RESUMO
ABSTRACT
15 a 19 de novembro de 2015
Palavras-chave:
Keywords
Tarefas para um Ambiente
Educacional de Cálculo
1André Luis Trevisan, 2Adriana Helena Borssoi, 3Henrique Rizek Elias
A constituição de sequências de tarefas é parte das ações de um projeto que busca caracterizar um ambiente educacional para o ensino de Cálculo Diferencial e Integral em condições reais de ensino. Neste texto, apresentamos e discutimos resultados de uma investigação realizada no movimento de elaborar, aplicar, analisar, discutir e reelaborar uma sequência de tarefas desencadeada por uma situação - construção de uma calha. Fundamentamos as análises em um quadro teórico que compreende conceitos da Educação Matemática Realística, sendo o design de tarefas o aporte para as discussões que apresentamos. Discutimos as potencialidades da situação motivadora e, a partir da aplicação das tarefas em um curso de graduação, empenhamos alguma análise de sua implementação. Trazemos resultados iniciais de experiências de design, com o intuito de fundamentar uma sequência de ensino com base nessas tarefas.
The task sequencing is an action of a project that seeks to characterize an educational environment for teaching Differential and Integral Calculus in real conditions of teaching. In this paper, we present and discuss results of an investigation in the movement to elaborate, apply, analyze, discuss and rework a sequence of tasks triggered by a situation - construction of a gutter pipe. We base the analysis on a theoretical framework that includes concepts of Realistic Mathematics Education, and the task design contribution to the discussions that we present. We discussed the potential of motivating situation and from the implementation of tasks in an undergraduate course, pledge some analysis of implementation. We bring initial results of design experience, in order to ground a teaching sequence based on these tasks.
1UTFPR/câmpus Londrina - Brasil
andrelt@utfpr.edu.br
2UTFPR/câmpus Londrina - Brasil
adrianaborssoi@utfpr.edu.br
3UTFPR/câmpus Londrina - Brasil
henriqueelias@utfpr.edu.br
Educação Matemática. Ensino de Cálculo Dife-rencial e Integral. Tarefas.
Mathematics Education. Teaching of Differential and Integral Calculus. Tasks.
Discussões acerca da necessidade de que alunos se envolvam de forma ativa na elaboração do conhecimento matemático, tornando-se condutores do próprio processo de aprendizagem, são frequentes em pesquisas em Educação Matemática. No entanto, implementar em salas de aula regulares abordagens que envolvam os alunos em um trabalho colaborativo, com tarefas em uma perspectiva de resolução de problemas e integrando recursos tecnológicos, que propiciem a reflexão, promovam a interação e contribuam para a elaboração de um pensamento matemático avançado, é um desafio. Mesmo depois de algumas décadas de pesquisas nessas direções, o que se observa é uma discrepância entre ideias geralmente aceitas e compartilhadas pela comunidade de pesquisadores e a realidade na maioria das salas de aula (PALHA et al., 2013).
Interessados em investigar maneiras de viabilizar essas ações e intenções, um grupo de professores de uma universidade pública, dentre os quais os autores deste artigo, propuseram o projeto “Investigação de um ambiente educacional para o Cálculo Diferencial e Integral (CDI) em condições reais de ensino”, submetido e aprovado no Edital Universal 14/2014 do CNPq. Seu objetivo geral é investigar os processos envolvidos na caracterização, na implementação e na avaliação de um ambiente educacional para a disciplina de CDI e suas consequências para a aprendizagem.
Por ambiente educacional estamos entendendo o conjunto de ações e materiais que “circunscrevem” as aulas de CDI e que atendam as seguintes características, apontadas por Palha et al. (2013): os alunos trabalham a partir de sequências de tarefas não precedidas por exemplos, adaptadas para que se tornem problemas para serem resolvidos; o professor, ao invés de sempre fornecer explicações, incentiva os alunos a apresentar e discutir suas ideias; os alunos trabalham sempre que possível em grupos e participam de discussões matemáticas, mostrando, explicando, justificando suas ideias.
