Probabilitats. Problemes i Més Problemes ( Text Editable )

(1)

l/)

w

~ W --l

cc

o

o::::

0-l/) 'W ~

-l/)

~

PROBABI LlfA:rS:

--l

cc

~

PROBLEMES

l/)

~

I MÉS PR<JBtEI'V1ES

::J

cc

«

_cc

o

_o::::

(2)

O-PROBABILITATS:

PROBLEMES

I MÉS PROBLEMES

Olga

Julià de Ferran

David Marquez-Carreras

Carles Rovira Escofet

Mònica Sarrà Rovira

Publicacions i Edicions

•

(3)

UNIVERSITAT DE BARCELONA. Dades catalogràfiques

Probabilitats: problemes i més problemes

Bibliografia ISBN 84-475-2906-1

I. Julià de Ferran, Olga 11. Títol I. Probabilitats 2. Problemes i exercicis

Impressió: Graficas Rey, S.L.

Dipòsit legal: B-I 67 14-2005

ISBN: 84-475-2906-1

Imprès a España 1 Printed in Spain

Aquesta publicac¡,í ha comptat amb l'ajut de la Generalitat de Catalunya.

Queda rigorosament prohibida la reproducció total o parcial d'aquesta obra. Cap part d'aquesta publicació, inclòs el disseny de la coberta, pot ser reproduïda, emmagatzemada, transmesa o utilitzada per cap tipus de mitjà o sistema, sense l'autorització prèvia per escrit de l'editor.

(4)

Index

1 Introducció 2 Probabilitats 2.1 Espais de probabilitat . . . . 2.1.1 Esdeveniments o successos. 2.1.2 Definició de probabilitat . . 2.1.3 Espais de probabilitats finits 2.1.4 Propietats de la probabilitat 2.2 Probabilitat condicionada . . 2.3 Esdeveniments independents. 2.4 Fórmula de Bayes

2.5 Problemes... . . . . 2.6 Problemes amb indicació.

2.6.1 Indicacions . . . .

3 Variables aleatòries unidimensionals 3.1 Variable aleatòria . . . . 3.2 Llei i funció de distribució . . . . 3.3 Tipus de variables aleatòries. . . . . 3.4 Transformacions de variables aleatòries. 3.5 Esperança matemàtica . . . . .

3.6 Variables aleatòries més usuals 3.7 Problemes... 3.8 Prohlemes amb indicació.

3.8.1 Indicacions 4 Vectors aleatoris

4.1 Funcions de distribució conjunta i marginals. 4.2 Independència... 4.3 Vectors aleatoris discrets . . . . 4.4 Vectors aleatoris absolutament continus 4.5 Transformació de vectors aleatoris

3 5 7 7 7 8 9 9 10 11 11 12 42 46 55 55 56 57 58 59 61 63 108 111 121 121 122 123 124 125

(5)

4

4.6 Moments 125

4.7 Vectors aleatoris més usuals 127

4.8 Suma de distribucions 128

4.9 Problemes. 128

4.10 Problemes amb indicació . 182

4.10.1 Indicacions 186

5 Successions de variables aleatòries 195

5.1 Lemes de Borel-Cantelli 195

5.2 Convergències de variables aleatòries 196

5.2.1 Convergència quasi segura . 196

5.2.2 Convergència en probabilitat 197

5.2.3 Convergència en LP o mitjana d'ordre p 198

5.2.4 Convergència en llei 198

5.3 Relacions entre les convergències 199

5.4 Llei forta dels grans nombres 200

5.5 Teorema del límit central 201

5.6 Problemes. 201

5.7 Problemes amb indicació . 236

5.7.1 Indicacions 240

6 Apèndix 251

6.1 Combinatòria 251

(6)

Introducció

La teoria de la probabilitat és possiblement una de les àrees de la matemàtica amb un desenvolupament més intens des de la segona meitat del segle

Xx.

Això es deu a diverses raons: d'una banda, la probabilitat forma el cos metodològic bàsic necessari per a l'estadística i, d'altra banda, les seves aplicacions són molt diverses i en camps de gran actualitat com les finances o la genètica. Per tant, la probabilitat ha esdevingut una de les àrees més rellevants de la matemàtica i una part fonamental del seu estudi, així com també d'altres com la informàtica o enginyeries superiors.

L'objectiu d'aquest llibre és omplir un buit dins el món editorial en el camp de les probabilitats. Els estudiants universitaris que cursen assignatures que tracten probabilitats a un nivell elemental, poden trobar fàcilment un bon grapat de llibres per consultar, tant teòrics com pràctics. En canvi, quan una assignatura no té aquest caràcter tan bàsic, l'estudiant no disposa d'aquesta oferta: malgrat que pot trobar força llibres de consulta teòrics, hi ha una manca bastant gran de referències dedicades a la resolució de problemes. El llibre que teniu a les mans vol solucionar aquesta mancança.

Aquest és, per tant, un llibre de problemes de probabilitats resolts destinat a estudiants d'un primer cicle d'enginyeries o de llicenciatures en matemàtiques o estadística.

El llibre tracta els temes fonamentals de les probabilitats com són els espais de probabilitat, les probabilitats condicionades, les variables i els vectors aleatoris, els moments, les successions de variables aleatòries i les seves convergències i els teoremes límit. Hem agrupat aquests temes en quatre capítols que hem titulat com segueix: probabilitats, variables aleatòries unidimensionals, vectors aleatoris i successions de variables aleatòries.

Cadascun d'aquests capítols consta de tres parts ben diferenciades. A la primera, per tal d'ajudar a la comprensió dels problemes i facilitar la feina dels lectors, hem inclòs un resum dels aspectes teòrics més destacats &"lsociats al tema,

(7)

6 CAPÍTOL 1. INTRODUCCIÓ

obviant les demostracions dels resultats enunciats. Si el lector està interessat en un estudi més exhaustiu d'aquests aspectes teòrics o en la demostració dels resultats presentats, li recomanem la consulta d'algun dels llibres citats a la bibliografia. A la segona part del capítol es plantegen entre vint-i-cinc i trenta-cinc problemes i se'n dóna la resolució detallada, fent tots els passos per comprendre'ls. Finalment, en l'última secció es proposen els enunciats de deu a vint problemes, esmentant després unes indicacions per solucionar-los.

Voldríem destacar la diferència entre els problemes resolts i els indicats. La resolució dels problemes resolts està pensada per ensenyar com s'han d'aplicar les diverses tècniques del càlcul probabilístic, intentant presentar el raonament abstracte i lògic que és necessari per resoldre qualsevol problema matemàtic. Es-taríem particularment contents, a més, si el lector hi troba també el plus d'in-tuïció o imaginació que cal per posar-se davant d'un problema matemàtic i que hem intentat reflectir a la nostra presentació. Els problemes indicats estan menys desenvolupats i es proposen més aviat com un complement per tal que l'alumne pugui practicar i comprovar el seu nivell.

Esperem, per tant, que aquest llibre sigui d'utilitat al lector, i que l'ajudi en la comprensió de les probabilitats.

(8)

Probabilitats

En aquest capítol, el nostre objecte d'estudi són els anomenats experiments aleatoris, aquells experiments que tenen diferents resultats possibles i pels quals no podem saber quin es produirà.

2.1 Espais de probabilitat

El primer pas per definir un espai de probabilitat és considerar el conjunt dels resultats possibles de cada experiment, conjunt que anomenarem espai mostral.

L'espai mostral

n

es defineix com el conjunt de tots els resultats possibles d'un experiment aleatori.

L'espai mostral pot ser de molts tipus, no ha de ser sempre numèric i tant pot ser finit com infinit.

Associat a tot experiment aleatori tenim una família :F de subconjunts de

n,

que anomenarem esdeveniments o successos, i que té estructura de a-àlgebra, és a dir,

• n

E:F,

• si A E :F, aleshores AC E :F,

• si {Ai, i 2 I}

ç

:F, aleshores

U:

1 Ai E :F.

Observeu que si en la darrera condició canviem les unions numerables per unions finites, obtenim l'estructura d'àlgebra.

