Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 12º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial II. Tarefa intermédia nº 4 A

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Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 12º Ano de Matemática – A

Tema II – Introdução ao Cálculo Diferencial II

Tarefa intermédia nº 4 A

1. No referencial da figura estão partes das representações gráficas das funções f e g definidas por: f x

( )

= −6 2x e g x

( )

=4x.

1.1. Indique o domínio, o contradomínio, os zeros e uma equação da assímptota do gráfico de f.

1.2. Calcule as coordenadas dos pontos em que os gráficos das funções f e g intersetam o eixo Oy.

1.3. Identifique as transformações que deve fazer ao gráfico da função m, definida em IR por _{m x}

( )

₌₂x_{, para obter o gráfico de f.} 1.4. Determine, analiticamente, os valores de x para os quais se

verifica cada uma das seguintes condições: 1.4.1.

(

f+g x

)( )

<6

1.4.2. f x

( ) ( )

>g x

1.5. A função h é definida por uma expressão do tipo y= ⋅k 3−x. Determine k, sabendo que o ponto P (ponto de interseção dos gráficos de f e de g) assinalado na figura pertence ao gráfico de h.

2. Houve uma descarga poluente na ribeira que passa na aldeia do Tomás. Diariamente, após o sinal de alerta, foram recolhidos peixes mortos junto às margens da ribeira.

O número P, de peixes recolhidos, em centenas, t dias após o sinal de alerta, é modelado por: P t

( )

20_0,35t

4 e

=

+ ; P em centenas e t em dias.

2.1. Quantos peixes foram recolhidos no dia em que foi dado o sinal de alerta?

2.2. Quando t tende para +∞, para que valor tende P t ? Interprete esse valor no contexto

( )

apresentado.

2.3. A recolha diária deixou de ser feita quando o número de peixes mortos nas margens passou a ser inferior a 50. Em quantos dias consecutivos foi feita a recolha?

Questões 1.1 1.2 1.3 1.4.1 1.4.2 1.5 2.1 2.2 2.3 Total Cotações: 10 8 8 10 15 10 5 20 14 100 x y f g P

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Tarefa intermédia nº 4 A – proposta de resolução

1. No referencial da figura estão partes das representações gráficas das funções f e g definidas por: f x

( )

= −6 2x e g x

( )

=4x.

1.1. o domínio de f é IR, o contradomínio é

]

−∞,6

[

porque

x x x

2 > ⇔ − < ⇔ −0 2 0 6 2 <6, f só tem um zero que é x=log 6₂

porque

( )

x x

2

f x = ⇔ −0 6 2 = ⇔0 2 = ⇔ =6 x log 6 e uma

equação da assímptota do gráfico de f é y=6 porque

( )

(

x

)

xlim f x→−∞ =xlim 6→−∞ −2 =6. 1.2. Porque

( )

0

f 0 = −6 2 =5 f interseta o eixo Oy no ponto de

coordenadas

( )

0,5 e porque _{g 0}

( )

=₄0 =₁_{, g interseta o eixo Oy no ponto de coordenadas}

( )

0,1 .

1.3. O gráfico de f resulta do de m por uma simetria em relação a Ox seguida de uma translação associada ao vetor de coordenadas

( )

0,6 .

1.4. Determinemos, analiticamente, os valores de x para os quais se verifica cada uma das seguintes condições:

1.4.1.

(

f+g x

)( )

< ⇔ −6 6 2x +4x < ⇔6 4x <2x ⇔22x <2x ⇔2x< ⇔ <x x 0, pelo que os valores de x que verificam a condição são: x∈ −∞

]

,0

[

1.4.2. _{f x}

( ) ( )

_>_{g x} _{⇔ −}₆ ₂x _>₄x _{⇔ −}₂2x₋₂x _{+ > ⇔}₆ ₀ ₂2x₊₂x_{− <}₆ ₀

Fazendo y=2x pretendemos resolver a condição y2 + − <y 6 0, calculemos os zeros de 2

y + −y 6:y2 y 6 0 y 1 1 24 y 3 y 2

2

− ± +

+ − = ⇔ = ⇔ = − ∨ = . Porque a concavidade da

parábola, que _y2 + − =_y ₆ ₀_{define, está virada para cima,}_y2 + − < ⇔ ∈ −_y ₆ ₀ _y