Para o presente artigo, selecionamos uma das ações desenvolvida durante a realização do projeto, a que trata da organização de tarefas que integram o ambiente. Analisamos aqui o movimento de elaborar, aplicar, analisar, discutir e reelaborar uma sequência de tarefas desencadeada a partir de uma situação proposta a alunos de cursos de Engenharia – a construção de uma calha1.
É nosso objetivo neste artigo discutirmos potencialidades da situação em termos das ideias nela apresentadas, das discussões matemáticas que ela pode gerar e dos conhecimentos
matemáticos que pode mobilizar, bem como a sequência de tarefas elaborada, as razões que nos levaram a assim organizá-la e alguma análise de sua implementação.
É nosso interesse, no projeto mencionado, investigar a influência do design de tarefas em processos de aprendizagem que ocorrem em condições reais de ensino, e como essas tarefas podem ser utilizadas pedagogicamente, em aulas de CDI.
Para Ponte (2014, p. 14 - 15) tarefas são “elementos organizadores da atividade de quem aprende”, sendo “usualmente (mas não necessariamente) propostas pelo professor, mas, uma vez propostas, têm de ser interpretadas pelo aluno e podem dar origem a atividades muito diversas (ou a nenhuma atividade)”. Segundo o autor, uma:
tarefa pode ter ou não potencialidades em termos de conceitos e processos matemáticos que pode ajudar a mobilizar. Pode dar lugar a atividades diversas, conforme o modo como for proposta, a forma de organização do trabalho dos alunos, o ambiente de aprendizagem, e a sua própria capacidade e experiência anterior (PONTE, 2014, p.16).
Para Stein e Smith (2004, p. 105), “uma tarefa é definida como um segmento da actividade da sala de aula dedicada ao desenvolvimento de uma ideia matemática particular”. Tomam como pressuposto que as tarefas utilizadas na sala de aula constituem a base para a aprendizagem dos alunos.
Inspirados nas ideias de Watson et al. (2013), por tarefa estamos entendendo o amplo espectro composto por “coisas a fazer” pelos estudantes em sala de aula, o que inclui desde a execução de exercícios algorítmicos até a realização de investigações ou construção de modelos matemáticos.
Tarefas geram atividade que proporciona oportunidade de descobrir conceitos matemáticos, ideias, estratégias, e também o uso e o desenvolvimento do pensamento matemático e de modos de investigação. O ensino inclui seleção, modificação, design, sequenciamento, montagem, observação e avaliação de tarefas (WATSON et al., 2013, p. 12).
Segundo esses autores, uma tarefa não pode ser pensada apenas como um evento isolado, mas como parte de uma sequência de outras tarefas. A importância do sequenciamento de tarefas é explícita em Educação Matemática Realística (RME)2. Nessa
abordagem, uma sequência de tarefas começa a partir de uma situação particular, que remeta ao uso de estratégias e representações informais, e progressivamente leva à formalização e generalização dos procedimentos de solução. Gravemeijer (1999) aponta que estratégias
Tarefas Matemáticas
2Essa abordagem tem origem na Holanda no final da década de 1960 e é inspirado pelas ideias do matemático Hans Freudenthal. Opondo-se ao formalismo da
Matemática Moderna, Freudenthal entende matemática como uma atividade natural e social cuja evolução acompanha a do indivíduo e a das necessidades de um mundo em expansão, uma atividade de organização (ou matematização).
elaboradas pelos estudantes para resolver situações particulares (que constituem um modelo emergente) podem ser bons pontos de partida para problematizar um conceito.
De acordo com Gravemeijer, van Galen e Keijzer (2005), os resultados provenientes da experiência em sala de aula constituem o elemento central da chamada pesquisa em design, uma combinação de design e investigação, destinada ao desenvolvimento tanto de uma sequência de tarefas quanto de uma teoria acerca do ensino do conteúdo matemático a elas subjacente (teoria de instrução local). Trata-se de antecipar tanto os modos como as tarefas podem ser desenvolvidas quanto o que os estudantes podem aprender com elas. Em outras palavras, o professor elabora uma trajetória hipotética de aprendizagem com base em antecipações do modo como os estudantes pensam e agem, que será ajustada com base nas interações que ocorrem em sala de aula (SIMON, 1995).
