TCE - Escola de Engenharia
TEM - Departamento de Engenharia Mecânica
PROJETO DE GRADUAÇÃO II
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ESTUDO DO ESCOAMENTO TURBULENTO EM UM
CANAL CONVERGENTE-DIVERGENTE
' & $ %Autor(es):
LUCAS BRAGANÇA FERNANDES LOPES
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Orientador(es):
JOÃO FELIPE MITRE DE ARAUJO, Ph.D.
LUCAS BRAGANÇA FERNANDES LOPES
ESTUDO DO ESCOAMENTO TURBULENTO EM UM
CANAL CONVERGENTE-DIVERGENTE
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Engenharia Mecânica da Universidade Federal Flu-minense, como requisito parcial para obtenção do grau de Engenheiro Mecânico.
Orientador(es):
JOÃO FELIPE MITRE DE ARAUJO, Ph.D.
Niterói 6 de Julho de 2017
Ficha Catalográfica elaborada pela Biblioteca da Escola de Engenharia e Instituto de Computação da UFF
L864 Lopes, Lucas Bragança Fernandes
Estudo do escoamento turbulento em um canal convergente-divergente / Lucas Bragança Fernandes Lopes. – Niterói, RJ : [s.n.], 2017.
135 f.
Projeto Final (Bacharelado em Engenharia Mecânica) – Universidade Federal Fluminense, 2017.
Orientador: João Felipe Mitre de Araujo.
1. Mecânica dos fluidos (Engenharia). 2. Turbulência. I. Título.
Dedico este trabalho à memória de meu pai, José Luiz Nunes Lopes, e de meus avós, Antônio Rodrigues Fernandes, Iza dos Santos Bragança e José Lopes. Dedico também à
minha mãe, Isaura Bragança Fernandes Lopes, e minha vó, Neusa Dirce Nunes Lopes, mulheres guerreiras que sempre foram capazes de seguir em frente na vida apesar de todas
“Se fui capaz de enxergar mais longe, foi por estar de pé sobre o ombro de gigantes.” Isaac Newton, 1676. Tenho muito a agradecer a todos que durante minha vida contribuíram direta ou indiretamente em minha formação moral e acadêmica que hoje culminam na defesa do título de engenheiro mecânico.
Agradeço profundamente ao meu avô, Antônio, por todo o seu suor derramado em vida. Fui sempre capaz de me dedicar exclusivamente aos estudos e ao que gosto sem nunca ser forçado, por pressão financeira, a abandonar essa trajetória. Reconheço que não me insiro na realidade da maior parte das famílias brasileiras, que infelizmente precisam batalhar uma guerra todo dia. Valorizo enormemente o seu legado e serei eternamente grato por tudo que o senhor fez por nossa família.
Agradeço aos meus pais, Isaura e José Luiz, por me darem a melhor educação que um filho poderia pedir; por serem sempre pais presentes, carinhosos, encorajadores e inspiradores. Muito obrigado por todas as noites acordadas dedicadas ao meu cuidado, pela prioridade máxima sempre dada aos meus estudos, pela formação ética e moral adquirida e pelo carinho e amor constante. Amo vocês com todas as minhas forças.
Agradeço aos meus avós, José e Neusa, por sempre terem sido dois anjos em minha vida. Independente de qualquer situação, sempre soube que vocês estariam lá para me ajudar, conversar e prover aconchego. Sinto-me um privilegiado em poder ter vocês como meus avós. Gostaria de agradecer em especial à minha vó, Neusa, por ter estado comigo durante todos esses anos de universidade. Sem dúvidas o seu suporte onipresente fez esse longo percurso ter sido muito mais fácil de caminhar. Não existe amor mais gostoso que o de vó. Te amo muito.
Agradeço aos meus irmãos, Juliana e Mateus, fiéis companheiros sempre ao meu lado compartilhando as alegrias e tristezas da vida. Vocês me trazem um orgulho imenso e me inspiram a sempre seguir em frente batalhando pelos meus sonhos. Muito obrigado por tudo meus irmãos.
Agradeço a minha namorada, Camila, por ser uma pessoa extraordinária com a qual tenho o imenso prazer de conviver. Muito obrigado pelo carinho, suporte e por sempre acreditar no meu potencial. Nunca poderia ter escolhido uma pessoa melhor para partilhar todos os momentos da minha vida.
muitas vezes de forma pequena e singela, conseguiram contribuir enormemente em minha formação. Vocês são grandes mestres. Parafraseando Isaac Newton, só fui capaz de enxergar além porque pude me erguer sobre o conhecimento passado por cada um de vocês. Agradeço especialmente aos professores João Felipe Mitre, Luiz Eduardo Bittencourt e Roney Leon Thompson por sempre terem sido mentores excepcionais e tornarem esse trabalho possível.
Agradeço a minha turma que devido a sua forte união tornou a experiência na universidade mais divertida. Agradeço em especial aos meus amigos Bernardo, Daniel, Lucas, Matheus e Pedro pela companhia no dia a dia, pelas mesas-redondas sobre os tópico mais diversos imagináveis e inimagináveis e pelo apoio em todos os momentos. Muito do que aprendi durante todo esse período na universidade partiu de conversas despretensiosas e sempre divertidas com vocês. Tenho certeza que por onde caminharem farão sucesso e deixarão suas marcas. Serei sempre grato pelos ensinamentos, suporte e amizade.
Por fim, agradeço ao povo brasileiro por financiar meu estudo na Universidade Federal Fluminense por todos esses anos. Acredito que dei o meu melhor e espero retribuir um dia o valor investido na minha pessoa.
O presente trabalho busca fazer um estudo da literatura vigente sobre os escoamentos turbulentos e como estes são geralmente modelados e resolvidos numericamente. Dado a popularidade e posição consolidada dos modelos RANS na indústria, em especial dos que se baseiam no conceito de viscosidade turbulenta, simulações numéricas foram conduzidas no OpenFOAM e ANSYS CFX para avaliar a habilidade de tais modelos em prever o escoamento em um canal convergente-divergente. Resultados de uma simulação DNS para a mesma geometria foram utilizados para aferição dos erros. Os modelos escolhidos, por serem os mais conhecidos e validados, foram o k-, k-ω e SST k-ω. Os resultados atingidos mostraram que, pelo menos para a geometria em análise, os modelos conseguiram produzir bons resultados de uma forma geral. Ao final, avaliou-se a validade da hipótese de Boussinesq para o escoamento através de um índice normalizado capaz de quantificar a não linearidade entre o tensor de Reynolds e sua equação constitutiva. Os resultados obtidos demonstraram que tal formulação está longe de ser completa e que, consequentemente, o tensor de Reynolds apresenta uma dependência com tensores do escoamento médio muito além do que a proposta por Boussinesq em 1877.
Abstract
The present work aims to conduct a study on the standing literature about turbulent flows and how they are usually modeled and solved numerically. Owing to the great popularity and consolidated role of RANS models in industry, notably the ones based on the concept of eddy-viscosity, numerical simulations were performed on OpenFOAM and ANSYS
CFX to assess the capability of such models to predict the flow in a convergent-divergent
channel. Results coming from a DNS simulation of the same geometry have been used to gauge the errors obtained. The models chosen to be simulated, being the most known and validated by other studies, were the k-, k-ω and SST k-ω. The results accomplished in the end have shown that, at least for geometry under examination, all models were able to yield good results throughout. Lastly, the Boussinesq hypothesis was tested in the flow by means of a normalized index to quantify the non-linearity between the Reynolds stress tensor and its constitutive equation. The results displayed that this formulation is far from being complete and, therefore, the Reynolds stress tensor exhibits a dependence on mean kinematic tensors in a greater extent than the one proposed by Boussinesq in 1877.
