COM os avanços tecnológicos na área de

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Generation of self-similar Gaussian time series by

means of the DWT and DWPT variance maps

I. R. Lund and J. R. de A. Amazonas

Abstract— Due to the several kinds of services that use the Internet and data networks infra-structures, the present networks are characterized by the diversity of types of traffic that have statistical properties as complex temporal correlation and non-gaussian distribution. The networks complex temporal correlation may be characterized by the Short Range Dependence -(SRD) and the Long Range Dependence - (LRD). Models as the fGN (Fractional Gaussian Noise) may capture the LRD but not the SRD.

This work presents two methods for traffic generation that synthesize approximate realizations of the self-similar fGN with SRD random process. The first one employs the IDWT (Inverse Discrete Wavelet Transform) and the second the IDWPT (Inverse Discrete Wavelet Packet Transform). It has been developed the variance map concept that allows to associate the LRD and SRD behaviors directly to the wavelet transform coefficients. The developed methods are extremely flexible and allow the generation of Gaussian time series with complex statistical behaviors.

Keywords— Self-similarity, long range dependence (LRD), short range dependence (SRD), traffic, wavelets, variance, wavelet packet.

I. INTRODUC¸ ˜AO

C

OM os avanços tecnológicos na área de

telecomunicações, redes e aplicações, a Internet e as redes de dados corporativas passaram a ser a infra-estrutura para diversos tipos de serviços com diferentes caracter´ısticas de tráfego. São exemplos de tais serviços as aplicações mais tradicionais como navegar na web e as aplicações multim´ıdia como voz sobre IP, transmissão de v´ıdeo e mensagens instantâneas. Assim, as atuais redes são caracterizadas pela diversidade de tipos de tráfego os quais possuem diversas propriedades estat´ısticas como correlação temporal complexa e distribuição não Gaussiana.

Sendo assim, modelar tráfego e entendê-lo é importante para o projeto e simulação de redes, para prover qualidade de serviço (QoS) para diversas aplicações e para o gerenciamento e controle das redes. Vários modelos foram propostos no passado para modelar o tráfego de redes como o processo aleatório de Poisson [1] [2]. Entretanto, é necessário modelar de forma realista o tráfego de redes heterogêneo que possui duas propriedades estat´ısticas pertinentes: correlação temporal complexa e distribuição marginal não Gaussiana que resultam da complexidade das redes IP e da atual diversidade de aplicações. A correlação temporal complexa do tráfego de redes pode ser caracterizada pela dependência de curta duração

I. R. Lund, Laboratório de Comunicaç ões e Sinais do Departamento de Enge-nharia de Telecomunicaç ões e Controle da Escola Politécnica da Universidade de São Paulo (LCS-PTC-EPUSP), [email protected]

J. R. A. Amazonas, LCS-PTC-EPUSP, [email protected]

(Short Range Dependence - SRD) e dependência de longa duração (Long Range Dependence - LRD). Aplicações como voz sobre IP (VoIP) e VBR (Variable Bit Rate) video traces geram tráfego com a propriedade SRD, enquanto aplicações como requisição de uma página web geram tráfego LRD. De fato, tráfego de redes como VBR podem exibir uma mistura complexa de SRD e LRD [3]. Trabalhos feitos com medidas tanto em redes locais [4] quanto em redes de grande área [5] mostraram que o tráfego das redes possui propriedades fractais tais como memória longa (LRD) e auto-similaridade. Foi constatado que as aplicações de tempo real são caracterizadas pela SRD. Já aplicações que não são de tempo real como

video-on-demand, comunicação de dados e algumas tarefas de gerenciamento de redes devem ser modeladas por modelos de tráfego que capturem a dependência temporal em largas escalas de tempo (LRD) [3].

A. Contribuic¸˜oes do Trabalho

Este artigo apresenta dois métodos para gerar tráfego que sintetiza realizações aproximadas do processo aleatório auto-similar fGN utilizando wavelet. Ambos métodos geram séries que apresentam dependência de longa duração (LRD). O primeiro método, chamado de DWT com mapa de variâncias,

gera as realizac¸˜oes fGN simulando um sinal gaussiano 1/fα

a partir da IDWT (Inverse Discrete Wavelet Transform -Transformada Wavelet Discreta Inversa) de uma matriz de coeficientes, gerada assumindo-se que: a) a progressão da variância dos coeficientes wavelet é exponencial; b) os coefi-cientes wavelet intra-escala são i.i.d (i.i.d significa indepen-dente e identicamente distribu´ıdos.) e c) não há correlação entre escalas. O segundo método, chamado de DWPT com mapa de variâncias, gera as realizações fGN simulando um

sinal gaussiano 1/fα _{a partir da IDWPT (Inverse Discrete}

Wavelet Packet Transform) utilizando o conceito de mapa de variâncias wavelet packet. A fim de introduzir SRD em tais séries para que tenham a caracter´ıstica de séries mistas (LRD e SRD) sem a necessidade de a geração passar por dois estágios como em [6], foi calculado uma mapa de variâncias SRD com a introdução do ganho SRD nas variâncias dos coeficientes do n´ıvel menos refinado do mapa de variâncias calculado para a geração das séries LRD, referentes ao intervalo de freqüência onde se pretende introduzir o comportamento SRD.

A validação dos métodos DWT com mapa de variâncias e DWPT foi feita em duas etapas: 1) Efetuou-se uma análise comparativa entre as séries geradas pelos métodos DWT de Bäckar, DWT com mapa de variâncias e DWPT a fim de verificar que as séries geradas pelos métodos DWT com mapa de variâncias e DWPT são 1/f e LRD assim como as geradas

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pelo método DWT de Bäckar implementado em [7]. Essa análise foi feita pelos gráficos do periodograma e da função de autocorrelação e pela estimativa do parâmetro de Hurst pelos métodos de Whittle e do periodograma; 2) Compararam-se as séries geradas pelos métodos DWT com mapa de variâncias e DWPT antes e depois da inserção do ganho SRD pela análise dos periodogramas.