Essas tarefas serão testadas em sala de aula. Em seguida, novas tarefas são projetadas ou redesenhadas com base em análises de experiências reais de aprendizagem. Ao final, uma versão melhorada da sequência de tarefas é construída. Depois de algumas experiências de design, uma justificativa para uma sequência de ensino com base nessas tarefas eventualmente adquire o estatuto de uma teoria instrucional local.
Um elemento chave desse processo é o uso das três heurísticas que caracterizam uma teoria de instrução de domínio específico: reinvenção guiada por meio de matematização progressiva, fenomenologia didática e modelagem emergente. No que tange à primeira heurística,
o design de tarefas deve levar em conta tanto a História da Matemática quanto os procedimentos de solução informais dos estudantes como fontes de inspiração (Streefland, 1990), e tentar formular uma trajetória de aprendizagem potencialmente passível de revisão ao longo do qual um processo de reinvenção coletiva (ou matematização progressiva) pode ser apoiado (GRAVEMEIJER; VAN GALEN; KEIJZER, 2005, p.104, tradução nossa).
A segunda heurística pressupõe olhar para aplicações da Matemática (tanto em “situações do dia-a-dia” quanto na própria Matemática), a fim de encontrar os fenômenos que possam subsidiar a organização das tarefas que levem os estudantes a desenvolver um conceito ou ferramenta matemática.
Por fim, por modelagem emergente os autores referem-se ao uso de esquemas, desenhos, diagramas, tabelas, desenvolvimento de notações informais ou ainda o uso de notações matemáticas convencionais como meios para lidar com aquele fenômeno envolvido na tarefa. Segundo Gravemeijer, Van Galen e Keijzer (2005), inicialmente esses modelos
referem-se a um contexto específico, mas, à medida que os estudantes adquirem mais experiência com problemas similares, eles recebem um caráter mais estrutural, tornando-se gradativamente base para o raciocínio matemática e a para elaboração conceitual.
Conforme Watson et al. (2013), são várias as formas de se criar sequências de tarefas. Uma delas é manter constante a formulação do problema, mas modificar os números utilizados, aumentando sua complexidade. Outro tipo é tal que o(s) próprio(s) conceito(s) matemático(s) a ela subjacente(s) torna(m)-se mais complexo(s). Um terceiro (que embasa a discussão deste artigo) é aquele em que o problema torna-se progressivamente mais complexo pela adição de passos ou de variáveis.
Tomamos como ponto de partida para a organização de uma sequência de tarefas a seguinte situação: como construir uma calha, dispondo de uma longa folha retangular de
metal de 30 cm de largura, de modo que a quantidade de água recolhida seja a maior possível?. Esse é um contexto específico, que remete ao uso de estratégias e representações
informais, e pode progressivamente levar à formalização e generalização dos procedimentos de solução e à elaboração, por exemplo, do conceito de derivada de funções de uma ou mais variáveis.
Como uma primeira etapa do processo de design de tarefas, buscamos antecipar tanto os modos como a situação pode ser explorada quanto o que os estudantes podem aprender com elas. Quanto ao primeiro aspecto, é possível: (i) fazer uso de algum tipo de material manipulável para construção de modelo 3D; (ii) fazer uso de recurso tecnológico, a partir de um protótipo construído pelos próprios alunos, ou manipulando um recurso digital3
previamente elaborado pelo professor, como mostrado na Figura 1; (iii) abordar a situação por uma ou mais representações (verbal, numérica, algébrica).
Constituição de uma Sequência de Tarefas
3Esse recurso digital, elaborado no Geogebra pela segunda autora, encontra-se em um repositório online e pode ser acessado pelos alunos por meio do link. No
espaço virtual, o aluno encontra orientações tanto de como manipular o objeto, como para fazê-lo pensar sobre relações e conceitos envolvidos. A Figura 1 mostra duas janelas de visualização em que, ao movimentar com o cursor o ponto I o aluno percebe a variação do ângulo e do valor área na primeira janela de visualiza-ção. O aluno é orientado primeiro a observar o movimento do ponto J (ao passo que o ponto I é movimentado), e depois, a observar o rastro do ponto J na segun-da janela, gerando um conjunto de pontos resultantes segun-da relação entre o ângulo e a área. Assim, o aluno é colocado frente a diferentes representações segun-da situa-ção.
