Definição 1/37
Definição
- A Computação Científica é uma área de estudo que, utilizando computadores, se interessa
- pela construção de modelos matemáticos e
- pelas técnicas para determinar soluções numéricas
na análise e resolução de problemas reais (científicos e da engenharia).
- A Computação Científica consiste, em termos práticos, na aplicação
- da simulação computacional e - de outras formas de computação,
na análise e resolução de problemas reais em várias áreas científicas e tecnológicas.
- As aplicações computacionais desenvolvidas para modelar sistemas reais, requerem
- grandes quantidades de dados iniciais e de parâmetros de entrada, - uma grande quantidade de cálculos,
fazendo com que a relação entre Computação Científica e Computação Numérica seja muito forte.
Definição 2/37
- Em algumas áreas do conhecimento,
- a experimentação em laboratório é extremamente cara ou até mesmo impossível, - o que faz com que a Computação Científica tenha um papel de grande importância,
- configurando uma terceira vertente da ciência (complemento à experimentação/observação e à teoria).
- Considere-se o seguinte exemplo:
- tendo em conta a grande aproximação da antena do telemóvel com a cabeça humana, essencialmente aquando da realização de chamadas, os utilizadores são expostos a campos eletromagnéticos de níveis consideráveis em períodos de tempo cada vez maiores.
- Devido à impossibilidade técnica e ética de efetuar medições dos níveis destes campos em seres humanos ou animais, as simulações numéricas são de crucial importância nestes estudos.
- Com a Computação Científica é possível identificar as áreas e os tecidos mais afetados (normalmente são aqueles mais próximos da antena) e os pontos de concentração de ondas eletromagnéticas.
- A construção de Modelos Matemáticos é possivelmente a vertente da Computação Científica
- em que os investigadores têm ocupado mais tempo no seu estudo,
- há um aumento da quantidade de modelos para resolver problemas (cada vez mais complexos), - o desenvolvimento de modelos já existentes.
Modelo genérico 3/37
Modelo genérico
- De uma maneira geral, um modelo é uma estrutura (abstrata ou física) construída para exibir funções
e características (consideradas) fundamentais de um dado sistema “real”.
- Segundo diferentes perspetivas, a mesma “realidade” dá origem a diferentes modelos.
- É importante que o comportamento do modelo
- seja fiel à realidade (ou, melhor, à simplificação da realidade que se idealizou), - seja de fácil manipulação!
- Os modelos permitem
- a experimentação sem interferência com a realidade,
- explicitar relações que não eram claras até ao momento da sua construção e análise.
- O termo "modelo" é habitualmente usado por uma estrutura construída propositadamente, para expor
aspetos e características de alguns objetos entre si.
- É suposto que um modelo
- seja uma representação suficientemente precisa das características essenciais da situação a analisar, - de modo que as conclusões (soluções) obtidas a partir dele sejam também válidas para o problema real.
Modelo genérico 4/37
- O modelo é um esquema simplificado para a interpretação da realidade
- a complexidade do mundo real a necessidade de formular modelos simplificadores; - a mera acumulação de observações não fornece explicação satisfatória do fenómeno
necessidade de sistematizar e racionalizar os factos conhecidos: - selecionando os aspetos mais importantes e
- desprezando os que considera irrelevantes.
- De uma maneira geral, pode-se considerar que existem três tipos de modelos:
- modelos icónicos
- são representações reduzidas de estados, objetos ou acontecimentos; - representam o fenómeno real apenas com uma transformação de escala; - por ex., os mapas.
- modelos analógicos,
- empregam uma propriedade para representar outra; - por ex., utilizar gráficos a cores e com legendas. - modelos simbólicos
- as propriedades do fenómeno real são expressas simbolicamente; - por ex., os modelos matemáticos.
Modelo matemático 5/37
Modelo matemático
- Uma das tarefas mais importantes dos Matemáticos é:
- analisar situações da vida real e
- identificar modelos matemáticos que permitam a sua interpretação.
- Existem, na literatura, muitas definições de modelo matemático.
- Edwards e Hamsom (1990): "um modelo matemático é o produto da transferência de um conjunto de
elementos matemáticos (como sejam, funções ou equações), com vista à obtenção de uma
representação matemática de uma parcela do mundo real".
- Swetz e Hartzler (1991): "modelo matemático de um objeto ou de um fenómeno real é um conjunto de
regras ou leis, de natureza matemática, que representam adequadamente o objeto ou o fenómeno na
mente de um observador".
