Estudo Orientado Matéria Escura em Galáxias Espirais. Aluno: Igor Yuri Rocha Ribeiro

17 

Texto

(1)

Estudo Orientado

Mat´

eria Escura em Gal´

axias Espirais

Soluc

¸˜

ao de Problemas

Aluno: Igor Yuri Rocha Ribeiro

Orientador: Domingos S´

avio de Lima Soares

17 de dezembro de 2010

(2)

Problema 1

Considere como modelo para uma gal´axia a distribui¸c˜ao de massa

M (R) = M◦R

3

(R2+ R2 ◦)3/2

Este modelo ´e conhecido como modelo de Plummer e pertence a fam´ılia das distribui¸c˜oes politr´opicas. Neste caso temos uma pol´ıtropa de ´ındice igual a 5. Calcule a curva de rota¸c˜ao de um corpo de prova submetido ao potencial gravitacional desta gal´axia. Esboce a curva V(R) versus R e mostre que para R  R◦ tem-se V (R) ∝ R−1/2. Como vocˆe definiria o raio ´otico (R25) desta

gal´axia?

Vamos considerar que a distribui¸c˜ao de massa de uma gal´axia espiral ´e dada por M (R) = M◦R 3 (R2+ R2 ◦)3/2 (1) onde M (R) ´e a massa contida dentro de um raio R a partir do n´ucleo gal´actico, R◦ ´e o raio do caro¸co central do halo da gal´axia e M◦ ´e a massa

total da gal´axia, ou seja, M◦ = limR→∞M (R).

Um corpo de prova que gira ao redor do centro da gal´axia est´a sujeito a uma for¸ca centr´ıpeta dada por

F = mV

2

R (2)

em que m ´e massa desse corpo, R sua distˆancia ao centro da gal´axia e V sua velocidade linear. Ao mesmo tempo, a for¸ca de intera¸c˜ao entre o corpo de prova e o centro gal´actico ´e dada pela lei da gravita¸c˜ao universal

F = GmM (R)

R2 (3)

onde G ´e a constante de gravita¸c˜ao universal. Como essa for¸ca faz o papel de for¸ca centr´ıpeta, podemos igualar (2) e (3). Procedendo dessa maneira, obtemos

mV2

R =

GmM (R) R2

(3)

Isolando V em um dos membros da equa¸c˜ao e tomando o valor positivo da raiz, chegamos ao seguinte resultado

V (R) =

s

GM (R)

R (4)

Vemos, portanto, que a velocidade ´e uma fun¸c˜ao da distˆancia ao centro gal´actico.

Agora, podemos substituir a F´ormula (1), para M (R), na F´ormula (4). Procedendo dessa maneira, temos

V (R) = v u u t G R M◦R3 (R2+ R2 ◦)3/2

Fazendo uma simplifica¸c˜ao, podemos chegar ao seguinte resultado para a velocidade de rota¸c˜ao de um corpo de prova submetido ao potencial gravita-cional da gal´axia em quest˜ao

V (R) = R √ GM◦ (R2+ R2 ◦)3/4 (5)

Se R  R◦, ent˜ao V (R) ∝ R−1/2. Isso pode ser mostrado se na express˜ao

para a velocidade de rota¸c˜ao de um corpo de prova, F´ormula (5), fizermos R t˜ao grande a ponto de R◦ ser desprez´ıvel. Nesse caso, podemos aproximar

R◦ de zero e, ent˜ao, obter a fun¸c˜ao desejada. Assim, temos:

V (R) = R √ GM◦ (R2+ R2 ◦)3/4 Portanto, V (R) =qGM◦R−1/2 (6)

O que mostra que para R  R◦, V (R) ∝ R−1/2.

