Análise de Dependência nos Modelos de Controlo de Gestão

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Dependência nos

Modelos de Controlo

de Gestão

Rui Filipe Mendes Machado

Mestrado em Engenharia Matemática

Departamento de Matemática 2017

Orientadoras

Prof. Doutora Sandra Ramos, ISEP

Prof. Doutora Maria João Rodrigues, FCUP

Supervisor do estágio

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Todas as correções determinadas pelo júri, e só essas, foram efetuadas.

O Presidente do Júri,

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Introdução: O mercado global e competitivo atual exige, cada vez mais,

conhe-cimento, diferenciação e espírito empreendedor por parte das organizações. Na res-posta a estes desafios, as organizações recorrem, frequentemente, a modelos de gestão e de avaliação de desempenho baseados em orçamentos. Esta ferramenta requer um tempo excessivo na sua construção e revela pouca flexibilidade, impedindo estas organizações de se adaptarem num ambiente de mudança contínua. Há, por isso, que recorrer a outros instrumentos alternativos. A ferramenta de controlo Beyond Budgeting tem despertado um interesse crescente por parte das organizações, como alternativa aos tradicionais orçamentos. A execução desta ferramenta requer um sis-tema de previsão contínua (Rolling Forecast) de um conjunto de indicadores financei-ros (geralmente em forma de rácios), se possível de forma automática.

Trabalho: Este relatório apresenta as contribuição de um trabalho, desenvolvido

no grupo NORS, sobre previsão contínua de um conjunto de indicadores financeiros quantitativos considerados no processo de gestão do grupo. Foram aplicados vários métodos de previsão, nomeadamente o método de alisamento exponencial, método de Holt-Winters simples e robusto e modelos ARIMA, tendo a implementação computaci-onal destes métodos sido realizada de forma automática. É proposta uma metodologia para definir bandas de segurança para os indicadores.

Resultados: As previsões resultantes da execução dos diferentes métodos sobre

um histórico de dados reais foram combinadas de forma a obter um valor mais preciso para a previsão final. O modelo que se apresenta é superior ao usado atualmente na empresa, não só por apresentar menores erros de previsão, mas também por deter-minar o número de períodos ótimo a usar na mecanismo de previsão (em determinado sentido) de forma automática. Os valores das previsões foram usados na construção de bandas de segurança para desvios nos valores previstos por gestores do grupo para os diferentes indicadores, relativamente aos valores esperados aceitáveis para esses indicadores (obtidos pela previsão).

Palavras-chave: previsão contínua; modelos de previsão combinada, indicadores

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Background: The current market requires companies to provide innovative

ser-vices, quality, value-added and sustainability. In response to these challenges, the organisations now use budgets. This tool require excessive amount of time in their construction and is not very flexible, preventing organisations to adapt to the new th-resholds. Must be considered alternative tools and methods to tackle these problems. The Beyond Budgeting tool has drawn much attention from the organizations, as an alternative to traditional budgets. The implementation of this tool requires a rolling forecast mechanism and, if possible, in an automatic way.

Work: This report presents the contributions of a work developed in the NORS

group on continuous prediction of a set of financial indicators considered in the pro-cess of group management. Several prediction methods were applied, namely the exponential smoothing method, simple and robust Holt−Winters method and ARIMA models, and the computational implementation of these methods was performed au-tomatically. It is also proposed a methodology in order to obtain safety bands for the indicators.

Results: The forecasts resulting from the execution of the different methods on a

real data history were combined in order to obtain an accurate value for the final fore-cast. The model presented is superior to that currently used in the company, not only because it presents smaller prediction errors, but also because it determines the op-timal number of periods to be used in the forecasting mechanism (in a certain sense) automatically. The forecast values were used in the construction of safety bands for deviations in the values predicted by the managers of the group for the different indica-tors, in relation to the expected values acceptable for these indicators (obtained by the forecast).

Keywords: rolling forecast; combined forecasting models; financial indicators;

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Gostava de agradecer à minha orientadora, Prof.Sandra Ramos do ISEP por todo o apoio prestado durante o período de estágio e durante o período de elaboração desta dissertação.

Agradeço também ao meu orientador da empresa, Dr.António Lopes e sua equipa por todo o material disponibilizado e formação na área.

Por fim gostava de agradecer ao meu pai e a todos os meus amigos que nunca me deixaram desistir e puxaram sempre por mim.

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Conteúdo

1 Introdução 1 1.1 Enquadramento . . . 1 1.2 Objetivos . . . 2 1.3 Organização da dissertação . . . 4 1.4 Software . . . 5 2 Conceitos Fundamentais 7 2.1 Métodos de Previsão . . . 7 2.1.1 Médias Móveis . . . 8

2.1.2 Alisamento Exponencial Simples . . . 8

2.1.3 Alisamento Exponencial de Holt . . . 10

2.1.4 Alisamento Exponencial de Holt-Winters . . . 11

2.1.4.1 Padrão sazonal multiplicativo . . . 11

2.1.4.2 Padrão sazonal aditivo . . . 12

2.1.5 Métodos com tendência amortecida . . . 12

2.1.6 Alisamento Exponencial Robusto . . . 13

2.1.7 ARIMA . . . 15

2.1.7.1 Estacionariedade e diferenciação . . . 15

2.1.7.2 Modelos Autorregressivos . . . 16

2.1.7.3 Modelos de Médias Móveis . . . 16

2.1.7.4 Modelos ARIMA não sazonais . . . 16

2.1.7.5 Estimação de Máxima Verosimilhança . . . 17

2.1.7.6 Critérios de informação . . . 17

2.2 Avaliação do erro de previsão . . . 18

2.3 Intervalos de confiança para a previsão . . . 19

3 Aspetos Computacionais 21 3.1 Método de previsão combinado . . . 21

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Análise de dependência nos modelos de controlo de gestão

3.3 Construção das bandas de segurança . . . 24

4 Resultados 27 4.1 Dados . . . 27

4.1.1 Indicadores económicos e financeiros . . . 27

4.2 Previsões . . . 28

4.2.1 Resultados métodos individuais . . . 28

4.2.2 Resultados do método combinado . . . 31

4.3 Seleção do período ótimo . . . 34

4.4 Bandas de segurança . . . 36

4.5 Comparação com o método existente de obtenção de bandas . . . 39

5 Conclusões e Trabalho Futuro 41 Referências Bibliográficas 44 A Lista de indicadores 45 B Código em linguagem R 49

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Lista de Figuras

1.1 Cronograma do indicador X para o período de 2 anos (linha azul), previ-são do gestor (linha amarela) e tendência prevista com base na média de 20 períodos (linha preta a tracejado). As bandas de segurança, re-presentadas a cor cinzenta, foram obtidas para k = 1.2. . . 3 1.2 Cronograma do indicador X para o período de 2 anos (linha azul),

previ-são do gestor (linha amarela) e tendência prevista com base na média de 20 períodos (linha preta a tracejado). As bandas de segurança, re-presentadas a cor cinzenta, foram obtidas para k = 2.0. . . 4 4.1 Excerto da tabela de dados usados no trabalho. . . 27 4.2 Histórico e previsões a 15 meses obtidas com os diferentes métodos

para o indicador Mercado. O gráfico da direita considerou um histórico de 2 anos e o da esquerda um histórico de 3 anos. A verde está a previsão do gestor. . . 29 4.3 Histórico e previsões a 15 meses obtidas com os diferentes métodos

para o indicador Unidades Vendidas. O gráfico da direita considerou um histórico de 2 anos e o da esquerda um histórico de 3 anos. A verde está a previsão do gestor. . . 29 4.4 Histórico e previsões a 15 meses obtidas com os diferentes métodos

para o indicador Vendas Comercias. O gráfico da direita considerou um histórico de 2 anos e o da esquerda um histórico de 3 anos. A verde está a previsão do gestor. . . 30 4.5 Histórico e previsões a 15 meses obtidas com os diferentes métodos

para o indicador EBITDA. O gráfico da direita considerou um histórico de 2 anos e o da esquerda um histórico de 3 anos. A verde está a previsão do gestor. . . 30