Acerca dos conhecimentos matemáticos que a situação pode mobilizar, destacamos: (i) volume de sólidos com faces planas (paralelepípedo reto-retângulo, paralelepípedo com base triangular ou trapezoidal) ou faces curvas (volume de cilindro); (ii) funções trigonométricas; (iii) derivada de uma função de uma ou mais variáveis; (iv) regras e propriedades de derivação; (v) determinação de valores extremos de uma função e otimização.
Visto que os resultados provenientes de experiências em sala de aula constituem um ele-mento central do design de tarefas (como um processo interativo e cumulativo de design e re-visão), elencamos algumas delas.
Uma primeira motivação para a escolha dessa temática deu-se a partir da proposição de uma atividade de modelagem matemática, pela segunda autora, a uma turma de CDI do curso de Engenharia Ambiental, no primeiro semestre de 2014. Na ocasião, um dos grupos escolheu como problemática o dimensionamento de um sistema para coleta de água da chuva para su-prir as necessidades de uma residência. Ao discutirem a escolha de uma cisterna para armaze-namento da água da chuva, surgiu a necessidade de pensar em como seria a vazão de entrada de água na cisterna (no caso, por meio de uma calha). Considerando que o grupo encontrava dificuldades e não tinha muita autonomia no desenvolvimento da atividade, a professora pro-pôs uma tarefa para a turma toda, independente da atividade de modelagem, com o intuito de instigar os alunos desse grupo a avançar em seu trabalho. Tal tarefa foi apresentada em uma estrutura “fechada”, na qual se dobrava 10 cm de cada lado da folha e se propunha de-terminar uma relação entre o ângulo da dobra e a capacidade de água na calha. Apesar da ta-refa ter sido resolvida satisfatoriamente por grande parte dos alunos, sua proposição ocorreu como “aplicação” de conceitos previamente estudados e não como mobilização para
elabora-Figura 1: Recurso educacional digital disponibilizado para a manipulação dos alunos. Fonte: http://ggbtu.be/mppCiv7aU.
ção de novos conhecimentos matemáticos.
No segundo semestre de 2014, o primeiro autor do artigo propôs, a uma turma de CDI do curso Engenharia de Materiais, a situação em sua forma “aberta” já enunciada no início dessa seção. Faz de sua aula a proposição de tarefas a serem desenvolvidas em equipe, muitas dessas não precedidas de exemplos e o incentivo à apresentação e discussão das ideias. Entre-tanto, para essa situação em particular, acabou por ocorrer algo similar ao que foi relatado por Stein e Smith (2004): em função da dificuldade das equipes em construir um modelo que pos-sibilitasse explorar a situação, o professor acabou por “ceder” ao pedido dos alunos e mostrar “como se fazia”. Acabou, assim, por eliminar “os aspectos desafiantes e lógicos da tarefa, reti-rando dos alunos a oportunidade de desenvolverem competências de raciocínio e pensamento e de alcançar uma compreensão matemática significativa” (STEIN; SMITH, 2004, p.25).
Ambas experiências permearam encontros do GEPEAM - Grupo de Estudo e Pesquisa so-bre Ensino e Aprendizagem da Matemática4, e desencadearam estudos e discussões que
leva-ram à reelaboração e constituição de uma sequência de tarefas, desencadeadas pela situação envolvendo a construção da calha.
Tal sequência está sendo implementada pelo primeiro autor no primeiro semestre de 2015 junto a uma turma de CDI do curso de Engenharia de Materiais5. À turma já haviam sido
propostas tarefas, para serem desenvolvidas em grupos, envolvendo: (i) a construção de mode-los matemáticos que fizeram uso de diferentes famílias de funções; (ii) exploração de aspectos gráficos por meio de translações, reflexões, compressões e alongamentos; (iii) exploração do conceito de derivada; (iv) regra de derivação de funções potências e propriedades da derivada da soma e diferença de funções e produto por constante; (v) uso de derivadas no estudo do formato do gráfico de uma função. Além disso, não havia sido proposta à turma nenhuma ta-refa com “estrutura” similar à da calha. No Quadro 1 apresentamos a primeira tata-refa.
