XII Encontro Gaúcho de Educação Matemática
Inovar a prática valorizando o Professor
Porto Alegre, RS – 10 a 12 de setembro de 2015
APLICAÇÃO DE UMA SITUAÇÃO-PROBLEMA DESENVOLVIDA COM MODELAGEM MATEMÁTICA PARTINDO DA PRÁTICA DE UM
ENGENHEIRO CIVIL
Márcia Jussara Hepp Rehfeldt Centro Universitário UNIVATES mrehfeld@univates.br Resumo:
Este relato apresenta um estudo realizado por um grupo de pesquisa por meio da análise de dados coletados em três momentos distintos da pesquisa, partindo de uma situação-problema. Inicialmente essa situação-problema foi repassada aos bolsistas do grupo de pesquisa, posteriormente ao bolsista de iniciação científica júnior e, finalmente, aos alunos no ensino médio. O estudo teve por objetivo averiguar como uma situação prática de um profissional na área de Engenharia Civil poderia instigar a construção de um ambiente para desenvolvimento de modelagem matemática. O foco do grupo de pesquisa é despertar, por meio da modelagem matemática, o gosto dos alunos pela área de Ciências Exatas, expondo-os a situações práticas. A situação-problema consistiu no cálculo do número de telhas e do custo para a cobertura de um telhado de uma casa em alvenaria com telhas fibrocimento, podendo ser utilizados diferentes tamanhos de telhas. Nos três momentos da aplicação propiciou-se a liberdade aos alunos para que os dados pudessem ser coletados fora da sala de aula. A flexibilidade na condução das atividades foi fundamental, observando que os alunos apresentaram interpretações e dificuldades variadas, dependo do grau de escolaridade. Atividades de modelagem matemática possibilitam aulas mais dinâmicas e contextuais, contrapondo-se ao ensino tradicional.
Palavras-chave: Modelagem matemática; Situação-problema; Telha fibrocimento.
1. Introdução
A obtenção de um modelo matemático em sala de aula pode ser feita de três maneiras diferentes, com diferentes estratégias e níveis. Barbosa (2003) os classifica como: o Primeiro Nível - é indicado para professores com pouca experiência na modelagem matemática, pois nesse caso o docente apenas apresenta o problema devidamente relatado, bem como as informações para resolvê-lo; No Segundo Nível é apresentado aos alunos um problema para investigar, possibilitando-se a saída de sala de aula dos alunos para a coleta de dados; Já no Terceiro Nível os projetos são desenvolvidos por meio de situações-problemas escolhidas pelos próprios estudantes, partindo do interesse e motivação destes, o professor apenas os auxilia na coordenação das atividades.
A situação-problema apresentada pelo grupo de pesquisa aos envolvidos neste estudo, nos três momentos da aplicação, consiste na determinação do número de telhas de fibrocimento que são necessárias para a cobertura de um telhado e caracteriza-se como uma situação de Nível 2, de acordo com Barbosa (2003). Inicialmente a resolução foi considerada fácil pelos alunos do ensino médio, porém existiam condições que deveriam ser observadas, dentre elas estão o transpasse das telhas, o ângulo de inclinação do telhado e a minimização das perdas. O menor custo para implementação do projeto também foi um fator a ser questionado durante o cálculo do número de telhas.
Entende-se que uma situação-problema desenvolvida por meio da modelagem matemática pode estabelecer relações entre o conteúdo e a prática ou a realidade. De acordo com Bassanezi (2002, p. 16), “a modelagem matemática consiste na arte de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem do mundo real”. Neste sentido, a modelagem matemática permite ao aluno a possibilidade da interação entre o conteúdo programático do ensino tradicional vinculado à realidade ou à prática de alguma área profissional. Tal vínculo torna as aulas mais dinâmicas e contextuais, facilitando a aprendizagem, pois o aluno percebe a aplicação e a importância da matemática em problemas reais.
2. Referencial Teórico
A modelagem consiste num processo que envolve vários procedimentos. Biembengut e Hein (2003) agrupam tais procedimentos em três etapas: a interação, a matematização e o modelo matemático. Para os autores, a etapa de interação consiste no reconhecimento e na familiarização da situação-problema, ou seja, uma ambientação com o tema proposto. Posteriormente é necessária a interação dos alunos para que questões e sugestões sejam levantadas por eles. A matematização, formulação e resolução do problema surgem a partir da interação dos grupos, assim como o consequente desenvolvimento de um modelo matemático e sua validação. Para os autores, a interação consiste na contextualização do tema proposto e deve incluir uma pesquisa teórica. É necessário que a exposição seja breve e que o professor tenha conhecimento e interesse sobre o assunto. A matematização baseia-se na formulação de possibilidades de formulação de resolução de problemas, com base na modelagem matemática. Por fim, o modelo matemático emerge como consequência das etapas anteriores, envolve a
interpretação da solução e validação do modelo encontrado. A dinâmica das etapas elaboradas por Biembengut e Hein (2003) pode ser observada na Figura 1.
