1
Evolvente.
1) Uma curva evolvente e gerada em um φ de base cujo raio é igual a 100 mm. Pede-se:
a) A função evolvente para um angulo de incidência de 20°. b) Determine as coordenadas polares do ponto P ( βP, rP )
✁
✁
✂☎✄✆
a) ev 20° = βP = tg αP - αP βP = tg 20° - 20° = 0,014904 rd
b) rP = rb / cos αP
rP = 100 / cos 20°
rP = 106,417777 mm
βP = 0,014904 . 180 / π βP = 0,853936°
c) Para rb = 100 mm de o valor do angulo βA cujo raio rA = 112,233
$
✝
✝
✞✠✟☛✡☞✡✍✌✏✎✑✌☞✒☞✒
rA = rb / cos αA
cos αA = 100 / 112,233
cos αA = 0,891004 αA = arc cos 0,891004 αA = 27°
βA = tg αA - αA
βA = tg 27° - 27° . π / 180° βA = 0,038287 rd
βA = 0,038287 180° / π βA = 2,193658°
2) Um ponto de uma curva evolvente do circulo, possui coordenadas polares dadas por:
C = (1,195015°; 75,646615) Calcule o raio de base
✓
✔
✔
ev αc= βC [rd]
∴βC = 1,195015° . π / 180 βC = 0,020857 rd
ev αc= 0,020857
utilizando a tabela de evolvente
αC = 22,2°⇒ 0,20629
αC = 22,3°⇒ 0,20921
Por interpolação
✕✗✖
✘✚✙✜✛✚✢✤✣✗✥ ✦★✧✩✦✚✪✜✦✜✫✩✪★✬
✭✯✮✰✭✚✱✜✭✠✲✴✳✠✵
✶★✷✩✶✚✸✜✶✜✹✩✸✜✺
✻✠✻✽✼✾✻ ✿ ✻✠✻✽✼❁❀
0,020921 - 0,020629 / 22,3 - 22,2 = 0,020921 - 0,20857 / 22,3
- X
X = 22,278082° = αC
rb = rC cos αC
rb = 75,646615 . cos 22,278082°
2
Exercício proposto – Uma evolvente é gerada em uma circunferência de base que tem rb de 102 mm. Quando a evolvente é gerada, o
angulo correspondente a ev α varia de 0 a 15°. Para incrementos de 3° para este angulo, calcule os ângulos de pressão α
correspondentes e raios r para os pontos na evolvente. Plote esta série de pontos em coordenadas polares e ligue-os com uma curva
contínua para representar a evolvente
Uma ECDR possui Z = 40; m = 8; α = 20°
Pede-se: d; db; df; da)
d = m . Z ⇒ d = 8 . 40 = 320 mm
db = d cos α⇒ db = 320 . cos 20° = 300,702 mm da = m (Z + 2) ⇒ da = 8 . ( 40 + 2) = 336,00 df = m (Z - 2,5) ⇒ df = 8 . (40 - 2,5) = 300 mm Determine a espessura circular do dente sobre as circunferências primitiva de cabeça e de base respectivamente.
se = e = P/2 = m . π/2 = 8 . π/2 = 12,566 mm (primitivo) sf = df (se/de + ev αe - ev αf) índice f = pto genérico
rb = r . cos α = rf cos αf
cos αf = r . cos α / rf = d . cos α / df
d . cos α / da = 320 cos 20° - 336 = 0,894945 αf = arc cos 0,894945 ∴αf = 26,498589°
ev αf = tg αf - αf
ev αf = tg 26,498589° - 26,498589° .π / 180 = 0,036063
sf = 336 (12,566/320 + 0,014904 - 0,036063 )
sf = 6,084876 mm ≈ 6,085 mm
sb = db[(se/de + ev αe - ev αb)] ev αb= 0
sb = 300,72(12,566/320 + 0,014904)
sb = 16,290829∴ sb = 16,29 mm
Determine o raio de circunferência que tornaria o dente aguçado (pontiagudo)
❂
sf = df (se/de + ev αe - ev αf = 0
sf/df =s/d + ev α - ev αf = 0
12,566/320 + 0,014904 = ev αf
ev αf = 0,054173
para 30°⇒ 0,053751
para 30,1°⇒ 0,054336
Por interpolação
❃❅❄
❆❅❇❉❈❅❊❉❋❍● ■❑❏▲■❅▼❉◆❅❖❍❖◗P
❘❚❙❯❘❅❱❉❲❍❳❅❨❬❩
❘❑❭▲❘❅❱❍❩❬❨❍❱❉❳
❪❑❫ ❴ ❪❉❫❑❵▲❛
0,054336 - 0,053751 / 30,1 - 30 = 0,054173 - 0,053751 / X - 30
X = 30,0721°⇒ αf
df = ?
