Sistemas quânticos com massa espacialmente variável induzidos por defeitos topológicos.

U N I V E R S I D A D E F E D E R A L D E C A M P I N A G R A N D E C E N T R O D E C I E N C I A S E T E C N O L O G I A C O O R D E N A C A O D E P O S - G R A D U A C A O E M F I S I C A

D I S S E R T A C A O D E M E S T R A D O

S I S T E M A S Q U A N T I C O S C O M M A S S A

E S P A C I A L M E N T E V A R I A V E L I N D U Z I D O S P O R

D E F E I T O S T O P O L O G I C O S

Mayara de L i m a Freitas

C A M P I N A G R A N D E 2014

-U N I V E R S I D A D E F E D E R A L D E C A M P I N A. G R A N D E C E N T R O D E C I E N C I A S E T E C N O L O G I A C O O R D E N A g A O D E P O S - G R A D U A C A O E M F I S I C A

D I S S E R T A g A O D E M E S T R A D O

S I S T E M A S Q U A N T I C O S C O M M A S S A

E S P A C I A L M E N T E V A R I A V E L I N D U Z I D O S P O R

D E F E I T O S T O P O L O G I C O S

M a y a r a de L i m a Freitas

Dissertagao realizada sob a orientaeao do Prof. Dr. Cleverson Filgueiras, apresen-tada a Unidade Academica de Fi'sica era complementacao aos requisites para ob-tencao do t i t u l o de Mestre em Fisica.

C A M P I N A G R A N D E

-MAYARA DE LIMA FREITAS

Sistemas Quanticos com Massa Espacialmente Variavel Induzidos por

Defeitos Topologicos

Dissertacao aprovada em 27/08/2014

BANCA EXAMINADORA

Prof. Dr. Cleverson Filgueiras

Unidade Academica de Fisica - UFCG

(Presidente)

Prof. Dr. Lincoln Rodrigues Ribeiro Filho

Unidade Academica de Fisica - UFCG

(Membro interno)

Prof. Dr. Marcelo da Silva Vieira

Centro de Ciencias Exatas e Sociais Aplicadas- UEPB

(Membro externo)

SISTEMAS QUANTICOS COM MASSA

E S P A C I A L M E i . T E V A R I A V E L INDUZIDOS

POR DEFEITOS TOPOLOGICOS

M A Y A R A D E L I M A F R E I T A S

Aprovada em

B A N C A E X A M 1 N A D O R A

Prof. Dr. Cleverson Filgueiras Orientador

Prof. Dr. Marcelo Vieira Examinador

Prof. Dr. Lincoln Rodrigues Ribeiro Filho Examinador

A minha m,ae Maria Veralucia Alves de Lima, que e o meu alicerce em, tudo na vida

"0 estudo em geral, a busca da verdade e da beleza sao dominios em que nos e consentido ficar criangas toda a vida". (Albert Einstein)

"Existe uma coisa que uma longa existencia me ensinou: toda a nossa ciencia, comparada a realidade, e primitiva e inocente; e, portanto, e o que

A G R A D E C I M E N T O S

E m primeiro lugar a Deus por ter me concedido a oportunidade de exis-tencia, a saude, a inteligencia e a forca de vontade para levar este trabalho a diante. Agradeco tambem a minha mae que sempre foi meu ponto de apoio, meu exemplo de superacao e amor, ao incentivo do meu pai, e tor-cida do meu irmao e familiares; A o meu professor e orientador Cleverson Filgueiras pelo apoio, interesse em me auxiliar, toda a dedica^ao e pela troca de conhecimentos que o mesmo me proporcionou, assim como estou agrade-cida tambem pela colaboraeao do professor e coorientedor, Marcelo vieira. Aos meu amigos, pela paciencia, compreensao e torcida, e dentre eles,quero agradecer especialmente a minha amigona de todas as horas Raissa Maria Pimentel Neves pelo auxilio nos estudos em toda a caminhada academica e tambem a Desiane Maiara Gomes dos Santos pela ajuda dada, tambem contribuindo para esta conquista. Sou grata tambem a todos aqueles que torceram pela minha vitoria ate entao, aos demais professores do Departa-mento de Fisica que contribuiram com a minha formagao e por fim a CAPES pelo apoio financeiro que me prestou durante todo o periodo do curso.

R E S U M O

A manipulacao dos potentials que agem sobre o eletron em superficies semicondutoras a partir da criagao de heteroestruturas que geram sistemas de massa variavel, tern sido de fundamental importancia para o desenvol-vimento de nanodispositivos eletronicos. Tais sistemas podem ser obtidos atraves da dopagem de materials ou da insergao de defeitos geometricos. Neste trabalho analisamos os efeitos causados nos coeficientes de refiexao e transmissao que uma deslocagao em parafuso acarreta em nanoestruturas cilmdricas semicondutoras. Concentramos nosso estudo nos casos em que as mesmas assemelham-se a u m degrau potencial e a u m poco quantico, obser-vando as similaridades de comportamento entre os defeitos e as juncoes Pns dopadas, e suas influencias na dinamica da particula.

P a l a v r a s Chaves: Semicondutores, jungoes PNs, defeitos, refiexao e transmissao.

A B S T R A C T

The manipulation of the potential acting on the electron in semiconductor surfaces from creating heterostructures that generate variable mass systems, has been of fundamental importance for the development of nanoelectronic devices. These systems can be obtained by doping materials or the inclu-sion of geometric defects. This study analyzes the effects of the coefficients of reflection and transmission that shifted cylindrical screw carries i n nanos-tructures semiconductor. We concentrated our study i n cases where the same resemble a step potential and quantum wells, noting the similarities between the behavior of defects and PNS doped junctions and their influence on the particle momentum.

K e y W o r d s : Semiconductors, P N junction, defects, reflection and trans-mission.

Sumario

1 I n t r o d u g a o 1 2 S e m i c o n d u t o r e s , B a n d a s de E n e r g i a e J u n g o e s P N s 8 2.1 Bandas de Energia 9 2.2 Massa Efetiva 12 2.3 J undoes Pns 14 3 I n c i d e n c i a de p o r t a d o r e s n o D e g r a u P o t e n c i a l 16