B. Organizac¸˜ao do Artigo

Após esta Introdução, a Seção II apresenta os principais trabalhos correlacionados. A Seção III faz uma revisão teórica dos seguintes conceitos: Ru´ıdo Gaussiano Fracionário (fGN) que foi o primeiro modelo auto-similar a ser proposto na literatura e que, até hoje, é um dos processos1/fα_mais rele-vantes, DWT (Discrete Wavelet Transform) e DWPT (Discrete

Wavelet Packet Transform). A Seção IV apresenta o mapa de variâncias wavelet packet onde a expressão da variância

wavelet packet é deduzida a partir da expressão da variância

wavelet e é calculado o mapa de variâncias wavelet packet para o fGN. Na Seção V são descritos os métodos DWT com mapa de variâncias e DWPT para Geração de Séries Temporais Gaussianas com LRD e com a introdução de SRD. A Seção VI apresenta os resultados através da validação dos métodos DWT com mapa de variâncias e DWPT desenvolvidos neste trabalho. A Seção VII apresenta as conclusões e sugestões de trabalhos futuros.

II. TRABALHOSCORRELACIONADOS

Em [8] foi introduzido o m´etodo DHM (Davies and Harte

Method) de geração de realizações de processos estacionários Gaussianos de média nula. O método é baseado na Fast

Fourier Transform (FFT). Outro método baseado na FFT, denominado Gaussian Spectral Synthesis Method (GSSM) foi publicado em [9]. Em [10], foi proposto um método de geração de realizações aproximadas do fGN baseado na FFT. Paxson demonstrou que o seu método gera séries estatisticamente indistingu´ıveis de realizações fGN e que essas séries podem ser utilizadas na geração de tráfego de redes auto-similares.

O trabalho descrito em [11] tem o objetivo de sintetizar tr´afego em “tempo-real” semelhante ao encontrado em redes

reais. ´E mencionado um poss´ıvel uso para o tr´afego

sinte-tizado com caracter´ısticas reais e sua vantagem: utilização em ambientes de teste para comparação de performance de equipamentos de rede obtendo resultados mais realistas. Nesse estudo, afirma-se que a auto-similaridade, a ocorrência de

bursts e a “dependência de longa duração” caracterizam o tráfego encontrado nas redes de dados.

Em [6], foi modelado e implementado um gerador de tráfego que exibe caracter´ısticas auto-similares para uso em redes IP. Esse artigo mostra a s´ıntese de realizações aproximadas do processo aleatório auto-similar fGN via transformada

wa-velet discreta (DWT). São geradas séries que apresentam dependência de longa duração (LRD). Para sintetizar séries que também apresentem dependência de curta duração (SRD), a geração foi feita em dois estágios. O primeiro gera as realizações fGN similar ao gerador implementado em Bäckar

[11] simulando um sinal gaussiano 1/fα _{a partir da IDWT}

(Inverse Discrete Wavelet Transform - Transformada

Wave-let Discreta Inversa) de uma matriz de coeficientes, gerada

assumindo-se que: a) a progressão da variância dos coefi-cientes wavelet é exponencial conforme deduzido em [12]; b) os coeficientes wavelet intra-escala são i.i.d e c) não há correlação entre escalas. O segundo estágio introduz SRD através de uma filtragem IIR (Infinite Impulse Response) da sa´ıda do primeiro estágio.

Este trabalho estende aquele desenvolvido em [6] por meio do uso do mapa de variâncias que aumenta a flexibilidade para a introdução de dependências SRD mais complexas e elimina a etapa de filtragem, isto é, as dependências LRD e SRD são introduzidas simultaneamente.

III. REVISAO˜ TEORICA´

A densidade espectral de potência (DEP) de um processo de memória longa tem um pólo na origem. O grau de LRD e impulsividade do tráfego é expresso em termos do parâmetro

de Hurst [13] [14], 0 < H < 1 (α = 2H - 1). Quando

1/2 < H < 1, o tráfego é auto-similar e LRD. Quanto maior H, maior o grau de LRD. A auto-similaridade está associada à apresentação de estruturas similares em diferentes escalas de observação. No caso de tráfego, a alternância de per´ıodos de surtos e de suavidade (impulsividade e burstiness) e a LRD são mantidas em várias escalas de tempo onde a auto-similaridade ocorre em um sentido estat´ıstico. Os processos LRD são conhecidos como processos com espectro 1/fα_,_{0 < α < 1.}

Modelos como processos fGN (Fractional Gaussian Noise) podem capturar a LRD mas n˜ao a SRD.

A transformada wavelet ´e indicada para a s´ıntese de sinais 1/fα_{[15] [16] porque:}

• os coeficientes wavelet de um processo 1/fαsão aproxi-madamente não correlacionados no plano tempo-escala. Portanto, a modelagem e o processamento desses si-nais naquele dom´ınio podem ser realizados de maneira eficiente. Mais precisamente, pode-se afirmar que não há correlação entre coeficientes wavelet de uma mesma escala e que a correlação entre escalas diferentes é fraca (neste caso, a correlação é maior entre escalas adjacentes [3]).

• é o método mais eficiente do ponto de vista computacio-nal. A complexidade (em termos de operações de adição e multiplicação) associada à geração de uma realização de M amostras éO(M ) (A notação O(aN) significa que o número de operações necessáriasNop, a menos de uma constante multiplicativaC, é menor ou igual a aN para

qualquerN (Nop ≤ CaN).). M´etodos baseados na FFT

(Fast Fourier Transform) [10], [9] possuem complexidade O(M logM ). A técnica de geração no dom´ınio do tempo de Hosking [17], baseada nas recursões de Levinson-Durbin, requerO(M2_{) operações.}

• oferece a possibilidade de s´ıntese de tr´afego

n˜ao-gaussiano.