A formulação da Tarefa 1, um caso particular da situação mais geral, pode remeter ao uso de estratégias e representações informais. No caso, os alunos poderiam, entre outros, (i)
4Grupo de pesquisa da qual fazem parte os autores.
5Trata-se de uma turma com 40 alunos, ingressantes no curso no 1º semestre de 2015. Exceto por dois alunos em regime de dependência, os demais cursam a
disciplina pela primeira vez.
De uma longa folha retangular de metal de 30 cm de largura deve-se fazer uma calha dobrando as bordas perpendicularmente à folha. Quantos centímetros devem ser dobrados de cada lado
de modo que a capacidade da calha seja máxima? Quadro 1: Tarefa 1.
construir uma tabela, atribuindo valores ao tamanho da dobra; (ii) representá-los por meio de um gráfico no plano cartesiano, de forma manuscrita ou recurso computacional, ou ainda (iii) construir uma expressão algébrica que relacione o tamanho da dobra à capacidade da calha. A solução aproximada poderia ser obtida por meio das duas primeiras estratégias, e a solução exata (Figura 2) seria encontrada, ou recorrendo-se à fórmula para o vértice de uma parábola (usualmente estudada no Ensino Médio), por tratar-se de uma função quadrática, ou ainda fa-zendo uso de derivada.
Tal tarefa foi proposta à turma para ser desenvolvida em horário extraclasse, em grupos de até três alunos. Nosso intuito era observar, respaldados pelas ideias de Ponte (2014), as ati-vidades que essa tarefa poderia desencadear e o modo como organizariam sua solução. Além disso, como contexto específico, possibilitaria aos alunos organizar um modelo que receberia um caráter mais estrutural, segundo as ideias de Gravemeijer, Van Galen e Keijzer (2005).
Na sequência, a proposição de uma nova tarefa (Quadro 2) ocorreu em sala de aula, quando foram destinados trinta minutos para que os alunos discutissem, em grupos, outras configurações possíveis para a calha a partir da mesma folha de metal.
Essa tarefa trouxe mais diversidade quanto às possíveis formas da calha. No Quadro 3 ilustramos três diferentes propostas apresentadas pelos estudantes. A primeira delas foi a mais
Figura 2: Recorte do desenvolvimento de um dos grupos na Tarefa 1. Fonte: autores.
De que outra maneira a calha poderia ser construída, de modo a maximizar sua capacidade? Quadro 2: Tarefa 2.
frequente, e consistiu na obtenção de uma expressão matemática que representa como uma função de duas variáveis a área da seção transversal da calha a ser otimizada, tomada como um paralelepípedo de base trapezoidal. A segunda foi sugerida por apenas um grupo, que su-pôs construir a calha com seção transversal em formato triangular. A terceira apareceu em dois grupos, que propuseram construir a calha como um semicilindro.
Não era objetivo do professor que os alunos obtivessem, naquele momento, uma solução para o problema, mas sim, que fizessem uso de esquemas, desenhos, notações informais ou ainda notações matemáticas convencionais como meios para lidar com aquele fenômeno en-volvido na tarefa. Como apontado por Gravemeijer (1999), as estratégias elaboradas pelos alu-nos (que constituem um modelo emergente) serviram como pontos de partida para problema-tizar novos conceitos matemáticos: derivada de um produto de funções e derivação de funções trigonométricas.
Alguns encaminhamentos mostraram-se possíveis. Um deles seria instigar os estudantes a aprimorarem os modelos que emergiram e, com auxílio de recurso tecnológico, buscar uma solução aproximada da situação, por meio do esboço do gráfico da função trigonométrica. Nesse caso, poderia ainda sugerir a restrição ao estudo de função de uma variável (por exem-plo, fixando as dobras no lado da lâmina em 10 cm, como na Figura 1, ficando assim a área em função do ângulo), ou fazer uso do recurso “controle deslizante” (disponível no Geogebra) para representar o tamanho da dobra.