3.1 Potencial Degrau com Massa constante 17 3.1.1 Potencial Degrau (Incidencia Normal: E < Va) 17

3.1.2 Degrau Potencial (Incidencia Obliqua: E < Vo) . . . . 20

3.2 Potencial Degrau com massa variavel 24 3.2.1 Potencial Degrau com massa variavel(Incidencia Obliqua:

E<V0) 25

3.3 Barreira Potencial com massa variavel 27

4 P o r t a d o r e s e m u m a g e o m e t r i a c i l i n d r i c a c o m deslocagao p a

-r a f u s o . 30

5 I n c i d e n c i a de p o r t a d o r e s e m u m P o g o de p o t e n c i a l 37

5.1 Pogo Quantico (Caso: E < V0) 38

5.2 Geometria cilindrica com deslocagao em Parafuso, aplicada ao

pogo quantico 42

6 C o n c l u s a o 46

Lista de Figuras

2.1 Bandas o niveis de energias 10 2.2 Jungao P n de u m semicondutor 15

3.1 Degrau potencal,(£ < V0) 17

3.2 Vetores de onda (incidencia obliqua) 21 3.3 Coeficiente de transmissao em fungao energia E em unidades

de ^ com uma escala linear da velocidade v = [ 2 ( E — Vo/m J. 27

3.4 coeficiente de transmissao T para uma barreira com uma lar-gura tal que a = nh(m. Vb)~ , para diversas relagoes de massa em funcao da energia E em unidades de E/VQ Nao com uma

escala linear na velocidade v = [2(E — Vo)/m ] ~1/2 29

4.1 superficie cilindrica com deslocagao em parafuso 31 4.2 semicondutor cilmdrico com deslocagao em parafuso (a linha

tracejada representa o defeito gerador da torcao helicoidal na

estrutura.) 33 4.3 Grafico da Refiexao em funcao da energia c devido a variagao

no defeito K 36 4.4 Grafico da Transmissao em funcao da energia e devido a

va-riacao no defeito K. 36 5.1 Pogo Potencial Quantico simples 38

5.2 semicondutor cilindrico com deslocamento parafuso (semelhante

ao pogo quantico) 42 5.3 Coefieiente de Transmissao em fungao da energia, para

porta-dores em u m pogo potencial com deslocagao parafuso 45 5.4 Coeficiente de Refiexao em fungao da energia, para portadores

em u m pogo potencial com deslocagao parafuso 45

Capitulo 1

Introducao

Nos ultimos 50 anos tern havido uma relacao cstreita entre Fisica de Semi-condutores, tecnologia e engenharia de dispositivos eletronicos, que exempli-fica as dimensoes do empreendimento cientlfico a partir da mais pura Fisica [1]. O desenvolvimento da ciencia de semicondutores foi muito mais u m es-forco de organizacao coletiva, do que individual. Ao contrario da Mecanica quantica, onde haviam muitas figuras dominantes como Niels Bohr, Wer-ner Heisenberg, E r w i n Schrodinger, Wolfgang entre outros, a ciencia dos semicondutores foi desenvolvida por cientistas trabalhando em conjunto em laboratorios de empresas como: Bell Telephone Laboratories, General Elec-tric, RCA e outras. O seu desenvolvimento tecnologico baseou-se durante a segunda guerra mundial em detectores de microondas para uso de radares, que usavam Silicio e Germanio. U m pouco antes do final da Guerra a Bell

laboratories lancou u m documento chamando "sous cietistas"incentivando a dedicagao ao desenvolvimento de componentes completainente novos para sistemas de comunicagao. A invencao do transistor ocorrcu dois ou tres anos mais tarde por J . Bardeen em 1947, sua primeira aplicagao foi em u m apa-relho de surdez [2]. Contudo, a esse tempo, o dispositivo ainda apresentava dificuldades no que diz respeito a sua reproducao e compreensao devido a natureza de seus contatos, resultando portanto, na sua nao importancia i n -dustrial. No entanto sua invengao, foi a fagulha que inieiou a explosao da tecnologia de producao de melhores cristais e do estudo de materials semi-condutores. No final dos anos 50, o transistor Bipolar de Bardeen inieiou o que hoje e a multiniilionaria industria eletronica e de computadores. Os laboratorios de indiistrias, de universidades e do governo americano tinham se desenvolvido na fabricacao de semicondutores elementares de Sih'cio (Si) e Germanio (Ge), e tambem de diversos compostos na forma de cristais de alta pureza com a maioria das propriedades j a conhecidas. Com isso, as teorias para descrever a estrutura de banda comec/iram a aparecer na litcratura e hove o desenvolvimento de varias tecnicas de protegao e encapsulamento de transistores para uso comercial e militar. Desta forma, no comego dos anos 60, toda a tecnologia basica que levou aos circuitos eletronicos altamente complexos e integrados dos dias de hoje j a era conhecida.

Atualmente, o estudo do comportamento dos sistemas eletronicos que apresentam defeitos topologicos esta conccntrado dentro da teoria dos

feitos geometricos e o estudo de sistemas quanticos no espago com diversas topologias tern sido abordado em diferentes areas da fisica como, por exem-plo, a gravitagao e a fisica da materia condensada. No contexto da materia condensada, a mudanga na topologia em u m meio material introduzida por um defeito na estrutura do sistema, desempenha u m papel importante na de-terminagao das propriedades fisicas, quimicas e estruturais do mesmo. Tais defeitos sao classificados quanto a sua dimensao, sendo esses pontuais, linea-res ou superficiais. A infiueneia destcs nas quantidades fisicas de u m eletron pode ser compreendida atraves da abordagem geometrica, onde as condigoes de contorno impostas pelo defeito serao incorporadas matematicamente como uma metrica numa geometria efetiva. A Geometria Diferencial tern u m lugar importante na compreensao da natureza e tern contribuido com os avangos tecnologicos ao longo dos anos. Esta abordagem geometrica esta baseada na correspondencia, do ponto de vista matematico, que existe entre a teoria de defeitos em solidos e a teoria da gravitagao [3] [4]. Muitos solidos tern uma estrutura cristalina e a maioria das su^is propriedades fisicas, tais como a plasticidade, ponto de fusao, o crescimento, etc, sao definidas por defeitos da estrutura cristalina. Portanto, o estudo cientifico destes defeitos e sig-nificative para aplicagoes. Uma ampla investigagao experimental e teorica desses defeitos em cristais comegou na decada de t r i n t a do seeulo passado e esta sendo continuada hoje em dia. U m a abordagem mais promissora para a teoria de defeitos e baseada na geometria de Riemann-Cartan que e

terminada pela metrica nao trivial e de torgao. Nesta abordagem u m cristal e consider ado como u m conjunto de meios elasticos continuos que formani uma estrutura de rotagao bidmensionais, passiveis de determinacao da auto-energia das cargas que se encontram na presenga de distribuigoes continuas de disclinagoes ou deslocamentos, as quais fornecem o espalhamento quantico de uma eletron devido a defeitos topologicos com: dispiragao, efeitos da torgao sobrc campos electromagneticos. fase quantica Berry, fases geometricas em cones de grafite e etc [5].