• a noção de escala temporal é intr´ınseca à definição da transformada.

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A. Ru´ıdo Gaussiano Fracion´ario

O Ru´ıdo Gaussiano Fracion´ario, em inglˆes Fractional

Gaus-sian Noise, é um processo estocástico estacionário, auto-similar e de memória longa, proposto por [18] e bastante explorado na literatura de séries temporais [16]. Por ser um processo estocástico estacionário de tempo discreto, o fGN é exatamente auto-similar de segunda ordem com parâmetro

de Hurst H (1/2 < H < 1) se possuir seq¨uˆencia de

autocovariˆancia dada por:

γX(τ ) = σX2

2 [(τ + 1)

2H_{− 2τ}2H_{+ (τ − 1)}2H_], ₍₁₎

para todoτ ∈ Z.

O processo fGN Xk ´e normalmente definido como o

pro-cesso de incrementos associado ao propro-cesso fBM (Fractional

Brownian Motion) Y (t), t ∈ R, sendo o fBM um processo

gaussianoe H-sssi (H self-similar with stationary increments - auto-similar com incrementos estacionários). Desta maneira, o fGN corresponde à primeira diferença de um processo

auto-similarYk denominado movimento Browniano fracion´ario de

tempo discreto (DFBM) [19] [16], em que o DFBM é obtido através da amostragem do processo de tempo cont´ınuo fBM. Essa relação é dada por (2):

Xk= Yk− BYk = Yk− Yk−1= ∇Yk, (2)

em queB denota o operador atraso unit´ario e ∇ = (1 − B)

´e o operador diferenc¸a.

A DEP (Densidade Espectral de Potência) do DFBM é dada por [16, pág. 280]: SY(f ) = σX2CH ∞ X j=−∞ 1 |f + j|2H+1, (3) em que σ2

X ´e a potˆencia do fGN, CH = Γ(2H+1) sin (πH)_2π2H+1 e

0 < H < 1. De acordo com (3), a DEP do DFBM possui um p´olo na origem, pois

SY(f ) ∝ |f |−1−2H, f → 0 . (4)

O DFBM ´e um processo integrado de ordem 1

não-estacion ário. Como Xk = ∇Yk, pode-se mostrar [16, pág. 280] que

SX(f ) = 4 sin2(πf )SY(f ) . (5)

Como para pequenos valores def tem-se sin(πf ) ≈ f , a

DEP do fGN apresenta o seguinte comportamento pr´oximo `a origem:

SX(f ) ∝ f1−2H, f → 0 , (6)

então o fGN satisfaz a relação (7) de um processo estacionário

de mem´oria longa quando 0 < 2H − 1 < 1, ou seja, 1/2 < H < 1. lim f →0 SX(f ) CS|f |−α = 1, (7) em que 0 < α < 1 e CS > 0.

Assim, (3) e (5) mostram que a DEP do fGN ´e caracterizada por somente dois parˆametros:σ2

XeH (respons´avel pela forma

do espectro). Além disso, é importante salientar que o fGN é completamente especificado pelas suas estat´ısticas até segunda ordem, como a média e DEP, pois é gaussiano.

Pelo fato do fGN apresentar seqüência de autocovariância conforme (1), trata-se de um processo exatamente auto-similar

de segunda ordem quando 1/2 < H < 1. Para H = 1/2 , o fGN reduz-se a um ru´ıdo branco gaussiano. Quando0 < H < 1/2, o processo ´e SRD.

B. Discrete Wavelet Transform

A transformada wavelet discreta (DWT) é uma ferramenta básica para o estudo de séries temporais e tem uma função análoga à da transformada de Fourier discreta na análise espectral [16]. A transformada wavelet discreta (DWT) da

s´erie temporal {Xt} ´e uma transformada ortonormal assim

como a transformada de Fourier discreta - Ortogonal Discrete

Fourier Transform (ODFT). Seja {Wn : n = 0, ..., N − 1} o conjunto de coeficientes DWT, ent˜ao, pode-se dizer que

W_{= WX, equação conhecida como equação de análise ou}

de decomposição, em que W é o vetor coluna de tamanho

N = 2J _{do qual o}_{n-ésimo elemento é o n-ésimo coeficiente}

DWTWn, eW é uma matriz de transformação ortogonal de

valor realN × N que define a DWT e satisfaz WT_{W = I}

N.

A ortonormalidade implica em X =WT_W_e_||W||2₌_||X||2_.

O sinal no tempo contido em X pode ser completamente recuperado por esta equação que é conhecida como equação de s´ıntese ou de reconstrução.Wn2 representa a contribuição à energia atribu´ıda ao coeficiente DWT de ´ındicen [16].

On-´esimo coeficiente wavelet Wn ´e associado a uma certa escala e a um certo intervalo de tempo.

A DWT pode tamb´em ser entendida como uma

decomposição particular da série temporal {Xt} dentre

todas as poss´ıveis que s˜ao obtidas pela DWPT.

C. Discrete Wavelet Packet Transform

A DWPT pode ser considerada como uma coleção de transformadas ortonormais, sendo que cada uma delas pode ser rapidamente calculada utilizando uma modificação muito simples do algoritmo da pirâmide [20] para a DWT. Cada

DWPT ´e associada com um n´ıvel j, e o j-´esimo n´ıvel da

DWPT decompõe o intervalo de freqüência [0,1/2] em 2j

intervalos iguais e individuais. Devido à decomposição do

n´ıvel J-1 dividir [0,1/2] em N/2=2J−1 _{intervalos iguais,}

há uma DWPT que simula, mas não é a mesma, que a decomposição de [0,1/2] dada pela transformada discreta de

Fourier (DFT). Quandoj = 1,...,J-1, a DWPT resulta no que

se pode chamar de decomposição tempo-freqüência porque cada coeficiente DWPT pode ser localizado numa banda de freqüência espec´ıfica e num intervalo de tempo espec´ıfico ( É similar à motivação da chamada transformada de Fourier de tempo curto, a qual essencialmente é calculada pela aplicação da DFT a sub-séries extra´ıdas de X.). Também pode-se criar uma grande coleção de transformadas ortonormais através do agrupamento cuidadoso de bases vetoriais selecionadas de diferentes DWPTs. De fato, a DWT e todas DWTs parciais podem ser formadas utilizando bases vetoriais de diferentes

(4)

DWPTs. Então, esse esquema leva a uma coleção de trans-formadas flex´ıvel que serve como ponte entre decomposições tempo/escala e tempo/freqüência [16].

W_{= WX representa os coeficientes wavelet obtidos pela}

transformada de X utilizando a matriz DWT ortonormalN ×

N W (Assume-se que N = 2J _{para qualquer inteiro} _{J.). Na}

pr´atica, a matriz W ´e gerada implicitamente pelo algoritmo

da pirˆamide.

No dom´ınio da freqüência, W1,1 está relacionado ao inter-valo de freqüência [1₄,1₂]; W2,1 ao intervalo [81,

1

4]; e W2,0 ao intervalo [0,1₈].

A decomposição de X que se assemelha a análise de multiresolução da DWT usual:

kXk2 =kW2,0k2+kW2,1k2+kW2,2k2 +kW2,3k2pode produzir uma análise de variância (ANOVA) similar à baseada da DWT.

A Figura 1 ´e um exemplo de wavelet packet table ou wavelet

packet tree. Já que o ponto inicial da análise é a série temporal

X_{, define-se que W}_0,0 _{≡ X. Assim, X est´a associado com}

uma doublet (j,n), no caso (0,0).

W0,0= X j=0 W1,0 j=1 W1,1 W2,0 j=2 W2,1 W2,2 W2,3 W3,0 j=3 W3,1 W3,2 W3,3 W3,4 W3,5 W3,6 W3,7 0 1 16 1 8 1 4 3 16 5 16 3 8 7 16 1 2 G( )k N 2 H( )k N 2 G( )k N1 2 H( )k N1 2 H( )k N1 2 G( )k N1 2 G( )k N 2 2 G( )k N 2 2 H( )k N 2 2 H( )k N 2 2 G( )k N 2 2 G( )k N 2 2 H( )k N 2 2 H( )k N 2 2 f

Figura 1:Diagrama de fluxo ilustrando a an´alise de X em W3,0,. . ., W3,7.

Nj ≡ N/2j. Fonte: [16] p´agina 212.

A coleção de doublets (j,n) formando os ´ındices dos nós da tabela serão denotados porN ≡ {(j, n) : j = 0, . . . , J0; n = 0, . . . , 2j _{− 1}, sendo poss´ıvel escolher qualquer J}

0 que

satisfaça J0 ≤ J (como também é verdadeiro para DWTs

parciais, se J0 < J pode-se relaxar a estipulação N = 2J e permitir que N seja qualquer inteiro múltiplo de 2J0_{). As}

doublets(j,n) que formam os ´ındices dos coeficientes Wavelet Packet (WP) correspondentes a uma transformada ortonormal

ser˜ao denotadas por C; por exemplo, C = {(3,n):n=0,. . .,7}

para a transformada DWPT de n´ıvel j = 3 levando a W3,0,

. . ., W3,7. Claramente,C ⊂ N . ´

E interessante notar que além das DWPTs, é poss´ıvel extrair outras transformadas ortonormais da tabela WP. Por exemplo, todas DWTs parciais podem ser retiradas dessa tabela. Isso é

ilustrado pela Figura 2 na qual a DWT parcial de n´ıvel J0

= 3 consiste de quatro n´os da tabela WP e s˜ao eles: C =

{(3, 0), (3, 1), (2, 1), (1, 1)}. W0,0= X j=0 W1,0 j=1 W1,1 W2,0 j=2 W2,1 W3,0 j=3 W3,1 0 1 16 1 8 G( )k N 2 H( )k N 2 G( )k N1 2 H( )k N1 2 G( )k N 2 2 H( )k N 2 2 1 4 f

Figura 2: Diagrama de fluxo ilustrando a an´alise de X em W3,0, W3,1,

W_2,1_{, W}_1,1 _{o qual é idêntico à DWT parcial de n´ıvel}_J0 = 3. Fonte: [16]

p´agina 212.

IV. MAPA DE VARIANCIASˆ WAVELETPACKET

A. Variˆancia Wavelet Packet

A variˆancia Wavelet (tamb´em chamada de espectro

Wa-velet) é uma quantidade teórica definida para explorar mais profundamente a análise de variância baseada em wavelet. A variância wavelet é interessante pelos seguintes pontos de vista [16]:

• A variância wavelet decompõe (analisa) a variância de um determinado processo estocástico numa base de escala. • A variância wavelet está relacionada com os conceitos de

densidade espectral de potˆencia (DEP).

• A variância wavelet é um bom substituto para a variância de um processo para alguns processos com variância infinita.

O segundo ponto de vista ´e o de interesse para este artigo e que ser´a desenvolvido para a wavelet packet.

Assim como os coeficientes wavelet da DWT numa

determinada escala τj s˜ao nominalmente associados com

frequˆencias no intervalo [1/2j+1_,1/2j_{], os coeficientes da}

DWPT num determinado n´ıvelj s˜ao nominalmente associados

com freq¨uˆencias no intervalo [n/2j+1_{,(n + 1)/2}j+1_]. υ2

Y(τj) ´e a variˆancia dos coeficientes wavelet da DWT na escalaτj:

υ2Y(τj) ≈ 2 Z 1/2j

1/2j+1

SY(f )df (8)

O fator 2 que multiplica a integral acima é devido à DEP SY(.) ser uma função par de f no intervalo [-1/2,1/2].

