com BaiTapGiaiTich12 Tap2 HamSo LuyThua Mu Logarit TranSiTung

(1)

TRAÀN SÓ TUØNG ---- ›š & ›š ----

BAØI TAÄP GIAÛI TÍCH 12

TAÄP 2

OÂN THI TOÁT NGHIEÄP THPT & ÑAÏI HOÏC

(2)

1. Ñònh nghóa luyõ thöøa

Soá muõ a Cô soá a _{Luyõ thöøa a}a

* N nÎ = a a Î R aa₌an ₌a a. ...a_{(n thöøa soá a)} 0 = a a¹0 _aa _{= a}0 ₌1 ) (_n _N* n Î -= a a¹0 n _n a a aa = - = 1 ) , (_m _Z _n _N* n m _Î _Î = a a>0 _a _a_n n _am ₍n _a _b _bn _a₎ m = Û = = = a ) , ( lim_r _r _Q _n _N* n n Î Î = a a>0 aa =limarn

2. Tính chaát cuûa luyõ thöøa

· Vôùi moïi a > 0, b > 0 ta coù:

a a a a a a b a b a b a b a b a b a b a b a b a ab a a a a a a a a ÷ = ø ö ç è æ = = = = + _; - _; ₍ ₎ _; ₍ ₎ _. _; . . · a > 1 : aa >ab Û >a b ; 0 < a < 1 : aa >ab Û <a b · Vôùi 0 < a < b ta coù: 0 m m a <b Ûm> ; am >bm Û < m 0

Chuù yù: + Khi xeùt luyõ thöøa vôùi soá muõ 0 vaø soá muõ nguyeân aâm thì cô soá a phaûi khaùc 0.

+ Khi xeùt luyõ thöøa vôùi soá muõ khoâng nguyeân thì cô soá a phaûi döông.

3. Ñònh nghóa vaø tính chaát cuûa caên thöùc

· Caên baäc n cuûa a laø soá b sao cho bn = . a

· Vôùi a, b ³ 0, m, n Î N*, p, q Î Z ta coù: . n_ab₌n_{a b}n _; _n n ₍ ₀₎ n a _{a b} b = _b > ;

( )

( 0) p n p_a ₌ n_a _a_> _;m n_a ₌mn_a ( 0) n p m q p q Neáu thì a a a n m= = > ; Ñaëc bieät mn n_a ₌ _am

· Neáu n laø soá nguyeân döông leû vaø a < b thì na <nb.

Neáu n laø soá nguyeân döông chaün vaø 0 < a < b thì na<nb.

Chuù yù:

+ Khi n leû, moãi soá thöïc a chæ coù moät caên baäc n. Kí hieäu na .

+ Khi n chaün, moãi soá thöïc döông a coù ñuùng hai caên baäc n laø hai soá ñoái nhau.

4. Coâng thöùc laõi keùp

Goïi A laø soá tieàn göûi, r laø laõi suaát moãi kì, N laø soá kì. Soá tieàn thu ñöôïc (caû voán laãn laõi) laø: C A= (1 )+r N

CHÖÔNG II

HAØM SOÁ LUYÕ THÖØA – HAØM SOÁ MUÕ – HAØM SOÁ LOGARIT

(3)

Baøi 1. Thöïc hieän caùc pheùp tính sau:: a)

( )

3 2 3 7 2 7 1 . . 7 . 8 7 14 A= - æ_ç- ö æ_{÷ ç}- ö_÷ - æ_ç- ö_÷ è ø è ø è ø b)

( ) ( )

2 _{6 4} 6 4 2 3 . 15 .8 9 . 5 . 6 B= - -- -c) 3 2 2 3 4 8 C = + d)

( )

2 3 ₅ 2 32 D -= e)

( )

( ) ( ) ( )

7 ₄ 3 4 5 2 18 .2 . 50 25 . 4 . 27 E= - -- - - f)

( ) ( )

( )

3 3 6 4 2 3 125 . 16 . 2 25 5 F= - -é _- ù ê ú ë û g)

(

)

(

)

(

)

2 3 1 3 4 2 0 3 3 2 2 2 .2 5 .5 0,01 .10 10 :10 0,25 10 0,01 G -- - -- - -+ -= - + h)

(

)(

)

1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 4 10 25 2 5 H = - + + i) 4 3 5 4 3 4. 64. 2 32 I æ ö ç ÷ è ø = k) 5 ₂5 5 3 5 81. 3. 9. 12 3 . 18 27. 6 K = æ ö ç ÷ è ø

Baøi 2. Vieát caùc bieåu thöùc sau döôùi daïng luyõ thöøa vôùi soá muõ höõu tæ: a) 4 2 3x x ,

(

x ³0

)

b) 5 b a a b3 _{, ,}

(

₀

)

a b ¹ c) 5 3_{2 2 2} d) 3 2 3 23 3 2 3 e) 4 3 8a f) 5 2 3 b b b b Baøi 3. Ñôn giaûn caùc bieåu thöùc sau:

a) 1,5 1,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 2 a b _{a b} b a b a b _a _b + -+ ₊ - ₊ b) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 2 2 _. 1 1 2 1 a a a a a a a æ ₊ _- ö ₊ -ç ÷ ç ₊ ₊ _- ÷ è ø c) 1 1 1 1 3 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 . x y x y x y y x y x y xy x y xy x y æ ö ç _- ₊ ÷ + -ç ÷ ₊ -ç ÷ + -è ø d) 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 3 _. 2 x y x y x y x y x y æ ö ç ₊ _- ÷ -+ ç _- ÷ çæ ö ÷ ç ÷ ç_è _- _ø ÷ è ø e)

(

) (

)

1 2 2 1 2 4 3 3 _. 3 3 3_. 3 a -b a +a b +b f)

(

) (

)

1 1 1 1 1 1 4 4 _. 4 4 _. 2 2 a -b a +b a +b g)

(

)

(

)

(

)

1 1 ₂ ₂ ₂ 2 1 1 . 1 2 . a b c _b _c _a a b c bc a b c -æ ö + + ₊ -+ + + ç ÷ ç ÷ - + è ø h) 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 (_. 1) 1 2 1 a a a a a a a æ ö ç ₊ _- ÷ ₊ -ç ÷ -ç ÷ ç ₊ ₊ ÷ è ø

Baøi 4. Ñôn giaûn caùc bieåu thöùc sau: a) 3₆a ₆3b a b -- b) 4 : ab ab b ab a b a ab æ _- ö -ç ÷ -+ è ø c) 4 2 4 2 4 2 a x x a _a _x _{a x} a x ax æ ₊ ö - + + ç ÷ ç ₊ ÷ è ø d) 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 ₆ 6 6 2 a x ax a x a x a ax x _x a x + ₊ -- - +

(4)

-e) 3 4 3 4 3 4 4 1 1 1 1 x x x x _x x _x x x é _- ù ê ú æ öæ ö ê _- ₊ ú ç _- ÷ç _- ÷ ê_ç _÷ç _÷ú - + êè øè øú ë û f) 3 3 3 2 2 3 ₃2 3₃ 2 3 3 2 3 2 _: a a a b a b a b ab _a a b a ab é _- ₊ _- ù ê ₊ ú ê _- _- ú ë û g) 3 2 3 2

(

6 6

)

1 6 3 2 ₂3 3 2 3 2 3 2 . a b ab a b _a _b _a a ab b a b -é _- ₊ ù ê _- ú _- ₊ ê _- ₊ _- ú ë û

Baøi 5. So saùnh caùc caëp soá sau:

a)

(

0,01

)

- 2 vaø 10

( )

- 2 b) 2 6 vaø 4 4 æ ö æ ö ç ÷ ç ÷ è ø è ø p _p _c)₅_-_{2 3}_{vaø 5}_-_{3 2}

d) 5300 vaø 8200 e)

(

0,001

)

-0,3 vaø 1003 f) 4 2 vaø 0,125

(

)

- 2 g)

( )

2 -3 vaø

( )

2 -5 h) 4 5 4 5 5 vaø 4 -æ ö æ ö ç ÷ ç ÷ è ø è ø i) 10 11 0,02- vaø50 k)

(

)

(

)

