ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU. Apontamentos Teóricos: Matrizes e Sistemas de Equações Lineares

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INSTITUTO POLIT ´ECNICO DE VISEU

ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU

Departamento Matem´atica Disciplina Matem´atica I

Curso Gest˜ao de Empresas Ano 1o

Ano Lectivo 2007/2008 Semestre 1o

Apontamentos Te´oricos: Matrizes e Sistemas de Equa¸c˜oes Lineares

Autores:

Maria Cristina Peixoto Matos Nuno Concei¸c˜ao

Joana Fialho Paula Sarabando

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3. Matrizes e Sistemas de Equa¸c˜oes Lineares 3.1. Conceito Elementar de Matriz

Defini¸cão 1 Sejam m e n dois n´_{umeros naturais. Uma matriz real m × n} é um conjunto de mn números reais distribu´ıdos por m linhas e n colunas do seguinte modo: A=             a₁₁ a₁₂ ... a_1j ... a_1n a21 a22 ... a2j ... a2n ... ... ... ... ... ... a_i1 a_i2 ... a_ij ... a_in ... ... ... ... ... ... a_m1 a_m2 ... a_mj ... a_mn            

onde aij ∈ IR para todo o i ∈ {1, 2, ..., m} e para todo o j ∈ {1, 2, ..., n} . Dizemos

neste caso, que a matriz tem ordem ou dimensão m _{× n . Cada número que} compõe a matriz chama-se termo, elemento ou coeficiente da matriz.

Nota¸c˜ao: Abreviadamente podemos representar a matriz pelo s´ımbolo A = [aij] _{1 ≤ i ≤ m}

1 ≤ j ≤ n

.

Neste caso, o s´ımbolo aij ´e chamado termo geral da matriz. Cada elemento

da matriz ´e afectado de dois ´ındices, o ´ındice de linha que nos indica a linha a que o elemento pertence e o ´ındice de coluna que indica a coluna a que ele pertence:

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Exemplo 1: A=     1 2 3 0 5 −1 √2   

 ´e uma matriz de dimens˜ao 3 × 2

a₁₁ = 1₂, a12 = 3, a21 = 0, a22 = 5, a31 = −1 e a32 =

√ 2.

Defini¸c˜ao 2 _{A toda a matriz m × 1, ou seja, a toda a matriz com m linhas e} 1 coluna chamamos matriz coluna e a toda a matriz 1 × n , ou seja, a toda a matriz com 1 linha e n colunas chamamos matriz linha.

Uma matriz coluna ´e da forma B =             b₁₁ b21 ... b_i1 ... b_m1            

Uma matriz linha ´e do tipo A = h a11 a12 ... a1j ... a1n

i .

3.2. Matrizes Especiais

Defini¸c˜ao 3 _{Chama-se matriz nula m × n a toda a matriz m × n com os} elementos todos iguais a zero.

Chama-se matriz quadrada de ordem n a uma matriz n × n, ou seja, a uma matriz com n linhas e n colunas.

Defini¸c˜ao 4 Seja A = [aij] uma matriz quadrada de ordem n. Os elementos

a₁₁, a22, ..., ann constituem a diagonal principal de A e os elementos an1,

a_(n−1)2, ..., a1n constituem a diagonal n˜ao principalou diagonal secund´aria

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Exemplo 2: A=     3 _{4 −1} −1 1 2 0 _{1 −5}    

, matriz quadrada de ordem 3.

Diagonal principal é constitu´ıda pelos elementos 3, 1 e -5. Diagonal secundária é constitu´ıda pelos elementos -1, 1, 0.

Defini¸cão 5 Uma matriz quadrada em que os elementos situados fora da di-agonal principal são todos iguais a zero chama-se matriz didi-agonal, isto é, A= [aij] _{1 ≤ i ≤ n}

1 ≤ j ≤ n

´e uma matriz diagonal sse aij = 0 para todos os i, j ∈ {1, 2, ..., n}

tais que i 6= j.

Uma matriz quadrada diz-se triangular superior se todos os elementos situ-ados abaixo da diagonal principal são iguais a zero, isto é, A = [aij] é uma matriz

triangular superior sse aij = 0 para i > j.

Uma matriz quadrada diz-se triangular inferior se todos os elementos situ-ados acima da diagonal principal são iguais a zero, isto é, que A = [aij] é uma

matriz triangular inferior sse aij = 0 para i < j .

Exemplo 3: • D = " 1 0 0 −2 #

´e uma matriz diagonal.