2.1.1 Esdeveniments o successos

Alguns casos particulars:

(9)

8 CAPÍTOL 2. PROBABILITATS

• el succés segur, és el format per tots els resultats possibles, és a dir, el mateix

n.

• el succés impossible és el que no es dóna mai, és a dir,

0.

• els successos elementals són aquells formats per un únic element de

n.

Donats dos esdeveniments A i B podem definir diverses operacions i relacions entre ells:

• l'esdeveniment format per tots els resultats de A i tots els resultats de B

(incloent els que estan a A i B alhora) s'anomena A unió B i s'escriu com AUB,

• l'esdeveniment format pels resultats de A i B alhora s'anomena A inter-secció B i s'escriu com A n B,

• l'esdeveniment format pels resultats que no són de A s'anomena comple-mentari de A i s'escriu com AC.

Tenim també les definicions següents:

• dos esdeveniments A i B són disjunts si no tenen resultats en comú, és a dir, si A

n

B =

0,

• si tot resultat de B també és un resultat de A es diu que B està inclòs en

A i s'escriu B ç A.

2.1.2 Definició de probabilitat

La definició axiomàtica següent d'espai de probabilitat la va donar Kolmogorov l'any 1933.

Definició 2.1.1 Un espai de probabilitat és una terna (n,F, P) tal q71e:

n

és el conjut de res71ltats possibles o espai mostral, F és la família d'esdeveniments amb estmct71ra de er-àlgebra i P és 71na aplicació

de manera q71e

• p(n) = 1,

P: F ---+ [0,1] A ---+ P(A)

• si {A;,i::::

I}

ç F, tals que Ai

n

Aj =

0

per a tot i

# j,

aleshores

(10)

2.1.3 Espais de probabilitats finits

Quan l'espai mostral és finit, Ç1 = {Wl,W2, ...

,wd,

parlarem d'espai de

proba-bilitat finit. En aquests casos considerem com a a--àlgebra

:F

la formada per tots els subconjunts de Ç1, denotada per P(Ç1).

En aquest cas una probabilitat P queda definida assignant a cada resultat Wi una probabilitat Pi, o dit d'una altra manera, P(Wi) = Pi, 1 <:::: i <:::: k. Hem d'imposar certes restriccions: Pi E [0,1], 1 ::; i ::; k i

2.::7=1

Pi = 1. Aleshores, donat qualsevol esdeveniment A, podem calcular la seva probabilitat com

P(A) =

L

Pi·

i;WiEA

Un cas particular important és l'equiprobable. En aquesta situació els re-sultats elementals tenen tots la mateixa probabilitat,

1 Pi = P2 = ... = Pk =

k'

on recordem que k és el cardinal de Ç1. Aleshores per calcular la probabilitat de qualsevol esdeveniment A hem de fer

P(A) =

L

~

i;wiEA

card(A) card(Ç1) .

Moltes vegades es diu que la probabilitat es calcula com casos favorables dividit per casos possibles (definició donada per Laplace l'any 1812) .

Observació: La idea de l'equiprobabilitat es pot estendre a espais de pro-babilitats no finits, on Ç1 sigui un conjunt no numerable i poguem relacionar la definició de probabilitat d'un conjunt amb alguna mesura física (longitud, àrea o volum) d'aquest conjunt. Per exemple si agafem com a Ç1 un interval podem definir la probabilitat de qualsevol subconjunt A de Ç1 com

P(A) = longitutdeA.

longitut de Ç1

2.1.4 Propietats de la probabilitat

A partir de la definició axiomàtica de la probabilitat es poden demostrar tot un seguit de propietats bàsiques.

1. P(0) = O.

2. Additivitat: si {Bi , 1::; i::; n} ç :F, tals que Bi

n

Bj =

0

per a tot i -=I- j,

(11)

10 CAPÍTOL 2. PROBABILITATS

En particular, per a A, B E F disjunts, aleshores P(A U B) = P(A)

+

P(B).

3. Si A E F, aleshores P(AC) = 1 - P(A). 4. Monotonia: si A, B E F, amb A

e

B aleshores

P(A) <::: P(B).

5. Si {Ai, 1 <::: i <::: n}

ç

F, aleshores

"

i=1 l::;i<j::;"

+ .... +

(_l)n-l P(A¡

n

A2

n ...

nAn). En particular, per a A, B E F, aleshores

P(A U B)

=

P(A)

+

P(B) - P(A

n

B). 6. Si A, B E F, aleshores

P(A U B) <::: P(A)

+

P(B).

2.2 Probabilitat condicionada

Definició 2.2.1 Donats dos esdeveniments A, B E F, tal que P(B)

>

0, es defineix la probabilitat de A condicionada per B com

Fixat un esdeveniment B amb P(B)

>

0, l'aplicació

PB: F --) [0,1] A --) P(AIB)

defineix una probabilitat de manera que (D, F, PB) éR un nou espai de probabilitat. A partir de la definició de probabilitat condicionada s'obté l'anomenada fórmula de les probabilitats compostes: siguin {Ai,l <::: i <::: n}

ç

F tals

!,!ue P(A¡ n ... nAn-I)

>

0, aleshores

(12)

2.3 Esdeveniments independents

Definició 2.3.1 Donats dos esdeveniments A i B de F direm que són indepen-dents si

P(A

n

B) = P(A)P(B).

Proposició 2.3.2 Siguin A i B dos esdeveniments de F amb P(A)

>

O i P(B)

>

o.

Aleshores les afirmacions següents són equivalents:

1. A i B són independents, 2. P(AIB) = P(A), 3. P(BIA)=P(B).

Propietats dels esdeveniments independents:

1. Els esdeveniments n i

0

són independents de tot altre esdeveniment A.

2. Són equivalents:

(a) A i B són independents, (b) A e i B són independents,

(c) A i Be són independents, ( d) A e i Be són independents.

Podem estendre també la definició d'independència a una família d'esdeveni-ments.

Definició 2.3.3 Donada una famüia d'esdeveniments {Ai, i E I}

ç

F direm que són independents si 'l;¡'r

:2:

1 i 'I;¡' {il , ... , ir } ç I,

2.4 Fórmula de Bayes

Considerem ara que tenim una partició finita del nostre espai mostral, és a dir, tenim una família d'esdeveniments {Al, A 2, ... , An} disjunts dos a dos i tals que

n

= Uf=l Ai. Suposem a més que P(Ai)

>

O per a tot i. Donat aleshores qualsevol altre esdeveniment

B

E

F

tenim la igualtat següent:

P(B) P(B

n

Ad

+

P(B

n

A 2)

+ ... +

P(B nAn)

(13)

Aquest resultat es coneix com la fórmula de les probabilitats totals. Recal-quem que el resultat s'estén quan la partició és numerable.

Si a més tenim un esdeveniment B amb P(B)

>

0, llavors

P(A

i IB) = P(B IA;)P(Ai)

P(B IAI )P(A¡)

+ ... +

P(B IAn )P(An)

Aquesta fórmula es coneix com a fórmula de Bayes i ens permet invertir l'ordre del condicionament.

2.5 Problemes

1. En cadascun dels experiments següents indiqueu quin és l'espai mostral. En cada apartat digueu si estem en una situació d'equiprobabilitat.

(a) Es tria una família de dos fills i s'anoten els sexes del fills ordenats per edats (suposem que la probabilitat dels dos sexes és la mateixa). (b) El mateix que l'apartat anterior però ara sense tenir en compte l'ordre.

(c) S'agafa un llibre qualsevol i es compta el nombre d'errors d'impremta. (d) D'una baralla de 48 cartes se n'extrauen dues amb reemplaçament.

