Processamento de Sinais Usando Quatérnios

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Processamento de Sinais Usando Quat´

ernios

Diogo Pelaes, L´ucio T. Santos,

Departamento de Matem´atica Aplicada, IMECC, UNICAMP, 13083-859, Campinas, SP

E-mail: ra011719@ime.unicamp.br, lucio@ime.unicamp.br.

1 Introdu¸c˜

ao

A filtragem de sinais é muito importante no trabalho de processamento de sinais e para isso é usado a transformada de Fourier, pois filtrar um sinal nada mais é que multiplicar uma fun¸cão filtro no dom´ınio de Fourier pelo sinal também no dom´ınio de Fourier. Considerando sinais em duas dimensões é usado a transfor-mada de Fourier bidimensional para fazer a filtragem como já descrita. Nesse contesto, é poss´ıvel aplicar uma nova ferramenta, a transformada quaterniônica de Fourier (QFT) como [2], que nada mais é do que um caso particular das transformadas hipercomplexas de Fourier apresentadas em [5]. O conjunto dos quatérnios foi inicialmente apresentado por Hamilton [4] e usando o conceito de transformadas hipercomplexa [5] é definida a transformada quaterniônica de Fourier.

A QFT tem sido explorada na análise de cores de imagens como por exemplo em [7], [9] e [1]. Outra abordagem foi feita por [3], que descreve a fun¸cão quaterniônica de sinal bidimensional, uma fun¸cão derivada das propriedades da QFT e que pode substituir a tradicional fun¸cão anal´ıtica de sinal bidimen-sional, mostrando-se muitas vezes mais eficaz para análise do comportamento do sinal.

Na prática os sinais são discretos e por isso a QFT deve ser tratada no caso discreto, como feito em [8], explorando ao máximo o que já é conhecido da transformada clássica de Fourier, ajudando muito o trabalho computacional como mostrado na item 6.

Este trabalho tem como objetivo analisar as fases quaterniˆonicas da QFT, para isso foi

realizado um exemplo utilizando uma imagem simples e alterando cada fase separadamente, para uma simples compara¸c˜ao e tentar com-preender qual informa¸c˜ao cada fase carrega.

Antes de mostrar este exemplo ´e apresentado de maneira mais simples e objetiva poss´ıvel a teoria para compreender o assunto abordado.

2 Quat´

ernios

Para entender a transformada quaterniônica de Fourier (QFT) é preciso conhecer o conjunto dos quatérnios, aqui será feito uma simples apresenta¸cão, para maiores detalhes ver em [5].

Considere os elementos i, j e k tais que,

ij = −ji = k,

i2= j2 = k2 = −1. (1) ´

E chamado de quat´ernios o conjunto

H = {q = q0+q1i+q2j+q3k : q0, q1, q2, q3∈ R}

munido das opera¸cões de adi¸cão usual, multi-plica¸cão por escalar, também usual, e com o produto entre dois elementos deste grupo (q e

v), dado por:

qv = (q0v0− q1v1− q2v2− q3v3)

+ i(q0v1+ q1v0+ q2v3− q3v2)

+ j(q₀v₂+ q₂v₀− q₁v₃+ q₃v₁) + k(q0v3+ q3v0+ q1v2− q2v1). (2)

Observe que H não é comutativo. Também é definido o conjugado de um quatérnio

q = q₀+ q₁i + q₂j + q₃k como sendo:

(2)

E a norma de um quat´ernio q = q₀+ q₁i + q₂j + q₃k: |q| =pqq = q q2 0+ q21+ q22+ q23. (4)

3 Fases do Quat´

ernio

´

E comum quando se trabalha com números complexos escrever estes números em coorde-nadas polares, z = Aeiθ_{, sendo A a amplitude} e θ a fase. Um quatérnio q também pode ser escrito de forma parecida, mas com três fases, como descrito no teorema abaixo, apresentado em detalhes em [2]:

Teorema 3.1. Todo quat´ernio q pode ser

es-crito como:

q = |q|eiφekψejθ, (5)

sendo φ ∈ [−π, π), θ ∈ [−π/2, π/2) e ψ ∈ [−π/4, π/4].

Prova: Ver [2]. Para demonstrar este resul-tado, é usado o fato de que todo quatérnio unitário representa uma rota¸cão em R3_{, ou}

seja, existe um homomorfismo sobrejetivo dos quat´ernios unit´arios para o grupo SO(3)

(spe-cial orthogonal group). Este homomorfismo ´e

dado pela matriz de Rodriguez, muito utilizada no estudo de rota¸c˜ao utilizando quat´ernios.

4 Transformada quaterniˆ

onica

de Fourier (QFT)

A transformada quaterniônica de Fourier é uma transformada bidimensional e (em geral) pode ser aplicada em fun¸cões quaterniônicas, (sobre certas condi¸cões, assim como a transfor-mada de Fourier), porém considera-se apenas sinais reais. A QFT é um caso particular das transformadas hipercomplexas de Fourier [5].

