- Proposta de Resolução -

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Proposta de Resolução – Final do Barlavento 2009 1

5.

as

Olimpíadas Concelhias da Matemática

Final do Barlavento

- Proposta de Resolução -

Categoria: A (7º, 8º e 9º ano) 29 de Abril de 2009

Parte I: Escolha Múltipla

Soluções:

Questão Resposta correcta

1. (C) 2. (E) 3. (C) Cotação da Parte I: Erradas C ert as N.º de respostas: 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 5 4 3 2 10 9 3 15

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Proposta de resolução das questões da Parte I (Escolha Múltipla)

1. Utilizando, por exemplo, um diagrama em árvore, chegamos à conclusão que são 12

os códigos diferentes que a Ana pode construir.

Designando por F – barra fina, M – barra média, E – barra espessa

Obtemos os seguintes códigos:

FFME MFFE EFFM FFEM MFEF EFMF FMFE MEFF EMFF FMEF FEFM FEMF Diagrama de árvore: Resposta (C) F F M E M E F E F M E M E F M F M F F E F E F E F F E F E F F F E F F M F M F M F F M F M F F F As opções não assinaladas encontram-se repetidas.

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2. Através de uma tabela, poderemos facilmente chegar à resposta pretendida:

Números entre Nº de noves Números entre Nº de noves Números entre Nº de noves 0 e 9 1 101 e 199 20 1000 e 1100 20 10 e 19 1 200 e 299 20 1101 e 1200 20 20 e 29 1 300 e 399 20 1201 e 1300 20 30 e 39 1 400 e 299 20 1301 e 1400 20 40 e 49 1 500 e 599 20 1401 e 1500 20 50 e 59 1 600 e 699 20 1501 e 1600 20 60 e 69 1 700 e 799 20 1601 e 1700 20 70 e 79 1 800 e 899 20 1701 e 1800 20 80 e 89 1 900 e 999 120 1801 e 1900 21 90 e 100 11 …… …… 1901 e 2009 120 Total 20 …… 280 …… 301 601

Entre 0 e 2009 existem 601 algarismos 9.

Resposta (E)

3. Se F e G são pontos médios de [BD] e [AC], respectivamente, então

[EFDC] forma um quadrado.

A[FHI] = A[EIG] e portanto A[EFD] = 2 m2.

Então tem-se que A[EFDC] = 4 m2 e A[ABCD] = 8 m2.

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Parte II: Resposta Aberta

Regras gerais para a correcção de todos os problemas

• A resolução dum problema que contenha apenas a resposta correcta, será cotada com 1 Ponto

• A resolução dum problema que, na sequência dum raciocínio errado, apresenta a resposta correcta, será cotada com 0 Pontos

• As resoluções elaboradas na base de raciocínios correctos, mas que contêm erros, serão avaliadas de acordo com os critérios adoptados pelos professores nomeados para a correcção do respectivo problema. Recomenda-se que cada erro menor seja penalizado em 1 Ponto

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Proposta de resolução do problema 4

Cotação: 10 Pontos

4.Três amigas, a Carmo, a Margarida e a Rita foram a um baile com vestidos de cores

diferentes. Uma vestiu azul, outra branco e a outra preto.

Chegando ao baile, o anfitrião perguntou quem era cada uma delas. A de azul respondeu: “A Carmo está de branco”.

A de branco disse: “Eu sou a Margarida”. A de preto acrescentou: “A Rita está de branco”.

Como o anfitrião sabe que o que a Carmo diz é sempre verdade, ele foi capaz de identificar correctamente quem era cada uma das amigas.

Quais são as cores dos vestidos da Carmo, da Margarida e da Rita?

Proposta:

Analisemos cada uma das afirmações das amigas:

Cor do vestido de quem fez a

afirmação

Afirmação Conclusão

Azul “A Carmo está de branco”

A amiga com vestido azul não é a Carmo, caso contrário teria dito “A Carmo está de azul”, uma vez que não mente

Branco “Eu sou a

Margarida”

A amiga com vestido branco também não é a Carmo pois se fosse teria dito “Eu sou a Carmo”

Preto “ A Rita está de branco”

Por exclusão de partes, a amiga com o vestido preto só pode ser a Carmo.

