Wavelets em economia: utilizando wavelets para projetar inflação via curva de Phillips

Renan Renie Gevisiez Reimermendt

Wavelets em economia: utilizando wavelets para projetar inflação via curva

de Phillips

Rio de Janeiro

2017

Wavelets em economia: utilizando wavelets para projetar inflação via curva

de Phillips

Dissertação para obtenção do grau de mestre apresentada à Escola de

Pós-Graduação em Economia (FGV-EPGE).

Área de concentração: Wavelets, Macroeconomia, Projeção de inflação

Orientador: Dr

.

_{Daniela Kubudi}

Rio de Janeiro

2017

Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Mario Henrique Simonsen/FGV

Reimermendt, Renan Renie Gevisiez

Wavelets em economia: utilizando wavelets para projetar inflação via curva de Phillips / Renan Renie Gevisiez Reimermendt. – 2017.

35 f.

Dissertação (mestrado) - Fundação Getulio Vargas, Escola de Pós-Graduação em Economia.

Orientadora: Daniela Kubudi. Inclui bibliografia.

1. Wavelets (Matemática). 2. Inflação. 3. Phillips, Curva de. I. Glasman, Daniela Kubudi. II. Fundação Getulio Vargas. Escola de Pós-Graduação em Economia. III. Título.

Agradeço imensamente à minha família, aos meus amigos do Modal Asset

Management e em especial a Daniel Gomes da Silva e Julio Mereb, pelas

contribuições e trocas de ideias.

bastante utilizada em diversas áreas, ela é uma evolução natural da análise de Fourier. Unificando o domínio do tempo e o da frequência em sua análise, dão ao pesquisador a capacidade de observar relações que antes eram inacessíveis e sua flexibilidade a torna recomendada para analisar séries onde ocorram mudanças estruturais. Este trabalho faz uma introdução cronológica e teórica da técnica, focando no que será utilizado, apresentando algumas aplicações bem-sucedidas em economia. Por fim, é criado uma medida de atividade econômica ao extrair ruídos, globais e em escalas específicas, da série de PIB dessazonalizado e utilizado esta medida numa curva de Phillips, como descrita pelo Banco Central do Brasil em seus modelos agregados semiestruturais de pequeno porte, para projetar inflação futura. Estas projeções também são comparadas com projeções utilizando o tradicional filtro HP e uma medida de hiato elaborada por Areosa (2008), que incorpora uma estrutura econômica ao hiato do produto.

domain and frequency domain in its analysis, it gives the researcher the ability to observe relations that were previously inaccessible and its flexibility makes it recommended to analyze series with structural changes. This work contains a chronological and theoretical introduction of the technique, focusing on what will be used, presenting some successful applications in economics. Lastly, it is created a measure of economic activity by denoising, in both global and specific scales, the seasonally adjusted GDP series and utilizing this measure in a Phillips curve, as described by the Brazilian Central Bank in theirs semi-structural aggregate small sized models, to forecast future inflation. This forecast is then compared to forecasts using the traditional HP filter and a measure of output gap elaborated by Areosa (2008), which incorporates some economic structure in the output gap.

Capítulo II – Um pouco de teoria e história ... 11

Capítulo III – Algumas aplicações de wavelets em economia e finanças ... 15

3.1 – Estimando núcleo de inflação ... 15

3.2 – Estimando relações entre variáveis econômicas em diferentes escalas ... 16

Capítulo IV – Utilizando wavelets para construir uma medida de atividade para uma curva de Phillips ... 17

4.1 – A curva de Phillips modelo de pequeno porte do BC ... 17

4.2 – Construindo uma medida de atividade via wavelets ... 18

4.3 – Construindo uma medida alternativa de hiato que incorpora estrutura econômica ... 21

Capítulo V – Resultados ... 25

Capítulo VI – Conclusão ... 28

Referências ... 29

APÊNDICE A – A evolução das três medidas de hiato ... 31

APÊNDICE B – Os erros de projeção ... 33

Capítulo I – Introdução

Se desenvolvendo rapidamente nos últimos 25 anos, e com extensas aplicações, a transformada de wavelets gerou uma quebra de paradigma em diversas áreas, de processamento de sinais e geofísica a dinâmica molecular, ao substituir a tradicional transformada de Fourier. No entanto apesar de também parecer promissor para estudos em economia, esta ainda é uma técnica pouco difundida. Em geral, sob a ótica da dualidade dos domínios do tempo e da frequência, o domínio mais utilizado nas pesquisas em economia é o do tempo, mas também existem alguns bons trabalhos no domínio da frequência, como por exemplo em Araújo, Areosa e Rodrigues Neto (2003), onde é proposto uma generalização do filtro HP1.

A transformada de Fourier, técnica amplamente conhecida, nos permite decompor qualquer função ou série periódica, no seu espectro e assim observar suas frequências responsáveis por determinados movimentos cíclicos. No entanto essa técnica não admite que a frequência de um sinal mude com o tempo. Portanto ela tem problemas em representar séries com propriedades que variam no tempo. Não muito surpreendentemente, a transformada de Fourier ganhou um espaço pequeno dentro da imensidão dos estudos em economia e finanças, pois em geral as séries econômicas não são séries “bem-comportadas” aos olhos dessa técnica. Mais tarde surgiu a transformada de Fourier de curto tempo, cuja ideia é basicamente particionar o intervalo de tempo da série em intervalos menores e em cada um deles aplicar uma transformada de Fourier diferente, desta forma seria possível capturar mudanças nas frequências da série de um intervalo para o outro. Mas mesmo assim, de acordo com o princípio da incerteza de Heisenberg (na versão de processamento de sinais), é impossível localizar um sinal de forma exata e simultaneamente no domínio do tempo e no da frequência.

