Índice
ÍNDICE... 1 OBJECTIVOS... 2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS ... 3 MATERIAL UTILIZADO ... 10 PROCEDIMENTOS ... 11 REGISTO DE MEDIÇÕES... 13 CÁLCULOS... 14 CONCLUSÕES... 30 BIBLIOGRAFIA... 32Objectivos
Este relatório refere-se a uma experiência realizada por nós, em que tínhamos como objectivos:
Parte I:
Determinar o tempo em que a força de intensidade igual a 2 N actuou sobre o disco
I; F
r
Determinar o tempo demorado pelo disco I a dar 10 voltas, sendo actuado por uma força constante de 2N;
Determinar o período de rotação ( ω ) do disco I para os 5 ensaios; r
Determinar a aceleração angular do disco I (α ) durante as 10 voltas para os 5 ensaios; r Calcular o momento de Inércia do disco I para os 5 ensaios;
Calcular o valor médio do momento de Inércia do disco I;
Determinar os desvios absolutos e o desvio médio relativamente ao valor médio do Momento de Inércia do disco I e apresentar a incerteza absoluta e a incerteza relativa;
r
Determinar o tempo em que a força de intensidade igual a 2 N actuou sobre o sistema formado pelo disco I e II; F
Determinar o tempo demorado pelo disco I e II a dar 10 voltas, sendo actuado por uma força constante de 2N;
Determinar o tempo em que a força de intensidade igual a 2 N actuou sobre o sistema constituído pelo disco I e II; F
r
Determinar o período de rotação ( ω ) do disco I + II para os 5 ensaios; r
Determinar a aceleração angular do sistema constituído pelos dois discos ( I e II ) (α ) para os 5 ensaios ;
r Calcular o momento de Inércia do sistema constituído pelos dois discos ( I e II ) para os 5 ensaios;
Calcular o valor médio do momento de Inércia do sistema constituído pelos dois discos ( I e II );
Determinar os desvios absolutos e o desvio médio relativamente ao valor médio do Momento de Inércia do disco I + II e apresentar a incerteza absoluta e a incerteza relativa;
Parte II:
Medir o tempo que o disco I demora a dar 5 voltas;
Após o disco I dar as 5 voltas deixar cair o disco II e medir o tempo que este demora a dar 10 voltas;
Determinar a norma da velocidade angular do disco I para os 5 ensaios;
Determinar a norma da velocidade angular do disco I + disco II para os 5 ensaios; r
Determinar a norma dos momentos angulares do disco I ( ) para as 5 medições; Calcular o valor médio dos momentos angulares em cada uma das situações;
i L
Determinar os desvios absolutos e o desvio médio relativamente ao valor médio do momento angular do disco I e apresentar a incerteza absoluta e a incerteza relativa;
r
Determinar a norma dos momentos angulares do sistema (Lf ) para as 5 medições; Calcular o valor médio do momento angular;
Determinar os desvios absolutos e o desvio médio relativamente ao valor médio do momento angular do disco I e apresentar a incerteza absoluta e a incerteza relativa; Verificar a lei da conservação do Momento Angular;
Fundamentos Teóricos
Momento de uma força Mro(Fr)Designa-se por momento da força ( a grandeza que mede a tendência da força para fazer rodar o corpo rígido. Consideremos a chave inglesa que pode rodar em torno do ponto O, por acção da força aplicada r. O momento da força r em relação ao ponto O é o vector r aplicado em O e definido pelo produto vectorial .
) (F Mro r F F r = ) o M F x r F Mro( r r
Fig.1 – Momento de uma força aplicada numa chave inglesa e suas características. F
r
Características de Mro:
Direcção: perpendicular ao plano definido por e . Ou seja, a direcção do eixo de
rotação da chave; rr F
r Sentido: determinado pela regra da mão direita:
Fig.2 – Exemplificação do sentido do Mro, através da utilização da regra da mão direita.
Será positivo, se o polegar apontar para cima (a) e negativo no caso contrário (b); Norma: Mro(Fr) = rr x Fr senθ
Unidade SI: N.m
( O momento de uma força tem o seu valor máximo quando θ =90º, isto é quando a força for perpendicular ao vector posição.)
O momento angular é uma grandeza equivalente ao momento linear do movimento de translação, num movimento de rotação. Ou seja, o momento angular de uma partícula, em relação a um ponto fixo 0, origem de um referencial inercial, é a grandeza física, de carácter vectorial, que se obtém através do produto vectorial entre o vector posição da partícula e o vector momento linear dessa partícula.
Numa partícula X de massa m e momento linear , o momento angular, em relação a um ponto fixo O, do referencial inercial OXY, é definido pelo produto vectorial (1)
pr o
Lr Lro =rr× pr
Fig.3 – Momento angular de uma partícula A e suas características.
Características do Momento angular ( ): Lr
Direcção: perpendicular ao plano definido por e ; rr pr Sentido: dado pela regra da mão direita;
Ponto de Aplicação: O r
Norma: Lo = rr . pr senθ
=( Ângulo formado pelos vectores posição e momento linear ) θ
Unidades SI: Kg m2 s-1
Fig.4 – Momento angular de uma partícula com movimento circular.
No exemplo apresentado, θ =90º ⇒ Lro = rr. pr
Se se tratar de um de um movimento circular e ao se calcular o momento angular em relação ao centro da trajectória, o vector posição coincide com o próprio raio, ou seja, é perpendicular a
, logo (2) rr
vr vr =ωr.r
ω 2 . . .mv L mr r Lro = ⇒ ro =
No movimento circular uniforme. r e ω são constantes, o que implica que r Lro seja constante. v
md
Lro = r sendo d =rsenθ
No caso da origem 0 do referencial inercial não pertencer ao plano da trajectória, o momento angular da partícula em movimento circular uniforme será:
ω
2
.r m Lrz =
(Esta componente do momento angular tem a direcção da velocidade angular.)
