 + 𝜏𝐶 𝑃𝐶 + 1+ 𝜏𝐶 𝑃 𝐶
1+𝑖 = 1 − 𝜏𝑙 𝑊𝐿 +
1− 𝜏𝑙 𝑊 𝐿
Notação: variáveis
𝐶 = Consumo do período atual (curto prazo) 𝐶= Consumo do período futuro (longo prazo)
𝐿 = Trabalho do período atual (curto prazo)
𝐿= Trabalho do período futuro (longo prazo)
𝑃 = Nível de preços do período atual (curto prazo)
𝑃= Nível de preços do período futuro (longo prazo)
𝑊 = Salário nominal do período atual (curto prazo) 𝑊= Salário nominal do período futuro (longo prazo)
Notação: variáveis
𝜏𝐶 = Alíquota de imposto sobre C do período atual (curto prazo)
𝜏 𝐶= Alíquota de imposto sobre C do período futuro(longo prazo)
𝜏𝐿 = Alíquota de imposto sobre 𝐿 do período atual (curto prazo)
𝜏 𝐿= Alíquota de imposto sobre 𝐿 do período futuro(longo
prazo)
CPOs
𝜕ℒ
𝜕𝐶 = 0 → 𝑢𝐶 𝐶 − 𝜆𝑃 1 + 𝜏𝐶 = 0 (3.1)
𝜕ℒ
𝜕 𝐶 = 0 → 𝛽𝑢 𝐶 𝐶 −
𝜆 𝑃 1+ 𝜏𝐶
1+𝑖 = 0 (3.2)
CPOs
𝜕ℒ
𝜕𝐿 = 0 → −𝑣𝐿 𝐿 + 𝜆 1 − 𝜏𝑙 𝑊 = 0 (3.3)
𝜕ℒ
𝜕 𝐿 = 0 → −𝛽𝑣 𝐿 𝐿 + 𝜆 1 − 𝜏
𝑙 𝑊
1 + 𝑖 = 0 (3.4)
Equação de Euler
• Juntando (3.1) e (3.2), temos:
𝑢𝐶 𝐶
𝛽𝑢 𝐶 𝐶 =
1 + 𝑖 𝑃 𝑃
1 + 𝜏𝐶
1 + 𝜏𝐶 (4)
• A equação (4) é a equação de Euler do consumo que diz que no ótimo a família escolherá 𝐶 e 𝐶 de forma a igualar a TMS [lado esquerdo de (4)] à
Oferta de trabalho
• Juntando as CPOs de C e L, temos:
𝑣𝐿 𝐿
𝑢𝐶 𝐶 =
1 − 𝜏𝑙 1 + 𝜏𝐶
𝑊
𝑃 (7)
• A equação (7) é a CPO padrão que diz que no
ótimo a família escolherá 𝐶 e 𝐿 de forma a igualar a TMS [lado esquerdo de (7)] ao salário real
Hipóteses sobre a função utilidade
𝑢 𝐶 = 𝐶1−1 𝜎
Interpretação econômica das
hipóteses
• A elasticidade de substituição intertemporal do consumo 𝜎 é constante, maior do que zero e diferente de 1. Nessa função, pode-se mostrar que 𝜎 = 1
𝜃, aonde 𝜃 é o coeficiente
de aversão ao risco relativo.
𝜎 = − 𝐶𝑢𝑢𝑐
𝐶𝐶 ; 𝜃 = −
𝐶𝑢𝐶𝐶
Interpretação econômica das
hipóteses
• A elasticidade da oferta de trabalho 1
𝜂 é
constante e maior do que zero.
1
𝜂 =
Interpretação econômica das
hipóteses
• Além das hipóteses comentadas, há uma outra hipótese na formulação feita: a utilidade é separável entre consumo e trabalho (=Total de horas – Lazer).
