Fichas de trigonometria 12ºano

1. Considere a função

f

, de domínio

, definida por

 

3 6 cos

3

x

f x

 

 

_{ }

 

.

1.1. Prove que a função

f

é periódica e indique o período positivo mínimo.

1.2. Determine o contradomínio da função

f

.

1.3. Determine uma expressão geral dos zeros da função

f

.

1.4. Mostre que a função

f

é par.

2. Seja

g

a função de domínio

definida por

 

1

sin 2

 

2

x

g x

 

.

2.1. Determine o contradomínio da função

g

.

2.2. Prove que o período positivo mínimo da função

g

é

π

.

2.3. Determine os minimizantes da função

g

pertencentes ao intervalo

π ,

π

2



_











.

3. Considere a função

h

, real de variável real, definida por

 

3 tan

π

3

2

4

x

h x





_





_







.

3.1. Determine o domínio de

h

.

3.2. Determine o(s) zero(s) de

h

pertencentes ao intervalo

π 11π

,

6

6



_











.

3.3. Prove que a função

h

tem período mínimo positivo igual a

2π

.

4. Considere a função

j , real de variável real, definida por

 

1 2 cos



π



π

1 cos

2

x

j x

x



 









_



_





.

5.1. 2sin

1 0

2

x

   

 

 

5.2.

2



2sin π





x





0

5.3.

2 cos

 

x



2



0

5.4.

cos

2

 

x



cos

 

x



0

5.5.

2cos

x



sin cos

x

x



0

5.6.

2

 

3



4sin

2x

5.7.

sin

x



cos 2

 

x

5.8.

cos



 

π

x



 

sin

x

5.9.

2

 

tan

2

x



3

5.10.

tan 2

 

tan

π

3

4

x





_



x



_





5.11.

2 cos

2

x

 

3 5 cos

x



0

5.12.



2sin

2

x

 

1 3sin

x

5.13.

sin

2

x



2 cos

2

x

 

2

0

5.14.

2 tan cos

x

x



1

6. Resolva, em

π

, π

2



_











, a equação

2

2sin

x



cos

x



1

.

7. Mostre que:

7.1.

 

x

, sin

4

x



sin

2

x



cos

4

x



cos

2

x

7.2.





2

1

sin

cos

π

\

π,

, 1

1 2sin

2

cos

x

x

x

k

k

x

x









 

_





_



 





8. Na figura estão representados, num plano munido de um referencial ortonormado

xOy

, a

circunferência trigonométrica e o triângulo



OPC



.

Sabe-se que:

▪

O

é a origem do referencial;

▪

A

 

1, 0

,

B

 

0 , 1

e

C



0 , 1





;

▪ o ponto

P

desloca-se ao longo do arco

AB

, nunca

coincidindo com o ponto

B

.

Para cada posição do ponto

P

, seja

x

a amplitude do ângulo

AOP

▪

sin

1

π

, π

3

2

a

   

a





_





▪

cos

2

π

, 0

5

2

b

   

b



_



_





Apresente o valor pedido na forma de fração irredutível com denominador racional.

2. Calcule o valor exato de

cos

π

sin

π

12

12





_













Professor - - 20

Item de seleção

Relativamente a um ângulo

x sabe-se que

tan

x

a

b



, com

a b

,



\ 0

 

.

Qual é o valor exato de

a

sin 2

 

x



b

cos 2

 

x

?

(A)

a

(B)

b

(C)

ab

(D)

b

a

Item de construção

Determine o valor exato de

cos x sabendo que:

π

2

3π

sin

π ,

2

2

3

2

x

x



_



_{   }





















1. Resolva, em

, cada uma das equações.

1.1.

2 sin

x



2 cos

x



3

1.2.

sin

cos

6

2

x



x

 

1.3.

cos 2

 

x

  

2 3cos

x

Professor - - 20

Item de seleção

Relativamente a um ângulo



sabe-se que

2 tan

₂

24

1 tan

25









.

Qual é o valor de

cos

2

 

2



?

(A)

24

25

(B)

1

625

(C)

49

625

(D)

576

625

Item de construção

Resolva em





π , π



a equação

sin 2

 

cos

π

cos 2

 

sin

π

1

5

5

2

x

 

_{ }



x

 

_{ }

 

1. Mostre que, em

, se tem:

1.1.

sin



a b

 



sin



a b







2sin

   

b

cos

a

1.2.

4 cos



2

a



cos

4

a





sin

2

 

2

a

2. Calcule cada um dos seguintes limites.

2.1.