(e) El mateix que l'apartat anterior però sense reemplaçament. Solució:

(a)

n

= {(nen, nen) , (nen, nena) , (nena, nen) , (nena, nena)} . Tots els esdeveniments elementals tenen probabilitat 1/4, per tant són equiprobables.

(b) Ara tindrem una possibilitat menys ja que (nen, nena) i (nena, nen) seran el mateix resultat. Aleshores l'espai mostral estarà format pels elements següents:

n = {{nen,nen},{nen,nena},{nena,nena}}

1 1

P ({nen, nen}) = P ({nena, nena}) =

"4

i P ({nen, nena}) =

2'

Per tant, l'espai mostral no és equiprobahle.

(14)

(c) El nombre d'errors d'impremta serà un nombre natural. Com que no podem posar-hi una fita superior haurem d'agafar com a espai mostral

Sl = N U {O}.

No estem en un cas d'equiprobabilitat, perquè l'espai mostral té infinits esdeveniments elementals.

(d) Per designar les cartes utilitzarem la notació Wi ,1 <::: i <::: 48. Consi-derarem aleshores les parelles (Wi, W j) on Wi indicarà la primera carta que hem tret i Wj, la segona. Així

Estem en un cas equiprobable perquè tots els esdeveniments elementals tenen probabilitat

b.

Considerem l'espai mostral

Sl2 = {{w¡,wd, 1 <::: 1<::: k <::: 48},

on no es té en compte l'ordre, els resultats ja no són equiprobables. (e) Utilitzant la mateixa notació que en l'apartat anterior tenim

on la probabilitat de cada esdeveniment elemental és 4¿47 i els resul-tats són equiprobables. Si en aquest cas no considerem l'ordre, alesho-res

Sl2 = {{w¡,wd, 1 <::: I

<

k <::: 48} i els resultats continuen sent equiprobables.

2. Sigui F la classe dels subconjunts finits o amb complementari finit de Sl.

Demostreu que és una àlgebra. Sigui

ç

la classe dels conjunts finits o nu-merables o amb complementari finit o numerable. Demostreu que ç és una (J- àlgebra.

Solució: Donem primer la definició d'àlgebra. Direm que una família F de

Sl té estructura d'àlgebra quan compleixi les tres condicions següents:

(a) [l E F,

(b) si A E F aleshores N E F,

(15)

14 CAPÍTOL 2. PROBABILITATS Observeu que la diferència entre les estructures d'àlgebra i de a-àlgebra està només en la darrera condició, on canviem les unions finites per unions numerables. Evidentment tota a-àlgebra és una àlgebra.

Veurem que F és una àlgebra. Hem de comprovar les tres condicions: (a)

n

E :F. És evident ja que n té complementari finit.

(b) Si A E F aleshores AC E F. Surt de la definició de F, que A sigui finit o amb complementari finit equival a dir que AC sigui finit o amb complementari (és A) finit.

(c) Si A, B E F, aleshores A U B E F. En efecte, si A i B són els dos finits, aleshores A U B també és finit i per tant A U B E F. Altrament, A o B tenen complementari finit i per tant (A U B)C

=

AC n BC és finit, de manera que A U B E F.

Veurem ara que ç és una a-àlgebra. Hem de comprovar les tres condicions descrites en la secció 2.1.

(a)

nE

ç. És evident ja que

n

té complementari finit.

(b) Si A E ç, aleshores ACE ç. Surt de la definició de ç, que A sigui finit o numerable o amb complementari finit o numerable equival a dir que AC sigui finit o numerable o amb complementari (és A) finit o numerable. (c) Si {An}n>l

ç

aleshores Un21An E

ç.

_{En efecte, si tots els A n ,}n ~ 1 són finits -o numerables, aleshores U_{n 21}An és finit o numerable (la unió numerable de conjunts numerables és numerable) i per tant Un>IAn E

F. Altrament, existeix algun no tal que A~,() és finit o numer~hle, de manera que

i

(U

_n21Ant serà finit o numerable i per tant

U

_n21An E F.

3. Estudieu si les aplicacions següents defineixen probabilitats a (n,F) : (a) Sigui

n

= N U {O}, F =p(n) i fixat ,\

>

0,

,\k P(A) =

L,.

k.

kEA

(b) Sigui

n

= {O, 1,2, ... , n}, F = p(n) i fixat P E (0,1), ({ k}) -

(n)

n-k k ·

(16)

(e) Sigui

n

= NU {O},.F =p(n) i P(A) = { O,

l, Solució:

si A té un nombre finit d'elements, altrament.

(a) No pot ser una probabilitat perquè per a À

>

O

00 Àk

p(n)

=

L

kT

=

exp(À)

.¡.

1.

k=O

(b)

n

és un espai mostral finit de manera que només cal comprovar que les probabilitats dels esdeveniments elementals són nombres positius més petits o iguals que 1 i que sumen 1. En efecte, tenim que

és sempre un valor entre O i 1. A més

t

P({k})

=

t

(~)pn-k(l

- p)k

=

(p

+

(1-p)t

=

1.

k=O k=O

Per tant, sí que defineix una probabilitat.

(e) No és una probabilitat, perquè no és additiva. Veiem-ho: si definim Al

=

{parells} i A2

=

{senars} ,

són disjunts i P (A¡) = P (A2 ) = l, però en canvi

1 = P(AI U A2)'¡' P(Ad

+

P(A2 ) = 2.

4. Dos estudiants de probabilitats es troben per casualitat fent cua al cinema per anar a veure la mateixa pel·lícula. A la cua hi ha m persones. Calculeu les probabilitats següents:

(a) que estiguin un darrere l'altre,

(b) que estiguin separats exactament per k persones, k :<::: m - 2, (e) que estiguin separats com a mínim per k persones, k :<::: m - 2.

(17)

Solució: Ens interessa només la posició dels dos estudiants. Considerarem

així com a casos possibles totes les posicions possibles a la cua dels dos estudiants, és a dir,

casos possibles: m(m -1)

(el primer estudiant pot estar en qualsevol de les m posicions i al segon ja només li queden m - 1 possibilitats). Estem en una situació d'equiprobabi-litat. Calcularem les probabilitats comptant els casos favorables i dividint pel nombre de casos possibles.

(a) Que estiguin un darrere l'altre: els estudiants poden estar en les posi-cions (1,2), (2,3), ... , (m -1, m). Hi ha, per tant, m -1 posicions possi-bles per a la parella d'estudiants i com que els estudiants poden estar en dos ordres diferents, en total

casos favorables: 2(m - 1).

Per tant,

2(m - 1) 2 P ({estan un darrere l'altre}) = ( ) = - .

mm-I m

(b) Que estiguin separats exactament per k persones: ara la parella pot estar en les posicions (1, k

+

2), (2, k

+

3), ... , (m - k - 1, m). Hi ha m - k - 1 posicions possibles per a la parella i considerant de nou els dos ordres, tenim

casos favorables: 2(m-k-I).

Per tant,

2(m-k-I)

P ( {separats exactament per k persones}) = ( ) ' mm-I (c) Que estiguin separats com a mínim per k persones: observeu

P ( {separats com a mínim per k persones} )

m-2

=

L

P ( {separats exactament per i persones} ) i=k m-2 (

L

) 2m - i - I m-k-l

L

j = -'---'--'----'-(m-k-I)(m-k) 2 m(m - 1) i=k m(rn - 1) j=1 rn(m - 1)

(18)

5. Considereu una urna amb n boles blanques i m boles negres i traieu k boles sense reposició, k :::; min(m, n).

(a) Calculeu la probabilitat d'obtenir i boles blanques.

(b) Demostreu mitjançant un raonament probabilístic la relació

k :::; min(m, n).

(c) Deduïu

Solució:

(a) Considerem els esdeveniments

Ai = {treure i boles blanques}, i = 0,1, ... , k.