Como a Carmo diz sempre a verdade, a Rita tem o vestido branco e por sua vez a Margarida tem o azul.

Resposta: O vestido da Carmo é preto, o da Rita é branco e o da Margarida azul.

Critérios de correcção:

Concluir que a amiga de vestido azul não é a Carmo ………..…… 2 pontos Concluir que a amiga de vestido branco não é a Carmo …………..…… 2 pontos Concluir que a amiga de vestido preto é a Carmo …….………..… 2 pontos Concluir que a Rita tem o vestido branco ………….….…………..…… 2 pontos Concluir que a Margarida tem o vestido azul ………….………….…… 1 ponto Resposta ………... 1 ponto

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Proposta de resolução do problema 5

5. O Simão gastou tudo o que tinha no bolso em cinco lojas. Em cada uma gastou 1 € a

mais do que a metade do que tinha ao entrar. Quanto tinha o Simão no bolso à partida?

Primeira Proposta:

Consideremos que o Simão tinha x euros no bolso à partida.

Recorrendo a uma tabela, vemos o que em cada loja o que o Simão gastou e o dinheiro com que ficou.

Loja Gastou Ficou com

1ª 2 2 1 2 + = + x x 2 2 2 2 − = + − x x x 2ª 4 2 1 4 2 1 2 2 2 + = + − = + − x x x 4 6 4 2 2 2 − = + − − x x x 3ª 8 2 1 8 6 1 2 4 6 + = + − = + − x x x 8 14 8 2 4 6 − = + − − x x x 4ª 16 2 1 16 14 1 2 8 14 + = + − = + − x x x 16 30 16 2 8 14₋ + ₌ − − x x x 5ª 32 2 1 32 30 1 2 16 30 + = + − = + − x x x 32 62 32 2 16 30 − = + − − x x x

Como o Simão gastou tudo o que tinha, depois da 5ª loja ficou com zero euros:

62 0 62 0 32 62 = ⇔ = − ⇔ = − x x x ou

Como o Simão gastou tudo o que tinha, a soma de tudo o que gastou é x euros:

62 62 32 2 4 2 8 4 16 8 32 16 32 2 16 2 8 2 4 2 2 2 = ⇔ − = − ⇔ ⇔ = + + + + + + + + + ⇔ = + + + + + + + + + x x x x x x x x x x x x x x

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Escrever a expressão do dinheiro que gastou na 1ª loja ………... 2 pontos Escrever a expressão do dinheiro que gastou na 2ª loja ………... 1 ponto Escrever a expressão do dinheiro que gastou na 3ª loja ………... 1 ponto Escrever a expressão do dinheiro que gastou na 4ª loja ………... 1 ponto Escrever a expressão do dinheiro que gastou na 5ª loja ………... 1 ponto Resolver uma das equações

0 3262 = − x ou x+ + x+ + x+ + x+ + x+ = x 32 2 16 2 8 2 4 2 2 2 …………... 3 pontos Resposta ………...……….………... 1 ponto

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Segunda Proposta:

Seja x o dinheiro que o Simão tem ao entrar numa das lojas, então nessa loja gasta 1 2x +

euros. Logo ao abandonar a loja restam 1

2x − euros.

Tendo em conta que ao sair da última loja o Simão não tem dinheiro ( 1 0

2x − = ), então

saiu da quarta loja com 2 euros.

Quer isto dizer que o Simão saiu da terceira loja com 6 euros ( 1 2x − =2).

Do mesmo modo é possível concluir que depois de sair da segunda loja o Simão tinha 14 euros ( 1 6

2x − = ) e que ao sair da primeira loja tinha 30 euros (2x − =1 14).

Então é possível concluir que o Simão inicialmente tinha 62 euros ( 1 30

2x − = ).

