Olimpíadas Portuguesas de Matemática

XXVI OPM - Final - 1o_{dia - 14.03.2008 - Categoria B}

Olimpíadas Portuguesas

de Matemática

http://www.spm.pt/~opm

Durac¸ ˜ao: 3 horas

Cada quest ˜ao vale 10 pontos

Justifica convenientemente as tuas respostas e indica os principais c ´alculos. N ˜ao ´e permitido o uso de calculadoras.

1. Qual o n ´umero m ´aximo de triˆangulos com v ´ertices nos pontos da figura que ´e poss´ıvel construir?

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

2. Na figura seguinte, o triˆangulo

[ABC]

est ´a inscrito na circunferˆencia,

E

pertence `a circunferˆencia,

D

pertence `

a semi-recta

AE

˙

e

C ˆ

AB = B ˆ

AE

. Prova que

AB = BD

se e somente se

DE = AC

.

A

C _E

B

D

3. Seja

d

um n ´umero natural. Dados dois n ´umeros naturais

M

e

N

com

d

algarismos,

M

e amigo de´

N

se os

d

n ´umeros obtidos substituindo cada um dos algarismos de

M

pelo algarismo de

N

que se encontra na mesma posic¸ ˜ao s ˜ao todos m ´ultiplos de

7

. Determina os valores de

d

para os quais ´e v ´alida a seguinte condic¸ ˜ao: Para quaisquer dois n ´umeros

M

e

N

com

d

algarismos, se

M

e amigo de´

N

, ent ˜ao

N

e amigo de´

M

.

4. O Nelson desafia a Telma para o seguinte jogo: Primeiro a Telma retira

2

9

n ´umeros do conjunto

{0, 1, 2, 3, ..., 1024}

, em seguida o Nelson retira

2

8

n ´umeros dos restantes. Depois a Telma retira

2

7

n ´umeros e assim sucessivamente, at ´e restarem apenas

2

n ´umeros. O Nelson ter ´a de dar `a Telma a diferenc¸a entre estes dois n ´umeros em euros. Qual ´e a maior quantia que a Telma pode ganhar independentemente da estrat ´egia do Nelson?

5. Seja

[ABC]

um triˆangulo rectˆangulo em

A

, tal que

AB < AC

. Seja

M

o ponto m ´edio de

[BC]

e

D

o ponto de intersecc¸ ˜ao de

[AC]

com a recta perpendicular a

[BC]

que passa por

M

. Seja

E

o ponto de intersecc¸ ˜ao da recta paralela a

[AC]

que passa por

M

com a recta perpendicular a

[BD]

que passa por

B

. Prova que os triˆangulos

[AEM ]

e

[M CA]

s ˜ao semelhantes se e somente se

A ˆ

BC = 60

o

.

6. Seja

n

um n ´umero natural superior a

2

. A Vanessa tem

n

montes de pedras de jade, todos os montes com n ´umeros diferentes de pedras. A Vanessa consegue distribuir as pedras de qualquer um dos montes pelos outros montes e ficar com

n − 1

montes com igual n ´umero de pedras. Tamb ´em consegue distribuir as pedras de quaisquer dois montes pelos outros montes e ficar com

n−2

montes com igual n ´umero de pedras. Determina o menor n ´umero poss´ıvel de pedras de jade que pode ter o monte com o maior n ´umero de pedras?

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Cada quest ˜ao vale 10 pontos

Sugest ˜oes para a resoluc¸ ˜ao dos problemas

1. Dado um conjunto com

n

elementos, o n ´umeros de subconjuntos com trˆes elementos ´e

n(n − 1)(n − 2)

6

, que ´ e representado por 

n

3

‹

. De facto, se escolhermos o primeiro elemento entre

n

, o segundo entre

n − 1

e o terceiro entre

n − 2

, constroem-se

n(n − 1)(n − 2)

subconjuntos, sendo que cada subconjunto se repete

3 × 2 = 6

vezes.

O n ´umero total de triˆangulos e triˆangulos degenerados (aqueles em que o comprimento de um dos lados ´e igual `a soma dos comprimentos dos restantes dois) que se pode construir com v ´ertices nos pontos da figura ´e



10

3

‹

= 120.

O n ´umero de triˆangulos degenerados que se pode construir com v ´ertices nos pontos da figura ´e igual a



5

3

‹

+



4

3

‹

+ 3 = 17.

Portanto, o n ´umero de triˆangulos (n ˜ao degenerados) que se pode construir com v ´ertices nos pontos da figura ´

e igual a

120 − 17 = 103

.

2. Pelo Teorema do arco capaz, tem-se

A ˆ

CB = 180

o

− A ˆ

EB = D ˆ

EB

logo,

D ˆ

EB = A ˆ

CB

. Tamb ´em

EB = CB

, pois s ˜ao cordas da circunferˆencia definidas por ˆangulos de igual amplitude.