Derivadas parciais
𝑢𝐶 𝐶 = 𝐶−1 𝜎
Equação de Euler com a função
utilidade usada
𝐶−1 𝜎
𝛽 𝐶−1 𝜎 =
1 + 𝑖 𝑃 𝑃
1 + 𝜏𝐶
Versão em Ln da Equação de Euler
1
𝜎 𝑙𝑛 𝐶 − 𝑙𝑛 𝐶 − 𝑙𝑛𝛽
= 𝑙𝑛 1 + 𝑖 − 𝑙𝑛 𝑃 + 𝑙𝑛 1 + 𝜏 𝑃 𝐶
− 𝑙𝑛 1 + 𝜏𝐶
1 + 𝜋 Inflação entre
Notaçao do Ln de variáveis
• Denotaremos o logaritmo natural das variáveis como letras minúsculas das variáveis originais:
𝑐 = 𝑙𝑛 𝐶 ; 𝑐 = 𝑙𝑛 𝐶
• Aproximação: sempre utilizaremos a
Versão final da equação de Euler
em Ln
• Logo:
𝑐 − 𝑐 = 𝜎 𝑖 − 𝑝 − 𝑝 + 𝜏𝐶 − 𝜏𝐶 + 𝑙𝑛𝛽 (6)
Equilíbrio do mercado de bens
𝑌 = 𝐶 + 𝐺
Aproximação log-linear do equilíbrio no mercado de bens
𝑐 − 𝑐 = 𝑠1
𝐶 𝑦 − 𝑦 − 𝑔 − 𝑔 (9)
Onde: 𝑠𝐶 = 𝐶
Curva AD
• Substituindo (9) em (6) e rearranjando os termos:
𝑦 = 𝑦 + 𝑔 − 𝑔 − 𝜎 𝑖 − 𝑝 − 𝑝 + 𝜏𝐶 − 𝜏𝐶 + 𝑙𝑛𝛽 (8)
Onde:
Intuição da AD
• No plano p x y:
↑ 𝑝 𝑒𝑚 1 𝑝. 𝑝. →↓ 𝜋 𝑒𝑚 1 𝑝. 𝑝. →↑ 𝑟 𝑒𝑚 1 𝑝. 𝑝. → ↓ 𝑐 𝑒𝑚 𝜎 𝑝. 𝑝. →↓ 𝑦 𝑒𝑚 𝜎 . 𝑝. 𝑝.
• No plano y x p:
↑ 𝐴𝐷 = 𝑦 𝑒𝑚 1 𝑝. 𝑝. →↑ 𝑐 𝑒𝑚 𝑠1
𝐶 →↓ 𝑟 𝑒𝑚
1
𝑠𝐶 𝜎 → ↓ 𝑝 𝑒𝑚 𝑠1
𝐶 𝜎 =
1
Representação gráfica da AD
p
y
𝐴𝐷 𝑖 = −𝑙𝑛𝛽, 𝜏𝐶 = 𝜏𝐶, 𝑔 = 𝑔
= −𝜎1
𝑝 = 𝑝
𝑦 = 𝑦
𝐴𝐷 𝑖 = −𝑙𝑛𝛽, 𝜏𝐶 > 𝜏𝐶, 𝑔 = 𝑔
Exercícios
• Analise os determinantes da inclinação da AD.
Concorrência monopolista
• Introdução no modelo da característica Keynesiana fundamental: rigidez de preços a la Calvo.
Curva de demanda de uma firma
qualquer j
𝑌 𝑗 = 𝑃 𝑗𝑃
−𝜃
Lucro de uma firma qualquer j
Π 𝑗 = 1 − 𝜏𝑌 𝑃 𝑗 𝑌 𝑗 − 1 + 𝜏𝑊 𝑊𝐿 𝑗 10 𝜏𝑌 = alíquota de imposto sobre vendas
𝜏𝑊 = alíquota de imposto sobre custos trabalhistas
Rigidez de preços
• No curto prazo há 2 tipos de firmas:
• Uma proporção 𝛼 das firmas não podem reajustar preços no curto prazo e
determinaram seus preços baseado em suas expectativas no período anterior.
• Uma proporção 1 − 𝛼 de firmas pode
Observação
• No contexto de 2 períodos, a AS novo keynesiana não será muito diferente da AS novo clássica. Em ambas, níveis de p acima da expectativa passada para o próprio p
Observação (cont.)