0

π

cos

2

lim

1 cos

x

x

x

 



_













2.2.

 

 

π 4

2 2 tan

lim

cos 2

x

x

x





Professor - - 20

Item de seleção

De entre as opções seguintes, qual é o limite que não é igual a

1

4

?

(A)



₂



2

sin

2

lim

4

x

x

x







(B)

 

 

0

sin 4

lim

tan 2

x

x

x



(C)

2 2 π 2

1 sin

lim

cos

x

x

x

















(D)

 

0

sin

lim

8

2 tan 2

x

x

x

x





Item de construção

Considere a função

g

, de domínio

π π

,

2 2



_











, definida por:

 

cos

 

_{ }

2

cos

x

g x

x





Estude a função

g

quanto à existência de assíntotas ao seu gráfico.

1. Calcule, nos pontos em que existe, uma expressão da derivada da função definida por:

1.1.

f x

 



5sin cos 2

x

 

x

1.2.

f x

  

 

1 tan

x



2

1.3.

 

2 sin

1 cos

x

f x

x







2. Determine, utilizando a definição, a derivada da função

g

, de domínio

, definida por:

 

cos 2

 

g x



x

Professor - - 20

Item de seleção

Seja

f

a função, de domínio

, definida por:

 

2

 

4sin

f x



x

Qual das expressões seguintes define a função

f



, segunda derivada de

f

?

(A)

8sin 2

 

x

cos

x

(B)

8sin

   

x

cos 2

x

(C)

8cos 2x

 

(D)

8sin 2x

 

Item de construção

Considere a função

g

, de domínio

0 ,

3π

2













, definida por:

 

2 2

cos

sin

2

g x



x



x



1.

O gráfico da função

g

interseta a reta de equação

y



1

num só ponto.

Determine, recorrendo exclusivamente a métodos analíticos, as coordenadas desse ponto.

2.

Estude a função

g

quanto à monotonia e à existência de extremos relativos.

Na sua resposta, apresente:

•

o(s) intervalo(s) onde a função

g

é estritamente decrescente;

•

o(s) intervalo(s) onde a função

g

é estritamente crescente;

•

o(s) extremo(s) relativo(s) da função

g

.

1. Considere a função

f

, de domínio

, definida por:

 

2

sin

se

0

1

se

0

1

x

x

x

x

f x

x

x

x





_



 





_

 



1.1. Estude a função

f

quanto à continuidade no ponto de abcissa

x



0

.

1.2. Estude a função

f

quanto à existência de assíntotas não verticais ao seu gráfico,

escrevendo as suas equações, caso existam.

1.3. Determine a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de

f

no ponto de abcissa

3π

2

x



.

2. De uma função

h

, de domínio

 

0 , π , sabe-se que a sua derivada

h



está definida igualmente

no intervalo

 

0 , π e é dada por:

 

1 sin

sin

x

h x

x







Estude a função

h

quanto às concavidades do seu gráfico e à existência de pontos de inflexão.

Na sua resposta, apresente:

• o(s) intervalo(s) em que o gráfico de

h

tem concavidade voltada para baixo;

• o(s) intervalo(s) em que o gráfico de

h

tem concavidade voltada para cima;

• a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) de inflexão do gráfico de

h

.

Professor - - 20

Item de seleção

Na figura está representado o triângulo isósceles



ABC .



Sabe-se que:

▪

AC



BC



3

e

AB



2

▪



designa a amplitude do ângulo

BAC

.

Qual dos seguintes pode ser o valor de

AC CB



, em função de



?

(A)

9cos 2

 



(B)

9 18sin



2

 



(C)

9cos

2

 

2



(D)

9cos

 



Item de construção

Considere a função

g

, de domínio



0 , π \



π

2

 

 

 

, definida por:

 

1

tan

g x

x



Estude a função

g

quanto à:

1.

existência de assíntotas verticais ao seu gráfico;

2.

à monotonia do seu gráfico.

1. Num dia de vento são observadas oscilações no tabuleiro de uma ponte suspensa construída

sobre um vale.

Mediu-se a oscilação do tabuleiro da ponte durante um minuto.

Admita que, durante esse minuto, a distância de um ponto

P

do tabuleiro a um ponto fixo do

vale é dada, em metros, por:

 

1

 

 

20

cos 2π

sin 2π

2π

h t





t



t

t

t é medido em minutos e pertence a

 

0 , 1 .

Recorrendo à calculadora, resolva a inequação

h t

 



19,5

.

Na sua resposta, apresente:

▪ num referencial, o gráfico da função ou gráficos da função que tiver necessidade de

visualizar na sua calculadora, devidamente identificados;

▪ as coordenadas dos pontos relevantes com arredondamento às milésimas;

▪ as soluções usando a notação de intervalo de números reais, com os extremos do(s)

intervalo(s), arredondadas às centésimas.

2. Considere a função

f

, de domínio



0 , π , definida por:



 

cos

 

sin 2

 

2

x

f x



x

 

x

Estude a função

f

quanto à monotonia e à existência de extremos relativos e indique o

respetivo contradomínio.

Professor - - 20

Item de seleção

De uma função

f

, de domínio





π , π



, sabe-se que a sua derivada

f



está definida igualmente no

intervalo





π , π



e é dada por:

 

2cos

 

sin

 

f



x

 

x

x



x

Qual é o valor de

 

 

0

0

lim

x

f x

f

x





?

(A)

0

(B)

1

(C)

2

(D)

3

Item de construção

Na figura está representado o losango



ABCD



, assim como as suas diagonais

 

AC

e

 

BD

, que

se intersetam no ponto

O

.

Sabe-se que a medida do comprimento de cada lado do losango é igual a 1 e

que



é a amplitude do ângulo

BAO

.

1.

Mostre que a área do losango



ABCD



é dada, em função de



, por:

 

sin 2

 

,

0 ,

π

2

A





 

 





_





2.

Seja

0 ,

π

2



_{ }





_





,

tal que

π

3

sin

2



4



_



_









.

Determine o valor exato de

A

 



.

1. Um ponto

P

move-se no eixo das abcissas, onde a unidade é o metro, de forma que a sua

abcissa no instante

t

(em segundos) é dada por:

 

1

6 cos

π

π

2

x t





_

t





_





1.1. Indique a amplitude, o período, a frequência do movimento, bem como o respetivo

ângulo de fase.

1.2. Determine uma expressão analítica da velocidade do ponto

P

.

1.3. Determine o módulo da velocidade máxima e o módulo da aceleração máxima do

ponto

P

.

2. Num certo dia de verão, a temperatura, em graus Celsius, dentro de uma determinada habitação,

é dada por:

 

cos

π

3π

,

12

4

f t



a



_

t





_



d a









e

d



onde

t

designa o tempo, em horas, contado a partir das 0 horas desse dia.

Sabe-se que nessa habitação e nesse dia a temperatura máxima ocorrida foi de 23 ºC e a

temperatura mínima ocorrida foi de 18 ºC.

2.1. Prove que

a



2, 5

e

d



20, 5

.

2.2. Determine o instante, desse dia, em que a temperatura, em ºC, dentro dessa habitação, foi

máxima, recorrendo a processos exclusivamente analíticos.

Professor - - 20

Item de seleção

Na figura está representada uma representação gráfica de um oscilador harmónico

f

no intervalo



0 , 6



.

Qual das seguintes pode ser uma expressão analítica

f t

 

da função representada?

(A)

4 cos

3π

π

2

t



_











(B)

π

3π

4 cos

2

t

2



_











(C)

2 cos

π

π

2

t



_











(D)

π

π

2 cos

2

t

2



_











Item de construção

Um ponto

P

move-se no eixo das abcissas de forma que a sua abcissa no instante

t

(em segundos)

é dada por:

 

sin

π

cos

π

2

2

x t





_

t



_





_

t



_









1.

Prove que se trata de um oscilador harmónico.

2.

Indique a amplitude, o período, a frequência do movimento, bem como o respetivo ângulo de

fase.

1. Determine o período positivo mínimo, o contradomínio e os zeros de cada uma das funções.

1.1.

 

1 sin 2

π

4

f x

 



_

x





_





em





π , π



1.2.

 

π

2 cos

1

3

g x





_

x





_







em



0 , 2π



1.3.

h x

 



tan 3

 

x



3

em



0 , π \



π π 5π

, ,

6 2

6













2. Relativamente a um ângulo



sabe-se que

cos

 

4



π , 0



5



    



.

Calcule o valor exato de

sin 2

 



.

3. Determine o valor exato de

cos a b







sabendo que:

▪

tan

2

π ,

3π

2

a

   

a





_





▪

12

π 3π

sin

,

13

2

2

b

 

  

b





_





4. Resolva, em

, as equações seguintes.

