Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 12º Ano de Matemática – A
Tema II – Introdução ao Cálculo Diferencial II TPC nº 6 – entregar em 13-01-2012 1. Um saco contém bolas azuis e bolas verdes, indistinguíveis ao tacto.
Redija, no contexto desta situação, o enunciado de um problema de cálculo de probabilidade, inventado por si, que admita como resposta correcta
7 7 4 5 10 5 C 3 C C × + No enunciado que apresentar, deve explicitar claramente:
o número total de bolas existentes no saco;
o número de bolas de cada cor existentes no saco;
a experiência aleatória;
o acontecimento cuja probabilidade pretende que seja calculada (e cujo valor terá de ser dado pela expressão apresentada).
2. Determine o valor de 2.1. 2n 4 lim 1 5n − 2.2. n 2 2 6n lim 6n 1 + + + 2.3. 2n 3 lim 1 n 1 − −
3. No referencial da figura encontram-se representações gráficas de duas funções f e g tais que f x
( )
=3x e g x( )
=12−9x.3.1. Indique o domínio, o contradomínio e as assímptotas do gráfico da função:
3.1.1. f; 3.1.2. g;
3.2. Determine, analiticamente, os valores de x para os quais se verifica cada uma das seguintes condições:
3.2.1. g x
( )
<9; 3.2.2.(
f+g x)( )
<12; 3.2.3. g x( ) ( )
>f x . 3.3. Calcule a área do triângulo [ABC], admitindo que a unidade do referencialé o centímetro.
3.4. Sabe-se que o ponto B pertence ao gráfico de uma função do tipo 1 kx
y= 3− . Determine o valor de k.
4. Um indivíduo depositou numa conta a prazo um capital C, à taxa de juro nominal t %, sendo os juros capitalizados anualmente.
Para conhecer o capital Cn, ao fim de n anos, a instituição forneceu ao indivíduo o seguinte
modelo matemático: Cn =C×
(
1+0,0t)
nEscola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 12º Ano de Matemática – A
Tema II – Introdução ao Cálculo Diferencial II TPC nº 6 – Proposta de resolução 1. Um saco contém bolas azuis e bolas verdes, indistinguíveis ao tacto.
Vamos redijir, no contexto desta situação, o enunciado de um problema de cálculo de probabilidade, inventado por nós, que admita como resposta correcta
7 7 4 5 10 5 C 3 C C × + . No enunciado que vamos apresentar, devemos explicitar claramente:
o número total de bolas existentes no saco; No saco há 10 bolas
o número de bolas de cada cor existentes no saco; 7 bolas são azuis e 3 são verdes
a experiência aleatória; Retiram-se, simultaneamente, ao acaso, 5 bolas do saco
o acontecimento cuja probabilidade pretende que seja calculada (e cujo valor terá de ser dado pela expressão apresentada). Qual é a probabilidade de pelo menos 4 bolas serem azuis.
Um enunciado possível é o seguinte:
“Um saco contém dez bolas, sendo sete azuis e três verdes. Retiram-se, simultaneamente, ao acaso, cinco bolas do saco e observa-se a cor de cada bola.
Qual é a probabilidade de pelo menos quatro dessas bolas serem azuis?” 2. Determinemos o valor de 2.1. 2 n 2 2n 4 8 5 5 5 8 4 4 5 1 lim 1 lim 1 e e 5n n e − − − − = + = = = 2.2. n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 1 3 lim 1 2 n 6n 1 2 6n 6n 2 6n
lim lim lim
1 6n 1 6n 1 1 6n 1 6n 6 lim 1 n + + + + + + + + + = = = = + + + + n 2 n 2 1 1 3 3 lim 1 lim 1 n n 1 1 6 6 lim 1 lim 1 + × + + × + 1 1 1 1 3 6 3 6 6 1 6 e 1 e e e e 1 − × = = = = ×
2.3.