Figura 1 – Aerofólio NACA 4412 em um túnel de vento.. . . 21
Figura 2 – Zona de instabilidade deixada por um avião comercial. . . 27
Figura 3 – Cascata de energia em um escoamento turbulento.. . . 29
Figura 4 – Intervalos de comprimentos característicos identificados por Kolmogorov 30 Figura 5 – Influência do número de Reynolds no tamanho da escala de comprimento de Kolmogorov. . . 31
Figura 6 – Espectro de energia e esquematização da cascata de energia. . . 32
Figura 7 – Perfil da camada limite em um escoamento laminar e perfil médio em um escoamento turbulento. . . 33
Figura 8 – Diferença no comportamento evolutivo da eq. de Lorenz x(t) para duas condições iniciais diferentes. . . 37
Figura 9 – Transição do regime laminar para o turbulento da camada limite sobre uma placa plana. . . 37
Figura 10 – Decomposição da variável φ na soma de sua média e flutuação.. . . 40
Figura 11 – Média da velocidade em um escoamento turbulento (a) estatisticamente estacionário e (b) não estacionário . . . 42
Figura 12 – Média amostral do perfil de velocidade em uma camada limite . . . 42
Figura 13 – Esboço de uma malha genérica próxima à superfícies para modelos de baixo e alto Reynolds. . . 63
Figura 14 – Divisão da camada limite próxima de superfícies em escoamentos tur-bulentos . . . 63
Figura 15 – Lei da parede e resultados DNS para um canal de placa planas. . . 65
Figura 16 – Centroide P de uma célula adjacente à uma superfície. . . . 66
Figura 17 – O canal convergente-divergente. . . 72
Figura 18 – Vista ortogonal ao plano xy do canal convergente-divergente. . . 73
Figura 19 – Malha utilizada no DNS vista ortogonalmente ao plano xy (cada fileira de células é ilustrada em intervalos repetidos de 16 para cada direção). 73 Figura 20 – Regiões que compõem a fronteira do canal convergente-divergente. . . . 74
Figura 21 – Perfil de velocidade no canal. . . 76
Figura 22 – Gradiente de pressão longitudinal nas paredes do canal. . . 76
Figura 23 – Zona de escoamento reverso no canal. . . 77
Figura 24 – Desenvolvimento da camada limite no DNS para a região de gradiente de pressão adverso. . . 77
Figura 25 – Geometria do canal construída com o auxílio de CAD. . . 79
Figura 26 – Arranjo de duas células adjacentes em uma discretização por volumes finitos. . . 81
Figura 27 – Aspectos gerais das malhas de baixo Reynolds. . . 82
Figura 28 – y+ calculado na (a) parede inferior e (b) parede superior para as malhas de baixo Reynolds. . . 83
Figura 29 – Aspectos gerais das malhas de alto Reynolds. . . 84
Figura 30 – y+ calculado na (a) parede inferior e (b) parede superior para as malhas de alto Reynolds. . . 85
Figura 31 – Perfil de velocidade na entrada do canal. . . 86
Figura 32 – Fluxograma do algoritmo SIMPLE. . . 93
Figura 33 – Resíduos da simulação no CFX. . . . 94
Figura 34 – Resíduos da simulação no OpenFOAM. . . . 95
Figura 35 – Seções onde o campo de velocidade foi amostrado. . . 95
Figura 36 – Seções onde o campo de velocidade foi amostrado com o intuito de captar o perfil da camada limite nos modelos k-ω e SST k-ω. . . . 96
Figura 37 – Mudança de coordenadas utilizada na parede inferior para calcular a velocidade tangencial (ut) e ortogonal (un) na camada limite para os modelos k-ω e SST k-ω. . . . 96
Figura 38 – Distribuição espacial de p para o modelo k- no (a) CFX e (b) OpenFOAM. 97 Figura 39 – Distribuição espacial de ux para o modelo k- no (a) CFX e (b) Open-FOAM e valores médios do (c) DNS. . . . 98
Figura 40 – Distribuição espacial de uy para o modelo k- no (a) CFX e (b) Open-FOAM e valores médios do (c) DNS. . . . 99
Figura 41 – Velocidade na linha de centro do canal para o modelo k- e valores médios do DNS.. . . 100
Figura 42 – Velocidade ux amostrada em 12 seções transversais do canal para o modelo k- e valores médios do DNS. . . . 101
Figura 43 – Velocidade uy amostrada em 12 seções transversais do canal para o modelo k- e valores médios do DNS. . . . 102
Figura 44 – Coeficiente de pressão Cp para o modelo k- e valores médios do DNS na (a) parede inferior e (b) parede superior. . . 103
Figura 45 – Coeficiente de pressão Cf para o modelo k- e valores médios do DNS na (a) parede inferior e (b) parede superior. . . 103
Figura 46 – Perfil de velocidade do DNS, adimensionalizado conforme a formulação padrão de função de parede, em doze seções da parede inferior.. . . 104
Figura 47 – Perfil de velocidade do DNS, adimensionalizado conforme a formulação padrão de função de parede, em doze seções da parede superior. . . 105
Figura 48 – Distribuição espacial de p para o modelo k-ω no (a) CFX e (b) OpenFOAM.106 Figura 49 – Distribuição espacial de ux para o modelo k-ω no (a) CFX e (b) Open-FOAM e valores médios do (c) DNS. . . . 107
FOAM e valores médios do (c) DNS. . . . 108
Figura 51 – Velocidade na linha de centro do canal para o modelo k-ω e valores médios do DNS.. . . 109
Figura 52 – Velocidade ux amostrada em 12 seções transversais do canal para o modelo k-ω e valores médios do DNS. . . . 110
Figura 53 – Velocidade uy amostrada em 12 seções transversais do canal para o modelo k-ω e valores médios do DNS. . . . 111
Figura 54 – Velocidade ut amostrada em 12 seções da parede inferior para o modelo
k-ω e valores médios do DNS. . . . 112
Figura 55 – Velocidade un amostrada em 12 seções da parede inferior para o modelo
k-ω e valores médios do DNS. . . . 113
Figura 56 – Velocidade utamostrada em 12 seções da parede superior para o modelo
k-ω e valores médios do DNS. . . . 114
Figura 57 – Velocidade unamostrada em 12 seções da parede superior para o modelo
k-ω e valores médios do DNS. . . . 115
Figura 58 – Coeficiente de pressão Cp para o modelo k-ω e valores médios do DNS na (a) parede inferior e (b) parede superior. . . 116
Figura 59 – Coeficiente de pressão Cf para o modelo k-ω e valores médios do DNS na (a) parede inferior e (b) parede superior. . . 116
Figura 60 – Distribuição espacial de p para o modelo SST k-ω no (a) CFX e (b)
OpenFOAM. . . . 117
Figura 61 – Distribuição espacial de ux para o modelo SST k-ω no (a) CFX e (b)
OpenFOAM e valores médios do (c) DNS. . . . 118
Figura 62 – Distribuição espacial de uy para o modelo SST k-ω no (a) CFX e (b)
OpenFOAM e valores médios do (c) DNS. . . . 119
Figura 63 – Velocidade na linha de centro do canal para o modelo SST k-ω e valores médios do DNS.. . . 120
Figura 64 – Velocidade ux amostrada em 12 seções transversais do canal para o modelo SST k-ω e valores médios do DNS. . . . 121
Figura 65 – Velocidade uy amostrada em 12 seções transversais do canal para o modelo SST k-ω e valores médios do DNS. . . . 122
Figura 66 – Velocidade ut amostrada em 12 seções da parede inferior para o modelo SST k-ω e valores médios do DNS. . . . 123
Figura 67 – Velocidade un amostrada em 12 seções da parede inferior para o modelo SST k-ω e valores médios do DNS. . . . 124
Figura 68 – Velocidade utamostrada em 12 seções da parede superior para o modelo SST k-ω e valores médios do DNS. . . . 125
Figura 69 – Velocidade unamostrada em 12 seções da parede superior para o modelo SST k-ω e valores médios do DNS. . . . 126
Figura 70 – Camada limite na região de separação para o modelo SST k-ω.. . . 127
Figura 71 – Coeficiente de pressão Cp para o modelo SST k-ω e valores médios do DNS na (a) parede inferior e (b) parede superior. . . 127
Figura 72 – Coeficiente de pressão Cf para o modelo SST k-ω e valores médios do DNS na (a) parede inferior e (b) parede superior. . . 127
Figura 73 – Distribuição espacial do coeficiente α calculado usando os dados do DNS.128
Figura 74 – Distribuição espacial de 2νt calculada no CFX nos modelos (a) k-, (b)
k-ω e (c) SST k-ω. . . . 129
Figura 75 – Subdivisão do canal em duas regiões baseado na variável ˆy. . . . 129
Figura 76 – Histograma exibindo a frequência dos valores de α calculado para o escoamento no canal. . . 130
Figura 77 – Histograma exibindo a frequência dos valores ótimos de Cµ calculado para o escoamento no canal. . . 131
Figura 78 – Distribuição espacial do coeficiente RI no canal. . . 131 Figura 79 – Histograma exibindo a frequência de RI calculado para o escoamento
no canal.. . . 132
Tabela 1 – Escoamentos turbulentos clássicos. . . 26
Tabela 2 – Modelos RANS usualmente encontrados em pacotes CFD. . . 47
Tabela 3 – Descrição dos termos na equação de transporte de k. . . . 53
Tabela 4 – Coeficientes de fechamento do modelo k-. . . . 55
Tabela 5 – Coeficientes de fechamento do modelo k-ω . . . 57