4.1.

cos π

 

x



3 sin π

 

x



1

4.2.

cos

2

 

sin

2

3

2

x



x

 

5. Considere a função

f

, de domínio

e com

k



,

definida por:

 

 

2 cos

π

se

π

₂

2

π

x

x

x

f x











 



 



7. Considere a função

g

, de domínio

π 3π

,

2

2



_











, definida por

 

2

cos

 

x

g x

 

x

.

7.1. Estude a função

g

quanto à monotonia e à existência de extremos relativos.

Na sua resposta, apresente:

▪ o(s) intervalo(s) onde a função

g

é estritamente decrescente;

▪ o(s) intervalo(s) onde a função

g

é estritamente crescente;

▪ o(s) extremo(s) relativo(s) da função

g

.

7.2. Determine os valores de

x , pertencentes ao intervalo

π 3π

,

2

2



_











, tais que:

 

sin 2

 

2

x

f x

 

x

8. Considere a função

h

, de domínio

, definida por

h x

 



2

x



cos

 

x

.

8.1. Determine o valor de

 

π

2π 1

lim

π

x

h x

x









.

8.2. Estude o gráfico de

h

quanto ao sentido das concavidades e à existência de pontos de

inflexão no intervalo





π , π



.

9. Considere a função j , de domínio

\ 0

 

, definida por

j x

 

sin



3x



x





.

9.1. Estude a função j quanto à existência de assíntotas verticais ao seu gráfico.

9.2. Prove que

1 ,

1

:

 

1

2

c





j c

   

_

_

 





.

9.3. Prove que

x

\ 0 ,

   

j x

3 cos

x



3

x

₂



sin



3

x



x











 



.

9.4. Determine a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de j no ponto de abcissa

π

6

1. Relativamente a dois ângulos



e



sabe-se que

tan





2 tan



.

Qual é o valor de

tan



 





?

(A)

3 tan

₂

1 tan







(B)

3 2

tan

1 2 tan







(C)

3sin

₂

cos

₂

cos

2 sin











(D)

 

3sin

cos

cos 2







2. Sabe-se que

1

 

 

0

2

sin

lim

sin 4

0 ,

\ 0

1 cos

x

ax

x

x

x

a

x

 



_



_

_



_







. Qual é o valor real de

a ?

(A)



1

(B)

0, 5

(C)

1

(D)

4

3. Considere a função

f

, de domínio

\

π

π

,

6

3

k

k



_

_











, definida por:

 

2

_{ }

tan 3

f x

x



A equação reduzida da reta tangente ao gráfico de

f

no ponto de abcissa

π

9

x



é:

(A)

8

8π 2 3

9

y

  

x



(B)

8

8 6 3

9

y



x





(C)

8

8 6 3

3

y



x





(D)

8

8π 6 3

9

y

  

x



4. Qual das expressões seguintes pode ser a expressão analítica de uma função de domínio

?

(A)

1

₂

cos x

(B)

1 tan

2

x

x

6. Considere a função

g

de domínio



0 , 2π



definida por:

 

1 sin

se 0

π

1 sin

se π

2π

x

x

g x

x

x



 



 

_

_{ }



6.1. Mostre que a função

g

é contínua no seu domínio.

6.2. Averigue se existe

g



 

π

e em caso afirmativo indique o seu valor.

7. Considere a função

f

de domínio





π , π



definida por

f x

 



2cos

 

x



cos 2

 

x

.

Estude a função

f

quanto à monotonia e à existência de extremos relativos e indique o

contradomínio.

8. Na figura estão representados, num referencial ortonormado

xOy

:

▪ o gráfico da função

f

, de domínio



0 , 4π



, definida por

 

2sin

 

f x



x

;

▪ o gráfico da função

g

, de domínio



0 , 4π



, definida

por

 

2 sin

2

x

g x



 

_{ }

 

;

▪ o ponto

A

pertencente ao gráfico de

f

e ao gráfico de

g

;

▪ o ponto

B

do eixo das abcissas;

▪ a reta

t

tangente ao gráfico de

f

no ponto

A

e que passa por

B

.

Determine a abcissa do ponto

B

.

9. Um ponto

P

move-se no eixo das abcissas de forma que a sua abcissa no instante

t

(em

segundos) é dada por:

 

sin

 

cos

 

x t



a

kt



b

kt

, onde

a b

,

e

k



\ 0

 





 

, x f x P f x      , 3 6cos 3 6cos 3 3          _{ }  _{ }     x P x x , 6cos 6cos 3 3 x P x x          _{ }  _{ }     , cos cos 3 3 x P x x         _{ } _{ }     , cos cos 3 3 3 x P x x        _  _ _{ }    

Como 2 é o período positivo mínimo da função cosseno e P é o menor valor positivo para o qual a proposição é verdadeira, 2

3

P_{ }

, pelo que P 6 .