Similarmente,υ2

Y(j, n) é a variância do n-ésimo coeficiente

DWPT no n´ıvelj (doublet (j,n)):

υ2Y(j, n) ≈ 2j

Z n+1/2j+1

n/2j+1

SY(f )df (9)

B. Mapa de variˆancias Wavelet Packet para o fGN

Como o objetivo deste trabalho é gerar séries temporais baseadas no modelo fGN, é necessário calcular o mapa de variâncias para os coeficientes DWPT que será utilizado na s´ıntese de séries fGN via DWT e DWPT.

(5)

Admitindo-se que a DEP de um fGN possa ser aproximada por:

SY(f ) = f−α, (10)

substituindo (10) em (9), obtém-se a expressão para variância dos coeficientes DWPT para um processo fGN:

υY2 ≈ 2j Z n+1/2j+1 n/2j+1 f−α df υ2Y(j, n) ≈ 2j 1 − α 1 2j+1 1−α h (n + 1)1−α− n1−αi (11)

Como a DWT pode ser extra´ıda da tabela WP, o mapa de variâncias da DWT também pode ser extra´ıdo do mapa de variâncias da DWPT. Os coeficientes wavelet das escalas j da DWT são os coeficientes n=1 dos n´ıveis j da DWPT.

Então, substituindo n=1 em (11), obtém-se a expressão para

a variˆancia do coeficiente wavelet de cada escala j: υ2Y(τj) = υY2(j, 1) υ2Y(τj) ≈ 1 1 − α 1 2−αj 1 − 1 21−α (12) sendo _1−α1 1 − 1 21−α

= C, em que C ´e uma constante e υ2

Y(τj) ≈ C × 2αj.

Por (12), observa-se que a variância dos coeficientes wavelet de um processo fGN é exponencialmente relacionada à escala j como foi utilizado em [7] que se baseou nos trabalhos de Kaplan e Kuo [12] e de Flandrin [21] [22] que obtiveram o mesmo resultado.

A Tabela I é um exemplo de um mapa de variâncias DWPT para s´ıntese de um fGN com 3 n´ıveis (J=3) e parâmetro α=0,9 normalizado pelo coeficiente wavelet da DWT no último n´ıvel a fim de que esse coeficiente tenha variância 1 na escala menos refinada J=3.

De acordo com [7], uma série temporal com comportamento SRD e LRD, simultaneamente, pode ser obtida por meio da filtragem adequada de uma série temporal que apresente apenas comportamento LRD. Dessa forma, a DEP da série temporal com comportamento SRD e LRD pode ser escrita na forma

SY(f ) = GSRD(f ) × SYLRD(f ) (13)

em que GSRD(f ) representa o comportamento SRD e ser´a

chamado de ganho SRD, e SYLRD(f ) ´e a DEP de uma s´erie

temporal com comportamento LRD puro. Dessa forma, a variˆancia wavelet ´e dada por

υY2(τj) ≈ 2 Z 1/2j 1/2j+1 SY(f )df ≈ 2 Z 1/2j 1/2j+1 GSRD(f ) × SYLRD(f )df (14)

Se, a t´ıtulo de exemplo, for considerado que o ganho SRD independe da freqüência, então

υ2Y(τj) ≈ 2 Z 1/2j 1/2j+1 SY(f )df ≈ 2 Z 1/2j 1/2j+1 GSRD× SYLRD(f )df ≈ GSRD× 2 Z 1/2j 1/2j+1 SYLRD(f )df (15)

A equação (15) mostra que o mapa de variâncias de uma série temporal com SRD e LRD pode ser obtido do mapa de variâncias de uma série com comportamento LRD puro, multiplicando a variância dos coeficientes wavelet na escala menos refinada pelo ganho SRD. Neste trabalho, a equação (15) é a base para a geração de séries temporais Gaussianas com LRD e SRD. No caso mais geral, utiliza-se a equação (14) que deve ser integrada numericamente.

V. GERAÇ ÃO DES ÉRIESTEMPORAISGAUSSIANAS COM

LRDESRD

Neste trabalho foram geradas séries temporais Gaussianas que apresentam simultaneamente LRD e SRD em diferentes faixas de freqüência através do desenvolvimento de dois métodos que se baseiam no mapa de variâncias, o método DWT com mapa de variâncias e o método DWPT. Diferente-mente do apresentado em [6], em foi desenvolvido um gerador que necessitava de dois estágios para gerar tais séries, neste trabalho a introdução dos comportamentos SRD e LRD é feita simultaneamente.

A. Geração de Séries Temporais Gaussianas com LRD pelo método DWT com mapa de variâncias

Para que seja poss´ıvel a introdução de SRD em séries temporais geradas via DWT, o código desenvolvido em [7] foi alterado para utilizar a variância do coeficiente wavelet de um mapa de variâncias previamente calculado. Nesse mapa, são calculadas as variâncias dos coeficientes do n´ıvel menos refinado (j = J + 1) de uma wavelet packet table (ver Seção III-C) e normalizadas pela variância do coeficiente wavelet da DWT (coeficiente WJ+1,2). As variâncias dos coeficientes dos demais n´ıveis (j) são calculadas a partir das variâncias dos coeficientes do n´ıvel (j + 1). Após o cálculo do mapa de variâncias completo, é introduzida a SRD nas variâncias dos coeficientes do n´ıvel menos refinado do mapa referentes ao intervalo de freqüência requerido gerando um mapa de variâncias com SRD.

Esse código gera ao mesmo tempo séries temporais gaussi-anas com LRD e densidade espectral de potência (DEP) 1/f e tais séries com a introdução de SRD no intervalo de freqüência solicitado.

