Ex 4.3 O anel é construído pelos polinômios S 1 1 S 2. x S 3. x 1 S 4. x 2 S 5. x 2 1 S 6. x 2 x S 7. x 2 x 1 S 8. x 3 S 9

(1)

Ex. 4.1

As palavras código são

c0 = [0 0 0 0 0 0 0], c1 = [0 0 0 1 1 0 1], c2 = [0 0 1 1 0 1 0], c3 = [0 0 1 0 1 1 1],

c4 = [0 1 1 0 1 0 0], c5 = [0 1 1 1 0 0 1], c6 = [0 1 0 1 1 1 0], c7 = [0 1 0 0 0 1 1],

c8 = [1 1 0 1 0 0 0], c9 = [1 1 0 0 1 0 1], c10 = [1 1 1 0 0 1 0], c11 = [1 1 1 1 1 1],

c12 = [1 0 1 1 1 0 0], c13 = [1 0 1 0 0 0 1], c14 = [1 0 0 0 1 1 0], c15 = [1 0 0 1 0 1 1],

podemos ver que as palavras c0 e c11 quando deslocadas ciclicamente resultam nelas mesmas.

As palavras c1, c2, c4, c7, c8, c13 e c14 são todas versões deslocadas ciclicamente possíveis de uma

mesma palavra.

O mesmo vale para as palavras c3, c5, c6, c9, c10, c12 e c15 .

Ex 4.3

O anel é construído pelos polinômios

S11 S₂x S₃x1 S₄x2 S5x 2 1 S₆x2 x S₇x2 x1 S₈x3 S₉x31 S10x 3 x S11x 3 x1 S12x 3 x2 S₁₃x3x21 S14x 3 x2x S15x 3 x2x1 S₀x4_10 As tabelas são

(2)

+ S0 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 S11 S12 S13 S14 S15 S0 S0 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 S11 S12 S13 S14 S15 S1 S1 S0 S3 S2 S5 S4 S7 S6 S9 S8 S11 S10 S13 S12 S15 S14 S2 S2 S3 S0 S1 S6 S7 S4 S5 S10 S11 S8 S9 S14 S15 S12 S13 S3 S3 S2 S1 S0 S7 S6 S5 S4 S11 S10 S9 S8 S15 S14 S13 S12 S4 S4 S5 S6 S7 S0 S1 S2 S3 S12 S13 S14 S15 S8 S9 S10 S11 S5 S5 S4 S7 S6 S1 S0 S3 S2 S13 S12 S15 S14 S9 S8 S11 S10 S6 S6 S7 S4 S5 S2 S3 S0 S1 S14 S15 S12 S13 S10 S11 S8 S9 S7 S7 S6 S5 S4 S3 S2 S1 S0 S15 S14 S13 S12 S11 S10 S9 S8 S8 S8 S9 S10 S11 S12 S13 S14 S15 S0 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S9 S9 S8 S11 S10 S13 S12 S15 S14 S1 S0 S3 S2 S5 S4 S7 S6 S10 S10 S11 S8 S9 S14 S15 S12 S13 S2 S3 S0 S1 S6 S7 S4 S5 S11 S11 S10 S9 S8 S15 S14 S13 S12 S3 S2 S1 S0 S7 S6 S5 S4 S12 S12 S13 S14 S15 S8 S9 S10 S11 S4 S5 S6 S7 S0 S1 S2 S3 S13 S13 S12 S15 S14 S9 S8 S11 S10 S5 S4 S7 S6 S1 S0 S3 S2 S14 S14 S15 S12 S13 S10 S11 S8 S9 S6 S7 S4 S5 S2 S3 S0 S1 S15 S15 S14 S13 S12 S11 S10 S9 S8 S7 S6 S5 S4 S3 S2 S1 S0

Para calcularmos a tabela de multiplicação vemos que 1 g  x=g  x  xx=x2 x  x1=x2x xx2 =x3 x  x21= x3x x  x2x= x3x2 x  x2 x1= x3 x2_1 xx3=x4=x411 x  x31=x4x= x41 x1 x  x3 x =x4 x2 =x4_{1 x}2_{1 ;} x  x3x1= x4x2x= x41 x2x1 x  x3x2=x4x3=x41 x31 x  x3 x2_{1= x}4 x3 x= x4_{1 x}3 x1 x  x3x2x = x4x3x2=x41 x3x21 x  x3x2x1=x4x3x2x= x41 x3x2x1

(3)

x1× x1=x21 ; x2=x3x2; x21=x3x2x1 ; x2 x=x3 x ; x2x1= x31 ; x3 =x4_{1 x}3_{1 ;} x31= x41 x3x ; x3x= x41x3x2x1 ; x3 x1= x4_1x3 x2_; x3x2=x41x21 ; x3x21= x41 x2x ; x3 x2 x= x4_{1 x1 ;} x3x2x1= x410 ; x2 × x2=x411 ; x2 1= x4_1x2_{1 ;} x2 x= x4_{1 x}3_{1 ;} x2x1= x41 x3x21 ; x3 =x4_{1 x x ;} x3_{1= x}4_{1 x x}2 x ; x3x= x41 xx3x ; x3 x1= x4_{1 x x}3 x2_; x3 x2 =x4_{1 x1 x1 ;} x3x21= x41 x 1 x2x1 ; x3 x2 x= x4_{1 x1x}3 x 1 ; x3x2x1= x41 x1 x3x2x1 ; x2_1× x21= x410 ; x2 x= x4_{1 x}3 x2 x1 ; x2 x1= x4_{1 x}3 x ; x3=x41 x x3x ; x3_{1= x}4_{1 x x}3 x2 x1 ; x3 x= x4_{1 x0 ;} x3x1= x41 x x21 ; x3 x2 =x4_{1 x1 x}3 x2 x1 ; x3 x2_{1= x}4_{1 x 1 x}3 x ; x3x2x= x41 x1x21 ; x3 x2 x1= x4_{1 x10 ;} x2 x× x2x= x41 x1 ; x2 x1= x4_{1 x}3 x ; x3 =x4_{1 x 1 x1 ;} x31= x41 x1x21 ; x3 x= x4_{1 x1 x}3 x2 x1 ; x3 x1= x4_{1 x1 x}3_{1 ;} x3x2=x41 xx3x ; x3 x2_{1= x}4_{1 x x}3 x2_; x3 x2 x= x4_{1 x x}2 x ; x3x2x1= x41 x 0 ; x2 x1× x2 x1= x4_{1 x}2_; x3=x41 x 1 x3x1 ; x3_{1= x}4_{1 x1x}3 x2_; x3x= x41 x1 x21 ; x3x1= x41 x1 x ; x3 x2 =x4_{1 xx}2_{x ;} x3x21= x41 x x3x21 ; x3x2x= x41 x x3; x3 x2 x1= x4_{1 x x}3 x2 x 1 ; x3× x3 =x6 =x4_{1 x}2_x2_; x31= x41 x2x3x2; x3x= x41 x21 x21 ; x3x1= x41 x21 x3x21 ; x3x2=x41 x2x x2x ; x3x21= x41 x2x x3x2x ; x3x2x= x41 x2x1 x2x1 ; x3x2x1= x41 x2x1x3x2x1 ;

(4)