• M =     1 −1 0 0 2 0 0 0 3    

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• A =     1 −2 3 0 1 ₋₂ 0 0 5    

´e uma matriz triangular superior.

• B = "

2 0 −1 3

#

´e uma matriz triangular inferior.

Defini¸cão 6 À matriz diagonal de ordem n cujos elementos da diagonal prin-cipal são todos iguais a um, chama-se matriz identidade de ordem n e denota-se habitualmente por In. I_n =       1 0 ... 0 0 1 ... 0 ... ... ... ... 0 0 ... 1       Exemplo 4: I2 = " 1 0 0 1 # I3 =     1 0 0 0 1 0 0 0 1     I4 =       1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1      

Defini¸c˜ao 7 _{Seja A uma matriz m × n. Chama-se transposta de A, e} denota-se por AT_{, `a matriz n × m cujas linhas coincidem com as colunas de A.} Sendo A = [aij] _{1 ≤ i ≤ m} 1 ≤ j ≤ n , temos AT =             a11 a21 ... ai1 ... am1 a12 a22 ... ai2 ... am2 ... ... ... ... ... ... a1j a2j ... aij ... amj ... ... ... ... ... ... a_1n a_2n ... a_in ... a_mn            

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Propriedade da Matriz Transposta: ATT = (AT)T = A. Exemplo 5: • A = " 1 −1 4 3 0 2 # =⇒ AT =     1 3 −1 0 4 2     • A = h a11 a12 ... a1j ... a1n i =⇒ AT =             a11 a₁₂ ... a1j ... a1n             • (In)T = In

Defini¸cão 8 A matriz A diz-se simétrica se coincide com a sua transposta, isto é, A = AT. Exemplo 6: A=     1 2 3 2 7 ₋₁ 3 −1 0     = AT _{=⇒ A é simétrica.}

Defini¸c˜ao 9 A matriz A diz-se anti-sim´etrica _{sse A = −A}T

Exemplo 7: A =     0 −2 −3 2 0 1 3 −1 0     = −     0 2 3 −2 0 −1 −3 1 0     = −A T _{⇒ A anti-sim´etrica.}

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3.3. Opera¸c˜oes com Matrizes: Propriedades. 3.3.1. Adi¸c˜ao de Matrizes

Denotemos por M_m×n(IR) o conjunto de todas as matrizes reais de dimens˜ao m_{× n.}

Defini¸c˜ao 10 Sejam A = [aij] e B = [bij] duas matrizes de Mm×n(IR).

Chama-se soma de A com B `a matriz C = [cij] de Mm×n(IR), cujo termo

geral ´e cij = aij + bij, i = 1, 2, ..., m e j = 1, 2, ..., n. Isto ´e, C = A + B = [aij + bij] =       a₁₁+ b11 a12 + b12 ... a1n+ b1n a₂₁+ b21 a22 + b22 ... a2n+ b2n ... ... ... ... a_m1+ bm1 am2+ bm2 ... amn+ bmn       Exemplo 8: 8.1 A+ B = " 7 _{3 −2} −5 0 1 # + " −2 0 −1 2 _{−3 −4} # = = " 7 + (−2) 3 + 0 _{−2 + (−1)} −5 + 2 0 + (−3) 1 + (−4) # = " 5 3 ₋₃ −3 −3 −3 # 8.2. Sendo A = " 2 3 −1 0 # e B = h 4 2 1 i

n˜ao podemos obter

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Propriedades da Adi¸c˜ao de Matrizes: _{Sejam A, B e C ∈ M}_m×n(IR). Ent˜ao:

• A + B = B + A (comutatividade).

• (A + B) + C = A + (B + C) (associatividade).

• ∃′ O _{∈ M}_m×n(IR) tal que A + O = O + A = A (existˆencia de um elemento neutro).

• ∃′ A′ _{∈ M}_m×n(IR) tal que A + A′ = A′+ A = O (existˆencia de um sim´etrico). • (A + B)T = AT + BT.

Nota: A matriz A′ cuja existência está garantida na 4a propriedade chama-se matriz simétrica de A _{e denota-se habitualmente por −A.}

3.3.2. Multiplica¸c˜ao de uma Matriz por um Escalar

Defini¸cão 11 _{Dada uma matriz A ∈ M}_m×n_{(IR) e um escalar α ∈ IR, chamamos} produto da matriz A pelo escalar α _{à matriz B = αA ∈ M}_m×n(IR) cujo termo geral é definido por bij = αaij.