Problema de otimização da firma j
que pode reajustar P(j) no CP
𝑚𝑎𝑥Π 𝑗 = 1 − 𝜏𝑌 𝑃 𝑗 𝑌 𝑗 − 1 + 𝜏𝑊 𝑊𝐿 𝑗 𝑠. 𝑎. 𝑌 𝑗 = 𝑃 𝑗𝑃
−𝜃
𝑌 𝑌 𝑗 = 𝐴𝐿
Solução do problema de
otimização
𝑃 𝑗 = 1 + 𝜇 𝑊𝐴 11
Onde:
𝜇 = 𝜃 − 1𝜃 1 + 𝜏1 − 𝜏𝑊
𝑌 − 1
Firmas que não podem reajustar
𝑃 𝑖 = 𝑃𝑒 ∨ 𝑖 𝑞𝑢𝑒 𝑛ã𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡𝑜𝑢
Onde:
Equação de preço relativo
𝑃 𝑗
𝑃 = 1 + 𝜇
𝑊
Equilíbrio no mercado de trabalho
• Substituindo a oferta de trabalho [equação (7)] na equação de apreçamento da firma j, temos:
𝑃 𝑗
𝑃 =
1 + 𝜇 𝐴
𝑣𝐿 𝐿
𝑢𝐶 𝐶 =
1 + 𝜇 𝐴
𝐿𝜂
𝐶−1 𝜎 12
Onde:
𝜇 = 𝜃 − 1𝜃 1 + 𝜏1 − 𝜏𝑊 1 + 𝜏𝐶
Produto natural
• Conceito de 𝑌𝑛: nível de produto que ocorreria se todas as firmas pudessem reajustar preços no curto prazo (nível de produto se os preços fossem flexíveis).
• Nesse caso, como as firmas enfrentam curvas de demanda idênticas e usam a mesma tecnologia, então todas escolhem o mesmo preço individual. Se isso, é verdade
então 𝑃 𝑗
Produto natural
• Substituindo 𝑃 𝑗
𝑃 = 1 na equação (12) temos que de
𝑌 = 𝑌𝑛, ou seja, o nível de produto se encontra no natural. Logo, se substituirmos 𝑃 𝑗
𝑃 = 1, 𝐶𝑛 = 𝑌𝑛 − 𝐺 e 𝐿𝑛 = 𝑌𝑛
𝐴 na
equação (12), temos:
1 = 1 + 𝜇𝐴
𝑌𝑛 𝐴
𝜂
Produto natural
• Rearranjando a expressão anterior, temos:
𝑌𝑛 𝐴
𝜂
𝑌𝑛 − 𝐺 −1 𝜎 =
𝐴
Produto natural
• A aproximação log-linear de (14) é:
Voltando a equação de
apreçamento
• Substituindo (14) e as condições de equilíbrio em (12):
𝑃 𝑃 =
𝑌𝑛 − 𝐺 −1 𝜎 𝑌𝑛 𝐴 𝜂 𝑌 𝐴 𝜂
𝑌 − 𝐺 −1 𝜎 Onde:
Aproximação log-linear da
equação anterior
Nível de preços agregado
𝑃 = 𝑃𝑒 𝛼 𝑃 1−𝛼
No formato logarítmico:
Curva AS
• Substituindo (16) na equação anterior e isolando
p
, tem-se:𝑝 − 𝑝𝑒 = 𝑘 𝑦 − 𝑦𝑛 (17)
Onde:
Representação gráfica da AS
p
y
= 𝑘
𝑝 = 𝑝𝑒
𝑦 = 𝑦𝑛
𝐴𝑆
Fatores que alteram yne pe
Exercícios
• Analise os determinantes da inclinação da AS.
Equilíbrio de curto prazo AD-AS:
benchmark
p
y
𝑝 = 𝑝𝑒 = 𝑝
𝑦 = 𝑦𝑛 = 𝑦
𝐴𝑆 𝑦𝑛 = 𝑦, 𝑝𝑒 = 𝑝