Treure i boles blanques significa treure'n k - i de negres. Per tant, uti-litzant la fórmula de casos favorables dividit per casos possibles obten-im

(b) Com que sabem que de boles blanques en podem treure entre O i k,

tenim

(c) Apliquem l'apartat b en el cas n = m = k.

6. Dins una caixa hi tenim barrejats n parells de guants diferents. Agafem, sense mirar, l' guants (1'

s:

n). Calculeu:

(a) La probabilitat de no haver-ne agafat cap parell.

(b) La probabilitat d 'haver-ne agafat, com a mínim, dos parells.

Solució: Mirem primer de quantes maneres podem agafar l' guants d'una

caixa on n'hi ha 271,. En tenim

(observeu que tots els resultats són equiprobables). Per tant ara només hem de calcular els casos favorables de cada apartat.

(19)

(a) Comptar els casos favorables per a aquest esdeveniment és una mica més complicat. Fixeu-vos que {no haver-ne agafat cap parell} és equi-valent a considerar r parells diferents i agafar un guant de cada un d'aquests parells. Així

casos favorables :

on

C)

són les maneres d'agafar r parells diferents i 2r _{d'escollir la mà}

dreta o l'esquerra en cada parell. Aleshores,

(n)2r

p ({ no haver-ne agafat cap parell}) =

(2rn) .

(b) Calcular directament la probabilitat d'haver-ne agafat com a mínim dos parells, no és fàcil. Treballarem amb el complementari.

P ({haver-ne agafat almenys dos parells}) = 1 - P ({ no haver-ne agafat cap parell})

- P ({haver-ne agafat un parell}) . Només falta calcular

P ({haver-ne agafat un parell}) .

Els casos possibles són els mateixos de l'apartat a i per fer els casos favorables fixeu-vos que {haver-ne agafat un parell} equival a tenir un parell de guants complet i escollir els r - 2 guants restants de manera que siguin tots de parells diferents. Així:

casos favorables: n ₍n -

1)

2 ,

r-2

r-2

on n són les maneres d'escollir un parell complet, C=~) d'escollir r - 2 parells diferents i

2r-2

d'escollir la mà dreta o l'esquerra en cada parell. Conseqüentment

Finalment

(n)2T

n(n-l)2r-2

(20)

7. Sigui H = {l, 2, ... , m} i P(H) la família de tots els subconjunts de H. (a) Quants elements té P(H)?

(b) Escollim un element de P(H) de forma equiprobable. Calculeu la pro-babilitat que no tingui cap dels nombres 1,2, ... , r (r

-s:

m).

(c) Escollim ara dos elements de P(H) amb reposició, calculeu la proba-bilitat que siguin disjunts.

Solució:

(a) Tots els subconjunts de k elements,

°

-s:

k

-s:

m, són

Observem que el

0

seria el subconjunt corresponent a k = O. Per tant, el total d'elements de P(H) és la suma:

on a la primera igualtat hem utilitzat el binomi de Newton. (b) De l'apartat anterior,

casos possibles: 2m.

Els casos favorables són tots aquells subconjunts de H que no tenen cap dels nombres 1,2, ... , r, o el que és el mateix, tots els subconjunts de {r

+ 1,

r

+ 2, ... ,

m}. Per tant,

casos favorables : Així

2m -1' 1

P ({no tenir cap dels nombres 1,2, ... , r}) = ~ = 21'.

(c) Escollim ara dos elements de P(H) amb reposició, que els anomenarem Al i A2 . Aleshores volem calcular

P ({Al i A2 són disjunts}) .

Per calcular-ho més fàcilment treballarem amb el valor del cardinal del conjunt Al. Considerem els esdeveniments

(21)

Aleshores per la fórmula de les probabilitats totals P ({ Al i A2 són disjunts})

m

=

L

P ({Al iA2 són disjunts} ICk) P (Ck). k=O

Si Al té k elements i Al

n

A2 =

0,

resulta que A2 només pot estar format pels m ~ k elements restants, de manera que

2m - k 1

P ({Al iA2 són disjunts}

ICd

=

~

=

2_{k '}

i com que el nombre de subconjunts de cardinal k de H és (~), és clar que

P (C ) =

(7:).

k 2m

Utilitzant la fórmula del binomi de Newton obtenim finalment

P ({ Al i A2 són disjunts})

8. Calculeu la probabilitat que en donar dos punts de l'interval [0,1] la seva distància sigui menor que e (O

<

e

<

1).

Solució: Agafar dos punts x i y de l'interval [0,1] és equivalent a agafar un punt (x, y) del quadrat [O, 1] x [O, 1] . Demanar que la distància entre x

i y sigui menor que e, equival a demanar que el punt (x, y) del quadrat

[0,1]

x

[0,1]

es trobi entre les rectes y = x ~ e i y = .T

+ e

-vegeu la figura

2.1.

Anomenem D el conjunt {(x, y) E [0,1]2; lx ~

yl

<

e}. Aleshores, tal com està explicat a la secció 2.1.3, la probabilitat que ens demanen és

, 2

Area (D) 1 (1 e)

---,.~,---:-- = ~ ~. = 1 ~ (1 ~ c)2 .

(22)

Figw-a 2.1:

y=x+c

y=x-c

9. En un aquari hi hem posat N piranyes i M truites de riu. Si es troben dues truites no passa res, si es troben una piranya i una truita aquesta mor i si es troben dues piranyes es maten Les dues LLuitant. Suposem que les trobades

són exactament de dos peixos i que es produeixen a l'atzar.

(a) Si hi posem una piranya més, quina probabilitat té de sobreviure aques-ta piranya?

(b) Si en lloc d'una piranya hi afegim una truita més, quina probabilitat té de sobreviure aquesta truita?

Solució: Observeu que a l'aquari hi haurà morts fins que arribi un moment

en què o bé no quedi cap piranya (poden quedar truites), ja que s'hauran

matat totes entre elles, o bé quedi només una piranya i cap truita. (a) Si hi posem una piranya més, tindrem en total N

+

1 piranyes.

Si N és senar, N

+

1 serà parell i les piranyes s'aniran aniquilant de dues en dues fins que no en quedi cap. Per tant, la probabilitat que

sobrevisqui és

o.

Si N és pareU, N

+

1 és SE'nar i com que les piranyes es maten en

(23)

probabilitat de sobreviure, la probabilitat que sobrevisqui la nostra és de

N~l'

(b) Hi afegim ara una truita en lloc d'una piranya.

Si N és senar ja hem vist que sobreviurà una piranya que eliminarà totes les truites. Per tant, la probabilitat que sobrevisqui la nostra truita és de O.

Si N és parell ja hem vist que les piranyes s'aniran aniquilant de dues en dues fins que no en quedi cap. La probabilitat que la nostra truita sobrevisqui és la mateixa que tindria si fos una piranya (ja que si es troba una piranya també es mor) i és, per tant, N~l'

10. A la caixa d'eines hi tenim tres tipus de cargols de 8, 10 i 12 mm, en quantitats n], n2 i n3 respectivament. Agafem dos cargols de cop a l'atzar i resulten ser de diferents mides. Quina és la probabilitat que el més llarg sigui de 10 mm?

Solució: Considerem els esdeveniments

A {els dos cargols són de mides diferents} ,

B {el més llarg és de 10 mm}. Volem calcular la probabilitat condicionada

Les dues probabilitats les calcularem fent casos favorables dividit per casos possibles. Els casos possibles són:

Fixeu-vos que A n B = { un cargol és de 8 mm i l'altre de 10 mm}, de manera que

card(A

n

B) = nl112 i així

D'altra banda, que els dos cargols siguin de mida diferent vol dir que n'hi ha un de 8 mm i un altre de 10 mm, o n'hi ha un de 8 mm i un altre de 12 mm, o n'hi ha un de 10 mm i un altre de 12 mm. És a dir,

(24)

i, per tant,

Finalment, calculem la probabilitat condicionada

11. Hem anat al top manta i hem comprat 10 CD pirates. La probabilitat que n'haguem comprat almenys un de defectuós és de 0,7 i la probabilitat que n'haguem comprat almenys dos de defectuosos és 0,5. Trobeu les probabi-litats dels esdeveniments següents:

(a) No hem comprat cap CD defectuós.