Momento Angular de um sistema de partículas
Para um sistema de n partículas, o momento angular em relação a um ponto fixo de referencial inercial é a soma dos momentos angulares das partículas:
⇔ = ⇔ + =
∑
= n i oi oSIST on o o oSIST L L L L L L 1 2 1 ... r r r r r r ωr r∑
= = n i i ir m L 1 2 0 ( ) (Kg.m /s) 2( Se ω igual para todas as partículas ) r Momento de Inércia
O momento de inércia, em relação a um eixo fixo, é uma grandeza física, escalar, que mede a inércia de rotação de um corpo, isto é a medida de oposição do corpo à variação da velocidade de rotação.
Relativamente ao eixo de rotação fixo, é por definição:
∑
= = n i i i r m I 1 2 (Kg m ) 2O momento de inércia depende de três factores: Da massa do sistema;
Do modo como se encontra distribuído a massa; Do eixo em torno do qual o sistema roda;
Fig.5 – Fórmulas dos momentos de inércia de alguns corpos rígidos de forma regular, em relação aos eixos fixos indicados.
A energia cinética de um corpo rígido em rotação em torno de um eixo fixo é dada em função do momento de inércia e do valor da velocidade angular através de:
2 2 1 . 2 1 . 2 1 . 2 1 2 2 2 2 2 ω ω ω I E r m E r m E v m E c x c c = ⇔ ⇔ = ⇔ ⇔ = ⇔ ⇔ = r v=ω.
Lei da Variação do Momento Angular Derivando Lro =rr×pr em ordem ao tempo, obtemos:
r M L F r L a mx r v m v L p r v m r L r r r r r r r r r r r r r r = ⇔ ⇔ × = ⇔ ⇔ × + × = ⇔ ⇔ × + × = ' ' ' ' ' ' F p a m p v m v m p v m pr'=( .r)'⇔ '= '.r+ .r'⇔ '= .r⇔ r'= r ' ) ( o o F L Mr r = r
O momento da força que actua sobre uma partícula, em relação a um ponto fixo 0, origem de um referencial inercial, é igual à taxa de variação temporal do seu momento angular, em relação a esse mesmo ponto.
Lei da Variação do Momento Angular de um sistema de partículas
O momento resultante das forças exteriores que actuam sobre um sistema de partículas, relativamente a um ponto fixo 0, tomado como origem de um referencial inercial, é igual à taxa de variação temporal do momento angular do sistema de partículas em relação a esse mesmo ponto.
' ) ( ext o o F L Mr r = r
∑
No caso de um corpo rígido homogéneo em rotação em torno de um eixo de simetria, tomado para eixo zz de um referencial inercial, o momento resultante das forças exteriores que actuam sobre o corpo rígido será:
' ) ( ext z z F L Mr r = r
∑
Lei de Newton do movimento de rotação
O momento resultante das forças exteriores que actuam num corpo rígido homogéneo, móvel em torno de um eixo de simetria fixo, é directamente proporcional à aceleração angular, sendo a constante de proporcionalidade o momento de inércia do corpo.
Considere-se um corpo rígido a mover-se em torno de um eixo fixo num referencial de inércia. Fazendo coincidir OZ com esse eixo, sabemos que:
r ωr I Lz =
Derivando, em ordem ao tempo, esta expressão, e atendendo a que o momento de inércia de um corpo rígido é constante, obtém-se:
' ' ωr r
I Lz =
O factor 'ωr ’ é a derivada, em ordem ao tempo, da velocidade angular escalar, ω , e designa-se
por aceleração angular escalar, a, isto é, ω . A unidade SI de aceleração angular é o rad/s r αr r =' 2. r αr I Lz'=
Aplicando esta expressão na Lei da Variação do Momento Angular, obtemos: αr r r I F Mz ext =
∑
( )Esta expressão traduz Lei de Newton do Movimento de Rotação. Aceleração Angular
A aceleração angular, α , é uma grandeza vectorial que mede a variação temporal da velo cidade angular; o seu valor será tanto maior quanto mais rápida for a variação da velocidade angular.
r
Características de αr
:
direcção: a mesma de ω ; r r
sentido: o mesmo de ω , se a velocidade angular aumentar em módulo ; oposto ao de , se a velocidade angular diminuir em módulo.
ωr
A direcção de ω é perpendicular ao plano da rotação; o sentido de ω é determinado pelo polegar da mão direita, quando se encurvam os dedos no sentido da rotação.
r r
Fig. 6 – Aceleração angular e suas características.
Lei da conservação do momento angular
Partindo da expressão do momento angular , pudemos concluir que o Momento Angular de uma partícula material só será constante se = 0. Para = 0, o Momento da força terá que ser obrigatoriamente nulo, ou seja . Por sua vez para o
o o F L Mr (r)= r' L'ro r M o L'r Fr o(Fr)=0r
0 ) (r r r = F Mo Fr
, e recordando um pouco as propriedades do produto escalar de dois vectores, e terão de ser colineares.
rr
Pegando então na Lei da variação do Momento Angular (
∑
), o sistema só será constante se = 0, ou seja se .Este resultado é conhecido como Lei da Conservação do Momento Angular.= = n i o ext o L F M 1 ' ) (r r r o L'r Mro(Frext)=0r
Se é nulo o momento resultante, em relação a um ponto fixo, de todas as forças exteriores aplicadas a um sistema, o momento angular total do sistema, em relação a esse ponto, será constante em módulo, direcção e sentido.
Então, se um corpo rodar em torno de um eixo fixo, num referencial inercial, se for nula a soma dos momentos das forças exteriores em relação a esse eixo, o momento angular do corpo, em relação ao eixo, será constante. Eis exemplos de situações em que os corpos em que o seu momento angular é nulo.
no caso do corpo rígido, como I é constate, também ω será constante.
no caso de um corpo deformáveis, em que o momento de inércia varie por haver alteração de posição relativa das suas partes, a um aumento do momento de inércia corresponde uma diminuição da velocidade angular e vice-versa, de tal modo que o momento angular Lrz se mantém. Então Lroi (sist) = Lrof (sist), ou seja, Ii.ωri = If.ωrf.
Fig.7 - Exemplo da conservação do momento angular: a bailarina e a patinadora.