Tabela 6 – Coeficientes de fechamento do modelo SST k-ω. . . . 58
Tabela 7 – Descrição dos tensores presentes na equação de transporte do tensor de Reynolds. . . 61
Tabela 8 – Conjunto de bases tensoriais estudadas por Thompson, Mompean e Thais (2010) para a descrição do tensor de Reynolds. . . 70
Tabela 9 – Dimensões do canal. . . 73
Tabela 10 – Divisões na malha. . . 74
Tabela 11 – Regiões de fronteira do canal e seus respectivos nomes. . . 74
Tabela 12 – Propriedades do fluido. . . 75
Tabela 13 – Campos médios fornecidos pelo DNS. . . 75
Tabela 14 – Dados técnicos do computador onde as simulações ocorreram. . . 78
Tabela 15 – Malhas de baixo Reynolds construídas para o estudo de convergência. . 81
Tabela 16 – Parâmetros de qualidade das malhas de baixo Reynolds. . . 83
Tabela 17 – Malhas de alto Reynolds construídas para o estudo de convergência. . . 85
Tabela 18 – Parâmetros de qualidade das malhas de alto Reynolds. . . 85
Tabela 19 – Condições de contorno para as variáveis não turbulentas. . . 87
Tabela 20 – Condições de contorno para as variáveis turbulentas do modelo k-. . . 89
Tabela 21 – Condições de contorno para as variáveis turbulentas do modelo k-ω e SST k-ω. . . . 90
Tabela 22 – Duração das simulações. . . 94
Tabela 23 – Média espacial dos coeficientes de parede para o modelo k-. . . . 100
Tabela 24 – Média espacial dos coeficientes de parede para o modelo k-ω. . . . 109
Lista de abreviaturas e siglas
DNS Direct Numerical Simulation
LES Large Eddy Simulation
RANS Reynolds-Averaged Navier-Stokes
CAD Computer-Aided Design
CAE Computer-Aided Engineering
CFD Computational Fluid Dynamics
CFL Courant-Friedrichs-Lewy
RSTM Reynolds Stress Transport Model
RNG Renormalization Group Theory
LRR Launder, Reece and Rodi
SSG Speziale-Sarkar-Gatski
SST Shear Stress Transport
SIMPLE Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equation PISO Pressure-Implicit with Splitting of Operator
MVF Método dos Volumes Finitos
GAMG Generalised Geometric/Algebraic Multi-Grid
I Tensor identidade
b Forças de corpo
D Tensor taxa de deformação
¯
D Tensor taxa de deformação médio
Tdev Parte deviatórica do tensor das tensões
R Tensor de Reynolds
Rdev Parte deviatórica do tensor de Reynolds
ρ Massa específica
µ Viscosidade molecular de um fluido newtoniano
ν Viscosidade cinemática de um fluido newtoniano
λ Segundo coeficiente de viscosidade
µt Viscosidade turbulenta
νt Viscosidade cinemática turbulenta
νef f Viscosidade cinemática efetiva (ν + νt)
ω Vorticidade D() Dt Derivada material ( ∂() ∂t + u · ∇()) D()
Dt Derivada material média (
∂() ∂t + u · ∇()) U Velocidade característica L Comprimento característico Re Número de Reynolds Co Número de Courant
Taxa de dissipação de energia cinética turbulenta
uη Velocidade característica da escala de Kolmogorov
τη Tempo característico da escala de Kolmogorov
κ Constante de Von Karman
E Parâmetro relacionado à rugosidade da superfície presente na lei loga-rítmica
τw Tensão de cisalhamento na parede
y+ Unidade de parede
1 INTRODUÇÃO . . . 21
2 ESCOAMENTOS TURBULENTOS . . . 25
2.1 Descrição . . . 25
2.2 Características fundamentais . . . 28
2.2.1 Espectro contínuo de escalas de tempo e comprimento . . . 28
2.2.2 Difusividade . . . 32
2.2.3 Dissipação . . . 33
2.2.4 Tridimensionalidade . . . 34
2.2.5 Caos . . . 35
3 MODELAGEM DA TURBULÊNCIA . . . 38
3.1 Reynolds-Averaged Navier-Stokes (RANS) . . . 40
3.1.1 Tipos de média . . . 41
3.1.2 Equação média de Reynolds . . . 44
3.1.3 Problema de fechamento . . . 45
3.2 Modelos de fechamento . . . 46
3.2.1 Modelos de viscosidade turbulenta . . . 47
3.2.1.1 Modelo de comprimento de mistura . . . 51
3.2.1.2 Modelo k-epsilon . . . 52
3.2.1.3 Modelo k-omega . . . 56
3.2.1.4 Modelo SST k-omega . . . 57
3.2.2 Modelos de transporte do tensor de Reynolds (RSTM) . . . 60
3.3 Funções de parede . . . 62
4 DECOMPOSIÇÃO TENSORIAL . . . 69
4.1 Modelo I: Decomposição proporcional. . . 71
5 O CANAL CONVERGENTE-DIVERGENTE . . . 72
5.0.1 Geometria e malha . . . 72
5.0.2 Condições de contorno . . . 74
5.0.3 Dados fornecidos . . . 75
5.0.4 Aspectos dinâmicos e cinemáticos . . . 76
6 SIMULAÇÃO NUMÉRICA . . . 78
6.1 Pré-Processamento. . . 79
6.1.2 Malha . . . 80
6.1.2.1 Malha de baixo Reynolds . . . 81
6.1.2.2 Malha de alto Reynolds . . . 84
6.1.3 Condições de contorno e condições de simulação . . . 86
6.1.3.1 Condições de contorno . . . 86
6.1.3.2 Discretização das equações . . . 90
6.1.3.3 Parâmetros da simulação . . . 92 6.2 Resolução . . . 94 6.3 Pós-Processamento . . . 95 7 RESULTADOS E DISCUSSÃO . . . 97 7.1 Modelo k-epsilon . . . 97 7.2 Modelo k-omega . . . 106 7.3 Modelo SST k-omega . . . 117
7.4 Análise da Hipótese de Boussinesq . . . 128
8 CONCLUSÃO . . . 133
1 Introdução
A turbulência é um fenômeno constantemente presente no dia a dia das pessoas. Pode-se citar a convecção do ar na superfície do asfalto quente, a água que desce pelo rio de uma cidade e o escoamento no entorno da asa de um avião (Figura 1). O escoamento turbulento é o estado natural, intrínseco, da grande maioria dos fluidos quando se observa a natureza (DAVIDSON, 2004). Poucos são os escoamentos, principalmente os de interesse prático dentro do campo da engenharia, que apresentam um comportamento laminar do início ao fim. Para tal é necessário que o escoamento esteja atrelado à pequenas dimensões e com fluidos de alta viscosidade (TENNEKES; LUMLEY,1972). Apesar desta aparente onipresença dos escoamentos turbulentos, pouco ainda se sabe sobre sua natureza e como descreve-la matematicamente. Por esse motivo, a turbulência é considerada o último tópico da física clássica que ainda não foi resolvido (HANSSON, 2015).
Figura 1 – Aerofólio NACA 4412 em um túnel de vento. Fonte: Smart Blade GmbH1
Um dos fatores que torna a solução de escoamentos turbulentos tão desafiadora é o comportamento caótico da turbulência. Apesar de suas equações de governo serem bem conhecidas (e.g. equação de Navier – Stokes, para um fluido newtoniano), para todas intenções e propósitos, o comportamento do escoamento é aparentemente randômico ( DA-VIDSON, 2004). A não linearidade das equações de governo criam uma forte dependência das condições iniciais com o comportamento subsequente da solução. Tal dependência é tão forte a ponto de duas condições iniciais sutilmente diferentes gerarem comportamentos completamente distintos de evolução no tempo (POPE, 2000). Não obstante, escoamentos turbulentos são inerentemente tridimensionais e dependentes do tempo, além de
Capítulo 1. Introdução 22
rem um longo espectro de escalas de comprimento e velocidade característica (WILCOX,
1993). Ainda que uma tentativa numérica de resolução direta das equações fosse utilizada,
i.e. DNS, seria necessário um altíssimo custo computacional para a resolução desde as
grandes até as menores escalas espaciais presentes, além da escala temporal necessária para manter o modelo estável. Mesmo nos tempos atuais, com vasto recurso computacional a disposição, tal abordagem é proibitiva em problemas envolvendo escoamentos de interesse na indústria (MOUKALLED; MANGANI; DARWISH,2015). Em contrapartida, modelos estatísticos são geralmente mais utilizados. Apesar de parecer, a priori, que informações relevantes estão sendo negligenciadas com o uso de modelos dessa natureza, o intuito do engenheiro geralmente reside em obter valores médios das variáveis de interesse. Ainda que existissem soluções instantâneas disponíveis, elas seriam integradas no tempo para extrair valores médios (WILCOX, 1993). Ademais, tanto o engenheiro quanto o cientista experimentalista buscam sempre a repetibilidade de um evento. Dado as propriedades físi-cas do material e as condições iniciais e de contorno do problema, é desejado que o mesmo resultado seja alcançado, dentro das margens de erro inerentes à medição, independente da tentativa. Isto não ocorre em uma abordagem determinística das equações de Navier-Stokes, uma vez que a sua não linearidade amplifica as pequenas diferenças existentes entre um evento e outro. Uma solução obtida por meio de uma simulação direta não retrataria exatamente o comportamento de evolução temporal do escoamento encontrado em prática, uma vez que não há como ter controle de todas as perturbações. Contudo, em um modelo estatístico essa sensibilidade existente da solução com sua condição inicial não é percebida, de forma que a repetibilidade é possível (DAVIDSON, 2004).