Exemplo 9: A= " 1 −1 # e α = −3 =⇒ αA = −3A " −3 3 # .

Propriedades da Multiplica¸c˜ao Escalar:

Sejam A, B ∈ Mm×n(IR) e α, β ∈ IR . Ent˜ao

• (α + β)A = αA + βA. • α(A + B) = αA + αB. • (αβ)A = α(βA).

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Exemplo 10: A= " 1 2 0 −1 3 −4 # e B = " 2 3 4 −1 0 −2 # 1 3A− 1 3B = 1 3(A − B) = 1 3 " −1 −1 −4 0 3 ₋₂ # = " −13 − 1 3 − 4 3 0 1 ₋2₃ #

Exerc´ıcio 1: Considere as matrizes A = " −1 0 2 ₋₃ # , B = " −2 0 4 ₋₆ # .

Sem efectuar c´alculos, mostre que 3(2A + 2B)T = 6(AT + BT).

3.3.3. Multiplica¸c˜ao de matrizes

Defini¸c˜ao 12 Sejam A = [aij] uma matriz m × n e B = [bjr] uma matriz

n_{× p. O produto de A por B (por esta ordem) ´e a matriz m × p cujo termo} geral cir obt´em-se somando os produtos dos elementos da linha i da matriz A pelos

elementos coluna r da matriz B, isto ´e,

cir = h a_i1 a_i2 ... a_in i       b1r b2r ... bnr       = ai1b1r + ai2b2r + ... + ainbnr = n X k=1 aikbkr. Consequentemente AB =              n X k=1 a_1kb_k1 n X k=1 a_1kb_k2 ... n X k=1 a_1kb_kp n X k=1 a_2kb_k1 n X k=1 a_2kb_k2 ... n X k=1 a_2kb_kp ... ... ... ... n X k=1 amkbk1 n X k=1 amkbk2 ... n X k=1 amkbkp             

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Nota: Da defini¸cão resulta que só se podem multiplicar matrizes quando o número de colunas da matriz da esquerda for igual ao número de linhas da matriz da direita.

Exemplo 11: _{Calcule, quando poss´ıvel, o produto A × B}

a) A = " 2 0 1 1 # e B = " 1 3 # ⇒ AB = " 2 × 1 + 0 × 3 1 × 1 + 1 × 3 # = " 2 4 # . b) A = h 0 2 i e B = " 3 0 1 1 # ⇒ AB = " 0 × 3 + 2 × 1 0 × 0 + 2 × 1 # = = h 2 2 i . c) A = " 3 1 4 6 0 5 # 2×3 e B =     7 0 4 4 3 5 −1 5 6     3×3 AB = " 3 1 4 6 0 5 # 2×3 ×     7 0 4 4 3 5 −1 5 6     3×3 = = 3 × 7 + 1 × 4 + 4 × (−1) 3 × 0 + 1 × 3 + 4 × 5 3 × 4 + 1 × 5 + 4 × 6 6 × 7 + 0 × 4 + 5 × (−1) 6 × 0 + 0 × 3 + 5 × 5 6 × 4 + 0 × 5 + 5 × 6 = = " 21 23 41 27 25 54 # 2×3

Note que nestes casos não é poss´ıvel calcular B × A pois o número de colunas de B não coincide com o número de linhas de A.

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Propriedades da Multiplica¸c˜ao de Matrizes:

Sejam A, B e C matrizes de dimens˜ao convenientes e α ∈ IR. Ent˜ao • (AB)C = A(BC) (associatividade).

• (A + B)C = AC + BC e A(B + C) = AB + AC (distributividade). • α(AB) = (αA)B = A(αB).

• AI = A e IB = B (existˆencia de elemento neutro). • AO = O e OB = O.

• (AB)T = BTAT.

• A multiplica¸cão de matrizes não é, em geral, comutativa, isto é, geralmente A × B 6= B × A. Exemplo 12: A= " 1 0 1 0 # e B = " 0 0 1 1 # AB = " 1 0 1 0 # " 0 0 1 1 # = " 0 0 0 0 # =⇒ AB 6= BA BA = " 0 0 1 1 # " 1 0 1 0 # = " 0 0 2 0 #

As matrizes tais que A×B = B×A dizem-se matrizes permut´aveis.

• Não é válida a lei do anulamento do produto AB _{= O ⇒ A = O ∨ B = O} no caso de multiplica¸cão de matrizes.