A

C _E

B

D

Se

DE = AC

ent ˜ao os triˆangulos

[EDB]

e

[CAB]

s ˜ao congruentes, pois tˆem um ˆangulo igual e os dois lados que o definem iguais. Portanto,

BD = AB

.

Se

AB = BD

, ent ˜ao o triˆangulo

[ABD]

e is ´´ osceles com

B ˆ

AD = A ˆ

DB

e, consequentemente,

C ˆ

AB = B ˆ

DE

. Portanto, os triˆangulos

[EDB]

e

[CAB]

s ˜ao congruentes e, consequentemente,

DE = AC

.

M + N = (7k + 1)M + N − 7kM = (d − 1)M + N − 7kM = S − 7kM

´

e m ´ultiplo de

7

, logo, todos os

N

is ˜ao m ´ultiplos de

7

,

i = 1, . . . , d

, ou seja,

N

e amigo de´

M

.

Observe-se que dado um n ´umero

M

com

d

algarismos existe um n ´umero

N

com

d

algarismos tal que

M

e´ amigo de

N

. De facto, se se substituir um determinado algarismo de

M

por cada um dos algarismos de

0

a

9

e se dividir os n ´umeros resultantes por sete, obtˆem-se todos os restos de

0

a

6

, pelo que, para um determinado algarismo, o n ´umero ser ´a m ´ultiplo de

7

. Repetindo este processo para cada algarismo de

M

, obt ´em-se um n ´umero

N

tal que

M

e amigo de´

N

.

Suponha-se que ´e v ´alida a condic¸ ˜ao indicada para um n ´umero natural

d

. Escolha-se

M

de

d

algarismos tal que

M

n ˜ao ´e m ´ultiplo de

7

. Seja

N

um n ´umero com

d

algarismos tal que

M

e amigo de´

N

. Ent ˜ao,

M + N

e´ m ´ultiplo de

7

logo, a diferenc¸a

S − (M + N ) = (d − 1)M + N − (M + N ) = (d − 2)M

tamb ´em ´e m ´ultipla de

7

. Como

7

e primo e´

M

n ˜ao ´e m ´ultiplo de

7

, ent ˜ao

d − 2

e m ´ultiplo de´

7

, ou seja,

d = 7k + 2

.

Portanto, os valores de

d

para os quais ´e v ´alida a condic¸ ˜ao indicada s ˜ao os n ´umeros naturais da forma

7k + 2

, para

k

inteiro.

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Sugest ˜oes para a resoluc¸ ˜ao dos problemas

4. A Telma consegue garantir pelo menos

32

euros. Para isso, apenas necessita de, em cada jogada, retirar os n ´umeros que est ˜ao numa posic¸ ˜ao par quando estes est ˜ao por ordem crescente. De facto, com esta estrat ´egia, a distˆancia m´ınima entre dois n ´umeros do conjunto ´e pelo menos duplicada em cada jogada, pelo que ao fim das cinco jogadas da Telma, esta distˆancia ´e no m´ınimo

2

5

_{= 32}

_.

O Nelson consegue evitar pagar mais de

32

euros. Para isso, apenas necessita de, em cada jogada, retirar todos os n ´umeros do in´ıcio, ou todos os n ´umeros do final, ficando com aqueles cuja distˆancia m ´axima ´e menor. De facto, com esta estrat ´egia, a distˆancia m ´axima entre dois n ´umeros do conjunto ´e pelo menos dividida por dois em cada jogada, pelo que ao fim das cinco jogadas do Nelson, esta distˆancia ´e no m ´aximo

1024/(2

5

_{) = 32}

_.

5. Comece-se por notar que

[AEB]

e is ´´ osceles, pois

EM

e perpendicular a´

AB

e

M

e ponto m ´´ edio de

[CB]

, logo

E ˆ

AB = E ˆ

BA = 90

o

_{− A ˆ}

_{BD = A ˆ}

_DB

_. B A C M D E

Por outro lado,

D ˆ

M B + B ˆ

AD = 180

o

, logo o quadril ´atero

[DM BA]

e c´ıclico e, consequentemente,´

A ˆ

DB = A ˆ

M B

, ou seja,

E ˆ

AB = A ˆ

M B

.

O ponto

M

e o centro da circunferˆ´ encia circunscrita a

[ABC]

, logo,

AM = BM

e

M ˆ

AB = A ˆ

BM = A ˆ

BC

. Assim,

2A ˆ

BC + E ˆ

AB = 180

o

. Mas os triˆangulos

[AEM ]

e

[M CA]

s ˜ao semelhantes se e somente se

AE

e

CM

s ˜ao paralelas, ou seja,

E ˆ

AB = A ˆ

BC

. Substituindo na equac¸ ˜ao acima vem

A ˆ

BC = 60

o

.

6. Sejam

a

1

> a

2

> a

3

> . . . > a

nos n ´umeros de pedras dos diversos montes e

S = a

1

+ a

2

+ a

3

+ . . . + a

n.

