Telecomunicações 1 LEEC DEEC / FEUP. Trabalho n o 2

(1)

Trabalho n

o

2 Modula¸

c˜

ao de frequˆ

encia

Conte´

udo

1 Objectivos 1

2 Preliminares te´oricos 1

3 Experiˆencias 4

3.1 Modula¸cão FM (método directo) . . . 4 3.1.1 Sinais e espectros . . . 4 3.1.2 Fun¸cões de Bessel e larguras de banda . . . 6 3.2 Modula¸cão de FM usando o método de Armstrong (método indirecto) . . . . 8 3.3 Desmodula¸cão de FM com uma PLL (trabalho de casa) . . . 10

1 Objectivos

O objectivo deste trabalho é estudar a modula¸cão de sinais em frequência. Aplicando as diversas técnicas de modula¸cão e desmodula¸cão, verificaremos algumas das propriedades dos sinais de FM, nomeadamente no que diz respeito ao respectivo espectro.

2 Preliminares te´

oricos

Um sinal modulado em FM ´e dado genericamente pela equa¸c˜ao:

xFM(t) = Accos 2πf_ct + 2πk_f _t 0 x(t)dt

em que x_c(t) = A_ccos(2πf_ct) representa a portadora, x(t) é o sinal modulador e k_f é a sensibilidade em frequência do modulador (ou constante do modulador), expressa em Hz/V. Se o sinal modulador for sinusoidal, x(t) = A_mcos(2πf_mt), a expressão do sinal FM fica:

xFM(t) = Accos 2πf_ct + 2πk_f _t 0 Amcos(2πfmt)dt = A_ccos [2πf_ct + β sin(2πf_mt)] em que β = ∆f_f m = kfAm

fm representa o ´ındice de modula¸c˜ao, em rad, e ∆f ´e o desvio de

frequência, em Hz, pelo que a frequência instantânea dex_FM(t) varia entre f_c−∆f e f_c+ ∆f (já que a frequência instantânea de cos[θ(t)] é _2π1 dθ(t)_dt Hz).

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O desenvolvimento matemático do sinal x_FM(t) conduz à representa¸cão em série de Fourier: xFM(t) = Ac +∞ n=−∞ Jn(β) cos[2π(fc+nfm)t]

onde J_n(β) representa a fun¸c˜ao de Bessel de primeira esp´ecie de ordem n e argumento β.

O espectro do sinal x_FM(t) ´e um espectro de riscas situadas em f_c ± nf_m, representado analiticamente por: XFM(f) = Ac 2 +∞ n=−∞ Jn(β)[δ(f − fc− nfm) +δ(f + fc+nfm)]

Na Figura 1 encontra-se um exemplo de um sinal de FM acompanhado do respectivo sinal modulador. Como se constata, a amplitude da portadora do sinal de FM é constante, ao contrário do que se passa em AM, onde a amplitude varia de acordo com o sinal modulador. No sinal de FM é a frequência instantânea que varia com o sinal modulador (na gama de frequências f_c± ∆f). 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Tempo (s) x(t), xFM(t)

Figura 1: Sinal modulado em frequˆencia e respectivo sinal modulador

A largura de banda deste sinal pode ser definida de várias formas. Uma delas é a conhecida

regra de Carson:

B = 2(β + 1)fm (regra de Carson)

Uma outra define a largura de banda como o intervalo entre as duas riscas espectrais para além das quais a amplitude das riscas é sempre inferior a 1% da amplitude da portadora não modulada, isto é, as riscas para as quais|J_n(β)| > 0,01. A largura de banda vale, portanto

B = 2nmaxfm (regra dos 99%)

em que 2n_max é o número de riscas laterais significativas.

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• m´etodo directo, recorrendo a um oscilador controlado por tens˜ao (VCO);

• m´etodo indirecto (ou m´etodo de Armstrong), onde se parte de um sinal de FM de

banda estreita para atingir um sinal de FM com as caracter´ısticas desejadas.

• m´etodo integralmente digital, recorrendo a sintetizadores de frequˆencia do tipo DDS

(Direct Digital Synthesizer). Este ´e o método mais flex´ıvel, preciso, e que oferece menor distor¸cão.

Um sinal de FM de banda estreita é obtido quando o ´ındice de modula¸cão é muito pequeno. Nesse caso, a expressão de x_FM(t) para um sinal modulador sinusoidal pode ser simplificado para:

xFM(t) = Accos(2πfct) − βAcsin(2πfct) sin(2πfmt)

podendo ser realizado com o circuito da Figura 2.

e−jπ2 Portadora Sinal banda estreita modulador FM de

Figura 2: Diagrama de blocos para obten¸c˜ao de um sinal de FM de banda estreita.

