RESOLUÇÃO
GRUPO I
1. Resposta (C)
Tem-se:
a b
=
r+
log
ba
=
r
100
14 100
14
328
log
b^
a
100×
b
14h
=
log
b^
a
100h
+
log
b^
b
14h
=
log
ba
+
=
r
+
.
2. Resposta (B)Como
lim g x
x 0" +
^ h
= −
3
, tem-selim g x
0
1
x 0" +
^ h
=
. Tal permite excluir as opções A e D.Como a bissetriz dos quadrantes ímpares é assíntota do gráfico de
g
, tem-se quelim g x
x"+3
^ h
= +
3
e,portanto,
lim g x
1
0
x"+3
^ h
=
. Tal permite excluir a opção C.3. Resposta (D)
Das informações dadas no enunciado, podemos concluir, por aplicação do teorema de Bolzano, que a função
f g
-
tem pelo menos um zero em@
1 3
,
6
. Portanto,7 !
c
@
1 3
, :
6
f c
^
h
−
g c
^
h
=
0
, ou seja,, :
c
1 3
f c
g c
7 !
@
6
^
h
=
^
h
, pelo que os gráficos das funçõesf
eg
se intersectam em pelo menos um ponto.Teste Intermédio
Matemática A
Versão 2
Duração do Teste: 90 minutos | 24.05.2012 12.º Ano de Escolaridade
Decreto-Lei n.º 74/2004, de 26 de março
Teste Intermédio de Matemática A Versão 2
5. Resposta (A) Tem-se
z
=
OQ
Aplicando o teorema de Pitágoras, tem-se:
3
4
12
OQ
2=
OQ
2
2+
3
2+
OQ
2=
OQ
4
+
+
OQ
=
OQ
+
+
2 2 2e
o
`
j
4
2
OQ
OQ
+
2=
+
=
Portanto,z
=
2
Como o triângulo
6
OPQ
@
é equilátero, tem-seQOP 3
t
=
r
Portanto, um argumento dez
ér
−
r
6
=
5
6
r
GRUPO II
1.i
x
i
i
cos
x
i
i
x
i
i
i
2
3× cis
r
4
2 2
3×
r
4
sen
r
4
2 2
×
2
2
2
2
+
=
+
+
=
+
−
+
=
`
j
c
m
e
o
x
i i
i
x
i
i
x
i
i
x
x
i
i
x
x
i
x
i
i
x
x
x
i
2 2
2 2
2 2
1
2
2
2
2
1
2
2
2 2
2 2 2 2=
− −
+
=
−
+
=
−
+
−
−
=
+
−
−
+
=
+
− + − −
=
^
^
^
^
^
h
h
h
h
h
x
x
1
x
x i
2
2
1
2 2
2 2=
+
− +
+
− −
Para esta expressão designar um número real,
x
2 2
2+
1
x
− −
tem de ser igual a zero, pelo quex = −
1
2.1. Seja
X
o número de vezes que, nas cinco realizações da experiência, sai bola preta. Tem-se queX
é uma variável aleatória com distribuição binomial.A probabilidade de sair bola preta, em cada realização da experiência, é
1
4
× 4
1 ×
4
3
× 4
1 ×
4
3
P X
4
P X
4
P X
5
5C
C
4 4 1 5 5 5 0 $=
=
+
=
=
+
=
^
h
^
h
^
h
c
m
c
m
c
m
c
m
256 4
3
1024
1
1024
15
1024
1
1024
16
64
5
×
1
×
1
=
+
=
+
=
=
2.2. No contexto da situação descrita,
P B A
^
;
h
é a probabilidade de as bolas retiradas da caixa 2 serem de cores diferentes, sabendo que as bolas retiradas da caixa 1 são da mesma cor.Dado que as bolas retiradas da caixa 1 são da mesma cor, elas são necessariamente brancas, pelo que a caixa 2 fica com quatro bolas brancas e três bolas pretas, num total de sete bolas.
Retiramos então duas bolas dessas sete, e queremos determinar a probabilidade de elas serem de cores diferentes, ou seja, de uma ser branca e a outra ser preta.
Existem 7
C
2 maneiras diferentes de tirar simultaneamente duas bolas, de entre sete. Por isso, o número de casos possíveis é 7C
2Existem
4 × 3
maneiras diferentes de tirar simultaneamente uma bola branca e uma bola preta. Por isso, o número de casos favoráveis é4 × 3
Assim, a probabilidade pedida é
C
4 3
7
4
×
7 2=
3.1. Tem-se
sen x
=
AQ
AB
=
AB
2
, pelo queAB
=
2
senx
Tem-seAQ
QB
QB
cos x
=
=
2
, pelo queQB
=
2cos
x
Portanto,×
PB AB
cos
cos
S x
^
h
=
×
2
=
^
2 2
+
2
x
h
× sen
2
x
=
^
2 2
+
x
h
sen
x
=
cos
x
x
x
x
x
2
sen
2
sen
2
sen
sen
2
=
+
=
+
^
h
3.2.
S x
l
^
h
=
8
2
sen
x
+
sen
^
2
x
h
B
l
=
2
cos
x
+
2
cos
^
2
x
h
S
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
x
x
x
x
x
x
x
x
x
0
2
2
2
0
2
0
2
2
+
+
+
+
+
r
=
+
=
+
=
= −
=
−
l
^
^
^
^
^
h
h
h
h
h
EmR
, tem-se:cos
x
=
cos
^
r
−
2
x
h
+
x
= −
r
2
x
+
2
k
r
0
x
= − −
^
r
2
x
h
+
2
k
r
,
k
!
Z
+
,
,
x
k
x
k
k
x
k
x
k
k
3
2
2
Z
3
2
3
2
Z
+
= +
r
r
0
− = − +
r
r
!
+
=
r
+
r
0
= −
r
r
!
Portanto, no intervalo
E
0 2
,
r
;
, a equaçãoS x
l
^ h
=
0
tem apenas uma solução:r
3
Tem-se, então, o seguinte quadro:x
0
3
r
r
2
4.1. O declive da reta
r
éf 3
l
^ h
O declive da reta
s
éf b
l
^ h
Como as retas
r
es
são paralelas, tem-sef b
l
^
h
=
f 3
l
^
h
Portanto, uma equação que traduz o problema é
f x
l
^
h
=
f 3
l
^
h
Tem-se
f 3
l
^ h
=
3
2−
6 × 3
+
19
2
−
4 1 9 18
ln
= −
+
19
2
=
2
1
Portanto,
f x
l
^
h
=
f
l
^
3
h
+
f x
l
^
h
=
1
2
Temos, portanto, de resolver a equação
f x
l
^ h
=
1
2
Recorrendo à calculadora, podemos visualizar o gráfico de
f l
e a reta de equaçãoy 2
=
1
O x y f ' 1 2 3 5,14
Como era de esperar,
3
é uma das soluções da equaçãof x
l
^ h
=
1
2
A outra solução é
b
Portanto,b 5
.
,14
4.2. Tem-sef x
=
x
2−
6
x
+
1
2
9 4
−
ln
x
−
2
=
2
x
− −
6
x
4
2
−
ll
^
h
;
^
h
E
l
Comox
!
@
2 3
,
+
6
, tem-se:6
12
0
10
8
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
6
4
2
0
2
6
2
4 0
2
4
4
2
0
4
2 x x 2 0 2 1 pois pois+
+
+
+
+
− −
− =
−
−
− =
−
−
+
− =
−
+ =
=
! ! −^
h
^
h
5. A função
f
é contínua emx = 3
se existirlim f x
x 3"
^ h
e se esse limite for igual af 3
^ h
Tem-se:
