MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS / MATEMÁTICA GEOMETRIA PLANA

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GEOMETRIA PLANA

1.0 INTRODUÇÃO

Na geometria, os conceitos de ponto, reta e plano são denominados de primitivos e por isso são aceitos sem definição.

O ponto é representado por uma letra maiúscula do nosso alfabeto enquanto a reta por uma letra minúscula. Já o plano é denotado por uma letra grega minúscula.

 A  B  C

2.0. RETA

Levando-se em consideração o axioma: “Por dois pontos distintos (não-coincidentes) A e B, passa uma única reta” podemos representar essa reta pelo símbolo

AB

.

2.1. Semirreta

Qualquer ponto pertencente a uma reta determina sobre a mesma duas semirretas.

AB

; lê-se “semirreta AB”

2.2. Segmento de reta

Dados dois pontos distintos A e B de uma reta, chama-se de segmento de reta AB, e denota-se porAB, a união dos pontos A e B com todos os pontos da reta que estão entre A e B.

Obs.: Dois segmentos de medidas iguais são chamados de congruentes.

Ponto Reta Plano r s    A B B   A A A A   B B’ 

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2 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS / MATEMÁTICA

COLÉGIO

VILAS

2.3. Tipos de segmentos

 Coplanares: são aqueles contidos no mesmo plano.  Colineares: são aqueles contidos na mesma reta.

 Consecutivos: São aqueles que possuem extremidade em comum.

 Adjacentes: São dois segmentos colineares e consecutivos com um único ponto em comum.

3.0. ÂNGULOS

3.1. Definição

É qualquer uma das duas reuniões do plano limitadas por duas semirretas de mesma origem.

B

O

ˆ

A

= . 3.2. Unidade de medidas a) Grau b) Radiano

Obs.: Existe também o grado que consiste em dividir a circunferência em 400 partes, porém não é importante para o nosso trabalho.

Existe uma proporção para a transformação de grau para radianos:

180º  daí, X = º 180



 X 3.3. Tipos de Ângulos Quanto à abertura: I- Agudo: 0º  90º II- Reto:  = 90º III- Obtuso: 90º  180º IV - Raso ou meia-volta  = 180º Quanto à soma:

Complementares: quando a soma dos dois é igual a 90º. Suplementares: quando a soma dos dois é igual a 180º. Replementares: quando a soma dos dois é igual a 360º. Anotações:

Um ângulo –

O dobro de um ângulo – A terça parte de um ângulo    O A B 

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O replemento de um ângulo –

O complemento do dobro de um ângulo – O dobro do complemento de um ângulo –

O triplo do complemento do dobro de um ângulo – O complemento do suplemento de um ângulo –

O dobro do suplemento do triplo do complemento da quinta parte de um ângulo-

O quíntuplo do replemento do quádruplo do suplemento da terça parte do complemento do dobro de um ângulo –

Testes de sala

01. Sejam os segmentos AD, AC e BD indicados na figura, cujas medidas são AD= 20,

AC

= 12 e BD = 10. Qual a medida de BC?

02. Os pontos A, B e C são colineares. Sabe-se que AB= 8 E

BC

= 12.

Determine

MC

, sendo M um ponto situado entre B e C tal que

AM



BM



2 MC

.

03. Três pontos distintos de uma reta quantos segmentos distintos podemos formar?

04. Dois ângulos são complementares tais que o triplo de um deles é igual ao dobro do outro. Calcule o suplemento do menor:

05. O dobro do complemento de um ângulo é igual à terça parte do suplemento do mesmo. Calcule a medida desse ângulo.

06. Dois ângulos são suplementares e a razão entre o complemento de um e o suplemento do outro, nessa ordem é

8 1

. Determine esses ângulos.

07. O suplemento do complemento de um ângulo é igual ao quíntuplo desse ângulo. Qual a medida desse ângulo?

3.4. Bissetriz

É a semirreta que divide um ângulo em duas partes congruentes entre si.

3.5. Ângulos opostos pelo vértice (o.p.v.)

São ângulos que tem como lados retas concorrentes.