Os modelos estatísticos que se baseiam na média de Reynolds são conhecidos como RANS. Nesta família de modelos, os campos instantâneos são separados em uma componente média e outra que representa os desvios em relação a esta média. Após o seu uso nas equações de governo, surge um novo termo que, diferente dos demais, é função das flutuações do campo de velocidade. Este é conhecido como tensor de Reynolds e pode ser interpretado como o responsável pelas tensões médias provocadas por estas mesmas flutuações (POPE, 2000). Este tensor necessita de modelagem, uma vez que o problema se encontra em aberto por haver mais incógnitas do que equações (TENNEKES; LUMLEY,1972). A necessidade de uma formulação matemática para o tensor de Reynolds de forma que a equação média de Navier-Stokes tenha solução é conhecida como problema de fechamento da turbulência (WILCOX, 1993). Neste momento, vale mencionar uma passagem de Davidson (2004) onde o autor, de forma descontraída, diz, aqui livremente traduzido:
A natureza (Deus talvez) possui um ótimo senso de ironia. Se por um lado o campo de velocidade se comporta randomicamente, sujeito a uma equação determinística simples (equação de Navier-Stokes), por outro ele é bem
com-portado e reproduzível, mas onde não se tem conhecimento de um conjunto fechado de equações para descrevê-lo (equação média de Reynolds).
Uma das primeiras propostas para modelar o tensor de Reynolds foi feita em 1877 por Boussinesq (SCHMITT, 2007). Em sua formulação, existe uma clara analogia com o problema de fechamento da equação de Cauchy. No último, para um fluido newtoniano, existe uma relação linear entre a parte deviatórica do tensor das tensões e o tensor taxa de deformação, onde a constante de proporcionalidade é a viscosidade molecular do fluido (Equação 1.1). Uma relação semelhante a equação constitutiva anterior é postulada para o problema de fechamento da turbulência e uma viscosidade turbulenta é então introduzida (Equação 1.2).
Tdev = 2µD (1.1)
Rdev = 2νtD (1.2)
O problema de fechamento reduz-se agora em descobrir uma expressão para a viscosidade turbulenta νt, uma vez que, diferente da viscosidade molecular µ, esta não é
uma propriedade do fluido, mas sim do escoamento (POPE,2000). Apesar de não existir nenhuma observação que comprove que esta proporcionalidade entre o tensor de Reynolds e o tensor taxa de deformação média é verdadeira, muito pelo contrário, os modelos matemáticos que se baseiam na hipótese de Boussinesq, conhecidos como modelos de viscosidade turbulenta, são amplamente utilizados até os dias atuais (SCHMITT,2007). Tais modelos matemáticos possuem pouca generalidade envolvida em sua formulação, cabendo o engenheiro avaliar qual modelo melhor se aplica ao tipo de escoamento que pretende-se simular, assim como quais informações buscam-se obter.
O modelo postulado por Boussinesq pode ser visto como uma aproximação de primeira ordem do tensor de Reynolds. Nele, o tensor de Reynolds é considerado em fase com o tensor taxa de deformação média. Em analogia à álgebra vetorial, pode-se pensar que para uma melhor descrição do tensor de Reynolds seja necessário acrescentar mais tensores à sua base tensorial. A teoria de decomposição tensorial desenvolvida por
Thompson (2008) permite identificar bases apropriadas para tal finalidade. Usando como referência as bases identificadas a partir de Thompson (2008), é proposto por Thompson, Mompean e Thais (2010) índices normalizados capazes de quantificar o grau de correlação entre o tensor de Reynolds e as bases escolhidas para sua representação.
Uma das técnicas mais amplamente utilizada nos dias atuais para resolver sistemas envolvendo o escoamento de fluidos é o Método dos Volumes Finitos. Este método consiste na divisão do domínio de interesse em pequenos volumes de controle onde as equações de
Capítulo 1. Introdução 24
governo que representam as leis de conservação são discretizadas, transformando-se em um sistema de equações algébricas que posteriormente é resolvido por algum algoritmo numérico (MOUKALLED; MANGANI; DARWISH,2015). Com o advento da computação e o crescimento exponencial de seu poder de processamento desde então, muita ênfase vem sendo dada na criação e aperfeiçoamento de códigos numéricos capazes de auxiliar o desenvolvimento de projetos de engenharia. Ferramentas construídas para tais finalidades são inseridas dentro do contexto de CAE. O Método dos Volumes Finitos possui um papel fundamental dentro da Fluidodinâmica Computacional (CFD), uma das ferramentas de CAE que mais vem se tornando vital no projeto de produtos e processos industriais desde sua primeira utilização na indústria aeroespacial na década de 60 (VERSTEEG; MALALASEKERA, 2007). Atualmente existem diversos códigos de CFD disponíveis para uso, tanto de licença proprietária quanto livre.
Apresentado o breve panorama acima, este trabalho possui como objetivo principal fazer um estudo sobre os modelos de viscosidade turbulenta e sua implementação em dois códigos CFD distintos. Optou-se pelo software livre OpenFOAM e o software proprietário
CFX, desenvolvido e mantido pela ANSYS, Inc. Os modelos escolhidos para serem simulados
estão entre os mais populares e amplamente utilizados pela indústria na resolução de uma vasta classe de escoamentos, a saber: k- de Launder e Spalding (1974), k-ω de
Wilcox (1993) e SST k-ω de Menter, Kuntz e Langtry (2003). A fim de se ter uma referência na avaliação posterior do erro cometido por cada modelo, a escolha da geometria e escoamento foi tal que já houvessem na literatura dados oriundos de uma fonte nobre
2. O Langley Research Center operado pela NASA (National Aeronautics and Space
Administration) mantém um repositório online gratuito com dados desta natureza com o
intuito de auxiliar pesquisadores na validação de novos modelos de turbulência. Os dados do canal convergente-divergente, caso base de estudo deste trabalho, foram obtidos por lá. Ao final, verificar-se-á o grau de conformidade da hipótese de Boussinesq, pedra angular na construção dos modelos de viscosidade turbulenta, no escoamento sob análise através do índice normalizado proposto por Thompson, Mompean e Thais (2010).
2 Escoamentos Turbulentos
Conforme já mencionado no capítulo 1, a turbulência é um fenômeno quase oni-presente na natureza. É um fato, sustentando por observações experimentais, que o escoamento de um fluido muito viscoso ou em baixa velocidade tende a ser homogêneo e regular (DAVIDSON,2004). Tais escoamentos são chamados historicamente de laminares por acreditar-se que o escoamento se dava em lâminas, ou camadas, sobrepostas umas as outras (WILCOX, 1993). Quando pequenas perturbações existentes em um escoamento laminar não conseguem ser dissipadas por meio de efeitos viscosos, o que corresponde a um alto número de Reynolds (Equação 2.1), estas evoluem e podem tornar o movimento do fluido instável.
Re ≡ U L
ν (2.1)
O mecanismo anteriormente citado está por trás da origem da turbulência ( TENNE-KES; LUMLEY,1972). Como a viscosidade da grande maioria dos fluidos é extremamente pequena (e.g. água, ar, sangue), no que diz respeito ao funcionamento do mecanismo anterior na maior parte dos escoamentos, consequentemente o regime turbulento torna-se a regra e o laminar a exceção. Esta afirmação corrobora com a observação tão recorrente de escoamentos turbulentos na natureza (DAVIDSON, 2004).