A partir destas novas geometrias, recentes a.vangos na manipulagao de nanoestruturas tern permitido a fabricagao de sistemas quanticos com d i -mensoes cada vez mais reduzidas. Do ponto de vista teorico, as caracterfsticas particulares exibidas por estes sistemas quanticos confinados sao interessan-tes, devido a peculiaridades surgidas a partir das interagoes entre a geometria e a fisica quantica, pois, na verdade, quando o eletron e fortemente con-finado em uma dessas superficies suavemente curvas, ele experimenta uma energia potencial efetiva cuja magnitude depende destas curvaturas locais que o mesmo atravessa. E devido a este efeito, os portadores nao podem movimentar-se livremente, mesmo na ausencia de impurezas. Isto implica que o transporte quantico em nanoestruturas de baixa dimensao pode ser con-trolado por alteragoes das curvaturas geometricas locais [6]. A compreensao das propriedades basicas destes fenomenos quanticos e de vital importancia para a construgao de nanodispositivos eletronicos com superficies quase b i d i

mensionais onde a curvatura e os efeitos quanticos desempenhani u m papel importante. Alguns exemplos destes dispositivos incluem tiras unicas de cris-tal NbSes Mobius, CdSeZnS esfericas core-shell, pontos quanticos. Si nanofio, transistores nanofita, guias de onda quantica etc [7]. Varias publicacoes tern tratado o controle de particulas da mecanica quantica a uma superficie b i -dimensional (com aplicagoes em problemas de equacao de Schrodinger por exemplo, ou em problemas relativistas da cquagao de Dirac), j a para sistemas bidimensionais tcmos a priori uma idealizacao razoavel para quantizar l i m i -tando a particula em u m nanotubo. A teoria dos defeitos em superficies semi-condutoras nos permite a possibilidade da criagao de estruturas semelhantes a sistemas de massa variavel como: barreiras de potencial, pogo quantico, entre outros, os quais acarretam efeitos na dinamica da particula, podendo servir para a fabricagao de dispositivos eletronicos, baseados na manipulagao quantica de portadores de cargas confinados em nanotubos. U m dos tipos de defeitos em superficies, c o chamado deslocamento em parafuso, que tern influencias letronica e optica, profundas nas estruturas, por desempenhar papel semelhante ao de u m tubo isolado do fluxo magnetico, com equagao de Schrodinger dotada de u m potencial vetor eficaz que pode causar efei-tos Aharonov-Bohm (que afirma que em certas circunstancias, os eletrons sao capazes de " s e n t i r ' a presenga de u m campo magnetico proximo, ainda que estejam transitando em regioes do espago onde a atividade energetica e zero.),rotagao de polarizagao da luz, atribuidos ao campo de calibre induzido

no deslocamento, entre outros [8] [9] [10].

Apesar da pouca quantidade de trabalhos disponiveis a respeito dos efei-tos que este deslocamento, acarreta no transporte quantico, neste trabalho, objetivouse mostrar alguns resultados da insergao deste tipo de defeito t o -pologico em nanoestruturas cilmdricas, afirn de analisar se os comportamen-tos nos coeficientes de refiexao e transmissao da particula, foram condizen-tes com os normalmente observados em diversos casos:degrau potencial,pogo quantico e etc. Nossa Abordagem e iniciada no capitulo 2 com algumas ex-plicacoes e definigoes a cerca de estruturas semicondutoras, da formagao das bandas de energia e das caracteristicas adquiridas pela particula, decorrentes das influencias que a mesma recebe ao passar de u m meio para outro, como e o caso da variacao de sua massa efetiva. No capitulo seguinte 3 fazemos u m resgate do problema quantico da barreira potencial com E > V para o caso de incidencia normal e obliqua de portadores, considerando a variacao sofrida na massa efetiva da particula, e sua influencia nos coeficientes de refiexao e transmissao da mesma, comparando os resultados obtidos nos graficos com os j a observados e esperados para o caso em que a massa se mantem cons-t a n cons-t s No capicons-tulo subsequencons-te 4, realizamos u m escons-tudo a cerca da geragao de situagoes com massa variavel, que geram regioes semelhantes a jungoes PNs, a partir do acrescimo de defeitos de torgao em forma de parafuso, em estruturas cilindricas de nanotubos atraves de modificagoes no raio da estru-tura. Afim de observar as consequencias e influencias da topologia sobre o

portador, seguindo o mesmo procedimento do capitulo anterior em terinos de analises e comparagoes a cerca dos efeitos esperados para os coeficientes de refiexao e transmissao dos portadores. No capitulo 5 realizamos o mesmo procedimento do capitulo antecedente, so que agora para o caso de u m pogo quantico, calculando as influencias que esta nova estrutura acarreta no porta-dor de carga livre ao atravessa-la, verifando se houveram mudangas bruscas em seus coeficientes, afim de conseguir com isto, possiveis contribuigoes em aplicagoes futuras em nanodispositivos eletronicos.

Capitulo 2

Semicondutores, Bandas de

Energia e Juncoes PNs

Existem algumas propriedades basicas de eletrons movendo-se em cristais que sao fundamentals para a compreensao dos mecanismos responsaveis pela corrente eletrica em u m material e para sua utilizagao na Eletronica. U m eletron num atomo isolado tern estados quanticos estacionarios caracteriza-dos por niveis de energia discretos e quantizacaracteriza-dos, correspondendo aos orbitais atomicos designados por Is. 2s, 2p, 3s, 3p, 3d, etc. E m u m atomo contendo muitos eletrons, o estado fundamental e obtido a partir da distribuicao dos varios eletrons pelos niveis de menor energia possivel, obedecendo ao postu-lado da mecanica quantica, desiginado de Princfpio de Exclusao de Pauli, o qual fora formulado pelo fisico suigo de origem austriaca Wolfgang em 1925, que o fez obter o Premio Nobel da Fisica em 1945. Segundo este principio.

a Natureza nao permite que num mesmo sistema, existam dois eletrons com a mesma energia e em estados que coincidam os quatro numeros quanticos: principal, secundario, magnetico e de spin. A partir deste principio, que tambem e valido para todas as particulas com spin semi-inteiro, como e o caso dos protons e neutrons, e possivel deduzir a distribuicao eletronica em camadas no atomo e consequentemente, o sistema periodico dos elemcn-tos. Portanto, como o eletron e dotado de spin (possiveis orientagoes que particulas subatomicas carregadas como protons, electrons e alguns nucleos atomicos podern apresentar quando imersos em u m campo magnetico) cada estado orbital comporta dois eletrons com spins opostos. Mas como tratamos de u m grande numero de atomos, os estados eletronicos modificados quando aproximamos estes atomos tornam-se u m problema quantico bem mais com-plicado do que num atomo isolado, pois os eletrons de cada atomo sao sujeitos a interagao com os atomos vizinhos. O que ocorre e que ao trazermos u m atomo isolado para proximo de outro, os niveis de energia de cada u m sao perturbados levemente pela presenca do vizinho. Aproximando u m grande mimero de atomos, teremos uma grande numero de niveis proximos uns dos outros, formando as chamadas bandas de energia [11].

2.1 Bandas de Energia

Levando em considergao o caso de dois atomos de hidrogenio se aproximando, percebe-se que ocorre u m acoplamento entre os estados quanticos de cada

atomo, resultando numa divisao em dois novos estados. U m efeito similar acontece ao aproximarmos N atomos de qualquer elemento. Os niveis dis-cretos dos varios atomos, agora proximos, sofrem acoplamentos, resultando em faixas ou bandas de energias de estados permitidos. Cada banda for-mada apresenta u m numero muito grande de estados permitidos. U m a banda pode estar separada da proxima banda por uma faixa de energia proibida, ou seja, mesmo sem estados permitidos possuir ainda larguras que podem variar bastante, depcndendo do elemento quimico constituinte do solido, podendo inclusive ser negativo devido a sobreposicao de duas bandas consecutivas (figura 2.1).