]

_3,2

[

_. Voltando à variável x ficamos com

2x x x x

2 +2 − < ⇔6 0 2 > − ∧3 2 < ⇔ ∈2 x IR∧ < ⇔ <x 1 x 1 O conjunto de valores de x pedidos é:

]

−∞,1

[

1.5. A função h é definida por uma expressão do tipo _y= ⋅_{k 3}−x_{. Determinemos k, sabendo} que o ponto P (ponto de interseção dos gráficos de f e de g) assinalado na figura pertence

x y

f g

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Comecemos por calcular as coordenadas de P:

( ) ( )

x x 2x x f x =g x ⇔ −6 2 =4 ⇔2 +2 − =6 0 2x 1 1 24 2x 3 2x 2 x 1 2 − ± + ⇔ = ⇔ = − ∨ = ⇔ =

e f 1

( )

= − =6 2 4 então as coordenadas de P são

( )

1, 4 que substituídas em y= ⋅k 3−x dá

1 k

4 k 3 4 k 12

3

−

= ⋅ ⇔ = ⇔ =

2. Houve uma descarga poluente na ribeira que passa na aldeia do Tomás. Diariamente, após o sinal de alerta, foram recolhidos peixes mortos junto às margens da ribeira.

O número P, de peixes recolhidos, em centenas, t dias após o sinal de alerta, é modelado por: P t

( )

20_0,35t

4 e

=

+ ; P em centenas e t em dias.

2.1. No dia em que foi dado o sinal de alerta foram recolhidos 400 peixes porque:

0 20 P(0) 4 4 e = = +

2.2. Quando t tende para +∞, P t tende para zero porque

( )

_0,35t t 20 lim 0 4 e →+∞ + = porque 0,35t

tlim e→+∞ = +∞. Esse valor no contexto apresentado significa que com o passar dos dias deixa de haver peixes mortos para recolher nas margens da ribeira.

2.3. A recolha diária deixou de ser feita quando o número de peixes mortos nas margens passou a ser inferior a 50. Para sabermos em quantos dias consecutivos foi feita a recolha precisamos de resolver uma equação ou uma inequação, por exemplo:

( )

0,35t

20

P t 0,5 0,5

4 e

> ⇔ >

+ dado que 50 peixes é 0,5 centenas de peixes. Podemos

resolver a inequação gráfica ou analiticamente. Graficamente:

Concluímos então que a recolha foi feita em 10 dias consecutivos. Analiticamente:

( )

0,35t 0,35t ln36 0,35t 0,35t 20 P t 0,5 0,5 40 4 e 36 e e e 4 e > ⇔ > ⇔ > + ⇔ > ⇔ > ⇔ + ln 36 ln 36 0,35t t t 10,23 0,35 > ⇔ < ⇔ <

Concluímos então que a recolha foi feita em 10 dias consecutivos.

Questões 1.1 1.2 1.3 1.4.1 1.4.2 1.5 2.1 2.2 2.3 Total

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Critérios de classificação 1. 61 1.1. 10 Domínio 2 Contradomínio 3 Zeros 3 Equação da assímptota 2 1.2. 8

Calcular f(0) e dar as coordenadas (0,5) 4

Calcular g(0) e dar as coordenadas (0,1) 4

1.3. 8

Simetria em relação a Ox 4

Translação associada ao vetor de coordenadas (0,6) 4

1.4. 25

1.4.1. 10

Substituir 1

Reduzir a uma desigualdade entre potências de 2 4

Resolver a inequação 4

Dar a resposta 1

(5)

Reduzir a uma inequação do 2º grau em 2x 4 Fazer y=2x 2 Resolver a inequação 5 Dar a resposta 3 1.5. 10 Calcular as coordenadas de P (1,4) 5 Determinar k 5 2. 39 2.1. 5 Identificar P(0) 2 Calcular P(0) 2 Dar a resposta 1 2.2. 20

Calcular o limite de P quando t tende para +∞ 10

Interpretar o resultado 10 2.3. 14 Escrever a condição 5 Resolver a condição 5 Dar a resposta 4 Total 100