Este capítulo não tem por objetivo dar uma descrição ampla sobre a turbulência, mas sim uma visão introdutória sobre escoamentos turbulentos. Existe uma diferença sutil entre uma abordagem e a outra. Turbulência se refere ao fenômeno natural. Uma descrição da mesma, segundo Davidson (2004), teria perguntas como:
1. De onde vem a turbulência?
2. Até que ponto é um fenômeno determinístico?
Uma abordagem voltada a escoamentos turbulentos não precisa se ater a detalhes tão profundos quanto estes, ainda que um conhecimento sólido sobre o assunto seja sempre benéfico.
2.1
Descrição
Existe uma tradição de longa data dentro do campo de estudo da turbulência de se evitar propor uma definição formal para ela (DAVIDSON, 2004). De fato, uma definição formal de um fenômeno tão complexo e ainda enigmático acaba por ser uma
Capítulo 2. Escoamentos Turbulentos 26
tarefa extremamente complicada, se não improvável. Não obstante, muitos ousaram ao longo da história em formular suas próprias definições do fenômeno. Uma destas primeiras tentativas data de 1937, por Taylor e von Kárman (WILCOX, 1993)
Turbulência é um movimento irregular que no geral manifesta-se em fluidos, gasosos ou líquidos, quando estes escoam por superfícies sólidas ou mesmo quando fluxos vizinhos do mesmo escoamento deslocam-se uns sobre os outros.
Em sua definição fica evidente que os autores já reconheciam uma das caracte-rísticas mais intrínsecas de escoamentos turbulentos em contrapartida aos laminares: a irregularidade dos movimentos, ou comportamento aparentemente randômico do campo de velocidade. Ademais, também já reconheciam que a turbulência pode se manifestar tanto em wall bounded flows quando em free shear flows. Escoamentos que sofrem a influência de alguma superfície sólida levam o nome do primeiro, enquanto que os escoamento livres de tal influência do segundo Pope(2000). Exemplos clássicos de escoamentos turbulentos categorizados pela terminologia acima encontram-se na Tabela 1.
Tabela 1 – Escoamentos turbulentos clássicos.
Free Shear Flows
Jatos
Camadas de mistura
Wake
Wall Bounded Flows
Escoamento em tubulações
Escoamento no entorno de corpos Escoamento atmosférico
Os chamados wake são os escoamentos que ocorrem na região de recirculação imediatamente a jusante de um corpo, estacionário ou não (KUNDU; COHEN; DOWLING,
2012). Uma área que possui interesse em seu estudo é a aviação. O avião por onde passa cria uma região de recirculação a jusante de suas asas que pode desestabilizar um outro que por ali passe (Figura 2). Por esse motivo os coordenadores de tráfego aéreo de um aeroporto dão pausas suficientemente longas entre decolagens/aterrizagens, de forma que o escoamento turbulento dissipe nesse intervalo. Portanto, da próxima vez que estiver em um avião parado esperando a liberação da torre de controle, não se estresse; saiba que é pela sua segurança.
Uma outra definição, um pouca mais meticulosa nos detalhes, é proposta por
Davidson (2004)
A Turbulência de um fluido incompressível é uma distribuição espacial complexa de vorticidade que é advectada de forma caótica, regida por sua
Figura 2 – Zona de instabilidade deixada por um avião comercial. Fonte: Daily Mail United Kingdom1
equação de transporte. O campo de vorticidade é randômico tanto no espaço quanto no tempo e exibe um amplo e contínuo espectro de escalas de tempo e comprimento.
A vorticidade pode ser entendida como o dobro da velocidade angular de um fluido em um ponto (KUNDU; COHEN; DOWLING, 2012). Sua definição é dada pela Equação
2.2, enquanto que sua equação de transporte, para um fluido incompressível, é descrita pela Equação 2.3. ω ≡ ∇ × u (2.2) Dω Dt = (ω · ∇)u| {z } I + ν∇2ω | {z } II (2.3)
A Equação2.3 nos diz que existem duas maneiras de se modificar a vorticidade de um elemento material do fluido: através do seu esticamento ou por meio de um torque externo (DAVIDSON, 2004).
A parcela I na Equação 2.3 representa a variação do momento de inércia de um elemento material devido ao seu alongamento. Uma maneira simples de se visualizar este mecanismo é através de um experimento clássico para se demonstrar a conservação da quantidade de momento angular. Imagine que você esteja sentado em uma cadeira com seus braços esticados segurando dois pesos em suas mãos. Alguém então dá um empurrão e a cadeira começa a girar. À medida que você aproxima os pesos do seu corpo, você aumenta a sua velocidade angular devido a diminuição do seu momento de inércia. De forma semelhante, o campo de velocidade é capaz de alongar um elemento material,
Capítulo 2. Escoamentos Turbulentos 28
modificando seu momento de inércia e consequentemente sua vorticidade (velocidade angular). Este mecanismo, chamado de vortex stretching, está por trás de uma das características fundamentais de escoamentos turbulentos: sua inerente tridimensionalidade.
A parcela II na Equação 2.3 representa a variação da velocidade angular de um elemento material devido ao torque oriundo das forças viscosas. Dando continuidade com a analogia usada no parágrafo anterior, esta seria a força exercida por um companheiro seu, que também encontra-se girando em uma cadeira próxima, ao esbarrar com você. A diferença de velocidade entre os dois corpos faz com que haja uma difusão de momento angular do corpo com a maior quantidade de energia para o de menor.
Na ausência de flutuações de densidade em um escoamento, a turbulência não tem como existir sem a presença de uma superfície sólida. É nela que a vorticidade é gerada devido à condição de não escorregamento. Os altos gradientes de velocidade presentes na camada limite induzem o movimento de rotação no fluido (vorticidade), que então é advectado pelo escoamento e também difundido por intermédio da viscosidade (parcela II). Portanto, ainda que um escoamento turbulento seja um free shear flow, em algum momento passado este sofreu influência de alguma superfície sólida que originou o complexo campo de vorticidade que atualmente se encontra presente.
Nas duas definições para turbulência apresentadas nessa seção, viu-se que escoamen-tos turbulenescoamen-tos são tradicionalmente categorizados de acordo com a existência, ou não, da influência de uma superfície sólida. Além disso, a vorticidade possui um papel fundamental na descrição da turbulência e, como apresentado na próxima seção, do conceito de vórtice (do inglês eddy).
2.2
Características fundamentais
Visto a incapacidade de se dar uma definição formal, rigorosa, sobre a turbulência, escoamentos são identificados como turbulentos quando apresentam um certo conjunto de características observáveis.
A seguir disserta-se sobre alguns dos aspectos de maior destaque encontrados em escoamentos turbulentos listados por Tennekes e Lumley (1972).
2.2.1
Espectro contínuo de escalas de tempo e comprimento
Escoamentos turbulentos apresentam um vasto espectro contínuo de escalas de comprimento e tempo em contraste a apenas um conjunto discreto (WILCOX, 1993). As maiores escalas de comprimento (l0) são equiparáveis às da geometria do escoamento (L),
enquanto as menores (η) são ditadas pela dissipação viscosa promovida pelos menores vórtices.
Assim como a turbulência, um vórtice não possui uma definição rigorosa. Para fins desse trabalho será utilizada a de Wilcox (1993):
Um vórtice pode ser imaginado como um movimento circulatório local cuja dimensão característica é a escala local de turbulência.
Um dos grandes avanços, possivelmente o maior na opinião do autor, no enten-dimento sobre a turbulência foram as ideias de cascata de energia e as hipóteses de Kolmogorov. Tais estudos conseguiram, ainda que possivelmente de forma mínima, ilumi-nar uma pequena área do imenso oceano de incompreensão que ainda confronta-se sobre o tópico.
A cascata de energia (Figura 3), introduzida por Richardson em 1922, consiste no fato que os maiores vórtices em um escoamento turbulento interagem de forma mais intensa com o escoamento médio, extraindo energia deste pelo processo de vortex stretching. Ademais, como os seus comprimentos e velocidades características são comparáveis ao do escoamento, o número de Reynolds associado a eles é grande, de forma que efeitos viscosos são insignificantes (VERSTEEG; MALALASEKERA, 2007). Richardson então diz que estes vórtices são instáveis e acabam por “quebrar-se” em vórtices menores, transferindo sua energia para eles. Este processo continua indefinidamente até que o número de Reynolds associado aos menores vórtices seja pequeno o suficiente para que a viscosidade molecular assuma o papel principal e dissipe a energia cinética, transformando-a em energia térmica (POPE,2000).