(b) Hem comprat exactament un CD defectuós. (c) Hem comprat, com a molt, un CD defectuós.

Solució: De l'enunciat tenim que

(a)

(b)

(c)

P ( {almenys un de defectuós}) 0,7,

P ( { almenys dos de defectuosos} ) O, 5.

P ( {cap de defectuós}) 1 - P ( { almenys un de defectuós} ) 1 - 0,7 = 0,3.

P ( {exactament un de defectuós} ) = P ( { almenys un de defectuós} )

- P ( { almenys dos de defectuosos} ) = 0,7 - 0,5 = 0,2.

p ( { com a molt un de defectuós}) = P ( { cap de defectuós} )

+

P ( { exactament un de defectuós} ) = O, 3 + 0,2 = O, 5.

(25)

24 _{CAPÍTOL 2. PROBABILITATS}

12. Tirem dos daus perfectes. Considerem els esdeveniments A = {el resultat del primer dau és 1, 2 o 3}, B = {el resultat del segon dau és 3, 4 o 5}, C = { la suma dels punts és 9 },

D = {el resultat del segon dau és 4, 5 o 6 } E = {la suma dels punts és 7}.

(a) Són A, B i C dos a dos independents? Són els tres independents? (b) Són A, D i E dos a dos independents? Són tots tres independents?

Solució: Els daus són perfectes i, per tant, estem en un espai equiprobable. (a) És clar que

P(A)

=

P(B)

=

~~ =~.

Observem que si C = {(3, 6), (4,5), (5,4), (6, 3)}, aleshores P(C) =

~ =~.

36 9 D'altra banda, tenim

AnB AnC BnC i, per tant, {(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5), (3,3),(3,4),(3,5)} {(3,6)} {4,5),(5,4),(6,3)} P(A

n

C) P(B

n

C) P(A

n

B)

-.!:..

"I

P(A)P(C), 36 336

"I

P(B)P(C),

~

=

~

= P(A)P(B). 36 4

D'aquí deduïm que A i B són independents, i les altres dues parelles no. Aleshores tampoc ho poden ser els tres alhora -vegeu la secció 2.3.

(26)

(b) Igual que abans

P(D)=~.

Observem que

E = {(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}.

Aleshores

D'altra banda, tenim

6 1 PCE) = - = - . 36 6 AnD AnE DnE {(1,4), (1,5),(1,6),(2,4), (2,5),(2,6), (3,4),(3,5),(3,6)}, {(1,6),(2,5),(3,4)}, d'on {(l, 6), (2,5), (3, 4)}, P(A n D) P(A n E) P(D

n

E)

:6

= P(A)P(D), 33 6 = P(A)P(E), 33 6

=

P(D)P(E).

Per tant, els esdeveniments A, D i E són dos a dos independents. Ob-serveu, però, que

A

n

D

n

E = {(l, 6), (2,5), (3, 4)}

P(A

n

D

n

E) =

~16

i=

P(A)P(D)P(E),

és a dir, que els tres esdeveniments alhora no són independents.

13. Una marca de patates xips regala un ninonet del Senyor dels Anells a cada bossa de mida familiar. N'hi ha k de diferents. Suposem que els ninotets estan uniformement repartits a les bosses. Calculeu la probabilitat que comprant N bosses (N ;::: k) tinguem la col·lecció completa.

Solució: Definim

A = { tenir col·lecció completa} . Hem de calcular P(A). Introduïm els esdeveniments

(27)

de manera que

Com que calcular aquesta probabilitat directament és molt complicat, pas-sant al complementari obtenim

k k

P(A) =

p(

n

Ai) = 1 -

p(

U

A~).

i=1 i=1

Aquesta probabilitat la podem calcular utilitzant la fórmula de la probabi-litat d'una unió d'esdeveniments:

k k

P(UAf)

¿P(AD-i=1 i=l I <:;i<j<:;k

+

¿

p(A~nAjnA[) l<:;i<j<l<:;k

+ .... + (

-1) k~ 1 P (A ~

n

A~

n ... n

Ak) . Observem que 1f1-::;i-::;k, p(Af)=(kk1)N If 1 -::; i

<

j -::;

k,

P (Ai n Aj)

= (kk2)N P (Al

n

A

₂

n ... n

Ah:) = O. Per tant, P(A)

G)

(k~l)N

-

G)

(k~2)N

+

C)

(k~3)N

+ ... +

(-1)k~2(k:

1)

(~)

N

+

(_l)k~l

G)o

~(_1)n~I(~) (k~n)N

(28)

14. Llancem una vegada un dau trucat tal que la probabilitat d'obtenir i punts,

i = 1, ... ,6, és

il.

Si obtenim i punts, llancem una moneda perfecta i

vegades. Calculeu la probabilitat que el resultat del dau sigui parell si s'ha obtingut exactament una cara.

Solució: Siguin els esdeveniments

A {el resultat del dau és parell} , B {s'obté exactament una cara} . Hem de calcular

P(AIB) = p(AnB). P(B)

Per calcular aquestes dues probabilitats necessitem introduir la partició següent:

Observeu que

Di

= {el resultat del dau és

i} , 1 ~ i ~ 6.

i

2

i .

Aleshores, per la fórmula de les probabilitats totals tenim

P(B) _{t,P(BIDdP(Di)}=

t,

;i

(2\)

1

~.2

6-i 318 53 2621

~

2 2 = 2621 = 224.

i=l

Com que A

=

D2 U D4 U D6 , s'obté

P(A n B) P (B n D2 )

+

P (B n D4)

+

P (B n D6 ) P (B

ID

2 ) P (D2 )

+

P (B

ID

4 ) P (D4)

+

P (B

ID

6 ) P (D6 ) 2 2 4 4 6 6 164 41 22 x 21

+

24 x 21

+

26 x 21 = 2621 = 336· Per tant, P(AIB)

=

164

=~.

318 159

15. Tres amics, aj., i = 1,2,3, van cada diumenge al cinema. Per decidir qui escull la pel· HeuIa fan un joc. Cada amic ai treu una bola d'una urna amb

ni boles negres i bi boles blanques, i = 1,2,3. Escull la pel· HeuIa qui treu una bola d'un color diferent dels altres dos. Si les tres boles són del mateix color es repeteix el joc després de retornar les boles a les urnes. Calculeu:

(29)

(a) La probabilitat que esculli a3 i que la bola diferent sigui negra. (b) Sabent que la bola de color diferent és negra, la probabilitat que esculli

a3·

(c) Sabent que ha escollit a3 després de només una extracció, la probabi-litat que la bola diferent hagi estat negra.

(d) La probabilitat que esculli a3'

Ai {escullla pel·lícula l'amic a;}, i = 1,2,3, B {la bola diferent és blanca},

N {la bola diferent és negra} . (a) Hem de calcular

P(A3

n

N).

Això no ho podem calcular directament ja que no sabem en quina extracció ha sortit una bola diferent. Ens cal considerar uns altres esdeveniments

Ck = {una bola diferent per primer cop a la k -èsima extracció} . Aleshores, per la fórmula de les probabilitats totals

(Xl

P (A3

n

N) =

L

P (A3

n

N

n

Ck ). k=l

Observeu que l'esdeveniment A3

n

N

n

Ck representa que en les k - 1 primeres extraccions les tres boles han estat iguals i en la k-èsima a3 treu una bola negra mentre que els altres amics la treuen blanca. Definim

a P ( {les tres boles són iguals} )

P ({les tres boles són blanques})

+

P ({les tres boles són negres})

11 (bi

~

nJ

+

11 (bi

~

nJ .

