CAP 13 GRAVITAÇÃO: Quantitativamente, cada partícula atrai qualquer outra partícula com uma força gravitacional cuja intensidade é dada por: F r r

CAP 13 – GRAVITAÇÃO: 13.1. INTRODUÇÃO:

A gravitação explica a força que atua entre os corpos devido as suas massas.

A força gravitacional entre um caminhão e um grande edifício é insignificante, mas a força que nos mantém presos a Terra é bastante significativa, assim como a interação entre os corpos celestes (planetas, estrelas, galáxias).

13.2. LEI DE NEWTON DA GRAVITAÇÃO:

1665 – Isaac Newton (23) mostrou que a mesma força que atrai a Lua atrai também os demais corpos (maçã). Esta tendência dos corpos de se moverem uns em direção aos outros é chamada de gravitação.

Quantitativamente, cada partícula atrai qualquer outra partícula com uma força gravitacional cuja intensidade é dada por:

2 2 1 r m m G F=

onde

m

1e

m

2são as massas das partículas 1 e 2.

2 2 11 . 10 67 , 6 kg m N x G= − ou ₂ 3 11 . 10 67 , 6 s kg m x

G= − é a constante gravitacional de Newton. ré a distância entre as partículas.

13.3. GRAVITAÇÃO E O PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO:

Princípio geral que diz que o efeito resultante e a soma dos efeitos individuais.

∑

=

=

n i i res

F

F

2 1 , 1

r

r

...

3 , 1 2 , 1 , 1

=

F

+

F

+

F

_res

r

r

r

A força gravitacional de um objeto real de dimensões finitas sobre uma partícula será:

∫

=

d

F

F

r

r

1 Exercício:

r

r

F

r

F

r

−

1

m

_m

₂ i F_1, r 2 , 1

r

r

2 , 1

F

r

3 , 1

F

r

1

m

2

m

3

m

3 , 1

r

r

3 , 2

r

r

1 , res

F

r

1E. Qual deve ser a separação entre uma partícula de 5,2kg e uma partícula de 2,4kg para que a sua atração gravitacional tenha uma intensidade de 2,3x10-12N? (resp. 19m).

8P. Três esferas de 5,0kg estão localizadas no plano xy como mostrado na figura ao lado. Qual a intensidade da força gravitacional resultante sobre a esfera na origem provocada pelas outras duas esferas? (2,12x10-8N ; 600)

13.4. GRAVITAÇÃO PRÓXIMA A SUPERFÍCIE DA TERRA:

A intensidade da força gravitacional da Terra sobre uma partícula de massa m, localizada fora da Terra a uma distância r do centro da Terra é:

2

r

Mm

G

F

=

Pela 2a Lei de Newton,

F

=

ma

g, temos:

2

r

GM

a

_g

=

g

a

_{varia com a altitude:}

Altitude (km)

g

a

(m/s2)

Exemplo

0 9,83 Superfície média da Terra 8,8 9,80 Monte Everest

36,6 9,71 Balão tripulado mais alto 400 8,70 Órbita do ônibus espacial 35700 0,225 Satélites de comunicação A relação entre

a

ge

g

)

(

_c g

m

a

ma

N

−

=

−

)

(

_c g

m

a

ma

mg

−

=

−

)

(

_c g

a

a

g

−

=

−

sabemos que

R

R

R

R

v

a

_c 2 2 2 2

ω

ω

₌

=

=

2 m

m

3

,

0

m

4

,

0

y x g

a

difere de

g

pois:

• A Terra não é uniforme;

• Não é uma esfera perfeita;

• A Terra está girando.

mag

R

c

ar N

R

a

a

a

g

=

_g

−

_c

=

_g

−

ω

2

R

a

g

=

_g

−

ω

2

como R=_6,37x₁₀6m

_e

s rad x s T 5 10 27 , 7 86400 ) 14 , 3 ( 2 2 _{= =} − = π ω 2 6 2 1 5 2 / 8 , 9 034 , 0 83 , 9 ) 10 37 , 6 .( ) 10 27 , 7 ( / 83 , 9 s m g m x s x s m g = − = − = − −

13.5. GRAVITAÇÃO NO INTERIOR DA TERRA:

No caso da Terra, a força sobre a partícula aumenta quando a partícula começa a descer, atinge um valor máximo numa certa profundidade e começa a diminuir.