Portanto, a função f é periódica de período positivo mínimo P₀ 6 . 1.2. , 1 cos 1 3 f x x D       _{ }    , 6 6cos 6 3 f x x D        _{ }     , 9 3 6cos 3 3 f x x D        _{ }    

 

, 9 3 f x D f x       Portanto, Df  



3, 9



. 1.3.

 

0 3 6cos 0 cos 1 3 3 2 x x f x     _{ }   _{ }      2 , 2 , 3 3 3 3 x x k k k k               6 , 6 , x k k x k k             1.4.

 

3 6cos 3 6cos

 

3 3 x x f   x _ _   _{ }f x     Como  x Df,  x Df e f

 

 x f x

 

, podemos

concluir que a função f é par.

2.1.  x Dg,  1 sin 2

 

x  1

 

sin 2 1 1 , 2 2 2 g x x D        

 

sin 2 1 1 , 1 1 1 2 2 2 g x x D         

é o menor valor positivo para o qual a proposição é verdadeira, 2P 2 , isto é, P .

Logo, a função g tem período positivo mínimo .

2.3. O mínimo de g é 1

2, pelo que os minimizantes são as soluções da equação

 

1 2 g x  . Assim:

 

1 sin 2

 

1 sin 2

 

1 1 1 2 2 2 2 2 x x g x         

 

_{ }

sin 2 1 sin 2 1 2 2 , 2 2 2 x x x  k k          , 4 x  k k      Como , 2 x _ _   : 4 k 2        4 k 2 4            5 4 k 4         5 1 1 0 4 k 4 k k          , pois k Para 1:

 

1 3 4 4 k  x       Para 0 : 4 k x

Portanto, os minimizantes da função g pertencentes ao intervalo , 2  _      são 3 e 4 4    . 3.1. : , 2 4 2 h x D _x      k k _   : , 2 4 h x D x  k k            : 2 , 2 h D x x  k k   _      _   \ 2 , 2 h D  k k           3.2.

 

0 3tan 3 0 2 4 x h x   _ _    

Como , 6 6 x _{ }   : 11 2 6 6 k 6          2 11 6 6 k 6 6             0 2k 2         0 k 1 k 1 , pois k Para 1: 2 11 6 6 k x     

O zero de h pertencente ao intervalo , 11 6 6   _      é 11 6  .

3.3. Seja P o período positivo mínimo da função h . Se xDh , então, x P Dh , porque se k , então

1 k  .





 

, h x D h x P h x      , 3tan 3 3tan 3 2 4 2 4 h x P x x D         _  _  _  _      , 3tan 3tan 2 2 4 2 4 h x P x x D        _   _ _  _     , tan tan 2 2 4 2 4 h x P x x D        _   _ _  _    

Como  é o período mínimo da função tangente e P é o menor valor positivo para o qual a proposição é verdadeira, terá de ser

2

P_{ }

, isto é, P 2 .

Logo, a função h tem período positivo mínimo igual a 2.

4.1.  x , cos



 x



 cosx , cos sin 2 x  x x   _  _   

 

1 2cos





1 2

_



cos

_



, 1 sin 1 cos 2 j x x x D j x x x                 _  _  

 

 

1 2cos 1 sin x x   

Por outro lado:



: 1 sin 0



j D  x  x Dj



x : sinx  1



: 2 , 2 j D x x  k k   _       _   \ 2 , 2 j D   k k           4.2.

 

 

 

1 2cos 0 0 1 sin x j x x      

 

 

1 2cos x 0 1 sin x 0       

 

1 cos 2 j x x D       2 , 2 , 3 3 x  k k x  k k                2 2

 

 

2 2 2sin 0 sin 2 x x       

 

sin sin 4 x     _ _   5 2 , 2 , 4 4 x  k k x  k k           

5.3. 2cos

 

2 0 cos

 

2 cos

 

cos 3

2 4 x    x    x  _ _   3 3 2 , 2 , 4 4 x  k k x  k k            5.4. 2

 

 

 



 



cos x cos x  0 cos x cos x   1 0

 

 

cos x 0 cos x 1 0

     

 

 

cos cos cos 1 2 x   x   _{ }    

 

 

, cos cos 0 2 x  k k x         , 2 , 2 x  k k x k k         

5.5. 2cosxsin cosx x 0 cosx



2sinx



 0

 

 

cos 0 2 sin 0 cos cos sin 2 2 x x x   x        _{ }    , 2 x   k k  x

(a equação sinx2 é impossível, pois

, 1 sin 1 x x      ) , 2 x  k k      5.6. 2

 

2

 

3 3 4sin 2 sin 2 4 x x    

 

3

 

3 sin 2 sin 2 2 2 x x      

 

 

sin 2 sin sin 2 sin

3 3 x   x     _ _  _{ }     4 2 2 , 2 2 , 3 3 x  k k x  k k             2 2 2 , 2 2 , 3 3 x  k k x  k k            2 , , 6 3 x  k k x  k k             , , 6 3 x  k k x  k k          

5.7. sin cos 2

 

sin sin 2 2 x x  x _ x_   2 2 , 2 2 , 2 2 x  x k k x  x k k          _  _      

, , 6 2 6 2 k k x   k x   k          5.10. tan 2

 

tan 3 2 3 , 4 4 x  _ x_ x  x k k    5 , , 4 20 5 k x  k k x   k          5.11. 2 2

2cos x 3 5cosx 0 2cos x5cosx  3 0

 

5 25 4 2 3 cos 2 2 x           5 7 5 7 cos cos 4 4 x   x        1

cos cos 3 cos cos

2 3

x x x   x

       _{ } 

 

(a equação cosx 3 é impossível, pois

, 1 cos 1 x x      ) 2 , 2 , 3 3 x  k k x  k k            5.12. 2 2

2sin x 1 3sinx 2sin x 3sinx 1 0

       

3 9 4 2 1 3 1 3 1

sin sin sin

2 2 4 4

x     x  x 

      



1

sin 1 sin sin sin sin sin

2 2 6 x x x   x         _{ }  _{ }     2 , 2 , 2 6 x  k k x  k k            5 2 , 6 x  k k      5.13. 2 2 2 2

sin x2cos x   2 0 1 cos x2cos x  2 0

2

cos x 1 cosx 1 cosx 1

       

 

 

cosx cos 0 cosx cos

      2 , 2 , x k k x k k            , x k k    

5.14. 2 tan cos 1 2sin cos 1 cos x x x x x     2sinx 1 cosx 0      1 sin , 2 2 x x  k k         1

sin sin sin

2 6 x x       _{ }    

 

2

cos cos cos cos 0 ,

3 2 x x x        _  _{ }  _  _  _       2 2 2 , 2 , 3 3 x  k k x  k k  _            



2 , , 2 x k k x          _  _   2 0 3 x  x     7.1. 4 2 4 2

: sin sin cos cos

x x x x x

     





2 2 4 2

, sin sin 1 cos cos

x x x x x

      





2 2 4 2

, sin 1 cos 1 cos cos

x x x x x

       



2



2



4 2

, 1 cos cos cos cos

x x x x x

       

2 4 4 2

, cos cos cos cos

x x x x x

      

4 2 4 2

, cos cos cos cos

x x x x x      7.2. \ , , 2 x  k k          





2 1 sin cos 1 1 2sin cos x x x x       \ , , 2 x  k k           



2 2



1 sin 2sin cos cos

1 1 2sin cos x x x x x x        \ , , 2 x  k k     _    _  





1 1 2sin cos 1 1 2sin cos x x x x       \ , , 2 x  k k     _    _   1 1 2sin cos 1 1 2sin cos x x x x       \ , , 2 x  k k            2sin cos 1+ 1 2sin cos x x x x     \ , , 1 2sin 1 2sin 2 x  k k  x x             

25 5 5 Como 0,

2

_{ } _

  , cos0 , pelo que

4 cos 5   . Logo,

 

4 cos ₅ 4 1 2 2 2 5 2 5 f        . Miniteste 3.1. Pág. 10 1. tan





tan tan

1 tan tan a b a b a b    

Determinemos o valor de tan a .

2 2 2 1 1 1 1 1 9 tan 1 tan 3 a a             2 2 1 1 1 1

8 tan tan tan

tan a a 8 a 8 a 8           1 1 tan tan 2 2 2 2 a a       2 2 tan tan 4 4 a a      Como , 2 a_ _

 , então tana0 , pelo que

2 tan

4

a  .

Determinemos o valor de tan b .

2 2 2

2

1 25 21

1 tan 1 tan tan

4 4 2 5 b b b               21 21 tan tan 4 4 b b       21 21 tan tan 2 2 b b      Como , 0 2 b _  _

 , então tanb0 , pelo que

21 tan 2 b  .