Quando a bailarina está a rodar e quer aumentar a velocidade de rotação, fecha os braços. Assim, as várias porções do corpo
∑
ficam mais próximas do eixo de rotação.= n i i i r m 1 2) (
Quando quer diminuir a velocidade de rotação, abre os braços. Como é nulo o momento das forças que actuam sobre a bailarina, o momento angular mantém-se constante.
Deste modo, para que ω aumente, terá de diminuir, para que se mantenha constante. r
∑
= n i i ir m 1 2) ( LroMaterial utilizado
Para a realização da experiência utilizámos o seguinte material:Parte I : Fita cola;
Dinamómetro ( valor máximo = 5N de 0,2 em 0,2 N); Cronómetro;
Caneta
Discos de madeira;
Dispositivo experimental assinalado na figura 8 ( Disco I ) figura 9 ( disco I+II );
Fig.9 – Sistema constituído pelos dois discos de madeira
Fig.8 – Disco de madeira utilizado
para a realização da parte I da actividade experimental.
Parte II:
Fita cola;
Dinamómetro ( valor máximo = 5N de 0,2 em 0,2 N); Cronómetro;
Caneta
Discos de madeira;
Dispositivo experimental assinalado na figura 10
Fig.10 – Sistema constituído pelos dois discos, em que o disco II era deixado cair sobre o disco I.
Procedimentos
Eis os procedimentos necessários para a realização da experiência:
Parte I:
1. Montar o dispositivo experimental semelhante ao da figura 8; 2. Calibrar o dinamómetro;
3. Colocar na superfície lateral do disco 1 fita - cola, percorrendo o perímetro do disco, e na extremidade fixar o dinamómetro;
4. Posicionar uma caneta na vertical, na base do dispositivo montado, que irá servir de sinal sonoro aquando do embate de uma pequena fita colada no disco com a caneta. Se possível desenhar ainda uma linha que una o centro do disco à periferia , servindo de contador visual;
5. Pegar na extremidade livre da fita – cola e enrolá-la no disco I, ficando a extremidade que contém o dinamómetro na horizontal em relação ao disco;
6. Puxar, com um força constante medida pelo dinamómetro de 2 N, a fita cola, que fará rodar o disco. Proceder à contagem do tempo que a força foi aplicada;
7. Proceder à contagem do tempo necessário para o disco I dar 10 voltas; 8. Repetir os procedimentos 5. 6. 7.mais 4 vezes;
9. Registar os resultados recolhidos num quadro;
10. Determinar a norma da velocidade angular do disco I para os 5 ensaios; 11. Registar os resultados obtidos em 10. num quadro;
12. Determinar a norma da aceleração angular para os 5 ensaios; 13. Registar os resultados obtidos em 12. num quadro;
14. Calcular o momento de Inércia do disco I para os 5 ensaios; 15. Calcular o valor médio do momento de Inércia do disco I; 16. Registar os resultados obtidos em 14. e 15. num quadro;
17. Determinar os desvios absolutos e o desvio médio relativamente ao valor médio do momento de inércia do disco I e apresentar a incerteza absoluta e a incerteza relativa; 18. Montar o dispositivo experimental semelhante ao da figura 9;
19. Repetir os procedimentos 2. 3. 4. 5.;
20. Puxar, com um força constante medida pelo dinamómetro de 2 N, a fita cola, que fará rodar os discos. Proceder à contagem do tempo que a força foi aplicada;
21. Proceder à contagem do tempo necessário para os dois discos a darem 10 voltas; 22. Repetir os procedimentos 19. 20. e 21. mais 4 vezes;
23. Registar os resultados obtidos em 24. e 25. num quadro;
24. Determinar a norma da velocidade angular do sistema disco I + disco II para os 5 ensaios;
25. Registar os resultados obtidos em 24. num quadro;
26. Determinar a norma da aceleração angular do sistema constituído pelos dois discos ( I e II ) para os 5 ensaios ;
27. Registar os resultados obtidos em 26. num quadro;
28. Calcular o momento de Inércia do sistema constituído pelos dois discos ( I e II ) para os 5 ensaios;
29. Calcular o valor médio do momento de Inércia do sistema constituído pelos dois discos ( I e II );
30. Registar os resultados obtidos em 28. e 29. num quadro;
31. Determinar os desvios absolutos e o desvio médio relativamente ao valor médio do momento de inércia do sistema e apresentar a incerteza absoluta e a incerteza relativa;
Parte II:
1. Montar o dispositivo experimental semelhante ao da figura 10; 2. Repetir os procedimentos 3. 4. 5. da parte I da experiência; 3. Puxar o disco I com uma força de 4 N;
4. Medir o tempo que o disco I demora a dar 5 voltas;
5. Após o disco I dar as 5 voltas deixar cair o disco II e medir o tempo que este demora a dar 10 voltas;
6. Repetir os procedimentos 2. 3. 4. 5. mais 4 vezes; 7. Registar os resultados recolhidos num quadro;
8. Determinar a norma da velocidade angular do disco I para os 5 ensaios;
9. Determinar a norma da velocidade angular do disco I + disco II para os 5 ensaios; 10. Registar os resultados obtidos em 8 9.. num quadro;
11. Determinar a norma dos momentos angulares do disco I ( ) para as 5 medições; Lri 12. Calcular o valor médio do momento angular;
13. Registar os resultados obtidos em 1. e 2. num quadro;
14. Determinar os desvios absolutos e o desvio médio relativamente ao valor médio do momento angular do disco I e apresentar a incerteza absoluta e a incerteza relativa;
r
15. Determinar a norma dos momentos angulares do sistema (Lf) para as 5 medições; 16. Calcular o valor médio do momento angular;
17. Registar os resultados obtidos em 4. e 5. num quadro;
18. Determinar os desvios absolutos e o desvio médio relativamente ao valor médio do momento angular do disco I e apresentar a incerteza absoluta e a incerteza relativa; 19. Verificar a lei da conservação do Momento Angular;
Registo de medições
Diâmetro dos discos : 25,4 cm = 0,254 mRaio dos disco : 12,7 cm = 0,127m
Parte I:
F = 2 N
Tempo em que a força Frfoi actuada no disco I
( s )
Tempo que demorou o disco I a rodar 10 voltas ( T2 ) ( s ) 1º ensaio 1,84 11,59 2º ensaio 2,03 13,02 3º ensaio 1,94 13,05 4º ensaio 2,00 13,20 5º ensaio 1,84 12,50
Quadro 1 – Medição do tempo que a força actuou no disco I e do tempo que demorou o
disco I a dar 10 voltas. F
r
F = 2 N
Tempo em que a força foi Fr actuada no sistema formado pelo disco I + disco II ( s )
Tempo que demorou o conjunto a rodar 10 voltas ( s ) 1º ensaio 1,64 13,34 2º ensaio 2,12 17,00 3º ensaio 2,22 17,16 4º ensaio 2,21 17,64 5º ensaio 1,83 13,35
Quadro 2 – Medição do tempo que a força actuou no sistema formado pelo disco I + disco II e do tempo que demorou o conjunto a dar 10 voltas. F
r
F = 4 N
Tempo que demorou o disco I a dar 5 voltas
( s )
Tempo que demorou o disco II a rodar 10 voltas após ter sido deixado cair
sobre o disco I ( s ) 1º ensaio 3,98 10,28 2º ensaio 4,38 10,18 3º ensaio 3,76 9,47 4º ensaio 4,24 10,78 5º ensaio 5,10 11,53
Quadro 3 – Medição do tempo que demorou o disco I a dar 5 voltas e do tempo que demorou o disco II a dar 10 voltas depois de ter sido deixado cair sobre o disco I.