2 int

r

m

M

G

F

=

3 int int

3

4

r

V

M

=

ρ

=

ρ

π

logo:

F

Gm

r

r

r

3

4

π

ρ

=

Verifica-se que a intensidade da força depende linearmente da distância r em relação ao centro da Terra. Representando

Gm

=

k

3

4

π

ρ

teremos:

r

k

F

r

r

−

=

onde o sinal (-) é devido a

F

r

e

r

r

terem sentidos contrários 13.6. ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL (U):

A Energia Potencial Gravitacional diminui com a redução da separação entre os corpos. Como U=0 no infinito, então U<0 para qualquer separação finita e se tornam cada vez mais negativa quando as partículas se aproximam.

A energia potencial está relacionada com a força gravitacional pela expressão:

dr

dU

F

=

−

logo U =−

∫

F r drr r ). ( com

F

(

r

).

d

r

r

=

F

(

r

)

dr

cos

θ

r

Assim, ∞ ∞









−

−

=

−

=

−

=

−

=

_∫

_∫

_∫

R R

r

GMm

dr

r

GMm

dr

r

GMm

dr

r

F

U

(

)

₂

1

₂

1

Aplicando os limites de integração,

R GMm R GMm U _=−            − − ∞ − − = 1 1

W R GMm U =− = r

• Velocidade de Escape:

É a velocidade inicial mínima que fará com que um corpo arremessado se mova sempre para cima.

Seja um corpo de massa m arremessado para cima com a velocidade de escape

v

: Quando ele sai da Terra : 2

2 1

mv K = , Quando ele atinge o infinito:

R GMm U =− Assim:

K

+

U

=

0

0 2 1 2− = R GMm mv

R

GM

v

R

GMm

mv

2

2

1

_{2 2}

=

⇒

=

logo

R

GM

v

=

2

é a velocidade de escape. Ex. Calcule a velocidade de escape da Terra: (11.190m/s)

kg

x

M

=

5

,

98

10

24 ;

R

=

6

,

37

x

10

6

m

;

G

=

6

,

67

x

10

−11

m

3

/

kg

.

s

2

É mais fácil atingir a velocidade de escape disparando um corpo na direção em que a Terra se move.

13.7. PLANETAS E SATÉLITES: LEIS DE KEPLER.

O movimento dos planetas é motivo de estudos e observações desde muito tempo atrás, como por exemplo, o movimento de Marte, formando um laço em sua órbita.

• Johanes Kepler (1571-1630) – organizou as leis empíricas que governam estes movimentos.

• Tycho Brahe (1546 – 1601) – astrônomo que compilou uma extensa base de dados que auxiliou Kepler a deduzir as três leis do movimento planetário (lei das órbitas, das áreas e dos períodos).

• Newton (1642 – 1727) – mostrou que sua lei da gravitação conduz às leis de Kepler.

1. A Lei da Órbitas: Todos os planetas se movem em órbitas elípticas, com o Sol em um de seus focos. F= foco da elipse Ra = distância do afélio Rp = distância do periélio e = excentricidade da elipse M = Massa do Sol m = massa do planeta

a = semi-eixo maior da elipse b = semi-eixo menor da elipse

Uma excentricidade nula corresponde a um círculo. A órbita dos planetas são quase círculos. Para a Terra e=0,0167.

2. A Lei das Áreas: Uma linha que liga um

planeta ao Sol varre áreas iguais no plano da órbita em tempos iguais, ou seja:

k

dt

dA

₌

(constante)

Para a figura ao lado, a1=a2=a3 e t1=t2=t3.

) ( 2 1 _∆θ = ∆A r r

ω

θ

2 2

2

1

2

1

r

dt

d

r

dt

dA

₌

₌

ω

2

2

1

r

dt

dA

=

Em termos da quantidade de movimento angular L;

ω

ω

2

)

(

)

(

mv

r

mr

mr

r

rp

L

=

_⊥

=

_⊥

=

=

Assim:

m

L

dt

dA

m

L

mr

m

r

dt

dA

2

2

2

1

2

1

2

=

2

=

_⇒

=

=

ω

ω

3. A Lei dos Períodos: O quadrado do período de qualquer planeta é proporcional

ao cubo do semi-eixo maior da sua órbita.

Considerando uma órbita circular de raio r, e aplicando a 2a lei de Newton temos:

ma

F

=

r r m r v m ma r GMm c 2 2 2 2

ω

= = =

então

GM

=

ω

2

r

3 sabemos que ω π π ω₌2 ⇒T =2 T assim; 3 2 2 3 2 4 2 r T r T GM π = π      =

T

r

GM

π





=









2 2

4

3

,

que é a lei dos períodos.