Na escolha de intervalos grandes para se aplicar a FT (Fourier Transform) se aumenta a precisão no domínio da frequência e diminui na do tempo e com intervalos pequenos o oposto ocorre. Desta forma, a transformada de Fourier de curto tempo acaba analisando a série em intervalos fixos de tempo e frequência, as mais altas, e, portanto, não é adequada para uma análise em todas as frequências. Wavelets (ondaletas), no entanto, conseguem utilizar uma abordagem muito mais flexível ao escolherem uma base local de funções, enquanto na transformada de Fourier a base é uma soma de senos e cossenos que se estendem ao longo de toda infinidade da reta real, e terem propriedades de multi-resolução, que permitem tamanhos de janelas diferentes, que são intrinsicamente ajustados, para suas estimativas. Mais precisamente se usa um intervalo de tempo grande para baixas frequências e um intervalo de tempo pequeno para altas frequências. Ou seja, enquanto na transformada de Fourier a série (ou partições dela) é decomposta em uma única base (ortogonal), na transformada de wavelets é possível ter diversas wavelets analisando cada ponto da série. A Figura 1, retirada de Rua (2012), ilustra a diferença entre uma série temporal, onde para todo ponto no tempo existe informação de todas as frequências, enquanto na FT cada ponto no domínio da frequência contém informação de todos os tempos, e a diferença entre a STFT (Short Time Fourier

Transform), que particiona o tempo em janelas fixas, e a WT (Wavelet Transform), que o

tamanho de janela é ajustado a frequência.

Em termos matemáticos as wavelets são uma base local, de suporte compacto, ortogonal de “pequenas ondas” que decompõe uma função em suas diferentes escalas. Sendo localizáveis tanto no tempo quanto na escala, fornecem uma ferramenta muito mais precisa do que a

1 _{Hodrick e Prescott (1997)}

transformada de Fourier, além de que, por serem compostas de bases locais, apresentam resultados muito melhor em séries que contenham mudanças estruturais, capturando tanto movimentos de longo prazo quanto detalhes de alta frequência. Decompor uma série temporal em diversas escalas pode revelar detalhes que podem ser interpretados de forma teórica, como variáveis econômicas se relacionam em diferentes escalas, tanto quanto para aumentar a precisão de projeções. Assim, como descrito por Ramsay (2002): “Wavelets são tratadas como ‘lentes’ que permitem ao pesquisador explorar relações que antes não eram observáveis. ”.

Figura 1 – Ilustração da diferença entre uma série temporal, sua FT, sua STFT e sua WT

Capítulo II – Um pouco de teoria e história

A série de Fourier é uma forma de representar qualquer função periódica em uma soma de senos e cossenos, portanto dado uma função 𝑓 podemos escreve-la como:

𝑓(𝑥) = 𝑎₀+ ∑(𝑎_𝑛cos 𝑛𝑥 + 𝑏_𝑛sin 𝑛𝑥)

∞

𝑛=1

E fazendo uso da fórmula de Euler 𝑒𝑖𝑥 _{= cos(𝑥) + 𝑖 ∗ sin⁡(𝑥), escrevemos a transformada de}

Fourier de uma série contínua como:

𝑓̂(𝜉) = ⁡ ∫ 𝑓(𝑡)𝑒∞ −2𝜋𝑖𝑡𝜉_𝑑𝑡 −∞

Onde 𝑡 representa o tempo e 𝜉 representa a frequência.

A Figura 2 ilustra a ideia desta técnica, onde uma série temporal periódica (a esquerda) pode ser decomposta em suas diversas ondas e vista de forma muito mais simples em sua frequência (a direita).

Figura 2 – Ilustração de uma série temporal periódica decomposta em seus vários componentes e no domínio da frequência

Agindo como uma ponte entre o domínio do tempo e o da frequência, essa transformada deu início à análise espectral e foi amplamente utilizada em diversas disciplinas. No entanto, como podemos notar temos uma única base de funções que se alongam de menos a mais infinito. Para tentar contornar esse problema criou-se a transformada de Fourier de Curto tempo, que é basicamente a transformada de Fourier onde a função a ser transformada é multiplicada por uma “função-janela”, que é diferente de 0 durante um período de tempo estabelecido, esta função janela pode ser simplesmente uma constante no intervalo ou até mesmo uma Gaussiana. Mas mesmo que se acerte o tamanho fixo de janela, pois se particiona o tempo em janelas uniformes, que coincida com as mudanças estruturais da série, continua o trade-off entre precisão no domínio da frequência e no do tempo. Como mencionado anteriormente este trade-off está relacionado com o Princípio da Incerteza de Heisenberg, mais especificamente neste contexto ele é chamado de Limite de Gabor, ou Limite de Heisenberg-Gabor. De forma simplificada, em toda STFT, temos uma precisão no domínio do tempo e uma precisão no domínio da frequência, denominando por 𝜎𝑡 e 𝜎𝑓 o desvio padrão das estimativas de tempo e

ainda, este produto tem um limite mínimo. Esse limite mínimo de incerteza consegue ser alcançado ao se escolher uma função janela Gaussiana para a STFT. Este caso específico de SFTF é chamado de transformada de Gabor, assim, conforme eram pesquisadas e desenvolvidas novas técnicas para melhorar este trade-off de precisão, aos poucos a “análise de frequência” foi sendo substituída por “análise de escala”23_.

A primeira literatura relacionada a wavelets é chamada de “waelet de Haar”, que foi proposta por Alfred Haard em 1909. No entanto nem o conceito e nem o nome “wavelet” existia na época. Aproximadamente 75 anos depois, e 40 anos após a transformada de Gabor, Jean Morlet introduziu o trabalho de Gabor na indústria geofísica, mais especificamente em sismologia, e, junto com Alex Grossman, modificaram a transformada de Gabor resultando na primeira formalização da CWT (Continuous Wavelet Transform). Essa nova transformada trouxe flexibilidade e ganhos de precisão, no contexto do princípio da incerteza, para a análise. Analogamente com os senos e cossenos da FT, na WT temos bases locais, chamadas de “wavelet filhas”, de suporte compacto e indexadas no tempo que derivam de uma “wavelet mãe”. Uma “wavelet mãe” deve apresentar algumas características, ver Percival e Walden (2000), como por exemplo:

∫ 𝛹 ∞ −∞ (𝑡)𝑑𝑡 = 0 ∫ |𝛹 ∞ −∞ (𝑡)|²𝑑𝑡 = 1

Por exemplo, a wavelet mãe denominada Morlet Wavelet tema seguinte fórmula:

𝛹(𝑡) = ⁡ 𝜋−14𝑒𝑖𝜔0𝑡𝑒−𝑡 2

2

Assim, “escalando” (dilatando) e transladando (no tempo) uma wavelet mãe, é possível construir suas filhas, as quais formaram a base local da transformada e assumem a seguinte fórmula:

𝛹_𝜏,𝑠(𝑡) = ⁡ 1 √𝑠𝛹 (

𝑡 − ⁡𝜏 𝑠 )

Onde 𝜏 representa a posição temporal, 𝑠 representa a escala e 𝛹 representa a “wavelet mãe”. Podemos notar que devido a sua compacidade e indexação temporal, toda projeção de um sinal no espaço das wavelets é essencialmente uma projeção local. Assim, podemos definir a CWT da seguinte forma:

𝑊_𝑥(𝜏, 𝑠) = ⁡ ∫ 𝑥(𝑡)𝛹𝜏,𝑠∗ (𝑡) ∞

−∞

𝑑𝑡

onde * denota o conjugado complexo

2 _{Para uma explicação matematicamente rigorosa ver a primeira edição de The Illustrated Wavelet Transform} Handbook, de Paul Addison, páginas 45 a 51.