Este sinal de banda estreita deverá ser multiplicado em frequência por um factork para que o ´ındice de modula¸cão final atinja o valor pretendido β_final=kβ.

A desmodula¸cão de um sinal de FM é realizada através de um dos seguintes métodos:

• circuito discriminador de frequˆencia

• malha de captura de fase - PLL (Phase-Locked Loop).

• processadores digitais de sinal que recuperam o sinal modulador atrav´es de c´alculo

num´erico.

Na Figura 3 encontra o diagrama de blocos de uma malha de captura de fase. Após aquisi¸cão da fase do sinal de entrada, a frequência do VCO da PLL acompanha a frequência instantânea do sinal de entrada. Deste modo, a tensão de controlo do VCO terá a mesma forma do sinal modulador aplicado no emissor. A tensão do VCO é posteriormente filtrada para que as componentes de alta frequência geradas pelo detector de fase sejam removidas.

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VCO Sinal FM malha Filtro da detector de fase Filtro de sa´ıda Sinal desmodulado

Figura 3: Diagrama de blocos de uma malha de captura de fase – PLL.

3 Experiˆ

encias

Neste trabalho vamos considerar um sinal sinusoidal que vai modular uma portadora em frequência. Veremos então como a largura de banda do sinal de FM resultante vai depender não só da frequência f_m do sinal modulador mas também da sua amplitude, o que não acontecia em AM, onde a largura de banda apenas dependia da frequência f_m.

Do conjunto de experiˆencias fazem parte:

• modula¸c˜ao FM usando o m´etodo directo (estudo de sinais, espectros e larguras de

banda em FM);

• gera¸cão de um sinal de FM usando o método de Armstrong; • desmodula¸cão de FM com uma PLL.

3.1 Modula¸

c˜

ao FM (m´

etodo directo)

3.1.1 Sinais e espectros

1 Inicie uma sess˜aoSimulink executando o comando: simulink

2 Abra uma janela de simula¸c˜ao onde vai colocar os diversos blocos (grave com o nome fm.mdl, por exemplo).

Os parâmetros de simula¸cão a usar nesta experiência devem ser:

• Start time: 0.0 • Stop time: 1.0

• Solver type: ode5(Dormand-Price), fixed step • Step size: 1/100000

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3 Crie um diagrama de blocos que realize um modulador de FM usando o método directo, ou seja, o método que implementa directamente a fun¸cão:

xFM(t) = Accos 2πf_ct + 2πk_f _t 0 x(t)dt = A_ccos 2π _t 0 [f_c+k_fx(t)] dt

Um diagrama de blocos poss´ıvel est´a representado na ﬁgura seguinte:

xfm x 10000 fc xfm To Workspace Sum

Sine Wave Scope

Mux Mux 1000 Kf s 1 Integrator 2*pi Gain cos Carrier 1 Ac

4 Conﬁgure os diversos blocos de modo a que o modulador de FM possua as seguintes caracter´ısticas:

• amplitude do sinal modulador: Am = 1 V

• frequˆencia do sinal modulador: fm= 200 Hz

• amplitude da portadora: Ac = 1 V

• frequˆencia da portadora: fc = 10 kHz

• constante do modulador: kf = 2 kHz/V

5 Calcule o desvio de frequˆencia e o ´ındice de modula¸c˜ao correspondentes aos sinais anteriores:

• desvio de frequˆencia: ∆f = Hz

• ´ındice de modula¸c˜ao: β = rad

6 Inicie a simula¸c˜_{ao e observe, no mesmo scope o sinal modulador e sinal de FM, numa} gama temporal de 5 ms.

Repare que a frequência instantânea máxima no sinal de FM ocorre quando o sinal modulador atinge o valor máximo, e que a frequência instantˆ_{anea m´ınima de xfm} ocorre com valor m´ınimo de x.

7 Altere agora a constante do modulador, k_f, de modo que o ´ındice de modula¸c˜ao seja

β = 5 rad e efectue nova simula¸c˜ao.