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Exemplo 13: AB = " 1 0 1 0 # " 0 0 1 1 # = " 0 0 0 0 # com A = " 1 0 1 0 # 6= " 0 0 0 0 # e B = " 0 0 1 1 # 6= " 0 0 0 0 #

• Não é válida a lei do corte

AX _{= AY , com A 6= O ⇒ X = Y} no caso de multiplica¸c˜ao de matrizes.

Exemplo 14: A= " 1 1 1 1 # , B = " 1 2 # e C = " 2 1 # AB = " 1 1 1 1 # " 1 2 # = " 3 3 # = " 1 1 1 1 # " 2 1 # = AC e B = " 1 2 # 6= " 2 1 # = C.

3.4. Resolu¸c˜ao de Sistemas de Equa¸c˜oes Lineares 3.4.1. Matrizes em Escada

Defini¸cão 13 Uma matriz em escada de linhas é uma matriz tal que, por baixo do primeiro elemento não nulo de cada linha, e por baixo dos elementos anteriores da mesma linha, todas as entradas são nulas.

Numa matriz em escada de linhas, chama-se pivot ao primeiro elemento n˜ao nulo de cada linha.

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Exemplo 15: • A =     1 2 3 4 5 0 0 −1 2 −3 0 0 0 1 2    

- matriz em escada com pivots 1, -1 e 1.

• B =     1 2 3 0 −3 5 0 0 5    

- matriz em escada com pivots 1, -3 e 5.

• C =       1 2 3 4 0 0 2 5 0 0 4 6 0 0 0 0      

n˜ao ´e uma matriz em escada.

3.4.2. Elimina¸c˜ao de Gauss

Defini¸cão 14 Dada uma matriz, designam-se por opera¸cões elementares sobre linhas, as seguintes transforma¸cões:

• Troca de duas linhas i e j (Li ↔ Lj);

• Multiplica¸c˜ao de uma linha i por um n´umero α diferente de zero (αLi);

• Substitui¸cão de uma linha j pela que se obtém adicionando-lhe o produto de outra linha i por um número real α (Lj + αLi).

Nota: De forma an´aloga se definem as opera¸c˜oes elementares sobre colunas e representam-se por Ci ↔ Cj, αCi e Lj + αLi.

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Exerc´ıcio 3: Identifique as opera¸c˜oes elementares efectuadas em cada caso: 3.1. " −1 3 2 0 # → " 3 −1 0 2 # 3.2. " 4 ₋₃ −1 1 # → " 4 −3 0 1₄ # 3.3.     4 2 0 2 _{0 −1} −6 0 6     →     1 1₂ 0 2 0 −1 0 0 3    

Defini¸cão 15 A condensa¸cão ou elimina¸cão de Gauss de uma matriz consiste em efectuar opera¸cões elementares sobre linhas e/ou colunas de modo a transformar a matriz dada numa matriz em escada de linhas.

Exerc´ıcio 4: Utilize a elimina¸c˜ao de Gauss para transformar as matrizes seguintes em matrizes em escada:

4.1.     1 2 0 1 2 0 1 3 −1 1 0 2     4.2.     0 2 _{3 −1 4} 1 _{−1 2 3 0} −3 1 1 2 1    

3.4.3. Caracter´ıstica de uma Matriz

Chama-se caracter´ıstica de A, e denota-se por car(A), ao número de linhas não nulas da matriz em escada de linhas que se obtém de A através da sua condensa¸cão.

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Em s´ıntese temos: A=           a₁₁ a₁₂ ... a_1k ... a_1n a₂₁ a₂₂ ... a_2k ... a_2n ... ... ... ... ... ... a_k1 a_k2 ... akk ... akn ... ... ... ... ... ... a_m1 a_m2 ... amj ... amn           −→ O.E.           ¯

a₁₁ ¯a12 ... ¯a1k ... ¯a1n 0 ¯a22 ... ¯a2k ... ¯a2n ... ... ... ... ... ... 0 0 ... ¯akk ... ¯akn 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0           ⇒ car(a) = k

Nota: _{Como ´e ´obvio, car(A) ≤ min{m, n}.}

Exemplo 16: Calcule a caracter´ıstica das seguintes matrizes:

• A =     1 0 1 2 3 1 −1 −3 2     −−−−−−−→ L₂ _{− 2L}₁ L3+ L1     1 0 1 0 3 ₋₁ 0 −3 3     −−−−−→ L3 + L2 →     1 0 1 0 3 −1 0 0 2     ⇒ car(A) = 3 • B =       0 −1 2 1 1 0 2 2 0 3 3 0       −−−−−→ L₁ _{↔ L}₂       1 1 0 0 −1 2 2 2 0 3 3 0       −−−−−−−→ L3 − 2L1 L4 − 3L1 →       1 1 0 0 −1 2 0 0 0 0 0 0       ⇒ car(B) = 2

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Exerc´ıcio 5: Calcule a caracter´ıstica da matriz          0 1 ₋₁ 2 1 2 −1 −1 −1 −1 0 1 2 3 2          .