Podemos esbo¸car as curvas V (R) versus R, referentes `as F´ormulas (5) e (6). Para isso, usaremos valores de M◦ e R◦ da Via L´actea. No

sis-tema de unidades que ser´a adotado a unidade gal´actica de comprimento ´e 10 kpc, a unidade de tempo ´e 108 anos e a unidade de massa ´e 1011M . Com

esses valores, a unidade gal´actica de velocidade ´e 97,8 km/s e a constante de gravita¸c˜ao universal vale G = 4, 497.

(4)

Sabendo que a massa do Sol vale aproximadamente M = 1, 99 × 1030 kg, temos que M◦ = 1 unidade gal´actica de massa.

Tamb´em, vamos tomar o valor do raio do caro¸co central do halo da gal´axia como sendo R◦ = 0, 3 unidades gal´acticas de comprimento. Dessa maneira,

os gr´aficos V (R) versus R podem ser tra¸cados.

A Figura (1) ilustra as curvas. V (R) est´a no eixo das ordenadas e repre-senta a velocidade linear do corpo de prova, em km/s. Enquanto R encontra-se no eixo das abscissas, e ´e a distˆancia do corpo ao centro da gal´axia, em kpc.

Figura 1: Curva de rota¸c˜ao. A curva s´olida representa o gr´afico da F´ormula (5), quando R◦´e levado em considera¸c˜ao. J´a a curva tracejada exibe o gr´afico

para a F´ormula (6), caso em que R  R◦ e R◦ pode ser desprezado.

(5)

distˆancia, a partir do centro gal´actico, em que podemos verificar a presen¸ca de mat´eria vis´ıvel. Tal raio ´e tomando como sendo aproximadamente cinco vezes o raio do caro¸co central do halo da gal´axia, ou seja, RG = 5R◦.

(6)

Problema 2

Mostre que se a velocidade de rota¸c˜ao de um corpo de prova, num potencial criado por uma distribui¸c˜ao de massa M (R), ´e constante, ent˜ao M (R) ∝ R.

Isso pode ser mostrado se considerarmos um resultado obtido na resolu¸c˜ao do Problema 1. Naquela ocasi˜ao, chegamos `a seguinte espress˜ao para a velocidade de rota¸c˜ao de um corpo de prova girando ao redor do centro gal´actico:

V (R) =

s

GM (R) R

Essa ´e a F´ormula (4), que obtivemos anteriormente. Se V (R) ´e constante, ent˜ao ela n˜ao depende do raio (distˆancia at´e o centro da gal´axia). Nisso, podemos escrever

V (R) = V =

s

GM (R) R

Agora, vamos colocar M (R) e R em membros diferentes da equa¸c˜ao. Elevando ambos os lados ao quadrado, temos:

V2 = GM (R) R M (R) = RV

2

G (7)

Vemos, portanto, que se a velocidade de rota¸c˜ao ´e constante, M (R) ´e proporcional a R.

(7)

Problema 3

Obtenha a Equa¸c˜ao 2.3 (apostila) e mostre que para R  Rc,

V (R) = Vmax =

q

4πGρ◦R2c

Consideremos a Equa¸c˜ao 2.2 da apostila ρ(R) = ρ◦

1 +RR

c

2 (8)

em que ρ◦ representa a densidade central do halo escuro e Rc ´e o raio do

caro¸co central do halo. Da F´ormula (4): V (R) = s GM (R) R E da F´ormula (8): dM (R) dv = ρ(R) = ρ◦ 1 +RR c 2 Fazendo dv = 4πR2dR, temos: dM (R) = ρ◦R 2 c R2 c+ R2 × 4πR2dR Z R 0 dM (R) = 4πρ◦R2c Z R 0 R2 R2 c+ R2 dR

Resolvendo as integrais em ambos os lados, encontramos:

M (R) = 4πρ◦R2c  R − Rcarctan R Rc  Se escrevermos V2(R) = GM (R) R = G R4πρ◦R 2 c  R − Rcarctan R Rc 

(8)

V2(R) = 4πGρ◦R2c  1 − Rc R arctan R Rc  (9)

Para R  Rc, podemos aproximar Rc de zero. Nesse caso, temos:

V2(R) = 4πGρ◦Rc2

Portanto,

V (R) = Vmax =

q

(9)

Problema 4

Dˆe algumas raz˜oes que justifiquem o modelo de gal´axias bin´arias que con-sidera as gal´axias no par como massas puntiformes. Dˆe algumas raz˜oes que justifiquem o abandono de tal modelo.