Cálculos
Parte I:
Determinar o período de rotação do disco I : 1º ensaio: 11,59 s – 10 voltas Τ= ⇔Τ 10 59 , 11 = 1,159s Τ - 1 volta 2º ensaio: 13,02 s – 10 voltas Τ= ⇔Τ 10 02 , 13 = 1,302 s Τ - 1 volta 3º ensaio: 13,05 s – 10 voltas Τ= ⇔Τ 10 05 , 13 = 1,305 s Τ - 1 volta 4º ensaio: 13,20 s – 10 voltas Τ= ⇔Τ 10 20 , 13 = 1,320 s Τ - 1 volta 5º ensaio: 11,40 s – 10 voltas Τ= ⇔Τ 10 40 , 11 = 1,140 s Τ - 1 volta
10. Determinar o módulo da velocidade angular para os 5 ensaios, com que o disco I fica : 1º ensaio: = ⇔ = ⇔ Τ = ⇔ Τ = ⇔ Τ = w w w w wr r r r r 159 , 1 2 2π π θ θ 5,42 rad/s 2º ensaio: = ⇔ = ⇔ Τ = ⇔ Τ = ⇔ Τ = w w w w wr r r r r 302 , 1 2 2π π θ θ 4,82 rad/s 3º ensaio:
= ⇔ = ⇔ Τ = ⇔ Τ = ⇔ Τ = w w w w wr r r r r 305 , 1 2 2π π θ θ 4,81 rad/s 4º ensaio: = ⇔ = ⇔ Τ = ⇔ Τ = ⇔ Τ = w w w w wr r r r r 320 , 1 2 2π π θ θ 4,76 rad/s 5º ensaio: = ⇔ = ⇔ Τ = ⇔ Τ = ⇔ Τ = w w w w wr r r r r 250 , 1 2 2π π θ θ 5,03 rad/s wr ( rad/s ) 1º ensaio 5,42 2º ensaio 4,82 3º ensaio 4,81 4º ensaio 4,76 5º ensaio 5,03
12. Determinar a norma da aceleração angular do disco I para os 5 ensaios :
t w t w t w w t r r w r w t a r w r w a v v t r r r r r r r r r r r r r r r r = + ⇔ = + ⇔ = +α ⇔ = +α ⇔α = ⇔ α = 0 0 0 0 . . . . r a r a r a r r a r r v r v r v w r v w ' '. . ' t. t t . t . 2 2 α α α α αr r r r r r r r r r r r r r ⇔ = − ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = = ⇔ = 1º ensaio: = ⇔ = ⇔ = α α αr r r r 84 , 1 42 , 5 t w 2,95 rad/s2 2º ensaio: = ⇔ = ⇔ = α α αr r r r 03 , 2 82 , 4 t w 2,37 rad/s2 3º ensaio: = ⇔ = ⇔ = α α αr r r r 94 , 1 81 , 4 t w 2,48 rad/s2
4º ensaio: = ⇔ = ⇔ = α α αr r r r 00 , 2 76 , 4 t w 2,38 rad/s2 5º ensaio: = ⇔ = ⇔ = α α αr r r r 84 , 1 03 , 5 t w 2,73 rad/s2 αr ( rad/s2 ) 1º ensaio 2,95 2º ensaio 2,37 3º ensaio 2,48 4º ensaio 2,38 5º ensaio 2,73
14. Calcular o momento de Inércia do disco I para os 5 ensaios :
( )
F rxF M( )
F r F Mro r = r ⇔ ro r = . r( )
r r r( )
r αr r( )
r αr r . . ' ⇔ =Ι ⇔ =Ι =L M F M F F Mo o o o αr r . .F =Ι r 1º ensaio: = Ι ⇔ = Ι ⇔ Ι = ⇔ Ι = 95 , 2 254 , 0 95 , 2 . 2 . 127 , 0 . .Fr αr r 0,086 Kg m2 2º ensaio: = Ι ⇔ = Ι ⇔ Ι = ⇔ Ι = 37 , 2 254 , 0 37 , 2 . 2 . 127 , 0 . .Fr αr r 0,107 Kg m2 3º ensaio: = Ι ⇔ = Ι ⇔ Ι = ⇔ Ι = 48 , 2 254 , 0 48 , 2 . 2 . 127 , 0 . .Fr αr r 0,102 Kg m2 4º ensaio: = Ι ⇔ = Ι ⇔ Ι = ⇔ Ι = 38 , 2 254 , 0 38 , 2 . 2 . 127 , 0 . .Fr αr r 0,107 Kg m25º ensaio: = Ι ⇔ = Ι ⇔ Ι = ⇔ Ι = 73 , 2 254 , 0 73 , 2 . 2 . 127 , 0 . .Fr αr r 0,093 Kg m2
15.Cálcular o valor médio do momento de Inércia do disco I: = Ι ⇔ + + + + = Ι 5 086 , 0 107 , 0 102 , 0 107 , 0 093 , 0 0,099 Kg m2 Ι ( Kg m2 ) Ι ( Kg m2 ) 1º ensaio 5,42 2º ensaio 4,82 3º ensaio 4,81 0,099 4º ensaio 4,76 5º ensaio 5,03
17.Determinar os desvios absolutos e o desvio médio relativamente ao valor médio do momento de inércia do disco I e apresentar a incerteza absoluta e a incerteza relativa;
Desvios absolutos 1º Ensaio: 013 , 0 099 , 0 086 , 0 − = ⇔ =− ⇔ ± = Ι − Ι δa δaa δa 2º Ensaio: 008 , 0 099 , 0 107 , 0 − = ⇔ = ⇔ ± = Ι − Ι δa δaa δa 3º Ensaio: 003 , 0 099 , 0 102 , 0 − = ⇔ = ⇔ ± = Ι − Ι δa δaa δa 4º Ensaio: 008 , 0 099 , 0 107 , 0 − = ⇔ = ⇔ ± = Ι − Ι δa δaa δa 5º Ensaio: 006 , 0 099 , 0 093 , 0 − = ⇔ =− ⇔ ± = Ι − Ι δa δaa δa Desvio Médio