3 _{Ao invés de se trabalhar com frequências, passa a se trabalhar com escalas. Onde grandes escalas} correspondem a baixas frequências e pequenas escalas correspondem a altas frequências.

Em 1988 Stephane Mallat e Yves Meyer introduziram a MRA (Multiresolution Analisys), que é o método de criação da maioria das DWT (Discrete Wavelet Transform) relevantes de forma prática. Aqui foi introduzido o conceito de “wavelet pai” (father wavelet ou scaling function), uma função auxiliar para ser a onda responsável por capturar movimento de baixa frequência (longo prazo) enquanto a wavelet mãe (que agora também é chamada de wavelet function) seria responsável pelos coeficientes relacionado as altas frequências. No entanto devido a metodologia da DWT, é exigido que o tamanho da série em que ela seja aplicada seja uma potência de 2, além disso, a DWT não é invariante no tempo (por translação), o que dificulta muitas análises.

Em 1988 Ingrid Daubechies descobriu um método de criar wavelets ortogonais em suporte compacto e com o máximo número de “desaparecimento de momentos” (vanishing moments) para um dado suporte, esta propriedade é crucial para medir regularidades locais. Se uma wavelet tem⁡𝑛 vanishing moments, isso singfica que para todo 𝑘 tal que 0 ≤ 𝑘 < 𝑛:

∫ 𝑡∞ 𝑘_𝛹(𝑡) −∞

𝑑𝑡 = 0

Mais ainda, ela é ortogonal à polinômios de grau 𝑛 − 1. A semelhança com uma função geradoras de momentos de uma variável aleatória é clara. Dessa forma o número de vanishing

moments é uma característica importante das wavelets, dado uma base com 𝑛 vanishing moments, ao se usar a DWT num polinômio de grau 𝑛 − 1, a projeção dele na wavelet mãe terá

integral zero e o componente polinomial do sinal será capturado somente pela wavelet pai. Se o sinal conter um componente polinomial junto com elementos mais complexos, usar uma wavelet com o número apropriado de vanishing moments é claramente muito útil na decomposição do sinal. Além disso essa propriedade também estabelece uma primeira relação entre a diferenciabilidade de 𝑓 e o decaimento dos coeficientes de sua WT em escalas mais finas. Para o desenvolvimento matematicamente rigoroso desta propriedade ver “A Wavelet Tour of Signal Processing: The Sparse Way” de Stephane Mallat, capitulo 6.

A ortogonalidade da DWT tem uma propriedade importante, ela transforma ruído branco em ruído branco. Portanto, como descrito em Donoho and Johnstone (1994), defina a matriz 𝑊 tal que o vetor dos coeficientes de 𝑦 seja obtido da forma:

⁡𝑤 = 𝑊𝑦

Como a transformação é ortogonal, ela possui inversa e 𝑦 = 𝑊𝑇𝑤, agora suponha que tenhamos um sinal:

𝑦(𝑡) = 𝑓(𝑡) + 𝜀(𝑡) Onde 𝜀(𝑡)⁡~⁡𝑖𝑖𝑑⁡𝑁(0, 𝜎2_{), aplicando a DWT na equação:}

𝑊𝑦(𝑡) = 𝑊𝑓(𝑡) + ⁡𝑊𝜀(𝑡) 𝑦 = 𝑤 + 𝑧

Onde 𝑦 são os coeficientes de wavelet de 𝑦(𝑡), 𝑤 os de 𝑓(𝑡) e 𝑧⁡~⁡𝑖𝑖𝑑⁡𝑁(0, 𝜎2_{). Ou seja, os}

coeficientes de wavelet de um sinal com ruído são simplesmente os coeficientes de wavelet do próprio sinal (sem ruído) mais um ruído. Assim, a técnica de thresholding ou shrinkage tenta eliminar esse ruído ao aplicar um limiar para retirar os coeficientes que não sejam diferentes de zero, aproveitando-se de que a maioria dos coeficientes de um sinal sem ruído, 𝑓, no nosso exemplo, são efetivamente zero4_{. Assim, ao se eliminar os coeficientes “pequenos”, espera-se}

conseguir reconstruir 𝑓(𝑡) através de 𝑓(𝑡) = 𝑊𝑇_𝑦∗_{⁡, onde 𝑦}∗_{é o vetor 𝑦 após a aplicação do}

thresholding.

Apesar de termos mencionado somente a Morlet e a Daubechies, existem diversas famílias de wavelets que podem ser utilizadas. A Figura 3 ilustra alguns exemplos dessas famílias, note também que ela mostrar duas Daubechies, com números diferentes de vanishing moments.

Figura 3 – Algumas bases de wavelets

4 _{Mallat (1998)}

Capítulo III – Algumas aplicações de wavelets em economia e finanças

Interpretando uma série de núcleo de inflação como sendo o sinal subjacente de uma série original com ruído, seria possível estimar o núcleo de inflação com alguma técnica de extração de sinal ou de filtragem. Dowd, Cotter e Loh (2011) argumentam que como seria necessário um método que conseguisse trabalhar com a não estacionariedade de uma série real de inflação os métodos envolvendo wavelets seriam especificamente desenhados para este tipo de problema.

Removendo a arbitrariedade de outros métodos de exclusão de certos componentes da série de inflação, os métodos de wavelets também não requerem hipóteses fortes sobre a tendência ou o ruído da série como em métodos estatísticos convencionais. Em particular as wavelets não tem problemas em lidar com diversos tipos de irregularidades, sejam elas comportamentos que variam no tempo, saltos, descontinuidades, mudanças de regimes ou choques isolados.