Ao considerar as gal´axias bin´arias como sendo um par de massas pun-tiformes, pode-se desenvolver um tratamento te´orico mais simples. Nesse sentido, a massa do sistema bin´ario pode ser obtida mais facilmente (F´ormula (3.1) da apostila).

Por outro lado, se considerarmos as gal´axias bin´arias como distribui¸c˜oes extensas de massa, um estudo mais realista pode ser desenvolvido. Com isso, ´e poss´ıvel verificar discuss˜oes de car´ater qualitativo. Fatores como a presen¸ca de mat´eria escura em gal´axias bin´arias, que podem ser explicados se considerarmos a existˆencia de halos escuros esf´ericos, resultam justamente do fato de tratarmos tais sistemas bin´arios como constitu´ıdos de distribui¸c˜oes extensas de massa.

(10)

Problema 5

Deduza as equa¸c˜oes das curvas mostradas na Figura 3.1b. Confira as suas equa¸c˜oes dando valores para RP e verificando o resultado para √∆VL

B na figura.

Da F´ormula (3.1) da apostila, temos:

χpM =

RP∆V2

G

Supondo que χp = 1, isolando ∆V em um dos membros e, apos isso,

dividindo por √LB, encontramos:

∆V √ LB = s GM RPLB

Para a curva inferior, temos que M/LB = 4. J´a para a curva superior,

M/LB = 40. Dessa maneira, a equa¸c˜ao para a curva inferior pode ser escrita

como ∆V √ LB = 2 s G RP

Enquanto que a curva superior pode ser descrita pela equa¸c˜ao ∆V √ LB = 2 s 10G RP

Podem-se verificar alguns resultados para ∆V

LB, por meio de valores para

RP. As tabela a seguir exibe alguns valores de abscissas e sua respectivas

ordenadas para ambos os gr´aficos.

∆V √

LB (km/s)

RP (kpc) Curva Inferior Curva Superior

100 131 415

300 76 239

(11)

Problema 6

Sugira uma express˜ao matem´atica para o potencial gravitacional de uma gal´axia, de tal forma que a for¸ca sobre um corpo de prova seja inversa-mente proporcional ao quadrado da distˆancia R at´e o centro da gal´axia, se R  Rt, e inversamente proporcional a R, se R  Rt, onde Rt representa

uma determinada distˆancia de transi¸c˜ao. Esboce a curva de rota¸c˜ao do corpo de prova submetido a este potencial.

A express˜ao para a for¸ca

F (R) = GM m R  1 ReR/Rt + 1 RteRt/R  (11) satisfaz as exigˆencias, pois nota-se que F (R) ∝ R−2 para R  Rt e que

F (R) ∝ R−1 para R  Rt.

Integrando a F´ormula (11) e dividindo o resultado pela massa m do corpo de prova podemos obter a express˜ao para o potencial gravitacional da gal´axia. Assim, temos: U (R) = −GM RtR  Rte−R/Rt + R  Ie  −Rt R  + Ie  −R Rt  (12) onde Ie(x) ´e a integral exponencial

Ie(x) =

Z ∞

x

e−u u du Que pode ser aproximada por

Ie(x) ∼ e−x x 1 − 1! x + 2! x2 − 3! x3 + . . . ! (13)

Se admitirmos que F (R) faz o papel de for¸ca centr´ıpeta, podemos escrever mV2 R = GM m R  1 ReR/Rt + 1 RteRt/R  O que resulta em V (R) = s GM  1 ReR/Rt + 1 RteRt/R  (14)

(12)

A pr´oxima imagem exibe a curva de rota¸c˜ao do corpo de prova para esse potencial. Foi usado o sistema de unidades gal´acticas adotado no Problema 1, ou seja, a unidade gal´actica de comprimento ´e 10 kpc, a unidade de velocidade ´e 97,8 km/s e G = 4, 497. A fim de esbo¸car a curva, foram usados M = 1 unidade gal´actica de massa (1011M

) e Rt = 0, 85 unidades

gal´acticas de comprimento (8,5 kpc).

