UNIVERSIDADE REGIONAL INTEGRADA DO ALTO URUGUAI E DAS MISSÕES CAMPUS ERECHIM
CARLA TAÍS PAVAN BERGAMIN
UMA ABORDAGEM CONTEXTUAL DA MATEMÁTICA E EM
ESPECIAL DA GEOMETRIA NAS PROFISSÕES RELACIONADAS À
CONSTRUÇÃO CIVIL
ERECHIM 2010
CARLA TAÍS PAVAN BERGAMIN
UMA ABORDAGEM CONTEXTUAL DA MATEMÁTICA E EM
ESPECIAL DA GEOMETRIA NAS PROFISSÕES RELACIONADAS À
CONSTRUÇÃO CIVIL
Trabalho de Conclusão de Curso de Matemática da Universidade Regional Integrada do Alto
Uruguai e das Missões – Campus Erechim. Professor Orientador: Ari Luiz Nava
ERECHIM 2010
Dedico este trabalho à minha família que tanto me incentiva nos estudos, e cujo amor me engrandece. E ao Professor Orientador Ari Luiz Nava, companheiro de grande influência em minha formação acadêmica.
AGRADECIMENTO
Agradecer a alguém é demonstrar e reconhecer pela ajuda de algum modo recebida. Primeiramente agradeço a Deus, que me iluminou e deu-me forças para chegar ao fim desta jornada.
Aos meus Pais Sésio e Nelci Pavan que constantemente me apoiaram, para a realização desta conquista, dando-me incentivos brilhantes para enfrentar os desafios, na busca contínua de cumprir os objetivos a que me propus.
Ao meu esposo Cleber Antônio Bergamin, que de forma especial e carinhosa, deu-me força e coragem.
À família de modo geral, que tem contribuído continuamente para esta realização. Aos professores, em especial ao professor Ari Luiz Nava, e também as professoras Neila Tonin Agranionih e Nilce Fátima Schefer, minha gratidão pelos conhecimentos compartilhados, colocando em minhas mãos as ferramentas com as quais abrirei horizontes, rumo à realização plena de meus ideais.
Agradeço ainda à colega Andirléia Faggion, por sua amizade e companheirismo. Por todas essas pessoas que de uma forma ou outra, participaram da realização desta conquista, meu muito obrigado, pois sem elas, talvez eu não teria chegado até o fim.
RESUMO
Devido à busca constante da aplicabilidade da Matemática na escola, do “porque” estudar matemática e/ou geometria, e pela necessidade de que as pessoas se dêem conta que a Matemática está inserida no nosso contexto de vida, ou ainda, pela curiosidade de muitos em saber onde estas seriam aplicadas, é relevante trabalhar este assunto. O tema desta monografia é a Matemática e a Geometria na elaboração de plantas baixas e na execução de obras da Construção Civil, e tem-se como objetivo destacar a importância da matemática e da geometria, e sua aplicabilidade em atividades exercidas por Engenheiros e Pedreiros, na Construção Civil. Estabelecer relações entre a matemática aprendida na escola e a matemática usada por profissionais desta área. Efetuar uma análise dos métodos e processos utilizados por engenheiros na elaboração de plantas baixas, e por pedreiros ao longo da execução das obras, verificando se estes são adequados para um resultado eficaz. Ao analisar a sociedade, é notório que existe um número significativo de pessoas que trabalham na área da Construção Civil que não sabem de que a maioria de suas atividades profissionais exige cálculos matemáticos e/ou geométricos. Muitos destes profissionais, quando alunos se perguntavam onde se utilizaria na vida real a matemática desenvolvida na escola. Os profissionais da área de Engenharia precisam calcular áreas, volumes, ângulos, entre outros cálculos matemáticos durante sua rotina de trabalho. É importante transpor estes conhecimentos para sala de aula, pois desta forma os alunos verão sentido e significado em aprender matemática. Por este motivo, neste trabalho, investiga-se conceitos matemáticos e geométricos presentes na construção civil, em específico, na elaboração de plantas baixas e na execução de obras. Este trabalho fundamenta-se em autores e possui caráter investigatório. Fez-se uma investigação exploratória quanto aos métodos de cálculos utilizados por profissionais. Ao final deste trabalho, identificou-se que alguns profissionais desta área não utilizam o método de cálculo adequado, causando desperdícios de material, problemas na estrutura da obra entre outros fatores. Evidenciando assim ao final deste trabalho, a importância da relação entre os conteúdos ensinados na escola, e as atividades diárias do aluno.