0076 , 0 5 006 , 0 008 , 0 003 , 0 008 , 0 013 , 0 5 5 4 3 2 1 = ⇔ ⇔ + + + + = ⇔ + + + + = δ δ δ δ δ δ δ δ a a a a a INCERTEZA ABSOLUTA (δ ) = 0,013 a INCERTEZA RELATIVA (δr
)
% 13 , 13 100 099 , 0 013 , 0 100⇔ = ⇔ = Ι = a r r r x δ x δ δ δDeterminação do período de rotação sistema disco I + disco II para os 5 ensaios : 1º ensaio: 13,34 s – 10 voltas Τ= ⇔Τ 10 34 , 13 = 1,334s Τ - 1 volta 2º ensaio: 17,00 s – 10 voltas Τ= ⇔Τ 10 00 , 17 = 1,700 s Τ - 1 volta 3º ensaio: 17,16 s – 10 voltas Τ= ⇔Τ 10 16 , 17 = 1,716 s Τ - 1 volta 4º ensaio: 17,64 s – 10 voltas Τ= ⇔Τ 10 64 , 17 = 1,764 s Τ - 1 volta 5º ensaio: 13,35 s – 10 voltas Τ= ⇔Τ 10 35 , 13 = 1,335 s Τ - 1 volta
1º ensaio: = ⇔ = ⇔ Τ = ⇔ Τ = ⇔ Τ = w w w w wr r r r r 334 , 1 2 2π π θ θ 4,71 rad/s 2º ensaio: = ⇔ = ⇔ Τ = ⇔ Τ = ⇔ Τ = w w w w wr r r r r 700 , 1 2 2π π θ θ 3,70 rad/s 3º ensaio: = ⇔ = ⇔ Τ = ⇔ Τ = ⇔ Τ = w w w w wr r r r r 716 , 1 2 2π π θ θ 3,66 rad/s 4º ensaio: = ⇔ = ⇔ Τ = ⇔ Τ = ⇔ Τ = w w w w wr r r r r 764 , 1 2 2π π θ θ 3,56 rad/s 5º ensaio: = ⇔ = ⇔ Τ = ⇔ Τ = ⇔ Τ = w w w w wr r r r r 335 , 1 2 2π π θ θ 4,71 rad/s wr ( rad/s ) 1º ensaio 4,71 2º ensaio 3.70 3º ensaio 3,66 4º ensaio 3,56 5º ensaio 4,71
26. Determinação da norma da aceleração angular do sistema disco I + disco II para os 5 ensaios : t w t w t w w t r r w r w t a r w r w a v v t r r r r r r r r r r r r r r r r = + ⇔ = + ⇔ = +α ⇔ = +α ⇔α = ⇔ α = 0 0 0 0 . . . . r a r a r a r r a r r v r v r v w r v w ' '. . ' t. t t . t . 2 2 α α α α αr r r r r r r r r r r r r r ⇔ = − ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = = ⇔ = 1º ensaio:
= ⇔ = ⇔ = α α αr r r r 64 , 1 71 , 4 t w 2,87 rad/s2 2º ensaio: = ⇔ = ⇔ = α α αr r r r 12 , 2 70 , 3 t w 1,75 rad/s2 3º ensaio: = ⇔ = ⇔ = α α αr r r r 22 , 2 66 , 3 t w 1,65 rad/s2 4º ensaio: = ⇔ = ⇔ = α α αr r r r 21 , 2 56 , 3 t w 1,61 rad/s2 5º ensaio: = ⇔ = ⇔ = α α αr r r r 83 , 1 71 , 4 t w 2,57 rad/s2 αr ( rad/s2 ) 1º ensaio 2,87 2º ensaio 1,75 3º ensaio 1,65 4º ensaio 1,61 5º ensaio 2,57
28. Calcular o momento de Inércia do sistema disco I + disco II para os 5 ensaios :
( )
F rxF M( )
F r F Mro r = r ⇔ ro r = . r( )
r r r( )
r αr r( )
r αr r . . ' ⇔ =Ι ⇔ =Ι =L M F M F F Mo o o o αr r . .F =Ι r 1º ensaio: = Ι ⇔ = Ι ⇔ Ι = ⇔ Ι = 87 , 2 254 , 0 87 , 2 . 2 . 127 , 0 . .Fr αr r 0,088 Kg m2 2º ensaio:= Ι ⇔ = Ι ⇔ Ι = ⇔ Ι = 75 , 1 254 , 0 75 , 1 . 2 . 127 , 0 . .Fr αr r 0,145 Kg m2 Ι ( Kg m2 ) Ι ( Kg m2 ) 1º ensaio 0,088 2º ensaio 0,145 3º ensaio 0,154 0,129 4º ensaio 0,158 5º ensaio 0,099 3º ensaio: = Ι ⇔ = Ι ⇔ Ι = ⇔ Ι = 65 , 1 254 , 0 65 , 1 . 2 . 127 , 0 . .Fr αr r 0,154 Kg m2 4º ensaio: = Ι ⇔ = Ι ⇔ Ι = ⇔ Ι = 61 , 1 254 , 0 61 , 1 . 2 . 127 , 0 . .Fr αr r 0,158 Kg m2 5º ensaio: = Ι ⇔ = Ι ⇔ Ι = ⇔ Ι = 57 , 2 254 , 0 57 , 2 . 2 . 127 , 0 . .Fr αr r 0,099 Kg m2
29.Cálcular o valor médio do momento de Inércia do sistema disco I + disco II: = Ι ⇔ + + + + = Ι 5 088 , 0 145 , 0 154 , 0 158 , 0 099 , 0 0.129 Kg m2
31.Determinar os desvios absolutos e o desvio médio relativamente ao valor médio do momento de inércia do sistema disco I + disco II e apresentar a incerteza absoluta e a incerteza relativa; Desvios absolutos 1º Ensaio: 041 , 0 129 , 0 088 , 0 − = ⇔ =− ⇔ ± = Ι − Ι δa δaa δa 2º Ensaio: 016 , 0 129 , 0 145 , 0 − = ⇔ = ⇔ ± = Ι − Ι δa δaa δa 3º Ensaio:
025 , 0 129 , 0 154 , 0 − = ⇔ = ⇔ ± = Ι − Ι δa δaa δa 4º Ensaio: 019 , 0 129 , 0 158 , 0 − = ⇔ = ⇔ ± = Ι − Ι δa δaa δa 5º Ensaio: 030 , 0 129 , 0 099 , 0 − = ⇔ =− ⇔ ± = Ι − Ι δa δaa δa Desvio Médio 026 , 0 5 041 , 0 016 , 0 025 , 0 019 , 0 030 , 0 5 5 4 3 2 1 = ⇔ ⇔ + + + + = ⇔ + + + + = δ δ δ δ δ δ δ δ a a a a a INCERTEZA ABSOLUTA (δ ) = 0,041 a INCERTEZA RELATIVA (δr
)
% 8 , 31 100 129 , 0 041 , 0 100⇔ = ⇔ = Ι = a r r r x δ x δ δ δ Parte II:Determinação do período de rotação do disco I durante as 5 voltas que dá para os 5 ensaios : 1º ensaio: 3,98 s – 5 voltas Τ= ⇔Τ 5 98 , 3 = 0,796 s Τ - 1 volta 2º ensaio: 4,38 s – 5 voltas Τ= ⇔Τ 5 38 , 4 = 0,876 s Τ - 1 volta 3º ensaio: 3,76 s – 5 voltas Τ= ⇔Τ 5 76 , 3 = 0,752 s Τ - 1 volta
4º ensaio: 4,24 s – 5 voltas Τ= ⇔Τ 5 24 , 4 = 0,848 s Τ - 1 volta 5º ensaio: 5,10 s – 5 voltas Τ= ⇔Τ 5 10 , 5 = 1,020 s Τ - 1 volta
8. Determinar a norma da velocidade angular do disco I quando dá as 5 voltas para os 5 ensaios: 1º ensaio: = ⇔ = ⇔ Τ = ⇔ Τ = ⇔ Τ = w w w w wr r r r r 796 , 0 2 2π π θ θ 7,89 rad/s 2º ensaio: = ⇔ = ⇔ Τ = ⇔ Τ = ⇔ Τ = w w w w wr r r r r 876 , 0 2 2π π θ θ 7,15 rad/s 3º ensaio: = ⇔ = ⇔ Τ = ⇔ Τ = ⇔ Τ = w w w w wr r r r r 752 , 0 2 2π π θ θ 8,36 rad/s 4º ensaio: = ⇔ = ⇔ Τ = ⇔ Τ = ⇔ Τ = w w w w wr r r r r 848 , 0 2 2π π θ θ 7,41 rad/s 5º ensaio: = ⇔ = ⇔ Τ = ⇔ Τ = ⇔ Τ = w w w w wr r r r r 020 , 1 2 2π π θ θ 6,16 rad/s wr ( rad/s ) 1º ensaio 7,89 2º ensaio 7,15 3º ensaio 8,36 4º ensaio 7,41
5º ensaio 6,16
1.Determinar a norma do momento angular do disco I iLr :
r ωr r ωr . . Li I I i L = ⇔ = 1º ensaio: = = ⇔ = ⇔ = I. 1 Li I. 1 Li 0,099x7,89 i Lr ωr r ωr r 0,781 Kg m2/s 2º ensaio: r = = ⇔ = ⇔ = I. 2 Li I. 2 Li 0,099x7,15 i L ωr r ωr r 0,708 Kg m2/s 3º ensaio: r = = ⇔ = ⇔ = I. 3 Li I. 3 Li 0,099x8,36 i L ωr r ωr r 0,828 Kg m2/s 4º ensaio: r = = ⇔ = ⇔ = I. 4 Li I. 4 Li 0,099x7,41 i L ωr r ωr r 0,736 Kg m2/s 5º ensaio: r = = ⇔ = ⇔ = I. 5 Li I. 5 Li 0,099x6,16 i L ωr r ωr r 0,610 Kg m2/s
2.Calcular o valor médio do momento angular:
734 , 0 5 610 , 0 736 , 0 828 , 0 708 , 0 781 , 0 = ⇔ + + + + = Li i L i Lr ( Kg m2 /s) Li( Kg m2 /s) 1º ensaio 0,781 2º ensaio 0,708 3º ensaio 0,828 0,734 4º ensaio 0,736 5º ensaio 0,610
4. Determinar os desvios absolutos e o desvio médio relativamente ao valor médio do momento angular do disco I e apresentar a incerteza absoluta e a incerteza relativa;
1º Ensaio: 047 , 0 734 , 0 781 , 0 − = ⇔ = ⇔ ± − o a a a o L a L δ δ δ 2º Ensaio: 026 , 0 734 , 0 708 , 0 − = ⇔ =− ⇔ ± = − o a a a o L a L δ δ δ 3º Ensaio: 094 , 0 734 , 0 828 , 0 − = ⇔ = ⇔ ± = − o a a a o L a L δ δ δ 4º Ensaio: 002 , 0 734 , 0 736 , 0 − = ⇔ = ⇔ ± = − o a a a o L a L δ δ δ 5º Ensaio: 124 , 0 734 , 0 610 , 0 − = ⇔ =− ⇔ ± = − o a a a o L a L δ δ δ Desvio Médio 059 , 0 5 124 , 0 002 , 0 094 , 0 026 , 0 047 , 0 5 5 4 3 2 1+ + + + ⇔ = + + + + ⇔ = =δ δ δ δ δ δ δ δ a a a a a INCERTEZA ABSOLUTA (δ ) = 0,094 a INCERTEZA RELATIVA (δr
)
% 81 , 12 100 734 , 0 094 , 0 100⇔ = ⇔ = = r r o a r L i x δ x δ δ δDeterminação do período de rotação do disco I durante as 5 voltas que dá para os 5 ensaios : 1º ensaio: 10,28 s – 10 voltas Τ= ⇔Τ 10 28 , 10 = 1,028 s Τ - 1 volta