Figura 2: Curva de rota¸c˜ao. Com os valores de M e Rtadotados, a velocidade

limite para raios cada vez maiores ´e aproximadamente 225 km/s.

Utilizando os valores mencionados para M e Rt, se fizermos o raio crescer

indefinidamente na F´ormula (14), teremos lim

R→∞V (R) ∼= 225 km/s

Quando R ∼= 13, 4 kpc, V (R) ∼= 183 km/s. Essa ´e a velocidade m´ınima observada. A partir do centro gal´actico a velocidade decresce, atinge um m´ınimo e depois volta a crescer, indo em dire¸c˜ao ao valor assint´otico de 225 km/s.

(13)

´

E interessante notar que o Sol est´a a aproximadamente 8,5 kpc do centro da Via L´actea. Esse valor coincide com aquele escolhido para Rt. A essa

distˆancia o Sol est´a na regi˜ao assint´otica para a Gal´axia, possuindo velocidade bem pr´oxima do valor de 225 km/s encontrado para a curva de rota¸c˜ao aqui apresentada.

(14)

Problema 7

Verifique se a fun¸c˜ao µ(x) adotada por Kent na an´alise de NGC 3198 possui as propriedades expressas pelas equa¸c˜oes 4.2.

Considerando a fun¸c˜ao µ(x) adotada, temos: µ(x) = √ x

1 + x2

Vemos que para x  1, µ(x) = 1. E para x  1, µ(x) = x. O que est´a de acordo com as propriedades expressas pelas equa¸c˜oes 4.2.

(15)

Problema 8

Sugira um experimento f´ısico ou um programa observacional astronˆomico que poderia contribuir para se decidir entre as hip´oteses de mat´eria escura e de MOND.

Observando atentamente imagens de gal´axias diversas, talvez possamos fazer uma analogia entre esses grandes corpos celestes com pequen´ıssimas partes da mat´eria viva: as c´elulas. Uma gal´axia espiral, por exemplo, possui n´ucleo, halo e um disco achatado, onde est˜ao situados estrelas, g´as e poeira. J´a uma c´elula pode conter membrana plasm´atica, citoplasma e n´ucleo. Assim como h´a gal´axias de diferentes formas, h´a tamb´em c´elulas que se diferenciam nesse aspecto. Da mesma maneira que um organismo ou ´org˜ao ´e constitu´ıdo de c´elulas, o Universo possui uma infinidade de gal´axias.

No citoplasma de uma c´elula est˜ao imersas as organelas, cada uma desempenhando uma fun¸c˜ao. Boa parte da massa de uma gal´axia espiral pode estar na forma de mat´eria escura. Poder´ıamos pensar que a mat´eria vis´ıvel talvez esteja imersa em mat´eria escura. Esta, por sua vez, pode ou n˜ao fazer com que as estrelas desse tipo de gal´axia adquiram uma velocidade assint´otica com o aumento do raio gal´actico.

Essa r´apida analogia entre gal´axias e c´elulas tem como objetivo pensarmos a respeito das hip´oteses de mat´eria escura e de MOND, bem como talvez sobre outros problemas ainda n˜ao resolvidos no que diz respeito ao Universo como um todo. Um organismo biol´ogico possui uma hist´oria, do nascimento at´e a morte. Nesse tempo c´elulas podem ser criadas ou morrer, por exemplo. Pesquisar a hist´oria de um organismo pode ser importante para compreender como ele se formou, evoluiu ou como surgiram e para que servem certas estruturas.