2 2
2n n n 1 1
3 3 3
lim 1 lim 1 lim 1
n 1 n 1 n 1 + − − − = − = + − − −
(
)
2 n 1 1 2 3 6 6 3 3 1 lim 1 lim 1 e 1 e n 1 n 1 e − − − = − × − = × = = − − 3. No referencial da figura encontram-se representações gráficas de duas funções f e g tais que
( )
xf x =3 e g x
( )
=12−9x.3.1. Indiquemos o domínio, o contradomínio e as assímptotas do gráfico da função: 3.1.1. f; Df =IR, Df′ =IR+ assímptota é a recta de equação y=0
3.1.2. g; Dg =IR, D′ = −∞f
]
,12[
assímptota é a recta de equação y=12 3.2. Determine, analiticamente, os valores de x para os quais se verificacada uma das seguintes condições:
3.2.1. g x
( )
<9;12 9x 9 9x 3 32x 3 2x 1 x 1 2 − < ⇔ − < − ⇔ > ⇔ > ⇔ > . Os valores de x para os quais se verifica g x( )
<9 são os números reais do intervalo 1, 2 +∞ 3.2.2.(
f+g x)( )
<12; x x 2x x x 2x 3 +12−9 <12⇔ −3 +3 < ⇔0 3 <3 ⇔ <x 2x⇔ x 0 x 0− < ⇔ > . Os valores de x para os quais se verifica
(
f+g x)( )
<12 são os números reais do intervalo]
0,+∞[
3.2.3. g x( ) ( )
>f x . 12−9x >3x ⇔ −32x −3x+12>0 fazendo y=3xficamos com − − +y2 y 12>0. Calculemos os zeros
2 1 1 48 y y 12 0 y y 4 y 3 2 ± + − − + = ⇔ = ⇔ = − ∨ = − então
]
[
2 y y 12 0 y 4,3 − − + > ⇔ ∈ −voltando à exponencial ficamos com 3x > − ∧4 3x< ⇔ <3 x 1. Os valores de x para os quais se verifica g x
( ) ( )
>f x são os números reais do intervalo]
−∞,1[
3.3. Calculemos a área do triângulo [ABC], admitindo que a unidade do referencial é o centímetro, começando por calcular as coordenadas dos pontos A, B e C. A pertence ao gráfico de f e tem abcissa 0, pelo que as suas coordenadas são A 0,1 ; B é o ponto de
( )
interseção das duas curvas e atendendo à inequação que resolvemos em 3.2.3. concluímos que é o ponto de abcissa 1, pelo que as suas coordenadas são B 1,3 e C é o( )
ponto do gráfico de g com abcissa 0 , pelo que as suas coordenadas são C 0,11 . Então
(
)
a base [AB] mede 10 cm e a altura mede 1 cm. A área é A 10 1 5cm22 ×
= = .
3.4. Sabe-se que o ponto B 1,3 pertence ao gráfico de uma função do tipo
( )
y= 31 kx− . Determinemos o valor de k: 1 k 1 k 1 2 1 k 3 3 3 3 1 2 1 k k 1 2 − − × − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = − ⇔ = −4. Um indivíduo depositou numa conta a prazo um capital C, à taxa de juro nominal t %, sendo os juros capitalizados anualmente.
Para conhecer o capital C , ao fim de n anos, a instituição forneceu ao indivíduo o seguinte n modelo matemático: Cn = ×C
(
1 0,0 t +)
nDemonstremos, por indução matemática, a validade deste modelo.
Verifiquemos se o modelo é válido quando n=0 altura em que o dinheiro é depositado.
(
)
00 0
C =C 1 0,0t+ ⇔C =C como pretendíamos mostrar.
Verifiquemos agora se sendo válida ao fim de n anos a fórmula ainda é válida ao fim de n 1+ anos
(
)
n(
)
n 1n n 1
C =C 1 0,0t+ ⇒C+ =C 1 0,0t+ +
Se ao fim de n anos o capital é C 1 0,0t
(
+)
n e vai render uma taxa de t% no ano seguinte (ao fim de n 1+ anos) o capital devia ser(
)
n(
)
n(
) (
n)
(
)
n 1n 1
C + =C 1 0,0t+ +0,0t C 1 0,0t× + =C 1 0,0t+ 1 0,0t+ =C 1 0,0t+ +
Verificada que está o modelo para n=0 e verificando-se ainda que o modelo é hereditário fica provado pelo princípio de Indução Matemática que a fórmula é válida para qualquer valor de n em IN0.