Figura 3 – Cascata de energia em um escoamento turbulento. Fonte: Adaptado deDavidson (2004)
Kolmogorov, através de uma concisa e perspicaz análise dimensional do problema, postulou três hipóteses que quantificam questões deixadas em aberto pela ideia de cascata
Capítulo 2. Escoamentos Turbulentos 30
de energia, tais como: qual o tamanho dos menores vórtices responsáveis pela dissipação da energia cinética? A medida que os vórtices se quebram em menores, suas respecti-vas velocidades e comprimentos característicos aumentam, diminuem, ou permanecem inalterados?
Não objetivando ir à fundo em sua teoria, pode-se resumi-la sucintamente nas seguintes afirmações (POPE, 2000):
1. Existe um comprimento característico (l < lEI) abaixo do qual a turbulência é
esta-tisticamente isotrópica (flutuações são as mesmas em qualquer direção devido à ação difusiva da viscosidade em suavizar anisotropias (VERSTEEG; MALALASEKERA,
2007));
2. A estatística dos menores movimentos turbulentos nesse intervalo de comprimento considerado isotrópico (l < lDI) possui uma certa universalidade que é unicamente
determinada por ν e por (taxa de dissipação de energia cinética turbulenta); 3. Existe um intervalo dentro da região isotrópica (lDI < l < lEI) onde o número de
Reynolds associado aos vórtices não é pequeno, tampouco grande, e a estatística dos movimentos turbulentos possui uma certa universalidade que é unicamente determinada por .
A Figura 4 ilustra o arranjo dos intervalos postulados por Kolmogorov em suas hipóteses.
Figura 4 – Intervalos de comprimentos característicos identificados por Kolmogorov Fonte: Adaptado de Pope (2000)
Através da afirmação 2, Kolmogorov calculou as menores escalas de tempo (τη),
velocidade (uτ) e comprimento (η) como sendo
η ≡ ν 3 !14 (2.4) uη ≡ (ν) 1 4 (2.5)
τη ≡ ν
12
(2.6) As escalas definidas pelas Equações2.4,2.5e2.6são conhecidas como micro escalas de Kolmogorov ou simplesmente escalas de Kolmogorov.
A razão entre as menores e maiores escalas da turbulência em função do número de Reynolds baseado no comprimento e velocidade característica do escoamento possui a seguinte ordem de magnitude (VERSTEEG; MALALASEKERA, 2007):
η l0 ∼ Re−34 (2.7) uη u0 ∼ Re−14 (2.8) τη τ0 ∼ Re−12 (2.9)
Como as maiores escalas existentes são determinadas pela geometria e escoamento, a medida que o número de Reynolds aumenta, correspondentemente as escalas de Kolmogorov diminuem (Figura 5). Esta conclusão é um dos motivos que limita computacionalmente a simulação DNS de escoamentos com alto número de Reynolds, como será visto no capítulo
3.
Figura 5 – Influência do número de Reynolds no tamanho da escala de comprimento de Kolmogorov.
Capítulo 2. Escoamentos Turbulentos 32
Um resumo das teorias de Richardson e Kolmogorov pode ser sintetizado na Figura 6, que ilustra o perfil usual do espectro de energia encontrado para a turbulência, em conjunto com as ideias desenvolvidas por cada autor. O gráfico apresenta a energia contida em cada vórtice em função do seu número de onda, que corresponde ao inverso do comprimento característico.
Figura 6 – Espectro de energia e esquematização da cascata de energia. Fonte: Adaptado deDavidson (2004)
2.2.2
Difusividade
A difusividade talvez seja a característica de maior importância no que diz respeito a aplicações de engenharia (WILCOX, 1993). Em comparação aos laminares, escoamentos turbulentos apresentam uma maior habilidade em transportar e misturar propriedades de um fluido, o que faz deles bastante atrativos em processos que necessitam de mistura rápida, como o ar-combustível no motor de veículos e reagentes em reatores químicos (POPE,
2000). A existência das flutuações randômicas no campo de velocidade intensifica as trocas por difusão no fluido, onde no regime laminar se davam apenas por meio molecular. Um exemplo que ilustra bem essa diferença é o perfil da camada limite em cada um desses escoamentos (Figura 7).
Devido à condição de não escorregamento imposta pela parede, o fluido desacelera de sua velocidade livre até a velocidade da parede em um curto espaço dado pela altura da camada limite. Esta região, portanto, é caracterizada por altos gradientes de velocidade que dão origem ao arrasto provocado na superfície. Escoamento turbulentos, sendo mais difusivos, fazem uma troca maior de momento linear entre o fluido mais externo com o mais interno à camada limite, explicando assim o porquê do seu perfil ser mais íngreme próximo a parede em comparação aos escoamentos laminares.
Figura 7 – Perfil da camada limite em um escoamento laminar e perfil médio em um escoamento turbulento.
Fonte: Adaptado de Kundu, Cohen e Dowling (2012)
Como consequência da diferença no gradiente de velocidade próximo a superfície entre um escoamento turbulento e laminar, o arrasto provocado pelo primeiro na superfície é superior ao do segundo (Equação 2.10).
µdux dy turb > µdux dy lam (2.10) Apesar de parecer de imediato que um arrasto superior nos escoamentos turbulentos seja uma desvantagem, na realidade existem aplicações no estudo da aerodinâmica que se beneficiam disso. Quando a camada limite que se desenvolve em um corpo movimentando-se em um fluido separa, uma região de baixa pressão se forma a jusante. O desbalanceamento do campo de pressão ao redor do corpo cria uma força contrária ao seu deslocamento que pode se sobrepor em magnitude ao arrasto devido ao atrito do fluido com a superfície. Visto a maior concentração de momento linear dentro da camada limite turbulenta, a desaceleração do fluido devido aos gradientes de pressão adversos na superfície até o início da separação é reduzida, o que, para um avião, significa maiores ângulos de ataque possíveis antes de perda de sustentação. Um outro exemplo são as covas características das bolas de golfe que criam de imediato um escoamento turbulento ao seu redor e possibilitam um maior alcance para a tacada.
2.2.3
Dissipação
Escoamentos turbulentos são sempre dissipativos. A cascata de energia, descrita na seção 2.2.1, necessita de um fornecimento contínuo de energia para o escoamento médio a fim de manter o mecanismo de vortex stretching em funcionamento. Uma vez cessado esse fornecimento, a turbulência decai rapidamente devido a dissipação viscosa nas menores escalas.
Capítulo 2. Escoamentos Turbulentos 34
Um dos problemas mais simples, e também mais antigos, formulado sobre a turbulência referi-se ao quão rápido um escoamento turbulento dissipa a energia cinética turbulenta quando deixado isolado (DAVIDSON, 2004). Um exemplo cotidiano seria o tempo necessário para as flutuações induzidas no café ao agitar-lo desaparecerem. Apesar do problema ser de fácil compreensão, físicos e matemáticos vêm tentando responder essa pergunta por mais de meio século e ainda não conseguiram atingir um consenso sobre o tópico (DAVIDSON,2004).
2.2.4
Tridimensionalidade
A turbulência é um fenômeno rotacional e por consequência sua descrição determi-nística necessita de três coordenadas espaciais. Este motivo se deve ao fato do mecanismo de vortex stretching, que é fundamental para sua manutenção, ser ausente em escoamentos que podem ser tratados como bidimensionais.
Em um escoamento bidimensional o campo de velocidade e vorticidade podem ser escritos como, respectivamente:
u = uxˆı + uyˆ (2.11)
ω = ωzkˆ (2.12)
Analisando a parcela I da equação de governo para a vorticidade (Equação 2.3), que diz respeito ao vortex stretching, com as simplificação dadas nas Equações 2.11e2.12, chega-se ao seguinte resultado:
(ω · ∇)u = ωx ∂ux ∂x + ωy ∂ux ∂y + ωz ∂ux ∂z ! ˆı + ωx ∂uy ∂x + ωy ∂uy ∂y + ωz ∂uy ∂z ! ˆ + ωx ∂uz ∂x + ωy ∂uz ∂y + ωz ∂uz ∂z ! ˆ k = 0 (2.13)
Em conclusão, a parcela da equação de transporte da vorticidade que corresponde ao alongamento de vórtices para uma solução bidimensional é nula, o que entra em contradição com a teoria da turbulência. Consequentemente tal solução é impossível.
Esta inerente tridimensionalidade da turbulência significa que não existe nenhuma aproximação bidimensional satisfatória que consiga captar os menores detalhes presentes em escoamentos turbulentos (WILCOX, 1993).