2º ensaio: 10,18 s – 10 voltas Τ= ⇔Τ 10 18 , 10 = 1,018 s Τ - 1 volta 3º ensaio: 9,47 s – 10 voltas Τ= ⇔Τ 10 47 , 9 = 0,947 s Τ - 1 volta 4º ensaio: 10,78 s – 10 voltas Τ= ⇔Τ 10 78 , 10 = 1,078 s Τ - 1 volta 5º ensaio: 11,53 s – 10 voltas Τ= ⇔Τ 10 53 , 11 = 1,153 s Τ - 1 volta
9. Determinar a norma da velocidade angular do disco I+II ,após o disco II ter sido deixado cair sobre o disco I, quando dá as 10 voltas para os 5 ensaios:
1º ensaio: = ⇔ = ⇔ Τ = ⇔ Τ = ⇔ Τ = w w w w wr r r r r 028 , 1 2 2π π θ θ 6,11 rad/s 2º ensaio: = ⇔ = ⇔ Τ = ⇔ Τ = ⇔ Τ = w w w w wr r r r r 018 , 1 2 2π π θ θ 6,17 rad/s 3º ensaio: = ⇔ = ⇔ Τ = ⇔ Τ = ⇔ Τ = w w w w wr r r r r 947 , 0 2 2π π θ θ 6,63 rad/s 4º ensaio: = ⇔ = ⇔ Τ = ⇔ Τ = ⇔ Τ = w w w w wr r r r r 078 , 1 2 2π π θ θ 5,83 rad/s 5º ensaio:
= ⇔ = ⇔ Τ = ⇔ Τ = ⇔ Τ = w w w w wr r r r r 153 , 1 2 2π π θ θ 5,45 rad/s wr ( rad/s ) 1º ensaio 6,11 2º ensaio 6,17 3º ensaio 6,63 4º ensaio 5,83 5º ensaio 5,45
5.Determinar a norma do momento angular do sistema Lrf : r ω ωr r . r . L I I Lf = ⇔ f = 1º ensaio: = = ⇔ = ⇔ = I. 1 L I. 1 L 0,129x6,11 Lrf ωr rf ωr rf 0,788 Kg m2/s 2º ensaio: r = = ⇔ = ⇔ = I. 2 L I. 2 L 0,129x6,17 Lf ωr rf ωr rf 0,796 Kg m2/s 3º ensaio: = = ⇔ = ⇔ = I. 3 L I. 3 L 0,129x6,63 Lrf ωr rf ωr rf 0,855 Kg m2/s 4º ensaio: r = = ⇔ = ⇔ = I. 4 L I. 4 L 0,129x5,83 Lf ωr rf ωr rf 0,752 Kg m2/s 5º ensaio: r = = ⇔ = ⇔ = I. 5 L I. 5 L 0,129x5,45 Lf ωr rf ωr rf 0,703 Kg m2/s
6.Calcular o valor médio do momento angular:
779 , 0 5 703 , 0 752 , 0 855 , 0 796 , 0 788 , 0 = ⇔ + + + + = Lf Lf
f Lr ( Kg m2 /s) Lf ( Kg m2 /s) 1º ensaio 0,788 2º ensaio 0,796 3º ensaio 0,855 0,779 4º ensaio 0,752 5º ensaio 0,703
8. Determinar os desvios absolutos e o desvio médio relativamente ao valor médio do momento angular do sistema e apresentar a incerteza absoluta e a incerteza relativa;
Desvios absolutos 1º Ensaio: 009 , 0 779 , 0 788 , 0 − = ⇔ = ⇔ ± = − o a a a o L a L δ δ δ 2º Ensaio: 017 , 0 779 , 0 796 , 0 − = ⇔ = ⇔ ± = − o a a a o L a L δ δ δ 3º Ensaio: 076 , 0 779 , 0 855 , 0 − = ⇔ = ⇔ ± = − o a a a o L a L δ δ δ 4º Ensaio: 027 , 0 779 , 0 752 , 0 − = ⇔ =− ⇔ ± = − o a a a o L a L δ δ δ 5º Ensaio: 076 , 0 779 , 0 703 , 0 − = ⇔ =− ⇔ ± = − o a a a o L a L δ δ δ Desvio Médio 041 , 0 5 076 , 0 027 , 0 076 , 0 017 , 0 009 , 0 5 5 4 3 2 1+ + + + ⇔ = + + + + ⇔ = =δ δ δ δ δ δ δ δ a a a a a INCERTEZA ABSOLUTA (δ ) = 0,076 a INCERTEZA RELATIVA (δr
)
% 96 , 8 100 799 , 0 076 , 0 100⇔ = ⇔ = = r r of a r x x L δ δ δ δ9.Verificar a lei da conservação do Momento Angular: r 799 , 0 734 , 0 = = of oi L L r
Conclusões
Parte I:
Durante os cálculos das normas da velocidade angular (ωr ), observámos que as normas da velocidade angular do conjunto formado pelo disco I + disco II era superior à velocidade angular do disco I. Apesar de ambos os sistemas serem actuados por uma força de igual intensidade ( r ), como o sistema formado pelos dois discos tem uma maior massa, maior será o tempo de necessário em relação ao disco I, para dar as 10 voltas. Tendo maior período, obviamente levará a que o sistema composto pelos dois discos tenha uma maior velocidade angular.