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Tema I – Probabilidades e Combinatória
TPC nº 6 – Critérios de correção
1. 20
O critério que se apresenta tem por base a resposta que, de entre as respostas corretas, é a mais previsível .
Na redação do enunciado do problema, o aluno deve:
Indicar o saco contém 10 bolas, no total;
Indicar que 7 bolas são de uma cor e 3 bolas são de outra cor;
Explicitar a experiência aleatória (apenas se exige que o aluno refira que se retiram cinco bolas do saco, não se exigindo que refira que se observa a cor de cada bola);
Descreva um acontecimento em que o número de casos favoráveis seja dado por
7 7
4 5
C × +3 C
Na tabela seguinte indica-se como deverá ser classificada a redação. Os níveis 1, 2 e 3 dizem respeito ao desempenho na comunicação em língua portuguesa, que se apresentam a seguir à tabela:
Nível 1 Nível 2 Nível 3 A composição contempla os quatro pontos 18 19 20 A composição contempla apenas 3 pontos 12 13 14 A composição contempla apenas 2 pontos 8 9 10 A composição contempla apenas 1ponto 4 5 6
A avaliação das competências de comunicação escrita em língua portuguesa contribui para valorizar a classificação atribuída ao desempenho no domínio das competências específicas da disciplina. Esta valorização é cerca de 10% da cotação do item e faz-se de acordo com os níveis de desempenho a seguir descritos:
Nível Descritor
3 Composição bem estruturada, sem erros de sintaxe, de pontuação e/ou de ortografia, ou com erros esporádicos, cuja gravidade não implique perda de inteligibilidade e/ou de sentido.
2 Composição razoavelmente estruturada, com alguns erros de sintaxe, de pontuação e/ou ortografia, cuja gravidade não implique perda de inteligibildade e/ou de sentido.
1 Composição sem estruturação aparente, com a presença de erros graves de sintaxe, pontuação e/ou de ortografia, cuja gravidade implique perda frequente de inteligibilidade e/ou de sentido. 2. •••• 21 2.1. •••• 5 2.2. •••• 8 2.3. •••• 8 3. •••• 42 3.1. 3.1.1. •••• 6 Domínio •••• 2 Contradomínio •••• 2 Assíntotas •••• 2
3.1.2. •••• 6 Domínio •••• 2 Contradomínio •••• 2 Assíntotas •••• 2 3.2. 3.2.1. •••• 5 x 12−9 <9 •••• 1 x 2x 9 3 3 3 − < − ⇔ > •••• 2 1 2x 1 x 2 > ⇔ > •••• 2 3.2.2. •••• 5 x x 3 +12−9 <12 •••• 1 2x x x 2x 3 3 0 3 3 − + < ⇔ < •••• 2 x<2x⇔ − < ⇔ >x 0 x 0 •••• 2 3.2.3. •••• 10 x x 12−9 >3 •••• 1 x x 2x x 12−9 >3 ⇔ −3 −3 +12>0 •••• 2 fazer y=3x •••• 2
]
[
2 y y 12 0 y 4,3 − − + > ⇔ ∈ − •••• 2 x x 3 > − ∧4 3 < ⇔ <3 x 1 •••• 3 3.3. •••• 5( ) ( )
AC=g 0 −f 0 •••• 2 Calcular a abcissa de B •••• 2Calcular a área do triângulo •••• 1
3.4. •••• 5 1 k 1 3= 3− × •••• 2 1 k 2 1 k 3 3 1 2 − − = ⇔ = •••• 2 2= − ⇔ = −1 k k 1 •••• 1 4. •••• 17
Verificar a propriedade para n=1 •••• 5
Verificar a hereditariedade •••• 10
Concluir que a propriedade é universal •••• 2