Por um lado,

S ≤ a

1

+ (a

1

− 1) + (a

1

− 2) + . . . + (a

1

− (n − 1)) =

(2a

1

− (n − 1))n

2

.

Por outro lado, se se distribui qualquer um dos montes pelos restantes

n − 1

montes, desde que n ˜ao se escolha o monte com

a

1pedras, conclui-se que

S ≥ (n − 1)a

1. Logo,

(2a

1

− (n − 1))n

2

≥ (n − 1)a

1

⇒ a

1

≥

(n − 1)n

2

e, consequentemente,

S ≥

(n − 1)

2

n

2

, ou seja,

S =

(n − 1)

2

n

2

+ k

,

k ≥ 0

.

Al ´em disso, como as

S

pedras podem ser distribu´ıdas por

n − 1

montes com igual n ´umero de pedras e ainda por

n − 2

montes com igual n ´umero de pedras,

S

e divis´ıvel por´

n − 1

e por

n − 2

, ou seja, ´e divis´ıvel por

(n − 1)(n − 2)

(visto que

n − 1

e

n − 2

s ˜ao primos entre si).

Considerem-se os dois casos seguintes:

•

Seja

n

um n ´umero ´ımpar. Tem-se

S =

(n − 1)

2

n

2

+ k =

(n − 1)

2

(n − 2)

2

+ (n − 1)(n − 2) + n − 1 + k, k ≥ 0.

spm

a

1

≥

(n − 1)n

2

+ n − 3 =

(n − 2)(n + 3)

2

.

Al ´em disso, existe uma distribuic¸ ˜ao de pedras por

n

montes tal que

a

1

=

(n − 2)(n + 3)

2

e

S =

(n − 1)

2

n

2

+ (n − 4)n + 3 =

(n − 1)(n − 2)(n + 3)

2

que satisfaz as condic¸ ˜oes do enunciado. Basta observar que, para os valores de

a

1 e

S

indicados, se

verificam as igualdades

S = (n − 1)a

1

= (n − 2)

•

a

1

+

n + 3

2

˜

= na

1

− a

1 e

a

1

=

(n + 1)n

2

− 3 =

(1 + 2 + . . . + n) − 3

e escolher a distribuic¸ ˜ao

a

2

= a

1

− 1, a

3

= a

1

− 2, a

4

= a

1

− 4, a

5

= a

1

− 5, . . . a

n₋₁

= a

1

− (n − 1), , a

n

= a

1

− n.

Portanto, o menor valor poss´ıvel para

a

1e´

(n − 2)(n + 3)

2

.

•

Seja

n = 2l

um n ´umero par. Tem-se

S =

(n − 1)

2

n

2

+ k =

n(n − 1)(n − 2)

2

+

n(n − 1)

2

+ k, k ≥ 0.

Como as duas primeiras parcelas da express ˜ao acima indicada s ˜ao divis´ıveis por

(n − 1)

,

k

e divis´ıvel por´

n − 1

, ou seja,

k = m(n − 1)

para algum

m ≥ 0

. Ent ˜ao

S =

n(n − 1)(n − 2)

2

+

(n + 2m)(n − 1)

2

.

Como a primeira parcela da express ˜ao acima indicada ´e divis´ıvel por

(n − 1)(n − 2)

, tamb ´em a segunda parcela ´e divis´ıvel por

(n − 1)(n − 2)

. Ent ˜ao

n + 2m

e divis´ıvel por´

n − 2

. Em particular,

n + 2m

2

≥ n − 2

,

m ≥

n

2

− 2

,

k ≥

(n − 1)(n − 4)

2

e

S ≥

(n − 1)

2

_n

2

+

(n − 1)(n − 4)

2

=

(n − 1)(n

2

_{− 4)}

2

. Portanto,

(2a

1

− (n − 1))n

2

≥

(n − 1)(n

2

− 4)

2

, logo,

a

1

≥

n

2

− 4

2

−

n − 4

2n

, o que implica que

a

1

≥

n

2

_{− 4}

2

.

Al ´em disso, existe uma distribuic¸ ˜ao de pedras por

n

montes tal que

a

1

=

n

2

− 4

2

e

S =

(n − 1)(n

2

− 4)

2

que satisfaz as condic¸ ˜oes do enunciado. Basta observar que, para os valores de

a

1 e

S

indicados,

se verificam as igualdades

S = (n − 1)a

1

= (n − 2)

•

a

1

+

n + 2

2

˜

= na

1

− a

1 e

a

1

=

(n + 1)n

2

−

n − 4

2

= (1 + 2 + . . . + n) −

n − 4

2

e escolher a distribuic¸ ˜ao

a

2

= a

1

−1, a

3

= a

1

−2, . . . , a

l₋₂

= a

1

−(l−3), a

l₋₁

= a

1

−(l−1), . . . , a

n₋₁

= a

1

−(n−1), a

n

= a

1

−n.

Portanto, o menor valor poss´ıvel para

a

1e´

n

2