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4.6 Histórico e previsões a 15 meses obtidas pelo método combinado para o indicador Mercado. O gráfico da direita considerou um histórico de 2 anos e o da esquerda um histórico de 3 anos. A verde está a previsão do gestor. . . 32 4.7 Histórico e previsões a 15 meses obtidas pelo método combinado para

o indicador Unidades Vendidas. O gráfico da direita considerou um his-tórico de 2 anos e o da esquerda um hishis-tórico de 3 anos. A verde está a previsão do gestor. . . 32 4.8 Histórico e previsões a 15 meses obtidas pelo método combinado para

o indicador Vendas Comerciais. O gráfico da direita considerou um his-tórico de 2 anos e o da esquerda um hishis-tórico de 3 anos. A verde está a previsão do gestor. . . 33 4.9 Histórico e previsões a 15 meses obtidas pelo método combinado para

o indicador EBITDA. O gráfico da direita considerou um histórico de 2 anos e o da esquerda um histórico de 3 anos. A verde está a previsão do gestor. . . 33 4.10 Previsão do indicador de Mercado usando o período ótimo . . . 35 4.11 Previsão do indicador de Unidades Vendidas usando o período ótimo . 35 4.12 Previsão do indicador de Vendas Comerciais usando o período ótimo . 35 4.13 Previsão do indicador de EBITDA usando o período ótimo . . . 36 4.14 Previsão do indicador de Mercado usando o período ótimo e intervalo

de confiança. . . 37 4.15 Previsão do indicador de Unidades Vendidas usando o período ótimo e

intervalo de confiança. . . 37 4.16 Previsão do indicador de Vendas Comerciais usando o período ótimo e

intervalo de confiança. . . 38 4.17 Previsão do indicador de EBITDA usando o período ótimo e intervalo de

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Lista de Algoritmos

1 Previsão combinada de k métodos de previsão . . . 22 2 Seleção do número de períodos ótimo. . . 23 3 Construção das bandas de segurança. . . 24

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Lista de Tabelas

4.1 Tabela de erros dos métodos individuais usando o REQM . . . 31 4.2 Tabela de erros do método combinado e melhor individual usando a

REQM . . . 34 4.3 Tabela de erros do método combinado com período ótimo usando o

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Capítulo 1

Introdução

1.1 Enquadramento

A noção de orçamento, hoje largamente divulgada, surgiu inicialmente no setor público e só depois foi aplicada às organizações. Neste setor, o orçamento é visto como um documento contabilístico onde são previstas e dimensionadas todas as re-ceitas a cobrar e todas as despesas autorizadas a pagar num determinado período de tempo, que geralmente é de um ano. Excetuando raras situações protegidas por lei, os montantes fixados por orçamento, não podem ser alterados [Moita da Costa, 2007] .

Ainda segundo Moita da Costa [Moita da Costa, 2007], nas organizações, o orça-mento é uma ferramenta de ação e de coordenação ao serviço dos responsáveis na tentativa de atingirem os objetivos traçados para o período de tempo. Assim, o orça-mento, enquanto instrumento financeiro, é a tradução monetária dos planos de ação para o curto prazo e um instrumento fundamental de equilíbrio entre o curto e o longo prazo.

Antecipar e prever o que pode acontecer é entrar no domínio da incerteza, pelo que os montantes projetados no orçamento para um determinado período desviam-se, frequentemente, dos montantes efetivamente realizados. Daí a ineficiência do orçamento inicial. Embora a literatura refira 5 principais objetivos aquando a elabora-ção de orçamentos – motivaelabora-ção, coordenaelabora-ção, definielabora-ção de políticas, descentralizaelabora-ção e controlo (veja-se, por exemplo, [Hope, J. & R. Fraser, 2003a, Moita da Costa, 2007, Jordan et al., 2005]) – estes têm interesse para fins de planeamento, mas muito pouco para avaliar o desempenho da organização. Para executar uma análise do desempe-nho é necessário adaptar os dados previstos às quantidades efetivamente executadas. Cairia-se no erro de comparar realidades distintas, caso tal ajustamento não

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cesse. Justifica-se, assim, a necessidade de recorrer a instrumentos que permitam a análise rigorosa do desempenho da organização.

Tendo presente os novos paradigmas de gestão, foi com naturalidade que come-çaram a surgir novos instrumentos de avaliação de desempenho e de gestão es-tratégica. De entre vários instrumentos, destaca-se o modelo Além do Orçamento, adiante representado por AO ∗_{. Este modelo, desenvolvido, no final de 1997 e}

iní-cio do ano 1998, por um grupo de organizações e pessoas singulares interessadas numa gestão baseada em orçamentos flexíveis e adaptáveis à realidade em cons-tante mudança, tem vindo a dar cartas como instrumento de gestão de desempe-nho para um sistema de gestão estratégica ([Cohen, D., 2002]). Na sua essência, este modelo é um modelo de gestão alternativo com maior descentralização e fle-xibilidade. O método AO baseia-se num conjunto de filosofias que levam a proces-sos mais flexíveis, tornando as empresas mais adaptáveis. Para detalhes relaciona-dos com esta ferramenta vejam-se, por exemplo, as referências [Bogsnes, B., 2003, Hope, J. & R. Fraser, 2003b, Neely, A. et al., 2003].

Entre as organizações, no âmbito mundial, que utilizam esta nova ferramenta de gestão, destacam-se, o banco sueco Handelsbanken e a petroquímica dinamarquesa Borealis. As organizações Volvo, SKF, Boots, Ericsson, Scania, Tetra Park, entre ou-tras, também não utilizam orçamentos no seu processo de gestão. Atualmente, o grupo NORS é uma dessas organizações.

O grupo NORS teve início em 1933. Hoje está nos mercados principais. Da Europa a África, do Brasil aos Estados Unidos. É uma organização multinacional que possui diversos negócios, maioritariamente, no setor de transportes e de equipamentos de construção. As empresas e marcas de maior expressão neste grupo são, entre outros, a AutoSueco, Ascendum, ASParts e Civiparts. O grupo iniciou a sua atividade, através de relações com a marca sueca de automóveis Volvo e, a partir desse momento, a ligação foi-se fortalecendo, alcançando o sucesso mundial. A visão do grupo é ser líder mundial no ramo de transportes e de equipamentos de construção, tendo sempre ambição para crescer positivamente, estabelecendo confiança com os seus clientes pelo mundo.

1.2 Objetivos

No controlo do desempenho de uma organização, o modelo AO considera, para além de outras especificidades, a previsão contínua de valores de um conjunto de

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indicadores económico-financeiros. Essa previsão é utilizada na construção de ban-das de segurança que têm como objetivo a identificação de desvios significativos nos valores previstos para os indicadores pelo gestor do negócio relativamente a uma ten-dência prevista.

A metodologia atualmente implementada considera uma previsão baseada na mé-dia de n períodos e obtém bandas de segurança a partir da expressão: ¯x ± v × k , onde

¯

x representa o valor médio do indicador nos n períodos, v é uma medida de variabili-dade e k é um fator multiplicativo. Tanto o valor de n, como o valor de k são escolhidos pelo perito responsável pela execução do modelo AO com base no seu conhecimento do negócio e no comportamento temporal do indicador. Ora, esta solução exige que, periodicamente†_{, disponha do seu tempo para executar esta tarefa. A escolha do valor}

do parâmetro k é também uma questão sensível. As duas figuras seguintes mostram, para além de outra informação, as bandas de segurança para dois valores de k di-ferentes: k = 1.2 e k = 2.0. No primeiro caso, Figura 1.1, as previsões do gestor, representadas a amarelo, excedem as bandas enquanto que no segundo caso, Figura 1.2 tal não acontece considerando-se que, neste último caso, não existem desvios nos valores previstos pelo gestor relativamente à tendência prevista.

124 0 50 100 150 200 250 300 350 400 2014. 09 2014. 10 2014. 11 2014. 12 2015. 01 2015. 02 2015. 03 2015. 04 2015. 05 2015. 06 2015. 07 2015. 08 2015. 09 2015. 10 2015. 11 2015. 12 2016. 01 2016. 02 2016. 03 2016. 04 2016. 05 2016. 06 2016. 07 2016. 08 2016. 09 2016. 10 2016. 11 2016. 12 2017. 01 2017. 02 2017. 03 2017. 04 2017. 05 2017. 06 2017. 07 2017. 08 2017. 09 2017. 10 2017. 11

Figura 1.1: Cronograma do indicador X para o período de 2 anos (linha azul), previsão do gestor (linha amarela) e tendência prevista com base na média de 20 períodos (linha preta a tracejado). As bandas de segurança, representadas a cor cinzenta, foram obtidas para k = 1.2.