B. Geração de Séries Temporais Gaussianas com LRD pelo método DWPT

Para a geração de séries pelo método DWPT é necessário calcular o mapa de variâncias conforme já foi descrito na Seção V-A para obter:

(6)

TABELA I:Mapa de variˆancias DWPT para s´ıntese de um fGN com 3 n´ıveis (J=3) e parˆametro α=0,9, normalizado pelo coeficiente W3,1 N´ıvel Coeficientes DWPT 0 W_0,0 2,14 1 W_1,0 W_1,1 4,00 0,29 2 W_2,0 W_2,1 W_2,2 W_2,3 7,47 0,54 0,33 0,24 3 W_3,0 W_3,1 W_3,2 W_3,3 W_3,4 W_3,5 W_3,6 W_3,7 13,93 1,00 0,62 0,45 0,36 0,30 0,26 0,23

• o coeficiente de inicialização n e seu par n + 1 ou n − 1 do n´ıvel menos refinado através da multiplicação do desvio padrão (raiz da variância retirada do mapa) por um vetor de números aleatórios de dimensão igual ao número de pontos que os coeficientes do n´ıvel menos refinado deverão ter para iniciar a reconstrução;

• o coeficiente do n´ıvelj que não foi reconstru´ıdo a partir dos coeficientes do n´ıvel j + 1 mas que será necessário para a reconstrução do coeficiente do n´ıvelj − 1. O mapa de variâncias com a introdução de SRD também será calculado conforme descrito na Seção V-A a fim de gerar a mesma série temporal com a introdução do SRD no intervalo de freqüências solicitado. A única diferença é a escolha do conjunto de coeficientes DWPT que serão utilizados na construção da série temporal desejada.

VI. RESULTADOS

Para validar que os métodos DWT com mapa de variâncias e DWPT geram séries temporais gaussianas com LRD, séries geradas por este métodos serão comparadas com séries geradas pelo método DWT de Bäckar implementado no trabalho [7].

´

E importante ressaltar que este trabalho não é um trabalho de modelagem de tráfego e, portanto, não há a preocupação de comparar as caracter´ısticas obtidas com as observadas em traces de tráfego real. O objetivo deste trabalho é o de reproduzir as caracter´ısticas já reportadas na literatura, descritas nas Seções I e II, e detalhadas em [7].

Para todas as simulações foram geradas séries temporais com os mesmos parâmetros: 4096 pontos, função wavelet de

Haar eα = 0,9 (H = 0,95).

Como o trabalho de Mello [7] já demonstrou que o método de geração de séries temporais via transformada wavelet realmente gera séries gaussianas com LRD, a validação deste trabalho ficou limitada à análise do periodograma, da função de autocorrelação e estimativa do parâmetro de Hurst pelos métodos de Whittle e do periodograma [23] [7].

O estimador da função de autocorrelação é dado por:

ˆ ρX(τ ) = 1 M s2 X M X k=m+1 (Xk− ˆµ)(Xk−m− ˆµ) , (16)

em queM ´e o n´umero de amostras, s2

X é a variância amostral eµ é o estimador da média µ de X. Note-se que −1 ≤ ρ ≤ 1.ˆ

O estimador ˆPX(f ) da DEP ´e obtido pelo m´etodo

não-paramétrico (Os métodos não-paramétricos de análise espectral

s˜ao baseados em modelos AR, MA e ARMA. Portanto n˜ao

devem ser aplicados para estimac¸˜ao da DEP de um ru´ıdo 1/f .) do periodograma [24], com janelamento de dados (data

tapering, para redução de vazamento de potência) e suavização

(smoothing, para reduc¸˜ao da variabilidade de ˆPX(f )). O

periodograma é calculado via (A definição foi dada sem incluir o janelamento e a suavização, para melhor compreensão da natureza essencial do estimador.):

ˆ PX(f ) = 1 M|X(f )| 2_. (17) O método de estimação do parâmetro H de Whittle [25] é baseado numa estimação de máxima verossimilhança no dom´ınio da freqüência do modelo FD(d). Esse método usa o periodograma. O método de estimação de H pelo

pe-riodograma baseia-se no fato de que PX(f ) ∝ f2H−1 para

freqüências próximas de zero.

Também foi feita uma comparação entre as séries geradas pelos métodos DWT com mapa de variâncias e DWPT antes e depois da inserção do ganho SRD utilizando a análise dos periodogramas.

A. Comparação entre as séries geradas sem SRD pelos métodos DWT de Bäckar, DWT com mapa de variâncias e DWPT

As Figuras 3 e 4 mostram gráficos do periodograma sua-vizado e das funções de autocorrelação para séries simuladas pelo método DWT de Bäckar.

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Frequencia -30 -25 -20 -15 -10 Espectro fGn.DWT.Haar.H=0,95 Periodograma Suavizado

Figura 3: Periodograma suavizado de uma série temporal obtida através do método DWT de Bäckar.

(7)

0 20 40 60 80 100 Atraso 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 ACF fGn.DWT.Haar.H=0,95

Figura 4:Função de autocorrelaç ão de uma série temporal obtida através do método DWT de Bäckar.

As Figuras 5, e 6 mostram gráficos do periodograma sua-vizado e das funções de autocorrelação para séries simuladas pelo método DWT com mapa de variâncias.

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Frequencia -30 -25 -20 -15 -10 Espectro

fGn.DWT com mapa de variancias.Haar.H=0,95 Periodograma Suavizado

Figura 5: Periodograma suavizado de uma série temporal obtida através do método DWT com mapa de variâncias.

As Figuras 7 e 8 mostram gráficos do periodograma sua-vizado e das funções de autocorrelação para séries simuladas pelo método DWPT.

Os periodogramas mostram que as DEPs das séries simu-ladas com H=0,95 de todos os métodos têm pólos na origem, ou seja, que as séries são 1/f . Pelas funções de autocorrelação também pode-se observar que as séries são 1/f .

Verifica-se que as séries geradas pelo método DWT com mapa de variâncias são similares às geradas pelo método DWT de Bäckar. Também verificou-se que as séries geradas pelo método DWPT são similares às geradas pelos métodos DWT de Bäckar e DWT com mapa de variâncias.