Modelo matemático 6/37
- Os modelos matemáticos
- São representações idealizadas, mas expressas em termos de símbolos e expressões matemáticas.
- Consistem num sistema de equações e de expressões matemáticas relacionadas, que descrevem os aspetos essenciais do problema.
- Podem ter diversas formas como uma única equação, um sistema de equações, um sistema de inequações ou, para casos mais complexos, um conjunto de equações diferenciais.
- O modo como a teoria e as aplicações da Matemática se relacionam designa-se por:
- matematização ou
- modelação matemática.
- Isto significa, para Ian Stwart (matemático inglês), que "Qualquer descrição matemática do mundo
real é um modelo. Manipulando o modelo esperamos compreender algo da realidade. E já não
perguntamos se o modelo é verdadeiro, perguntamos unicamente se as suas implicações podem ser
verificadas experimentalmente".
Tipos de modelos matemáticos 7/37
Tipos de modelos matemáticos
- Os modelos matemáticos podem ser, pela sua natureza, de dois tipos:
- modelos prescritivos, e - modelos descritivos.
- Os modelos matemáticos prescritivos têm como característica principal, o facto de o resultado de
uma operação ser prescrita para solucionar um problema do sistema real.
- Os modelos prescritivos
- baseiam-se na representação dos objetivos e das restrições de um processo para o qual se deseja descobrir soluções ótimas;
- ou seja, o modelo é elaborado segundo uma técnica que permite encontrar a melhor solução, ou política de ação, para os condicionamentos representados.
- Exemplos de modelos prescritivos:
- modelos de otimização;
Tipos de modelos matemáticos 8/37
- Os modelos que usam métodos numéricos
- são expressos apenas por uma equação matemática;
- a sua resolução consiste em determinar as soluções que anulam aquela equação (ou seja, os seus zeros).
- Os modelos de otimização podem ser resolvidos usando dois tipos diferentes de métodos:
- exatos, e - aproximados.
- Nos métodos exatos, a solução obtida
- é a melhor, dentre todas as possíveis, dados os condicionamentos do modelo;
- otimiza (maximiza ou minimiza) uma função de mérito (por ex., o custo total de produção); e
- respeita (não viola), em simultâneo, todas as restrições do problema (por ex:, satisfazer a procura).
- Pode ser extremamente caro, em termos computacionais, resolver um problema com métodos exatos.
- Neste caso, pode decidir-se por resolver o problema de forma aproximada (heuristicamente).
Tipos de modelos matemáticos 9/37
- Resolver o problema usando um método aproximado (heurístico)
- significa que não se pode garantir que se obtenha a solução ótima em todos cenários analisados;
- mas pode-se garantir a obtenção de uma solução de “boa qualidade” com baixo custo computacional.
- Uma abordagem heurística tenta utilizar um método racional para encontrar uma boa (próxima do
ótimo) solução.
- Geralmente a heurística apresenta uma maneira mais rápida e fácil de resolver um problema, em
relação ao método matemático prescritivo “puro”.
- Exemplos de métodos heurísticos são
- Algoritmos Evolutivos (Algoritmos Genéticos, Pesquisa Tabu, ...), - Redes Neuronais e
- Busca Local.
- Mas isto não significa que se deve resolver todos os problemas de grande dimensão e caros, em termos
computacionais, usando métodos aproximados.
Tipos de modelos matemáticos 10/37
- Por exemplo:
- suponha-se que existam 3 trabalhos para serem realizados e 3 máquinas disponíveis para os realizar. - O custo de cada máquina para cada trabalho está na seguinte tabela:
Máquina 1 Máquina 2 Máquina 3
Trabalho 1 10 25 11
Trabalho 2 13 5 6
Trabalho 3 8 6 25
- Heurística 1: Alocação do menor custo dos trabalhos. Qual o custo total? - Heurística 2: Alocação do menor custo das máquinas. Qual o custo total? - Usando a Heurística 1 e afetando por ordem os Trabalhos:
custo total é 40 (10 + 5 + 25),
pares de afetação: (Trabalho 1, Máquina 1), (Trabalho 2, Máquina 2) e (Trabalho 3, Máquina 3). - Usando a Heurística 2 e afetando por ordem as Máquinas:
o custo total é 24 (8 + 5 + 11),
pares de afetação: (Máquina 1, Trabalho 3), (Máquina 2, Trabalho 2) e (Máquina 3, Trabalho 1). - Notar que: a melhor solução (custo 22) é um pouco melhor que a solução da heurística 2 (custo 24).