†_{Varia consoante a organização. No caso da Nors é feita mensalmente para um período de 15} meses.

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124 0 50 100 150 200 250 300 350 400 2014. 09 2014. 10 2014. 11 2014. 12 2015. 01 2015. 02 2015. 03 2015. 04 2015. 05 2015. 06 2015. 07 2015. 08 2015. 09 2015. 10 2015. 11 2015. 12 2016. 01 2016. 02 2016. 03 2016. 04 2016. 05 2016. 06 2016. 07 2016. 08 2016. 09 2016. 10 2016. 11 2016. 12 2017. 01 2017. 02 2017. 03 2017. 04 2017. 05 2017. 06 2017. 07 2017. 08 2017. 09 2017. 10 2017. 11

Figura 1.2: Cronograma do indicador X para o período de 2 anos (linha azul), previsão do gestor (linha amarela) e tendência prevista com base na média de 20 períodos (linha preta a tracejado). As bandas de segurança, representadas a cor cinzenta, foram obtidas para k = 2.0.

Este trabalho surgiu na tentativa de se desenvolver uma metodologia de previsão automática para um conjunto de indicadores económico-financeiros e a definição das respetivas bandas de segurança também de forma automática. Os objetivos deste trabalho são então os seguintes:

1. Identificar o período de tempo ótimo a considerar na previsão dos valores dos indicadores;

2. Implementar diferentes métodos de previsão para prever os valores dos indica-dores;

3. Propor expressões para as bandas de segurança;

4. Implementar a metodologia, de forma automática, em ambiente R.

1.3 Organização da dissertação

Para além deste capítulo que faz uma introdução ao problema tratado, apresenta os objetivos da dissertação e introduz o software utilizado no estudo de simulação, este documento conta com mais 4 capítulos, estruturados da seguinte forma:

O Capítulo 2 apresenta os conceitos fundamentais que serviram, grosso modo,

de base ao desenvolvimento deste trabalho. Não se pretende, de modo algum, uma descrição completa e exaustiva de todos os métodos, mas apresentar o detalhe ne-cessário ao bom entendimento dos métodos considerados.

O Capítulo 3 apresenta os aspetos técnicos relacionados com a implementação

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para identificar o número de períodos ótimo a considerar na previsão e para imple-mentar as bandas de segurança propostas.

OCapitulo 4 apresenta as contribuições mais importantes do trabalho. Inicia com

uma descrição dos indicadores e dados considerados no estudo, seguindo-se a apre-sentação dos resultados dos métodos de previsão implementados. As bandas de se-gurança propostas são também apresentadas e o seu desempenho comparado com o desempenho da metodologia atual da empresa.

OCapitulo 5 dedica-se então às conclusões obtidas sobre o trabalho desenvolvido

e apresenta algumas considerações sobre possibilidades de trabalho futuro.

1.4 Software

O trabalho computacional necessário neste trabalho foi, essencialmente, desen-volvido na linguagem R ([R Development Core Team, 2008]), por se tratar de uma lin-guagem de programação em código aberto e gratuito. O R, para além de ser uma linguagem, é também um ambiente de desenvolvimento integrado para cálculos esta-tísticos e produção de gráficos. O R, obtido no sítio https://www.r-project.org/, é constituído por um módulo base e várias bibliotecas opcionais o que o torna altamente expansível. Atualmente, o R é uma das linguagens de programação para análises es-tatísticas que mais cresce no mundo com perspetivas de continuar a crescer.

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Capítulo 2

Conceitos Fundamentais

Este capítulo apresenta uma breve revisão dos conceitos fundamentais que servi-ram, grosso modo, de base à realização deste trabalho. Inicia-se a revisão com uma descrição dos métodos de previsão considerados no âmbito deste trabalho, seguindo-se a apreseguindo-sentação de algumas ferramentas de avaliação da qualidade das previsões e, por último, apresentam-se as expressões que permitem obter intervalos de confiança para as previsões.

2.1 Métodos de Previsão

A maioria dos métodos de previsão baseia-se na ideia de que as observações passadas contêm informações sobre o padrão de comportamento da série. O propó-sito dos métodos é distinguir o padrão de qualquer ruído que possa estar contido nas observações e então usar esse padrão para prever valores futuros.

Definição 1. Uma série temporal é um conjunto de observações ordenadas no tempo.

Os modelos utilizados para descrever séries temporais são processos estocásticos, isto é, processos controlados por leis probabilísticas.

Temos na literatura um número muito grande de modelos diferentes para descrever o comportamento de uma série particular. A construção destes modelos depende de vários fatores, tais como o comportamento do fenômeno ou o conhecimento a priori que temos de sua natureza e do objetivo da análise.

Uma grande classe de métodos de previsão que tentam tratar as causas de flutu-ações em séries temporais(a sazonalidade e as variflutu-ações cíclicas ), são os métodos de alisamento exponencial. Técnicas deste tipo assumem que os valores extremos

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8 FCUP

da série representam a aleatoriedade e, assim, através do alisamento desses extre-mos, pode-se identificar o padrão. Estes métodos possuem uma grande popularidade devido à sua simplicidade, eficiência computacional e razoáveis previsões.

A descrição dos métodos de previsão estudados e apresentada em seguida segue, com as devidas adaptações, a descrição apresentada em [Caiado, J., 2016].

2.1.1 Médias Móveis

O método de Médias Móveis é um método adequado para avaliar a tendência de uma série temporal, X1, X2, ... ,Xt, e é muito sensível a alterações de comportamento.

As previsões são baseadas na média aritmética das n observações presentes e pas-sadas mais recentes e são constantes para todo o horizonte temporal:

ˆ Xt+h = 1 n t X i=t−n+1 Xi, h = 1, 2, ..., (2.1)

sendo ˆXt+h a previsão no instante t + h, t a origem da previsão e h o horizonte de

previsão.

Este método tem como principal limitação o facto de produzir previsões constantes para todo o horizonte temporal. Quando a série apresenta tendência, deve evitar-se o uso destes métodos.

2.1.2 Alisamento Exponencial Simples

Os métodos de Alisamento Exponencial foram introduzidos por Robert G. Brown em 1944, no campo das operações militares da II Guerra Mundial, quando este foi contratado para desenvolver modelos matemáticos de controlo de incêndios em sub-marinos. O termo "alisamento exponencial"significa que as combinações ponderadas das observações são exponencialmente decrescentes com a antiguidade dessas ob-servações. Nesta secção apresenta-se o método de Alisamento Exponencial Simples e nas duas secções seguintes são apresentadas a versão de Holt e a de Holt-Winters. O Alisamento Exponencial Simples, também chamado de Alisamento Exponencial Único, é adequado para os casos em que a série temporal não apresenta tendência ou sazonalidade.

Considere-se então uma série de dados observados até ao instante t − 1. Seja Xt

o valor da série no instante t e ˆXt a previsão obtida nesse mesmo instante. Caso o

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Xt − ˆXt. (2.2)

Para obter estimativas dos valores futuros da série, o método Alisamento Exponen-cial Simples utiliza a última previsão adicionada do erro associado:

ˆ

Xt+1 = ˆXt + α(Xt − ˆXt), (2.3)

onde α é uma constante de alisamento que varia entre 0 e 1. Se o valor de α for próximo de 1, o efeito provocado pelo erro de previsão é maior, ou seja quanto menor for o valor de α, maior é a intensidade do alisamento.

A equação 2.3 pode ser reescrita como: ˆ

Xt+1 = αXt + (1 − α) ˆXt. (2.4)

Este estimador é equivalente à utilização de uma média móvel ponderada de todas as observações com pesos exponencialmente decrescentes:

ˆ

Xt+1= αXt + α(1 − α)Xt−1+ α(1 − α)2Xt−2+ ...

A principal desvantagem deste método é que por utilizar apenas o último valor observado da série e a respetiva previsão, as previsões para horizontes maiores são constantes, isto é,

ˆ

Xt+h = ˆXt, ∀h. (2.5)

O valor de α determina a rapidez com que a informação passada é descontada. Valores baixos de α correspondem a desconto de forma lenta da informação passada, enquanto que valores elevados de α correspondem a descontos rápidos da informação passada. O valor desta constante de alisamento pode ser fixado pelo utilizador tendo em consideração as características da série, ou, em alternativa, escolhido através da minimização de uma métrica de erro de previsão dentro da amostra.