1 2 4 2 3 1- vaø 3 1- l) 2 2 3 _vaø 2 5 2 - -æ ö æ ö ç ÷ ç ÷ è ø è ø m) 5 10 2 3 vaø 2 2 æ ö æ ö ç ÷ ç ÷ è ø è ø p p

Baøi 6. So saùnh hai soá m, n neáu:

a) 3,2m<3,2n b)

( ) ( )

2 m > 2 n c) 1 1 9 9 m n æ ö _>æ ö ç ÷ ç ÷ è ø è ø d) 3 3 2 2 m n æ ö æ ö > ç ÷ ç ÷ è ø è ø e)

(

5 1

) (

5 1

)

m n - < - f)

(

2 1-

) (

m< 2 1-

)

n

Baøi 7. Coù theå keát luaän gì veà soá a neáu:

a)

(

a-1

)

-23 <

(

a-1

)

-13 b)

(

2a+1

)

-3>

(

2a+1

)

-1 c) 0,2 2 1 _a a -æ ö < ç ÷ è ø d)

(

1-a

)

-13 > -

(

1 a

)

-12 e)

(

)

(

)

3 ₂ 4 2-a > 2-a f) 1 1 2 2 1 1 a a -æ ö æ ö > ç ÷ ç ÷ è ø è ø g) a 3 <a 7 h) 1 1 17 8 a- <a- i) a-0,25<a- 3 Baøi 8. Giaûi caùc phöông trình sau:

a) 4x =51024 b) 1 5 2 8 2 5 125 x+ æ ö = ç ÷ è ø c) 1 3 1 8 32 x - ₌ d)

(

)

2 2 ₁ 3 3 9 x x _{æ ö} -= ç ÷ è ø e) 2 8 27 . 9 27 64 x -x æ ö æ ö = ç ÷ ç ÷ è ø è ø f) 2 _{5 6} 3 ₁ 2 x - +x æ ö = ç ÷ è ø g) 1 .322 8 0,25 0,125 ₈ x x- _{= ç}æ ö -÷ è ø h) 0,2 0,008 x ₌ _i) 9 3 7 7 7 3 49 3 x- x -æ ö æ ö = ç ÷ ç ÷ _{è ø} è ø k) 5 .2x x =0,001 l)

(

12 . 3

) ( )

1 6 x x = m) 7 .41 1 1 28 x x - - ₌ Baøi 9. Giaûi caùc baát phöông trình sau:

a) 0,1x >100 b) 1 3_0,04 5 x æ ö > ç ÷ è ø c) 100 0,3 9 x _>

(5)

d) 7 . 49 343x+2 ³ e) 2 1 1 ₉ 3 27 x+ æ ö < ç ÷ è ø f) 1 3 9 3 x _< g)

( )

3 .3 1 27 x > h) 27 .31 1 3 x -x _< _i) 1 _{. 2 1}3 64 x æ ö > ç ÷ è ø

Baøi 10. Giaûi caùc phöông trình sau:

a) 2x +2x+2 =20 b) 3x +3x+1=12 c) 5x+5x-1=30 d) 4x-1₊4x ₊4x+1₌84 _e)₄2x_-_24.4x₊_{128 0}₌ _f)₄x+1₊₂2 1x+ ₌₄₈

(6)

1. Ñònh nghóa

· Vôùi a > 0, a ¹ 1, b > 0 ta coù: log_ab= Ûa aa =b Chuù yù: log_ab coù nghóa khi ì >_{í >}a_b 0,₀ a¹1

î

· Logarit thaäp phaân: lgb=logb=log₁₀b

· Logarit töï nhieân (logarit Nepe): lnb=log_eb (vôùi lim 1 1 2,718281

n e n æ ö = _ç + _÷ » è ø ) 2. Tính chaát

· log 1 0_a = ; log_aa = ; 1 log_aab = ; b alogab =b b( > 0) · Cho a > 0, a ¹ 1, b, c > 0. Khi ñoù:

+ Neáu a > 1 thì log_ab>log_acÛ > b c

+ Neáu 0 < a < 1 thì log_ab>log_acÛ < b c

3. Caùc qui taéc tính logarit

Vôùi a > 0, a ¹ 1, b, c > 0, ta coù:

· log ( ) log_a bc = _ab+log_ac · log_a b log_ab log_ac c æ ö = -ç ÷ è ø · logab = logab a _a 4. Ñoåi cô soá

Vôùi a, b, c > 0 vaø a, b ¹ 1, ta coù: · log log loga b a c c b

= hay log .log_ab _bc=log_ac

· log 1 log a b b a = · log_aa c= 1log_ac(a ¹0) a

Baøi 1. Thöïc hieän caùc pheùp tính sau:

a) ₂ ₁

4

log 4.log 2 b) log₅ 1 .log 9₂₇

25 c)

3

log_a a

d) 4log 32 +9log 23 e)

2 2

log 8 f) 27log 29 +4log 278

g) 3 4 1/3 7 1 log .log log a a a a a

a h) log 6.log 9.log 2 3 8 6 i)

3 81

2 log 2 4 log 5

9 +

k) 81log 53 +27log 369 +34log 79 l) 25log 65 +49log 87 m) 53 2 log 4- 5

n) 6 8

1 1

log 3 log 2

9 +4 o) 31 log 4+ 9 +42 log 3- 2 +5log 27125 p)

3 6

log 3.log 36 q) lg(tan1 ) lg(tan 2 ) ... lg(tan89 )0 + 0 + + 0

r) log log (log 16) .log log (log 64)₈é_ë ₄ ₂ ù_û ₂é_ë ₃ ₄ ù_û

(7)

Baøi 2. Cho a > 0, a ¹ 1. Chöùng minh: log (_a a+ >1) log (_a₊₁ a+ 2)

HD: Xeùt A = 1 1 1

1 1

log ( 2) log log ( 2)

log .log ( 2) log (a_a 1) a a a 2 a a a a a a a + + + + + + + + = + £ + = = log 1 ( 2) log (1 1)2 ₁ 2 2 a+ a a+ _< a+ a+ ₌

Baøi 3. So saùnh caùc caëp soá sau: a) log 4 vaø log₃ ₄1

3 b)

3

0,1 0,2

log 2 vaø log 0,34 c) ₃ ₅

4 2

2 3

log vaø log

5 4

d) ₁ ₁

3 2

1 1

log log

80 vaø ₁₅₊ ₂ e) log 15013 vaølog 29017 f)

6 6 1 log log 3 ₂ 2 vaø 3 g) log 10₇ vaølog 13₁₁ h) log 3₂ vaølog 4₃ i) log 10₉ vaølog 11₁₀

HD: d) Chöùng minh: ₁ ₁

3 2

1 1

log 4 log

80< < ₁₅₊ ₂ e) Chöùng minh: log 150 2 log 290₁₃ < < ₁₇

g) Xeùt A = 7 7 7

7 11

7

log 10.log 11 log 13 log 10 log 13 log 11 -- = = ₇ ₇ ₇ 7

1 _log 10.11.7 _log 10_.log 11

log 11 7.7.13 7 7 æ ö + ç ÷ è ø > 0 h, i) Söû duïng baøi 2.

Baøi 4. Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc logarit theo caùc bieåu thöùc ñaõ cho: a) Cho log 14 a₂ = . Tính log 32 theo a. ₄₉

b) Cho log 3 a₁₅ = . Tính log 15 theo a. ₂₅

c) Cho lg3 0,477= . Tính lg 9000 ; lg 0,000027 ; 81 1 log 100. d) Cho log 2 a₇ = . Tính ₁ 2 log 28 theo a.

Baøi 5. Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc logarit theo caùc bieåu thöùc ñaõ cho: a) Cho log 7 a₂₅ = ; log 5 b₂ = . Tính 3₅

49 log

8 theo a, b. b) Cho log 3 a₃₀ = ; log 5 b₃₀ = . Tính log 1350 theo a, b. ₃₀ c) Cho log 7 a₁₄ = ; log 5 b₁₄ = . Tính log 28 theo a, b. ₃₅

d) Cho log 3 a₂ = ; log 5 b₃ = ; log 2 c₇ = . Tính log₁₄₀63 theo a, b, c.

Baøi 6. Chöùng minh caùc ñaúng thöùc sau (vôùi giaû thieát caùc bieåu thöùc ñaõ cho coù nghóa): a) blogac =clogab b) log ( ) log log

1 loga a ax a b x bx x + = + c) log 1 log log_aba a c b c = +

d) log 1(log log )

3 2

c a b+ = ca+ cb , vôùi a2+b2 =7ab.

e) log ( 2 ) 2 log 2 1(log log ) 2

(8)

f) log_{b c}₊ a+log_{c b}_- a=2 log_{c b}₊ a.log_{c b}_- a, vôùi a2+b2 =c2. g)

2 3 4

1 1 1 1 _... 1 ( 1)

log_a log_a log_a log_a log_ak 2 log_a

k k

x x x x x x

+

+ + + + + = .

h) log .log log .log log .log log .log .log

log a b c a b b c c a abc N N N N N N N N N N + + = . i) 1 1 lg 10 z x₌ - _{, neáu} 1 1 1 lg 1 lg 10 x 10 y y₌ - vaø z₌ - _. k) 2 3 2009 2009! 1 1 _... 1 1

log N +log N + +log N = log N .

l) log log log

loga_b logb_c loga_c

N N N

-=

(9)

1. Khaùi nieäm

a) Haøm soá luyõ thöøa y x= a (a laø haèng soá)

Soá muõ a Haøm soá y x= a Taäp xaùc ñònh D

a = n (n nguyeân döông) y x= n D = R

a = n (n nguyeân aâm hoaëc n = 0) y x= n D = R \ {0}

a laø soá thöïc khoâng nguyeân y x= a D = (0; +¥)

Chuù yù: Haøm soá

1

n

y x= khoâng ñoàng nhaát vôùi haøm soá y=nx n N( Î *).

b) Haøm soá muõ y a= x (a > 0, a ¹ 1).

· Taäp xaùc ñònh: D = R. · Taäp giaù trò: T = (0; +¥).

· Khi a > 1 haøm soá ñoàng bieán, khi 0 < a < 1 haøm soá nghòch bieán. · Nhaän truïc hoaønh laøm tieäm caän ngang.

· Ñoà thò:

c) Haøm soá logarit y=log_ax (a > 0, a ¹ 1) · Taäp xaùc ñònh: D = (0; +¥). · Taäp giaù trò: T = R.

· Khi a > 1 haøm soá ñoàng bieán, khi 0 < a < 1 haøm soá nghòch bieán. · Nhaän truïc tung laøm tieäm caän ñöùng.

· Ñoà thò: 0<a<1 y=logax 1 x y O a>1 y=logax 1 y x O 0<a<1 y=ax y x 1 a>1 y=ax y x 1

III. HAØM SOÁ LUYÕ THÖØA

HAØM SOÁ MUÕ – HAØM SOÁ LOGARIT

(10)

2. Giôùi haïn ñaëc bieät · 1 0 1 lim (1 ) lim 1 x x x® x x®±¥ x e æ ö + = _ç + _÷ = è ø · 0 ln(1 ) lim 1 x x x ® + = · 0 1 lim x 1 x e x ® -= 3. Ñaïo haøm ·

( )

xa ¢ ₌_axa-1 (x_>0)_;

( )

_ua ¢₌_a_ua-1_._u_¢ Chuù yù:

( )

1 1 0 0 n n n

vôùi x neáu n chaün x _{vôùi x} _{neáu n leû}

n x -¢ ₌ æ > ö ç _< ÷ è ø.

( )

1 n n n u u n u -¢ ₌ ¢ ·

( )

ax ¢ =axlna;

( )

au ¢=auln .a u¢

( )

ex ¢ =ex;

( )

eu ¢ =e uu. ¢ ·

(

log

)

1 ln a x ¢ = _{x a} ;

(

loga u

)

¢ =_{u a}_lnu¢

(

ln x

)

1 x ¢ = (x > 0);

(

ln u

)

u u ¢ ¢ =

Baøi 1. Tính caùc giôùi haïn sau: a) lim 1 x x x x ®+¥ æ ö ç ₊ ÷ è ø b) 1 1 lim 1 x x x x + ®+¥ æ ö + ç ÷ è ø c) 2 1 1 lim 2 x x x x -®+¥ æ + ö ç _- ÷ è ø d) 1 3 3 4 lim 3 2 x x x x + ®+¥ æ - ö ç ₊ ÷ è ø e) 1 lim 2 1 x x x x ®+¥ æ + ö ç _- ÷ è ø f) 2 1 lim 1 x x x x ®+¥ æ + ö ç _- ÷ è ø g) lim ln 1 x e x x e ® -- h) 2 0 1 lim 3 x x e x ® - i) lim1 1 x x e e x ® k) 0 lim sin x x x e e x -® - _l) sin2 sin 0 lim x x x e e x ® - _m) _lim

( )

1_x ₁ x®+¥x e -

Baøi 2. Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau: a) y=3 2x + + x 1 b) 4 1 1 x y x + = - c) 2 5 2 2 1 x x y x + -= + d) _y₌3_sin(2_x₊₁₎ _e)_y₌_{cot 1}3 ₊_x2 _f) 3 3 1 2 1 2 x y x -= + g) 3_sin 3 4 x y= + h) y=119 6+ 5 9x i) 4 2 2 1 1 x x y x x + + = - +

Baøi 3. Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau:

a) y=

(

x2-2x+2

)

ex b) y=

(

x2+2x e

)

-x c) y e= -2x.sinx d) y e₌ 2x x+ 2 _e)_{y x e}₌ _. x-31x _f) 2 2 x x x x e e y e e + = g) y=2 .xecosx h) ₂ 3 1 x y x x = - + i) cos . cotx y= x e

(11)

Baøi 4. Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau:

a) y=ln 2

(

x2+ + x 3

)

b) y=log cos₂

(

x

)

c) y e= x.ln cos

(

x

)

d) y=

(

2x-1 ln 3

)

(

x2+x

)

e) ₁

(

3

)

2 log cos y= x - x f) y=log cos₃

(

x

)

g) ln 2

(

1

)

2 1 x y x + = + h)

(

)

ln 2 1 1 x y x + = + i)

(

)

2 ln 1 y= x+ +x Baøi 5. Chöùng minh haøm soá ñaõ cho thoaû maõn heä thöùc ñöôïc chæ ra:

a)

( )

2 2 2 . ; 1 x y x e= - xy¢ = -x y b) y=

(

x+1

)

ex; y y e¢ - = x c) y e= 4x +2e-x; y¢¢¢-13y¢ -12y= 0 d) y a e= . -x +b e. -2x; y¢¢+ ¢ +3y 2y= 0 g) y e= -x.sin ;x y¢¢+2y¢+2y= 0 h) y e= -x.cos ;x y

( )

4 +4y= 0

i) y e= sinx; y¢cosx y- sinx y- ¢¢ = 0 k) y e= 2x.sin 5 ;x y¢¢ - ¢ +4y 29y= 0

l) 1 . ;2 2 2 x x y= x e y¢¢ - ¢ + =y y e m) y e₌ 4x₊2e-x; y_¢¢¢_-13y_{¢ -}12y₌0 n)

( )(

2 1 2010 ;

)

2₂

( )

2 1 1 x xy x y x e y e x x = + + ¢ = + + +

Baøi 6. Chöùng minh haøm soá ñaõ cho thoaû maõn heä thöùc ñöôïc chæ ra:

a) ln 1 ; 1 1 y y xy e x æ ö = _ç _÷ ¢ + = + è ø b) 1 _; _ln ₁ 1 ln y xy y y x x x é ù = ¢ = _ë - _û + + c) y=sin ln

( )

x +cos ln ;

( )

x y xy x y+ ¢ + 2 ¢¢ = d) 0

(

)

2

(

2 2

)

1 ln _{; 2} ₁ 1 ln x y x y x y x x + = ¢ = + -e) 2 1 2 1 ln 2 1; 2 ln 2 2 x y= + x x + + x+ x + y= xy¢ + y¢

Baøi 7. Giaûi phöông trình, baát phöông trình sau vôùi haøm soá ñöôïc chæ ra: a) f x'( ) 2 ( ); ( )= f x f x =e xx

(

2+3x+ 1

)

b) f x'( ) 1 f x( ) 0; f x( ) x3lnx x + = = c) f x'( ) 0; ( )= f x =e2 1x- +2.e1 2- x+7x-5 d) '( )f x >g x f x'( ); ( )= +x ln(x-5); ( ) ln(g x = x- 1) e) '( ) '( ); ( ) 1.52 1; ( ) 5 4 ln 5 2 x x f x <g x f x = + g x = + x

(12)

1. Phöông trình muõ cô baûn Vôùi a > 0, a ¹ 1: x 0_log a b a _{= Û í =}b ì >_x _b î

2. Moät soá phöông phaùp giaûi phöông trình muõ

a) Ñöa veà cuøng cô soá

Vôùi a > 0, a ¹ 1: _af x( ) ₌_ag x( ) _Û _{f x}_{( )}₌_{g x}_{( )}

Chuù yù: Trong tröôøng hôïp cô soá coù chöùa aån soá thì: aM =aN Û(a-1)(M N- ) 0=

b) Logarit hoaù

f x( ) ₌ g x( ) _Û _{( )}₌

(

_log

)

_{. ( )}

a

a b f x b g x

c) Ñaët aån phuï

· Daïng 1: P a( f x( )) 0= Û ( ), 0 ( ) 0 f x t a t P t ì = > í ₌

î , trong ñoù P(t) laø ña thöùc theo t. · Daïng 2: aa2 ( )f x +b( )ab f x( )+gb2 ( )f x =0

Chia 2 veá cho _b2 ( )f x _{, roài ñaët aån phuï}

( ) f x a t b æ ö = ç ÷_{è ø}

· Daïng 3: af x( )+bf x( ) = , vôùi m ab =1. Ñaët t af x( ) bf x( ) 1 t

= Þ =

d) Söû duïng tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá Xeùt phöông trình: f(x) = g(x) (1)

· Ñoaùn nhaän x0 laø moät nghieäm cuûa (1).

· Döïa vaøo tính ñoàng bieán, nghòch bieán cuûa f(x) vaø g(x) ñeå keát luaän x0 laø nghieäm duy nhaát:

é_êf x_{f x}( ) ñoàng bieán vaø ( ) nghòch bieán (hoaëc ñoàng bieán nhöng nghieâm ngaët). _{( ) ñôn ñieäu vaø ( ) haèng soá}_{g x}g x _c =

ë

· Neáu f(x) ñoàng bieán (hoaëc nghòch bieán) thì ( )f u = f v( )Û =u v

e) Ñöa veà phöông trình caùc phöông trình ñaëc bieät · Phöông trình tích A.B = 0 Û é =_{ê =}_BA ₀0 ë · Phöông trình 2 2 ₀ 0 0 A A +B _{= Û í =}ì =_B î

f) Phöông phaùp ñoái laäp

Xeùt phöông trình: f(x) = g(x) (1) Neáu ta chöùng minh ñöôïc: ì_í_{g x}f x_{( )}( ) ³ _MM £ î thì (1) ( ) ( ) f x M g x M ì = Û í ₌ î

Baøi 1. Giaûi caùc phöông trình sau (ñöa veà cuøng cô soá hoaëc logarit hoaù):

a)93 1x- =38 2x- b) 10 5 10 15 16 0,125.8 x x x x + + - ₌ c) 4x2- +3 2x +4x2- -6 5x =42x2+ +3 7x + 1 d) 52x-7x -5 .35 7 .35 02x + x = e) 2x2-1₊2x2+2₌3x2 ₊3x2-1 f) 5x- x2+4 =25

IV. PHÖÔNG TRÌNH MUÕ

(13)

g) 2 ₂ 4 3 1 ₂ 2 x x -æ ö ₌ ç ÷ è ø h) 7 1 2 1 _. 1 ₂ 2 2 x+ - x æ ö æ ö ₌ ç ÷ ç ÷ è ø è ø i)

(

3 2 2-

)

2x = +3 2 2 k)

(

)

(

)

1 1 1 5 2 5 2 x x x -+ + = l) 3 .2x x+1=72 m) 5x+1₊ 6. 5 – 3. 5x x-1₌52

Baøi 2. Giaûi caùc phöông trình sau (ñaët aån phuï daïng 1):

a)4x+2x+1- = 8 0 b) 4x+1_-6.2x+1_{+ =}8 0 _c)₃4 8x+ _-_4.32 5x+ ₊_{27 0}₌

d) 16x-17.4x +16 0₌ e) 49x +7x+1_{- =}8 0 f) 2x x2- -22+ -x x2 = 3.

g)

(

7 4 3+

) (

x+ +2 3

)

x =6 h)4cos2x+4cos2x = 3 i) 32 5x+ -36.3x+1+ = 9 0 k) 32x2+ +2 1x -28.3x x2+ + = l)9 0 4x2+2-9.2x2+2+ = 8 0 m) 3.52 1x- -2.5x-1=0,2

Baøi 3. Giaûi caùc phöông trình sau (ñaët aån phuï daïng 1):

a) 25x -2(3-x).5x+2x- = 7 0 b) 3.25x-2+(3x-10).5x-2+ - = 3 x 0 c) 3.4x₊(3_x_-10).2x_{+ - =}3 _x 0 _{d) 9}x₊₂₍_x_-_2).3x₊₂_x_{- =}_{5 0}

e) _3.25x-2 ₊₍₃_x_-_10).5x-2_{+ - =}₃ _x ₀ _f)₄_x2₊₃ x ₊₃1+ x ₌_{2.3 .}x _x2₊₂_x₊₆

g) 4 + – 8 2 +12 – 2x

(

x

)

x x = 0 h)

(

x+4 .9

)

x-

(

x+5 .3

)

x+ = 1 0 i) ₄x2 ₊₍_x2_-_7).2x2 ₊_{12 4}_- _x2 ₌₀ _{k) 9}-x_{- +}₍_x _2).3-x _-₂₍_x₊_{4) 0}₌

Baøi 4. Giaûi caùc phöông trình sau (ñaët aån phuï daïng 2): a) 64.9x -84.12x+27.16x = b) 0 1 1 1 4-x ₊6-x ₌9-x _{c) 3.16}x ₊_2.81x ₌_5.36x d) 25x+10x =22 1x+ e) ₂₇x ₊₁₂x ₌₂_.₈x _f)₆_.₉ ₁₃_.₆ ₆_.₄ ₀ 1 1 1 = + - x x x g) _6.32x_-_13.6x₊_6.22x ₌₀ _{h) 3.16}x₊_2.81x ₌_5.36x _i)_2.41x +₆x1 =₉x1 k) (7 5 2)+ x+( 2 5)(3 2 2)- + x+3(1+ 2)x + -1 2 = 0.

Baøi 5. Giaûi caùc phöông trình sau (ñaët aån phuïdaïng 3):

a) (2- 3)x + +(2 3)x =14 b) _çæ 2+ 3ö_÷x+_çæ 2- 3_÷öx = 4 è ø è ø c) (2+ 3)x+ +(7 4 3)(2- 3)x = 4(2+ 3) d) (5- 21)x +7(5+ 21)x =2x+3 e)

(

5+ 24

) (

x + -5 24

)

x =10 f) 7 3 5 7 7 3 5 8 2 2 x x æ + ö æ - ö + = ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø g)

(

6- 35

) (

x+ 6+ 35

)

x =12 h)

(

2 3

)

( 1)2

(

2 3

)

2 2 1 4 2 3 - -+ + - = -x x x i)

(

₃₊ ₅

)

x₊_{16 3}

(

_- ₅

)

x ₌₂x+3 _k)

(

₃₊ ₅

) (

x_{+ -}₃ ₅

)

x_-_7.2x ₌₀ l) (7 4 3)+ x-3(2- 3)x+ =2 0 m) æ_ç33+ 8_÷öx +_çæ33- 8ö_÷x =6. è ø è ø

Baøi 6. Giaûi caùc phöông trình sau (söû duïng tính ñôn ñieäu):

a)(2- 3)x+ +(2 3)x = 4x b) ( 3- 2)x +( 3+ 2)x = ( 5)x c)

(

3 2 2+

) (

x+ -3 2 2

)

x =6x _d)