Utilizando como principal critério de avaliação as habilidades de determinar uma tendência e de prever inflação futura, os autores também argumentam que uma série de núcleo de inflação também deveria ter a mesma média da série original, uma variância menos e menos pontos de inflexão. Desta forma são propostas diversas medidas baseadas em wavelets, variando a base e o nível de filtragem, para competir com as medidas usuais, as baseadas nas desagregações do próprio índice e as baseadas em regressões, em determinar uma série de núcleo de inflação para os EUA.

Os resultados são interessantes. As medidas criadas pelos autores via wavelets em geral apresentam uma performance melhor, e em alguns casos muito melhores, do que as medidas usuais. Os autores argumentam também que a performance das medidas via wavelets é particularmente impressionante, dado que as wavelets foram escolhidas apenas para fins ilustrativos e não foi feito nenhum esforço de otimização. Portanto existiriam razões para acreditar que uma “wavelet ótima” poderia performar ainda melhor.

Um trabalho semelhante também foi feito por Baqaee (2010) para o caso da Nova Zelândia, no entanto ao invés de utilizar a mais convencional e ortogonal DWT, foi utilizado a MODWT5 por suas outras propriedades, como por exemplo conseguir ser estimada com qualquer tamanho de amostra e ser invariante por translação. Também foram obtidos resultados promissores, a medida de núcleo de inflação criada performou melhor que as alternativas atualmente utilizadas pelo RBNZ6. O autor conclui que a medida criada tem a performance, credibilidade e perspicuidade necessária para se tornar uma ferramenta para bancos centrais e formuladores de políticas públicas.

5 _{Maximum Overlap Discrete Wavelet Transform. Também conhecida como Undecimated Wavelet Transform} (UWT), Non-decimated Wavelet Transform (NDWT), Stationary Wavelet Transform (SWT) e Translation

Invariant Wavelet Transform.

3.2 – Estimando relações entre variáveis econômicas em diferentes escalas

Em Ramsey e Lampart (1998a) é estudada a relação entre consumo e renda utilizando a ótica das wavelets, os autores conseguem confirmar a hipótese de que a relação entre as variáveis varia de acordo com a escala. É descoberto também que a taxa real de juros é significante somente na maior escala e para o consumo de bens duráveis. Sendo que para tanto o consumo de bens duráveis quanto para o de bens não-duráveis, a força relação com as taxas de juros decai monotonamente conforme a escala diminui.

Em Ramsey e Lampart (1998) também é estudado a relação entre moeda e renda, com o intuito de responder qual seria a relação de causalidade, no sentido de Granger. O resultado é que para escalas menores renda causa moeda, para escalas intermediárias moeda causa renda, e para escalas maiores há um mecanismo de feedback.

Mais ainda, os autores descobrem que em certas escalas a relação entre estes pares de variáveis apresenta um padrão mais complexo: o delay entre as séries não era fixo. A hipótese padrão em economia é que se existem lags entre duas variáveis, esse lag é fixo. O que foi descoberto nestes estudos é que em determinadas escalas este lag é função do tempo e provavelmente também do espaço de estados. Os autores então defendem que essa descoberta abre possibilidades intrigantes para pesquisas futuras.

Em Aguiar-Conraria, Azevedo e Soares (2008) também é utilizado esta decomposição na economia americana. Neste trabalho os autores mostram que durante as décadas de 70 e 80, na frequência dos ciclos de negócios, inflação e taxas de juros andavam na mesma direção, com a inflação liderando, o que é consistente com um banco central seguindo uma regra de Taylor. No longo prazo, períodos de tempo de 12 a 20 anos, juros e inflação se apresentavam movimentos correlacionados negativamente e com as taxas de juros liderando, consistente com a noção de que, no longo prazo, a política monetária restritiva ajuda a controlar a inflação. Além disso, após 1980 as taxas de juros, nas escalas de 2 a 4 anos, se moviam na mesma direção e reagindo a produção industrial, tendo efeitos contracionistas no longo prazo. Esse resultado fornece alguma evidencia de que a política monetária contracionista da época reforçou os efeitos recessivos do choque do petróleo. E, por fim, uma quebra estrutural na relação entre taxas de juros e agregados monetários é identificada no mesmo período.

Capítulo IV – Utilizando wavelets para construir uma medida de atividade

para uma curva de Phillips

A ideia deste capitulo em diante é construir uma medida de atividade utilizando as técnicas apresentadas de wavelets para então utilizá-la para fazer projeções de inflação fora da amostra nos moldes da classe de modelos agregados dos modelos semiestruturais de pequeno porte do Banco Central, disponibilizado no box “Revisão dos Modelos de Projeção de Pequeno porte – 2015” do Relatório Trimestral de Inflação de Junho de 2015. Compararemos essas projeções com as utilizando medidas de hiato mais tradicionais, como a utilizando filtro HP e uma outra criada por Areosa (2008) com algumas pequenas modificações, que incorpora uma estrutura econômica.

4.1 – A curva de Phillips modelo de pequeno porte do BC

De acordo com o RTI de junho de 2015, um modelo agregado de pequeno porte do Banco Central pode ser expresso por três equações. A curva de Phillips para a inflação de preços livres é escrita como: 𝜋_𝑡𝐿 _{= ∑ 𝛼} 1𝑖𝐸𝑡𝜋𝑡+𝑖 𝑖>0 + ∑ 𝛼2𝑗𝜋𝑡−𝑗 𝑗>0 + ∑ 𝛼3𝑘𝜋𝑡−𝑘∗ 𝑘≥0 + ∑ 𝛼4𝑙ℎ𝑡−𝑙 𝑙>0 + ∑ ∑ 𝛼_5𝑚𝑛 _𝑍 𝑡−𝑚𝜋,𝑛 𝑛 𝑚≥0 +𝜀𝑡

Onde 𝜋_𝑡𝐿 _{é a inflação de preços livres do IPCA, 𝐸}

𝑡𝜋𝑡+𝑖 é a expectativa de inflação 𝑖 trimestres

à frente, 𝜋_𝑡 é a inflação cheia medida pela variação do IPCA, 𝜋_𝑡∗ _{é a inflação externa medida}

pela variação do índice Commodity Research Bureau (CRB) expresso em reais, ℎ_𝑡 é uma medida do hiato do produto, 𝑍_𝑡𝜋,𝑛 é a variável de controle n, e 𝜀𝑡 é um termo de erro. Tal que é

respeitado a seguinte restrição: ∑ 𝛼1𝑖 𝑖>0 + ∑ 𝛼2𝑗 𝑗>0 + ∑ 𝛼3𝑘 𝑘≥0 = 1

A curva IS é utilizada para projetar endogenamente o hiato do produto e temos ainda uma equação da

curva de juros que projetará a evolução das taxas de juros utilizadas na IS. Mas como neste modelo utilizaremos a medida de atividade criada via wavelets como uma medida de hiato do produto, ao invés de utilizar as equações que projetam endogenamente a evolução do hiato, utilizaremos o PIB efetivo incluindo o período de projeção e calcularemos os “hiatos verdadeiros” para utilizá-los como variáveis exógenas ao modelo. Desta forma, reduzimos o modelo agregado de pequeno porte à sua curva de Phillips para fazer as projeções de inflação fora da amostra.