Figura 1. Dinâmica da Modelagem Matemática proposta por Biembengut e Hein (2003).
Fonte: Adaptado de Biembengut e Hein (2003, p. 15).
Barbosa (2001, p. 31) complementa a ideia dos autores anteriormente mencionados ao afirmar que “Modelagem é um ambiente de aprendizagem no qual os alunos são convidados a indagar e/ou investigar, por meio da Matemática, situações com referência na realidade”. E Bassanazi (2002, p. 20) menciona: “Chamaremos simplesmente de Modelo Matemático um conjunto de símbolos e relações matemáticas que representam de alguma forma o objeto estudado”.
Nos três casos de aplicação da situação-problema neste estudo a etapa de validação e surgimento de um modelo matemático ocorreu de formas distintas e em diferentes graus, porém todos os alunos e bolsistas desenvolveram algum modelo matemático para mostrar os resultados encontrados.
3. Metodologia e resultados
A situação-problema desenvolvida se enquadra no Segundo Nível de acordo com Barbosa (2003). Como já mencionado, nesse nível os alunos se deparam com um problema proposto pelo professor, mas têm a liberdade da busca de dados. Para elaborar o planejamento da atividade, os pesquisados seguiram as etapas sugeridas por Burak e Aragão (2012), exceto a primeira, já que o tema foi proposto pelo professor, não pelos alunos.
O estudo foi desenvolvido inicialmente pelos bolsistas que integram a pesquisa, estando estes vinculados aos cursos de Engenharia Civil, Engenharia Elétrica e Arquitetura. Essa atividade inicial proporcionou ao grupo de pesquisa a verificação da potencial aprendizagem e envolvimento dos alunos com a situação-problema. Depois ela
também foi aplicada a um aluno Bolsista de Iniciação Científica Júnior (BIC Jr) e, por fim, a uma turma do ensino médio em uma escola privada do Vale Taquari.
O desenvolvimento da atividade de modelagem iniciou, nos três momentos, com uma explanação da situação-problema e houve a entrega da planta da casa. Essa etapa é caracterizada como interação conforme descrito por Biembengut e Hein (2003). Na Figura 2 está representada a vista frontal da casa, na qual estão expressas as medidas de altura, aba e altura do espelho. Após essa etapa seguiu-se a coleta de dados, a matematização e formulação do modelo.
Figura 2. Representação frontal da casa.
Fonte: A autora, 2015.
4. Atividade de modelagem com alunos bolsistas de iniciação científica da graduação
Após algumas discussões teóricas acerca da modelagem matemática foi apresentada a situação-problema para os bolsistas de iniciação científica, participantes do grupo de modelagem matemática. Houve liberdade quanto à pesquisa de dados (tamanho de telhas e custos) seja em loja de materiais de construção ou na internet. O grupo de bolsistas desenvolveu possibilidades usando três, quatro, cinco e seis telhas de fibrocimento, de 1,22 até 2,44 metros de comprimento e 1,10 de largura, também problematizou o valor necessário de transpasse nas telhas, verificando valores com profissionais da área de construção civil.
Ao iniciar o estudo das diferentes combinações de telhas, necessitaram do cálculo da diagonal do telhado, ou seja, o comprimento da extremidade do telhado, surgindo assim uma fórmula que possibilitasse o cálculo da diagonal de qualquer telhado. Na sequência dos cálculos, os bolsistas, determinaram fórmulas para o número de telhas mínimo e
máximo, dependendo do transpasse das telhas (transpasse mínimo de 10 cm e máximo de 20 cm).
No modelo estabelecido, os alunos calcularam as várias possibilidades de utilização de telhas para minimizar as perdas. Esse fato é ressaltado por Burak (2012), quando menciona que na etapa da validação do modelo, é possível validar aspectos matemáticos e também não matemáticos. Nesse processo os alunos levaram em conta aspectos econômicos e ambientais: econômicos - para a minimização de perdas de material e ambientais - para minimização do lixo na obra.
Os bolsistas, ao desenvolverem tal modelo se integraram consideravelmente na situação-problema e desenvolveram um software capaz de calcular as combinações de telhas e o custo necessário para construção do telhado. Inicialmente os cálculos eram elaborados por planilha no software Excel. A ideia foi bem recebida pelos professores orientadores da pesquisa, sendo que eles instigaram os bolsistas a desenvolver um software próprio para a resolução de problemas, assim surgiu o recurso apresentado na Figura 3.
Figura 3. Tela de abertura do software.
Na tela inicial escolhe-se o tipo de telha, o comprimento e a largura da construção, o comprimento da aba, o ângulo de inclinação do telhado e os transpasses mínimos e máximos permitidos. Em seguida solicita-se que o calculo seja realizado. O software dá resultados de diferentes combinações de telhas e seus preços. Essa é a primeira versão desenvolvida e ainda está em fase de testes, consequentes atualizações e melhorias estão sendo implementadas.