(

₃₊ ₅

)

x₊_{16. 3}

(

_- ₅

)

x ₌₂x+3

(14)

e) 3 7 2 5 5 æ ö + = ç ÷ è ø x x _f)

(

₂₊ ₃

) (

x₊ ₂_- ₃

)

x ₌₂x g) 2x+3x +5x =10x h) 2x+3x =5x i) 2x-1_-2x x2- ₌(x_-1)2 k) 3x = -5 2x l) 2x = - 3 x m) 2x+1-4x = -x 1 n) ₂ ₃2 ₁ x x ₌ ₊ _o)₄x ₊₇x ₌₉_x₊₂ _p) ₅2x+1_-₅3x_-_x₊₁₌₀ q) ₃x ₊₈x ₌₄x₊₇x _r) ₆x ₊₂x ₌₅x₊₃x _s) ₉x ₊₁₅x ₌₁₀x ₊₁₄x

Baøi 7. Giaûi caùc phöông trình sau (ñöa veà phöông trình tích):

a) 8.3x +3.2x =24 6+ x b) 12.3x +3.15x -5x+1=20 c) 8-x.2x+ 23-x- =x 0 d) ₂x ₊₃x ₌₁₊₆x e) 4 2 3 2 4 2 6 5 42. 2 3 7 1 + = + + + + + + - x x x x x x _f) ₄ 2 ₂₁ 2 ₂( ₁)2 ₁ + = + - + +x x x x g) x2.3x +3 (12 7 )x - x = -x2+8x2-19x+12 h) x2.3x-1+x(3x-2 ) 2(2x = x-3 )x-1

i) 4sinx -21 sin+ xcos( ) 2xy + y = 0 k) 22(x x2+ )+21-x2 -22(x x2+ ) 1.2-x2 - = 1 0

Baøi 8. Giaûi caùc phöông trình sau (phöông phaùp ñoái laäp):

a) 2x = cos ,x4 vôùi x ³ 0 b) 3x2- +6 10x = -x2+6x- c) 6 3sin x = cosx

d) 2.cos2 3 3 3 2 x x x x -æ _- ö = + ç ÷ è ø e) x x cos sin = p f) x x x x 1 2 2 2 - 2 ₌ + g) ₃x2 ₌_cos₂x _h)₅x2 ₌_cos3_x Baøi 9. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau coù nghieäm:

a) 9x +3x+ = m 0 b) 9x +m3x - = 1 0 c) 4x -2x+ 1= m d) 32x +2.3x-(m+3).2x = 0 e) 2x₊(m₊1).2-x _{+ = f) 25}m 0 x _-_2.5x_{- - =}_m _{2 0} g) 16x -(m-1).22x+ - = h) 25m 1 0 x +m.5x+ -1 2m= i) 0 81sin2x +81cos2x ₌m k) 34 2- x2 -2.32-x2 +2m- = 3 0 l) ₄ x 1 3 + + -x _-_14.2 x 1 3 + + -x _{+ =}₈ _m m) ₉x+ -1 x2 _-_8.3x+ -1 x2 _{+ =}₄ _m _n) _{1 1} 2 _{1 1} 2 9+ -t -(m+2).3+ -t +2m+ = 1 0

Baøi 10. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau coù nghieäm duy nhaát:

a) .2m x ₊2-x_{- =}5 0 _{b) .16}_m x ₊_2.81x ₌_5.36x c)

(

5 1+

)

x+m

(

5 1-

)

x =2x d) 7 3 5 7 3 5 8 2 2 x x m æ ₊ ö æ _- ö + = ç ÷ ç ÷ è ø è ø e) 4x -2x+ 3+ = 3 m f) 9x+m3x + = 1 0

Baøi 11. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau coù 2 nghieäm traùi daáu:

a) ₍_m₊_1).4x₊₍₃_m_-_2).2x+1_-₃_m_{+ =}_{1 0} _b)₄₉x₊₍_m_-_1).7x_{+ -}_m ₂_m2 ₌₀

c) 9x+3(_m-1).3x-5_m+ =2 0 _{d) (}_m₊_3).16x₊₍₂_m_-_1).4x_{+ + =}_m _{1 0}

e) 4x -2

(

m+1 .2 +3

)

x m- = 8 0 f) 4x -2x + 6 = m Baøi 12. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau:

a) .16_m x+2.81x =5.36x_{coù 2 nghieäm döông phaân bieät.}

b) 16x_-_m.8x₊(2_m_-1).4x ₌_m.2x_{coù 3 nghieäm phaân bieät.}

c) 4x2-2x2+2+ =6 m_{coù 3 nghieäm phaân bieät.}

(15)

1. Phöông trình logarit cô baûn

Vôùi a > 0, a ¹ 1: log_ax b= Û =x ab

2. Moät soá phöông phaùp giaûi phöông trình logarit

a) Ñöa veà cuøng cô soá

Vôùi a > 0, a ¹ 1: log_a f x( ) log ( )= _ag x _{Û í}ì_{f x}f x_{( ) 0 (}( )=g x( )_{hoaëc g x}_{( ) 0)}

> >

î

b) Muõ hoaù

Vôùi a > 0, a ¹ 1: log ( ) log ( )af x b

a f x = Ûb a =a

c) Ñaët aån phuï

d) Söû duïng tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá e) Ñöa veà phöông trình ñaëc bieät f) Phöông phaùp ñoái laäp

Chuù yù:

· Khi giaûi phöông trình logarit caàn chuù yù ñieàu kieän ñeå bieåu thöùc coù nghóa. · Vôùi a, b, c > 0 vaø a, b, c ¹ 1: alogbc =clogba

Baøi 1. Giaûi caùc phöông trình sau (ñöa veà cuøng cô soá hoaëc muõ hoaù): a) log₂é_ëx x( -1)ù_û=1 b) log₂x+log (₂ x- = 1) 1 c) log (₂ x- -2) 6.log_1/8 3x- = 5 2 d) log (₂ x- +3) log (₂ x- = 1) 3

e) log (₄ x+ -3) log (₄ x- = -1) 2 log 8₄ f) lg(x- +2) lg(x- = -3) 1 lg 5 g) 2 log (₈ 2) log (₈ 3) 2

3

x- - x- = h) lg 5x- +4 lg x+ = +1 2 lg 0,18

i) log (₃ x2- =6) log (₃ x- + 2) 1 k) log (₂ x+ +3) log (₂ x- =1) 1/ log 2₅ l) log₄x+log (10₄ -x) 2= m) log (₅ x- -1) log (_1/5 x+2) 0=

n) log (₂ x- +1) log (₂ x+ =3) log 10 1₂ - o) log (₉ x+ -8) log (₃ x+26) 2 0+ =

Baøi 2. Giaûi caùc phöông trình sau (ñöa veà cuøng cô soá hoaëc muõ hoaù):

a) log₃x+log ₃x+log_1/3x= 6 b) 1 lg(+ x2-2x+ -1) lg(x2+ =1) 2 lg(1-x) c) log₄x+log_1/16x+log₈x= 5 d) 2 lg(4+ x2-4x+ -1) lg(x2+19) 2 lg(1 2 )= - x

e) log₂x+log₄x+log₈x= 11 f) log (_1/2 x- +1) log (_1/2 x+ = +1) 1 log_{1/ 2}(7- x) g) log log₂ ₂x=log log₃ ₃x h) log log₂ ₃x=log log₃ ₂x

i) log log₂ ₃x+log log₃ ₂x=log log₃ ₃x k) log log log₂ ₃ ₄x=log log log₄ ₃ ₂x Baøi 3. Giaûi caùc phöông trình sau (ñöa veà cuøng cô soá hoaëc muõ hoaù):

a) log (9 2 ) 3₂ - x = - x b) log (3₃ x - = - 8) 2 x c) log (6 7 ) 1₇ + -x = + x d) log (4.3₃ x-1- =1) 2x- 1 e) log (3 )5 2 log (9 2 ) 5- x = -x f) log (3.2₂ x - -1) 2x- = 1 0

V. PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT

(16)

g) log (12 2 ) 5₂ - x = - x h) log (26 3 ) 2₅ - x = i) log (5₂ x+ 1-25 ) 2x = k) log (3.2₄ x+ 1- = 5) x l) ₁ 1 6 log (5x+ -25 )x = - 2 m) ₁ 1 5 log (6x+ -36 )x = - 2