LISTA DE FIGURAS Figura 1………..15 Figura 2………..16 Figura 3………..18 Figura 4 ……….19 Figura 5………..20 Figura 6………..21 Figura 7………..22 Figura 8………..23 Figura 9………..25 Figura 10……….26 Figura 11……….26 Figura 12……….27 Figura 13……….28 Figura 14……….28 Figura 15……….29 Figura 16……….33 Figura 17……….33
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ... 8
2. A IMPORTÂNCIA DO ENSINO DA GEOMETRIA...10
3. A MATEMÁTICA DA VIDA E A MATEMÁTICA DA ESCOLA ...12
4. PRINCIPAIS ATIVIDADES NA CONSTRUÇÃO DE UMA CASA DE ALVENARIA, QUE ENVOLVEM CONTEÚDO MATEMÁTICO. ...15
4.1 ELABORAÇÃO DA PLANTA BAIXA...15
4.2 INTERPRETAÇÃO DA PLANTA ...17
4.3 NIVELAÇÃO DO TERRENO ...18
4.4 O ALICERCE E O m³...21
4.5 AS PAREDES E A ÁREA DOS TIJOLOS ...22
4.6 O TELHADO E A SUA TESOURA ...25
4.7 AS PORTAS, JANELAS E OS PISOS ...30
4.8 PROPORCIONALIDADE NA ELABORAÇÃO DE MASSA ...30
4.9 CUSTOS DE MATERIAL E MÃO DE OBRA ...32
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS ...34
1. INTRODUÇÃO
Tendo em vista que a parte fundamental de uma construção civil, é a elaboração de uma planta baixa, é comentando sobre esta, que iniciarei este trabalho, para que fique claro ao leitor, que a matemática esta presente neste ramo, desde o projeto no papel, até o término da construção.
Este trabalho tem como central objetivo, destacar a importância da matemática e da geometria, e sua aplicabilidade em atividades exercidas por Engenheiros e Pedreiros, na Construção Civil, onde para isso, serão estabelecidas relações entre a matemática aprendida na escola e a matemática usada por profissionais desta área.
Também serão verificados os métodos e processos utilizados por engenheiros na elaboração de plantas baixas, e por pedreiros ao longo da execução das obras, a fim de verificar se estes métodos de cálculo utilizados por estes profissionais, na prática diária, são adequados para um resultado eficaz.
Inúmeras vezes, os pedreiros em especial, erram os cálculos, fazendo com que o proprietário da obra, compre material a mais ou a menos, o que os deixam insatisfeitos. Porém se estes profissionais utilizassem o método adequado, talvez este problema não acontecesse.
O aprendizado matemático é parte essencial na formação do cidadão, pois permite resolver problemas do dia a dia tendo muitas aplicações no mundo do trabalho. Conceitos matemáticos se transformam em instrumentos de compreensão, intervenção, mudança e previsão da realidade.
A Geometria é fundamental no ensino da Matemática, trata-se de um conhecimento universal que faz parte das grandes construções de nossa História, sendo de fácil assimilação, tendo em vista estar ao nosso alcance, primeiro fisicamente, depois abstratamente. Ela permite um trabalho criativo em matemática, desperta a curiosidade e favorece a estruturação do pensamento e o desenvolvimento do raciocínio lógico. Através dela pode-se desfazer o mito da dificuldade na aprendizagem desta área do conhecimento, de grande aplicabilidade na vida cotidiana.
Alguns estudiosos defendem que a matemática teria surgido de necessidades práticas urgentes do homem, como a demarcação de áreas, o levantamento de seu rebanho, partindo para a valoração de objetos (dinheiro). Outros já definiam que a matemática teria surgido do lazer de uma classe de sacerdotes ou de rituais religiosos.
O fato é que a matemática esta presente em nosso dia a dia de tal forma que não podemos, não devemos e, certamente, não queremos nos distanciar dela. As funções mais rotineiras de nossa vida têm sido realizadas por computadores: desde uma conta, até o controle de nosso dinheiro no banco, nosso pagamento de salário, e muitas outras atividades são controladas por máquinas que são por sua vez, apoiadas na estrutura da Matemática.
Portanto, o que se pretende discutir é a importância, a função, a necessidade da matemática na nossa vida.
O trabalho inicia-se com um capítulo que trata da importância do ensino da geometria, após isso é feito uma relação entre a matemática da vida e a matemática da escola, onde o objetivo é incentivar os professores a fazer uma relação dos conteúdos com as atividades diárias do aluno, após é citado e analisado as principais atividades na construção de uma casa de alvenaria, que envolvem conteúdo matemático. As atividades são comentadas uma a uma, e analisadas de forma a identificar se a maneira calculada por profissionais da área é a forma mais adequada. As atividades analisadas são as que seguem:
Elaboração da Planta Baixa
Interpretação da Planta Baixa Nivelação do Terreno
Alicerce e m³
Paredes e área de Tijolos
Telhado e Tesoura Portas, Janelas e Pisos
Proporcionalidade na Elaboração de Massa Custos de Material e Mão de Obra
2. A IMPORTÂNCIA DO ENSINO DA GEOMETRIA
A geometria muitas vezes é deixada de lado no currículo das escolas. O que é uma grande falha na educação, pois ela está presente em quase todas as situações diárias da vida, desde o acordar até o dormir.
A Geometria assume um importante papel para o desenvolvimento de habilidades e competências tais como a percepção espacial e a resolução de problemas, uma vez que ela oferece as crianças oportunidades de olhar, comparar, medir, adivinhar, generalizar e abstrair, podendo favorecer o desenvolvimento das estruturas mentais lógicas.
De acordo com Gálvez (1996) na escola do ensino fundamental não se ensina Geometria para contribuir ao desenvolvimento, por parte dos alunos, do domínio de suas relações com o espaço, mas se reduz a aprendizagem da geometria ao conhecimento de uma coleção de objetos definidos como fazendo parte de um saber cultural.