• constante do modulador: kf = kHz/V

Estime a largura de banda ocupada pelo sinal de FM usando a regra de Carson:

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8 Transﬁra para o workspace doMatlab 216_{amostras do sinal xfm e fa¸ca a representa¸c˜ao}

gr´_{aﬁca do espectro de amplitudes do vector xfm na gama f}_c± 3 kHz: > > fs = 100000; fc = 10000;

> > psd(xfm,2^14,fs);

> > axis([fc-3000 fc+3000 -10 30]) > > xlabel(’Frequ^encia (kHz)’)

> > title(’Densidade espectral de potencia de FM’)

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 x 104 −10 −5 0 5 10 15 20 25 30 Frequência (kHz)

Power Spectrum Magnitude (dB)

Densidade espectral de potencia de FM

Observe que o espectro do vector xfm ´e um espectro de riscas espa¸cadas de fm.

A largura de banda que consegue estimar no gráfico tem um valor próximo do que tinha calculado?

9 Repita o procedimento anterior quando a amplitude e a frequência do sinal modulador são variadas. O que acontece à densidade espectral de potência?

3.1.2 Fun¸c˜oes de Bessel e larguras de banda

As amplitudes das riscas do espectro (que é simétrico em rela¸cão à risca na frequência da portadora) estão relacionadas com as fun¸cões de Bessel de 1a _esp´_{ecie (}_J

n(β)). Estas fun¸c˜oes

serão analisadas mais em detalhe nesta seçcão.

1 Represente graﬁcamente as fun¸c˜oes de Bessel de 1a _esp´_ecie, J

n(β), para n = 0, 1, . . . 6

eβ 10. Sobreponha a este gráfico os valores das fun¸cões de Bessel para o caso β = 5

que tem vindo a ser considerado.

> > beta = 0:0.01:10;

> > bj=besselj(0:6, beta’); > > bj5 = besselj(0:6,5); > > plot(beta,bj,5,bj5,’*’)

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> > grid on

> > title(’Fun¸c~oes de Bessel da 1a esp´ecie’) > > xlabel(’´Indice de modula¸c~ao (\beta)’)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−0.5 0 0.5 1

Funções de Bessel da 1ª espécie

Índice de modulação (β)

Repare que no gráfico de J_n(β) existem valores de β para os quais não existe sequer risca espectral à frequência da portadora (por exemplo para β =2,41 e β = 5,52). 2 Calcule, analiticamente, a potência média do sinal de FM, P_FM, dissipada numa

resis-tˆencia de 1 Ω :

• Potˆencia m´edia: PFM = W

3 Estime a potˆencia m´_{edia do sinal de FM representado no vector xfm:} > > Pfm=mean(xfm.^2)

4 Determine, a partir das fun¸cões de Bessel e usando comandosMatlab, a percentagem da potência total o sinal FM contida na banda definida pela regra de Carson.

• Rela¸c˜ao de potˆencias: PBCarson

P_FM = %

5 Repita o ponto anterior agora para o critério dos 99%. Pode obter o número de riscas a considerar para o cálculo da largura de banda através do comando:

> > beta = 5;

> > nmax = sum(abs(besselj(1:99,beta)) > 0.01);

• Rela¸c˜ao de potˆencias: PB99%

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6 Generalize a análise anterior para outros valores de β. Usando a fun¸cão besselj(), complete a tabela seguinte, relativa ao critério de 99%:

β 0,1 0,2 0,5 1,0 2,0 5,0 10,0 20,0 30,0

2n_max

Para preencher a tabela pode usar o seguinte c´odigo

> > beta = [0.1 0.2 0.5 1.0 2.0 5.0 10.0 20.0 30.0]; > > nmax = 2*sum(abs(besselj(1:99,beta’)’) >= 0.01)

7 Fa¸ca a representa¸cão gráfica de B

∆f em fun¸cão de β sobrepondo no mesmo gráfico as

curvas relativas `a regra de Carson e `a regra dos 99%.

Considere, por exemplo, 200 valores de β igualmente espa¸cados entre 0,1 e 30: > > beta = linspace(0.1, 30, 200);

> > fm = 200;

> > delta_f = beta*fm;

> > B_carson = 2*(beta+1)*fm;

> > B_99 = 2*sum(abs(besselj(1:99,beta’)’>=0.01))*fm; > > plot(beta, B_carson./delta_f, beta, B_99./delta_f) > > xlabel(’´Indice de modula¸c~ao (\beta)’)

> > ylabel(’B/\Deltaf’)

Constatou que à medida que o ´ındice de modula¸cão aumenta a largura de banda se vai aproximando do dobro do desvio de frequência, 2∆f, deixando de depender da frequência f_m? Reparou também que a regra de Carson subestima o valor da largura de banda relativamente ao critério dos 99%, para β < 5?