Defini¸c˜ao 16 Uma matriz A quadrada de ordem n diz-se singular se car(A) < n.

Exerc´ıcio 6: Verifique se a matriz     0 2 3 1 _{−1 2} −3 1 1     ´e singular. 3.4.4. Algoritmo de Gauss

Consideremos um sistema de m equa¸c˜oes lineares a n inc´ognitas:

           a₁₁x₁+ a12x2+ ... + a1nxn = b1 a₂₁x₁+ a22x2+ ... + a2nxn = b2 ... a_m1x₁+ a_m2x₂+ ... + amnxn= bm ⇔       a₁₁ a₁₂ ... a_1n a₂₁ a₂₂ ... a_2n ... ... ... ... a_m1 a_m2 ... amn             x₁ x₂ ... xn       =       b₁ b₂ ... bm       ⇔ AX = b

Na resolu¸cão de sistemas de equa¸cões lineares vamos considerar a matriz am-pliada [A|b] , onde A é a matriz dos coeficientes do sistema, x é a matriz das incógnitas e b é a matriz dos termos independentes.

Algoritmo de Gauss: Ao proceder à elimina¸cão de Gauss da matriz ampliada [A|b] (efectuando opera¸cões elementares sobre linhas e/ou troca de colunas), de modo a obtermos uma matriz em escada de linhas, ficamos com um novo sistema de equa¸cões de mais simples resolu¸cão.

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[A|b] =           a₁₁ a₁₂ ... a_1k ... a_1n b₁ a₂₁ a₂₂ ... a_2k ... a_2n b₂ ... ... ... ... ... ... ... a_k1 a_k2 ... akk ... akn bk ... ... ... ... ... ... ... a_m1 a_m2 ... amj ... amn bm           −−→ O.E.           ¯a11 ¯a12 ... ¯a1k ... ¯a1n ¯b1 0 ¯a₂₂ ... ¯a_2k ... ¯a2n ¯b2 ... ... ... ... ... ... ... 0 0 ... ¯akk ... ¯akn ¯bk 0 0 0 0 0 0 ... 0 0 0 0 0 0 ¯bm           3.4.5. Classifica¸c˜ao de sistemas

O sistema Ax = b de m equa¸c˜oes a n inc´ognitas, pode ser classificado da seguinte forma:

• Se car(A) = car([A|b]) = n, o sistema é poss´ıvel determinado • Se car(A) = car([A|b]) < n, o sistema é poss´ıvel indeterminado • Se car(A) < car([A|b]), o sistema é imposs´ıvel.

Exerc´ıcio 7: Classifique e resolva, quando poss´ıvel, os seguintes sistemas u-sando o algoritmo de Gauss.

7.1.        x+ y + 2z = 7 x_{− 2y − 3z = 1} x_{− y + z = 0} 7.2.        x1 + 2x2 + x3 = 1 −x1 − 2x2 = 5 −2x1 − 4x2 − 2x3 = 1 7.3.        x₁ + x2 + x3 = 1 −x1 + x2 − x3 = −1 2x1 + 2x3 = 2

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Departamento Matem´atica Disciplina Matem´atica I

Curso Gest˜ao de Empresas Ano 1o

Ano Lectivo 2007/2008 Semestre 1o

Caderno de Exerc´ıcios: Matrizes e Sistemas de Equa¸c˜oes Lineares

Autores:

Maria Cristina Peixoto Matos Nuno Concei¸c˜ao

Joana Fialho Paula Sarabando

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1. Considere as matrizes A =    1 2 3 0 3 1 1 2 2    e B =    −1 0 −1 2 1 1 1 2 0   .

Calcule a matriz 2(A + B) − AB.