   A B C    O A B  =      A B  C D

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COLÉGIO

VILAS

3.6. Ângulos de duas retas paralelas cortadas por uma transversal

Ângulos alternos

























externos

internos

Ângulos colaterais

























externos

internos

Correspondentes







Testes de sala

01. Considere os ângulos adjacentes

A

O



B

e

B

O



C

. Se o segundo é o dobro do primeiro e o ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos dados mede 45º, calcule a medida de

A

O



B

e

B

O



C

.

02. Calcule o valor de x de acordo com a figura a seguir. a b c d e f g _h 2x + 17 3x - 28

(5)

03. Determine a medida de x de acordo com a figura a seguir.

04. Calcule x na figura:

4.0 TRIÂNGULOS

A reunião de três pontos A, B, C não colineares é chamada de triângulo.

4.2. Elementos Vértices: A, B e C Lados: AB, AC e BC Ângulos internos: a, b, e c Ângulos externos: ,  e  30o 100o 20o r s r//s A B C A B C x x A B C  r//s 40o C B A = 110o r s

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COLÉGIO

VILAS

Atenção:

4.3. Segmentos notáveis

 AH altura relativa ao lado BC

 AM mediana relativa ao lado BC

 r bissetriz do ângulo ABC

4.4. Classificação dos triângulos Quanto aos lados:

Triângulo escaleno é aquele que não possui dois lados congruentes.

Triângulo isósceles é aquele que possui dois lados congruentes.

Triângulo equilátero é aquele que possui três lados congruentes.

Soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180o a + b + c = 180o

Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos dois ângulos internos não adjacentes a ele.

A B C M   H x x r

(7)

Quanto aos ângulos:

Triângulo acutângulo é aquele que possui três ângulos internos agudos. Triângulo retângulo é aquele que possui um ângulo interno reto.

Triângulo obtusângulo é aquele que possui um ângulo interno obtuso. Observação:

b c

a (maior lado)

Se 𝑎2_{> 𝑏}2 _{+ 𝑐}2_{então: triângulo obtusângulo}

Se 𝑎2_{= 𝑏}2 _{+ 𝑐}2_{então: triângulo retângulo}

Se 𝑎2_{< 𝑏}2 _{+ 𝑐}2_{então: triângulo acutângulo}

Testes de sala:

01. Na figura seguinte, sabe-se que AB = AC = CD e AD = BD. Determine 

02. Classifique, se possível, quanto aos lados e quanto aos ângulos. a) 3, 4 e 5

b) 5, 6 e 6 c) 3, 5 e 6 d) 7, 8 e 9

03. Analise as alternativas e classifique em verdade ou falso: ( ) Existe triângulo retângulo isósceles.

( ) Existe triângulo obtusângulo equilátero. ( ) Todo triângulo equilátero é acutângulo. ( ) Não existe triângulo acutângulo escaleno. ( ) 3, 7, 9, são medidas dos lados de um triângulo. ( ) 3, 7, 12, são medidas de triângulo escaleno.

( ) Se 8 e 10 são medidas de dois lados de um triângulo, então a medida do terceiro x lado é, tal que 2  x  18.

A

B C

D

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COLÉGIO

VILAS

circunstâncias o valor do ângulo x é:

A E a) a – b + 90° a b) a + b - 90° x c) 90° - a + b d) 180° - a – b e) 180° - a + b b B C D

, 7, 12, são medidas de triângulo escaleno.

( ) Se 8 e 10 são medidas de dois lados de um triângulo, então a medida do terceiro x lado é, tal que 2  x  18.

04. Qual o valor do ângulo x da figura abaixo , em graus ?

2x a) 45 b) 20

c) 15

d) 30 2x + y 70° e) não existe valor para x

3y + 20°

04. Qual o valor do ângulo x da figura abaixo, em graus?

a) 45 b) 20

c) 15

d) 30 e) não existe valor para x

05. Na figura, os segmentos AB e CE são paralelos, enquanto ED e BD são perpendiculares. Nestas circunstâncias o valor do ângulo x é:

a) a – b + 90° b) a + b - 90° c) 90° - a + b

d) 180° - a – b e) 180° - a + b

06. Exprimindo o ângulo x da figura abaixo em função de a e b encontramos: a) x = a + b - 90° b) x = ½ (a + b) a c) x = 180° - a – b d) x = 2/3 (a + b) e) x = 45° + ½ (a + b) b . x

(9)

4.5. Semelhança de triângulo

 Teorema de tales: Se um feixe de retas paralelas é cortado por transversais, então os segmentos encontrados são proporcionais.