Tipos de modelos matemáticos 11/37
- Os modelos matemáticos descritivos
- são utilizados para acompanhar o comportamento de um sistema. - As suas conclusões são obtidas através da perceção do modelador. - Os modelos deste tipo mais usuais são os modelos de simulação.
- Os modelos descritivos são utilizados
- na representação de sistemas reais (ou propostos) e
- na experimentação de diferentes cenários e políticas de ação nos mesmos.
- As grandes motivações para o uso destas técnicas são
- a flexibilidade na representação de modelos complexos e - a facilidade de aplicação,
o que possibilita prever o comportamento do sistema modelado no horizonte de planeamento escolhido.
- Os resultados dos testes apresentam uma visão futura do sistema, auxiliando no processo de tomada
de decisões no momento.
Tipos de modelos matemáticos 12/37
- Ao contrário dos métodos prescritivos, os modelos descritivos são utilizados para comparar políticas de
ação já escolhidas pelo decisor, não esperando que o modelo indique a melhor solução possível.
- Por exemplo: suponha-se que se pretende testar duas políticas de filas numa Agência Bancária:
1) cada caixa tem a sua própria fila; 2) uma fila única para todas as caixas. Neste caso, pode-se supor que
- o tempo de atendimento é baseado numa distribuição de Poisson e
- que os tempos de chegada dos clientes à Agência são baseados numa distribuição Exponencial Negativa. Depois, simulam-se as duas políticas para verificar qual delas é a melhor (segundo certo objetivo).
Modelação matemática 13/37
Modelação matemática
- O processo de resolução de um problema
- pode ser visto como uma sequência de etapas que devem ser realizadas e melhoradas,
- até que o modelo matemático construído para representar o problema forneça resultados satisfatórios.
- A construção de um bom modelo matemático exige
- alto nível de abstração e
- de conhecimentos académicos (teoria) e/ou empíricos (prática) sobre o problema em análise.
- Notar que,
- não é possível o controlo sobre a maioria dos sistemas reais (complexos),
- mas é possível controlar a complexidade dos modelos matemáticos que se constroem.
- Os sistemas reais complexos
- podem ser aproximados por modelos matemáticos simples,
- que usam equações matemáticas que podem ser resolvidas analiticamente (obtendo soluções exatas).
- No entanto, estes modelos simples oferecem, provavelmente,
Modelação matemática 14/37
- Uma descrição mais precisa do sistema real pode ser conseguida
- com a introdução de mais características do sistema no modelo matemático,
- o que implica a utilização de equações matemáticas mais complexas e mais difíceis de resolver.
- Para estes casos,
- podem não existir soluções analíticas para o modelo;
- havendo necessidade de se recorrer à determinação de soluções “aproximadas”, obtidas através de - métodos numéricos ou
- métodos heurísticos.
- Existem, na literatura, vários diagramas para descrever o processo de resolução de um problema
(modelação matemática).
- Assim, pode-se considerar que este processo é composto por cinco etapas (ver diagrama em baixo):
1ª) Definição (Formulação) do Problema, 2ª) Construção do Modelo (Matemático), 3ª) Determinação da Solução (do Modelo), 4ª) Validação do Modelo e Análise da Solução, 5ª) Implementação da Solução.
Modelação matemática - Definição do Problema 17/37
Modelação matemática - Definição do Problema
- Elabora-se a definição (formulação) matemática do problema real a ser resolvido.
- Normalmente,
- começa-se com um diagnóstico da situação e
- termina-se com uma descrição formal do problema.
- Uma definição cuidadosa do problema é crucial,
- pois caso contrário pode-se estar, mais tarde, a resolver o problema errado; - ou seja, deve-se evitar extrair a resposta certa do problema errado!
- Envolve a "Perceção do Problema" e a "Recolha de Dados".
- Deve-se identificar as entidades associadas ao problema, que são as seguintes:
- os dados (o que é conhecido),
- o objetivo (que é desconhecido e pretende-se determinar) e - as restrições (as condições do problema apresentadas).