4.2 – Construindo uma medida de atividade via wavelets

Primeiramente, vamos utilizar a série de PIB trimestral dessazonalizado disponibilizado pelo IBGE, do primeiro trimestre de 1996 ao quarto trimestre de 2016, conforme o Gráfico 1.

Grafico 1 – Série de PIB trimestral dessazonalizado

Esta série possui 84 trimestres, mas para podermos utilizar a DWT precisamos que seu tamanho seja uma potência de 2, portanto usaremos sempre uma janela móvel de 64 trimestres (16 anos), mas por não ser invariante no tempo isso também trará problemas para a interpretação econômica da medida resultante do processo. Para simplificar, a partir daqui vamos assumir que está se trabalhando somente com os 64 dados finais da série, isto é, o período do primeiro trimestre de 2001 ao quarto de 2016. Todo o processo e metodologia é análogo para os outros intervalos e toda a estimativa será feita em R e utilizando o pacote “wavethresh”.

Assim, escolheremos como base a Daubechies com 10 vanishing moments com o intuito de ter uma melhor representação dos coeficientes das wavelets e também conseguir uma suavidade maior para a tendência extraída, apesar de um número maior de vanishing moments não implicar na melhor suavidade. Vamos então aplicar a DWT na série e obter seus coeficientes de wavelet para cada escala, a Figura 4 mostra estes coeficientes.

Como um teste para ter certeza de que a decomposição está correta, é aplicado a transformada inversa e comparamos o resultado com a série original de PIB. E como era esperado, o resultado da transformada inversa destes coeficientes é exatamente igual a série original do PIB dessazonalizado.

Como próximo passo será usado a técnica de thresholding (ou shrinkage) apresentada no capitulo 2, de acordo com Donoho and Johnstone (1994). Vamos aplicar um threshold global em todas as escalas. As alterações nos coeficientes de wavelet são pequenos, quase não visíveis no visualmente se mostrados como na Figura 4, no entanto ao aplicar a transformada inversa já se nota alguma alteração em relação a série original, a qual pode-se ver no Gráfico 2.

100,00 110,00 120,00 130,00 140,00 150,00 160,00 170,00 180,00 1996.I

1996.IV 1997.III 1998.II 19

99

.I

1999.IV 2000.III 2001.II 2002.I 2002.IV 2003.III 2004.II 2005.I 2005.IV 2006

.III

2007.II 2008.I _{2008.IV 2009.III} 2010.II 2011.I _{2011.IV 2012.III} 2013.II 2014.I _{2014.IV 2015.III} 2016.II

Figura 4 – Coeficientes de Wavelets da série de PIB trimestral dessazonalizado

Gráfico 2 – Série de PIB e sua reconstrução após a aplicação do 1º threshold

110,00 120,00 130,00 140,00 150,00 160,00 170,00 180,00 2001.I ₂₀01 .III

2002.I _2002.III 2003.I _2003.III 2004.I _2004.III 2005.I _2005.III 2006.I _2006.III 2007.I _2007.III 2008.I _2008.III 2009.I _2009.III 2010.I _2010.III 2011.I _2011.III 2012.I _2012.III 2013.I _2013.III 2014.I _2014.III 2015

.I

2015.III 2016.I 2016.III

De acordo com o National Bureau of Economic Research, de 1945 a 2009 a economia dos EUA teve 11 ciclos de negócios (Business Cycles), de duração média de 69 meses, onde na média o tempo do pico para a depressão foi de 11,1 meses e o tempo da depressão para o pico foi de 58,4 meses. Portanto, para a aplicação de um segundo threshold, desta vez local, é escolhido o nível 2 de resolução, por serem wavelets estimadas em intervalos de 48 meses7_{, na tentativa de}

se trabalhar com um período de tempo razoável para um ciclo de negócios. Como indica a Figura 5, os coeficientes de wavelets no nível dois de resolução tem uma alteração quando comparados com os da série original (apresentados na Figura 4). Então é aplicado a transformação inversa e se obtém um resultado bastante diferente da série original de PIB dessazonalizado, como podemos ver no Gráfico 3. Portanto, a medida que será usada para a curva de Phillips será a diferença entre o PIB dessazonalizado para esta série reconstruída após o segundo threshold ser aplicado.

Figura 5 – Coeficientes de waelets para a série de PIB após o 2º threshold

Gráfico 3 – Sére de PIB e suas reconstruções após a aplicação do 1º e do 2º threshold

4.3 – Construindo uma medida alternativa de hiato que incorpora estrutura econômica

Além desta medida que foi acabada de ser criada utilizando wavelets, também usaremos o Filtro HP e uma terceira medida de hiato, construída nos moldes de Areosa (2008) e Alves e Correa (2013), no entanto, como neste trabalho usaremos o hiato, numa curva de Phillips, para projetar inflação, não é utilizada a inflação, numa curva de Phillips, na estimação deste hiato.