' ' ' ' ' ' AC AC C B BC B A AB _ _

 Dois triângulos são semelhantes se possuem ângulos congruentes. Vale lembrar que se dois ângulos forem congruentes, o 3o também será.

Testes de sala

01. Calcule x na figura, sabendo r//s//t.

02. Calcule 3x – 2y, sendo r//s//t. A B C C’ B’ A’ r s t r//s//t x + 6 4 3 x r s t x 2 3 24 r s t y 18

(10)

COLÉGIO

VILAS

03. Na figura abaixo, AC = 5, BC = 6 e DE = 3.

A área do triângulo ADE é:

a) 8 15 b) 4 15 c) 2 15 d) 10 e) 15

04. A área do retângulo DEFB é:

a) 120 b) 24 c) 20 d) 160 e) 180

4.6. Relações métricas no triangulo retângulo



 

(11)

Demonstração em sala:

4.7. Aplicações do teorema de Pitágoras Diagonal do quadrado

Seja ABCD um quadrado de lado L.

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC, obtém-se: L2 + L2 = d2

daí:

Altura de triângulo equilátero

Seja ABC um triângulo equilátero de lado L.

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABH, obtém-se: L2 +(L/2)2 = h2

daí:

Testes de sala

01. Calcule a altura de um triângulo equilátero de lado igual a 10cm. 02. Determine o perímetro de um quadrado cuja diagonal mede 12cm.

D B C A L L L L d d = L

2

A B C H   h h = L 2 3

(12)

COLÉGIO

VILAS

03. Determine o valor de x no trapézio abaixo:

5.0. CÍRCULO e CIRCUNFERÊNCIA

Denominamos circunferência ao lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes de um ponto chamado centro.

Círculo é a união da circunferência com seu interior 5.2 Elementos do círculo e da circunferência

O: centro

AB: diâmetro da circunferência AO = OB = OC: raio

CS: flecha DE: corda DCE: arco

5.3. Ângulos na circunferência

Ângulo central: é aquele cujo vértice coincide com o centro de um círculo.

Ângulo inscrito: è aquele cujo vértice pertence a uma circunferência e seus lados contém duas cordas. x x 8 32   O A B D E C S A B O  A O _B 

(13)

Ângulos excêntricos: Interior: Exterior:

Testes de sala

01. Calcule x na figura:

02. Na figura a seguir, as medidas dos arcos AB e CD são, respectivamente, 120º e 40º. Qual o valor de ?

03. Qual a medida do ângulo x, sendo AB e AC tangentes à circunferência?

A B C D O  C D B A  A B D C  x ₃₀o B C A x + 40o 3x + 10o

(14)

COLÉGIO

VILAS

04. Determine x tendo em vista a figura a seguir o arco BC = 120º.

5.4. Cálculos envolvendo círculos e circunferência: A - Comprimento da circunferência: B- Comprimento de um arco: C- Área do círculo: D- Área do setor: E- Área da coroa: x A E C B D 80o

(15)

Testes de sala

01. Qual a área pintada na figura abaixo?

02. Qual a área da figura abaixo, sabendo que o raio dos três círculos é igual a 2cm?

03. Calcule a área pintada, sabendo que a área do quadrado é igual a 16cm2.

5.5. Relações métricas na circunferência (Potência de ponto) 1o - Relação das cordas

2o - Relação das secantes

60o 12 cm 12 cm A D B C P A C B D P

(16)

COLÉGIO

VILAS

3o - Relação da secante com a tangente

Consequências:

1 - Teorema das tangentes

2 – Teorema de Pitot: em qualquer quadrilátero circunscrito a uma circunferência, a soma de dois lados opostos é igual a soma dos outros dois.

Testes de sala

01. Calcule os raios dos círculos inscritos e circunscritos a um triângulo retângulo de lados 6cm, 8cm e 10cm.

02. A menor distância do ponto P à circunferência mede 4cm.

Calcule o raio dessa circunferência, sabendo que PT = 8cm.