5. Atividade de modelagem com aluno bolsista de iniciação científica júnior
O bolsista de iniciação científica júnior é um aluno do ensino médio indicado pelo professor orientador durante a Feira de Ciências da Univates. Nesse evento ocorre a premiação dos melhores trabalhos com a bolsa BIC Jr – CNPq. O aluno participa da implementação e dos estudos que são realizados na pesquisa científica. A solução-problema foi apresentada a este bolsista da mesma forma que com os demais alunos bolsistas, ou seja, após a apresentação do problema (planta da casa) deu-se a liberdade de busca de dados em variadas fontes.
O aluno mostrou-se motivado a solucionar o problema, porém apresentou dificuldades na compreensão da situação. Neste momento o professor orientador sugeriu a construção de uma maquete por parte do aluno, para melhor visualização do problema em questão. Como mencionado por Biembengut e Hein (2003, p. 18) “o que significa ir além das simples resoluções de questões matemáticas, muitas vezes sem significado para o aluno, e levá-lo a adquirir uma melhor compreensão tanto da teoria matemática quanto a natureza do problema a ser modelado”. Ou seja, a construção de uma maquete, um instrumento tridimensional capaz de observações e conclusões acerca do problema questionado, vai além da matemática e possibilita conclusões únicas ao aluno. Com essa etapa concluída o aluno conseguiu desenvolver um modelo matemático a partir do cálculo da diagonal do telhado, utilizando transpasses de telhas semelhante ao dos bolsistas de graduação, que satisfizeram as exigências dos orientadores. O aluno concluiu o modelo com um telhado de baixo custo, um dos objetivos da situação-problema.
6. Atividade de modelagem com alunos do ensino médio
A terceira etapa de aplicação da situação-problema do telhado ocorreu em uma turma de uma escola particular da cidade de Lajeado. A divisão da turma foi feita em grupos de 4 a 5 integrantes para interação, discussão e planejamento de qual plano
utilizariam para a resolução do problema. Os pesquisadores somente interviram quando houve a necessidade por parte dos alunos para sanar dúvidas. Todos os planejamentos foram observados pelos pesquisadores em um diário de campo, feito pelos alunos, onde eles anotavam todas suas ações para posterior análise.
As falas, apresentações, discussões em busca de soluções e a aplicação de fórmulas foram gravadas e auxiliaram o grupo de pesquisa na análise e conclusões acerca da aplicação da modelagem matemática. Como resultado emergiram vários modelos advindos de recursos matemáticos, tais como: cálculos com regra de três, relações trigonométricas, relação de Pitágoras. Alguns grupos adicionaram ao cálculo itens complementares da construção civil, como por exemplo, a quantidade de parafusos necessários no telhado e a mão de obra necessária para a construção. Outros salientaram a importância da espessura da telha, optando por uma mais espessa, alegando que aumentaria a vida útil do telhado.
Em um questionário final, a maioria da turma se mostrou motivada com a utilização da matemática que exploraram na sala de aula vinculada à realidade. Para Biembengut e Hein (2003, p. 18) “a modelagem matemática no ensino pode ser um caminho para despertar no aluno interesse por tópicos matemáticos que ele ainda desconhece ao mesmo tempo que aprende a arte de modelar, matematicamente”. Tal fato pode ocorrer porque o aluno tem a oportunidade de estudar as situações por meio de pesquisa, o que desenvolve seu interesse e desperta seu senso crítico.
7. Considerações Finais
Através da análise dos relatos dos três diferentes grupos em que foi aplicada a situação-problema observou-se, em todos, a motivação em realizar as atividades. O desafio para os professores foi orientar e instigar a imaginação dos alunos com diferentes níveis de escolaridade, porém foi um trabalho exitoso levando em conta que todos conseguiram alcançar o objetivo final que era o de avaliar o número de telhas necessárias para a cobertura do telhado e o custo da implementação.
Atividades como a apresentada neste relato proporcionam aos alunos aula mais dinâmicas e contextuais, abandonando a rigidez do ensino tradicional. Os alunos, ao se depararem com casos reais, ficam mais propensos à interação e motivação em sala de aula, além de assimilarem com mais facilidade a matemática envolvida. Atividades desse tipo são pouco trabalhadas no ensino médio e em cursos de graduação. Neste sentido, a
modelagem pode ser uma possibilidade de auxiliar nos processos de ensino e de aprendizagem da matemática.
8. Referências
BARBOSA, Jonei Cerqueira. Modelagem Matemática na sala de aula. Perspectiva, Erechim (RS), v. 27, n. 98, p. 65-74, junho/2003.
BARBOSA, Jonei Cerqueira. Modelagem Matemática: concepções e experiências de futuros professores. Tese (Doutorado em Educação Matemática). 253f. Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2001.
BASSANEZI, Rodney Carlos. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática. São Paulo, Contexto, 2002.
BIEMBENGUT, Maria Sallet; HEIN, Nelson. Modelagem matemática no ensino. São Paulo, Contexto, 2003.
BURAK, Dionísio; ARAGÃO, Rosália Maria Ribeiro de. A modelagem matemática e