Modelação matemática - Construção do Modelo Matemático 18/37
Modelação matemática - Construção do Modelo Matemático
- Consiste na transformação do problema real num problema matemático através de uma formulação
matemática, a qual deve ser tratável em termos computacionais.
- Deve-se começar por
- tentar selecionar um modelo, entre os vários já conhecidos e que possam ser aplicados ao problema (é frequente ser possível aplicar diferentes modelos ao mesmo problema real).
- Geralmente o modelo matemático possui mais soluções que o problema real.
- Também deve haver uma grande comunicação com a fase da “Recolha de Dados”, pois o modelo pode
necessitar de algo mais do que foi feito na etapa anterior,
- quer em termos dos dados recolhidos - quer na forma como são apresentados.
- Nesta etapa deve-se reproduzir as relações entre os componentes do problema (objetivos, variáveis de
decisão, parâmetros, restrições, ...).
Modelação matemática - Determinação da Solução do Modelo 19/37
Modelação matemática - Determinação da Solução do Modelo
- Faz-se a escolha do método numérico mais apropriado para resolver o modelo matemático, obtido na
construção do modelo matemático.
- Na escolha do método mais eficiente deve-se ter em conta os seguintes aspetos:
- precisão desejada para os resultados;
- capacidade do método em conduzir aos resultados desejados (velocidade de convergência); - esforço computacional despendido (tempo de processamento e economia de memória).
- Depois de feita a escolha do método,
- este é descrito através de um algoritmo,
- o qual é posteriormente implementado num computador através de uma linguagem de programação; - por fim, a execução daquele programa tem em vista a obtenção dos resultados numéricos (soluções).
- Esta etapa pode, então, ser subdividida nas 3 fases seguintes (depois de escolhido o método):
- elaboração do algoritmo,
- implementação do algoritmo (codificação do programa), - processamento (execução) do programa.
Modelação matemática - Validação do Modelo e Análise da Solução 20/37
Modelação matemática - Validação do Modelo e Análise da Solução
- Verifica-se
- a consistência da solução obtida para o modelo (validação do modelo) e - a sua adequação ao problema real (análise da solução).
- Se a solução não se mostrar satisfatória (modelo não válido) deve-se
- construir um novo modelo matemático, através de uma nova formulação matemática, e - determinar uma nova solução numérica.
- Alguns modelos matemáticos podem
- produzir várias soluções (e não apenas uma) e
- algumas delas (ou todas) não terem sentido físico ou químico
- por exemplo: tempo negativo, concentração complexa, etc.
- Um dos objetivos desta etapa é justamente discernir qual a solução válida para o problema real dentre
as várias fornecidas pelo modelo matemático (se existirem algumas).
Modelação matemática - Implementação da Solução 21/37
Modelação matemática - Implementação da Solução
- Nesta etapa deve-se ter em atenção os seguintes aspetos:
- garantir que, do “papel” para o sistema real, não se desvirtua a solução;
- ter abertura para readaptações (modelo e/ou solução) causadas pelas dificuldades de implementação; - verificar a existência de problemas:
- técnicos,
- associados ao comportamento individual dos elementos da organização, - relacionados com o ambiente organizacional;
- dar importância aos aspetos comportamentais;
Modelação matemática - Exemplo 22/37
Modelação matemática - Exemplo
- Definição do Problema
- Um fabricante de plásticos produz 2 tipos de plástico: - normal e
- especial.
- Cada tonelada de plástico normal exige - 2 horas na máquina A e
- 5 horas na máquina B;
- Cada tonelada de plástico especial exige - 2 horas na máquina A e
- 3 horas na máquina B. - Como
- a máquina A está disponível 8 horas por dia e - a máquina B está disponível 15 horas por dia,
quantas toneladas de cada tipo de plástico devem ser produzidas diariamente de maneira que as duas máquinas se mantenham totalmente ocupadas?
Modelação matemática - Exemplo 23/37
- Construção do Modelo Matemático
plástico normal = variável X
plástico especial = variável Y
}
{
2X + 2Y = 8 5X + 3Y = 15
- Determinação da Solução do Modelo
- O processo consiste na resolução de um sistema de duas equações com duas incógnitas, usando o método de substituição de variáveis.
{
2X + 2Y = 8 5X + 3Y = 15 {
X = 4 −Y 20 −5Y + 3Y = 15 {
X = 4 −Y Y = 5/2 {
X = 3/2 = 1.5 Y = 5/2 = 2.5- Análise dos Resultados (Solução)
Devem ser produzidas:
1,5 toneladas de plástico normal (variável X) e 2,5 toneladas de plástico especial (variável Y).