Além da análise do periodograma e da função de autocorrelação, também foram feitas análises estat´ısticas dos três métodos utilizando a estimativa de H pelos métodos de Whittle e do periodograma. Foram geradas dez séries com os

mesmos parâmetros - 4096 pontos, função de Haar eα = 0,9

(H = 0,95) para cada m´etodo e foi calculada a estimativa de

0 20 40 60 80 100 Atraso 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 ACF

fGn.DWT com mapa de variancias.Haar.H=0,95

Figura 6:Função de autocorrelaç ão de uma série temporal obtida através do método DWT com mapa de variâncias.

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Frequencia -30 -25 -20 -15 Espectro fGn.DWPT.Haar.H=0,95 Periodograma Suavizado

Figura 7: Periodograma suavizado de uma série temporal obtida através do método DWPT.

H pelos métodos de Whittle e do periodograma. A Tabela II mostra as médias dessas estimativas para essas 10 gerações (Observou-se que para os três métodos o desvio padrão é inferior a 1% e as distribuições não apresentaram outliers.). De acordo com Paxson [10], o método de Whittle é um bom método de estimação do parâmetro de Hurst H para séries que apresentam LRD. Comparando-se os valores do parâmetro de Hurst estimados pelo método de Whittle nos três métodos de geração de séries, conclui-se que o método DWPT é o que se aproxima mais do parâmetro de Hurst real que foi inserido como parâmetro para geração das séries (α = 0,9 (H = 0,95)). Pode-se verificar que a estimativa no método DWT com mapa de variâncias é muito próxima da estimativa no método de Bäckar pois são a mesma transformada.

TABELA II: Estimativas do parâmetro de Hurst pelos métodos de Whittle e do periodograma das séries geradas pelos métodos DWT de Bäckar, DWT com mapa de variâncias e DWPT

Método H Whittle H periodograma DWT de Bäckar 0.92990 0.93370 DWT com mapa de variâncias 0.93626 0.90977

(8)

0 20 40 60 80 100 Atraso 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 ACF fGn.DWPT.Haar.H=0,95

Figura 8:Função de autocorrelaç ão de uma série temporal obtida através do método DWPT.

B. Comparação entre as séries geradas sem e com SRD pelos métodos DWT com mapa de variâncias e DWPT

Foram geradas s´eries gaussianas com LRD com os

parˆametros α = 0, 9 (H = 0, 95), N = 4096, pelo m´etodo

da DWT com mapa de variâncias e pelo método DWPT com coeficiente de inicialização W12,2048. Simultaneamente foram introduzidas nessas séries, SRD com ganho constante igual a 10 e SRD com ganho variável igual a 10-1-10 em três faixas de freqüência diferentes conforme as funções ganho SRD da Figura 9. No total foram 18 séries geradas, 6 séries com LRD e 6 séries mistas com LRD e introdução de ganho SRD constante e 6 séries mistas com LRD e introdução de ganho SRD variável (9 realizações pelo método DWT com mapa de variâncias e 9 realizações pelo método DWPT).

Figura 9: Ganho SRD constante = 10 e vari´avel = 10-1-10

As Figuras 10 e 11 apresentam o periodograma suavizado de uma série temporal obtida através do método DWT com mapa de variâncias com a introdução de um ganho SRD na faixa de frequência 0,15-0,25, constante=10 (Fig. 10) e variável=10-1-10 (Fig. 11). Para ambos os casos constata-se que a série gerada apresenta um pólo na origem, evidenciando o compor-tamento LRD e que o periodograma desvia-se do decaimento exponencial, indicando a presença de comportamento SRD. Entretanto, o comportamento do ganho SRD variável não foi capturado pelo método. As duas figuras são praticamente idênticas. Isso se deve ao fato de o método de geração via DWT não especificar a forma da DEP em frequências médias

e altas. O comportamento SRD é introduzido na escala menos refinada de frequências e à medida que se progride em escala, o efeito é dilu´ıdo em uma maior faixa de frequência. A insensibilidade do método DWT com mapa de variâncias às variações do ganho SRD fica mais pronunciado à medida que este é introduzido em faixas de frequências mais elevadas. Por razões de espaço, os periodogramas correspondentes não são apresentados mas podem ser encontrados em [26].

fGn.DWT com mapa de variancias.Haar.H=0,95.0,15<f<0,25 Periodograma Suavizado

Ganho Constante = 10

Figura 10:Periodograma suavizado de uma série temporal obtida através do método DWT com mapa de variâncias com a introdução de um ganho SRD constante=10 na faixa de frequência 0,15-0,25

fGn.DWT com mapa de variancias.Haar.H=0,95.0,15<f<0,25 Periodograma Suavizado

Ganho Variavel = 10-1-10

Figura 11:Periodograma suavizado de uma série temporal obtida através do método DWT com mapa de variâncias com a introdução de um ganho SRD variável=10-1-10 na faixa de frequência 0,15-0,25.

As Figuras 12 e 13 apresentam o periodograma suavizado de uma série temporal obtida através do método DWPT, coeficiente de inicialização=W12,2048, com a introdução de um ganho SRD na faixa de frequência 0,15-0,25, constante=10 (Fig. 12) e variável=10-1-10 (Fig. 13). Ambas as figuras apresentam um pólo na origem, evidenciando a presença de comportamento LRD. Além disso, o efeito da introdução de SRD nas séries geradas pelo método DWPT é observado de forma clara na faixa de frequência (0,15-0,25): as duas figuras são distintas e indicam a captura do comportamento do ganho SRD pelo método.