Seja f um sinal bidimensional, f : R2 _{→ R,}

ent˜ao a QFT de f ´e definida por

Fq(w1, w2) = Z R2 e−ix1w1_{f (x} 1, x2)e−jx2w2dx1dx2. (6)

Sua inversa (IQFT) ´e dada por

f (x1, x2) = 1 4π2 Z R2 eix1w1_F q(w1, w2)ejx2w2dw1dw2. (7)

Observe que para calcular a IQFT, é fundamental que Fq esteja envoluida pelas exponenciais, nesta ordem, pois caso contrário não estaria bem definida.

Uma propriedade da QFT importante ´e a seguinte:

Propriedade 4.1. Seja f um sinal separ´avel,

f (x1, x2) = g(x1)h(x2), e Fq = Aqeiφekψejθ.

Ent˜ao ψ = 0.

5 Vantagens da QFT

Seja F a transformada de Fourier de um sinal real unidimensional f R → R. Como

F (w) = F (−w), basta conhecer F (w), w ≥ 0

para recuperar todo o sinal, ou seja, é necessário 50% da informa¸cão no dom´ınio da freqüência.

Da mesma maneira para o caso bidi-mensional, seja F a transformada de Fourier de um sinal real bidimensional

f R2 _{→ R, como F (w}

1, w2) = F (−w1, −w2)

e F (−w1, w2) = F (w1, −w2) basta conhecer F no primeiro e no segundo quadrante do

dom´ınio de Fourier para recuperar todo o sinal

f , ou seja, é necessário 50% da informa¸cão no

dom´ınio de Fourier para recuperar f .

Um resultado da QFT que a torna mais efi-ciente neste sentido ´e:

Teorema 5.1. Seja Fq a transforma

quaterniˆonica de um sinal bidimensional f , ent˜ao

−jFq(w1, w2)j = Fq(−w1, w2), (8) e

−iFq(w1, w2)i = Fq(w1, −w2). (9)

Prova: Ver [3]. Assim basta conhecer Fq no primeiro quadrante para recuperar o sinal todo, ou seja, 25% da informa¸c˜ao.

O fato da QFT poder ser escrita como (5) tamb´em pode ser explorado para criar filtros

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em cada fase (filtros quaterniônicos), que at-uam com uma sensibilidade diferente do con-vencional. O exemplo tomado neste trabalho mostra como as fases se comportam, dando uma idéia de como os filtros quaterniônicos po-dem funcionar.

6 FQFT

Os sinais são freqüentemente discretos e, por isso, deve-se trabalhar com a QFT disc-reta como descrito em [8] e assim implemen-tar tal modelo. A transformada clássica de Fourier tem sua representa¸cão discreta muito bem implementada pela famosa FFT (Fast Fourier Transform), cujo algoritmo tem com-plexidade O(N log N ). Por essa razão a im-plementa¸cão da QFT deve ser feita usando a FFT (por isso FQFT). Para tanto, basta de-compor as integrais da QFT de forma a se obter a transformada clássica de Fourier (ao fazer este processo deve-se tomar cuidado com a não comutatividade dos quatérnios). Ao fi-nal, verifica-se que para calcular a FQFT de um sinal real é necessário calcular três vezes a FFT, enquanto usando a FFT2 (FFT bidi-mensional) é necessário aplicar duas vezes a FFT. Para a IFQFT é necessário quatro vezes a FFT, pois a IFQFT é aplicada em uma fun¸cão quaterniônica, enquanto a IFFT2 uti-liza duas vezes a IFFT. Assim, verifica-se que o acréscimo no custo computacional e insignif-icante, já que se espera obter informa¸cões que a transformada de Fourier clássica não oferece.

7 Exemplos

O objetivo deste tópico é comparar difer-entes fases da transformada quaterniônica de Fourier. Como exemplo foi utilizada a Figura 1, gerada usando a figura flujet do Mat-lab. A fun¸cão que descreve esta imagem não é separável e portanto não se aplica a Pro-priedade 4.1.

Seja f a fun¸c˜ao que descreve a imagem e as transformadas:

Transformada de Fourier

F (w1, w2) = Aeiα, (10)

com A e α dependendo de w1 e w2.

Figura 1: Imagem flujet do Matlab. Transformada quaterniˆonica de Fourier

Fq(w1, w2) = Aqeiφekψejθ, (11) com Aq, φ, ψ e θ dependendo de w1 e w2.

Agora para fazer a compara¸cão, é consider-ado uma atenua¸cão de 20% das fases. A Figura 2 mostra a inversa de (10), com fase 0, 8α a es-querda, e fase nula a direita. O mesmo proced-imento é realizado para as fases φ, (Figura 4),

ψ, (Figura 3), e θ, (Figura 5).