2. Considere A = " −1 0 1 2 1 −1 # , B = " 3 −1 # e C = " 1 1 # . Calcule (BT_{A + C}T_A)T_.

3. Calcule os produtos AB e BA, quando definidos, nos seguintes casos:

a)A =    1 2 −1 2 0 2 3 1 3    e B =    2 1 0 3 4 2    b) A = h 1 0 −1 i e B =    3 2 1    c) A =    1 2 −2 −2 1 2 −2 −4 4    e B =    6 3 2 2 1 2/3 5 5/2 5/3    4. Considere as matrizes A =    1 −3 2 2 1 −3 4 −3 −1   , B =    1 4 1 0 2 1 1 1 1 −2 1 2   , C =    2 1 −1 1 3 −2 −1 2 2 −5 −1 3   e D =       2 1 0 1       . Verifique que AB = AC e BD = CD. 5. Considere as matrizes A = " 1 0 1 −1 1 1 # , B = " 1 1 1 −1 # , C = " 1 2 # , D =    1 0 0 1 1 1   .

Escolha uma maneira de as ordenar de tal modo que o produto das quatro matrizes esteja definido e calcule esse produto.

6. Mostre que se os produtos AB e BA estão ambos definidos e A é do tipo m × n, então B é do tipo n × m.

7. Calcule: (a)    2 0 1 1 1 1 0 3 2    2 ; (b) " 3 2 −4 −2 #5 ; (c) " 1 1 0 −1 #k ; (d) " 2 −1 3 −2 #k .

(20)

8. Considere que a ESTV, no ano lectivo de 2006/2007, come¸ca uma nova licenciatura, com numeros clausus de 100 alunos por ano, e dura¸c˜ao de trˆes anos. Considere que, em cada ano lectivo, 70% dos estudantes transitam de ano (ou terminam o curso caso estejam no 3o

ano), e 30% ficam retidos no mesmo ano. Representemos por um vector estado,

Xk=    xk1 xk2 xk3   ,

os alunos que frequentam a licenciatura no ano lectivo k, divididos por ano escolar (assim, por exemplo, o n´umero xk2 representa o n´umero de alunos que frequentam o segundo ano no ano lectivo k).

Tomemos k = 0 para representar o ano lectivo 2006/2007, em que a licenciatura arranca. Temos

X0=    100 0 0   .

(a) Encontre uma matriz A, 3 × 3, tal que, Xk+1= X0+ AXk (isto ´e, somando os alunos novos ao resultado

de multiplicar A pelo vector estado de um determinado ano lectivo, obtemos o vector estado do ano lectivo seguinte).

(b) Escreva a fórmula da al´ınea anterior, que permite obter o vector estado para determinado ano lectivo n, mas sem ser por recorrência, ou seja, uma fórmula em fun¸cão de X0e das potências de A.

(c) Em Agosto de 2009/2010, quantos alunos tˆem o diploma desta nova licenciatura?

9. (a) Verifique que as identidades alg´ebricas (A ± B)2_{= A}2

± 2AB + B2_{, (AB)}2_{= A}2_B2

, (A + B)(A − B) = A2

− B2

nem sempre s˜ao verdadeiras quando A e B s˜ao matrizes.

Considere, por exemplo, os casos seguintes:

(a) A = " 1 −1 0 2 # , B = " 1 0 1 2 # ; (b) A = " 2 0 −1 1 # , B = " 1 0 3 4 # .

(b) Transforme os segundos membros das identidades anteriores de forma a obter identidades sempre v´alidas para A e B matrizes quadradas quaisquer da mesma ordem.

10. Em cada uma das al´ıneas dˆe exemplo de matrizes reais 2 × 2 com a propriedade indicada: (a) A2

= −I; (b) A2_{= 0, sendo A n˜}_{ao nula;}

(21)

11. Foi feito um estudo com o objectivo de detectar que parte do rendimento destinam os indiv´ıduos para a sua forma¸cão e informa¸cão. O pre¸co de revistas, livros, jornais e cd’s é dado respectivamente pelo seguinte vector [50 220 45 600] (em unidades monetárias. Em três grupos seleccionados (A, B e C) verificou-se que o consumo dos quatro produtos era o seguinte:

R L J CD

A 2 1 3 0

B 4 3 2 1

C 2 3 5 1

Utilize o c´alculo matricial para determinar a despesa de cada um dos grupos.

12. Uma companhia de navega¸cão tem três tipos de recipientes A, B e C e carrega cargas em contentores de três tipos I, II e III. As capacidades dos recipientes são dadas pela matriz:

I II III

A 4 3 2

B 5 2 3

C 2 2 3

Utilizando a teoria das matrizes determine o n´umero de recipientes x1, x2 e x3 de cada categoria A, B e C,

se a companhia deve transportar 42 contentores do tipo I, 27 do tipo II e 33 do tipo III.