Baøi 4. Giaûi caùc phöông trình sau (ñöa veà cuøng cô soá hoaëc muõ hoaù):

a) log₅_-_x(x2-2x+65) 2= b) log_x₁_- (x2-4x+ = 5) 1 c) log (5_x x2-8x+ = 3) 2 d) log (2_x₊₁ x3+2x2-3x+ = 1) 3 e) log_x₃_- (x- = 1) 2 f) log (_x x + = 2) 2 g) log (₂_x x2-5x+6) 2= h) log_x₊₃(x2-x) 1= i) log (2_x x2-7x+12) 2= k) log (2_x x2-3x-4) 2= l) log (₂_x x2-5x+6) 2= m) log (_x x - = 2 2) 1 n) log_{3 5}_x ₊ (9x2+8x+2) 2= o) log_{2 4}_x ₊ (x2+ = 1) 1 p) log 15 2 1 2 x _- _x = - q) log (3 2 ) 1_x2 - x = r) log_x2₊₃_x(x+ = 3) 1 s) log (2_x x2-5x+4) 2=

Baøi 5. Giaûi caùc phöông trình sau (ñaët aån phuï):

a) log₃2x+ log2₃x+ - = 1 5 0 b) log2₂ x+3log₂x+log_1/2x= 2 c) log 2 log₄ 7 0 6 x - x+ = d) 2 2 1 2 2 log 4 log 8 8 x x + = e) log2₂ x+3log₂x+log_1/2x= 0 f) log 16 log 64 3_x2 + ₂_x =

g) log₅ log 1 2 5 x x - = h) log₇ log 1 2 7 x x - = i) 2 log₅ 2 log 1 5 x x - = k) 3 log₂x-log 4₂ x= 0 l) 3 log₃x-log 3₃ x- = 1 0 m) 3 3 2 2 log x+ log x =4 / 3 n) 3 3 2 2

log x- log x = -2 / 3 o) log2₂x 2 log₄ 1 0

x

+ =

p) log (22₂ - -x) 8log (2_1/4 -x) 5= q) log2₅x+4 log 5₂₅ x- = 5 0 r) log 5 log 5 9 log2 5

4 x + x x= + x s) log 3 log_x2 + ₉x= 1 t) 1 2 1 4 lg- x+2 lg+ x = u) 1 3 ₁ 5 lg- x+3 lg+ x =

v) log₂_x x2-14 log₁₆_xx3+40 log₄_x x = 0

a) 2

3 3

log x+ -(x 12) log x+ - = 11 x 0 b) _6.9log₂x₊_6._x2₌_13._xlog 6₂

c) 2

2 2

.log 2( 1).log 4 0

x x- x+ x+ = d) log2 x (x 1)log₂ x 6 2x

(17)

e) 2

3 3

(x+2) log (x+ +1) 4(x+1) log (x+ -1) 16 0= f) log (2_x2 + +x) log ₂_-_x x= 2

g) log (₃2 x+ + -1) (x 5)log (₃ x+ -1) 2x+ = h) 6 0 4 log₃x- -1 log₃ x = 4 i) log (₂ x2+3x+ +2) log (₂ x2+7x+12) 3 log 3= + ₂

a) log₇x=log (₃ x+ 2) b) log (₂ x- +3) log (₃ x- =2) 2 c) log₃

(

x+ +1 log 2

)

₅

(

x+ = 1

)

2 d)

(

log6

)

2 6

log x+3 x =log x

e) 4log7

( )

x+3 =x f)

(

)

2 3

log 1+ x =log x

g) xlog 92 =x2.3log2x-xlog 32

h) log_{3 7}_x₊ (9 12+ x+4 ) logx2 + _{2 3}_x₊ (6x2+23x+21) 4= i) log₂

(

x- x2-1 .log

)

₃

(

x+ x2- =1

)

log₆

(

x- x2- 1

)

Baøi 8. Giaûi caùc phöông trình sau (söû duïng tính ñôn ñieäu):

a)x x+ log 32 =xlog 52 (x> 0) b) x +2 3log2x =5log2x

c) log (₅ x+ = - 3) 3 x d) log (3₂ -x)= x

e) log (₂ x2- - + =x 6) x log (₂ x+ + 2) 4 f) x +2.3log2x =3

g) 4(x-2) log (é_ë ₂ x- +3) log (₃ x-2)ù_û=15(x+1)

Baøi 9. Giaûi caùc phöông trình sau (ñöa veà phöông trình tích):

a) log₂x+2.log₇x= +2 log .log₂x ₇x b) log .log₂x ₃x+ =3 3.log₃x+log₂x

c) 2 log

(

₉x

)

2=log .log₃x ₃

(

2x+ - 1 1

)

Baøi 10. Giaûi caùc phöông trình sau (phöông phaùp ñoái laäp):

a) ln(sin ) 1 sin2x - + 3x= 0 b) log₂

(

x2+ - =x 1

)

1-x2

c) 2 1 3 2 ₂ 3 8 2 2 log (4 4 4) x x x x + ₊ - ₌ - +

Baøi 11. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau coù nghieäm duy nhaát:

a) log₂₊ ₃_ëéx2-2(m+1)x_ûù+log_{2 3}_- (2x m+ - =2) 0 b) log ₂

(

x-2

)

=log₂

( )

mx

c) log _{5 2}₊

(

x2+mx m+ + +1 log

)

_{5 2}_- x= 0 d)

( )

(

)

lg 2 lg 1 mx x+ = e) log (₃ x2+4 ) log (2mx = ₃ x-2m- 1) f) log_{2 2}₊ ₇(x m- + +1) log_{2 2}_- ₇(mx x- 2) 0=

Baøi 12. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau:

a) log 4₂

(

x-m

)

= +x 1 coù 2 nghieäm phaân bieät.

b) 2

3 3

log x-(m+2).log x+3m- =1 0 coù 2 nghieäm x1, x2 thoaû x1.x2 = 27.

c) 2 2 2 2

4 2

2log (2x - +x 2m-4m ) log (= x +mx-2m ) coù 2 nghieäm x1, x2 thoaû x₁2+x₂2 >1.

d) log₃2x+ log₃2x+ -1 2m- = coù ít nhaát moät nghieäm thuoäc ñoaïn 1 0 é_ë1;3 3ù_{û .} e) 4 log

(

₂ x

)

2+log₂x m+ = coù nghieäm thuoäc khoaûng (0; 1). 0

(18)

Khi giaûi heä phöông trình muõ vaø logarit, ta cuõng duøng caùc phöông phaùp giaûi heä phöông trình ñaõ hoïc nhö:

· Phöông phaùp theá.

· Phöông phaùp coäng ñaïi soá. · Phöông phaùp ñaët aån phuï. · …….

Baøi 1. Giaûi caùc heä phöông trình sau:

a) 2 5 2 1 y y x x ìï + = í - = ïî b) 2 4 4 32 x x y_y ìï = í = ïî c) ₂ 3 1 3 19 y y x x ìï - = í + = ïî d) 1 2 6 8₄ y y x x -ìï = í = ïî e) î í ì = + = + 1 3 2 2 y x y x f) 2 .9 36 3 .4 36 x y x y ìï = í = ïî f) 2 5. 20 5 .2 50 x y x y ìï = í = ïî g) 2 .3 12 3 .2 18 x y x y ìï = í = ïî h)

(

)

2 _{7 10} 1 8 x 0 y y x x y - + ìï = í + = > ïî i)

(

)