T A B P P B A T P

(17)

03. A figura representa os quadrados ABCD e EFGH circunscrito e inscrito, respectivamente, à circunferência de centro O. Se o lado do quadrado maior vale 6, então pode-se afirmar que:

I- o lado do quadrado menor vale 4;

II- a área do quadrado maior é o dobro da área do quadrado menor;

III- a razão entre a diagonal do quadrado maior e a diagonal do quadrado menor é um número racional;

IV- a área da parte sombreada da figura vale 9 ( 𝜋 – 2 ); V- a área do quadrado EFGH é um múltiplo de 3.

6.0. Quadriláteros

6.1. Definição: todo polígono convexo que possui 4 lados. 6.2. Classificação:

a) Trapézio: é o quadrilátero que possui dois lados paralelos chamados base. Tipos de Trapézios

 Retângulo: possui um lado perpendicular as bases.

 Isósceles: Possui lados não paralelos congruentes.

A B D C AC = BD A = B e C = D A + C = 180o e B + D = 180o C D B + D = 180o A = C = 90o A B   A

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COLÉGIO

VILAS

 Escaleno: lados não paralelos não são congruentes.

b) Paralelogramo: Todo quadrilátero que possui lados opostos congruentes. Todo paralelogramo possui como propriedades:

1 – os ângulos opostos congruentes. 2 – os lados opostos congruentes.

3 – as diagonais cortam-se no ponto médio

4 – dois ângulos de vértices consecutivos são suplementares.

Tipos de Paralelogramos

Retângulo: paralelogramo com os quatro ângulos internos retos e as diagonais congruentes.

Losangos: Paralelogramo que possui os quatro lados congruentes, suas diagonais se cruzam perpendicularmente e coincide com as bissetrizes dos vértices.

AB = BC = CD = AD AC  BD

Quadrado: Paralelogramo que possui os quatro lados e os quatro ângulos congruentes.

A _B D C AC  BD A + C = 180o e B + D = 180o A B C D AB//CD e AC//BD AC = BD e AB = CD A = D e B = C A + C = 180o e A + B = 180o     A B D C A = B = C = D = 90o e AD = BC A B C D     A B C D AB = BC = CD = AD A = B = C = D = 90o

(19)

Daí podemos concluir que: T – Trapézio P – Paralelogramo R – Retângulo L – Losango Q – Quadrado

7.0. Polígonos

Polígono é a reunião de uma linha fechada simples, formada apenas por segmentos de retas, com a sua região interna.

7.1. Elementos do polígono. A: vértice AB: lado ai: ângulo interno ae: ângulo externo BE: diagonal 7.2. Nomenclatura

no de lados nome do polígono

3 Triângulo 4 Quadrilátero 5 Pentágono 6 Hexágono 7 Heptágono 8 Octógono 9 Eneágono 10 Decágono 11 Undecágono 12 Dodecágono 15 Pentadecágono 20 Icoságono

7.3. Soma dos ângulos internos

T1 Rx _Q L

P

Quadriláteros

Obs.: Os demais polígonos não possuem nomes em especial. São tratados como, por exemplo, polígono de 17 lados, 13 lados, 22 lados e assim por diante.

S

i

=

(n-2)180º D E A B Cr

a

e

a

i

(20)

COLÉGIO

VILAS

7.4. Soma dos ângulos externos

7.5. Polígonos Regulares

É todo polígono que possui ângulos e lados congruentes.

Daí, podemos calcular cada ângulo interno e externo do polígono, se ele for regular.

7.5.1 Ângulo interno

7.5.2 Ângulo externo

7.6. Número de diagonais

Testes de sala

01. Qual o polígono cuja soma dos ângulos internos vale 1800º?

02. Determine o polígono cujo número de diagonais é o triplo do número de lados.

03. Determine o número de diagonais de um polígono regular convexo cujo ângulo externo vale 24º. 04. Aumentando-se o número de lados de um polígono em 3 unidades, seu número de diagonais

aumenta em 21 unidades. Determine o número de diagonais desse polígono.