E n e r g i a

—

\

Banilas de e n e r g i a p e r m i t i d a s

Figura 2.1: Bandas e niveis de energias

Estas bandas de energia sao caracterizadas pelo fato das energias possfveis dos eletrons estarem agrupadas em bandas permitidas, separadas por bandas

proibidas no interior de u m solido. Devido a periodicidade do potencial criado por ions nos solidos, sao definidos dois tipos de bandas: bandas de Valencia que sao as bandas de energia mais profundas e completamente ocupadas por eletrons, sendo inertes do ponto de vista termico e eletrico, correspondendo aos niveis atomicos de energia mais baixa, que levemente sao afetados pela presenga de outros atomos no cristal; e as bandas parcialmentes preenchidas, chamadas de bandas de conducao. N u m Cristal com n eletrons, o estado fundamental de energia e obtido preencliendo-se os niveis de menor energia de modo a termos somente u m eletron em cada estado. Como ha duas celulas unitarias por estado em cada banda, o numero de bandas ocupadas no estado fundamental e u m numero inteiro ou semi-inteiro. Logo, em u m cristal com temperatura de zero Kelvin, haverao varias bandas preenchidas por eletrons, sendo as propriedades de condugao do cristal dependentes do fato da u l t i m a banda estar cheia ou nao. Com isso temos os isolantes, que sao materials que nao conduzem corrente eletrica, pois sao cristais que possuem a ultima banda completamente cheia. Neles, a aplicagao de u m campo eletrico externo nao pode alterar o momentum total dos eletrons que e nulo, pois todos os estados estao ocupados, nao havcndo passagem da corrente eletrica quando o campo e aplicado. Temos tambem os materials condutores, chamados de metais, que contem a u l t i m a banda semi-cheia que ocorre sempre que o numero de eletrons por celula unitaria for impar, sendo possfvel a ocorrencia de uma mudanga nos estados dos eletrons com a aplicagao de u m campo eletrico,

resultando em uma corrente eletrica. E por fim, temos os Semicondutores que possuem uma condutivida.de significativa, visto que, em u m Cristal iso-lante, somente na temperatura T — OK a ultima banda (que e a de Valencia completamente cheia, estando em temperaturas maiores que zero) propicia aos eletrons presentes u m ganho de energia termica suficiente para atingirem a banda seguinte, o que consiste na conducao, resultando em estados vazios, que se comportam como portadores de carga positiva, chamados de buracos, gerando corrente eletrica durante este processo. A condutividade do material depende da quantidade de eletrons que passam para a banda de condueao e esta quantidade e proporcional a temperatura e a energia de separacao exis-tente entre as duas bandas; esta energia de separacao e representada por Eg,

onde o fndice g vem da palavra gap, que significa Hiato. Ja os materials que sao isolantes a T = OK tern Eg relativamente pequeno, da ordem de 1 eV

ou menos, a temperatura ambiente, o que os faz possuir uma condutividade significativa. [11].

2.2 Massa Efetiva

Quando u m eletron encontra-se sob a acao de u m campo eletrico, de u m campo magnetico ou de u m potencial periodico acelerado, em relagao a rede, este pode sofrer variacoes nurnericamente diferentes em sua massa inicial, acarretando alteragoes profundas em suas propriedades dinamicas. Este fato, faz com que a particula adquira u m comportamento como se possuisse uma

massa efetiva, isto nao implica que o cristal va pesar menos se a massa efetiva do portador for menor do que a massa do eletron livre, nem tambem que a segunda lei de Newton sera violada para o cristal considerado como u m todo.

[12, 13].

U m eletron em movimento e descrito por u m pacote de onda que move-se com uma velocidade de grupo vg = Sendo E = hw, podemos escrever

dE

8K, = hvg (2.2.1)

dE — hvgdK <==> dE — fiVgdu (2.2.2)

Caso este eletron seja submetido a uma forca F de uma campo eletrico, sua energia ira variar de acordo com

d E = Fdx (2.2.3)

Portanto, podemos igualar (2.2.2) com (2.2.3), obtendo

Fdx = hvgdK (2.2.4)

Como dx = Vgdt vem,

F = U% (2.2.5)

o que nos leva a segunda lei de Newton. Fato que nos surpreende, por talvez esperarmos u m efeito mais drastico do potencial sobre o movimento

do eletron. Coin isso. vemos entao que a rede nao afeta a forma da equagao da variagao do momento e sim a dependencia da energia com o momento, resultando, portanto, numa mudanga na massa do eletron [11].

A aceleragao do eletron, espressa em fungao de E e K , pode nos a j u -dar a mostrar essa provavel dependencia da energia com o momento como causadora de sua respectiva mudanga na massa. sabendo que

dva , i d2E , , d2E dK, ,n n „.

a = —~ = fi - r — — — h~ ——7T ~x~ i 2.2.6

substituindo o valor de dn/dt dado pela equagao 2.2.5, obetemos

Como a forga e dada pela segunda lei de Newton / = ma, vemos que sob a agao de uma forga externa o eletron no cristal age semclhantemente a u m eletron fora do cristal (eletron livre), porem, com uma massa e f e t i v a [11]

rn = w (2.2.8)

2.3 J lingoes Pns

U m material semicondutor pode ser dopado com diferentes impurezas, pos-sibilitando com isto, a fabricagao de uma grande variedade de dispositivos eletronicos. E m cada dispositivo semicondutor existe pclo menos uma jungao Pn, a qual e formada por uma fina camada de transigao com espessura na faixa de 10~2 a 1/im, onde o lado p e composto por buracos e o lado n por

eletrons. A regiao nas proximidades desta juncao e chamada de transigao ou deplegao e o campo criado na mesma, corresponde a uma diferenga de po-tencial VQ entre o lado p e o lado n, impcdindo a passagem de portadores de u m lado para o outro, formando uma barreira de potencial que e o fenomeno fisico mais importante que ocorre na juncao. por ser o principal responsavel por suas caracteristicas eletricas. [11].

P N

+ + + +

4- + + +

+ -j- -f Hh

+ + + +

4- + + +

+ -j- -f Hh

^

Figura 2.2: Jungao P n de u m semicondutor

A introducao destas definigoes sobre dispositivos semicondutores. massa efetiva do eletron e jungoes Pns, nos conduzem a compreensao teorica a res-peito de suas relagoes com superficies os degraus e pogos quanticos potenciais, em torno dos quais se desenvolvera nosso trabalho.

Capitulo 3

Incidencia de portadores no

Degrau Potencial

Neste capitulo resgatamos um sistema muito comum na M . Quantica que e o Potencial Degrau, onde portadores de cargas livres deslocam-se atraves de meios distintos, dinamica esta que acarreta alguns efeitos nos coeficientes de reflexao e transmissao da particula, dependendo da maneira em que a mesma seja incidida. Analisamos para isto os casos de incidencia normal e obliqua de u m portador em uma juncao P N . Considerando os casos com massa constante e variavel.

3.1 Potencial Degrau com Massa const ante

\

M

Figura 3.1: Degrau potencal,(E < VQ)

0 potencial degrau consiste em uma regiao x < 0 na qual a energia potencial e nula, seguida de uma regiao x > 0 na qual a energia potencial e constante e de valor EQ. Vamos inicialmente analisar a travessia da particula atraves do degrau, desconsiderando as alteracoes que a descontinuidade no potencial causa na massa efetiva da mesma.