De acordo com os dois trabalhos citados acima, será assumido que o produto é dado por uma função de produção Cobb-Douglas com retornos constantes de escala:

𝑌_𝑡= ⁡ 𝐴_𝑡(𝐾_𝑡𝐶_𝑡)1−𝛼_(𝐿

𝑡(1 − 𝑈𝑡))𝛼

Onde 𝑌_𝑡 é o produto, 𝐴_𝑡 é o fator de produtividade, 𝐾_𝑡 é o estoque de capital, 𝐶_𝑡 é a utilização da capacidade instalada, 𝐿𝑡 é a força de trabalho, 𝑈𝑡 é a taxa de desemprego e 𝛼 e 1 − 𝛼 são a

participação do trabalho e do capital na renda. Assim, o produto potencial é dado por: 𝑌𝑡𝑛 = ⁡ 𝐴𝑡(𝐾𝑡𝐶𝑡𝑛)1−𝛼(𝐿𝑡(1 − 𝑈𝑡𝑛))𝛼

Onde 𝐶_𝑡𝑛 é a taxa natural de desemprego (NAIRU8)e 𝑈_𝑡𝑛 é a taxa natural de utilização da capacidade instalada (NAICU9). Dividindo as duas equações, obtemos:

8 _{Non-accelerating inflation rate of unemployment} 9 _{Non-accelerating inflation rate of capacity utilization}

110,00 120,00 130,00 140,00 150,00 160,00 170,00 180,00 2001.I _2001.III 2002 .I 2002.III 2003.I 2003 .III

2004.I _2004.III 2005.I _2005.III 2006.I _2006.III 2007.I _2007.III 2008.I _2008.III 2009.I _2009.III 2010.I _2010.III 2011.I _2011.III 2012.I _2012.III 2013.I _2013.III 2014.I _2014.III 2015.I _2015.III 2016.I _2016.III

𝑌𝑡 𝑌_𝑡𝑛 = ⁡ ( 𝐶𝑡 𝐶_𝑡𝑛) 1−𝛼 (1 − 𝑈𝑡 1 − 𝑈_𝑡𝑛) 𝛼

Tirando o logaritmo, as letras minúsculas indicam o logaritmo natural da variável em letra maiúscula, e definindo 𝐸_𝑡 = 1 − 𝑈_𝑡 como sendo a taxa de emprego, temos que:

𝑦𝑡−⁡𝑦𝑡𝑛 = (1 − 𝛼)(𝑐𝑡−⁡ 𝑐𝑡𝑛) + ⁡𝛼(𝑒𝑡−⁡𝑒𝑡𝑛)

Logo, pode-se concluir que, o hiato do produto é a soma do hiato da capacidade instalada e do hiato do emprego10 _{ponderados pela participação do capital e do trabalho na renda. Assim,}

incorporaremos esta última equação como restrição em um modelo de otimização que utiliza o filtro HP como base para a estimativa de suas variáveis naturais11:

min 𝑒_𝑡𝑛,𝑐_𝑡𝑛⁡⁡{[∑(𝑐𝑡−⁡𝑐𝑡 𝑛₎2 𝑡 + 𝜆𝑐∑(𝛥2𝑐𝑡𝑛)2 𝑡 ] +⁡[∑(𝑒𝑡−⁡𝑒𝑡𝑛)2 𝑡 + 𝜆𝑐∑(𝛥2𝑒𝑡𝑛)2 𝑡 ] +⁡[∑(𝑦_𝑡−⁡𝑦_𝑡𝑛₎2 𝑡 + 𝜆_𝑐∑(𝛥2_𝑦 𝑡𝑛)2 𝑡 ]}⁡ 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜⁡𝑎: ⁡𝑦𝑡−⁡𝑦𝑡𝑛 = (1 − 𝛼)(𝑐𝑡−⁡ 𝑐𝑡𝑛) + ⁡𝛼(𝑒𝑡−⁡𝑒𝑡𝑛)

No entanto, seguindo o exemplo dado por Areosa (2008), utilizaremos a primeira diferença (ao invés da segunda) para 𝑐_𝑡𝑛 _{e 𝑒}

𝑡𝑛 para minimizar o efeito de borda12. Desta forma nossa equação

toma a forma de:

min 𝑒_𝑡𝑛,𝑐_𝑡𝑛⁡⁡{[∑(𝑐𝑡−⁡𝑐𝑡 𝑛₎2 𝑡 + 𝜆𝑐∑(𝛥𝑐𝑡𝑛)2 𝑡 ] +⁡[∑(𝑒𝑡−⁡𝑒𝑡𝑛)2 𝑡 + 𝜆𝑐∑(𝛥𝑒𝑡𝑛)2 𝑡 ] +⁡[∑(𝑦_𝑡−⁡𝑦_𝑡𝑛₎2 𝑡 + 𝜆_𝑐∑(𝛥2_𝑦 𝑡𝑛)2 𝑡 ]}⁡ 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜⁡𝑎: ⁡𝑦𝑡−⁡𝑦𝑡𝑛 = (1 − 𝛼)(𝑐𝑡−⁡ 𝑐𝑡𝑛) + ⁡𝛼(𝑒𝑡−⁡𝑒𝑡𝑛)

Assim, sendo todos os dados dessazonalizados, utilizaremos a série do PIB, a do NUCI13 e de acordo com Alves e Correa (2013), utilizaremos 𝛼 = 0,67. Para o emprego, é preciso fazer uma pequena estimativa, é utilizado o período onde a PNAD Contínua14 e a PME15 coexistem e é estimado o modelo 𝐷𝑒𝑠𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒𝑔𝑜𝑃𝑁𝐴𝐷 = ⁡ 𝑎1+⁡ 𝑎2𝐷𝑒𝑠𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒𝑔𝑜𝑃𝑀𝐸, então são utilizados os

10 _{O hiato do emprego é igual ao hiato do desemprego multiplicado por -1} 11𝛥2𝑦

𝑡𝑛 representa a segunda diferença centrada em 𝑦𝑡𝑛, tal que 𝛥2𝑦𝑡𝑛 = (𝑦𝑡+1𝑛 -𝑦𝑡𝑛) − (𝑦𝑡𝑛 −

⁡𝑦_𝑡−1𝑛 ₎

12 _{Araújo, Areosa e Neto (2003) sugerem uma família de r-filtros variando o operador diferença 𝛥}𝑟_{, nesta} família o filtro HP é um caso particular quando 𝑟 = 2. No caso citado aqui, 𝑟 = 1.

13 _{Nível de Utilização da Capacidade Instalada. Disponibilizada pelo CNI.}

14 _{Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios Contínua. Disponibilizada pelo IBGE.} 15 _{Pesquisa Mensal de Emprego. Disponibilizada pelo IBGE, mas descontinuada.}

parâmetros de 𝑎1 e ⁡𝑎2 para estimar o que seria a taxa de desemprego na PNAD antes do período

de divulgação, então é utilizado a série da estimativa da PNAD para o período onde ela não existe e a da PNAD a partir de seu início. Esta equação é então estimada no EViews 9 utilizando um filtro de Kalman em um modelo de espaços de estados, os resultados seguem nos gráficos 4, 5 e 6.