F
Este pequeno facto leva-nos já a poder especular acerca da do Momento da Inércia ( ) dos dois sistemas. Ora sendo o momento da Inércia a grandeza física que mede a inércia de rotação de um corpo, isto é a medida de oposição do corpo à variação da velocidade de rotação, tais resultados obtidos levam-nos a prever que o sistema formado pelos dois discos tenha uma maior Momento de Inércia, pois para a mesma força r, foi aquele que levou mais tempo a concluir as 10 voltas, logo foi aquele que apresentou a maior oposição à variação da velocidade de rotação.
o Lr
F
Já em relação às acelerações angulares (α ) verifica-se o contrário. O sistema formado unicamente pelo disco I apresenta uma maior aceleração angular que o sistema formado pelos dois discos. Este facto vem no seguimento do que foi dito no parágrafo anterior. Ora se o sistema disco I + disco II demora mais tempo a concluir as 10 voltas, pois tem um maior Momento de Inércia, é pois natural que a aceleração deste sistema seja menor em relação ao sistema formado unicamente pelo disco I, que apresenta um Momento de Inércia inferior, ou seja com uma menor oposição ao movimento de rotação.
r
A “ prova dos 9 “ do que aqui foi dito foi possível ser retirado com o cálculo do momento de inércia dos dois sistemas. O sistema formado pelo disco I apresenta um Momento de Inércia igual a 0,099, enquanto o sistema formado pelos dois discos apresenta um Momento de inércia maior, de valor igual a 0,129, como fora previamente previsto por nós.
Pensando de outra forma e sabendo que , é de esperar que o sistema formado pelos dois discos tenha um maior Momento de Inércia do que o outro sistema, devido ao facto de este sistema ter uma maior massa que o sistema formado pelo disco I. Ora, sendo o raio dos discos iguais e tende o sistema dos dois discos maior massa que o outro, é de esperar que o sistema dos dois disco tenha maior Momento de Inércia.
∑
= = n i i ir m I 1 2 Parte II:Após termos calculado o momento angular inicial, durante o tempo em que o disco I deu 5 voltas e o momento angular final, durante o tempo em que o disco II deu 10 voltas após o disco II ter sido deixado cair sobre o disco I, pudemos observar e concluir que os resultados eram bastantes semelhante. Aplicando a Lei da Conservação do Momento Angular que nos diz que o momento resultante das forças exteriores que actuam sobre um sistema de partículas, é igual à taxa
de variação temporal do momento angular do sistema de partículas ( ) e sabendo que é igual a zero, então é de esperar que neste caso
' ) ( ext o o F L Mr r = r
∑
∑
Mro(Frext) Lroi = Lrof . Decerta forma foi o que aconteceu, havendo apenas uma pequena discrepância nos resultados obtidos.
Quando se obtém um valor através de uma medição, esse valor, normalmente, não corresponde exactamente ao valor verdadeiro, ou seja, contém erros. Esses erros podem ser de dois tipos: sistemáticos e acidentais. Erros sistemáticos são aqueles em que as causas são permanentes, verificam-se sempre no mesmo sentido e podem ser detectados e/ou corrigidos. Alguns exemplos das causas são a deficiência do método utilizado, má calibração dos instrumentos, etc. Erros acidentais, em que as causas são imprevisíveis, verificam-se em ambos os sentidos e não podem ser eliminados, só atenuados. Alguns exemplos das causas são estremecimento das mesas de trabalho, má colocação do observador em relação á escala de leitura.
Ora esta experiência foi rica em erros sistemáticos e acidentais. Nos erros sistemáticos destacamos o facto de haver sempre erros associados aos cronómetro, que foram sempre influenciando os tempos medidos. Associado aos erros desta experiência é de referir também o facto do disco nem sempre executar um movimento circular na perfeição, oscilando por vezes, o facto também de nem sempre a Força aplicada ser sempre constante nem exactamente da mesma intensidade, o facto de nem sempre o dinamómetro se encontrar perpendicular ao disco, fazendo com que a força aplicado ao disco fosse menor e sobretudo o facto de nem sempre a contagem, tanto a visual como a auditiva, foi precisa, pecando no facto de que foram inúmeras as vezes que o tempo cronometrado não correspondeu exactamente as 10 ou 5 voltas.
Quando medimos, uma das maneiras de sermos mais exactos e atenuarmos os erros é fazer não uma, mas várias medições, para achar o valor mais provável. Para nos tornamos mais rigorosos fomos determinar a incerteza absoluta e relativa dos resultados, referentes ao Momento de Inércia de todos os sistemas e dos Momentos Angulares. O Momento de Inércia do sistema formado pelos dois discos, apresenta uma incerteza relativa um pouco anormal ( 31,8 % ). Segundo nós pensamos tal facto ocorreu devido ao facto de nós da determinação do momento de Inércia do disco I para este Momento de Inércia, termos mudado a fita-cola. Tendo esta nova fita cola um maior poder de colagem, fazendo com que os valores obtidos nem sempre correspondência à realidade.
Bibliografia
Para a realização deste relatório, consultamos os seguintes livros :
Sá, Maria Teresa Marques de, 2001, Física – 12º Ano, Texto Editora, 1.ª edição, Lisboa, Portugal – páginas 65 a 86
Lourenço, M.ª da Graça Varandas,2000, Física 12º Ano, Areal Editores, 1ª edição 4ª tiragem, Porto, Portugal - páginas 158 a 164
http://form.cce.ms/physica.htm