3.1.1 P o t e n c i a l D e g r a u ( I n c i d e n c i a N o r m a l : E < V

0

)

O estudo das propriedades ondulatorias associadas a propagagao de uma particula quantica de massa m e energia E. que se movinienta unidimensio-nalmente e incide sobre u m potencial V , parte da resolucao da equagao de Schrodinger independente do tempo

2fi axz

(3.1.1)

que possui respectivamente a seguintes caracteristicas, antes (onde V\ — 0) e depois ( V 2 = VQ) do degrau : -h2 fd2ib *-) + Vlil;(x) = Eil)(x) (3.1.2) 2m V dx2 i_ 2 / Q2 / ) + V2ip(x) = E^(x) (3.1.3) 2rn \dx2

cujas solugoes sao funcoes de onda V'O'E) associadas a particula.

ip(x) = A(ikx) + (3.1.4)

^(rc) = C( , f c l ) (3.1.5)

onde os vetores de onda sao respectivamente, antes e depois do degrau, k. — \J2mEIfrach2 e A;' = y/2m(E — A descontinuidade do potencial em

x = 0 exige cuidados adicionais, pois '-f{x) e ^ devem ser finitas, continuas e univocas onde (f(x) e uma funcao bem comportada. Como o potencial V(x) e finito (embora descontinuo) nesse ponto, e preciso que a segunda derivada, da equacao de Shrodinger, esteja definida e seja tambem finita em x = 0. Isso so sera possivel, aplicando e satisfazendo as condicoes de descontinuidade de

if e sua derivada. Podemos, portato, encontrar a relacao entre os coeficientes

das solugoes gerais, pelas relagoes:

A + B = C (3.1.6) 18

-(A - 13) = -C (3.1.7) rn m

U m a vez definida a forma do potencial V{x), obtemos, portanto, a solugao geral para estas fungao de onda ip(x) e dela conseguimos identificar suas com-ponentes associadas a incidencia ipi(x), reflexao IPR(X) e transmissao ipr(x) da particula. quando sujeita a este potencial. Ao deslocarem-se, as particulas carregam com sigo. densidades de correntes de probabilidades, ou fluxos, que podem ser obtidas atraves da expressao geral

J{* 3.1.8 2mi \ ox ox J

que pode ser particularizada para cada uma das componentes da fungao de onda em questao, ou seja, podemos ter probabilidades de reflexao R(E) e transmissao T(E) da particula. quando sujeita ao potencial V ( x ) . As mesmas sao definidas pelas razoes entre os fluxos refletido e transmitido e o fluxo incidente, que nos permitem calcular os coeficientes de raflexao e transmissao da pellicula. JR R(E) = T(E) J i J r (3.1.9) (3.1.10) Ji

sendo V{x) u m potencial real, entao reflexao e transmissao sao as unicas possibilidades que a particula encontra ao ser incidida, de modo que devemos ter

R(E) + T(E) = 1 (3.1.11) 19

E m outras palavras, ao atingir V ( x ) , o fluxo de probabilidade incidente se desdobra em u m fluxo rcfletido e outro transmitido e, portanto, a Eq.3.1.11 traduz a conservacao do fluxo de probabilidade. Nos problemas de espa-lhamento unidimensionais, as particulas no feixe incidente estao associadas a estados estacionarios, em que o momento linear tern u m valor bem defi-nido. Nestas circunstancias percebe-se que a densidade de probabilidade e independente do tempo e que a corrente de probabilidade deve permanecer continua tambem nos pontos de descontinuidade do potencial. [14].

3.1.2 D e g r a u P o t e n c i a l ( I n c i d e n c i a O b l i q u a : E < VQ)

As leis de Snell descrevem o comportamento de ondas eletromagneticas se propagando atraves de meios com diferentes indices de refragao. A reflexao e a refragao da luz sao fenomenos ondulatorios sujeitos as eondicoes de contorno existentes na interface de separacao das superficies. Na Mecanica Quantica podemos fazer uma analogia destes fenomenos com os efeitos que a uma onda probalilistica sofre ao atravessar u m degrau potencial, que funciona como u m meio de separacao entre meios com indices de refracao distintos. Neste topico repetiremos os calculos da secao anterior, so que desta vez consideramos a incidencia obliqua da onda de probabilidade em uma juncao de semiconduto-res. Assim como na Optica, ao ser incidida a onda de probabilidade reflete e tambem transmite, formando angulos com a horizontal de acordo com o t i p o de incidencia. Analogamente ao caso classico, podemos obter as leis de Snell

e tambem o fndice de refracao quantico dos meios de separagao da onda.

Figura 3.2: Vetores de onda (incidencia obliqua).

A segunda lei de Snell que trata da reflexao total da onda, vera da relacao entre os angulos de incidencia e reflexao das particulas.

ki sin 9i = kr sin 9T (3.1.12)

Oi = Br (3.1.13) A partir da qual, encontra-se a terceira lei que t r a t a da refracao da onda

ki sin Oi = kr sin 0r = kt sin 0t (3.1.14)

sendo, 9i = 9r, temos

ki = kr = kt S- ^ (3.1.15)

sin 9i

21

sabendo que, k{ = kr — fee21, podemos obtcr

ri\, , sin 0t

—kt = kt—- 3.1.16)

7?2 sin Oi

Cujos indices de refracao quanticos resultam das expressoes

(E - V)ip = 0 (3.1.17) dx2 2m

onde, E = fko2 = /i2oj2,e a equacao de shrodinger acima, fica

d2^ 2m, to2 fh2e2(E-V)

dx2 -K1 e2 V E2

O fndice de refracao quantico e, portanto,

^ = 0 (3.1.18)

n= yj2me2^E ^ (3.1.19)

o qual nao depende de h devido ao meio ser dispersivo.

Considerando ainda a massa constante, no caso da incidencia da onda probabilistica ser obliqua, ela estara sujeita a mudanca de meios ao atravessar a barreira e suas funcoes de ondas serao semelhantes ao caso de incidencia normal. Diferindo agora, pelo fato de considerarmos para este problema, as dimensoes x e y, devido ao angulo de inclinacao da incidencia. [15]

P + ^4)+Viip(x) = Eip(x) (3.1.20)

2m \dx2 dy2

Nos cristais de semicondutores, as particulas carregadas estao sujeitas as mesmas condigoes de contorno e tem uma massa efetiva que varia quando a particula se desloca na interface.