Elaboração de algoritmos 24/37
Elaboração de algoritmos
- Uma das fases mais importantes na resolução de um problema é a elaboração de um algoritmo que
traduza o método associado ao modelo matemático construído.
- Selecionado o método associado ao modelo matemático construído (definido através de expressões
aritméticas e lógicas), o passo seguinte é realizar uma descrição do método através de um algoritmo.
- A descrição do algoritmo, através de uma notação algorítmica, melhora o seu entendimento, pois
- apenas os aspetos do raciocínio matemático são realçados,
Elaboração de algoritmos - Estrutura do algoritmo 25/37
Elaboração de algoritmos - Estrutura do algoritmo
- Um algoritmo
deve iniciar-se com
Algoritmo <nome-do-algoritmo> e terminar com
fim_algoritmo
- Para descrever a finalidade do algoritmo, deve ser utilizado
{ Objetivo: <objetivo-do-algoritmo> }
- Os dados necessários para a execução de um algoritmo são requisitados pelo comando
parâmetros de entrada: <lista-de-variáveis>
onde <lista-de-variáveis> são os nomes das variáveis contendo os valores fornecidos. - Não é necessário descrever exatamente como os valores são fornecidas ao algoritmo.
- Os valores calculados pelo algoritmo são disponibilizados pelo comando
parâmetros de saída: <lista-de-variáveis>
Elaboração de algoritmos - Variáveis e comentários 26/37
Elaboração de algoritmos - Variáveis e comentários
- Uma variável corresponde a uma posição de memória do computador onde está, ou poderá estar,
armazenado um determinado valor.
- As variáveis são representadas por identificadores, podendo os elementos de vetores e matrizes
serem referenciados por subscritos ou índices (por exemplo, v
iou v(i) e m
ijou m(i,j)).
- Um comentário é
- um texto inserido em qualquer parte o algoritmo para aumentar a sua clareza.; - deve ser delimitado por chavetas ({ <texto> });
Elaboração de algoritmos - Expressões e comando de atribuição 27/37
Elaboração de algoritmos - Expressões e comando de atribuição
- Existem três tipos de expressões, dependendo dos tipos dos operadores e das variáveis envolvidas:
- aritméticas, - lógicas e - literais.
- O símbolo é usado para atribuir o resultado de uma expressão a uma variável,
<variável> <expressão>
- Por exemplo,
velocidade deslocamento/tempo mensagem “matriz singular”
- Na elaboração dos algoritmos, podem ser usadas
- operadores aritméticos, relacionais e lógicos
Elaboração de algoritmos - Comandos de entrada e saída 28/37
Elaboração de algoritmos - Comandos de entrada e saída
- O comando
leia: <lista-de-variáveis>
indica que a <lista-de-variáveis> está disponível para leitura nalgum dispositivo externo.
- Por sua vez, o comando
escreva: <lista-de-variáveis>
deve ser utilizado para indicar onde certos valores de interesse - estão disponíveis no programa e
Elaboração de algoritmos - Estruturas condicionais 29/37
Elaboração de algoritmos - Estruturas condicionais
- Uma estrutura condicional torna possível a escolha dos comandos a serem executados quando certa
condição for satisfeita ou não.
- Podem ser simples ou compostas.