Segundo Shulte (1994), na maioria das vezes a geometria é considerada pelos professores de escola elementar simplesmente como o estudo de retângulos, segmentos de reta, ângulos, congruência e coisas do gênero. Os professores do jardim-de-infância ensinam a interpretar figuras (círculos, quadrados e triângulos) do mesmo modo como ensinam a reconhecer letras e números. Mesmo nas séries intermediárias, a geometria muitas vezes é negligenciada até o fim do ano, quando então, às pressas os professores introduzem algumas figuras e termos e fazem-se alguns exercícios.
Para os professores franceses a funcionalidade da matemática é vista de maneira mais ampla. Como forma de encontrar melhores “ferramentas” para resolver problemas internos à própria matemática. Esta funcionalidade se exprime ainda, pela eficiência do pensamento matemático, no sentido de formação da mente. Ou então, como instrumento de seleção social; um bom desempenho nesta disciplina é condição necessária à promoção social. Para o professor brasileiro, a dimensão social da matemática se expressa, quase que exclusivamente, na busca de aplicação à vida diária, própria ao que eles denominam de matemática concreta.
A formação da mente é considerada como específica a um único tipo de matemática, a matemática abstrata. (MAIA, 2000)
Sobre a importância da Geometria, Lorenzato (1995) diz que esta tem função essencial na formação dos indivíduos, pois possibilita uma interpretação mais completa do mundo, uma comunicação mais abrangente de idéias e uma visão mais equilibrada da Matemática.
Para Fainguelert (1995), a Geometria desempenha um papel fundamental no ensino, porque ativa as estruturas mentais na passagem de dados concretos e experimentais para os processos de abstração e generalização, é tema integrador entre as diversas partes da Matemática, sendo a intuição, o formalismo, a abstração e a dedução, constituintes de sua essência.
Entretanto, apesar de sua reconhecida importância, pesquisadores brasileiros como Pavanello (1989), Lorenzato (1995), Pirola (2000), Passos (2000) e Pereira (2001) apontam que a Geometria é pouco estudada nas escolas.
Pavanello (1989) em sua dissertação de mestrado faz uma análise histórica do ensino da Matemática no Brasil e no mundo, objetivando responder a razão pela qual o ensino da Geometria vem gradualmente desaparecendo do currículo das escolas brasileiras.
Para Pavanello (1989, p.103), “a idéia central da Matemática Moderna consistia em trabalhar a matemática do ponto de vista de estruturas algébricas com a utilização da linguagem simbólica da teoria dos conjuntos. Sob esta orientação, não só se enfatizava o ensino da álgebra, como se inviabilizava o da Geometria da forma como este era feito tradicionalmente”.
Segundo Pirola (2000), os alunos têm acentuadas dificuldades em resolver problemas envolvendo conceitos geométricos. O autor aponta também que há uma forte resistência no ensino da Geometria, inclusive no Ensino Superior, onde é também pouco abordada, e que as dificuldades dos professores no seu ensino deve-se, em grande parte, ao pouco acesso ao estudo de tais conceitos na sua formação ou pelo fato de não gostarem de Geometria.
No ramo da Construção Civil, que é o foco deste trabalho, pode-se afirmar que todos os processos da construção de uma obra, necessitam de cálculos matemáticos, em especial, geométricos, para serem realizados. Pode-se dizer que, desde a elaboração da planta até o acabamento da obra a matemática está presente.
3. A MATEMÁTICA DA VIDA E A MATEMÁTICA DA ESCOLA
A matemática da escola, em geral, está dissociada da vida, e analisando a situação atual da maioria de nossas escolas, pode-se afirmar que é necessário que haja uma ligação entre os conteúdos matemáticos apresentados aos alunos em sala de aula, e as possíveis situações práticas, que o aluno poderá se deparar, para que a escola desenvolva de fato sua função social.
Cabe ao educador, fazer esta relação, e apresentar, aos alunos, “Onde”, “Como” e “Por que”, se aplica determinado cálculo. Se a matemática for desta forma trabalhada nas escolas, estaremos caminhando em direção ao objetivo de muitos, que por sua vez, é melhorar o ensino em nosso país.
“O professor deve antes de iniciar uma explicação de determinado conteúdo, saber, o quanto o aluno sabe sobre tal assunto, e associar tal conteúdo, com suas atividades humanas” (CARRAHER; CARRAHER; SCHLIEMANN, 1990)
É fundamental que professores, em especial, os das séries iniciais, planejem suas aulas de matemática, focadas, nas possíveis atividades do dia a dia, que envolvem o determinado conteúdo.
O ensino da matemática não pode ser aquele baseado apenas nas teorias dos livros, das apostilas ou do quadro negro. Hoje o contexto atual exige uma educação muito mais completa, ou seja, uma educação que atinja o mundo de uma forma global. Maia (2000, p. 25), diz que “a busca da funcionalidade da matemática é então uma das características da representação do professor, ou seja, dar uma função para o conteúdo que está sendo ensinado. D’ambrósio (2001, p. 14), diz que “o grande desafio que nós, educadores matemáticos encontramos é tornar a matemática interessante”.
Associar a matemática da escola com a matemática da vida, não só motivará o aluno a adquirir conhecimento, mas também, como conseqüência irá auxiliar na decisão de uma profissão para o futuro do mesmo.