8.0. Polígonos inscritos e circunscritos

a) Triângulo equilátero

S

e

= 360º

a

i

=

.

a

e

=

.

d =

2 3) -n(n

h =

2 3 L

r =

3 h

R =

3 h 2 

R

r

(21)

b) Quadrado c) Hexágono

TESTES DE CASA

01) (UF-BA/2000)  R r d =

L

2

R = 2 2 L r = 2 L  r R R = L r = 2 3 L

(22)

COLÉGIO VILAS 02) (UF-BA/2007) 03) (UF-BA / 2001) 04) (UF-BA/2003)

(23)

05) (UF-BA/2004)

06) (UF-BA/2008)

(24)

COLÉGIO

VILAS

08) (FUVEST/2009)

Na figura, B, C e D são pontos distintos da circunferência de centro O, e o ponto A é exterior a ela. Além disso,

(1) A, B e C e A, O e D são colineares; (2) AB = OB;

(3) CÔD mede α radianos.

Nessas condições, a medida de A B O, em radianos, é igual a? a) π - α /4 d) π - 3α /4

b) π - α /2 e) π - 3α /2 c) π - 2α /3

09) (FUVEST/2009)

A figura representa sete hexágonos regulares de lado 1 e um hexágono maior, cujos vértices coincidem com os centros de seis dos hexágonos menores. Então, a área do pentágono hachurado é igual a?

(25)

10) (FUVEST/2010)

Na figura, o triângulo ABC é retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4.

Além disso, o ponto D pertence ao cateto AB, o ponto E pertence ao cateto BC e o ponto F pertence à hipotenusa AC, de tal forma que DECF seja um paralelogramo. Se DE = 3 / 2, então a área do paralelogramo DECF vale:

a) 63/25 b) 12/5 c) 58/25 d) 56/25 e) 11/5 11) (FUVEST/2010)

Na figura, os pontos A , B , C pertencem à circunferência de centro O e BC = a .

A reta OC é perpendicular ao segmento AB e o ângulo AÔB mede π / 3 radianos. Então, a área do triângulo ABC vale :

a) a² / 8 b) a² / 4 c) a² / 2 d) 3.a² / 4 e) a² 12) (FLDSE/2008)

Os lados de um triângulo medem 6 cm, 10 cm e 12 cm; sabe-se que o raio da circunferência inscrita a este triângulo é igual ao raio de uma circunferência circunscrita a um triângulo equilátero. Determine a área do triângulo equilátero.

13) (FLDSE/2008)

Determine a área de um trapézio de acordo com as seguintes informações a respeito deste quadrilátero em questão:

I – A base menor é igual a √3 vezes a diagonal de um retângulo cujo perímetro é igual a 30 cm e cujos lados estão entre si como 1 está para 2 .

II – A base maior vale o dobro da área de um losango cujo perímetro é igual a 16 cm e a diagonal menor vale √15 cm .

III – A altura é igual a [ √𝟑 : 25 ] . ( dq )² onde “dq” é a diagonal de um quadrado cuja área vale 4 cm ² .

A

D F

A B

(26)

COLÉGIO

VILAS

14) (FLDSE/2008)

Determine a razão entre os apótemas de um quadrado inscrito e um hexágono circunscrito a uma mesma circunferência cujo raio possui a mesma medida do apótema de um triângulo equilátero de perímetro igual a 18 cm.

15) (FUVEST)

Na figura, as 12 circunferências têm todas o mesmo raio r; cada uma é tangente a duas outras e ao quadrado. Sabe-se que cada uma das retas suporte das diagonais do quadrado tangencia quatro das circunferências (ver figura), e que o quadrado tem lado 2

7

. Nessas condições, determine r.

GEOMETRIA ESPACIAL

1.0. PRISMAS

Todo sólido limitado por dois planos paralelos e iguais.

 Elementos do Prisma

a

l  aresta lateral ab

 aresta da base face  base base base

(27)

 Área da base: as principais bases são:

 Planificação:

 Área Lateral: Al = nxAface ouAl = 2p x h

 Volume: V = Ab x h

TESTE DE SALA

01. Dado um prisma reto quadrangular regular cuja aresta da base mede 3cm e a altura igual a 4cm, determine:

a) área da base. b) área lateral. c) área total. d) volume.