x3_1× x31= x41 x2x21 ; x3 x= x4_{1 x}2_{1 x}3 x2 x1 ; x3 x1= x4_{1 x}2_{1 x}2 x1 ; x3x2=x41 x2x x3x ; x3 x2_{1= x}4_{1 x}2 x x 1 ; x3 x2 x= x4_{1 x}2 x1 x3_{1 ;} x3x2x1= x41 x2x10 ; x3 x× x3x= x41 x20 ; x3 x1= x4_{1 x}2 x3 x ; x3 x2 =x4_{1 x}2 x1x3 x2 x 1 ; x3x21= x41 x21x21 ; x3 x2 x= x4_{1 x}2 x x3_{x ;} x3 x2 x1= x4_{1 x}2 x0 ; x3x1× x3 x1= x4_{1 x}2_{1 ;} x3x2=x41 x2x1x 1 ; x3x21= x41 x2x1 x3; x3 x2 x= x4_{1 x}2 x x2_; x3x2x1= x41 x2x x3x2x1 ; x3x2× x3 x2 =x4_{1 x}2_{1 x}2_{1 ;} x3x21= x41 x21x31 ; x3 x2 x= x4_{1 x}2 x3 x2_; x3 x2 x1= x4_{1 x}2_{0 ;} x3x21× x3 x2_{1= x}4_{1 x}2_1x2_; x3x2x= x41 x2x ; x3x2x1= x41 x2x3x2x 1 ; x3x2x × x3x2x= x41 x211 ; x3 x2 x1= x4_{1 x}2 x3 x2 x 1 ; x3 x2 x1× x3 x2 x1= x4_{1 x}2_{10 ;} . S0 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 S11 S12 S13 S14 S15 S0 S0 S0 S0 S0 S0 S0 S0 S0 S0 S0 S0 S0 S0 S0 S0 S0 S1 S0 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 S11 S12 S13 S14 S15 S2 S0 S2 S4 S6 S8 S10 S12 S14 S1 S3 S5 S7 S9 S11 S13 S15 S3 S0 S3 S6 S5 S12 S15 S10 S9 S9 S10 S15 S12 S5 S6 S3 S0 S4 S0 S4 S8 S12 S1 S5 S9 S13 S2 S6 S10 S12 S3 S7 S11 S15 S5 S0 S5 S10 S15 S5 S0 S15 S10 S10 S15 S0 S5 S15 S10 S5 S0 S6 S0 S6 S12 S10 S9 S15 S3 S10 S3 S5 S15 S9 S10 S12 S6 S0 S7 S0 S7 S14 S9 S13 S10 S10 S4 S11 S12 S5 S2 S6 S13 S8 S15 S8 S0 S8 S1 S9 S2 S10 S3 S11 S4 S12 S5 S13 S6 S14 S7 S15 S9 S0 S9 S3 S10 S6 S15 S5 S12 S12 S5 S15 S7 S10 S3 S9 S0 S10 S0 S10 S5 S15 S10 S0 S15 S5 S5 S15 S0 S10 S15 S5 S10 S0 S11 S0 S11 S7 S12 S12 S5 S9 S2 S13 S7 S10 S1 S3 S8 S4 S15 S12 S0 S12 S9 S5 S3 S15 S10 S6 S6 S10 S15 S3 S5 S9 S12 S0 S13 S0 S13 S11 S6 S7 S10 S12 S13 S14 S3 S5 S8 S9 S4 S2 S15 S14 S0 S14 S13 S3 S11 S5 S6 S8 S7 S9 S10 S4 S12 S2 S1 S15 S15 S0 S15 S15 S0 S15 S0 S0 S15 S15 S0 S0 S15 S0 S15 S15 S0

(5)

Ex. 4.4

pela definição de ideal i) se b∈I e r ∈R ⇒br ∈I ii) I forma um grupo em adição Pelo enunciado, temos que

se ab=0 ⇒b ∈I

Para provar (i) verificamos que

abr =ab r=0⇒ br ∈I

Para provar (ii) vemos que

ab₁=0

ab₂=0

}

⇒b1,b2∈I

a b₁b₂=ab₁ab₂=0 ⇒ b₁b₂∈I

Ex. 4.7

Achar as raízes de p(x) equivale a x2_{= 1.}

Em ℤ₁₅ , isto equivale a

x2=15 n1 ; x∈ℕ , x15, n∈ℤ

Podemos verificar que isso é válido para x = 1, 4, 11 ou 14. Temos que

p  x = x1 x−1

Já vimos na Seção 2.3 que os elementos não nulos de um campo formam um grupo na

multiplicação. Desta forma, em um campo ab=0 ⇔ a=0 ou b=0 , ou seja x = 1 ou x = -1. No grupo deste exemplo temos casos onde ab=0, sem que a ou b sejam também 0. Isto decorre do fato que nem todos os elementos do campo têm um elemento inverso.

Ex. 4.8

1x2x3xx2=x5x3x2x= x41 x x3x2 Ou seja, em R4, 1x2x3xx2=x3x2 .

A convolução circular é dada por [1, 0, 1, 1]∗[0, 1, 1]=

[1×01×11×1, 0×01×11×1, 1×00×11×1, 1×01×10×1]=[0, 0, 1, 1] Ou seja, equivale à multiplicação polinomial a0 +a1x +a2x2 +a3x3, se o vetor é dado por [ a0, a1, a2, a3]

Ex. 4.9 a) h  x =x 15 −1 g  x  = x151 x4x1=x 11 x8x7x5x3x2x1

(6)

b) G=

[

1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1

]