As Figuras 14 e 15 apresentam o periodograma suavizado de uma série temporal obtida através do método DWPT, coeficiente de inicialização=W12,2048, com a introdução de

(9)

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Frequencia -30 -25 -20 -15 -10 Espectro fGn.DWPT.Haar.H=0,95.inicializacao em W12,2048.0,15<f<0,25 Periodograma Suavizado Ganho Constante = 10

Figura 12:Periodograma suavizado de uma série temporal obtida através do método DWPT, coeficiente de inicializaç ão=W12,2048, com a introdução de

um ganho SRD constante=10 na faixa de frequˆencia 0,15-0,25

Ganho Variavel = 10-1-10 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Frequencia -30 -25 -20 -15 -10 Espectro fGn.DWPT.Haar.H=0,95.inicializacao em W12,2048.0,15<f<0,25 Periodograma Suavizado

um ganho SRD vari´avel=10-1-10 na faixa de frequˆencia 0,15-0,25.

um ganho SRD nas faixas de frequência 0,25-0,35 e 0,35-0,45, respectivamente, e variável=10-1-1. Ambas as figuras apresentam um pólo na origem, evidenciando a presença de comportamento LRD. Além disso, o efeito da introdução de SRD nas séries geradas pelo método DWPT é observado de forma clara em ambas faixas de frequência: as duas figuras indicam a captura do comportamento do ganho SRD pelo método.

O efeito da introdução de SRD nas séries geradas pelo método DWPT é observado de forma clara nas três faixas de freqüências, da mais baixa (0,15-0,25) à mais alta (0,35-0,45). Isso se deve ao método de geração via DWPT ser flex´ıvel em relação às freqüências e assim especificar a forma da DEP em freqüências médias e altas. Portanto, este método é bom para efeitos em médias e altas freqüências e apresenta uma maior flexibilidade em relação ao método da DWT com mapa de variâncias. Observa-se que a diferença entre o ganho constante e o ganho variável é percebida neste método.

VII. CONCLUSOES E TRABALHOS FUTUROS˜

Este trabalho desenvolveu o conceito de mapa de variˆancias

wavelet packet a partir do conceito de variância wavelet e apresentou dois métodos criados para Geração de Séries

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Frequencia -30 -25 -20 -15 -10 Espectro fGn.DWPT.Haar.H=0,95.inicializacao em W12,2048.0,25<f<0,35 Periodograma Suavizado Ganho Variavel = 10-1-10

um ganho SRD variável=10-1-10 na faixa de freqüência 0,25-0,35.

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Frequencia -30 -25 -20 -15 -10 Espectro fGn.DWPT.Haar.H=0,95.inicializacao em W12,2048.0,35<f<0,45 Periodograma Suavizado Ganho Variavel = 10-1-10

um ganho SRD variável=10-1-10 na faixa de freqüência 0,35-0,45.

Temporais Auto-Similares Gaussianas LRD com introdução do comportamento SRD em diferentes faixas de freqüência. O primeiro método foi o DWT e o segundo o DWPT, ambos com mapa de variâncias.

A fim de validar tais métodos, foram geradas séries por estes métodos e comparadas com séries geradas pelo método DWT de Bäckar utilizado em [6]. Tal validação foi feita através da análise do periodograma, da função de auto-correlação e estimativa do parâmetro de Hurst pelos métodos de Whittle e do periodograma. A partir dos gráficos do periodograma suavizado e das funções de autocorrelação para séries simu-ladas pelos três métodos verificou-se que as DEPs das séries

simuladas comH=0,95 tˆem p´olos na origem, ou seja, que as

séries são 1/f . Concluiu-se que as séries geradas pelos três métodos são similares.

Em relação às contribuições deste trabalho, constata-se que o método DWT com mapa de variâncias é mais flex´ıvel que o DWT de Bäckar pois o mapa de variâncias pode ser alterado para gerar séries com diferentes espectros além de possibilitar a introdução de SRD em diferentes faixas de freqüência. Além disso, os comportamentos LRD e SRD são introduzidos simul-taneamente, eliminando uma etapa do processo dos métodos descritos em [6]. No entanto, é importante destacar que pelo fato da DWT não especificar a forma da DEP, este método

(10)

não captura variações do ganho SRD.

O método DWPT se apresentou ainda mais flex´ıvel que o DWT com mapa de variâncias em relação à introdução de SRD em diferentes faixas de freqüência como pode-se observar ao introduzir um ganho SRD constante e variável nas séries temporais com LRD em três faixas de freqüência diferentes.

Os resultados deste trabalho podem ser utilizados em am-bientes de simulação de redes que necessitem a geração de tráfego com caracter´ısticas realistas e que possam ser facilmente modificadas para ensaiar diferentes condições da rede. Adicionalmente, os resultados são importantes para a implantação de testbeds utilizados na validação de projetos de rede, verificação de desempenho ou diagnóstico de problemas. Este trabalho será ampliado com a utilização de curvas de ganho SRD mais realistas. Também deverá ser ampliado para a geração de séries MWM (Multifractal Wavelet Model), impor-tante em ambiente de redes locais, e séries com distribuições não gaussianas, por exemplo distribuições α-estáveis.

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Isabelle Reis Lund recebeu o t´ıtulo de engenheira eletricista pela Pontif´ıcia Universidade Católica do Rio de Janeiro e de mestre em Engenharia Elétrica pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo (EPUSP), Brasil, em 2008. Seus interesses são na área de redes cabeadas e sem-fio, qualidade de serviço (QoS), geração e estimação de tráfego.

José Roberto de A. Amazonas recebeu o t´ıtulo de engenheiro eletricista pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo (EPUSP), Brasil, em 1979, além dos t´ıtulos de mestre, doutor e livre-docente pela EPUSP, em 1983, 1988 e 1996, res-pectivamente.

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E professor associado do Departamento de Enge-nharia de Telecomunicaç ões e Controle da EPUSP, onde é responsável por pesquisa e ensino de comunicaç ões ópticas e redes de comunicação de alta velocidade. Esteve em diversos cargos em uni-versidades no Brasil e na Europa, e também liderou pesquisas em parceria com várias companhias brasileiras, européias e norte-americanas.

Seus interesses são na área de comunicaç ões ópticas, redes cabeadas e sem-fio, qualidade de serviço (QoS) e ensino a distância (EaD).