Da mesma forma, d´uvidas sobre a existˆencia ou n˜ao da mat´eria escura e, caso exista, qual a sua constitui¸c˜ao e qual o seu papel na natureza, po-dem ser respondidas se for investigado mais a fundo o processo de forma¸c˜ao e evolu¸c˜ao das gal´axias, ou seja, a hist´oria delas. Na verdade, se for pesquisada a hist´oria do Universo. Por meio de bons modelos e simula¸c˜oes, com poste-riores comprova¸c˜oes, poder´a ser poss´ıvel responder perguntas atuais. Enfim, a investiga¸c˜ao da hist´oria do Universo poderia ser uma forma de contribuir para se decidir entre as hip´oteses de mat´eria escura e de MOND.

(16)

Problema 9

Considere o problema da discrepˆancia de massa em gal´axias espirais. Em vista das v´arias tentativas de solu¸c˜ao para o mesmo, qual delas lhe pacece mais plaus´ıvel? Justifique a sua escolha utilizando argumentos f´ısicos e as-tronˆomicos.

Se admit´ıssemos que o fato de a velocidade das estrelas permanecer prati-camente constante quando nos afastamos do centro gal´actico ´e devido `a pre-sen¸ca de mat´eria escura, sem provar que ela realmente existe e, caso exista, dizermos que seu papel ´e manter tal velocidade invari´avel (sua fun¸c˜ao poderia n˜ao ser essa), estar´ıamos simplesmente colocando uma causa sem fundamento para o fenˆomeno.

Por´em, modificar a dinˆamica newtoniana e aceitar uma nova teoria n˜ao ´e t˜ao simples. Embora esteja conseguindo explicar bem aquilo que ´e observado nas curvas de rota¸c˜ao de muitas gal´axias, a Dinˆamica Newtoniana Modificada (MOND) ainda n˜ao pode ser tomada como certa a ponto de dizermos que a hip´otese de mat´eria escura deve ser descartada.

N˜ao se pode, ainda, dizer qual teoria deve permanecer e qual est´a errada. Uma pode estar certa e a outra incorreta ou ambas podem estar erradas. A t´ıtulo de ilustra¸c˜ao, as Figuras 2.2 e 4.1 da apostila exibem a aplica¸c˜ao das hip´oteses de mat´eria escura e de MOND, respectivamente, para a curva de rota¸c˜ao da gal´axia NGC 3198. Nelas podemos ver o bom ajuste obtido aplicando-se ambas as teorias, ou seja, at´e o momento as duas conseguem explicar muito bem aquilo que ´e observado.

Da´ı ´e preciso ter cautela ao se dizer que uma teoria est´a correta e a outra deve ser descartada. Ainda n˜ao se pode fazer tal conclus˜ao. Mas com o passar do tempo, por meio de pesquisas e testes, talvez seja poss´ıvel decidir entre uma delas ou ent˜ao abandonar ambas as hip´oteses.

(17)

Referˆ

encias

[1] Soares, D.S.L. 2009, Mat´eria Escura em Gal´axias Espirais, Departamento de F´ısica - ICEx - UFMG

[2] Soares, D.S.L. 1989, Tese de Doutoramento, Universidade de Groningen, Holanda (Cap´ıtulo 3)

[3] Oliveira Filho, K.S., Saraiva, M.F.O. 2002, Astronomia e Astrof´ısica, Departamento de Astronomia - Instituto de F´ısica - UFRGS

[4] Oliveira Filho, K.S., Saraiva, M.F.O. 2010, A Massa da Gal´axia, Departamento de Astronomia - Instituto de F´ısica - UFRGS http://astro.if.ufrgs.br/vialac/node5.htm

[5] Spiegel, M.R. 1981, Manual de F´ormulas e Tabelas Matem´aticas, Cole¸c˜ao Schaum, McGRAW-HILL

Imagem

Referências

temas relacionados :