H=

[

1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1

]

c) A linha i é obtida pelo resto da divisão de de xn-k+i_=x4+i_{por g(x). Sendo assim} i=0  x4=x4x1x 1⇒ b0x= x1 i=1 x5=x4x1 xx2x ⇒ b1x =x 2 x i=2  x6=x4x1 x2x3x2⇒b₁x =x3x2 i=3 x7=x4x1 x31 x3x1 ⇒b1x =x 3 x 1 i=4  x8 =x4 x1 x4 x1x2_{1⇒ b} 1x =x 2_1 i=5 x9 =x4 x 1 x5 x2 x x3 x ⇒ b₁x =x3 x i=6  x10 =x4 x 1 x6 x3 x2_{1 x}2_{1 ⇒b} 1x= x 2_1 i=7  x11=x4x1 x7x4x3x x3x2x ⇒ b₁x=x3x2x i=8 x12=x4x1 x8x5x4x21x3x2x1 ⇒b1x = x 3 x2x1 i=9  x13=x4x1 x9x6x5x3x1x3x21 ⇒b₁x = x3 x2_1 i=10 x14 =x4 x 1 x10 x7 x6 x4 x2 x1x3_1 ⇒b1x = x31 G_sist=

[

1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

]

(7)

Hsist=

[

1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1

]

d) c  x = x4 x1 x3 x2 x= x7 x6 x5 x4 x e) c x= x4x3x2x Rg x

[

x 4 x3x2x 

]

x4x3x2x =x7x6x5 x7 x6 x5 =x4 x1 x3 x2 x11 c x= x7 x6 x5_1 f) m x=c  x  g  x= x13x11x10x9x5x4x3x1 x4 x1 =1x 3 x4x7x9 g)

vamos eliminar os bits de paridade

c '  x =c  x −Rg x

[

xn−km x 

]

=m x  xn−k=x4x5x9x10x11x13 agora basta deslocar a sequência

m x=c '  x  xk−n=c '  x  x−4=1 xx5x6x7x9 h) s  x =r  x h  x  mod xn_{−1= x}14 x10 x5 x3 x11 x8 x7 x5 x3 x2 x1 mod x15_1 =x25x22x19x18x10x7x4x3mod x151=0 Ex. 4.11 a) c(x) é de grau 5, portanto n≥6 . g(x) deve dividir xn _-1 Para n=6, x6_−1=x6_{1= x 1 x}2 x1 x3_1 g(x) deve dividir c(x) c  x =x5x41= x3x1 x2x 1

Portanto para o maior grau de g(x) temos

g  x= x2

x1

Para n=7, x7

−1=x71= x 1 x3x1 x3x21 Portanto para o maior grau de g(x) temos

(8)

b)

Podemos ver que

c  x  x1=x151 Portanto

g(x) = c(x)

Ex. 4.12

Para ser um polinômio gerador válido g(x) deve dividir xn _-1. Mas, se g0=0⇒ g  x= x  g1g2xgn−kx

n−k−1

 , e x deveria dividir xn _{-1, o que não} acontece.

Ex. 4.13

x9x8x7x5x4x 1 x12x11x9x7x3x2x1=x211 , portanto g(x) gera um código binário cíclico (21,12).

h  x =x12x11x9x7x3x2x1 s  x =r  x h  x  mod x211= x16x41 x12x11x9x7x3x2x1 mod x211 =x28x27x25x23x19x18x15x13x12x9x6x4x3x21 mod x211 =x19x18x15x13x12x9x7x31 Ex. 4.14 a) g(x) é de ordem n-k =10, portanto g*x =x10g 1/ x =x101 x−2x−4x−6x−7x−10=x10x8x6x4x31 b)

para que g(x) seja gerador de um código cíclico (n, k), temos que g  x h x= xn −1 . Consequentemente g 1 / x h1/ x =x−n_{−1⇒ x}n−k_{g 1/ x x}k_{h 1/ x =x}n x−n_1=xn_{1 . Ou seja, g*(x) é gerador} de um código cíclico (n,k) c e d) c* x =cn−1cn −2x ⋯c0xn−1=xn−1c 1/ x  Mas c x=m x g  x  ⇒c*x =xn−1m1/ x  g 1 / x=xn −kg 1/ x  xk −1m1/ x =g*x m*x

Ou seja, se c(x) é uma palavra válida de C, formada pela mensagem m(x), c*(x) é uma palavra válida de C* com mensagem m*(x). Como o peso de c(x) é o mesmo de c*(x), e que o conjunto de

mensagens m(x) e m*(x) é o mesmo, podemos concluir que os dois códigos têm a mesma distribuição de peso.