2 21 _{2 2 21} 4 2 ₄ tan 42 2 21 1 1 8 4 2 a b   _{ }   _ _            _ _ _   













2 2 4 21 2 2 4 21 8 42 2 2 4 21 8 8 42 8 42 8 42 8 42 8                16 2 2 84 32 21 4 882 64 42        16 2 4 21 32 21 84 2      

cos cos sin sin

3 4 3 4

 _{   } _{   }

       

sin cos sin cos

3 4 4 3           _{    } _{   }           1 2 3 2 3 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2                2 6 6 2 4 4 4 4            2 6 6 2 2 2 2 4 4 4 4 4 2       Questão-aula 3.1. Pág. 11 Item de seleção

 

 

 

 

sin 2 cos 2 asin 2 cos 2

a x b x b x x b     _  _  

 

 





sin

 

 

tan sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 cos x b x x x b x x x      _  _  

 

 





sin sin 2 cos cos 2 cos 2

cos cos x x x x x x b b x x        _{ } _{ }     cos cos x b b x   Resposta: (B) Item de construção 2 2 sin cos 2 2 3 2 3 x x   _ _{  }  _{ }        

Por outro lado, 2 2

cos cos sin

2 2

x x

x  _{ }  _{ }

    , ou seja,

2 2

cos cos 1 cos

2 2

x x

x  _{ } _  _{ }_

    

2 2 2

cos cos 1 cos cos 2cos 1

2 2 2 x x x x     x     _{ }  _{ }  _{ }       2 2 4 8 1 cos 2 1 2 1 1 3 9 9 9 x _ _           Portanto, cos 1 9 x  . Miniteste 3.2. Pág. 12

1.1. 2 sin 2 cos 3 2sin 2cos 3

2 2 2

x x  x x 

3 sin sin cos cos

4 x 4 x 2

 

   

3 cos cos sin sin

4 4 2 x  x       3 cos 4 2 x     _  _    5 cos cos 4 6 x        _  _ _{ }    

4 2 , 2 , 4 3 4 3 x   k k x   k k               7 13 2 , 2 , 12 12 x  k k x  k k            1.3.

 

2 2

cos 2x   2 3cosxcos xsin x 2 3cosx 0





2 2

cos x 1 cos x 2 3cosx 0

       2 2cos x 3cosx 1 0      3 9 4 2 1 cos 2 2 x         3 1 3 1 1

cos cos cos 1 cos

4 4 2

x  x  x x

        

 

cos cos 0 cos cos 3        _{ }   x x 2 , 2 , 3 x k k x  k k           2 , 3 x  k k       2.

 

 

2 2

 

, cos 2 cos 4 1 2cos 2cos 2 1

x x x x x

       





2 2

, cos sin cos 2 2 1

x x x x x        

 

2 2 2 cos x 2 cos 2x 1    





2 2 , cos 1 cos   x x  x 

   

   

cos 2x cos 2x sin 2x sin 2x 1

_    _

 

2 2 2 cos x 2 cos 2x 1    

 

 

2 2 2

, 2cos 1 cos 2 sin 2 1

x x x x        

 

2 2 2 cos x 2 cos 2x 1    

 



 



2 2 2

, 2cos cos 2 1 cos 2

x x x x       

 

2 2 2 cos x 2 cos 2x 1    

 

2 2 , 2cos 2cos 2 1 x x x      

 

2 2 2 cos x 2 cos 2x 1    Questão-aula 3.2. Pág. 13 Item de seleção 2 2 2 2 tan 1 1 2 tan 2 tan 1 1 tan 1 tan cos  _{ }          , pois: 2 1 1 tan  , logo

 

 

1

sin 2 cos cos 2 sin

5 5 2

x  _{ }  x  _{ }   

   

1

sin 2 sin 2 sin

5 2 5 6 x  x          _  _   _  _ _ _       7 2 2 , 2 2 , 5 6 5 6 x   k k x   k k               7 2 2 , 2 2 , 6 5 6 5 x   k k x   k k               11 29 2 2 , 2 2 , 30 30 x  k k x  k k             11 29 , , 60 60 x  k k x  k k            Como x  



,



: 11 60 k          11 11 60 k 60           49 71 60 k 60        49 71 60 k 60      0 1 k k     , pois k Para k0 : 11 60 x   Para k1: 11 49 60 60 x       29 60 k         29 29 60 k 60           89 31 60 k 60        89 31 60 k 60      1 0 k k      , pois k Para k 1: 29 31 60 60 x       Para k0 : 29 60 x 

As soluções da equação, em



 ,



, são, portanto, 31 60   , 11 60   , 29 60 e 49 60 Miniteste 3.3. Pág. 14

1.1. sin



ab



sin



ab



sin

   

a cos b sin

   

b cos a 

   

   



sin a cos b sin b cos a



    

   

   

sin a cos b sin b cos a

  

   

   

sin a cos b sin b cos a

    

   

   

2.1.