- Estrutura condicional simples
se <condição> então <comandos>
fim_se
- Estrutura condicional composta
se <condição> então <comandos_1> senão
<comandos_2> fim_se
Elaboração de algoritmos - Estruturas de repetição 30/37
Elaboração de algoritmos - Estruturas de repetição
- Número indefinido de repetições
repita <comandos_1> se <condição> então interrompa fim_se <comandos_2> fim_repita <comandos_3>
- Número definido de repetições
para <controle> <valor-inicial> até <valor-final> passo <delta> faça <comandos>
Elaboração de algoritmos - Falha no algoritmo 31/37
Elaboração de algoritmos - Falha no algoritmo
- Para indicar que haverá uma falha evidente na execução do algoritmo, usar o comando
Elaboração de algoritmos - Exemplos de algoritmos 32/37
Elaboração de algoritmos - Exemplos de algoritmos
- Problema 1:
Dado um vetor x com n componentes (elementos), elaborar um algoritmo para determinar - a média aritmética ̄x e
- o desvio padrão s dos seus elementos, sabendo que ̄ x = 1 n i=1
∑
n xi, e s =√
1 n −1(
i=1∑
n xi2− 1 n(
i=1∑
n xi)
2)
.Elaboração de algoritmos - Exemplos de algoritmos 33/37
- Algoritmo:
Algoritmo Média_desvio
{ Objetivos: Calcular média aritmética e desvio padrão }
parâmetros de entrada: n, x { tamanho e elementos do vetor } parâmetros de saída: Média, DesvioPadrão
Soma 0
Soma2 0
para i 1 até n faça
Soma Soma + x(i)
Soma2 Soma2 + x(i)2 fim_para
Média Soma / n
DesvioPadrão raiz2 ((Soma2 – (Soma2 / n)) / (n-1))
escreva: Média, DesvioPadrão fim_algoritmo
Elaboração de algoritmos - Complexidade computacional 34/37
Elaboração de algoritmos - Complexidade computacional
- É usual definir-se uma função de complexidade para medir o custo de execução de um algoritmo.
- Esta função tanto pode ser uma medida do
- tempo necessário para executar o algoritmo que resolve um problema de tamanho n, - espaço de memória requerido para esta execução.
A complexidade computacional de um algoritmo
- refere-se à estimativa do esforço computacional despendido para resolver o problema,
- é medido pelo número de operações aritméticas e lógicas efetuadas para resolver um sistema linear de ordem n.
- Os problemas têm complexidade computacional e podem-se enquadrar em dois grupos:
- o composto pelos algoritmos polinomiais, sendo a função de complexidade da forma: O(cn pn + c
n-1 pn-1 + ... + c1 p1 + c0)
- o formado pelos algoritmos exponenciais, sendo a função de complexidade da forma: O(cn), c > 1.
Elaboração de algoritmos - Complexidade computacional 35/37 - Considere-se o polinómio de Lagrange de grau n definido da seguinte forma:
Ln(x) =
∑
i=0 n yi∏
j=0 j≠i n x−x j xi−xj- Expandindo aquela expressão, resulta a Expressão 1: Ln(x) = y0 × x −x1 x0 −x1 × x −x2 x0−x2 ×... × x −xn x0 −xn + + y1 × x −x0 x1−x0 × x −x2 x1−x2 ×... × x −xn x1−xn + + . . . + + yn× x −x0 xn−x0 × x −x1 xn−x1 ×... × x −xn−1 xn−xn−1
Elaboração de algoritmos - Complexidade computacional 36/37
- Considerando que o número de pontos m usados na interpolação é igual a n+1, onde n é o grau do
polinómio, então a complexidade computacional do algoritmo é:
Adições:
∑
i=1 m 2(m −1) + 1 = 2(m2−2m + m) = 2(n + 1)2 −(n + 1) = 2n2 +3n + 1 Multiplicações:∑
i=1 m (m −1) = m2−m = (n + 1)2−(n + 1) = n2+ n Divisões:∑
i=1 m (m −1) = (m2−m) = (n + 1)2−(n + 1) = n2+n Estes resultados são resumidos na tabela seguinte:Operações Complexidade
Adições 2n2 + 3n + 1
Multiplicações n2 + n
Elaboração de algoritmos - Complexidade computacional 37/37
- O polinómio de Lagrange também pode ser expandido de modo a resultar a Expressão 2:
Ln(x) = y0× (x −x1) × (x −x2) ×... × (x −xn) (x0−x1) × (x0−x2) ×... × ( x0−xn) + + y1× (x −x0) × (x −x2) ×... × (x −xn) (x1−x0) × (x1−x2) ×... × (x1−xn) + + . . . + + yn× (x −x0) × (x −x1) × ... × ( x −xn−1) (xn−x0) × (xn−x1) ×... × (xn−xn−1)
- Analisando a complexidade computacional do algoritmo desta expressão, verifica-se que
- o número de adições é o mesmo (2n2 + 3n + 1), - o de multiplicações é da mesma ordem (n2),
- o número de divisões utilizadas na Expressão 2 é de uma ordem grandeza menor (n).
- O polinómio de Lagrange serve para exemplificar que
- uma mesma notação matemática pode resultar em algoritmos de diferentes complexidades. - Isto deve estar presente ao elaborar-se um algoritmo.