* ( 0 - ) = V- ( 0+) ; £ ( 0 - ) = £ ( 0+) (3.1.22)

Sendo as solugoes das fungoes de onda. do tipo:

iP(x,y) = A{ i k x + k y ) + B{-ik'x+ky) (3.1.23)

iP{x,y) = C{ 7 k x + k y ) (3.1.24)

onde os vetores de onda, antes e depois do degrau, sao respectivamente k = \llmE e k' = y/2m(E — V2). Podemos encontrar a partir das condigoes de contorno, as relagoes

A + B = C (3.1.25)

-(A-B) = -C (3.1.26) m rn

temos, no entanto, a velocidade de grupo, dada pela relagao entre os vetores de onda com as massas da particula em sua travessia

k v = — m , k v = — m (3.1.27) (3.1.28) 23

portanto, as relagoes para os cocficicntes de reflexao e transmissao da particula, fleam: \B\ v — v R= f - k = T (3.1.29) \A\2 \v + v'] v \C\ 4 i / i / T = — L - L = 5 (3.1.30 i>|>1|2 ( i / + i / )2 '

o que nos levou a'os resultados,

(y/2Efa+y/2(E-V2/my (3.1.31) T = 4

[(v

/

2^M)

( x / 2 ( ^ - V /2/ m ) ]2 777, (3.1.32)

3.2 Potencial Degrau com massa variavel

Analisemos agora a travessia de uma onda probabilistica novamente com incidencia obliqua sobre u m degrau potencial. so que submetida a variacao na massa efetiva, devido a descontinuidade do potencial, onde nossas expressoes sao escritas em duas dimensoes x e y, e com o acrescimo do parametro m , para representacao da nova massa.

3.2.1 P o t e n c i a l D e g r a u c o m massa v a r i a v e l ( I n c i d e n c i a

O b l i q u a : E < VQ)

No caso que segue teremos as seguintes condigoes para os potenciais e niassas, antes e apos o degrau, ( V = 0, m = TO) e (V > 0 , m = m ) . Cujas fungoes de ondas sao,

t(B

+

w)

+v

^=

E

^

(3

-

2

-

33)

"f t 2 (*% + m +

y

2tlix) =

ex*)

(3.2.34)

2m' \dx2 dy2

Nos cristais de semicondutores, as particulas carregadas estao sujeitas as mesmas condigoes de contorno e tern uma massa efetiva que varia quando a particula se desloca na interface.

V ; ( 0 - ) = ^ ( 0+) ; ^ ( 0 - ) = ^ ( 0+) (3.2.35)

Sendo as solugoes das fungoes de onda, do tipo:

ij)(x, y) = A{ikx) + B(-ik'x) (3.2.36)

iP(x,y) = C(ikx) (3.2.37)

onde os vetores de onda, antes e depois do degrau, sao respectivamente k = \j2mE e k' = \j2m{E — V2). Podemos encontrar a partir das condigoes de contorno, as relagoes

A + B = C (3.2.38) 25

-{A-B) = ^-7C (3.2.39)

rn m

temos, no cntanto. a velocidade de grupo, dada pela relacao entre os vetores de onda com as massas da particula em sua travessia

v = - (3.2.40) m

k'

v = — (3.2.41) m

portanto, as relacoes para os coeficientes de reflexao e transmissao da particula, ficam:

\B\ f v — v

R = f — = 7 (3.2.42)

^ |j4|2 (z/ + i/')

o que nos levou aos resultados,

r = - f ^ = 7 ^ 2 (3-2-43) m R = v ^2 (3.2.44) 4 [ ( v ^ M ) ( > / 2 ( E - V2/ m ' ) ] ' T = (3.2.45) ni

As representacoes graficas para os coeficientes acima, sao dadas nos trabalhos [15], onde o coeficiente de transmissao fora plotado em funcao dos valores de energia.

Figura 3.3: Coeficiente de transmissao em funcao energia E em unidades de p| com uma escala linear da velocidade v = [2(E — Vo/m ] .

3.3 Barreira Potencial com massa variavel

Consideremos agora uma simples barreira de potencial, na qual. os porta-dores tambem sofrem variacao de massa ao se sujeitarem a descontinuidade de potencial oferecida pela mesma. Onde, de acordo com o trabalho [15], podemos atribuir a nova condicao de contorno M~l(x)^, que conduz para

o coeficiente de transmissao a seguinte expressao

- 1

(3.3.46)

- l

(3.3.47)

Ve-se que o comportamento das velocidades de grupo v e v depende crucialmente se m. = rri ou m < m:

(i) quando m = m o coeficiente de transmissao nao vai para a unidade medida que aumenta a energia. E m vez disso, ele mantem oscilante entre a unidade e u m valor menor assintoticao T .

(ii) quando m < m , o coeficiente de transmissao atinge a unidade, mais u m valor de energia alem das transparencias "usuais da Ramsauer-Townsend"que sao obtidas quando o termo ka = 0. Havendo, portanto, transmissao total, que corresponde a T = l [15].

Cujo grafico obtido, segundo [15] para a variacao deste coeficiente em funcao da. atribuicao de valores de energia, esta representado na figura 3.3

T = o 'o s 2 sin2 k'a R = 1 + V* — V • 2 i i sin k a 28

Figura 3.4: coeficiente de transmissao T para u m a barreira com u m a largura t a l que a = n f t ( m ' V o )- 1/2, para diversas relagoes de massa em funcao da

energia E em unidades de E/VQ Nao com uma escala linear na velocidade

v =l2(E-V0)/m'}-^

Capitulo 4

Portadores em uma geometria

cilindrica com deslocacao

parafuso.

Quando urn portador de carga atravessa uma barreira de potencial ele fica sujeito as condigoes de contorno existentes na mesma. devido a uma D D P (diferenga de Potencial) existente entre os meios que a compoe. Algumas literaturas apontam que deformagoes feitas em superficies semicondutoras, podem acarretar efeitos sobre as propriedades de transmissao da particula, ocasionando interferencia quantica induzida e comportamentos oscilatorios em fungao dos parametros geometricos [16]. Para tanto, analisamos. as i m -plicagoes fisicas que u m semicondutor cilindrico com jungoes retorcidas em parafuso, gerando uma situagao semelhante ao degrau potencial, podem acar-retar na dinamica da particula, ao atravessa-lo.

Figura 4.1: superficie cilindrica corn deslocagao em parafuso

Refizemos os calculos anteriores para u m degrau potencial simples, le-vando em conta novamente a variacao na massa efetiva da particula, so que agora acrescentando os novos parametros da geometria. Partimos da teoria dos defeitos em meios elasticos, onde a geometria induzida por um desloca-mento parafuso em uma amostra cilindrica e dada pelo eledesloca-mento de linha, onde os parametros de uma medida da magnitude do defeito e as

coorde-nadas cilindricas obedecer a identificagao habitual,(p, ip, z) ~ (p, <p + 2, z) e simplesmente produz-se a geometria deste espaco.

dl2 = dp2 + p2d<p2 + (dz + Kdipf (4.0.1)

onde K representa a medida da magnitude do defeito. E m nossa figura 4.1 o raio inicial da casca cilindrica e R. Ao atribuirmos o parametro K, obtemos, portanto, um novo raio r com coordenada longitudinal para a area deslocada. segundo [17].