0 0 0 0 cos sin 1 cos sin 2

lim lim lim

1 cos 1 cos 1 cos 1 cos

x x x x x x x x x x x              _{  }  _{  }    









2 2 0 0

sin 1 cos sin 1 cos

lim lim 1 cos sin x x x x x x x x            









0 1 cos 1 1 2 lim sin 0 0 x x x               2.2.

 

 

 

0 0 2 2 4 4 4 sin 1

2 2 tan 1 tan _cos

lim 2 lim 2 lim

cos 2 cos 2 cos sin

x x x x x x _x x x x x                  







4 cos sin cos 2 lim

cos sin cos sin

x x x x x x x x       







4 cos sin 2 lim

cos cos sin cos sin

x x x x x x x x       





4 1 1 2 lim 2

cos cos sin 2 2 2

2 2 2 x x x x               1 2 2 1    Questão-aula 3.3. Pág. 15 Item de seleção ▪



















0 0 2 2 2 2 2

sin 2 sin 2 sin 2 1

lim lim lim lim

4 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x                     

Fazendo y x 2 , tem-se x 2 y e, se x2, então y0.





2 2 0 0

sin 2 1 sin 1 1 1

lim lim lim lim 1

2 2 4 4 4 x x y y x y x x y y               ▪

 

 

 

 

0 0 0 0 0 sin 4 sin 4

lim 4lim lim

tan 2 4 tan 2             x x x x x x x x x

 

_{ }

 

 

 

 

0 0 4 0 0

sin 4 sin 4 cos 2

4lim lim 4 lim lim

sin 2 4 4 sin 2 cos 2 x x x x x x x x x x x x x x         

 

 

 

0 0 2 0 1 2 1 1

4 1 lim lim cos 2 4 1 1

sin 2 2 sin 2 2 lim 2 x x x x x x x x             4 1 1 1 1 2 2 1       ▪ 0 2 2 ₀ 2 2 2 2 1 sin 1 sin lim lim cos cos x x x x x x                 _{  }   _{ }   _{ }















2 2 2 2 2 2 2

1 sin 1 sin 1 sin

lim lim

cos 1 sin cos 1 sin

x x x x x x x x x      _{ }   _                   2 2 2    

 

 

 

0 0 0 1 tan 2 sin 2 8 2lim 8 4lim 2 cos 2 x x x x x x x x x        

 

 

2 0 0 1 1 1 1 sin 2 1 _{8 4 1} 4 8 4 lim lim 1 2 cos 2 x x x x x           Resposta: (B) Item de construção

A função g é contínua no intervalo , 2 2

 

_ 

 

  pois é definida

pelo quociente entre duas funções contínuas: uma é a diferença entre uma função trigonométrica



ycosx



e uma função constante



y2



e a outra é uma função trigonométrica



ycosx



. Assim, apenas as retas de equação 2

x  e 2

x

são possíveis assíntotas verticais ao gráfico de g.

 

 

2 cos 2 2 lim cos 0 x x x      _ _{ }

 

2 cos 2 2 lim cos 0      _ _{ } x x x

Portanto, as retas de equação 2

x  e 2

x são assíntotas verticais ao gráfico de g.

O gráfico de g não tem assíntotas não verticais pois o domínio degé um conjunto limitado.

Miniteste 3.4. Pág. 16

1.1. Para x :

 



5sin cos 2

 



5 sin cos 2



 



f x  x x  x x 





 



 



5 sin xcos 2x sinx cos 2x 

 _  _

 

 



 







5 cos cos 2x x sinx 2sin 2x

   

 

 





5 cos cos 2x x 2sin sin 2x x

  

 

 

5cos cos 2x x 10sin sin 2x x

  1.2. Para \ , 2 x _ k k _   , tem-se:

  





2









1 tan 2 1 tan 1 tan

f x   x   x  x 





2 1 2 1 tan cos x x     _{ }   2 2 1 1 2 tan cos x x cos x    _   _   1 sin 1 2 x   _   _