Pode-se dizer que quem não gosta de matemática é porque ainda não a conhece. Uma vez que a matemática for aplicada de forma inadequada a uma criança, ou a um jovem, este passa a ver a matemática, e tudo o que a ela esta associada, como um obstáculo. Ao contrário disso, se o educador, apresentar ao aluno, a matemática de forma adequada, envolvendo situações práticas, esta, se torna significativa, para os alunos.
Sabe-se que muitos profissionais, que atuam como pedreiros, não possuem o ensino fundamental completo, mas sabe-se que eles precisam ter um conhecimento amplo de matemática, em especial de geometria, devido à maior parte dos cálculos exigidos na construção civil envolverem questões abordadas na geometria. Entretanto, pode se observar em um âmbito geral, que os pedreiros, na maior parte das vezes, procuram outras saídas, para resolver algumas de suas situações, por não saber, que cálculo, ou que fórmula, se enquadraria, em determinadas situações.
A fim de evidenciar a importância do estudo da matemática, e realizar a relação da matemática da vida e a matemática da escola, é importante ressaltar que, tanto o Engenheiro, quanto o Pedreiro, o Carpinteiro, o Eletricista, o Arquiteto, o Encanador, entre outros profissionais, se envolvem nos processos da construção civil, e constantemente, no conhecimento matemático.
Como exemplo disso basta observar as rotinas de uma construção:
O Engenheiro para elaborar a planta baixa de uma casa necessita esboçar a mesma, por meio de segmentos de reta, utilizando ângulos, medidas de comprimentos, etc.
O Pedreiro, para iniciar a construção precisa inicialmente, compreender cada traço do engenheiro.
Para determinar a quantidade de material necessária para a construção de uma parede, piso ou pilar, é preciso que o pedreiro calcule a área a construir, com base em suas medidas de altura, e comprimento. E em relação ao pilar deve o pedreiro também ter noção de volume, pois deve preencher toda a estrutura com cimento.
O Encanador, para colocar determinado cano em seu devido lugar, primeiro analisa qual a necessidade de “vazão” do mesmo, para poder assim, determinar o diâmetro do cano, e também suas localizações convenientes.
O Eletricista, para fazer instalações, analisa cada situação, calcula o comprimento, e a espessura de um fio, para determinar sua localização conveniente, e para garantir a qualidade da instalação.
As citações acima são apenas alguns exemplos da importância da geometria com foco nas atividades do cotidiano.
O tema “Construção Civil” envolve vários conteúdos, matemáticos, podendo ser utilizado como uma ferramenta do professor, a fim de tornar sua aula mais interessante e proporcionar aos alunos uma relação entre a matemática estudada em sala de aula e a matemática real utilizada na resolução de problemas do cotidiano.
Fainguelernt (2004, p. 07), diz que “a educação matemática que queremos é aquela que se estenda muito além dos muros da escola”.
A utilização de fórmulas corretas, e métodos seguros de cálculos, nas profissões da construção civil, garantem mais qualidade no trabalho realizado. Na decisão da quantidade dos ingredientes, na elaboração da massa de concreto, por exemplo, deve haver uma proporcionalidade, e esta, realizada, de forma, incorreta, na maior parte das vezes, resulta em problemas na estrutura da obra.
Um erro de cálculo, quando se refere, às áreas a serem construídas, também é considerado problema, pois, isso pode ocasionar erros, no momento de decidir, a quantidade de material que o proprietário deve comprar para a realização da obra. O que ocasionará desperdícios e gastos desnecessários.
A vinculação da matemática com algumas profissões, também aproximaria a família da escola, pois consequentemente, o aluno, após uma aula de matemática, que destacou determinada profissão, contaria aos pais com orgulho, que o professor usou como exemplo determinada profissão, talvez, à do próprio pai, para desenvolver sua aula.
No entanto, fazer uma relação do conteúdo ensinado com as atividades diárias do aluno, é caminhar rumo uma nova concepção da disciplina de matemática.
4. PRINCIPAIS ATIVIDADES NA CONSTRUÇÃO DE UMA CASA DE ALVENARIA, QUE ENVOLVEM CONTEÚDO MATEMÁTICO.
Figura 1: Casa de alvenaria Fonte: A autora
Na construção de uma casa de alvenaria conforme Figura 1 estão envolvidos vários conteúdos matemáticos. Por exemplo, as quatro operações básicas, razão e proporção, porcentagem, medidas, áreas, volumes e muitos outros conteúdos, além é claro de conteúdos de outras disciplinas.
4.1 ELABORAÇÃO DA PLANTA BAIXA
Tomarei como exemplo a construção de uma casa de alvenaria. O primeiro passo para a construção de uma casa, depende do Engenheiro, pois este deve elaborar inicialmente, a planta baixa da casa. Que por sua vez, consiste em um projeto a ser observado, com um olhar superior, para a determinada construção.
A elaboração da planta baixa é extremamente importante, para que fique claro, tanto para o proprietário da casa, quanto para o Pedreiro que irá executar a obra, a localização das
portas e janelas, o posicionamento das paredes internas, o ângulo de abertura das portas, o lado para onde terá que abrir a porta, que matematicamente falando seria o cateto oposto do ângulo da determinada abertura.
Segue abaixo a Figura 2, como um modelo de uma planta baixa de uma casa, elaborada por um engenheiro, para permitir ao leitor a visualização do que foi dito acima.