(30)

P(A3 n N)

f

k-l ( b1 ) ( b2 ) ( n3 ) a _b1

+

nI b2

+

n2 b3

+

n3 k=1 b1b2n3 1 (b 1

+

nd (b2

+

n2) (b3

+

n3) x 1 ~ a·

(b) En aquest apartat volem calcular

P(A₃

n

N) P (A3IN) = P(N) .

Només cal estudiar P(N). Fixeu-vos que

00 00

k=1 k=1

00

+

L

P (NnA3nCk ).

k=1

Fent un raonament similar a l'apartat anterior s'obté: P(N) = - - - x n1 b2 x b3 x - -1 b1

+

nI b2

+

n2 b3

+

n3 1 ~ a b1 n2 b3 1

+

x x x -bI

+

771 b2

+

n2 b3

+

n3 1 ~ a b1 b2 n3 1

+

x x x -b1

+

nI b2

+

n2 b3

+

n3 1 ~ a nlb2b3

+

b1n2b3

+

b1b2n3 1 (b 1

+

n¡) (b 2

+

n2) (b3

+

n3) x 1 ~ a· Aleshores ( c) Hem de calcular

(31)

Com ja hem vist,

D'altra banda, P (A3

n

CI

n

N)

+

P (A3

n

C¡

n

B) b¡ b2 713 x x bl

+

711 b2

+

n2 b3

+

713 nI n2 b3

+

x x . b¡

+

nI b2

+

n2 b3

+

n3 I, per tant, P(NIA₃nC¡) = b1b2n3 b1 b2n3

+

n¡ n2b3

(d) En aquest últim apartat ens demanen

Tenim

El primer terme ja l'hem calculat i el segon es pot fer de la mateixa manera,

Finalment

16. Tenim un laberint amb dues portes, A i B, i tres camins que les comuniquen segons la figura 2.2. Si una persona es troba en el punt PA surt del laberint per la porta A amb probabilitat ~ o agafa amb probabilitat

fi

un dels tres camins que porten a PB. Si una persona es troba en el punt PB surt del laberint per la porta B amb probabilitat ~ o agafa amb probabilitat

i

un dels tres camins que porten apA.

(a) Quina és la probabilitat que una persona surti per A si ha començat en el punt PA? l si ha començat en el punt PB?

(b) Si la persona està en el punt PB, quina és la probabilitat que no surti mai del laberint?

(32)

Figura 2.2:

A

B

(c) Suposem que hi ha una persona al punt PA i dues al punt PB i que les persones actuen de manera independent una de l'altra. Si veiem sortir una persona per la porta A, quina és la probabilitat que sigui una de les persones que estaven al punt PB?

Solució: Definim

SA {sortir per A},

CA {al principi està al punt PA}. Igualment podem definir S B i

e

B.

(a) Volem calcular

Si comencem pel punt PA, podem sortir per A de diverses maneres: directament o passant k vegades per PB, (k ::;o. 1). Definim:

(33)

Així,

D'una manera semblant podriem també calcular

(b) No sortir vol dir que la persona va del punt PB al PA i de PA a PB indefinidament. Per tant,

<Xl

(1 1)

P({nosortir} ¡CB) =

II

- x - = O. 3 2 (c) Utilitzant la fórmula de Bayes,

4 2 103 4 2 41 103

+

"53 k=l 1 -2

17. Tenim m boles, entre les quals n'hi ha només una de negra. Repartim les boles a l'atzar entre dues urnes UI i U2, amb l'única condició que a l'urna

UI hi posem r boles, 1

<

r

<

m - 1. Un jugador fa n extraccions amb reposició escollint cada vegada l'urna (n fix i conegut). Guanya si en una, o més d'una, d'aquestes extraccions treu la bola negra. Calculeu el nombre d'extraccions de l'urna UI perquè la probabilitat de guanyar sigui màxima.

Solució: Sigui A = {guanyar el joc} i k el nombre de boles que traiem de l'urna UI.

Volem calcular el valor de k que ens fa màxima la probabilitat P(A). Per cal-cular la probabilitat s'ha de tenir en compte on és la bola negra. Introduïm així els esdeveniments

NI {la bola negra és a l'urna UI} ,

(34)

Calculem primer

P (N¡) =

(~~{)

= :

És més fàcil calcular la probabilitat de no treure cap vegada la bola negra que la de treure-la almenys una vegada, per això calculem P(AC) :

P(AC

n

N¡)

+

P(AC

n

N2)

P (AC INi) P (N¡)

+

P (AC IN2 ) P (N2)

( r_1)k n-kr k(m-r-1)n-km-r - - 1 - + 1 - - o r m m-r m Per tant, P(A) = 1 _ P(AC) = 1 _

(r -

1)

k

~

_

(m - r -

1)

n-k

m

-r.

r m m,-r m

Maximitzar P(A) és equivalent a minimitzar P(AC). Si definim

(

r

_l)k

r (m -r

_l)n-k

m

-r

C(k)= -

-+

-cal estudiar quan

r m m-r m

C(k

+

1) --'-=C-:C( k:-:-) --'-

>

1. Aquesta desigualtat equival a

( ) k+i ( )n-k-i r-1 ~+ m-r-1 m-r r rn m-r m (r-1)k r (m-r-1)n-km-r

> - -

-+

- - o r m m-r m

Agrupant i simplificant termes obtenim

( r-1)k _r

~

_m

<

(m_r_1)n-k-i _m-r _m1,

(

(r -

1)

(m -r -

1)) k

<

(m -r _

1)

n-i

r(m-r) m-r

Aplicant logaritmes resulta

(n-1)ln(m,;;:~-;:1)

k

>

, ' 7 ' ' ' -In ((r-i)(m-r-i))

(35)

34 CAPÍTOL 2. PROBABILITATS De la mateixa manera (n - 1) In

(m;;:,::~I)

G( k

+

1)

<

1 { = } k

<

_-;--_--'-_----,-'-G(k) In

((r-l)(m-r-I)) .

r(m-r)

Trobem així el mínim de P(AC) en

k*-

[(n-1)ln(~)l

- In

((r-I)(m-r-I))

+

1,

r(m-r)

on

[xl

denota la part sencera de x.

18. Una urna conté 3 boles, cada bola pot ser negra o vermella, de tal manera que totes les composicions de l'urna tenen la mateixa probabilitat. Es treuen dues boles a l'atzar amb reposició i les dues són vermelles. Tenint una altra vegada les tres boles a l'urna, se'n treuen dues a l'atzar i sense reposició. Calculeu la probabilitat que les dues siguin negres.

Solució: Tenim els esdeveniments

A = {les 2 boles tretes amb reposició són vermelles} , B

= {les 2 boles tretes sense reposició són negres} .

El nostre objectiu és calcular

P(BIA) = p(BnA)

P(A) .

El primer problema que tenim és que no sabem com és l'urna. Considerem així els esdeveniments

U

o

{l'urna conté 3 boles vermelles} ,

UI {l'urna conté 1 bola negra i 2 boles vermelles} ,

U2 {l'urna conté 2 boles negres i 1 bola vermella} ,

U3 {l'urna conté 3 boles negres} . Sabem que

1 .

P(Ui ) =

4'

O::;

z::;

3.

Aleshores, per la fórmula de les probabilitats totals

3 3 ¿P(AIUdP(Ui) =

~

¿P(AIU;) P(A) ;,=0 ;'=0 14 :3G 7 18

(36)

Anàlogament i utilitzant la independència de A i B P(B

n

A) 3 1 3

L

P (B n A

I

Ud P (Ui) =

"4

L

P (A

IUd

P (B

I

Ud i=O i=O Per tant, P(B lA) = 412'

19. Una capsa conté dos tipus d'objectes: 7 boles numerades de 1'1 al 7, i 5 cartes numerades de 1'1 al 5. Tirem una moneda perfecta, si surt cara agafem una bola i si surt creu agafem una carta. Mirem el nombre que hi ha a la carta o bola agafada, si el nombre és parell agafem una bola i si és senar agafem una carta. Totes les extraccions són fetes sense reposició. Calculeu les probabilitats dels esdeveniments:

(a) Els dos nombres són parells. (b) El segon nombre és senar.