A inicialização deste método passa por definir um valor inicial para o nível da série na origem, ˆXt. Esse valor inicial poderá ser o valor da primeira observação disponível

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10 FCUP

2.1.3 Alisamento Exponencial de Holt

O método Alisamento Exponencial de Holt, ou apenas método de Holt, é adequado para prever séries com tendência linear e sem movimentos sazonais. Este método considera as seguintes equações de atualização:

Nt = αXt + (1 − α)(Nt−1+ Tt−1). (2.6)

Tt = β(Nt − Nt−1) + (1 − β)Tt−1. (2.7)

ˆ

Xt+h= Nt + h × Tt, ∀h. (2.8)

Nas expressões anteriores: Nt é a componente de nível; Tt é a componente de

tendência; h é o horizonte de previsão; ˆXt+h é a previsão a h períodos de tempo;

α (0<α<1) é uma constante de suavização de Nt; β (0<β<1) é uma constante de

suavização de Tt.

A inicialização do processo de previsão requer a especificação de valores iniciais para nível e para a tendência, Nt e Tt. Na prática, é frequente considerar um dos

seguintes métodos:

• Método das médias móveis: Estimar o declive da série através de : T1=

¯ X2− ¯X1

k , (2.9)

onde ¯X1 representa a média das primeiras k observações e ¯X2 a média das k

observações seguintes, e utilizar este declive para obter a estimativa do nível da série:

N1= ¯X1− T1∗

k + 1

2 . (2.10)

• Método de regressão: Efetuar a regressão linear das primeiras k observações da série: ˆXt = N1+ T1t

Quanto aos valores para as constantes de alisamento, α e β, podem ser fixados pelo utilizador ou fixados por minimização de uma função dos erros de previsão a um passo dentro da amostra.

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2.1.4 Alisamento Exponencial de Holt-Winters

O método Alisamento Exponencial de Holt-Winters é apropriado para séries que apresentam tendência linear e componente sazonal. Os fatores sazonais podem ser estimados com recurso ao princípio recursivo anteriormente apresentado. Como os padrões sazonais podem ser considerados aditivos ou multiplicativos, apresentam-se de seguida as duas variantes.

2.1.4.1 Padrão sazonal multiplicativo

Na sua forma multiplicativa, o método Alisamento Exponencial de Holt-Winters é definido pelas equações:

Nt = α Xt St−m + (1 − α)(Nt−1+ Tt−1), 0 < α < 1, (2.11) Tt = β(Nt + Nt−1) + (1 − β)Tt−1, 0 < β < 1, (2.12) St = γ Xt Nt + (1 − γ)St−m, 0 < γ < 1, (2.13)

onde Nt, Tt e St representam as expressões do nível, da tendência e da

sazonali-dade, respetivamente. O parâmetro m representa o comprimento da sazonalidade. As previsões a h passos à frente são obtidas através da expressão:

ˆ

Xt+h = (Nt + St × h) × St+h−m, h = 1, 2, ... . (2.14)

Para inicializar o nível, calcula-se a média das primeiras m observações:

Nm = 1 m m X t=1 Xt.

Para inicializar o valor da Tendência, utiliza-se a expressão:

Tm = 1 m2 2m X t=m+1 Xt − m X t=1 Xt ! . E por último, os primeiros índices sazonais são obtidos por

(28)

12 FCUP

Também aqui, a escolha ótima das constantes de alisamento é feita com auxílio de um método de otimização, minimizando-se uma função de erro dentro da amostra.

2.1.4.2 Padrão sazonal aditivo

O método Alisamento Exponencial de Holt-Winters na sua forma aditiva, é definido pelas equações:

Nt = α (Xt − St−m) + (1 − α)[Nt−1+ Tt−1], 0 < α < 1, (2.15)

Tt = β[Nt + Nt−1] + (1 − β)Tt−1, 0 < β < 1, (2.16)

St = γ [Xt − Nt] + (1 − γ)St−m, 0 < γ < 1, (2.17)

onde Nt, Tt e St representam as expressões do nível, do declive e do índice

sazo-nal, respetivamente e m é o comprimento da sazonalidade.

As previsões a h passos à frente são obtidas através da função: ˆ

Xt+h = [Nt + Tt × h] + St+h−m, h = 1, 2, ... . (2.18)

A inicialização é igual ao método multiplicativo, executando os índices sazonais, cujos valores iniciais são obtidos por

S1 = X1− Nm, S2 = X2− Nm, · · · , Sm = Xm− Nm.

2.1.5 Métodos com tendência amortecida

Em situações empíricas de aplicação, verificou-se que as previsões lineares for-necidas pelos métodos de Holt e Holt-Winters tendiam para a sobrestimação com o aumento do horizonte da previsão. Por exemplo, as vendas semanais (em unidades) podem mostrar uma tendência crescente, mas as vendas não crescerão até o infinito. Aqui, um modelo com tendência amortecida poderá ser uma boa solução. Gardner e McKenzie ([Gardner Jr., E.S. & McKenzie, E., 1985]) sugeriram a introdução de um parâmetro adicional que modera a extrapolação quando o horizonte aumenta. A "mo-deração"da extrapolação é feita através da introdução de um parâmetro φ ∈ [0, 1] na função de previsão linear (tendência). As expressões do método de Holt com tendên-cia amortecida são:

(29)

ˆ Xt+h = Nt + h × Tt h X j=1 φj. (2.19) Nt = αXt + (1 − α)(Nt−1+ φTt−1). (2.20) Tt = β(Nt − Nt−1) + (1 − β)φTt−1. (2.21)

Também aqui, a escolha ótima das constantes de alisamento (α, β, φ) é feita com auxílio de um método de otimização, minimizando-se uma função de erro dentro da amostra.

A generalização dos restantes métodos apresentados para o caso de tendência amortecida é similar à apresentada para o método de Holt, pelo que, e por questões de limitação no número de páginas, não se apresentam aqui as expressões.

2.1.6 Alisamento Exponencial Robusto

Apesar das boas características dos métodos de alisamento exponencial já apre-sentados, estes nem sempre produzem bons resultados. Um exemplo onde, geral-mente, estes métodos não apresentam bom desempenho corresponde à previsão de séries temporais univariadas com valores atípicos ou outliers na literatura em Inglês.

Uma observação tem uma influência ilimitada em cada previsão subsequente. A estimação dos parâmetros de suavização também é afetada pela presença de outli-ers, pois estes são, geralmente, estimados pela minimização de uma soma de qua-drados e erros de previsão. Têm sido feitos esforços no sentido de tornar os méto-dos de alisamento exponencial robustos. Sarah Gelper e companheiros, no trabalho [Gelper, S. et al., 2010], adaptaram o método de alisamento exponencial e o método de Holt-Winters de forma a estes serem capazes de lidar com séries com valores atípicos. Em 2016, Crevits e Croux ([Crevits R. & Croux C., 2016]) propuseram uma extensão dos métodos robustos apresentados em [Gelper, S. et al., 2010] e disponi-bilizaram o código que implementa essa extensão numa biblioteca da linguagem R designada robets ([Crevits R. et al., 2017]).

Em seguida, apresenta-se uma pequena revisão sobre o método robusto imple-mentado na biblioteca robets. A ideia principal do método robusto passa pela exe-cução do mecanismo iterativo apresentado para cada um dos métodos, não sobre os dados originais, mas sobre os dados pré-processados. Os autores do trabalho [Crevits R. et al., 2017] começam por executar as equações de previsão sobre dados

(30)

14 FCUP

pré-processados, chamando-lhe equações de previsão robustas. Em seguida, apre-sentam uma forma de estimar os parâmetros de suavização. Estas estimativas são a solução de um problema de otimização resolvido numericamente. Os valores iniciais são muito importantes para ter uma solução próxima do ótimo global. Portanto, os autores mostram como selecionar os valores iniciais.

Para cada variante dos métodos de alisamento exponencial considerados, as equa-ções de previsão são tornadas robustas substituindo cada observação Xt por uma sua

versão "limpa", ˆXt∗. Se o erro de previsão a um passo |Xt− ˆXt∗| exceder o limiar ˆσt× k ,

essa observação é considerada um outlier. A quantidade ˆσt representa a variabilidade

do erro de previsão a um passo. Os autores escolheram o valor 3 para k . Uma ob-servação classificada como outlier é substituída por uma obob-servação "limpa"e dada por: X_t∗ = ψ Xt − ˆXt ˆ σt ! ˆ σt + ˆXt, (2.22)

onde ψ(.) represente a função de Huber:

ψ(x ) =    x : |x| < k k × sgn(x ) : |x | ≥ k .

A função sgn(.) é a função sinal que retorna o sinal do número real. Ou seja

sgn x =        −1 : x < 0 0 : x = 0 1 : x > 0.

No que respeita aos parâmetros a estimar, que são θ = (α, β, φ, γ), os autores de [Crevits R. et al., 2017] proposeram uma euristica para otimizar os valores desses parâmetros. Dependendo do modelo a ser estimado, os parâmetros de tendência (amortecida) (φ, β) ou de sazonalidade (γ) não são incluídos em θ. Para o caso de erros multiplicativos, o estimador de θ é dado por

ˆ θ = argmin θ S2 T(θ) T T X t=1 ρ Xt − ˆXt(θ) ˆ Xt(θ)ST(θ) ! , (2.23) com ST(θ) = 1.4826 mediana Xt − ˆXt(θ) ˆ Xt(θ)

(31)

e ρ(.) é função Biweight .

2.1.7 ARIMA

Os modelos ARIMA∗ fornecem outra abordagem para a previsão de séries tem-porais. Os modelos de alisamento exponencial e ARIMA são as duas abordagens mais utilizadas para a previsão de séries temporais e fornecem abordagens comple-mentares para o problema. Enquanto os modelos de suavização exponencial foram baseados em uma descrição da tendência e sazonalidade nos dados, os modelos ARIMA visam descrever as autocorrelações nos dados.

Antes de apresentar os modelos ARIMA, é importante discutir o conceito de esta-cionaridade e a técnica diferenciadora de séries temporais.

2.1.7.1 Estacionariedade e diferenciação

Uma série temporal estacionária é aquela cujas propriedades não dependem do tempo em que a série é observada. Portanto, as séries temporais com tendências, ou com sazonalidade, não são estacionárias - a tendência e a sazonalidade afetarão o valor da série temporal em diferentes vezes. Por outro lado, uma série do tipo ruído branco† é estacionária - não importa quando é observada, deve parecer muito igual em qualquer período de tempo.

Alguns casos podem ser confusos - uma série temporal com comportamento cíclico (mas não tendência ou sazonalidade) é estacionária. Isso ocorre porque os ciclos não são de comprimento fixo, então, antes de observar a série, não podemos ter certeza de onde os picos e os vales dos ciclos serão.

À diferença entre valores consecutivos de uma série temporal, chamamos série diferenciada e pode ser escrita como,

Xt0 = Xt − Xt−1

Transformações como logaritmos podem ajudar a estabilizar a variância de uma série temporal. A diferenciação pode ajudar a estabilizar a média de uma série tempo-ral, removendo as mudanças no nível de uma série temporal e eliminando a tendência e a sazonalidade.

∗_{Sigla em Inglês de Autoregressive Integrated Moving Average.}

†_{Série aleatória que resulta de oscilações aleatórias em torno de um determinado valor designado,} geralmente, de nível

(32)

16 FCUP

Além de analisar o gráfico dos dados ao longo do tempo (cronograma), o gráfico da Funcão de Autocorrelação (ACF) também é útil para identificar séries temporais não estacionárias. Para uma série temporal estacionária, a ACF irá cair para zero rapidamente, enquanto o ACF de dados não estacionários decai lentamente.

2.1.7.2 Modelos Autorregressivos

Num modelo de regressão múltipla, prevemos a variável de interesse usando uma combinação linear de preditores. Num modelo de autoregressão, prevemos a variável de interesse usando uma combinação linear de valores passados da variável. O termo "autorregressão"indica que é uma regressão da variável contra si mesma.

Assim, um modelo autorregressivo de ordem p pode ser escrito como

Xt = c + φ1Xt−1+ φ2Xt−2+ · · · + φpXt−p+ et (2.24)

onde c é uma constante e et é ruído branco. Este modelo é representado

simboli-camente por modelo AR(p).

Os modelos autoregressivos são notavelmente flexíveis no tratamento de uma am-pla gama de diferentes padrões de séries temporais. Normalmente, restringe-se mo-delos autoregressivos a dados estacionários e, em seguida, são necessárias algumas restrições sobre os valores dos parâmetros.

• Para um modelo AR(1): −1 < φ1 <1

• Para um modelo AR(2): −1 < φ2 <1, φ1+ φ2<1, φ2− φ1<1

Quando p ≥ 3 as restrições são muito mais complicadas. No R essas restrições são resolvidas durante a estimação do modelo.

2.1.7.3 Modelos de Médias Móveis

Em vez de usar valores passados a variável de previsão numa regressão, um mo-delo de média móvel usa erros de previsão passados num momo-delo de regressão.

Xt = c + et + θ1et−1+ θ2et−2+ · · · + θqet−q,

onde et é ruído branco. Este modelo é denominado por modelo MA(q).

2.1.7.4 Modelos ARIMA não sazonais

Se combinarmos diferenciação com autoregressão e modelo de média móvel, ob-temos um modelo ARIMA não sazonal. ARIMA é um acrônimo para o modelo

(33)

Auto-Regressivo Integrado Médias Móveis ("integração"neste contexto é o inverso da dife-renciação). O modelo completo pode ser escrito como

Xt = c + φ1X

0

t−1+ · · · + φpX

0

t−p+ θ1et−1+ · · · + θqet−q+ et, (2.25)

onde X_t0 é a série diferenciada(pode ter de ser diferenciada mais do que uma vez).Os preditores no lado direito incluem tanto os valores atrasados de Xt como os

erros atrasados. È chamado de modelo ARIMA(p, d , q), onde p = ordem da parte autoregressiva;

d = grau da primeira diferenciação; q = ordem da parte de médias móveis.

2.1.7.5 Estimação de Máxima Verosimilhança

Uma vez que a ordem do modelo tenha sido identificada (isto é, os valores de p, d e q), é necessário estimar os parâmetros c, φ1, · · · , φp, θ1, · · · , θq. Quando se

re-corre ao programa R para estimar o modelo ARIMA, é usado o método de máxima verosimilhança (EMV). Esta técnica encontra os valores dos parâmetros que maximi-zam a probabilidade de obter os dados que observamos. Para os modelos ARIMA, o EMV é muito semelhante às estimativas de mínimos quadrados que seriam obtidas minimizando T X t=1 e2_t .

Na prática, o R reportará o logaritmo da probabilidade dos dados observados pro-venientes do modelo estimado. Para valores dados de p, d e q, o R tentará maximizar a probabilidade do logaritmo ao encontrar estimativas de parâmetros.

2.1.7.6 Critérios de informação

Critério de informação de Akaike(AIC), que é útil na seleção de preditores de re-gressão, também é útil para determinar a ordem de um modelo ARIMA. Pode ser escrito como

AIC = −2log(L) + 2(p + q + k + 1),

onde L é a probabilidade dos dados (verosimilhança), k = 1 se c 6= 0 e k = 0 se c = 0.

(34)

18 FCUP

AICc = AIC +

2(p + q + k + 1)(p + q + k + 2) T − p − q − k − 2 e o Critério de Informação Bayesiano pode ser escrito como

BIC = AIC + (log(T ) − 2)(p + q + k + 1). Bons modelos são obtidos minimizando quer o AIC, AICc ou BIC.

2.2 Avaliação do erro de previsão

Para avaliação dos diferentes métodos de previsão é necessário comparar o valor Xt conhecido e o valor predito pelo modelo, ou seja, ˆXt. Os critérios mais usados são

baseados nas funções:

• Erro Quadrático Médio (EQM) que traduz os desvios ao quadrado entre os valores observados e as previsões para os instantes 1, · · · , n:

EQM = 1 n n X t=1 (Xt − ˆXt)2. (2.26)

É também usual usar a raiz quadrada (REQM) para reduzir a grandeza dos va-lores.

• Erro Absoluto Médio (EAM) que traduz o valor absoluto dos desvios entre os valores observados e as previsões para os instantes 1, · · · , n:

EAM = 1 n n X t=1 |Xt − ˆXt|. (2.27)

• Erro Percentual Absoluto Médio (EPAM) que traduz o valor percentual abso-luto médio dos desvios entre os valores observados e as observações para os instantes 1, · · · , n: EPAM = 1 n n X t=1 Xt − ˆXt Xt × 100. (2.28)

O EQM e o EAM são úteis quando se pretende comparar métodos de previsão aplicados a uma mesma série. Não são adequados para comparar séries de natu-reza diferente ou periodicidades diferentes. Nestes casos é preferível o EPAM. O EPAM traduz a percentagem média do erro de previsão em relação à grandeza das observações.

(35)

2.3 Intervalos de confiança para a previsão

É sabido que uma previsão não se trata de algo exato, por isso é interessante estimar um intervalo de confiança para as previsões. Para isso, será necessário uma suposição adicional para os erros de previsões, ou seja, além de supormos que E (et) =

0, Var (et) = σe2 para todo t e irá supor-se que et tem uma distribuição N(0, σ2e), para

cada t. Admitindo para estimador de Var (et) = σe2 o erro quadrático médio a um

passo dentro da série, facilmente são obtidos os limites para o intervalo de confiança a (1 − α1) × 100% para as previsões. Partindo de

P −z1−α1/2 ≤ et σe ≤ z1−α1/2 = 1 − α1 (2.29) o que é equivalente a P  −z_1−α₁_/₂ ≤ Xt −Xb_t σe ≤ z1−α1/2  = 1 − α₁ (2.30)

obtêm-se, considerando o estimador da variância do erro acima referido, os se-guintes limites para o intervalo de confiança

h ˆ Xt − z1−α1/2 √ EQM, ˆXt + z1−α1/2 √ EQMi. (2.31)

Na expressão anterior, z1−α1/2 é um quantil de ordem 1 − α1/2 da distribuição normal de média 0 e variância 1 e (1 − α1) ∗ 100% é o nível de confiança.

(36)

(37)

Capítulo 3

Aspetos Computacionais

Excetuando casos extremamente simples, as análises estatísticas de índole apli-cada dependem da execução de um elevado número de operações matemáticas que podem até não ser complexas, mas o seu volume (e/ou complexidade) exige o recurso a ferramentas de programação computacional. Neste capítulo são apresentados al-guns dos principais aspetos computacionais para a implementação da metodologia proposta neste trabalho através da apresentação dos procedimentos e algoritmos de-senvolvidos. Na Secção 3.1 é apresentado um procedimento de previsão que combina vários métodos de previsão, já a Secção 3.2 apresenta um precedimento para a se-leção do número de períodos ótimo a considerar no processo de previsão e, por fim, a Secção 3.3 apresenta um método para obter as bandas de segurança referidas no primeiro capítulo deste documento. Tal como já referido anteriormente, todo o trabalho computacional foi executado em linguagem R ([R Development Core Team, 2008]).

3.1 Método de previsão combinado

A modelação matemática do comportamento temporal de indicadores económicos e consequente previsão a médio e longo prazo a partir de um histórico de dados não é uma tarefa fácil. A conjetura económica, assim como a existência de fenómenos de ocorrência imprevisível (por exemplo, catástrofes naturais) são alguns dos fatores que dificultam a tarefa da previsão. Esta dificuldade tem sido suavizada através do uso de previsões obtidas a partir de combinações de diferentes métodos de previsão. Sabe-se que desde pelo menos 1969, altura em que Bates and Granger publicaram o trabalho intitulado de The Combination of Forecasts ([Bates, J.M. & Granger, C.W.J., 1969]), a combinação de previsões geralmente leva a uma melhor precisão da previsão. Uma referência mais recente sobre técnicas que combinam resultados de diferentes

(38)

méto-22 FCUP

dos de previsão é, por exemplo, [Zoua, H. & Yangb, Y., 2004]. Neste trabalho, propõem-se uma solução de previsão bapropõem-seada na combinação dos resultados obtidos a partir da execução dos métodos de previsão descritos no capítulo anterior sobre dados his-tóricos de um conjunto de indicadores. O Algoritmo 1 traduz o procedimento imple-mentado.

Algoritmo 1 Previsão combinada de k métodos de previsão

Entrada: vetor de valores de um dado indicador (histórico ≥ 24 períodos) Saída: vetor de dimensão h cujos elementos representam a previsão

combi-nada do indicador para h períodos de tempo

início

Para i = 1 ;

repita

Ajustar o método de previsão Mi e obter previsões para h períodos

(Xc_ji, j = 1, ... , h); até k ; c Xj = 1_n Pn i=1Xˆji fim

Atualmente, a empresa, prevê, todos os meses, os valores dos indicadores para os 15 meses seguintes, pelo que h = 15 e o período temporal é o mês.

O valor da previsão para o período seguinte é então feito usando uma média dos valores previstos, para esse mesmo período, pelos diferentes métodos de previsão. Neste trabalho atribui-se igual peso aos diferentes métodos de previsão, contudo es-tes pesos poderiam definidos com base no desempenho, em termos de capacidade preditiva dentro da série, dos métodos de previsão intervenientes. Ou seja, atribuir maior ponderação ao método que apresentar menor erro quadrático médio (ou outra métrica de erro) dentro da série, menor ponderação ao método com o pior desempe-nho e ponderações intermédias para os métodos com desempedesempe-nho intermédio.

3.2 Seleção do número de períodos ótimo

A alta volatilidade observada no comportamento dos indicadores faz com que o desempenho das previsões dependa muito do número de períodos usados na cons-trução dos modelos. Atualmente, a empresa NORS, define, em cada mês, o número de períodos ótimo a usar (número de meses) na previsão dos 15 meses seguintes,

(39)

através de uma apreciação gráfica do cronograma de valores passados do indicador. Ora, este procedimento, para além de moroso, é altamente dependente do utilizador.

Na tentativa de tornar automático o procedimento de seleção do número de perío-dos a usar na previsão, foi desenvolvido um algoritmo (Algoritmo 2) que implementa uma regra ótima para a seleção desse número de períodos. O critério de otimali-dade considerado aqui foi a minimização da raiz quadrada do erro quadrático médio, já definido anteriormente.

Algoritmo 2 Seleção do número de períodos ótimo.

Entrada: vetor de valores de um dado indicador (histórico) de dimensão m ≥

24: X1, X2, · · · , Xm

Saída: vetor ótimo de dimensão h cujos elementos representam a previsão

combinada do indicador para h períodos de tempo e \REQMotimo

início

Para l = 24 ;

repita

Definir um sub-vetor de comprimento l: X1, X2, · · · , Xl;

Definir um sub-vetor de comprimento 8 para efeitos de estimação do erro de previsão: Xl+1, · · · , Xl+8;

Executar o método de previsão combinado sobre X1, X2, · · · , Xl (aplicar

o Algoritmo 1 );

Obter previsões para 8 períodos: Xb_l+1, · · · ,Xb_l+8;

Obter o valor da raiz quadrada do erro quadrático médio relativo às previsões para 8 períodos ;

até m − 8;

Selecionar o sub-vetor que conduzir ao menor valor da raiz quadrada do erro quadrático médio: X∗

1, X2∗, · · · , Xotimo∗ ;

Executar o Algoritmo 1 sobre X∗

1, X2∗, · · · , Xotimo∗ de forma a ser obtido o

vetor de previsão ótimo de dimensão h. Obter o valor da raiz quadrada do erro quadrático médio relativo às previsões a um passo dentro da série ( \REQMotimo) a partir de X1∗, X2∗, · · · , Xotimo∗ ;

fim

No algoritmo anterior exige-se que os sub-vetores tenham dimensão superior ou igual a 24. Esta exigência deve-se ao facto de alguns dos métodos de previsão imple-mentados requererem pelo menos 24 observações na estimação da sazonalidade.

Uma limitação que nos parece óbvia no procedimento apresentado no algoritmo 2 é o reduzido número de observações considerado na estimação do erro de

(40)

previ-24 FCUP

são. Contudo a dimensão das séries originais não permitiram a consideração de um período mais alargado, como seria o ideal.

3.3 Construção das bandas de segurança

Após a seleção do número de períodos ótimo a considerar na previsão, segue-se a definição das bandas de controlo ou bandas de segurança definidas anteriormente. O procedimento implementado tem por base a definição de intervalo de confiança para a previsão, sendo os limites das bandas de confiança coincidentes com os limites dos intervalo de confiança. Aqui o factor multiplicativo k (definido anteriormente) corres-ponde ao quantil de ordem 1−α/2 da distribuição normal padrão, sendo (1−α)×100% o grau de confiança considerado. Habitualmente, na prática considera-se α = 0.05. Este raciocínio materializa-se no Algoritmo 3 .

Algoritmo 3 Construção das bandas de segurança.

Entrada: vetor de dimensão h cujos os elementos são valores da previsão

obti-dos pelo método combinado com base no número de períoobti-dos ótimo, grau de confiança ((1 − α) × 100%) e ( \REQMotimo)

Saída: limites das bandas de segurança início

Obter o quantil de ordem 1 − α/2 da distribuição normal padrão: z1−α/2;

Obter a previsão média que é dada pela média dos h elementos do vetor de previsão ótimo: X ;b

Obter o limite superior das bandas de confiança: X + zb

1−α/2× \REQMotimo;

Obter o limite inferior das bandas de confiança: X − zb

1−α/2× \REQMotimo.

fim

Em algumas situações, o valor da estimativa da variabilidade do erro é elevado o que conduz a valores negativos para o limite inferior das bandas de confiança. Nestes casos, em que não é admissível um valor negativo para banda inferior, considerou-se o valor 0 para esse limite inferior.

É evidente que o procedimento anterior é válido para situações em o erro de pre-visão é bem modelado por uma distribuição normal de média igual a 0 e variância constante estimada pelo erro quadrático médio relativo a previsões a um passo dentro a amostra. Geralmente, o pressuposto de normalidade é verificado na prática.

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Em situações em que o pressuposto distribucional é violado, poder-se-ia substituir os quantis de interesse da distribuição normal pelos correspondentes quantis da distri-buição empírica dos erros. Neste trabalho não se testou a normalidade dos resíduos, tendo-se admitido que esta era verificada.

A execução dos algoritmos desenvolvidos permitiu a obtenção de bandas de segu-rança para vasto conjunto de indicadores financeiros em tempo útil e sem a necessi-dade de intervenção de qualquer especialista no assunto.

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(43)

Capítulo 4

Resultados

Após a abordagem teórica da metodologia proposta e do desenvolvimento técnico necessário para a sua implementação, este é o capítulo da aplicação da metodolo-gia a dados reais. São apresentados os resultados referentes ao uso dos diferentes métodos de previsão apresentados a valores de diferentes indicadores económicos e financeiros, assim como resultados da execução do método que combina 3 dos méto-dos estudaméto-dos (Holt-Winters, Alisamento Exponencial Robusto e Arima).

4.1 Dados

Os conjuntos de dados utilizados neste trabalho são relativos a valores de 22 indicadores económicos e financeiros. Uma descrição de cada indicador estudado encontra-se no Apêndice A. Estes indicadores são usados de forma a ter uma melhor visão dos valores gerados pela empresa e otimizar a gestão feita. Os valores dos indi-cadores forem registados entre Janeiro de 2011 e Agosto de 2016. A figura seguinte mostra um excerto dos dados utilizados neste trabalho.

Figura 4.1: Excerto da tabela de dados usados no trabalho.

4.1.1 Indicadores económicos e financeiros

De forma a não tornar esta dissertação muito repetitiva, serão apresentados re-sultados referentes a apenas 4 dos 22 indicadores estudados. Estes 4 indicadores

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28 FCUP

correspondem aos indicadores de maior importância na gestão da empresa. Segue-se uma breve descrição de cada um dos 4 principais indicadores. A descrição dos restantes encontram-se no Apêndice A deste relatório.

• Mercado - Corresponde ao número de chassis vendidos por todos os interveni-entes na área de atuação do negócio. Inclui as vendas em unidades do próprio negócio bem como dos seus concorrentes diretos para um determinado intervalo de tempo.

• Unidades Vendidas (UV) - É o número de chassis vendidos pelo negócio num determinado intervalo de tempo, podendo ser descriminado pela sua natureza. • Vendas Comerciais (VC) - Corresponde às vendas líquidas (não são

conside-rados quaisquer impostos relacionados com a venda), ou volume de negócios, resultante da venda de chassis, qualquer que seja a sua natureza.

• EBITDA (Sigla inglesa de Earnings Before Interest, Taxes, Depreciation and Amortization)- Corresponde ao resultado operacional do negócio que é, assim, o resultado líquido do mesmo, não considerados os impostos sobre rendimentos, o resultado financeiro, as amortizações e as depreciações.

4.2 Previsões

Como já referido, para a execução computacional da metodologia proposta utilizou-se a linguagem R. Na execução do método de previsão Holt-Wintres foi utilizada a função ets da biblioteca do R forecast ([Rob J Hyndman, 2017]), já para o mé-todo de Alisamento Exponencial Robusto foi usada a função robets da biblioteca robets ([Crevits R. et al., 2017]) e na execução dos métodos ARIMA foi usada a fun-ção auto.arima também da biblioteca forecast. A funfun-ção auto.arima retorma o me-lhor modelo de acordo com os valores do AIC, do AICc ou do BIC (medidas de seleção definidas no capítulo anterior).

4.2.1 Resultados métodos individuais

A intensa variabilidade observada nos valores dos indicadores, faz com que o de-sempenho das previsões dependa muito do número de períodos a usar na construção do modelo. No sentido de se perceber até que ponto o número de períodos conside-rados na previsão influencia o desempenho dos métodos de previsão, executaram-se sobre os históricos de duas dimensões: 2 anos (24 períodos) e 3 anos (36 períodos). Mostra-se, em seguida, gráficos que mostram os dados observados e as previsões

(45)

para 15 períodos.

Figura 4.2: Histórico e previsões a 15 meses obtidas com os diferentes métodos para o indicador Mer-cado. O gráfico da direita considerou um histórico de 2 anos e o da esquerda um histórico de 3 anos. A verde está a previsão do gestor.

Figura 4.3: Histórico e previsões a 15 meses obtidas com os diferentes métodos para o indicador Uni-dades Vendidas. O gráfico da direita considerou um histórico de 2 anos e o da esquerda um histórico de 3 anos. A verde está a previsão do gestor.

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30 FCUP

Figura 4.4: Histórico e previsões a 15 meses obtidas com os diferentes métodos para o indicador Ven-das Comercias. O gráfico da direita considerou um histórico de 2 anos e o da esquerda um histórico de 3 anos. A verde está a previsão do gestor.

Figura 4.5: Histórico e previsões a 15 meses obtidas com os diferentes métodos para o indicador EBITDA. O gráfico da direita considerou um histórico de 2 anos e o da esquerda um histórico de 3 anos. A verde está a previsão do gestor.

Uma análise das figuras anteriores leva-nos a concluir que não existe um método recomendado para uso geral. Um método pode funcionar bem para um determinado indicador e revelar-se um fracasso nos restantes. Por exemplo, o método robusto apre-senta um desempenho satisfatório para o indicador Número de Unidades Vendidas e

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um fraco desempenho nos restantes indicadores. Os métodos ARIMA e Holt-Winters apresentam, salvo para um indicador, previsões com valores constantes ao logo dos 15 períodos.

A tabela seguinte mostra os erros de previsões, em termos da raiz do erro quadrá-tico médio, de cada método para cada indicador.

Mercado UV VC EBITDA

2anos 3 anos 2 anos 3 anos 2 anos 3 anos 2 anos 3 anos

Robets 99.4 224.5 16.6 25.4 8214.6 16159.4 2034.1 2207.4

ETS 38.5 38.5 18.5 61.3 4517.8 3057.3 777.6 755.5

Arima 38.5 38.5 18.8 11.9 4811 3061.4 797.4 2973.5

Gestor 82.2 25.7 8180.3 1067

Tabela 4.1: Tabela de erros dos métodos individuais usando o REQM

Analisando a tabela anterior, é possível concluir que, apesar de graficamente, o método de Alisamento Exponencial Robusto ser aquele que apresenta uma melhor ’linha’ de previsão, em termos de erro, é aquele com piores resultados, pois em certos pontos a diferença entre a previsão e o real é muito grande tendo um grande impacto no valor do erro. Por outro lado, as previsões realizadas pelos métodos de Alisamento Exponencial de Holt-Winters e ARIMA, apesar de geralmente constantes ao longo do período de previsão, são os que apresentam umas previsões mais "fidedignas".

Uma vez que o objetivo deste trabalho é implementar um modelo de previsão com a maior acurácia possível e automatismo, avalia-se, em seguida o método de previsão combinada já apresentado no Capítulo 3. Conforme referido, neste método, a previsão para um determinado instante é dada pela média dos valores previstos por diferentes métodos para esse mesmo instante.