2 2 ₁₆ 1 2 x 0 x y x x y -ìï = í - = > ïî

a) 4 3 7 4 .3 144 x y x y ìï - = í = ïî b) 2 3 17 3.2 2.3 6 x y x y ìï + = í - = ïî c) 2 2.3 ₁56 3.2 3 87 x x y x x y + + + ìï + = í + = ïî d) 2 2 2 2 1 3 2 17 2.3 3.2 8 x y x y + + + ìï + = í + = ïî e) 1 1 1 3 2 4 3 2 1 x y x y + + + ìï - = -í - = -ïî f) 2 2 2 2( 1) 1 2 2 1. 4 4.4 .2 2 1 2 3.4 .2 4 x x y y y x y - -ìï - + = í - = ïî g) cot2 3 cos 2 y y x x ìï = í = ïî h) 2 2 2 2 ( )2 1 9( ) 6 y x x y x y x y -ìï + = í + = ïî i) 32 2 77 3 2 7 x y x y ìï - = í - = ïî k) 2 2 2 2 ( )( 2) 2 x y _{y x xy} x y ìï - = - + í + = ïî

a) 3 2 1 3 2 1 x y y_x ìï = + í = + ïî b) 3 2 11 3 2 11 x y x y_{y x} ìï + = + í + = + ïî c) 2₂ 2 ₂ 3 x y _{y x} x xy y ìï = -í + + = ïî d) 1 1 7 6 5 7 6 5 -ì = -ï í = -ïî x y y x

VI. HEÄ PHÖÔNG TRÌNH

MUÕ VAØ LOGARIT

(19)

Baøi 4. Giaûi caùc heä phöông trình sau: a) 2 2 6 logx yx log y 3 ì + = í ₊ ₌ î b) log log 2 6 y x y x x y ì + = í + = î c) 2 2 log 4 2 log 2 x y x y ì + = í _- ₌ î d)

(

)

(

)

2 2 3 5 3 logx yx y log x y 1 ìï - = í ₊ _- _- ₌ ïî e) _log 32 ₄ y xy x ì = í ₌ î f) 2 3 log log 2 3 9 y y x x ìï + = í = ïî g) î í ì = = + 8 5 ) log (log 2 xy y x _x y _h) 2 3 9 3 1 2 1 3log (9 ) log 3 x y x y ì _{- +} _{- =} ï í - = ïî i) 2 3 3 3 ₂ 1 log log 0 2 2 0 x y x y y ì - = ï í ï ₊ _- ₌ î k) 3 12 log 1 3 y y x x ì - = í = î

Baøi 5. Giaûi caùc heä phöông trình sau: a) log 3_{log 2}x

(

₍

2₃

)

₎

2₂ y x y x y ì + = ï í ₊ ₌ ïî b) log (6 4 ) 2 log (6x_y 4 ) 2 x y y x ì + = ï í ₊ ₌ ïî c) 2 2 3 3 2 2 log 1 2 log log log 4 x _y y x y ì æ ö - = -ï ç ÷ ï _è _ø í ₊ ₌ ï ïî d) 2 2 4 4 log log 1 logy log 1 x y x y ì _- ₌ ï í - = ïî e) 2

(

2 2

)

3 3 log 6 4 log log 1 x y x y ì ₊ ₊ ₌ ï í + = ïî f) 2 2 2 2 log log ₁₆ log log 2 y x x y x y ìï ₊ ₌ í _- ₌ ïî g) î í ì = -= + 1 log log 27 . 2 3 3 log log3 3 x y y x y x h) 2₂ 2 4 2 log log 3. 2. 10 log log 2 y x x y x y ìï + = í + = ïî i)

(

)

(

)

log 2 2 2 log 2x_y 2 2 x y y x ì + - = ï í _{+ -} ₌ ïî k)

( )

2 2 log 4 log 2 xy x y ì = ï æ ö í ₌ ç ÷ ï è ø î l) lg2₂ lg2 lg ( )2 lg ( ) lg .lg 0 x y xy x y x y ìï = + í - + = ïî m) 2 2 6 5 log log 2 log ( ) 1 y x yx x y ì + = ï í ï ₊ ₌ î n) loglg 2

(

lg 4

)

₁5 log2

(

)

lg lg3 x y x y x y ì - = - + ï -í ₌ -ï -î o)

(

)

(

) (

)

2 2 lg 1 lg8 lg lg lg3 x y x y x y ì ₊ _{= +} ï í + - - = ïî p)

₍

₎

1 log 2 logx_x 23 3 y y + ì = ï í ₊ ₌ ïî q)

(

)

2 2 log log 1 log 1 xy y_x yx y x ì - = ï í ï - = î

Baøi 6. Giaûi caùc heä phöông trình sau: a) lg_lg lg 4 1000 y x y x ì + = í ₌ î b)

(

)

2 6 36 4 2 log 9 x y x x y x -ìï = í _- ₊ ₌ ïî

(20)

c) 5 5 ( )3 27 3log ( ) y x x y x y x y -ì ï + = í ï + = -î d) 3lg _lg44lg _lg3 (4 ) (3 ) x y x y ìï = í = ïî e) 1 2 2 2 log 2 log 5 0 32 x y x y xy ì æ - ö+ = ï ç ÷ í è ø ï ₌ î

a) 2₃ ₉4 ₉4

4 16 16

log log log 2

x y z y z x z x y ì + + = ï ₊ ₊ ₌ í ï ₊ ₊ ₌ î b) 2 2 2 3 3 3 3

log 3 log log

2 2

log 12 log log

3 x x y y y x x y ì + = + ï í ï ₊ _{= +} î c) 1 2 1 2 1 1 log (1 2 ) log (1 2 ) 4 log (1 2 ) log (1 2 ) 2x_x _y y y y x x x x + -+ -ì _- ₊ ₊ ₊ ₊ ₌ ï í ₊ ₊ ₊ ₌ ïî d) 2 3 2 3

log 1 3sin log (3cos ) log 1 3cos log (3sin )

x y y x ì ₊ ₌ ï í + = ïî e)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2 3 2 2 2 3 log 1 3 1 log 1 2 log 1 3 1 log 1 2 x y y x ì ₊ _- ₌ _- ₊ ï í ï + - = - + î f) 3 2 2 3 2 2 log (6 3 2 ) log ( 6 9) 6 log _x(5x ) log _y( 2) 1 y y xy x x x y x - -- -ì _- ₊ _- ₊ _- _{+ =} ï í _{- -} ₊ ₌ ïî

Baøi 8. Giaûi caùc heä phöông trình sau: a) log 2 4 2 2 2 log log 1 x y x y ìï ₌ í - = ïî b)

( )

(

)

(

)

2 2 2 1 3 3 log log 4 x y x y x y x y -ì _{æ ö} ï _{= ç ÷} í _{è ø} ï ₊ ₊ _- ₌ î c) log8 log8 4 4 4 log log 1 y x x y x y ìï ₊ ₌ í _- ₌ ïî d) 1₃

(

)

3 .2 18 log 1 x y x y ì ₌ ï í + = -ïî e)

( )

ï î ï í ì = -+ + ÷ ø ö ç è æ = -4 ) ( log ) ( log 3 1 3 2 2 2 y x y x y x y x f)

(

)

(

)

3 3 4 32 log 1 log x y y x x y x y + ì ï ₌ í ï - = - + î g)

₍

₎

3 3 .2 972 log 2 x y x y ì ₌ ï í _- ₌ ïî h) 5

(

)

3 .2 1152 log 2 x y x y -ì ₌ ï í ₊ ₌ ïî i)

(

) (

)

2 2 log log 1 x y x y x y x y ìï + = -í - = ïî k) 3 3 log log 2 2 2 4 2 ( ) 3 3 12 xy _xy x y x y ìï = + í + - - = ïî l) log3 log3 3 3 2 27 log log 1 y x x y y x ìï ₊ ₌ í _- ₌ ïî m) 2 2log log log 4 3 y x y x xy x y y ì ₌ ï í = + ïî

(21)

· Khi giaûi caùc baát phöông trình muõ ta caàn chuù yù tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá muõ. ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 0 1 ( ) ( ) f x g x a f x g x a a a f x g x éì > í ê_î _> > Û ê ì < < êí ê_î < ë

· Ta cuõng thöôøng söû duïng caùc phöông phaùp giaûi töông töï nhö ñoái vôùi phöông trình muõ: – Ñöa veà cuøng cô soá.

– Ñaët aån phuï. – ….