Como nota ﬁnal, se β 1 ent˜ao J₀(β) ≈ 1, J₁(β) ≈ β₂ e J_n(β) ≈ 0 para n > 2, ou seja,

só J₀(β) e J₁(β) têm valores significativos. Esta situa¸cão corresponde à situa¸cão de FM de

banda estreita:

xFM(t) = AcJ0(β) cos(2πfct) + AcJ1(β) {cos[2π(fc +fm)] + cos[2π(fc − fm)]}

Quer tudo isto dizer que:

β 1 ⇒ B ≈ 2fm

β 1 ⇒ B ≈ 2∆f

Nos casos interm´edios deβ deveremos usar ou a regra de Carson ou a regra dos 99%.

3.2 Modula¸

c˜

ao de FM usando o m´

etodo de Armstrong (m´

etodo

indirecto)

Pretende-se gerar um sinal de FM de banda larga a partir de um sinal de FM de banda estreita.

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1 Crie um sinal de FM de banda estreita de acordo com o diagrama de blocos da Figura 2. Um modelo Simulink poss´ıvel para este modulador est´a apresentado a seguir.

10 n 1000 fc 0.2 beta xwbfm To Workspace1 xnbfm To Workspace Sum Sine Wave Scope1 Scope Product uv Math Function s 1 Integrator 2*pi Gain cos Carrier1 sin Carrier

2 Conﬁgure os diversos blocos de modo a produzir um sinal de FM de banda estreita com as seguintes propriedades:

• frequˆencia do sinal modulador: fm= 200 Hz

• ´ındice de modula¸c˜ao: β = 0,2 rad

Quantas riscas espectrais laterais tem o espectro deste sinal de FM (xnbfm)? E qual a sua largura de banda?

• N´umero de riscas laterais: 2nmax =

• Largura de banda: B = Hz

3 Represente os espectros de amplitude do sinal de FM de banda estreita (use escalas de frequˆencia adequadas). Conﬁrma os valores encontrados no ponto anterior?

4 Multiplique em frequência, por 10, o sinal de FM de banda estreita. Para tal pode, por exemplo, elevar o sinal à décima potência e filtrá-lo com um filtro passa-banda (ou mesmo passa-alto) com largura de banda adequada.

Quais s˜ao agora os novos valores para os seguintes parˆametros:

• Frequˆencia da portadora: fc = Hz

• Desvio de frequˆencia: ∆f = Hz

• ´Indice de modula¸c˜ao: β = rad

5 Represente a densidade espectral de potˆ_{encia do sinal de FM de banda larga (xwbfm).} Como verifica, deixou-se de ter apenas duas riscas espectrais laterais, havendo agora várias componentes espectrais, como é t´ıpico num sinal de FM de banda larga.

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3.3 Desmodula¸

c˜

ao de FM com uma PLL (trabalho de casa)

Nesta experiência um sinal de FM irá ser desmodulado com um dos mais importantes cir-cuitos na electrónica das comunica¸cões: a malha de captura de fase, vulgarmente designada por PLL.

1 A partir do modelo de simula¸cão criado para o modulador de FM usando o método directo (fm.mdl) crie um subsistema e mascare-o de modo a obter um bloco designado VCO com os seguintes parâmetros de configura¸cão:

• Amplitude da portadora em V • Frequˆencia da portadora em Hz • Fase da portadora em rad • Sensibilidade do VCO em Hz/V

2 Com o aux´ılio do bloco VCO, gere um sinal de FM com as seguintes caracter´ısticas:

• frequˆencia do sinal modulador: fm= 1 kHz

• sensibilidade do modulador: kf =2 kHz/V

3 Crie um modelo Simulink (fm pll.mdl) que realize um desmodulador de FM baseado numa PLL, capaz de desmodular um sinal de FM gerado no ponto anterior.

Para o filtro da malha use um filtro passa-baixo Butterworth de primeira ordem com frequência de corte 1,2 kHz. Para o filtro de sa´ıda use um semelhante ao anterior mas de oitava ordem.

O VCO da PLL tem iguais caracter´ısticas ao usado no modulador

4 Mude a frequência de oscila¸cão do VCO da PLL cerca de 1% (para cima e para baixo) e tire conclusões. Altere também a sensibilidade deste VCO e justifique o efeito ocorrido.