Resumindo, se y é dinheiro que o Simão tinha ao abandonar uma loja então 2( 1)

x= y+ , onde x o dinheiro que o Simão tinha ao entrar nessa loja. É portanto possível construir a seguinte tabela.

Loja

Dinheiro que tinha ao abandonar a loja

(y)

Dinheiro que tinha ao entrar na loja (x=2(y+ ) 1) 5ª 0 2 4ª 2 6 3ª 6 14 2ª 14 30 1ª 30

₆₂

Obter a relação entre o dinheiro que o Simão tinha ao entrar numa das

lojas e o dinheiro que tinha ao sair dessa loja…………....………... 4 pontos Calcular quanto dinheiro tinha o Simão ao entrar em cada uma das

lojas……… 5 pontos

Resposta ………...……….………... 1 ponto

Nota: Se o aluno construir a tabela sem explicar como chegou a a relação entre o

dinheiro que o Simão tinha ao entrar numa das lojas e o dinheiro que tinha ao sair dessa loja, a resposta deverá ter uma cotação máxima de 6 valores.

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Proposta de resolução do problema 6

6. A figura mostra uma pista de kart com um formato especial.

O triângulo CFG é equilátero. Os lados [CG] e [CF] foram divididos em três partes iguais e sobre estes foram construídos quadrados a partir de [BH] e de [DI].

A pista é composta por 4 arcos de circunferência: um com centro em H, outro com centro em I e dois com centro em C. O arco AB mede 90 m.

Qual é o comprimento da pista?

1ª Proposta:

Se arco AB tem 90 m, então os arcos GAB e FED têm 180 m cada. Do arco GAB, que é uma semicircunferência de raio r, vem que

180 180 2 2 = ⇔ = r r _π π m.

O arco BD é um sexto de uma circunferência de raio r, e logo o arco BD é

60 3 180 3 6 2πr ₌πr ₌ ₌ m.

O arco GF é um sexto de uma circunferência de raio 3r, logo o arco GF é

180 6 6 6 ) 3 ( 2 = = = r r r π _π π m.

O comprimento da pista é a soma do comprimento dos arcos GAB, FED, BD e GF: 180 + 180 + 60 + 180 = 600m.

Resposta: O comprimento da pista é de 600 m.

Concluir que o arco GAB tem 180 m ………. 1 ponto Concluir que o arco FED tem 180 m ……….. 1 ponto Escrever uma expressão que envolva o raio ……… 2 pontos Calcular o comprimento do arco BD ………... 2 pontos Calcular o comprimento do arco GF……… 2 pontos Calcular o comprimento total da pista ………. 1 ponto Resposta ………... 1 ponto

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2ª Proposta:

O arco BAG mede 180m, assim como o arco FED.

Como o arco AB mede 90 m, AH = HB = BC = CD e GCˆF =60º (o triângulo [CFG] é equilátero) podemos usar raciocínio proporcional e logo o arco BD mede 60 m.

Os triângulos [CFG] e [BCD] são semelhantes porque o comprimento dos lados [CG] e [CB] assim como [CF] e [CD] são directamente proporcionais (de razão 3) e o ângulo por eles formado é geometricamente igual (por ser comum aos dois triângulos). Logo o arco GF tem o triplo do comprimento do arco BD, ou seja, 180 m.

O comprimento da pista é a soma do comprimento dos arcos GB, FD, GF e BD: 180 + 180+ 180 + 60 = 600 m.

Resposta: O comprimento da pista é de 600 m.

Concluir que os arcos BAG tem 180 m …………...……….... 1 ponto Concluir que o arco FED tem 180 m ……….. 1 ponto Calcular o comprimento do arco BD ………... 2 ponto Concluir que os triângulos CFG e BCD são semelhantes ……….... 2 pontos Calcular o comprimento do arco GF……… 2 pontos Calcular o comprimento total da pista ………. 1 ponto Resposta ………... 1 ponto