Figura 2: Esquerda: 80% da fase α. Direita: Fase α nula.

Para fases φ e θ quando anuladas, (Figuras 3 e 5), pode-se notar uma simetria na vertical e na horizontal respectivamente. J´a a Figura 4, sugere pouca influencia da fase ψ, na im-agem. O mesmo fato pode ser visto utilizando a Figura 6, um tabuleiro, alterado no canto in-ferior esquerdo.

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Figura 3: Esquerda: 80% da fase φ. Direita: Fase φ nula.

Figura 4: Esquerda: 80% da fase ψ. Direita: Fase ψ nula.

Figura 5: Esquerda: 80% da fase θ. Direita: Fase θ nula.

Utilizando o mesmo procedimento realizado para a Figura 1, foi obtido um resultado simi-lar com respeito a fase ψ, como pode ser visto

Figura 6: Tabuleiro alterado.

na Figura 9. De fato não há diferen¸ca alguma, pois a fun¸cão que descreve esta imagem é quase separável.

Com rela¸cão as outras fases (φ e θ), nota-se a influência simétrica da fase φ na horizontal e da fase θ na vertical, como pode ser visto nas Figuras 8 e 10. Fica claro que manipular a imagem usando as fases quaterniônicas é mais sens´ıvel, pois como exibe a Figura 7 esse tipo de altera¸cão na fase α gera uma grande distor¸cão na imagem.

Figura 7: Esquerda: 80% da fase α. Direita: Fase α nula.

8 Conclus˜

ao

A transformada quaterniônica de Fourier têm diversas propriedades semelhantes, porém outras tantas não são nada parecidas. Algumas destas propriedades são apresentadas em [2].

(5)

Figura 8: Esquerda: 80% da fase φ. Direita: Fase φ nula.

Figura 9: Esquerda: 80% da fase ψ. Direita: Fase ψ nula.

Figura 10: Esquerda: 80% da fase θ. Direita: Fase θ nula.

Em grande parte a diferen¸ca das pro-priedades derivam da n˜ao comutatividade dos quat´ernios, como pode ser visto em [6]. Uma

destas diferen¸cas foi observada na se¸cão 5, o fato da QFT precisar apenas de 25% da informa¸cão no dom´ınio de Fourier para recu-perar o sinal original, enquanto a transformada clássica de Fourier precisa de 50%. Entretanto, o fato mais interessante é o fato de a QFT ter três fases, permitindo diversos resultados como, o apresentado no exemplo e em [3], [1] e [9], dentre outros.

O custo computacional da QFT, como visto na se¸cão 6, não difere da transformada clássica de Fourier de forma considerável, pois o aumento foi linear. Assim, do ponto de vista computacional, a QFT pode ser aplicada sem problemas.

Nos exemplos aqui exibidos verificou-se que a fase quaterniônica ψ não sofreu quase nen-huma altera¸cão, enquanto a fase da transfor-mada clássica de Fourier modificou-se comple-tamente, tais como as fases φ e θ.

Referˆ

encias

[1] P. Bas, N. Bihan and J.-M Chassery, Color image watermarking using quater-nion Fourier transform, Acoustics, Speech,

and Signal Processing, 2003. Proceedings. (ICASSP ’03). 2003 IEEE International Conference, 3, pp. 521-524, 2003.

[2] T. B¨ulow, “Hypercomplex spectral sig-nal representations for the processing and analysis of images”, Inst. Comput. Sci. Appl. Math., Christian-Albrechts-Univ. Kiel, Kiel, Germany, 1999.

[3] T. B¨ulow, and G. Sommer, Hypercom-plex signals: A novel extension of the an-alytic signal to the multidimensional case,

IEEE Transactions on Signal Processing,

49 (2001) 2844-2852.

[4] W. R. Hamilton, “Elements of Quater-nions”Longman, London, 1866.

[5] I. L. Kantor and A. S. Solodovnikov, “Hy-percomplex Numbers”, Springer-Verlag, Berlin, 1989.

[6] S-C. Pei, Efficient Bit and Digital Rever-sal Algorithm Using Vector Calculation,

(6)

[see also Acoustics, Speech, and Signal Processing, IEEE Transactions, 55 (2007)

1173-1175.

[7] S. J. Sangwine, Fourier transforms of colour images using quaternion, or hyper-complex, numbers, Electronics Letters, 32 (1996) 1979-1980.

[8] S. J. Sangwine, The discrete quaternion Fourier transform, Image Processing and

Its Applications, 1997., Sixth Interna-tional Conference, 2, pp. 790-793, 1997.

[9] S. J. Sangwine and T. A. Ell, Hypercom-plex Fourier transforms of color images,

Image Processing, IEEE Transactions, 16