Qual das opções define a zona sombreada da figura?

4

Selecione a opção correta de entre as alternativas que lhe são apresentadas.

PROVA FINAL 1

NOME: N.O_{: TURMA: DATA:}

Qual das opções define a zona sombreada da figura? (A) x2 _{+ (y - 2)}2 _{< 4 0 x 0 y 0 y x} 3 2 4 / / H H G + c m (B) (x - 2)2 _{+ y}2 _{< 4} (C) x2 _{+ (y - 2)}2 _{< 4 0 (x H 0 / y H 0)} (D) x2 _{+ (y - 2)}2 _{< 4 0 y H 0 / y G} x 5 4 - + 4 3 A figura representa o primeiro esboço de um logótipo que o João está a construir para o Clube de Matemática da sua escola. Dentro do quadrado [ABCD] estão representados, a sombreado, um círculo e um quadrado [DGFE] , nos quais vão ser colocados desenhos alusivos a jogos matemáticos. Na região branca, ou seja, não sombreada, vão ser colocados símbolos matemáticos e texto. Sabe-se que: AB = 1 e o círculo está inscrito no quadrado [FHBI] . y x O 2 1 1 F I B H A E

4

Teste Intermédio de Matemática B, 2006

4 A despesa mensal de uma empresa em vencimentos é de 32 mil euros. Sabendo que o salário médio da empresa é de 640 euros , quantos assalariados tem a empresa? (A) 500 (B) 60 (C) 50 (D) 450 Grupo II

Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos

que tiver de efetuar e as justificações necessárias.

4

1.1 Justifique que o vértice E do cubo tem coordenadas (4, 4, 4) .

1.2 Determine a altura da pirâmide e use-a para justificar que o vértice V tem coordenadas (-2, 6, 12) . 1.3 Considere a esfera definida pela condição: (x - 1)2 _{+ (y - 3)}2 _{+ (z - 8)}2 _{G 36}

1.3.1 Prove que o centro da esfera está na reta DV . 1.3.2 Averigue se F é um ponto da esfera .

1.3.3 Defina analiticamente o segmento de reta [DV] .

2 Considere a função real de variável real definida por f(x) = -2x3 _{+ 9x}2 _{- 3x - 4 .}

2.1 Mostre que o gráfico da função f interseta o eixo das abcissas no ponto de abcissa 4 . 2.2 Determine analiticamente os zeros de f .

3 O diretor de marketing de uma empresa decidiu fazer um estudo sobre a venda de um novo

modelo de leitor de MP4, para escolher o valor que deveria acrescentar ao custo de produção do leitor de forma a obter o maior lucro possível. Para tal, durante um mês, colocou os leitores de MP3 à venda em diversos estabelecimentos, a preços diferentes, e registou o número de vendas em cada um, obtendo os resultados que se encontram registados na seguinte tabela:

3.1 Qual é o lucro conseguido durante esse mês?

3.2 Calcule a média de vendas e o lucro médio dos 10 estabelecimentos.

3.3 Admita que a equação da reta de regressão referente à distribuição bidimensional que relaciona o lucro por leitor de MP4 e o número de vendas por estabelecimento é: y = 90 - 15x , sendo y o número de vendas e x o lucro por unidade vendida.

3.3.1 Quantas unidades conseguiriam vender, mensalmente, por estabelecimento, sem obter qualquer lucro por unidade?

3.3.2 Indique a margem de lucro por leitor, ou seja, os valores de x para os quais existe lucro. 3.3.3 Justifique que o lucro mensal, por estabelecimento, obtido na venda deste tipo de leitores

de MP4 é dado, em função de x , por:

L(x) = x(90 - 15x)

3.3.4 Determine analiticamente o valor de x (lucro por leitor de MP4) de modo a obter o lucro mensal máximo.

Formulário

• Área do círculo: rr2 _{, sendo r o raio do círculo} VOLUMES

• Prisma e cilindro: Área da base × Altura • Esfera: ₃4 _{r , sendo r o raio da esfera}r3

• Fórmula resolvente de uma equação de 2.º grau da forma ax2 _{+ bx + c = 0 :}

LOJA

Lucro por leitor de MP4/euros Número de vendas A E 1 74 4 30 C G I 3 45 3 48 5 13 B F 2 56 5 16 D H J 2 66 2 57 6 1

4

Critérios específicos da prova 1

Deverão ser anulados todos os itens com resposta de leitura ambígua (letra confusa, por exemplo) e todos os itens em que o examinando dê mais do que uma resposta.

As respostas certas são as seguintes:

Cada resposta correta 10

Grupo II 160

1 ₃₆

1.1 6

Concluir que a aresta do cubo é 643 = 4 =44 5

Referir que o ponto E tem abcissa, ordenada e cota igual à aresta do cubo 1

1.2 9

Concluir, a partir dos dados fornecidos, que a altura da pirâmide é 12

e por isso a cota de V é 12 5

Justificar que o ponto V tem abcissa e ordenada igual ao centro da base

da pirâmide, ou seja, 22 e 6, respetivamente 4

1.3 31

1.3.1 11

Reconhecer que o centro da esfera tem coordenadas (1, 3, 8) 4

Verificar que o centro pertence à reta DV 7

O examinando pode concluir que o centro é o ponto médio de [DV] (ou)

O examinando pode verificar que o ponto pertence a DV através da substituição na equação vetorial da reta

1.3.2 10

Identificar as coordenadas de F(0, 4, 4) 4

Substituir as coordenadas na condição da esfera e concluir a partir

da proposição verdadeira obtida que o ponto F pertence à esfera 6

1.3.3 10

Determinar as coordenadas de DWV, ou de outro colinear com este 4

Escrever a condição que define [DV] 6

1 2 3 4

B D A C

QUESTÕES OPÇÃO CORRETA

4

Efetuar a divisão por x 2 4 (regra de Ruffini) e concluir que f(x) 5 (x 2 4)(22x2

1 x 1 1) 7

Determinar os zeros de 22x2

1 x 1 1 3

Concluir que os zeros de f são 2 1

, 1 e 4 2

3 ₉₀

3.1 15

Calcular o lucro total através da soma dos produtos entre o lucro por leitor

e o número de leitores vendidos, ou seja, 982 euros 15

3.2 15

Determinar a média de vendas (40,6) 8

Determinar o lucro médio (98,2) 7

3.3 15

3.3.1 12

Determinar o valor de y para x 5 0 3

Concluir que venderiam 90 unidades 3

3.3.2 12

Determinar o zero de y 5 90 2 15x 10

Indicar a margem de lucro, ou seja, o intervalo ]0, 6[ 5

3.3.3 15

Referir que x designa o número de leitores vendidos 3

Referir que y 5 90 2 15x representa o lucro por cada leitor vendido 3 Referir que o lucro mensal corresponde ao produto do número

de leitores vendidos pelo lucro obtido por unidade, ou seja, xy.

Sendo assim, o lucro mensal é L(x) 5 x(90 2 15x) 9

3.3.4 15

Determinar a abcissa do vértice da parábola correspondente, x5 3 12 Referir que o lucro mensal é máximo para um lucro por unidade igual a três euros 3