Da mesma forma, como a fatoração em g*(x) e m*(x) é única para polinômios de graus n-k e k, podemos conclui que, se a palavra c*(x) é uma palavra válida ela foi gerada por g*(x), e,

(9)

Ex. 4.15 a)

c x=m x g  x =m x f  x x1=b  x  x1=b₀xb₁xb_n−2xn−2__x1 =b0b0b1xb1b2x2bn−3bn−2xn−2bn−2xn−1

,

ou seja, para um código binário

c₀=b₀

ci=

{

1, se bi≠bi−1

0, se b_i=b_i−1 , 0in−1

c_n−2=b_n−2

portanto, se tivermos um número de transições de bits par 2k , então bn-2 = b0, e o peso da palavra

será w = 2k + 2b0, que é par.

Se tivermos um número de transições de bits ímpar 2k+1 , então bn−2≠b₀ , e o peso da palavra será w = 2k + 2, que é par.

b)

Para código binário temos que

xn1= x1 xn−1xn−21 Mas, para código binário e n par

xn1=



xn /21



2=x12



xn / 2−1xn /2−21



2

, ou seja,  x1

∣

xn−1xn −21 Já para n ímpar (e n-1= 2k par)

xn−1 xn−2_{1= x}2 k x2 k −1_{1= x1}_x2 k −1 x2 k −3 x2 k−5 x

1

, ou seja

x+1 aparece uma única vez como fator de xn _{+ 1.} Portanto, se x + 1 não é fator de g(x), então  xn−1

xn−21= f  x g  x  Agora, c  x = xn−1

xn−2_{1=m x g  x  representa a palavra tudo um, e pode ser obtida} com a mensagem m(x) = f(x).

c) ?????? Ex. 4.16

Já vimos (Ex. 4.15a) que o código formado por g  x= x1 g  x não tem nenhuma palavra de peso ímpar.

Se x +1 não é fator de g(x), então g(x) terá metade das palavras de peso par e metade das palavras de peso ímpar.

Sabemos também que, se C é um código (n,k) o código C formado por g x é um código (n,k-1), contendo metade das palavras de C.

Agora, C pode ser gerado por c x=m x x1g x , e portanto todas as palavras do código novo são também palavras do código antigo.

Como o código novo tem apenas palavras com peso par, concluí-se que C é composto pelas palavras de peso par de C, o que pode ser expresso em equação por

A z= 1

(10)

Ex. 4.17 g  x =g₀g₁x₁g₂x₂g_n−kxn −k g '  x=g  x =g0g1x  g2x 2 gn−k x n−k 

temos também que para que g(x) seja um código cíclico com palavras de tamanho n:

xn_{−1=g  x h x ⇒ x}_n_−1=xn _{−1=g  x}__{h x}_

ou seja g  x

 divide xn −1 , e gera portanto um código (λn, λk)..

A matriz de verificação de paridade do código original é

H=

[

h_k h_{k −1} h_k−2 ⋯ h₀ h_k h_k−1 h_k−2 ⋯ h₀ hk hk−1 hk −2 ⋯ h0 ⋱ ⋱ h_k h_k−1 h_{k −2} ⋯ h₀

]

, e tem no mínimo dmin colunas

linearmente dependentes, por exemplo as colunas i0,i1, , idmin−1

e do código novo é, por exemplo para λ=2, H '=

[

h_k 0 h_k−1 0 h_k−2 ⋯ h₀ hk 0 hk−1 0 hk −2 ⋯ h0 h_k 0 h_k−1 0 h_k−2 ⋯ h₀ hk 0 hk −1 0 hk−2 ⋯ h0 h_k 0 h_k−1 0 h_{k −2} ⋯ h₀ ⋱ ⋱ h_k 0 h_k−1 0 h_{k− 2} ⋯ h₀ h_k 0 h_k−1 0 h_k−2 ⋯ h₀

]

.

Para valores maiores λ de teremos a mesma forma, mas com λ-1 0's entre os coeficientes não nulos. Podemos ver que agora as colunas  i0,  i1,, idmin−1 também são l.d, assim como as colunas

i₀k , i₁k ,,  i_d_min₋₁_{k , para 0k  .} Ex. 4.20 ?????? Ex. 4.21 ?????? Ex. 4.22 em GF(2) ci  x =c  x  xi_{mod x}n_{1=c  x} ⇒c x xi=xn1q  x ci x= xn1 q xc x⇒ c  x = xn1 q  x c  x xi ⇒c x xi_{1=q  x  x}n_1

queremos provar que

i≥l , n=lm

(11)

Ex. 4.30 Ex. 4.31 Ex. 4.33 Ex. 4.34 Ex. 4.35 Ex. 4.36 Ex. 4.37 Ex. 4.38