Figura 2: Planta baixa Fonte: A autora
Para a elaboração desta planta, o engenheiro precisou calcular as medidas de comprimento das paredes, a área de cada cômodo para que estas somadas resultem na área total da construção, devendo também que considerar a espessura das paredes, tendo ainda que demonstrar na planta o local das aberturas, e a forma de abertura.
4.2 INTERPRETAÇÃO DA PLANTA
Após o Engenheiro efetuar a elaboração da planta baixa, e esta, ser aprovada pelo proprietário, a mesma é entregue ao pedreiro (Mestre da obra), a fim de que este, efetue inicialmente a interpretação da planta, para após, iniciar a construção da obra.
Em uma planta baixa, como por exemplo, o desenho acima, o Pedreiro precisa ter conhecimento do que cada traçado indica, como indicado abaixo, este deve compreender que:
Que os segmentos de reta, mais largos, como este , indicam paredes, e que o número ao lado ou sobre esta, indica seu comprimento, ou seja, esta seria uma parede de 1 metro e 60 centímetros.
Que no local onde o engenheiro inseriu o símbolo , indica que terá uma porta, com abertura de 90º para a esquerda, e que o comprimento desta abertura será de 0,8 metros, ou então, 80 centímetros.
Que no local onde o engenheiro inseriu o símbolo , indica que terá uma porta, com abertura de 90º para a direita, e que o comprimento desta abertura será de 0,8 metros, ou então, 80 centímetros.
Que no local onde o engenheiro inseriu o símbolo , indica janela com 1,8 metros de comprimento, ou melhor, 1 metro e 80 centímetros.
Que o símbolo indica, além de uma bifurcação, uma abertura, sem a presença de porta, pois não foi inserido o ângulo simbolizando a porta.
A planta baixa de uma casa é o desenho da própria casa em tamanho reduzido. É o que chamamos de “escala”. A escala conserva as medidas da casa, em tamanho proporcional às medidas reais. Uma planta baixa com escala 1:75 ou 1/75 indica que cada 1 cm de comprimento no desenho corresponde, na realidade, a um valor 75 vezes maior ou 75cm.
4.3 NIVELAÇÃO DO TERRENO
Depois de analisar a planta baixa da casa, o pedreiro toma como base o perímetro da casa e acrescenta mais alguns centímetros, demarca o terreno e o nivela. Para nivelar o terreno seria necessário, ter conhecimento do conteúdo matemático, que trata do “princípio dos vasos comunicantes” que geralmente não é trabalhado nas escolas, com muita ênfase, e segundo esse princípio, quando ligamos dois recipientes por tubos e colocamos água no interior deles, percebemos, que o nível da água fica igual nos dois lados. Veja na Figura 3:
Figura 3: Vasos comunicantes Fonte: Cidepe
Nesse caso o pedreiro utiliza uma mangueira com água dentro, e com a ajuda de outra pessoa, deixa o terreno nivelado, destinado a construção. E após o nivelamento do terreno são fixadas estacas e pregados “sarrafos” numa área um pouco maior que a futura construção. E, tendo a frente do terreno como base o pedreiro estica uma linha paralela a mesma, e a partir dessa, ele demarca as demais medidas laterais externas da planta da casa.
Mas daí surge uma dúvida. Como o pedreiro faz para conseguir deixar essas linhas com todos os ângulos retos?
Para responder a essa questão, vamos ver um pouco de História da Matemática. Devido às constantes enchentes do rio Nilo, os antigos egípcios precisavam constantemente marcar e remarcar seus terrenos, que geralmente eram retangulares. Para esse fim utilizava-se de uma corda com 13 nós (12 espaços). Esse espaço entre cada nó era então, tomado como a unidade de medida.
Dessa maneira conseguíamos um ângulo reto fixando estacas no 1º e 13º nós, no 5º nó e no 8º nó, formando um triângulo retângulo conforme Figura 4:
Figura 4: Triangulo retângulo Fonte: A autora
Alguns séculos antes de Cristo, o matemático e filósofo grego Pitágoras, juntamente com seus alunos descobriu a relação existente entre as medidas dos lados de qualquer triângulo retângulo. Foram eles que descobriram conforme Figura 5 que “em todo e qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos”.
Figura 5: Hipotenusa Fonte: A autora
a² = b² + c²
Essa propriedade fundamental dos triângulos retângulos ficou conhecida como teorema de Pitágoras.
Mas voltando para o assunto, para deixar os ângulos retos alguns pedreiros utilizam o teorema de Pitágoras, mesmo sem necessariamente conhecê-lo. E na linguagem dos construtores (pedreiros) as linhas devem “estar no esquadro”, ou seja, formando ângulos retos, que nada mais é do que o teorema de Pitágoras.
Depois de esticada a linha paralela à frente do terreno, o pedreiro estica uma nova linha, provisoriamente. Então crava uma estaca a 3 metros na primeira linha e outra a 4 metros dessa, sobre a linha provisória. Medindo a distância entre as duas estacas o valor correto deverá ser de 5 metros. Se a medida for maior ou menor que 5 metros, a segunda estaca terá que ser mudada até que se consiga essa medida. Vale lembrar que poderão ser utilizadas outras medidas que obedeça a relação do Teorema de Pitágoras.