Observando-se a Equacao 4.0.1 podemos escrever u m novo elemcnto de linha equivalente, para a geometria bidimensional de uma concha cilindrica com deslocacao em parafuso

dl2 = R2dp2 + {dz + Kdipf (4.0.2)

onde o paramtro R c o raio do cilindro, cujas coordenadas cilindricas sao:

(</?, z) (ip + 2 , 2 ) . Defindo, portanto, o novo raio e uma nova coordenada

longitudinal para a parte que contem o defeito, obtemos

r = y/R2 + K2\z = -Vr2-K2 (4.0.3)

r

que geram uma nova configuracao para a expressao 4.0.2

r2 1 2KT

dl2 = r 2 + dtp2 + — -dz'2 +-===dz d<f

r2 - K1 y/r2 - /c

uma nova variavel de angulo fora defmida,

KZ

r\Jr2 — K,2

f 1.0.5)

0 = <p+ (4.0.6) gerando a seguinte expressao

dl2 = r2d92 + dz'2 (4.0.7)

onde as novas coordenadas cilindricas sao,

faz) (9 + 2,z2) (4.0.8)

o que nos leva a perceber a semelhanca entre as geometrias, onde em uma casca cilindrica de raio R e deslocamento parafuso para u m parametro e gco-metricamente equivalente a uma casca comum com u m raio r = (R2 + K2)1/2.

Figura 4.2: semicondutor cilindrico com deslocacao em parafuso (a linha tracejada representa o defeito gcrador da torcao helicoidal na cstrutura.)

Nossa supcrficic trata-se de u m cilindro contendo jungoes retorcidas seme-111 antes a u m degrau potencial (figura 4.2). Podemos analisa-la, portanto, similarmente ao problema da particula livre. Partimos das j a conhecidas fungoes de onda, dadas respectivamente antes e depois do degrau por:

-h2 dfa

2 m dz'2

£ + = Efr (4.0.9)

+ V2ih = Etp2 (4.0.10)

2 m dz2

organizando-as, afirn de destacarmos os termos que rcpresentam os vetores

de onda da parttfcula, temos d2ib (2mE 2m Vi . + [ - T 5 ^ ^ 1 = 0 (4.0.11, dz2

V

ft ft ^ + ( ^ _ 2 j ^ (4_0_12) dz2

V

ft ft

scndo os potenciais antes e depois da juncao, V\ = 8 w (7?2+ K2) e V2= de

acordo com os trabalhos [16], podemos escrever os vetores de onda antes do degrau e apos

2m E 2m'{-h2) . „«

^ v ^ + s ^ W U

( 4 0 1 3 )

/2m£? 2m (—ft) + ^

sabendo que a velocidade de grupo e dada pela relacao

, k' v = —

m (4.0.15)

v = — (4.0.16) m

e que nestc problcma, continuamos analisando o caso com massa variavel, a qual assumira a forma, rn — ,m , . Podemos, portanto, calcular os

coeficientes R e T , atraves das relacoes

R =

V

+

4

(4.0.17)

T = (4.0.18)

resultando, portanto, nas seguintes expressoes para os coeficientes R e T , respectivamente R = 2 / »t \ ti2

(Yjp)

(4.0.19) T =

ft

2 87m(/?2+k2) V 771 ' I I m \ lip , /12 1 / /1 + 7 ? \ V1 + 712 L J (4.0.20)

onde nas equacoes acima, apos alguns calculos e simplificacoes, a grandeza

8 m^E foi considerada apenas possumdo dimensoes de energia. Com isso,

foram plotados os graficos dos coeficientes de Transmissao (figura 4.3) e re-flexao (figura 4.4), em funcao do acrescimo de energia, e percebeu-se que para alguns valores de energia, as curvas transmitem totalmente, fato este que co-nicidiu com as variacoes do defeitos para menores valores. Onde o inverso tambem foi observado, ou seja, para u m parametro de defeito maior, me-nos transmissao e consequentemente, mais reflexao. Portanto. para valores criticos o contorno transforma-se de refletor para u m transmissor.

Coefici«nt< de Reflexio i-. 0.80.6 -R 0,4-X-0 3 0,4-X-0 i 0,4-X-0.8 " — X-l1

Figura 4.3: Grafico da Reflexao em funcao da energia e devido a variagao no defeito K. Coeficiente de Tranjmmio

77

_ ^ t.jo-. 0.8 • 0.7-To ; - 0.4- 0.3--— 1 1 01-1 01-1 01-1 01-1 01-1 01-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0,2 0 CU 0,4 0,6 0,8 1 -I I — 1 « Q 3 X=0.5 X-OS X-l

Figura 4.4: Grafico da Transmissao em funcao da energia c devido a variagao no defeito K.

Capitulo 5

Incidencia de portadores em

u m Poco de potencial

Sistemas eletronicos baseados em heteroestruturas de pogos quanticos tern sido largamente utilizados para a confeccao de diversos dispositivos eletronicos e opto-eletronicos, tais como fotodetectores, moduladores opticos, transistores, lasers, etc [18]. N a Mecanica Quantica dentre as diversas hete-roestruturas que podem ser produzidas atraves das tecnicas de crescimento epitaxial, a de u m pogo quantico simples e certamente a mais pesquisada, a qual 6 u m sistema composto de dois materials semicondutores com "gaps" de energia diferentes e pode ser construido, por exemplo, crescendo-se uma camada de GaAs entre duas camadas entre duas camadas de AlxGa\-xAs.

O AlxGa\-xAs possui u m "gap" de energia maior que o GaAs e a estrutura

criada forma uma regiao de confinamento bidimensional para os portadores

de cargas, com niveis de energia discretos e caracteristicos desse pogo em particular. Alterando-se a concentracao de A l nas camadas de AlxGa\-xAs,

modifica-se o "gap" de energia do material, sendo possivel, inclusive, contro-lar os niveis de energia dos eletrons e dos buracos no poco quantico [19] [20].

Nesta secao relembraremos o caso do pogo potencial, cujas expressoes sao semelhantes as do problema da barreira potencial tratada anteriormente, em que a energia e maior que a altura da barreira, E > Vq. Temos portanto, u m potencial nulo, que possui a solugao para a funcao de onda na regiao interna igual a da particula livre:

Figura 5.1: Pogo Potencial Quantico simples

5.1 Pogo Quantico (Caso: E < V q )

(5.1.1)

Nas regiocs externas a equagao de Schrodinger tern a forma - a2 dHjx)

2m. dx2

+ V<fll)(x) = EiP(x) (5.1.2)

cujas solugoes para antes e depois das barreiras sao correspondentes tambem as da particula livre

rp(x) = Aexp (ik'x) + Bexp (—ik x). x < — (5.1.3)

ij)(x) = C e x p (ika'x) + 1)exp (-ik'x)ix > ^ (5.1.4)

com k = y^^^p e k' = \ J2 m^E r~ ^ - , consideramos o caso em que 7J> = 0, que

correponde a uma onda incidente pela esquerda sobre o pogo de potencial, Podendo serem determinadas a partir das solugoes acima apresentadas, as constantes A , B, C, D F e G, igualando-se os valores das fungoes de onda e de suas derivadas em x = | e x = para cada condigao de contorno, temos

ip(x) — Fcxp(ik-) + G exp(-ik^) = Cexp(ik'x) (5.1.5) 2 2

ip(x) = F e x p ( i f c - ) + Gexp(-ik(^) = Aexp(i.k'x) + Bexp(-ik') (5.1.6)

Para x — |:

Fexp{ik^) + Gexp{-ik^) = Cexp(ik'^) (5.1.7) o que nos leva a determinar o coeficiente

S - S T F ) - * ^

( 5 L 8 )

com o uso da equagao 5.1.8, para o caso em que x = ^ obtivemos a igualda.de

~ + exp(—ika) k jj + exp(ik'a)