13. As firmas A, B e C partilham o mercado de um certo produto. Cada uma detém a seguinte quota de marcado: A detém 20% do mercado, B detém 60% do mercado e C detém 20% do mercado.

No ano seguinte ocorreram as seguintes altera¸c˜oes:

A mantém 80% dos clientes, perde 10% para B e 10% para C; B mantém 40% dos clientes, perde 10% para A e 50% para C; C mantém 70% dos clientes, perde 20% para A e 10% para B.

Associando o número 1 à firma A, 2 à firma B e 3 à firma C determine a matriz de transi¸cão, T, definida da seguinte forma:

T = [tij], i,j=1,2,3 com

tij = percentagem de clientes da firma j, que se tornam clientes da firma i no pr´oximo ano.

Com a mesma associa¸c˜ao de valores `as firmas, determine a matriz coluna, s, designada por matriz quota de mercado, que se caracteriza por ter todas as componentes positivas e soma igual a 1:

si1= percentagem de mercado inicial que a firma i det´em.

Depois de determinadas ambas as matrizes, calcule T s. Verifique tratar-se de uma matriz coluna de quotas de mercado e interprete o resultado. Justifique.

(22)

14. Resolva e classifique os seguintes sistemas de variáveis reais usando o método de elimina¸cão de Gauss. (a)      2x1− x2+ 3x3= 8 −3x1+ 2x2+ x3= −7 −2x1+ x2+ 2x3= −3 (b)      x1+ x2+ x3= 0 x1+ 2x2+ 3x3= 0 3x1+ 5x2+ 7x3= 1 (c)      x1− x2− 3x3+ 4x4= 1 x1+ x2+ x3+ 2x4= −1 −x2− 2x3+ x4= 1 (d)      −x1+ 2x2+ 3x3+ x4= 1 2x1− 3x2− x3+ 2x4= 7 x1− 5x2+ 2x3− x4= −4 (e)            2x1+ 3x2− x3+ 5x4= 0 3x1− x2+ 2x3− 7x4= 0 4x1+ x2− 3x3+ 6x4= 0 x1− 2x2+ 4x3− 7x4= 0 (f )            −x1+ x2+ x3= 2 2x1+ 2x2+ 8x3= 16 x1+ x3= 3 −x1− 2x2= −13 (g)                x1+ x2= 1 x1+ x2+ x3= 4 x2+ x3+ x4= −3 x3+ x4+ x5= 2 x4+ x5= −1 (h)                x1− 2x2+ 3x3− 4x4+ 2x5= −2 x1+ 2x2− x3− x5= −3 x1− x2+ 2x3− 3x4= 10 x2− x3+ x4− 2x5= −5 2x1+ 3x2− x3+ x4+ 4x5= 1

15. (a) Usando o método de elimina¸cão de Gauss encontre a parábola f (x) = ax2_{+ bx + c que passa pelos}

pontos (1,4), (2,7) e (3,4).

(b) Verifique, usando derivadas, que a parábola referida na al´ınea anterior tem o vértice em (2,7). (c) Fa¸ca um esbo¸co para uma poss´ıvel fun¸cão l(x) tal que l′

(x) = f (x).

16. Determine os valores de α para os quais o sistema (

αx + y = 1 x + αy = 1

(a) não tem solu¸cão; (b) tem uma solu¸cão; (c) tem uma infinidade de solu¸cões.

17. Discuta os seguintes sistemas em fun¸c˜ao dos respectivos parˆametros

(a)      x1+ x2+ x3= β + 1 x1+ βx2+ x3= 1 βx1+ x2= β + 2β2 (b)      x1+ x2+ (1 − β)x3= β + 1 (1 + β)x1− x2+ 2x3= 0 2x1− βx2+ 3x3= β + 2 (c)      x1+ x2+ x3= 0 βx1+ x2+ βx3= γ x1+ γx3= β (d)      x1+ 2x2+ x3= 5 βx1− x2+ 3x3= 6 2x1+ x2− x3= γ

(23)

(e)            x + z + 2v = 1 2x + 3y + 2z + 3w + αv = 0 y + w + v = −γ −2x + y − 2z + w + βv = −2 (f )            x + y + z + w = 1 2x + 2y + 4z − 2w = 0 −x − y + z + αw = β x + y + 3z − 3w = γ

18. (Exame ´Epoca Especial, 2006-2007)

Considere o sistema Ax = b com A =    1 0 α 1 α α + γ 1 0 2α   , b =    0 β + 1 β   , α, β, γ ∈ IR

(a) Discuta o sistema em fun¸c˜ao dos parˆametros considerados. (b) Considere α = −1, β = 0, e γ = 2.