1.1 Paralelepípedo: caso especial de paralelepípedo que possui base quadrangular. 4 3 L A 2  A L2 4 3 L x 6 A 2  2 3 L h  a c b

(28)

COLÉGIO

VILAS

 Planificação:

 Área Total: At = 2(ab+ac+bc)

 Volume: V = abc

 Diagonal: d = √a2 _{+ b}2_{+ c}2

TESTES DE SALA

01. Um paralelepípedo retângulo com as dimensões 3m, 4m e 5m, calcule: a) a área total.

b) o volume.

c) a medida da sua diagonal.

02. Um paralelepípedo retângulo é tal que a maior aresta mede o quádruplo de outra que por sua vez, esta mede o dobro da menor aresta.

Se a área total desse paralelepípedo mede 52 cm2, o volume será: a) 8 cm3

b) 12 cm3 c) 16 cm3 d) 20 cm3 e) 22 cm3

 1.2 Cubo: caso especial de paralelepípedo. Possui todas as bases quadradas. Planificação: b a a a a b b b c c c c a a a

(29)

 Área Total: At = 6 x a2  Área da base: Ab = a2  Volume: V = a3  Diagonal da Face: d = 𝑎√2  Diagonal do Cubo: D = 𝑎√3

TESTE DE SALA

01. Considere um cubo onde a diagonal do sólido mede 6 cm. Calcule a área total da superfície desse sólido.

2.0. Cilindro

Sólido de revolução gerado pela rotação completa de um retângulo em torno de um dos lados. Podemos analisar o cilindro como sendo um prisma de base circular.

 Elementos:  Planificação:  Área da base: Ab =  r2  Área lateral: AL = 2rh  Área total: At = AL + 2 Ab  Volume: V = r2h

Obs: CILINDRO EQUILÁTERO: é todo cilindro que possui secção meridional igual a um quadrado. h  altura

(30)

COLÉGIO

VILAS

TESTES DE SALA

01. Considere um cilindro de revolução gerado pela rotação completa de um retângulo de lados 6 cm e 8 cm em torno do maior lado. Calcule:

a) a área lateral do cilindro. b) a área total do cilindro. c) a área da secção meridiana. d) o volume.

02. A aresta de um cubo e o raio da base de um cilindro circular reto são iguais a 2 cm. A área total da superfície do cubo é igual a área lateral do cilindro. Sabendo-se que a altura do cilindro é 𝑥

𝜋 m,

determine x.

3.0. CONE

Sólido de revolução gerado pela rotação completa de um triângulo retângulo em torno de um dos catetos.  Elementos: Obs: g2 = r2 + h2  Planificação:  _{Área da base: A} b = r2  Área lateral: Al = rg  Área total: At = Al + Ab  Volume: V = 𝜋 𝑟 2 _ℎ 3

Obs: CONE EQUILÁTERO: é todo cone que possui secção meridional igual a um triângulo

r



raio

altura h

g  geratriz

.

(31)

TESTES DE SALA

01. Se o raio da base de um cone de revolução mede 3 cm e o perímetro de sua seção meridiana mede 16, então o seu volume, em centímetros cúbicos, mede:

a) 15 b) 10 c) 9 d) 12 e) 14

02. O raio da base de um cone circular reto é igual à média aritmética da altura e a geratriz do cone. Sabendo-se que o volume do cone é 128π m3_{, temos que o raio da base e a altura do cone}

medem, respectivamente, em metros: a) 9 e 8 b) 8 e 6 c) 8 e 7 d) 9 e 6 e) 10 e 8

4.0. PIRÂMIDE

 Planificação

h

a

pb

a

pp

a

b

a

l

(32)

COLÉGIO VILAS A B C D O 

4

3 L

A

2



A



L

2

4

3 L

x

6 A

2



2

3 L

h



 Área da base: as principais bases são:

 Área Lateral: Al = nxAface  Área Total: At = Al + Ab  Volume: V = 𝜋𝑟2ℎ

3

TESTES DE SALA

01. Na figura, O é o centro do cubo. Se o volume do cubo é 1, o volume da pirâmide de base ABCD e vértice O é: a)

2

1

b)

3

1

c)

4

1

d)

6

1

e)

8

1

02. Uma pirâmide quadrangular regular possui aresta da base igual 6 cm e apótema da pirâmide 8cm. Qual o seu volume?

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5.0. Esfera

 Superfície: S = 4𝜋𝑟2

 Volume: V = 4₃𝜋𝑟3

TESTES DE CASA

01. (UF-BA/2001)

Um recipiente em forma de um cilindro reto, com dimensões de 20 u.c. de diâmetro e 16 u.c. de altura, está completamente cheio de argila, que deverá ser toda usada para moldar 10x bolinhas com 2 u.c. de raio. Calcule x.