Para uma órbita elíptica, basta trocarmos o r3 por

a

3:

T

a

GM

π





=









2 2

4

3

Isto implica que a razão 3 2 a

T _{tem aproximadamente os mesmos valores para todos os} planetas.

Exercício Resolvido 14.6 (cometa Halley) (1986) T=76anos Rp=8,9x1010m

?

a

R

=

p a R +R =2 a

Usando a 3a Lei de Kepler (encontra-se a) e, em seguida Ra.

Qual a excentricidade da órbita do cometa?

p

ea

= −

a

R

(encontre

e

).

13.8. SATÉLITES: Órbitas e Energias.

A energia mecânica de um satélite em órbita da Terra se conserva. Como a massa do satélite é muito menor que a da Terra, atribui-se U e E do sistema satélite-Terra apenas ao satélite. Energia potencial:

r

GMm

U

=

−

Energia Cinética:

Usando novamente a 2a Lei de Newton:

F

=

ma

c

r GM v r v m r GMm_{= ⇒} 2 ₌ 2 2 usando 2 2 1 mv K =

r

GMm

K

2

=

Comparando as energias vemos que:

Planeta ₍₁₀10 ₎ m a T(anos) (10 34 2/ 3) 3 2 m anos a T − Mercúrio 5,79 0,241 2,99 Terra 15 1,0 2,96 Marte 22,8 1,88 2,98 Júpiter 77,8 11,9 3,01

r

é o raio da órbita (circular)

M

é a massa da Terra

2

U

K

=

−

(órbita circular) A energia mecânica será:

r GMm E r GMm r GMm U K E 2 2 − = − = + = ou seja,

K

E

=

−

Se a órbita for elíptica,

a GMm E 2 − = Exercícios:

1. Qual deve ser a separação entre uma partícula de 5,2 kg e uma partícula de 2,4kg para que a atração gravitacional entre elas tenha um módulo de 2,3x10-12N?

2. Tanto o Sol quanto a Terra exercem uma força gravitacional sobre a Lua. Qual é a razão FSol/FTerra entre estas duas forças? (A distância média Sol-Lua é igual a

distância média Sol-Terra).

4. Na figura, três esferas de 5,00kg estão localizadas a distância d₁=0,300m e

m

d₂ =0,400 . Quais são (a) o módulo e (b) o sentido (em relação ao sentido positivo do eixo x) da força gravitacioan resultante sobre a esfera B de vida às esferas A e C?

6. Na figura ao lado, um quadrado com 20,0cm de lado é formado por quatro esferas de massas m₁ =5,00g,

m

₂

=

3

,

00

g

, m₃ =1,00g

e m₄ =5,00g. Em notação de vetores unitário, qual é a força gravitacional resultante exercida por elas sobre uma esfera central com massa m5 =2,50g?

9. Conforme é mostrado na figura ao lado, duas esferas de massas

m e uma terceira esfera de massa M formam um triângulo

eqüilátero, e uma quarta esfera de massa m4 se encontra o centro

do triângulo. A força gravitacional resultante sobre essa esfera central exercida pelas outras três esferas é nula. (a) Quanto vale M em termos de m? (b) Se dobrássemos o valor de m4 qual seria

então o módulo da força gravitacional resultante sobre a esfera central?

15. Em que altitude acima da superfície da Terra a aceleração gravitacional é igual a 4,9m/s2?

17. Um modelo para um certo planeta considera-o possuindo um núcleo de raio R e massa M circundado por uma camada externa de raio interno R e externo 2R e massa 4M. Se

M

=

4

,

1

x

10

24

kg

e

R

=

6

,

0

x

10

6

m

, qual é a aceleração

m

3

,

0

m

4

,

0

y x

gravitacional de uma partícula nos pontos a distâncias (a) R e (b) 3R do centro de massa do planeta?

21. Uma esfera sólida uniforme possui uma massa de

1

,

0

x

10

4

kg

e um raio de 1,0m. Qual é o módulo da força gravitacional exercida pela esfera sobre uma partícula de massa m localizada a uma distância de (a) 1,5m e (b) 0,5m do centro de massa da esfera?

