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Mat.
Professor: Alex Amaral2
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Geometria analítica plana:
circunferência e elipse
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RESUMO
1) Circunferência
1.1) Definição:
Circunferência é o nome dado ao conjunto de pontos do plano equidistantes de um ponto fixo, que é o seu centro.
1.2) Equação:
Uma circunferência γ de centro no ponto C( x0,y0) e raio de medida R é o conjunto dos pontos P(x,y),
tais que P ∈ γ,
PC
= R.Substituindo
PC
por seu valor, de acordo com a fórmula da distância entre dois pontos tem-se:0 0
(
)² (
)²
R
x
x
y
y
Ao elevar ambos os lados ao quadrado, chegamos à equação da circunferência:
0 0
²
(
)² (
)²
R
x
x
y
y
2) Elipse
2.1) Definição:
Elipse é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos desse plano é constante.
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2.2) Elementos de uma elipse:
Focos: são os pontos F1 e F2.
Distância focal: é a distância 2c entre os focos.
Centro: é o ponto médio C do segmento F1F2.
Eixo maior: é o segmento A1A2 de comprimento 2a.
Eixo menor: é o segmento B1B2 de comprimento 2b e perpendicular a A1A2 no seu ponto médio.
Vértices: São os pontos A1, A2, B1 e B2.
Pela figura, vemos que a² = b² + c². Esta igualdade mostra que b < a e c < a.
Excentricidade: é o número real
e
c
a
( 0 < e < 1 )são aproximadamente circulares, enquanto que elipses com excentricidade próxima de 1 são
2.3) Equação:
2.3.1) Eixo maior é paralelo ao eixo x:
(
)²
(
)²
1
²
²
x
h
y
k
a
b
2.3.2) Eixo maior é paralelo ao eixo y:
(
)²
(
)²
1
²
²
x
h
y
k
b
a
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EXERCÍCIOS DE AULA
1.
A segunda lei de Kepler mostra que os planetas se movem mais rapidamente quando próximos ao sol do que quando afastados dele. Lembrando que os planetas descrevem órbitas elípticas nas quais o sol é um dos focos, podemos afirmar que, dos pontos assinalados na figura, aquele no qual a velocidade da Terra é maior é o ponto:a) A b) B c) C d) D e) E
2.
A figura mostra uma criança brincando em um balanço no parque. A corda que prende o assento do balanço ao topo do suporte mede 2 metros. A criança toma cuidado para não sofrer um acidente, então se balança de modo que a corda não chegue a alcançar a posição horizontal. Na figura, considere o plano cartesiano que contém a trajetória do assento do balanço, no qual a origem está localizada no topo do suporte do balanço, o eixo X é paralelo ao chão do parque, e o eixo Y tem orientação positiva para cima.A curva determinada pela trajetória do assento do balanço é parte do gráfico da função. a)
f x
( )
2
x
²
b)
f x
( )
2
x
²
c)
f x
( )
x
² 2
d)f x
( )
4
x
²
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3.
Considerando a circunferência C de equação (x 3)2 + (y 4)2 = 5, avalie as seguintes afirmativas:1. O ponto P(4,2) pertence a C. 2. O raio de C é 5.
3. A reta x 3 4
y passa pelo centro de C.
Assinale a alternativa correta.
a) Somente a afirmativa 1 é verdadeira. b) Somente a afirmativa 2 é verdadeira. c) As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras. d) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. e) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
4.
Uma porta colonial é formada por um retângulo de 100cm×200cm e uma semi-elipse. Observe as figuras:Na semi-elipse o eixo maior mede 100cm e o semieixo menor, 30cm. Calcule a medida da corda PQ, paralela ao eixo maior, que representa a largura da porta a 224cm de altura.
5.
Considere os pontos A, B e C nas condições mencionadas na tirinha.
a) Se, A, B e C pertencem a uma mesma reta, calcule a distância entre A e C quando: → A está situado entre B e C;
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b) Se A, B e C estiverem no plano cartesiano, sendo A um ponto móvel, B um ponto do semi-eixo positivo das abscissas (x) e C a origem (0,0), determine a equação da linha descrita pelo ponto A e identifique a curva correspondente.
EXERCÍCIOS DE CASA
1.
Durante uma aula de Matemática, o professor sugere aos alunos que seja fixado um sistema de coordenadas cartesianas (x, y) e representa na lousa a descrição de cinco conjuntos algébricos, I, II, III, IV e V, como se segue:I é a circunferência de equação x² + y² = 9;
II é a parábola de equação y = x² 1, com x variando de 1 a 1; III é o quadrado formado pelos vértices ( 2, 1), ( 1, 1), ( 1, 2) e ( 2, 2); IV é o quadrado formado pelos vértices (1, 1), (2, 1), (2, 2) e (1, 2); V é o ponto (0, 0).
Qual destas figuras foi desenhada pelo professor?
a) d)
b) e)
c)
2.
Considere dois pontos distintos A e B de um plano. O lugar geométrico dos pontos P deste plano tal que a soma das distâncias de P aos pontos A e B é constante, é uma curva denominada:a) circunferência b) parábola c) hipérbole d) elipse e) reta
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3.
O segmento AB é diâmetro da circunferência de equação x2 + y2 = 10y. Se A é o ponto (3,1), então B éo ponto: a) (-3, 9) b) (3, 9) c) (0, 10) d) (-3, 1) e) (1, 3)
4.
Um satélite de órbita elíptica e excentricidade1
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viaja ao redor de um planeta situado num dos focosde uma elipse. Sabendo que a distância mais próxima do satélite ao planeta é de 300 km, a maior distância é a) 400 km b) 500 km c) 600km d) 700 km e) 900 km
5.
As circunferências x2 + y2 + 8x + 6y = 0 e x2 + y2 16x 12y=0 são:a) exteriores. b) secantes.
c) tangentes internamente. d) tangentes externamente. e) concêntricas.
6.
A elipse representada na figura tem equação:–3 3 2 –2 a)
1
3
y
4
x
2
2
b) 1 1 y 2 x2 2 c) 1 4 y 9 x2 2 d) 1 9 y 36 x2 2 e) 1 36 y 9 x2 2 8
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7.
A excentricidade da elipse 1 16 y 7 x2 2 é: a) 3 7 b) 4 3 c) 7 7 3 d) 3 4 e) 16 78.
A equação da circunferência com centro na origem e raio igual ao semieixo menor da elipse x2 + 4y2 = 4 é: a) x2 + y2 = 2 b) x2 + y2 = 16 c) x2 + y2 = 4 d) x2 + y2 = 1 e) x2 + y2 = 29
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GABARITO
Exercícios de aula
1. e 2. d 3. e 4. 60 cm 5. a) A situado entre B e C = 10/3 cm A situado fora de B e C = 10 cmb) 3x² + 3y² - 40x + 100 = 0, circunferência de círculo.