( c) Almenys un dels dos nombres és el nombre 1.

Pi = {el primer nombre és parell} , P2 = { el segon nombre és parell} , B = {primer agafem una bola} ,

e

= {primer agafem una carta} .

(a) Volem calcular P (Pi

n

P2 ). Per calcular-ho condicionarem pel resul-tat de la moneda o, dit d'una altra manera, per si comencem agafant una bola o una carta. Així, utilitzant la fórmula de les probabilitats

(37)

36 CAPÍTOL 2. PROBABILITATS compostes: = P(P2IPl

n

B) P(H IB) P(B) +P (P2IP¡

n

C) P (PIIC) P(C) 1 3 1 1

=

14

+

35

=

70·

(b) Hem de calcular P (P2 ) . El primer que hem de fer és relacionar-ho amb el valor del primer nombre

La primera probabilitat ja l'hem calculada a l'apartat a i la segona es fa exactament de la mateixa manera:

Per tant, P (P2

n

PI) = P (P2 1P1c

_n

_{B) P (Pf IB) P(B)} +P (P2IPf n C) P (Pf IC) P(C) 4 3 37 = 35

+

20 = 140· (c) Introduïm l'esdeveniment

A = {almenys un dels dos nombres és el nombre I} .

Per calcular P (A) serà més fàcil calcular la probabilitat del comple-mentari, és a dir, la probabilitat que no hi hagi cap 1. Farem uns raonaments semblants als dels apartats anteriors:

P (AC) = P (N

n

PI

n

B)

+

P (AC

n

Pf

n

B) +P (AC

n

PI

n

C)

+

P (AC

n

Pf

n

C) 1 3 5 1 3 4

+

-x-x-2 7 6 -x-x-2 7 fi 1 2 6 1 2 3

+ +

-x-x-2 5 7 -x-x-2 5 4 15 12 12 6 47 84

+

70

+

70

+

40 = 70·

(38)

Per tant,

P(A) = 1 _ P(AC) = 23. 70

20. Considerem n persones. Cadascuna d'elles escull un nombre del conjunt {l, 2, 3, ... , 9} aleatòriament i independent de les altres persones.

(a) Designem per Sn i 7rn la suma i el producte del nombres escollits.

Trobeu la probabilitat dels esdeveniments

Bn = {7r n és divisi ble per 70}.

(b) Considerem el cas particular n = 2. Una vegada cadascuna de les per-sones ha escollit un nombre, en tornen a triar un segon aleatòriament, diferent del que han escollit primer. Designem per

H

el producte dels dos primers nombres escollits i per P2 el producte dels dos nombres triats en la segona operació. Calculeu

Solució:

p(

{P2 parell} ¡{PI parell} ),

P ( {PI parell} ¡ { P2 parell} ).

(a) Començarem calculant P(An). Observem que sempre es compleix que

Sn 2: n de manera que passant al complementari obtenim 3

P(An)

=

1 - P (Sn

<

n

+

4)

=

1 -

L

P (Sn

=

n

+

k).

k=O

Hem de calcular ara aquestes probabilitats. Noteu que l'esdeveniment

{Sn = n} es dóna quan tothom escull el nombre 1, per tant,

L'esdeveniment {Sn = n

+

I} representa que n - 1 persones escullen el nombre 1 i una persona, el nombre 2, per tant,

(39)

Igualment {Sn = n

+

2} es pot obtenir de dues maneres, o n-1 perso-nes escullen el nombre 1 i una persona el nombre 3, o bé n - 2 persones escullen el nombre 1 i dues persones el nombre 2, de manera que

( l)n (n)(l)n n2+n(1)n

P(Sn=n+2)=n

9"

+

2

9"

= - 2 -

9"

Finalment {Sn = n

+ 3} es pot obtenir de tres maneres, o bé

n - 1 persones escullen el nombre 1 i una persona el 4, o bé n - 2 persones escullen el nombre 1, una persona el 2 i una altra el 3, o bé n - 3 persones escullen el nombre 1 i tres persones el nombre 2. Així podem calcular

P(Sn=n+3)

Si ho ajuntem tot obtenim: 3 P(A) 1 -

L

P (Sn = n

+

k) k=O 1- ₍l + n + - - + - - - - -n2

+

n n 3

+

3n2

+

2n) 2 6 1- n3+6n2+11n+6 (!)n 6 9

Calcularem ara P(Bn ). Que un nombre sigui divisible per 70 vol dir que entre els seus factors primers hi ha com a mínim un 2, un 5 i un 7. Introduïm així els esdeveniments següents:

Dp {hem escollit almenys un nombre parell} ,

D5 {hem escollit almenys un 5} ,

D7 {hem escollit. almenys un 7} . Aleshores tenim la igualtat

Les probabilitats dels conjunts Di no són gaire complicades de calcular, especialment les dels seus complementaris. Així, utilit7:ant diverses propietats de la probabilitat podem fer

(40)

P(Dp

n

D5

n

D7 ) 1- P((Dp

n

D5

n

D7)C) 1 - P (DC _pU DC ₅U DC) ₇ 1- [P (D~)

+

P(D~)

+

P(D~) - P (D~

n D~)

- P (D~

n D~)

- P (D~

n D~)

+

P (D~

n D~

n D~)

] 1-

[(~)n

+

(~)n

+

(~)n

_

(~)n

_

(~)n

_

(~)n

+

(~)n].

(b) Suposem n = 2. Considerem els esdeveniments

CI = {PI parell} i C2 = {P2 parell}. Volem calcular

P(CIC)=P(C2nC

d

I 2 P(C

2) '

Observem primer que PI serà senar només si és producte de dos senars, així directament podem calcular

P(Ct) = 1-P(Cf) = 1-

(~)

2 56 81

Per poder calcular el numerador ens cal saber com hem aconseguit que

H

sigui parell. Diem Xl al primer nombre escollit per la primera persona i X2 al primer nombre escollit per la segona persona, de manera que

H

= XIX2. Aleshores

on El {Xl parell i X2 parell}, E 2 {Xl parell i X2 senar} , E3 {Xl senarix2 parell}. Aleshores p(C2n(EI UE2UE3 )) P (C2

n

El)

+

P (C2

n

E 2 )

+

P (C2

n

E 3 )

(41)

40 CAPÍTOL 2. PROBABILITATS 3

L

P (C2IE;) P (Ei) i=1 3

L

[1-P(q IEi )] P(Ei ) i=1

(1-

(~r) (~r

+

2 (1-

~x~) x~x~

149 324

Per calcular P(C_{2 )}observem que

4 56 P(C2 ) =

L

P(C2 n Ei) = 81' ;=1 on E4 = {Xl senar i X2 senar} . Finalment, 149 P(C1IC2 ) = 224'

De la mateixa manera es calcula l'altra probabilitat que a més dóna el mateix resultat. També es pot deduir a partir d'un argument de simetria.

21. Tenim n urnes, UI, U2 , ... , Un, n:2 2. Cada urna conté N boles de les quals només dues boles són blanques. Agafem una bola de l'urna UI i la posem a l'urna U2 , després agafem una bola de l'urna U2 i la posem a U3 i així

successivament. Finalment agafem una bola de l'urna Un' (a) Quina és la probabilitat que la darrera bola sigui blanca?

(b) Si la darrera bola ha sortit blanca, quina és la probabilitat que l'anterior no ho fos?

Solució: Definim els esdeveniments

Bk = {la bola que traiem de Uk és blanca} , I S ; k S; n.

(a) Hem de calcular P(Bn ). Per calcular aquesta probabilitat haurem de conèixer el color de la bola treta a l'urna anterior.