23. A figura ao lado mostra, fora de escala, um seção transversal através do interior da Terra. Em vez de ser totalmente uniforme, a Terra está dividida em três zonas: uma crosta, um manto e um núcleo interno. As dimensões destas três zonas e as massas contidas em seus interiores são mostradas na figura. A Terra possui uma massa de

kg x1024 98 ,

5 e um raio de 6370km. Despreze a

rotação da Terra e suponha que ela seja esférica. (a) Calcule

a

_gna sua superfície. (b) Suponha que seja feita uma perfuração até a interface crosta-manto a uma profundidade de 25,0km; qual seria o valor de

a

gno fundo do buraco? (c)

Suponha que a Terra fosse uma esfera uniforme com a mesma massa total e o mesmo tamanho. Qual seria o valor de

a

g a uma profundidade de 25km?

(Medidas precisas de

a

_gsão sondagens sensíveis da estrutura interior da Terra, embora os resultados possam ser mascarados pelas variações locais na distribuição de massa.)

31. As três esferas da figura ao lado, com massas g

m_A =80 , m_B =10g, mC =20g, têm seus centros sobre uma linha, com L=12cm e d =4cm. Você desloca a esfera B ao longo da linha até que sua separação centro a centro da esfera C

seja

d

=

4

cm

. Qual é o trabalho realizado sobre a esfera B (a) por você? e (b) pela força gravitacional sobre B devida as esferas A e C?

35. Duas estrelas de nêutrons estão separadas por uma distância de x 10m 10 0 ,

1 . Cada

uma delas tem uma massa de 1,0x1030kg e um raio de 1,0x105m. Elas se encontram inicialmente em repouso relativo. Conforme as medidas nesse referencial, com que velocidades elas estarão se movendo quando (a) a separação entre elas for metade do seu valor inicial e, (b) elas estiverem na iminência de colidir?

39. O satélite de Marte, Phobos, se move em uma órbita aproximadamente circular de raio

9

,

4

x

10

6

m

, com um período de 7h 39min. Calcule a massa de Marte a partir destas informações.

41. O Sol, que está a

2

,

2

x

10

20

m

do centro da Via Láctea, completa uma revolução em torno deste centro a cada

2

,

5

x

10

8

anos

. Supondo que cada estrela na galáxia possua uma massa igual a massa do Sol de

2

,

0

x

10

30

kg

, que as estrelas estão

distribuídas uniformemente em torno do centro da galáxia e que o Sol se encontre na borda dessa esfera, estime o número de estrelas na Galáxia.

44. O centro do Sol está localizado em um dos focos da órbita da Terra. A que distância desse foco se encontro o outro foco, (a) em metros e (b) em termos de raio solar,

6

,

96

x

10

8

m

? A excentricidade da órbita da Terra é 0,0167 e o semi-eixo maior é igual a

1

,

50

x

10

11

m

.

45. Um satélite em órbita elíptica, está a 360km acima da superfície da Terra em seu ponto mais afastado e a 180km no seu ponto mais próximo. Calcule (a) o semi-eixo maior e (b) a excentricidade da órbita.

48. Em 1943, a espaçonave Galileu enviou à Terra uma imagem do asteróide 243 Ida e de uma minúscula lua (agora conhecida como Dactyl), o primeiro exemplo confirmado de um sistema asteróide-lua. A lua, que tem 1,5km de largura, está a 100km do centro do asteróide, que possui 55km de comprimento. A forma da órbita da lua não é bem conhecida; suponha que ela seja circular com um período de 27h. (a) Qual é a massa do asteróide? (b) O volume do asteróide, medido a partir das imagens da Galileu é de 14100km3. Qual é a densidade (massa por unidade de volume) do asteróide?

49. Em um sistema de estrelas binárias, cada estrela possui a mesma massa do Sol e elas giram em torno do seu centro de massa. A distância entre elas é a mesma que a distância entre a Terra e o Sol. Qual é o período de revolução delas em anos?

55. Um asteróide, cuja massa é

2

,

0

x

10

−4

kg

vezes a massa da Terra, gira em órbita circular em torno do Sol a uma distância que é o dobro da distância Terra-Sol. (a) Calcule o período de revolução do asteróide em anos. (b) Qual a razão entre a energia cinética do asteróide e a energia cinética da Terra?

59. Um satélite está em uma órbita circular de raio r em torno da Terra. A área A delimitada pela órbita de pende de r pois

A

=

π

r

2. Determine de que forma as seguintes propriedades do satélite dependem de r: (a) O período, (b) a energia cinética, (c) o momento angular e (d) a velocidade escalar.

68. Um satélite está em órbita elíptica com um período de 8,0x103s em torno de um planeta de massa 7,0x1024kg. No afélio, em um raio de 4,5x107m, a velocidade angular do satélite é de 7,158rad/s. Qual sua velocidade angular no periélio?