Isso ocorre porque o triângulo de lados 3m, 4m e 5m, que foi marcado no terreno, é um triângulo retângulo, visto que 5² = 3² + 4². Veja a seguir:
5² = 3² + 4² 25 = 9 + 16 25 = 25
Depois de demarcada a área exterior da casa, muitos pedreiros conferem se as mesmas “estão no esquadro” (ângulos retos), medindo suas diagonais, quer por sua vez, deverão ser iguais para confirmar que é uma forma retangular. Veja Figura 6.
Figura 6: Conferencia de esquadro Fonte: A autora
4.4 O ALICERCE E O m³
A etapa seguinte é a construção do alicerce da casa, e é nessa etapa que o pedreiro começa a utilizar as noções de volume e de porcentagem. Ele em geral não utiliza fórmulas prontas ou conhecimentos adquiridos na Escola, mas a Matemática do seu dia a dia.
Após efetuar as medições e construir as “caixarias” em forma de paralelepípedos, o pedreiro tem que dosar as quantidades de pedra, areia e cimento para a elaboração do concreto que será utilizado no preenchimento das mesmas. Nessa dosagem utiliza como padrão a lata (20 litros) e o carrinho de mão (60 litros), além da porcentagem do cimento que será acrescentado ao concreto.
No cálculo de volume, os pedreiros em sua maioria apenas utilizam o metro cúbico (m³), pois sabem que um metro cúbico equivale a 1000 litros ou a 50 latas. Veja a Figura 7.
Figura 7: Metro cúbico Fonte: A autora
1m x 1m x1m = 1 m³; 1m³ = 1000 litros; 50 latas x 20 litros = 1000 litros
Quanto à porcentagem, veremos mais adiante, como o pedreiro efetua o cálculo da mesma em seu dia a dia, quando comentarmos sobre a construção do telhado.
4.5 AS PAREDES E A ÁREA DOS TIJOLOS
Concluído o alicerce, o próximo passo é o levantamento das paredes. Nessa etapa o pedreiro se depara com mais um problema matemático, que é calcular a quantidade de tijolos necessária para a construção da obra.
Esse é um problema de área, mais especificamente, área de superfícies retangulares. Pois o pedreiro calcula a área lateral do tijolo, multiplicando seu comprimento por sua largura, e divide 1m² pelo produto obtido; dessa maneira, pode saber quantos tijolos serão necessários para o levantamento de cada metro quadrado de parede.
Não esqueça que a unidade de todas as medidas deve ser a mesma, por exemplo: 20 cm = 0,20 m
Devido à experiência adquirida ao longo dos anos, a maioria dos pedreiros já sabe mais ou menos a quantidade necessária de tijolos, o que varia em torno de 30 a 33 tijolos por metro quadrado, conforme Figura 8.
Figura 8: Parede de tijolos Fonte: A autora
Agora observe o cálculo das quantidades aproximadas de tijolos por metro quadrado, de acordo com o tamanho de cada um deles.
Análise do Tijolo 1
Análise do Tijolo 2
É importante ressaltar que as figuras acima não apresentam as medidas das profundidades, pois a área considerada é a área lateral do tijolo, devido à forma de assentamento utilizada na maioria das paredes das casas. Mas, dependendo do tipo de cobertura da casa, laje, por exemplo, suas paredes externas são construídas com o tijolo “deitado”, o que segundo os pedreiros, as tornam mais resistentes. Nesse caso o número de tijolos por metro quadrado é maior.
4.6 O TELHADO E A SUA TESOURA
Após o levantamento das paredes, o pedreiro inicia a construção do madeiramento para a montagem do telhado. Na construção do telhado, os pedreiros e carpinteiros devem primeiramente levar em consideração o tipo de telha que será utilizado.
Existem vários tipos de telhas. Conforme Figura 9, as mais comuns é a telha francesa, a tipo colonial, a tipo PLAN e a de fibrocimento. E para cada uma delas existe uma porcentagem mínima de inclinação.
Figura 9: Tipos de telhas Fonte: Ebanataw
Ao iniciar a construção do telhado, após escolher o tipo de telha, o pedreiro deve calcular a porcentagem de inclinação do mesmo para a montagem da “tesoura”. A tesoura é uma estrutura de madeira como a Figura 10.
Figura 10: Tesoura Fonte: Ebanataw
Podemos observar que as vigas de madeira estão formando vários triângulos. Muitos deles são triângulos retângulos. Os triângulos são utilizados pelos pedreiros devido ao fato de os mesmos serem polígonos que não possuem mobilidade, e quanto mais triângulos as madeiras formarem no telhado, maior rigidez ele terá.
No cálculo da porcentagem de inclinação do telhado, vamos usar como exemplo a telha DUPLAN, que segundo profissionais da área, exigem uma inclinação mínima de 30% para que a água da chuva possa escoar. A inclinação de 30% é obtida pelo pedreiro partindo da extremidade para o topo do telhado. Para cada metro (100 cm) na horizontal, sobe-se 30% de metro na vertical, ou seja, 30 cm.
Se a tesoura tiver 8 metros de comprimento (L) o pedreiro efetua o cálculo da porcentagem utilizando apenas a metade (a) dessa medida, ou seja, 4 metros, como observa-se na Figura 11.