Resolva o sistema anterior atrav´es do m´etodo de Gauss.

19. Determine um sistema A× = b com duas equa¸cões e três incógnitas cuja solu¸cão geral seja

× =    1 1 0   + α    1 2 1   .

20. Considere o seguinte sistema AX = B de equa¸c˜oes lineares com parˆametros reais a, b:    1 a a + 1 0 a − 1 2a 2 2 2   .    x y z   =    b 1 0   .

(a) Seja Y = [1 4 − 5]T_{. Calcule A.Y e diga, justificando, os valores dos parˆametros a, b para os quais}

Y ´e solu¸c˜ao do sistema.

(b) Classifique o sistema para todos os valores reais dos parˆametros a, b. (c) Resolva o sistema quando a = 2 e b = 0.

21. Determine um sistema A× = b com três equa¸cões e três incógnitas cuja solu¸cão geral seja a mesma do exerc´ıcio anterior e que não tenha solu¸cão quando b1+ b26= b3.

22. Determine todas as matrizes permut´aveis com A, sendo:

(a) A = " 1 2 −1 −1 # ; (b) A = " 1 1 0 1 # .

23. Uma empresa produtora de componentes para automóveis fez uma pesquisa de mercado e concluiu que para maximizar os seus lucros deveria, apenas, passar a produzir três produtos: pneus, volantes e “jantes”. A diferen¸ca entre o número de pneus e o número de “jantes” a produzir deve ser igual ao dobro do número de volantes produzido. O número de volantes a produzir deve ser a quarta parte das “jantes” fabricadas. Utilizando a teoria das matrizes, determine duas quantidades poss´ıveis para cada um dos produtos que a empresa fabrica de forma que responda às condi¸cões deduzidas da pesquisa de mercado.

(24)

24. No centro de uma cidade há um conjunto de ruas de um só sentido e que se intersectam como na figura. O volume de tráfego que entra e sai nessa zona durante a hora de ponta é o indicado na figura. Que conclui quanto ao volume de tráfego en cada um dos 4 cruzamentos?

25. Uma empresa explora simultaneamente duas minas, A e B. Num dia de trabalho na mina A extrai 20 toneladas de cobre e 550 quilos de prata enquanto que, num dia de trabalho na mina B extrai 30 toneladas de cobre e 500 quilos de prata.

a) Supondo que a empresa explora a mina A durante x dias e a mina B durante y dias, estabele¸ca um sistema de equa¸cões lineares que permita determinar o número de dias necessários à extraçcão de 190 toneladas de cobre e 4250 quilos de prata.

b) Escreva o sistema da al´ınea anterior na forma matricial e resolva-o utilizando o m´etodo de elimina¸c˜ao de Gauss. 26. Considere as matrizes Ak=    0 k 0 1 0 k 1 −1 0    e bn =    0 0 n   

a) Discuta em fun¸c˜ao dos parˆametros k e n o sistema Akx = bn

b) Determine, se poss´ıvel, uma matriz D tal que: i) A0D − 2I3= A1

ii) A0D seja uma matriz sim´etrica

iii) A0D seja uma matriz triangular inferior

iv) A0D seja uma matriz diagonal

27. Indique, justificando, qual o valor l´ogico das seguintes afirma¸c˜oes:

a) Se A ∈ M3×4(IR) e B ∈ M4×3(IR) ent˜ao ´e poss´ıvel efectuar os produtos AB e BA mas AB 6= BA.

b) A matriz " 0 −1 1 0 # é ortogonal. c) Todo o sistema homogéneo é poss´ıvel.

(25)

d) O produto de matrizes ortogonais ´e ainda ortogonal.

e) Todo o sistema de n equa¸cões e n incógnitas cuja caracter´ıstica da matriz dos coeficientes é igual ao número de equa¸cões do sistema é sempre poss´ıvel determinado.

f ) Se A ∈ Mn×n(IR) e x e y s˜ao matrizes n × 1 ent˜ao a igualdade Ax = Ay =⇒ x = y

28. Sabendo que A(0, 10), B(1, 7), C(3, −11) e D(4, −14), determine os coeficientes a, b, c, e d de modo que a figura abaixo possa representar o gr´afico da fun¸c˜ao y = ax3

+ bx2 + cx + d, 10 −10 −20 1 2 3 4 5 −1 −2 y x y= f (x) A B C D