Quadro 3: Recorte de três abordagens à Tarefa 2. Fonte: autores.
Outra possibilidade (a que foi adotada pelo professor) seria “suspender” momentanea-mente a tarefa, dando lugar a outras envolvendo a derivação de um produto de funções e a derivada de funções trigonométricas. Nas discussões que emergiram quando da socialização das abordagens propostas pelos grupos, uma hipótese levantada foi que a derivada de um produto é igual ao produto das derivadas. Uma terceira tarefa (Quadro 4), que requer uso de recurso tecnológico, foi organizada com o intuito de problematizar essa hipótese.
Novas tarefas (cuja apresentação é omitida neste texto), com o intuito de explorar a Re-gra do Produto, ReRe-gra do Quociente, ReRe-gra da Cadeia e as derivadas de funções trigonométri-cas serão propostas. Após essas (desenvolvidas num espaço de tempo de cerca de três sema-nas), será proposto aos grupos retomar suas soluções à Tarefa 2. Nossa intenção é experiências de design fundamentem uma sequência de ensino “desenhada” com base nessas tarefas.
Com a presente pesquisa, que está inserida em um projeto mais amplo, investigamos po-tencialidades de uma situação – a construção de uma calha – e o processo de constituição de uma sequência de tarefas a partir desta situação. Esse processo vem se realizando desde o pri-meiro semestre de 2014, por meio de proposições de tarefas de dois dos professores autores em suas disciplinas de CDI e se tornou foco de estudos e pesquisas do GEPEAM como uma das ações para a implementação de um ambiente educacional para esta disciplina.
Das experiências relatadas que ocorreram no primeiro e segundo semestres de 2014, em que os alunos tiveram dificuldades para lidar com a situação da calha, apresentada de uma for-ma ampla, percebemos a necessidade de, em um primeiro momento, propor ufor-ma tarefa for-mais fechada, como foi o caso da Tarefa 1 (Quadro 1), uma tarefa em que o aluno tinha mais infor-mações e menos opções para se pensar no formato da calha. Esta tarefa permitiu que propu-séssemos a Tarefa 2 (Quadro 2), com menos informações e mais possibilidades de formatos para se pensar a calha, o que possibilitou uma diversidade de respostas por parte dos alunos.
Quadro 4: Tarefa 3. Fonte: autores.
Considerações Finais
Num mesmo sistema referencial, construa os gráficos de , , , e . Construa um seletor e insira um ponto de abscissa sobre o gráfico de
cada uma das funções. Construa a reta tangente ao gráfico de cada uma das funções nesses pontos. Investigue as inclinações dessas retas e estabeleça, quando possível, alguma relação entre elas.
2 ( ) f x x g(x)x3 h(x)x2x3 3 2 ) (x x x i a x a
Estas respostas, como dissemos, permitiriam ao professor problematizar novos conceitos mate-máticos.
É neste sentido que constituímos uma sequência de tarefas: a Tarefa 1 facilita a proposi-ção da Tarefa 2, que, por sua vez, serve como ponto de partida para o desenvolvimento de no-vos conceitos matemáticos e de novas tarefas – como a Tarefa 3 apresentada, que explora uma hipótese levantada pelo aluno – e assim por diante, desencadeando novas tarefas.
Para além da constituição de uma sequência de tarefas, nossos propósitos futuros de pesquisas envolvem responder perguntas como: de que modo essa sequência de tarefas per-mite o desenvolvimento de um pensamento matemático avançado, uma vez que perper-mite ao aluno levantar hipóteses e testá-las, inserindo-o no ato criativo de fazer matemática? Como podemos fazer uso de tecnologias no desenvolvimento dessas tarefas e quais seus efeitos?
Esses e outros movimentos de pesquisas compõem o processo de caracterização e im-plantação de um ambiente educacional tal como definimos e almejamos para a disciplina de CDI.
Os autores agradecem ao CNPq (Processo 457765/2014-3) pelo auxílio à realização do projeto da qual resulta este artigo, e à Diretoria de Pesquisa e Pós-Graduação da UTFPR – câm-pus Londrina pelo auxílio à sua apresentação.
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