H
C B Figura 11: Tesoura Fonte: Ebanataw
Esse cálculo é efetuado mentalmente e de forma rápida pelo pedreiro, multiplicando essa medida pela porcentagem de inclinação do telhado. Os dois últimos números do produto dessa multiplicação são os centímetros.
Veja o cálculo do pedreiro:
Se a medida horizontal é 4m, a vertical terá de medir 30% de 4m, isto é: 30 x 4 = 120 ou BH = 1,20 m
Agora que temos a medida a = 4 m e a altura BH = 1,20 m, ele faz nada mais nada menos do que o teorema de Pitágoras para calcular o comprimento CH da “viga” onde serão colocadas as telhas. Como o triângulo BCH é retângulo temos que os catetos CB e BH medem 4 m e 1,2 m, respectivamente. Para calcular a hipotenusa CH, escrevemos:
CH² = 4² + 1,2² = 16 + 1,44 = 17,44 Se CH² = 17,44, então CH = √17,44
Calculando a raiz quadrada, obtemos CH = 4,2 m
Esse exemplo mostra que a Matemática também é útil na resolução de problemas práticos. Observe nas Figuras 12 e 13 que o telhado apresenta várias etapas em sua montagem, além da tesoura.
Figura 12: Telhado Fonte: Ebanataw
Figura 13: Estrutura do telhado Fonte: Ebanataw
Depois de concluir o madeiramento, o pedreiro efetua o cálculo da quantidade de telhas necessárias para cobrir o telhado. Para isso leva em consideração a área útil de cada tipo de telha, ou seja, a área de cobertura real da telha.
Cada telha Duplan tem um comprimento útil de 33,3 cm e uma largura útil de 20 cm. Observe que cada quinze telhas cobrem 1 m², como mostra as figuras 14 e 15.
Figura 14: Cobertura com telhas Duplan Fonte: Ebanataw
Figura 15: Telhado coberto Fonte: Ebanataw
Mesmo sabendo que 15 telhas cobrem 1 m², o pedreiro aumenta o comprimento e a largura do telhado na hora de calcular a quantidade de telhas. Ele utiliza múltiplos de 20 cm (largura do telhado) e de 33,3 cm (comprimento da telha), aproximando-se ao máximo da quantidade exata de telhas a serem utilizadas na cobertura do telhado.
4.7 AS PORTAS, JANELAS E OS PISOS
Na colocação das portas, janelas e pisos, os cálculos mais utilizados pelo pedreiro consistem nas quatro operações básicas e na área de superfícies planas. E, todo esse trabalho faz parte do acabamento final da obra. O que na escola, consiste também em cálculos de área, pois, se soubemos a área de uma lajota, e a área a preencher de lajota, basta dividir uma área pela outra.
4.8 PROPORCIONALIDADE NA ELABORAÇÃO DE MASSA
Outra tarefa do pedreiro que envolve conhecimento matemático é a elaboração da massa para reboco, levantamento de paredes e também para concreto, pois seria necessário entender de proporcionalidade para calcular isso.
Conforme profissionais da área, os pedreiros têm a instrução de que para fazer massa para reboco e levantamento de paredes, a massa deve ser cinco por um (5 x 1), o que pra eles indica, um medida de Cimento, a metade desta medida de cal, e cinco vezes a medida utilizada de areia. O que matematicamente falando, envolve porcentagem, por exemplo:
Se considerarmos que vamos usar 5 baldes de areia, poderíamos fazer a seguinte relação: Considerando o que os pedreiros dizem de 5 x 1.
Cimento Cal 5 100% 5 100% 1 x 0,5 x 5x = 100% 5x = 50 x = 100% x = 50 5 5 x = 20 % x= 10%
No entanto, pode-se afirmar que seja qual for à medida de areia, considerando esta 100%, devemos adicionar 20% de cimento, e 10% de cal.
Pensando desta forma, se precisar realizar uma obra, em que serão necessários 28 baldes de areia, para o pedreiro saber a quantidade adequada dos demais ingredientes, ele deveria fazer o seguinte cálculo.
Cimento 28 100% 100x = 560 X 20% x = 560/ 100 x = 5,6 baldes de cimento. Cal 28 100% 100x = 280 x 10% x = 280 / 100 x = 2,8 baldes de cal.
Em outra situação, será realizada uma obra, onde sabemos que vamos utilizar 62 latas de cimento, como deveríamos fazer para saber a quantia de areia e cal.
Areia 62 20% x 100% 20x = 6200 x = 6200 / 20 x = 310 latas de areia Cal 310 100% x 10% 100x = 3100 x = 3100 / 100 x = 31 latas de cal
4.9 CUSTOS DE MATERIAL E MÃO DE OBRA
No momento de calcular o preço da mão de obra, muitos profissionais, não sabem o cálculo adequado. Mas daí vem uma questão muito polêmica, que para fazer tal calculo o profissional, deveria ter conhecimento das fórmulas de cálculo das áreas, pois ora ele esta construindo uma forma quadrada, ora retangular, ou triangular, e ai por diante, o que ocorre geralmente é que os pedreiros calculam as áreas sempre, fazendo lado vezes lado, independente da figura que a construção forma.