Per a k

>

1 tenim P (Bk IBk-l) P (Bk-d

+

P (Bk IBZ-1 ) P (BZ_¡) 3 2 --P(Bk-d _N+1

+ - -

_N+1(1- P(Bk-¡)) 1 - - (2

+

P(Bk-¡)). N+1

(42)

Com que P(Bd =

j¡,

P(B2 )

= - -

1 (2 + P(Bd)

= - -

1 ( 2 +-2)

N+l N+l N

Per un senzill raonament inductiu tenim que 1 -<:: k -<:: n. (b) Hem de calcular

P

(B~~ 1

IBn).

Utilitzant la fórmula de Bayes tenim

P (B I BC ) P (Bc )

P (BC

IB)

= n n~l n~1

n~l n P(Bn) .

2

N

Totes aquestes probabilitats han estat calculades a l'apartat anterior, aleshores substituint

P (BC

IB)

=

Nh

(1 -

j¡ )

n~l n 2 N N -2 N+l

22. D'un joc de 48 cartes en traiem 4 a l'atzar. Calculeu la probabilitat que obtinguem exactament 3 sotes si sabem que entre les 4 cartes escollides:

(a) hi ha almenys una sota, (b) hi ha la sota d'espases.

Solució: Tenim un espai equiprobable de cardinal (~8). Sigui F = {exactament 3 sotes} .

El cardinal de F és el nombre de totes les maneres possibles d'escollir 3 de les 4 sotes i 1 de les 44 cartes restants, per tant,

P(F) =

(414)

(i)

(~) .

(a) Sigui A = {almenys una sota} . Aleshores

P(FIA)

=

p(FnA)

=

P(F)

P(A) P(A)'

Per calcular la probabilitat de A utilitzem el complementari AC

{cap sota},

_ C _ (~4) P (A) - 1 - P(A ) - 1 - (~8)'

(43)

42

Finalment,

CAPÍTOL 2. PROBABILITATS

176 58829

(b) Sigui ara B = {sota d'espases}. Argumentant com abans tenim

Per tant, P(B) P(F

n

B) P(F[B) (~7) (~8)

,

(~4)@

r!)'

p(Fn B) P(B) P(F[B)

=

(414)@

=~.

(;¡)

5405

2.6 Problemes amb indicació

1. En una ciutat de n

+ 1 habitants una persona fabrica un bitllet fals de 500

euros i el dóna a una segona, que el torna a donar a una tercera i així successivament. A cada etapa l'individu a qui es dóna el bitllet s'escull a l'atzar. Suposant que el bitllet s'ha donat r vegades, calculeu:

(a) La probabilitat que no retorni mai al falsificador. (b) La probabilitat que no retorni mai a la mateixa persona.

2. Una urna conté boles numerades de l'I al rn. Agafem dues boles a l'atzar. Calculeu la probabilitat que els nombres de les boles difereixin en 1, en els dos casos següents:

(a) agafem les dues boles simultàniament, (b) agafem les dues boles amb reposició.

3. A partir d'una carta del cavaller de Méré, l'any 1654 Pascal va plantejar a Fermat la qüestió següent: l'aritmètica és contradictòria ja que l'aposta de treure almenys un 6 en tirar 4 vegades un dau és favorable (té probabilitat més gran que ~), mentre que l'aposta de treure almenys un doble 6 tirant dos daus 24 vegades és desfavorable, però les dues apostes són equivalents ja que 4 és a 6 com 24 és a 36.

(44)

(b) Quantes vegades caldria tirar el dos daus perquè l'aposta de treure un doble 6 fos favorable?

4. Un fumador té el costum de retornar els llumins utilitzats a la caixa que conté els llumins nous. Això fa que cada cop que ha d'agafar un llumí en pugui trobar d'usats. Suposem que tenim una caixa nova amb n llumins i que per encendre cada cigarreta només necessitem un llumí no utilitzat.

(a) Calculeu la probabilitat que la caixa de llumins es gasti sense haver agafat cap llumí usat.

(b) La probabilitat que per encendre la k-èsima cigarreta agafem més d'un llumÍ.

5. En un quadrat de costat R hi tenim inscrita una circumferència. Quina és la probabilitat que en triar un punt a l'atzar sobre el quadrat, aquest sigui dins el cercle.

6. En una classe de n

+

m estudiants n'hi ha n que són del Barça i m que són de l'Espanyol (els estudiants només són, lògicament, d'un equip). Escollim, a l'atzar, dos dels alumnes. Establiu condicions sobre n i m per tal que la probabilitat que no siguin del mateix equip sigui superior a la probabilitat que ho siguin.

7. Tres jugadors de dards tiren un únic dard cada un d'ells. Les probabilitats d'encertar el centre de la diana són: ~,~ i ~, respectivament. Es demana que calculeu la probabilitat que obtinguin, entre tots tres:

(a) almenys un blanc, (b) exactament un blanc,

(c) exactament tres blancs.

8. Tenim 3 urnes, UI, U2 , U3 . L'urna UI té dues boles negres, U2 té dues boles blanques i U3 una de blanca i una de negra. Escollim a l'atzar una de les tres urnes, traiem una bola i resulta que és blanca. De quin color és més probable que sigui la bola que queda dins l'urna?

9. Al sorteig realitzat el 12/11/1997 per l'exèrcit espanyol per determinar els joves que quedaven exempts del servei militar es va procedir de la manera següent. La primera fase va consistir a assignar un nombre diferent a cada jove (en total hi havia 165.342 mossos). A la segona fase es va fer un sorteig per triar un nombre, entre 1 i 165.342, de manera que quedaven exempts els mossos amb els 16.442 nombres posteriors al triat (aquest inclòs). Per escollir aquest nombre es van fer servir sis bombos, un per a cada xifra. Al primer hi havia 5 zeros i 5 uns, i a la resta hi havia 10 boles numerades del

(45)

o

nns al 9. Es va triar una bola del primer bombo i va sortir un 1. Se'n va triar una del segon i va sortir un 8. Aleshores, com que aquesta combinació no era possible, se'n va treure una altra del segon bombo i va sortir el 5. Es va continuar traient boles dels següents bombos fins a obtenir el nombre 155.611.

(a) Justifiqueu per quina raó el mètode emprat en el sorteig no va ser equitatiu.

(b) Quina és la probabilitat que el mosso 126442 sigui excedent? l que ho sigui el 106441?

10. Una urna té b boles blanques i n negres. Traiem una bola a l'atzar, la retornem a l'urna i afegim a boles del mateix color. Traiem ara una altra bola de l'urna.

(a) Calculeu la probabilitat que la primera bola hagi sortit blanca, si sabem que la segona ha sortit blanca.

(b) Demostreu que en cada una de les dues extraccions, la probabilitat de treure una bola blanca és la mateixa.

11. Hem instal·lat un nou antivirus al nostre ordinador personal per detectar virus en els disquets. La probabilitat que un disquet estigui infectat és de 0,1. Si està infectat, la probabilitat que l'antivirus ho detecti és de 0,95. Si no està infectat, la probabilitat que detecti un virus inexistent és de 0,03. Calculeu:

(a) La probabilitat que havent detectat un virus el disquet no estigui in-fectat.

(b) La probabilitat que el disquet estigui infectat i l'antivirus no ho detecti. (c) La probabilitat que no havent detectat cap virus, el disquet estigui

infectat.

12. Des de casa podem accedir a tres servidors. La probabilitat que, en un moment donat, el servidor k no es pugui utilitzar és Pk, k = 1,2,3. Cal-culeu sota les hipòtesis excloents a i b, la probabilitat que en aquest instant almenys poguem utilitzar un dels servidors.

(a) Els servidors es comporten de manera independent.

(b) Hi ha una probabilitat P que falli la connexió telefònica i no puguem utilitzar per tant cap dels servidors. Altrament funcionen de manera independent.