Gráfico 4 – Série de desemprego e de desemprego natural estimado

Gráfico 5 – Série do NUCI e do NUCI natural estimado

6,00 7,00 8,00 9,00 10,00 11,00 12,00 13,00 14,00 15,00 mar/03 se t/03 mar/04 se t/04 mar/05 se t/05 mar/06 se t/06 mar/07 se t/07 mar/08 se t/08 mar/09 se t/09 mar/10 se t/10 mar/11 se t/11 mar/12 se t/12 mar/13 se t/13 mar/14 se t/14 mar/15 se t/15 mar/16 se t/16

Desemprego

Desemprego Desemprego natural

76,00 77,00 78,00 79,00 80,00 81,00 82,00 83,00 84,00 85,00 mar/03 se t/03 mar/04 se t/04 mar/05 se t/05 mar /06 se t/06 mar/07 se t/07 mar/08 se t/08 mar/09 se t/09 mar/10 se t/10 mar/11 se t/1 1 mar/12 se t/12 mar/13 se t/13 mar/14 se t/14 mar/15 se t/15 mar/16 se t/16

NUCI

Gráfico 6 – Hiato do PIB estimado -4% -3% -2% -1% 0% 1% 2% mar/03 se t/03 mar/04 se t/04 mar/05 se t/05 mar/06 se t/06 mar/07 se t/07 mar /08 se t/08 mar/09 se t/09 mar/10 se t/10 mar/11 se t/11 mar/12 se t/12 mar/13 se t/13 mar/14 se t/14 mar/15 se t/15 mar/16 se t/16

Hiato do PIB

Capítulo V – Resultados

Desta forma, munidos das duas medidas de hiato (HP e Areosa) e da medida via DWT, realizamos as projeções de inflação fora da amostra de acordo com a curva de Phillips mencionada na seção 4.1 deste trabalho.

Para minimizar os erros de projeção proveniente de outras variáveis que não sejam as medidas de hiato utilizadas, as variáveis do modelo (dólar, CRB, expectativa de inflação 12 meses à frente...) são usadas de forma exógena e com seus valores efetivos. Como mencionado na seção 4.1, também usaremos o hiato de forma exógena. Escolhida uma certa data de corte, se utiliza a série do PIB dessazonalizado até 4 trimestres à frente da data de corte16, estima-se o respectivo hiato e o utiliza de forma exógena ao modelo. Por exemplo, para a data de corte 12/2010 se utiliza a série de PIB do 1º trimestre de 1996 ao 4º trimestre de 2011, estima-se o hiato e então se utiliza esta série no modelo. A exceção sendo para a série do hiato via Areosa, dado que a série da NUCI na CNAE 2.0, disponibilizada pelo CNI, tem início em 2003.

A estimação dos parâmetros do modelo é então feita numa janela a partir do 1º trimestre de 2003 até a data de corte, a primeira data de corte sendo o 4º trimestre de 2010. Com todos os parâmetros estimados e fazendo uso das variáveis exógenas, é projetado a inflação futura até 4 trimestres a frente. Esse processo é então repetido sucessivamente adicionando um trimestre na data de corte a cada repetição, até chegar no 4º trimestre de 2015. Desta forma, no fim é obtido projeções de inflação, fora da amostra, de 1 a 4 meses à frente do 1º trimestre de 2011 ao 4º trimestre de 2016.

Então, os resultados são organizados de forma que se agregue as projeções 𝑛 meses a frente numa mesma série, para cada modelo17 e para todo 𝑛, para no fim poder comparar com a inflação efetiva do período, como pode ser visto na Tabela 1.

Desta forma é obtido o erro de projeção de cada modelo para cada horizonte. Em seguida para cada série de erro é feito também um teste de Jarque-Bera, que não rejeita a hipótese nula de normalidade. Portanto, além de algumas estatísticas descritivas, é também calculado uma estatística 𝑡 para testar a hipótese nula de que a média dos erros de cada série é diferentes de zero, a Tabela 2 exibe os estes resultados.

O primeiro resultado que salta aos olhos é que a média dos erros de projeção utilizando o hiato via wavelets é o menor, enquanto a utilizando o hiato de Areosa se encontra sempre entre as outras duas e, consequentemente, a média dos erros utilizando o filtro HP é sempre a maior, para todos os horizontes de projeção. De fato, as únicas séries onde o teste 𝑡 rejeita a hipótese nula da média dos erros ser igual a zero são as séries dos erros de projeção 2, 3 e 4 meses à frente do modelo com filtro HP.

No entanto o desvio padrão erro de projeção utilizando o filtro HP é sempre o menor. Seu erro quadrático médio apresenta uma performance relativa parecida, mas é maior que do modelo utilizando wavelets para projeções 4 meses à frente. Curiosamente, para este horizonte de projeção, 4 trimestres à frente, o modelo utilizando wavelets apresenta resultados melhores que os outros modelos para praticamente todas as estatísticas.

16 _{Lembrando que esta série de PIB utilizada é uma janela de 64 trimestres devida a limitação da DWT em} trabalhar com tamanhos de amostra.

Tabela 2 – principais estatísticas dos erros de projeção fora da amostra Projeção 1 tri à frente Projeções 2 tri à frente

HP Areosa DWT HP Areosa DWT

média 0.17% 0.11% 0.06% 0.32% 0.19% 0.27%

média absoluta 0.32% 0.34% 0.39% 0.52% 0.54% 0.54% desvio padrão 0.43% 0.44% 0.53% 0.63% 0.74% 0.74% raíz do erro quadr. medio 0.44% 0.42% 0.50% 0.67% 0.71% 0.74% min -0.55% -0.56% -1.04% -0.79% -1.18% -1.23%

max 1.06% 0.94% 1.26% 1.44% 1.60% 1.82%

Estatística t para H0: μ = 0 1.78 1.08 0.50 2.28 1.14 1.61

Rejeita H0? Não Não Não Rejeita Não Não

Projeções 3 tri à frente Projeções 4 tri à frente

HP Areosa DWT HP Areosa DWT

média 0.57% 0.32% 0.26% 0.75% 0.41% 0.00%

média absoluta 0.65% 0.70% 0.65% 0.86% 0.94% 0.68% desvio padrão 0.70% 0.99% 0.88% 0.91% 1.36% 0.98% raíz do erro quadr. medio 0.84% 0.98% 0.86% 1.10% 1.32% 0.91% min -0.66% -1.47% -1.64% -1.04% -1.83% -1.81%

max 1.70% 2.63% 1.82% 2.48% 3.47% 1.85%

Estatística t para H0: μ = 0 3.60 1.46 1.30 3.68 1.34 -0.02

Capítulo VI – Conclusão

Wavelets são um uma técnica amplamente utilizada em outros campos, como engenharia por exemplo, mas ainda não entraram no mainstream dos estudos econômicos, a despeito de já terem tido algumas aplicações bem-sucedidas. Isto provavelmente se deve ao fato da sua técnica precursora, a transformada de Fourier, não ter sido tão utilizada quanto em outras ciências, apesar de ser possível apontar algumas aplicações de análise espectral em economia. Desta forma o presente trabalho tem como objetivo não só trazer um pouco da história desta técnica, passando brevemente pela evolução cronológica dela, mas também trazer em evidencia algumas de suas aplicações bem-sucedidas no campo econômico18 e desenvolver uma aplicação original voltada a economia brasileira.

Quanto a esta última, a curva de Phillips do modelo semiestrutural de pequeno porte do Banco Central utilizando uma medida de hiato via wavelets apresentou resultados de projeção fora da amostra significativamente melhor do que sua alternativa utilizando o tradicional filtro HP e também melhor, para horizontes de 3 e 4 trimestres à frente, do que a alternativa utilizando uma medida de hiato que incorpora alguma estrutura econômica. Cabe-se ressaltar que, assim como em Dowd, Cotter e Loh (2011), não foi feito um exercício de encontrar uma “wavelet ótima” para esta aplicação, ou seja, estes resultados provavelmente podem ser melhorados caso se escolha a base e técnica de wavelet mais apropriada a aplicação.

No entanto, como a DWT não é invariante por translação, a interpretação econômica da série que exerce a função do hiato do produto fica bastante complexa. A falta de interpretação econômica para esta série certamente é um obstáculo na utilização desta técnica para aplicações práticas, portanto trabalhos futuros poderiam investigar a aplicabilidade da MODWT neste caso, pois, apesar de perder a ortogonalidade da transformação, se passa a ter uma transformada invariante por translação, apesar de algum tratamento para o efeito de borda ser necessário, uma vez que o objetivo é fazer projeções fora da amostra.

18 _{Apresentadas no capítulo III.}

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APÊNDICE A – A evolução das três medidas de hiato

Neste apêndice se ilustra principalmente os efeitos da DWT não ser invariante por translação, por exemplo na série estimada de 1998 a 2013 o hiato no 1º trimestre de 2009 seria de -2,07% e na série estimada de 2000 a 2015 este ponto seria de +1,65%. A série do hiato Areosa começa a ser estimada sempre em 2003 pela disponibilidade dos dados.

-0,06 -0,05 -0,04 -0,03 -0,02 -0,01 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 mar-00 se t-00 mar-01 se t-01 mar-02 se t-0 2 mar-03 se t-03 mar-04 se t-04 mar-05 se t-05 mar-06 se t-06 mar-07 se t-07 mar-08 se t-08 mar-09 se t-09 mar-10 se t-10 mar -11 se t-11 mar-12 se t-12 mar-13 se t-13

Hiato HP, Areosa e DWT - Estimado de 1998 até 2013

hp.2013.IV aer.2013.IV dwt.2013.IV

-0,06 -0,05 -0,04 -0,03 -0,02 -0,01 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 mar-00 ou t-00 mai-01 dez-01 ju l-02 fev-03 set-03 ab r-04 n o v-04 ju n -05 jan -06 ag o -06 mar-07 ou t-07 mai-08 dez-08 ju l-09 fe v-10 se t-10 ab r-11 n o v-11 ju n -12 jan -13 ag o -13 mar-14 ou t-14

Hiato HP, Areosa e DWT - Estimado de 1999 até 2014

-0,06 -0,05 -0,04 -0,03 -0,02 -0,01 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 mar-00 ou t-00 mai-01 dez-01 ju l-02 fev-03 set-03 ab r-04 n o v-04 ju n -05 jan -06 ag o -06 mar -07 o u t-07 mai-08 dez-08 ju l-09 fe v-10 se t-10 ab r-11 n o v-11 ju n -12 jan -13 ag o -13 mar-14 ou t-14 mai-15 dez-15

Hiato HP, Areosa e DWT - Estimado de 2000 até 2015

hp.2015.IV aer.2015.IV dwt.2015.IV

-0,06 -0,05 -0,04 -0,03 -0,02 -0,01 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 mar-01 se t-01 mar-02 se t-02 mar-03 se t-03 mar -04 se t-04 mar-05 se t-05 mar-06 se t-06 mar-07 se t-07 mar-08 se t-08 mar-09 se t-09 mar-10 se t-10 mar-11 se t-11 mar-12 se t-12 mar-13 se t-13 mar-14 se t-1 4 mar-15 se t-15 mar-16 se t-1 6

Hiato HP, Areosa e DWT - Estimado de 2001 até 2016

APÊNDICE B – Os erros de projeção

Este apêndice tem como objetivo mostrar os erros de projeção fora da amostra dos três modelos.

-1,50% -1,00% -0,50% 0,00% 0,50% 1,00% 1,50%

Erro de projeção 1 trimestre à frente

HP AREOSA DWT -1,50% -1,00% -0,50% 0,00% 0,50% 1,00% 1,50% 2,00%

Erro de projeção 2 trimestres à frente

-2,00% -1,50% -1,00% -0,50% 0,00% 0,50% 1,00% 1,50% 2,00% 2,50% 3,00%

Erro de projeção 3 trimestres à frente

HP AREOSA DWT -2,00% -1,00% 0,00% 1,00% 2,00% 3,00% 4,00%

Erro de projeção 4 trimestres à frente

APÊNDICE C – Os erros absolutos de projeção

Este apêndice tem como objetivo mostrar os erros absolutos de projeção fora da amostra dos três modelos. 0,00% 0,20% 0,40% 0,60% 0,80% 1,00% 1,20% 1,40%

Erro absoluto de projeção 1 trimestre à frente

HP AROESA DWT 0,00% 0,20% 0,40% 0,60% 0,80% 1,00% 1,20% 1,40% 1,60% 1,80% 2,00%

Erro absoluto de projeção 2 trimestres à frente

0,00% 0,50% 1,00% 1,50% 2,00% 2,50% 3,00%

Erro absoluto de projeção 3 trimestres à frente

HP AROESA DWT 0,00% 0,50% 1,00% 1,50% 2,00% 2,50% 3,00% 3,50% 4,00%

Erro absoluto de projeção 4 trimestres à frente