Por exemplo, a fórmula da área de um triângulo é a base x a altura e tudo dividido por dois, porém os pedreiros muitas vezes acham que é só base vezes altura, daí obtém uma área incorreta, que se trata de o dobro da certa, e fazem a multiplicação desta área encontrada pelo preço que eles cobram por m². Porém o valor seria reduzido na metade se os cálculos fossem feitos adequadamente, e nisso as escolas tem participação, pois não costumam dar ênfase neste conteúdo, pois se trata de geometria.
Um exemplo disso é o caso de uma área a construir de forma de um triângulo retângulo, e a base deste triângulo mede 6 metros, e a altura 5 metros. Quanto o pedreiro deve cobrar para rebocar, se seu preço for R$20,00 o m². O cálculo correto seria:
Primeiramente descobrir a área do triângulo, em seguida multiplicar pelo valor por metro quadrado.
A = 6 x 5 A= 30 A= 15 m² Preço = 15 m² x R$20,00 2 2 Preço = R$300,00
O cálculo que alguns pedreiros fazem, por não terem conhecimento, ou talvez porque convêm:
A = 6 x 5 A= 30m² Preço = 30 m² x R$20,00 Preço = R$600,00
O que ocorre é que alguns pedreiros não tem noção da fórmula, ou do significado de dividirmos por 2, pois eles não imaginam que o dobro desta área seria um retângulo, e que portanto seria a fórmula do retângulo, e dividida por dois.
E se tratando de custo de matéria prima, os pedreiros também geralmente, dão uma estimativa incorreta para o proprietário, pois se calculam a área errada, conseqüentemente, a quantidade de material solicitada também estará incorreta. O pedreiro deve saber a área da parede e a área da lajota, e efetuar um cálculo para saber quantas vezes cabe lajotas do
tamanho estabelecido, na parede que queremos revestir, ou seja, é uma conta de dividir, área da parede dividida pela área da lajota, o resultado é o número de lajotas necessárias para tal revestimento.
No entanto, pode-se dizer, que até os profissionais da área da Construção Civil chegarem a fase final de uma obra, conforme a Figura 16, estes usam muita matemática.
Figura 16: Frente de Casa em fase Conclusiva Fonte: A autora
Figura 17: Lateral de Casa em Fase Conclusiva Fonte: A autora
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Ao falarmos dos conteúdos matemáticos envolvidos na construção de uma casa, procuramos enfatizar o trabalho do pedreiro, sua experiência de vida numa aborgagem da etnomatemática. Procurando destacar a importância da Matemática em situações-problema de seu dia a dia.
Mas não devemos esquecer que, na construção de uma casa há muitos outros profissionais envolvidos; entre eles podemos destacar o eletricista, o encanador e o pintor, entre outros, e, cada um deles utilizando a sua matemática da maneira mais favorável ao desenvolvimento do seu trabalho.
O ensino de Matemática pode se tornar interativo com a utilização da Matemática aplicada às atividades do dia a dia, revelando uma nova concepção da disciplina, sobre tudo no que se refere ao próprio conhecimento cognitivo do aluno, em que os conteúdos matemáticos contribuem para o desenvolvimento do raciocínio lógico, indicando seu nível de colaboração na formação intelectual, social e pessoal.
Nas atividades envolvendo, por exemplo, a construção civil, o professor consciente de sua função educativa estará fazendo com que o ensino se torna mais abrangente, envolvente e interdisciplinar, assim assumindo uma nova condição em relação ao processo de ensino deixando de ser um mero transmissor para se tornar orientador na construção de um conhecimento com reais significados.
O aluno aprende participando, tomando atitudes diante de fatos, vivenciando sentimentos e escolhendo procedimentos para atingir seus objetivos. Dessa forma tende a assimilar com maior profundidade os conteúdos matemáticos.
Ao trabalhar com uma proposta envolvendo a Matemática o aluno desenvolve a criatividade e apresenta uma motivação maior pelas aulas de Matemática. Além disso, o professor consegue envolver os aspectos social, cultural e econômico, ajudando a formar um cidadão mais consciente dos problemas da sociedade. Auxiliando também na escolha de uma profissão.
Enfim, deve ficar claro ao aluno que a matemática faz parte da vida, e que ela pode auxiliar muito no sucesso das profissões, pois a matemática da escola deverá proporcionar
inúmeras alternativas que levem os alunos não somente a abstração de conceitos e fórmulas, mas que os levem a desenvolver o pensamento com criticidade e ao mesmo tempo com criatividade, sendo capaz de fazer descobertas e compreender o “mundo” em todos os seus aspectos (social, cultural, político e etc.).
Nesta monografia foi respondido o problema da pesquisa que era demonstrar qual a matemática, em especial, a geometria, utilizada por profissionais da Construção Civil, na elaboração de plantas baixas e execução de obras, através das demonstrações de cálculos.
Com a realização deste trabalho aprendi que esta nas mãos do educador, melhorar a concepção da disciplina de matemática e fazer do ensino da matemática uma ferramenta de trabalho para a sociedade.
Este trabalho contribui para o ensino fundamental, pois frisa que deve se começar a trabalhar relacionando os conteúdos com a realidade do aluno desde as séries iniciais, para que os mesmos comecem desde cedo a ver a matemática com outra visão. Esta monografia também teve grande contribuição para minha formação acadêmica, pois pretendo ser o exemplo de aplicação destas idéias.
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