2.2.5
Caos
Possivelmente uma das características mais fascinantes da turbulência, e com implicações adentrando até mesmo o campo filosófico, seja o comportamento caótico das soluções encontradas através das equações que a regem.
Em princípio, a equação de quantidade de movimento linear para fluidos Newtonia-nos (Equação 2.14) contém toda a física necessária para descrever a turbulência (WILCOX,
1993). Sendo um conjunto de equações com termos transientes, é de se esperar que através dela seja possível prever, dado um conjunto de informações que caracterizam o sistema no momento atual, sua configuração num instante futuro. Tal pensamento faz parte de uma concepção filosófica denominada determinismo.
∂(ρu)
∂t + ∇ · (ρuu) = −∇p + ∇ ·
µh∇u + (∇u)Ti+ λ(∇ · u)I+ b (2.14)
O pensamento determinista caminha lado a lado com a ciência. Newton, no século XVII, introduziu ao mundo a mecânica clássica e consigo equações simples que podiam ser utilizadas para prever o movimento de corpos. Dado as forças que atuam em um objeto, podia-se prever onde este encontraria-se num momento posterior. Tal descoberta foi completamente revolucionária para a época. O sucesso de suas equações na predição da posição de corpos celestes e aplicações tecnológicas influenciaram decisivamente para que a concepção determinista do mundo fosse fortalecida (SILVEIRA,1993).
Pierre-Simon de Laplace, uma das grandes personalidades na história da ciência, concebeu um dos experimentos mentais mais icônicos sobre o tópico. Nele, um intelecto superior, popularmente chamado de demônio de Laplace em homenagem ao seu criador, possui o conhecimento da posição de cada átomo do universo e todas as forças que neles atuam. Dado o conhecimento do conjunto de leis determinísticas que regem o movimento dos corpos, nada mais seria incerto; o futuro estaria ao alcance de seus olhos. Como bem resumido por Laplace (1951):
Podemos considerar o presente estado do universo como resultado do seu passado e a causa do seu futuro.
Contudo, a existência de certos problemas físicos regidos por equações determinísti-cas simples e onde não era possível chegar a previsões com um alto grau de confiabilidade colocou em xeque a credibilidade no demônio de Laplace em prever o futuro.
Hoje entende-se isso como caos determinístico. Certas equações diferencias que descrevem a evolução de algum sistema físico possuem uma super sensibilidade com suas condições iniciais. Tal sensibilidade é tão elevada a ponto de uma diferença ínfima em uma
Capítulo 2. Escoamentos Turbulentos 36
condição inicial ser capaz de produzir um comportamento completamente diferente de evolução no tempo. Exemplos clássicos de problemas que apresentam esse comportamento são:
1. Previsão do tempo;
2. Movimento de um pêndulo duplo; 3. O problema dos N corpos;
4. Turbulência!
As famosas equações de Lorenz (Equação 2.15), onde σ, ρ e β são escalares, desenvolvidas por ele para estudos em meteorologia, são um exemplo muito estudado na área da teoria do caos. Dependendo do valor escolhido para os coeficientes, em particular o coeficiente ρ, a solução pode exibir um comportamento imprevisível. Fixados os demais, se este assume um valor menor que um crítico, a solução torna-se estável. Caso contrário, observa-se um comportamento caótico (POPE, 2000). A Figura 8 demonstra a diferença de evolução no tempo da função x(t) quando uma de suas condições iniciais muda em 0.001% (função ˆx(t)). ˙x = σ(y − x) ˙ y = ρx − y − xz ˙z = −βz + xy (2.15)
Percebe-se que a partir de um certo momento (t ≈ 30) as duas soluções começam a se diferenciar a ponto do comportamento subsequente ser, pra todos os fins práticos, completamente randômico e imprevisível, apesar de ser um problema determinístico. Este é um dos motivos da previsão do tempo ser dada, geralmente, para apenas os próximos dias da semana. Como visto acima, as equações usadas na meteorologia exibem comportamento caótico, logo, previsões determinísticas geram resultados inaceitáveis para soluções muito avançadas no tempo, enquanto que para um tempo suficientemente próximo os resultados possuem um certo grau de confiabilidade.
A Equação2.14 também apresenta um comportamento caótico. Nela, o número de Reynolds possui um papel semelhante ao coeficiente ρ das equações de Lorenz. Para valores altos do número de Reynolds, a evolução do escoamento é extremamente sensível às menores perturbações nas condições iniciais, de contorno e propriedades do fluido (POPE, 2000). Esta sensibilidade tem como origem a não-linearidade de seu termo advectivo (∇ · (ρuu)), que leva à interações entre flutuações de diferentes comprimento de onda e direção (WILCOX,1993). Com o aumento do número de Reynolds, os termos inerciais tornam-se mais relevantes que os difusivos. Uma vez que a parcela advectiva está relacionada ao termo
Figura 8 – Diferença no comportamento evolutivo da eq. de Lorenz x(t) para duas condições iniciais diferentes.
Fonte: Pope (2000)
inercial, o crescimento do número de Reynolds está associado a uma potencialização do termo não-linear da Equação 2.14, tornando a solução cada vez mais complexa até atingir o estado de caos (DAVIDSON, 2004). Por esse motivo tais perturbações, que também existem em escoamentos laminares, não chegam a se desenvolver, visto os baixos números de Reynolds que os caracterizam. A Figura 9 ilustra o processo gradual de transição de uma camada limite entre um comportamento previsível, regime laminar, até atingir o estado de caos, regime turbulento, a medida que o número de Reynolds aumenta devido à maior distância em relação ao início da placa.
Figura 9 – Transição do regime laminar para o turbulento da camada limite sobre uma placa plana.
Fonte: COMSOL2
38
3 Modelagem da Turbulência
Como visto no capítulo 2, escoamentos turbulentos são inerentemente tridimen-sionais, transientes e apresentam flutuações irregulares. É desnecessário dizer, portanto, que a idealização de um modelo matemático capaz de completamente descrever-los é uma tarefa desafiadora, para dizer o mínimo. Contudo, uma vez que a turbulência obedece a hipótese do contínuo, i.e. os menores vórtices ainda são várias ordens de magnitude maiores que o livre caminho médio das moléculas, é geralmente aceito, segundo Markatos
(1986), que ela consegue ser descrita através da equação de Navier-Stokes (Equação 3.1).
∂u
∂t + ∇ · (uu) = −
1
ρ∇p + ν∇
2u (3.1)
Uma tentativa de resolver diretamente a equação de Navier-Stokes, em conjunto com a equação da continuidade (Equação 3.2), é conhecida como Direct Numerical Simulation (DNS) (WILCOX,1993). As vantagens deste tipo de simulação são, claramente, a obtenção, em princípio, de soluções numericamente mais precisas das equações que regem o movimento e possivelmente da turbulência, uma vez que não há necessidade da modelagem de nada além do que foi necessário para definição das próprias equações.
∂ρ
∂t + ∇ · (ρu) = 0 (3.2)
O motivo de tal abordagem não ser ainda amplamente utilizada em aplicações industriais se deve ao altíssimo custo computacional envolvido em sua resolução. As escalas de Kolmogorov demonstram que existe uma relação direta entre suas magnitudes e o número de Reynolds que caracteriza o escoamento (Equações 2.7,2.8 e 2.9). Para ilustrar o ponto que se pretende chegar, imagine o escoamento de ar (ν ≈ 1.568 × 10−5 m2/s) à
uma velocidade de 100 m/s ao redor de um corpo com comprimento característico de 1 m. Assumindo que os maiores vórtices tenham um tamanho aproximadamente igual ao do corpo, o número de Reynolds e as escalas de comprimento e tempo de Kolmogorov são dados por: Re = U L ν = 6.377 × 10 6 (3.3) η ∼ l0Re− 3 4 = 7.880 µm (3.4) τη ∼ τ0Re− 1 2 = 3.960 µs (3.5)
Como pode ser visto através das Equações3.4 e 3.5, as menores escalas são várias ordens de magnitude inferiores às maiores presentes. É digno de nota que o número de Reynolds obtido nesse exemplo pode ser considerado pequeno, dependendo da aplicação em que este se baseia, o que tornaria as escalas de Kolmogorov ainda menores. Uma tentativa de resolver diretamente as equações com o intuito de assimilar todas as nuances da turbulência precisa captar a influência de todas as escalas que fazem parte do escoamento. Em termos computacionais, a malha na qual o problema é resolvido precisa ser fina o suficiente para captar o tamanho dos menores vórtices e o passo no tempo da resolução do problema deve obedecer a condição de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL), Equação 3.6, com Co < 1 (MOUKALLED; MANGANI; DARWISH,2015). Estas restrições tornam o uso de DNS proibitivo em problemas de engenharia, visto que estes requerem um prazo relativamente curto para obtenção de resultados significativos. Não obstante, o crescente aumento da velocidade de processamento computacional disponível vem tornando possível a resolução de problemas cada vez mais complexos por DNS, embora seu uso atual se limite quase que exclusivamente à pesquisa (WILCOX, 1993).