4.2.2 Resultados do método combinado

De seguida são apresentados gráficos onde se pode observar os resultados do método que combina, através da média aritmética, a previsão obtida com os 3 métodos anteriores. Também aqui são considerados históricos de tamanho diferente.

Como se pode concluir pela observação das figuras seguintes, o método combi-nado revelou um desempenho bastante razoável para os 4 indicadores. Na maior parte dos cenários considerados (combinação indicador/período de tempo) as previ-sões obtidas pelo método combinado acompanham melhor os valores reais do que

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as previsões dos gestores. Em suma, os resultados abaixo apresentados parecem abonatórios da tese de que a previsão combinada é uma boa solução.

Figura 4.6: Histórico e previsões a 15 meses obtidas pelo método combinado para o indicador Mercado. O gráfico da direita considerou um histórico de 2 anos e o da esquerda um histórico de 3 anos. A verde está a previsão do gestor.

Figura 4.7: Histórico e previsões a 15 meses obtidas pelo método combinado para o indicador Unidades Vendidas. O gráfico da direita considerou um histórico de 2 anos e o da esquerda um histórico de 3 anos. A verde está a previsão do gestor.

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Figura 4.8: Histórico e previsões a 15 meses obtidas pelo método combinado para o indicador Vendas Comerciais. O gráfico da direita considerou um histórico de 2 anos e o da esquerda um histórico de 3 anos. A verde está a previsão do gestor.

Figura 4.9: Histórico e previsões a 15 meses obtidas pelo método combinado para o indicador EBITDA. O gráfico da direita considerou um histórico de 2 anos e o da esquerda um histórico de 3 anos. A verde está a previsão do gestor.

Tal como anteriormente, recorreu-se à raiz do erro quadrático médio para avaliar, numericamente, o desempenho do método combinado. A Tabela 4.2 mostra a estima-tiva do erro de previsão para diferentes indicadores. No sentido de comparar o método de previsão combinado com o melhor método individual (MMI), apresenta-se também

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a estimativa do erro de previsão para este último caso.

Mercado UV VC EBITDA

2 anos 3 anos 2 anos 3 anos 2 anos 3 anos 2 anos 3 anos

Combinado 59.4 77.8 16.8 29.8 3499.6 6150.7 1035.3 991.5

MMl 38.5 38.5 16.6 11.9 4517.8 3057.3 777.6 755.5

Gestor 82.2 25.7 8180.3 1067

Tabela 4.2: Tabela de erros do método combinado e melhor individual usando a REQM

Analisando os valores apresentados na Tabela 4.2, concluímos que o método com-binado não é superior ao melhor método individual. Contudo, o desempenho do mé-todo combinado apresenta um desempenho bastante razoável e muito superior ao desempenho do gestor (no que respeita a previsão).

É importante notar que foi dada igual importâncias aos métodos individuais na obtenção da previsão combinada. Caso fosse dada maior importância o melhor mé-todo individual e menor importância ao pior mémé-todo, o desempenho da memé-todologia combinada certamente que melhoraria muito. A implementação desta solução será considerada num trabalho futuro.

4.3 Seleção do período ótimo

Nesta secção apresentam-se os resultados da execução do procedimento apre-sentado no Capítulo 3 (Algoritmo 2) a propósito da identificação do número de perío-dos ótimo a considerar na obtenção das previsões. Os gráficos seguintes, mostram, para cada indicador, os resultados do método combinado para o período ótimo. Fa-zendo uma apreciação gráfica dos resultados do método de seleção proposto, é de destacar o bom desempenho do método. A previsão do gestor, representada pela li-nha verde, sobrestimam, em todos os indicadores os valores valores reais, enquanto que os valores previstos pelo método combinado com o número de períodos ótimo acompanham a tendência dos valores observados.

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Figura 4.10: Previsão do indicador de Mercado usando o período ótimo

Figura 4.11: Previsão do indicador de Unidades Vendidas usando o período ótimo

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Figura 4.13: Previsão do indicador de EBITDA usando o período ótimo

A tabela mostrada a seguir apresenta as estimativas dos erros de previsão para o método combinado com período ótimo e para as previsões do gestor.

Mercado UV VC EBITDA Combinado 53.7 16.8 3499.6 883.6

Gestor 82.2 25.7 8180.3 1067

Tabela 4.3: Tabela de erros do método combinado com período ótimo usando o REQM.

Analisando os valores apresentados na Tabela 4.3 facilmente se percebe que o modelo obtido é um modelo aceitável e que satisfaz as condições da empresa visto produzir previsões que acompanham a tendência real.

4.4 Bandas de segurança

O objetivo desta secção é a obtenção de bandas de segurança para os diferentes indicadores. Esta obtenção tem por base o Algoritmo 3 proposto no Capítulo 3. As figuras seguintes mostram, para cada indicador, as bandas de segurança calculadas de acordo com a metodologia proposta. Foi considerada uma confiança de 95%.

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Figura 4.14: Previsão do indicador de Mercado usando o período ótimo e intervalo de confiança.

Figura 4.15: Previsão do indicador de Unidades Vendidas usando o período ótimo e intervalo de confi-ança.

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Figura 4.16: Previsão do indicador de Vendas Comerciais usando o período ótimo e intervalo de confi-ança.

Figura 4.17: Previsão do indicador de EBITDA usando o período ótimo e intervalo de confiança.

De acordo com a opinião de especialistas, as bandas apresentadas apresentam um comportamento muito bom.

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Considerando as bandas apresentadas, não existem razões para dizer que existem grandes desvios nas previsões do gestor relativamente à tendência prevista a partir do histórico de observações. É importante notar que estas bandas foram obtidas de forma automática, sem a necessidade da intervenção de qualquer perito da área.

4.5 Comparação com o método existente de obtenção

de bandas

Atualmente, o modelo usado pelo grupo para gerar as bandas de segurança é muito dependente do utilizador, já que necessita da especificação de um parâmetro k que controla a amplitude do intervalo e do número de períodos a considerar na previsão. A necessidade da especificação destes dois parâmetros torna o método atual altamente dependente de um perito da área e, portanto, é um método com pouco interesse.

Já a abordagem aqui proposta é complemente automática, necessitando apenas de um histórico de dados e de um grau de confiança para o intervalo. A amplitude do intervalo pode ser alterada via alteração do grau de confiança. Aqui, ao contrário do método atual, uma variação na amplitude do intervalo tem um interpretação prática.

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Capítulo 5

Conclusões e Trabalho Futuro

Este trabalho tinha como objetivo a construção automática de bandas de segu-rança para indicadores económico-financeiros usados pelo grupo NORS na gestão e controlo de desempenho das suas empresas. O grupo calcula mensalmente, para as suas empresas, bandas de segurança com o objetivo de identificar desvios relativa-mente a uma tendência esperada, nas previsões dos indicadores feitas pelos gestores dessas empresas. Atualmente, as bandas não são obtidas de forma automática. A sua obtenção é demorada e exige forte intervenção do gestor especialista do grupo.

Na tentativa de alcançar o objetivo traçado, foi desenvolvido um procedimento para a determinação automática de bandas de segurança para indicadores económico-financeiros. O procedimento foi desenvolvido em 3 fases. Na primeira etapa, foi pro-posto um mecanismo de previsão dos valores desses indicadores, a curto e médio prazo, que assenta na combinação dos resultados obtidas da execução de vários mé-todos de previsão. A segunda fase do procedimento, consistiu na implementação de um mecanismo que seleciona o número de períodos ótimo (≥ 24 por restrições dos métodos usados) a usar no processo de previsão. Esta etapa revelou-se fundamental, visto ter-se concluído que os resultados das previsões eram dependentes desse nú-mero de períodos. Na terceira e última fase, que considerou os resultados das duas fases anteriores, foram propostas expressões para os limites das bandas de confi-ança. Estes limites coincidiram com os limites do intervalo de confiança para a média dos valores previstos correspondentes ao período em previsão.

A metodologia proposta foi executada sobre valores reais de um conjunto de indi-cadores económico-financeiros (22 indiindi-cadores) utilizados por uma empresa do grupo. O histórico de dados correspondeu ao período de Janeiro de 2011 até Agosto de 2016. Avaliou-se o desempenho de métodos individuais de previsão e do método combi-nado na previsão dos valores dos indicadores. Os resultados permitiram concluir que,