Chuù yù: Trong tröôøng hôïp cô soá a coù chöùa aån soá thì:

aM >aN Û(a-1)(M N- ) 0>

Baøi 1. Giaûi caùc baát phöông trình sau (ñöa veà cuøng cô soá):

a) 2 1 2 1 3 3 x x x - x _{³ ç ÷}æ ö - -è ø b) 6 ₂ 3 ₁ ₁ 1 1 2 2 x - x + -x æ ö æ ö < ç ÷ ç ÷ è ø è ø c) 2x+2-2x+3-2x +4 >5x+1-5x+2 d) 3 x +3 x -1-3 x -2<11 e) 9x2- +3 2x -6x2- +3 2x < 0 _f)₆2x+3 _<₂x+7_.₃3x-1 g) 4x2+x.2x2+1+3.2x2 >x2.2x2 +8x+12 h) 6._x2 ₊3 x._x₊31+ x _<2.3 x._x2 ₊3_x₊9 i) 9x+9x+1+9x+2<4x +4x+1+4x+2 k) 7.3x+1+5x+3£3x+4+5x+2 l) 2x+2₊5x+1_<2x ₊5x+2 _m)₂x-1_.3x+ 2 _>₃₆ n)

(

)

(

)

3 1 1 3 10 3 10 3 x x x x - + - + + < - o)

(

_{2 1}

)

1

(

_{2 1}

)

1 x x x + -+ ³ - p) ₂ 1 2 1 ₂ 2 x x x -- £ q) 1 1 2 1 3 1 2 x- _³2 x+ Baøi 2. Giaûi caùc baát phöông trình sau (ñaët aån phuï):

a) 2.14x+3.49x -4x ³ 0 b) 1 ₁ 1 ₂ 4x - _-2x - _{- £}3 0 c) ₄x _-₂2(x-1)₊₈32( 2)x- _>₅₂ _d)_8.3 x+4x ₊₉1+4x _>₉ x e) 25.2x-10x+5x >25 f) 52x+1+6x+1>30 5 .30+ x x g) 6x -2.3x -3.2x+ ³ 6 0 h) 27x+12x >2.8x i) 1 1 1 49x _-35x _£25x _k)₃ 1 ₂2 1 ₁₂2 ₀ x x+ _- x+ _- _< l) 252x x- +2 1+92x x- +2 1³34.252x x- 2 m) 32x_-8.3x+ x+4 _-9.9 x+4 _>0 o) 4x 1+ x - -5.2x 1 1+ x - + +16 0³ p)

(

3+ 2

) (

x + 3- 2

)

x £ 2 r) 2 _{1 1} 1 ₃ 1 ₁₂ 3 3 x x+ æ ö æ ö + > ç ÷ ç ÷ è ø è ø s) 3 1 1 1 _{128 0} 4 8 x x -æ ö æ ö - - ³ ç ÷ ç ÷ è ø è ø t) 1₁ ₂1 2x + +2 - x < 9 u)

(

22 1x + -9.2x+4 .

)

x2+2x- ³ 3 0

(22)

Baøi 3. Giaûi caùc baát phöông trình sau (söû duïng tính ñôn ñieäu): a) ₂ ₃2 ₁ x x _< ₊ _b) ₀ 1 2 1 2 21 £ -+ -x x x c) 1 2 3 2 3 . 2 2 £ -- + x x x x d) 3 x+4 +2 2 4x+ >13 e) 32 3 2 0 4 2 x x x - ₊ -³ - f) 2 3 _{4 0} 6 x _x x x + - _> g) -3x2-5x+ +2 2x 3 .2x> x -3x2-5x+ +2

( )

2x 32 x

Baøi 4. Tìm m ñeå caùc baát phöông trình sau coù nghieäm:

a) 4x-m.2x+ + £ m 3 0 b) 9x -m.3x+ + £ m 3 0

c) 2x + +7 2x- £ 2 m d)

(

) (

)

2 2 ₁

2 1+ x + 2 1- x - + = m 0

Baøi 5. Tìm m ñeå caùc baát phöông trình sau nghieäm ñuùng vôùi:

a) (3m+1).12x + -(2 m).6x+3x < , "x > 0. b) 0 (m_-1)4x₊2x+1_{+ + > , "x.}m 1 0 c) m.9x -

(

2m+1 6

)

x+m.4x £ , "x Î [0; 1]. d) 0 m.9x +(m-1).3x+2+ - > , "x. m 1 0 e) 4cosx +2 2

(

m+1 2

)

cosx +4m2- < , "x. f) 3 0 4x -3.2x+1- ³m 0, "x.

g) 4x -2x - ³ , "x Î (0; 1) m 0 h) 3x + +3 5 3- x £ , "x. m

i) 2.25x-(2m+1).10x+(m+2).4x ³ , "x ³ 0. k) 0 4x-1_-m.(2x _{+ > , "x.}1) 0

Baøi 6. Tìm m ñeå moïi nghieäm cuûa (1) ñeàu laø nghieäm cuûa baát phöông trình (2): a)

(

)

(

)

2 _{1 1} 2 2 1 ₃ 1 ₁₂ ₍₁₎ 3 3 2 3 6 1 0 (2) x x m x m x m + ì æ ö æ ö ïï_{ç ÷} ₊ _{ç ÷} _> íè ø è ø ï - - - < ïî b) 2 _{1 1} 2 2 2 2 8 (1) 4 2 ( 1) 0 (2) x x x mx m + ì ï _- _> í ï _- _- _- _< î c) 22 1₂ 9.2 4 0 (1) ( 1) ( 3) 1 0 (2) x x m x m x + ìï - + £ í + + + + > ïî d)

₍

₎

2 _{1 2} 2 1 _9. 1 ₁₂ ₍₁₎ 3 3 2 2 2 3 0 (2) x x x m x m + ì æ ö æ ö ïï_{ç ÷} ₊ _{ç ÷} _> íè ø è ø ï + + + - < ïî

(23)

· Khi giaûi caùc baát phöông trình logarit ta caàn chuù yù tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá logarit. 1 ( ) ( ) 0 log ( ) log ( ) 0 1 0 ( ) ( ) a a a f x g x f x g x a f x g x éì > í ê_î _> _> > Û ê ì < < êí ê_î < < ë

· Ta cuõng thöôøng söû duïng caùc phöông phaùp giaûi töông töï nhö ñoái vôùi phöông trình logarit:

– Ñöa veà cuøng cô soá. – Ñaët aån phuï.

– ….

Chuù yù: Trong tröôøng hôïp cô soá a coù chöùa aån soá thì:

log_aB> Û0 (a-1)(B- > ; 1) 0 log 0 ( 1)( 1) 0 loga_a

A

A B B > Û - - > Baøi 1. Giaûi caùc baát phöông trình sau (ñöa veà cuøng cô soá):

a) log₅(1-2x)<1+log ₅(x+1) b) log 1 2 log₂

(

- ₉x

)

< 1

c) ₁ ₁

(

)

3 3

log 5- <x log 3- x d) ₂ ₁ ₅

3

log log log x > 0

e) ) 0 1 2 1 (log log ₂ 3 1 ₊ > + x x _f)

₍

₂

₎

1 2 4 log 0 x - x> g) ₁ ₄

(

2

)

3

log logé_ë x -5 ù_û>0 h) 6log62x +xlog6x £12

i) log₂

(

x+ ³ +3 1 log

)

₂

(

x- 1

)

k) 2

(

log2x

)

2 +xlog2x

l) ₃ ₁ 2 log logæ xö ³0 ç ÷ è ø m) ₈ ₁ 8 2 2 log ( 2) log ( 3) 3 x- + x- > n) ₁ ₅

(

2

)

₃ ₁

(

2

)

3 5

log logé_ë x + +1 x _ûù>log logé_ê x + -1 x ù_ú

ê ú

ë û

Baøi 2. Giaûi caùc baát phöông trình sau: a) lg

(

₍

2 1

₎

)

1 lg 1 x x -< - b)

(

)

2

(

)

3 2 3 2 log 1 log 1 0 3 4 x x x x + - + > - c) lg

(

2 3 2

)

2 lg lg 2 x x x - + _> + d) 2 2 5log 2 log log x _x x _{18 0} x +x - - < e) 0 1 1 3 log ₂ > + -x x x f) 2 3 2 3 2

log .log log log

4

x x x< x + g) log (log (2_x ₄ x-4)) 1£ h) log₃_{x x}_- 2(3-x) 1>

i)

(

2

)

5

log_x x -8x+16 ³ 0 k) log₂_x

(

x2-5x+6

)

< 1