db = d cos α = df cos αf
df = db / cos αf = d cos α / cos αf = 320 . cos 20° / cos 30,0721°
df = 347,473198
Problema proposto: um par de rodas dentadas Z1 = 25 Z2 = 40
m = 5 mm α = 20° Pede-se:
• a) dp; da; df; db
• b) o passo e a espessura do dente nos diâmetros primitivos
• c) A distância entre centro e a folga no fundo dos dentes
• d) A espessura e o adendo na corda para ambas as ECDR
• e) A medida “W” para as 2 ECDR
3
Paquimetro de dupla escala e medida “W” Dada uma ECDR m = 3; Z = 50 e α = 20°, pede-se:
• A medida da espessura cordal no diâmetro primitivo • A medida da espessura circular sobre vários dentes - “W”
a = ha + r [1 - cos δ]
δ = 90 . s / π . r
s = P / 2 se P = m . π⇒ s = m . π / 2 r = d / 2 se d = m . Z ⇒r = m . Z / 2 assim:
δ = 90 . s / π . r
δ = 90 . m . π . 2 / π . m . Z. 2
δ = 90 / Z ha = 1 m
a = ha + r [1 - cos δ]
a = m + m . Z / 2 [1 - cos (90 / Z)] a = m + m . Z / 2 [1 - cos (90 / Z)] a = 3 + 3 . 50 / 2 [ 1 - cos (90 / 50)]
a = 3,037 a’ = a / m a’ = 3,037 / 3 a’ = 1,0123
b = 2 . r . sen δ
b = 2 . (m . Z / 2) . sen (90 / Z) b = 2 . (3 . 50 / 2) . sen (90 / 50) b = 4,7116
b’ = b / m b’ = 4,7116 / 3 b’ = 1,5705
s = espessura do dente no φ primitivo
r = raio primitivo ha = adendo
d = φ primitivo
n = [(Z / 360) . 2 . α] + 0,5 n = [(50 / 360) . 2 . 20] + 0,5
n = 6,05 ⇒ n = 6
W = m . cos α . [(n - 1) . π + π / 2 + Z . evα] W = 3 . cos 20 . [(5 - 1) . π + π / 2 + 50 . 0,014904]
W = 50,81 W’ = W / m W’ = 50,81 / 3 W’ = 16,937
Um par de ECDR possui: da1 = 94 Z1 = 45 da2 = 204 Z2 = 100
• A medida da espessura cordal no diâmetro primitivo • A medida da espessura circular sobre vários dentes - “W”
da = m (Z + 2) ⇒ da1 = m (Z1 + 2)
94 = m (45 + 2) m = 2
se estão engrenadas
∴ m1 = m2 = m = 2
a = ha + r [1 - cos δ]
δ = 90 . s / π . r s = P / 2 se P = m . π
s = m . π / 2 r = d / 2 se d = m . Z r = m . Z / 2
assim
δ = 90 . s / π . r
δ = 90 . m . π . 2 / π . m . Z. 2
δ = 90 / Z ha = 1 m
a = ha + r [1 - cos δ]
a = m + m . Z / 2 [1 - cos (90 / Z)] = a1 = m + m . Z / 2 [1 - cos (90 / Z)]
a1 = 2 + 2 . 45 / 2 [ 1 - cos (90 / 45)]
a1 = 2,027
a1’ = a1 / m
a’ = 2,027 / 2 a1’ = 1,0137
b1 = 2 . r . sen δ
b1 = 2 . (m . Z / 2) . sen (90 / Z)
b1 = 2 . 45 / 2 . sen (90 / 45)
b1 = 3,14095
b1’ = b1 / m
b’ = 3,14095 / 2
b1’ = 1,57047
a2 = m + m . Z / 2 [1 - cos (90 / Z)]
a2 = 2 + 2 . 100 / 2 [ 1 - cos (90 / 100)]
a2 = 2,012
a2’ = a2 / m
4
b2 = 2 . r . sen δ
b2 = 2 . (m . Z / 2) . sen (90 / Z)
b2 = 2 . 100 / 2 . sen (90 / 100)
b2 = 3,1415
b2’ = b2 / m
b’ = 3,1415 / 2
b2’ = 1,5707
s = espessura do dente no φ primitivo r = raio primitivo
ha = adendo
d = φ primitivo
n = [(Z / 360) . 2 . α] + 0,5
n1 = [(45 / 360) . 2 . 20] + 0,5 ⇒ n = 5,5 ⇒ n = 5
n2 = [(100 / 360) . 2 . 20] + 0,5 ⇒ n = 11,61 ⇒ n = 12
W = m . cos α . [(n - 1) . π + π / 2 + Z . evα] W1 = 2 . cos 20 . [(5 - 1) . π + π / 2 + 45 . 0,014904]
W1 = 27,82965
W1’ = W1 / m ⇒ W1’ = 27,82965 / 2 ⇒ W1’ = 13,91482
W2 = 2 . cos 20 . [(12 - 1) . π + π / 2 + 100 . 0,014904]
W2 = 70,70
Tabela da função evolvente
Z
1Z
2m
1-2a
realZ
3Z
4m
3-4a
realZ
5Z
6m
5-6a
realZ
7Z
8m
7-8a
realZ
9Z
10m
9-10a
realne Ne
dentes dentes