4 — exp(—ika) k" — exp(ifc'a) (5.1.9)

O que nos permite calcular a razao ^, a qual nos fornece o coeficiente de reflexao R. De maneira analoga, podemos obter tambem o coeficiente de transmissao T , atraves da relacao ^. Chegando aos resultados dos mesmos,

expressos por

R = 111 (5.1.10)

T = \C\

\A\ (5.1.11)

reescrevendo os coeficientes acima em termos dos vetores de onda k e k , I cmos: L2u'2 R = 1 + 4k2k {k2-k'2)2sm2 {ka)_ (5.1.12) T = (k2 - k'2)2 sin2 (ka) 4k2k'2 1 + T - 1 (5.1.13)

sendo, k = e k' = \ J2 m^E h podemos obter ainda para as expressoes

a c i m a

R = 1 + AE{E-V0) T - 1 Vq sin (na) (5.1.14) T = 1 + V02 s i n2 (/ta) n - 1 AE(E-Vo), (5.1.15)

Uma particula incidente em u m pogo de potencial com E > VQ pode ser transmitida ou refletida, exatamente como no caso da barreira de potencial. Os coeficientes de reflexao e transmissao apresentam oscilacoes de acordo com a energia da particula incidente. assim como vimos tambem o transporte coerente de eletrons em estruturas cilindricas e diretamente influenciado por pequenas alteracoes no raio da estrutura, devido a insercao de defeitos [21]. Podemos. portanto, vcrificar a partir das Equagoes (5.1.13) e (5.1.14), que R + T = 1, o que nos da a probabilidade da partcicula atrvessar a barreira. Observamos tambem, com isso, que o coeficiente de transmissao T e, em geral, menor do que 1, em contradigao com a situagao classica, em que a particula e sempre transmitida. U m ponto interessante para se chamar a atengao e que as oscilagoes no coeficiente de transmissao sao de T = 1 quando na = mr, ou seja, ocorre transmissao sempre quando a espessura do pogo de potencial e igual a um miiltiplo inteiro da metade do comprimento de onda da particula dentro do pogo, A = 2jf.

5.2 Geometria cilindrica com deslocacao em

Parafuso, aplicada ao pogo quantico

0 s calculos feitos na secao anterior (5.1) para os coeficientes de reflexao e transmissao de uma particula em u m poco quantico, foram repetidos nesta secao. Neles utilizamos os mesnio parametro k,, do defeito em parafuso, analisado no capitulo 4 e do mesmo modo, consideramos a variagao na massa e sua influencia nas velocidades de grupo v e v , para o caso de uma barreira potencial, abordadas no Capitulo 3. Devido a semelhanca de suas expressoes para os coeficientes T e R com as do poco potencial.

Figura 5.2: semicondutor cilmdrico com deslocamento parafuso (semelhante ao pogo quantico)

Sabendo que os potenciais antes e depois da jungao, sao Vi = 8m(Ri+Ki) e V2 = 8~ ^2, [16] ,e que m = , m 2 representa a massa variavel da particula.

Entao os vetores de onda serao

fe, _ 2m E 2m {-h2)

h2 8mh2(R2 + K2)

2mE + 2m(-h2)

(5.2.16)

h2 ' Smh2R2

o que nos traz as seguintes configuracoes para as velocidades de grupo (5.2.17) V = —7 m k v — — m (5.2.18) (5.2.19)

Portanto, j a conhecendo as expressoes para os coeficientes de reflexao e trans-missao para o poco, dadas respectivamente por

Akk'2 R = T = 1 + sin2 ( k'a (k2 - k'2f , {k2~k'2)2 . 2 / V x (5.2.20) (5.2.21)

podemos entao, reescreve-las em termos das velocidades de grupo, as quads dependeni das massas e dos vetores de onda, contendo os potenciais relacio-nados ao defeito atribuido

4 / / V R = T = I (u2 - v'2 )-sin ( k a -i - i (5.2.22) (5.2.23)

o que resulta nas expressoes

I R = T = 1 + 1 + 2 2 sin2 ( k a (5.2.24)

)

)

(5.2.25)

onde nas equacoes acima, para o termo dependente do seno, foram conside-rados os fatores (a = irh(mV2)1^2 (largura do poco) o o vetor de onda na

Com os quais foram plotados os graficos para os coeficientes de Reflexao figura (5.3) e transmissao figura (5.4), em funcao da Energia. O que evi-denciou mais uma vez que, para as curvas onde foram atribuidos menores valores para o parametro K do defeito. maior e a probabilidade de trans-missao total da particula, e as curvas se distanciam cada vez mais do valor u m , tendenciando apenas a reflexao. Assim como, para menores valores de defeitos, observou-se uma aproximacao da situacao sem defeito, cuja trans-missao e cem porcento e por isso, gera uma maior quantidade de picos das regiao do defeito k :

(5.2.26)

curvas tendendo ao valor u m . Coeflciente de Transmissio 0,6-T 0,4-2 3 4 5 6 7 8 9 10 X = 0 7 X - 0 3 X - 0 3 X - l |

Figura 5.3: Coeficiente de Transmissao em funcao da energia, para portadores em u m pogo potencial com deslocagao parafuso.

Coeficiente de Reflexao 1-1 :•:-! IfJ IfJ -0 2

, j

\

| ,

1

J 1 2 3 4 5 • 6 7 t 9 10 1 — >.-0 7 - X - C 3 X-03 X - . |

Figura 5.4: Coeficiente de Reflexao em fungao da energia. para portadores em u m pogo potencial com deslocagao parafuso.

Capitulo 6

Conclusao

Neste trabalho pudemos analisar o comportamento de particulas quanticas confinadas em semicondutores cilindricos contendo defeitos em sua geome-tria. Percebendo, portanto. a influencia dos mesmos nas propriedadcs dos coeficientes de transmissao e reflexao dos portadores ao deslocarem-se por tais estruturas. Estudamos as variacoes destes coeficientes de acordo com o acrescimo da energia e aumento do defeito atribuido a estrutura. Verifica-mos comportamentos esperados semelhantes aos j a conhecidos em terrnos da probabilidade da transmissao total da particula. No caso estudado, obser-vamos as mudancas ocorridas de acordo com o aumento ou diminuigao do defeito K no raio de uma estrutura cilindrica semicondutora, constatando que o defeito comporta-se como estruturas quanticas conhecidas como dcgraus potentials, pocos quanticos, barreiras e etc.. E que este tipo de

rnento, assemelha-se a juncoes Pns, que estao preseiites em nanodispositivos eletronicos. Com isto, compreendemos a importancia tecnologica que a mani-pulacao de sistemas quanticos regidos pela topologia, possui, devido a mesma possibilitar a produgao futura de nanodispositivos com funcionamcnto base-ado na geometria de defeitos. Como perspectivas futuras, sugerimos a analise dos efeitos que este tipo dc defeito geometrico (deslocacao em parafuso) pode causar na dinamica de particulas confinadas em outras estruturas quanticas. Urn bom exemplo a servir de estudo e a barreira de potencial quadrada, anti-simetrica entre duas paredes rigidas [22].

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