02. (UF-BA/2002)

Um tanque, na forma de um cilindro circular reto, deve ser construído de modo que sua área lateral seja 24π u.a., e seu volume seja igual ao de uma esfera cujo raio mede 3 u.c. Calcule, em u.c., a altura desse tanque.

03. (UF-BA/2003)

Calcule o número de pares de vértices não consecutivos que se pode obter num prisma triangular.

04. (UF-BA/2004)

Uma empresa fabrica copos de plásticos para refrigerantes e café. Os copos tem a forma de tronco de cone e são semelhantes, isto é, um deles pode ser obtido a partir do outro por homotetia. O copo de refrigerante mede 9,5 cm de altura e tem capacidade para 480 ml. Sabendo-se que o copo de café tem 3,8 cm de altura, determine a sua capacidade em mililitros, aproximando o resultado para o número inteiro mais próximo.

05. (UF-BA/2010)

Sendo Ɵ o ângulo formado entre uma diagonal e uma face de um mesmo cubo, determine 1 .

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COLÉGIO

VILAS

06. (FUVEST/2009)

Um fabricante de cristais produz três tipos de taças para servir vinho. Uma delas tem o bojo no formato de uma semiesfera de raio r; a outra, no formato de um cone reto de base circular de raio 2r e altura h; e a última, no formato de um cilindro reto de base circular de raio x e altura h. Sabendo-se que as taças dos três tipos, quando completamente cheias, comportam a mesma quantidade de vinho, é correto afirmar que a razão x / h é igual a?

07. A cisterna é uma tecnologia popular para a captação e armazenamento de água da chuva e representa solução de acesso a recursos hídricos para a população rural do semiárido brasileiro, que sofre com os efeitos das secas prolongadas, que chegam a durar oito meses do ano. Por exemplo, no Ceará há quase 54 mil cisternas em funcionamento. Popularmente, a cisterna tem formato de um cilindro reto em que a base superior está acoplada um cone reto (veja a figura abaixo). Se o material para a construção do cilindro é de R$ 2,00 por metro quadrado e R$ 3,00 por metro quadrado para o cone, quanto foi gasto para construir cada cisterna? Suponha que os dados são: r = 4m, h1 = 3m, h2 = 1m e  = 3,14. a) 138,64 reais. b) 238,64 reais. c) 338,64 reais. d) 438,64 reais. e) 538,64 reais.

08. Depois de encher de areia um molde cilíndrico, uma criança virou-o sobre uma superfície horizontal. Após a retirada do molde, a areia escorreu, formando um cone cuja base tinha raio igual ao dobro do raio da base do cilindro.

A altura do cone formado pela areia era igual a: a) 3/4 da altura do cilindro.

b) 1/2 da altura do cilindro. c) 2/3 da altura do cilindro. d) 1/3 da altura do cilindro.

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09. (VUNESP)

Um paciente recebe por via intravenosa um medicamento à taxa constante de 1,5mL/min. O frasco do medicamento é formado por uma parte cilíndrica e uma parte cônica, cujas medidas são dadas na figura, e estava cheio quando se iniciou a medicação. Após 4h de administração contínua, a medicação foi interrompida. Dado que 1cm3 = 1mL, e usando a aproximação  = 3, o volume, em mL, do medicamento restante no frasco após a interrupção da medicação é, aproximadamente, a) 120. b) 150. c) 160. d) 240. e) 360. 10. (VUNESP)

Em um tanque cilíndrico com raio de base R e altura H contendo água é mergulhada uma esfera de aço de raio r, fazendo com que o nível da água suba

R 6 1

, conforme mostra a figura.

a) Calcule o raio r da esfera em termos de R.

b) Assuma que a altura H do cilindro é 4R e que antes da esfera ser mergulhada, a água ocupava

4 3

da altura do cilindro. Calcule quantas esferas de aço idênticas à citada podem ser colocadas dentro do cilindro, para que a água atinja o topo do cilindro sem transbordar.