Co = ∆t N X i=1 ui ∆xi (3.6) O impasse devido a impossibilidade de resolver as equações de Navier-Stokes para um escoamento qualquer, dado a falta de recursos computacionais disponíveis, estimulou os pesquisadores a pensarem em maneiras alternativas de se abordar o problema. Para atingir tal finalidade, modelos para turbulência vêm sendo desenvolvidos e aperfeiçoados com o tempo.
Os modelos mais amplamente empregados hoje na resolução de problemas complexos da indústria são os que aproximam as flutuações randômicas através de uma análise estatística. A irregularidade dos movimentos encontrados em escoamentos turbulentos praticamente clama por uma abordagem desta natureza. Exemplos de destaque são os modelos LES (Large Eddy Simulation) e RANS (Reynolds-Averaged Navier-Stokes).
O modelo LES se caracteriza por aplicar um filtro nas equação de Navier-Stokes, dividindo o escoamento em uma parte que será resolvida diretamente, da mesma forma que em um DNS, e outra que será modelada. O ponto chave desta separação consiste no fato que torna o DNS tão custoso: a resolução das menores escalas. Tal filtro mantém as maiores e descarta as menores. A turbulência encontrada nas menores escalas é mais fraca, contribuindo menos para as tensões devido às flutuações e portanto sendo menos crítica (WILCOX,1993). Ademais, como visto na seção 2.2.1, as flutuações das menores escalas são consideradas isotrópicas e independentes da condição de contorno. Isto possibilita uma modelagem com muito mais precisão delas, em contraste com as de maior escala (anisotrópicas) que neste caso são diretamente resolvidas (MOUKALLED; MANGANI;
Capítulo 3. Modelagem da Turbulência 40
DARWISH, 2015). Posto que as menores escalas serão modeladas, não é mais necessário ter a malha refinada o bastante para resolver-las, o que implica positivamente em malhas mais grossas e passos no tempo maiores.
Apesar do claro avanço, no que diz respeito ao custo computacional envolvido, entre os modelos LES e DNS, estes ainda são computacionalmente caros e, portanto, não fazem parte do arsenal de ferramentas usado no cotidiano para atacar problemas de engenharia.
Os modelos indubitavelmente mais populares utilizados nos dias atuais são os baseados na equação média de Reynolds (RANS), onde estatísticas médias são tiradas da equação de Navier-Stokes (MOUKALLED; MANGANI; DARWISH, 2015). Por possuírem o papel de destaque no objetivo do presente trabalho, o resto desta seção é dedicada exclusivamente à eles.
3.1
Reynolds-Averaged Navier-Stokes (RANS)
Reynolds, em 1895, introduziu o conceito de média na resolução do problema da turbulência. Campos instantâneos (φ) seriam representados pela soma de uma componente média (φ) e uma flutuação ao redor dessa média (φ0), como ilustrado na Figura 10
(WILCOX, 1993). Esta representação é conhecida como decomposição de Reynolds. Uma vez decompostos os campos, estes seriam substituídos na equação de Navier-Stokes e então tiraria-se a média da equação obtida. Neste tipo de abordagem as equações são resolvidas apenas para as variáveis médias, sem a necessidade de resolução das flutuações turbulentas. As escalas da turbulência, desde as menores até as maiores, são completamente modeladas. Consequentemente, as limitações no refino de malha não são tão severas quanto nos modelos LES e DNS, reduzindo enormemente o esforço computacional requerido (MOUKALLED; MANGANI; DARWISH, 2015).
Figura 10 – Decomposição da variável φ na soma de sua média e flutuação. Fonte: Moukalled, Mangani e Darwish (2015)
3.1.1
Tipos de média
Em geral, a média de Reynolds assume uma variedade de formas envolvendo tanto integrais quanto somatórios. No que diz respeito a pesquisa de modelos de turbulência, os três tipos mais pertinentes são a média temporal, média espacial e média amostral (WILCOX,1993).
A média temporal (Equação 3.7) é particularmente apropriada para escoamentos onde a turbulência é estatisticamente estacionária, ou seja, onde o escoamento médio não varia com o tempo (Figura11).
φT(x) = lim T →∞ 1 T Z t+T t φ(x, t)dt (3.7)
No que tange à realidade, é impossível tirar uma média por um intervalo T infinitamente grande, consequentemente escolhe-se T como sendo suficientemente maior que o período máximo das flutuações do campo de velocidade (WILCOX, 1993).
A média espacial (Equação3.8), por outro lado, é utilizada para escoamentos onde a turbulência pode ser tratada como homogênea, ou seja, quando é uniforme, em média, em todas as direções. φV(t) = lim V →∞ 1 V ZZ Z V φ(x, t)dV (3.8)
A média amostral (Equação3.9), entretanto, é a mais geral de todas as mencionadas anteriormente, sendo apropriada para o uso em qualquer tipo de escoamento turbulento, incluindo os que em média são transientes (Figura 11). Ela pode ser obtida para uma variável qualquer através da média de N amostragens, em diferentes realizações idênticas do escoamento, em uma certa posição e instante no tempo. A Figura 12 ilustra o perfil de velocidade instantâneo coletado em vários procedimentos diferentes em conjunto com o seu perfil médio resultante.
φN(x, t) = lim N →∞ 1 N N X i=1 φ(x, t) (3.9)
Quando a turbulência é tanto estacionária quanto homogênea, é comum assumir a hipótese da ergodicidade. Neste caso, todas as médias apresentadas anteriormente possuem o mesmo valor (DEISSLER, 1998).
Praticamente todos os escoamentos envolvidos em problemas de engenharia não são homogêneos (WILCOX, 1993). Além disso, muitas vezes o interesse do engenheiro reside em obter valores para quando o escoamento atinge um regime estacionário, tais como no funcionamento de turbomáquinas e no voo de um avião em altitude de cruzeiro. Consequentemente, o tipo de média de Reynolds mais apropriada é a média temporal.
Capítulo 3. Modelagem da Turbulência 42
(a) (b)
Figura 11 – Média da velocidade em um escoamento turbulento (a) estatisticamente estacionário e (b) não estacionário
Fonte:Ferziger e Peric (2002)
Figura 12 – Média amostral do perfil de velocidade em uma camada limite Fonte: Adaptado deWilcox (2006)
Em um escoamento turbulento estatisticamente estacionário, a velocidade pode ser dividida em uma parte média, independente do tempo, e uma parte representando as flutuações em relação a essa média:
u(x, t) = u(x) + u0(x, t) (3.10) Aplicando a média temporal em ambos lados da Equação3.10chega-se a conclusão que a média das flutuações é nula, ou seja:
u0(x, t) = 0 (3.11)
Outras identidades matemáticas úteis podem ser deduzidas a partir da definição da média temporal (Equação 3.7) e do recém resultado obtido (Equação 3.11). Elas
encontram-se resumidas brevemente na Equação 3.12.
∇ · u(x, t) = ∇ · u(x)
∇u(x, t) = ∇u(x)
∇2u(x, t) = ∇2u(x)
u(x)u(x, t)0 = 0
u(x, t)u(x, t) = u(x) u(x) + u(x, t)0u(x, t)0
(3.12)
Existem certas aplicações no qual o escoamento médio apresenta variações lentas com o tempo que não são correlacionadas com a turbulência. Ainda nessas situações é possível aplicar a média temporal, contudo, fazendo as seguintes modificações:
u(x, t) = 1 T∗ Z t+T∗ t u(x, t)dt (3.13) u(x, t) = u(x, t) + u0(x, t) (3.14) onde T∗ é um tempo suficientemente maior que o máximo período das flutuações do campo de velocidade, mas inferior à escala de tempo característica dessas variações lentas existentes (WILCOX, 1993).
Nesta situação, a média temporal de termos transientes existe e é dada por:
∂u(x, t)
∂t =
∂u(x, t)
∂t (3.15)
O desenvolvimento da equação média de Reynolds, que será feito na seção seguinte, baseia-se na média temporal de Reynolds para aplicações onde variações lentas nos valores médios podem estar presentes.
Para tornar o texto mais legível, as decomposições semelhantes a Equação3.14são escritas como:
