Gráfico de Controle de Regressão Aplicado ao Monitoramento de Características
da Qualidade do Eletrodo de Carbono
Marcello Neiva de Mello, neivamarcello@gmail.com
Wagner Rogério Ferreira Pinheiro, wagner2235@gmail.com
Edson Marcos Leal Soares Ramos, edson@ufpa.br
Adrilayne dos Reis Araújo, adrilayne@ufpa.br
Silvia dos Santos de Almeida, salmeida@ufpa.br
Resumo. O gráfico de controle de regressão clássica é uma ferramenta do controle estatístico da
qualidade, útil no monitoramento processos em que existe a atuação conjunta de variáveis correlacionadas. Desta forma, o objetivo da utilização desta ferramenta estatística é monitorar comportamento das características da qualidade que apresentem relação estatística. Assim, a partir da utilização do gráfico de controle de regressão clássica para monitorar o processo de obtenção de alumínio, mais especificamente aplicado no monitoramento de duas das características da qualidade de eletrodos de carbono, a resistividade elétrica (ohm) e resistência a flexão (mpa), pôde-se verificar que todos os pontos amostrais da relação conjunta das duas características da qualidade encontravam-se entre os limites de controle, isto é, o processo de produção de eletrodos de carbono está sob controle estatístico. Além disso, destaca-se o fato de que para a construção dos gráficos de controle de regressão foi necessário o desenvolvimento do modelo de regressão para a resistividade elétrica (Y), em função da resistência a flexão (X). Assim, além do modelo desenvolvido servir para se determinar a linha central e os limites de controle (inferior e superior) do gráfico de controle de regressão clássica, pode ser utilizado para prever valores de resistividade elétrica em função resistência a flexão.
Palavras-chave: Gráfico de Controle de Regressão Clássica, Eletrodo de Carbono, Previsão.
Introdução
Os processos industriais são conhecidos como componentes chave do terceiro setor produtivo, em geral envolvem passos químicos ou mecânicos que fazem parte da manufatura de um ou vários itens, usualmente em grande escala. Para monitorar um processo industrial se faz necessário um ferramental teórico, resistente e capaz de identificar possíveis falhas no decorrer deste processo. Para tanto, o Controle Estatístico da Qualidade possui uma grande variedade de ferramentas para a resolução de problemas úteis na obtenção da estabilidade do processo e na melhoria da capacidade produtiva dos mesmos, a partir da redução da variabilidade. Existem várias citações na literatura para definir o que é qualidade, todas caminham basicamente na mesma direção, dentre algumas delas pode-se destacar que a qualidade segundo Montgomery (2001), num aspecto geral, se dá quando um produto corresponde às exigências de adequação ao uso, satisfazendo assim as necessidades do consumidor final.
Segundo Deming (2000), qualidade significa atender e, se possível, exceder as expectativas do consumidor. Ribeiro (2007) comenta, ainda, que a qualidade de um produto fabricado num processo é inevitavelmente acompanhada de variações, sob estas condições, os gráficos de controle são ferramentas do Controle Estatístico da Qualidade consideravelmente úteis para distinguir em um processo, as variações que não podem ser identificadas e eliminadas (causas aleatórias ou especiais), ou seja, variações inerentes ao processo de produção, daquelas que necessitam ser identificadas e eliminadas (causas assinaláveis ou identificáveis).
A necessidade de controlar simultaneamente variáveis correlacionadas está no fato em que, muitas vezes, quando variável é monitorada isoladamente, a mesma pode aparentemente apresentar controle estatístico, quando na verdade não está. Para controlar a qualidade de um produto, Montgomery (1997) diz que são necessárias a identificação e a medição das variações ocorridas no processo de produção. Dentre as principais ferramentas para monitoramento de processos, pode-se destacar o Gráfico de Controle de Regressão, apresentado por DiPaola (1945), para descrever o controle simultâneo de duas variáveis. Para Almeida (2003) o objetivo do gráfico de controle de regressão é controlar uma variação média em lugar de uma constante, onde a linha de regressão obtida a partir da equação de regressão clássica resume o relacionamento linear entre as duas variáveis de interesse e ainda cita que em torno desta linha de regressão, é estabelecido um intervalo de confiança, dentro do qual se espera que o valor real da variável dependente esteja contido.
Neste contexto, o presente artigo objetiva monitorar as variáveis resistividade elétrica (ohm) e resistência a flexão (mpa) envolvidas no processo de obtenção do alumínio, por meio do gráfico de controle de regressão clássica.
Metodologia
2.1 Análise de Regressão
O modelo de regressão consiste basicamente na relação existente (causa e efeito) entre uma ou mais variáveis denominadas preditoras (X) em decorrência de uma outra variável denominada resposta (Y), essa relação pode ser expressa por um modelo linear aditivo (Regressão Clássica), onde o modelo inclui componentes sistemáticos e um aleatório que podem ser expressos por
i i
X
Y01 . Em que os parâmetros β0 e β1 são desconhecidos e podem ser estimados segundo
os dados da amostra, onde Xi é o i-ésimo valor da variável preditora (é uma constante conhecida,
fixa), Yi é o i-ésimo valor da variável resposta e εi é o i-ésimo valor do termo aleatório. Assim, o
modelo de regressão estimado é dado por Yˆi ˆ0 ˆ1Xi.
Os valores deˆ0e ˆ1são obtidos por meio do método de mínimos quadrados, descritos por
, ˆ ˆ ˆ 1 1 1 1 0 X Y n n n i i n i Yi
X
ˆ . 1 1 2 1 1 1 1 n i i n i i n i i n i i i n i i XX XY X X n Y X Y X n S S 2.2 Gráfico de Controle da Qualidade
O gráfico de controle é uma representação gráfica de uma característica da qualidade (variável em estudo) e possui uma linha central, que representa o valor médio da característica da
qualidade, e duas outras linhas horizontais, chamadas limite superior de controle (LSC) e limite inferior de controle (LIC).
2.3 Gráfico de Controle de Regressão
A regressão clássica apresenta resultados satisfatórios quando associada à outra técnica estatística, também muito utilizada para avaliação e monitoramento de um processo, seja de origem industrial ou não, conhecida como gráfico de controle. A junção entre as duas técnicas estatísticas é uma excelente alternativa para o monitoramento simultâneo entre duas variáveis correlacionadas.
Para a construção do gráfico de controle de regressão clássica, assume-se que os valores da variável dependente Y são linearmente relacionados com a variável independente X, onde para cada valor específico X assumi-se que os valores de Y são normalmente e identicamente distribuídos. Mandel (1969) apresenta a linha central e os limites superior e inferior de controle para o gráfico de controle de regressão linear, os quais são definidos por
LSC = Yˆikˆy
LC = Yˆ = i ˆ0ˆ1Xi LIC = Yˆi kˆy,
onde k é a quantidade de desvio padrão assumido em torno da linha central, podendo ser qualquer valor no conjunto dos números reais (usualmente utiliza-se k = 3) e ˆ é um estimador do erro Y padrão do modelo de regressão. De acordo com Mandel (1969), o erro padrão para o gráfico de controle de regressão é o desvio padrão estimado baseado nos desvios dos valores observados sobre a linha de regressão dado por
, 2 ˆ 1 2 n Y Y S n i i i eonde Yi é o resultado observado da variável resposta Y para cada valor da variável preditora X, n é o
tamanho da amostra e Yˆi é o valor esperado da variável resposta.
Resultados
Inicialmente consideram-se as variáveis resistividade elétrica (Y) e resistência à flexão (X), de eletrodos de carbono, resultantes de medições de 76 amostras, passíveis a erros de medição. A partir do cálculo do coeficiente de correlação linear de Pearson quantificou-se esta relação, o qual apresentou valor igual a -0,720, o que confirma uma moderada correlação negativa, ou seja, quanto maior o valor da resistência à flexão, menor a resistividade elétrica. Quando a resistência a flexão é muito alta, significa que as moléculas, no eletrodo, estão muito unidas, agrupadas facilitando o fluxo de corrente elétrica, pois o carbono é bom condutor de energia.
Para modelagem a partir da análise de regressão é necessário alguns pressupostos como a normalidade da variável resposta (Y) e análise de resíduos, sendo verificado a normalidade destes, independência e homocedasticidade (princípio da variância constante). Primeiramente, realizou-se o teste de Normalidade proposto por Ryan e Joiner (1976), no qual constatou-se tal comportamento, assim podendo-se obter o modelo de regressão para prever valores futuros da variável Resistividade Elétrica a partir do valor da Resistência à Flexão, dado por,
Yˆi 63,700,725Xi, (1)
Análise de Resíduos
i) Normalidade dos Resíduos
É essencial que os resíduos sejam normais para que se possa usar a inferência estatística e generalizar à população os resultados obtidos a partir da amostra. Para verificar a normalidade dos resíduos realizou-se o teste de Normalidade de Kolmogorov-Smirnov, no qual pôde-se constatar a não violação do pressuposto, como verificado na Figura 1(a).
ii) Independência dos Resíduos
É necessário que os resíduos apresentem também independência. Quando os resíduos são independentes, eles devem se distribuir bem aleatoriamente em torno do zero, quando “plotados” os resíduos padronizados versus as observações ordenadas. Tal pressuposto pode ser verificado a partir da Figura 1(b).
iii) Homocedasticidade
Os resíduos precisam apresentar variância constante, não estando correlacionados, quando “plotados” os resíduos padronizados versus valores ajustados. A partir da Figura 1(c) pode-se observar que o pressuposto de homocedasticidade é valido, pois eles não formam nem um tipo de figura ou seguem alguma tendência, mostrando-se aleatórios.
SRES1 P e rc e n t 3 2 1 0 -1 -2 -3 99,9 99 95 90 80 70 60 50 40 30 20 10 5 1 0,1 Mean >0,150 0,0007364 StDev 1,005 N 76 KS 0,050 P-Value (a) (b) Ordem Observada R e sí d u o s 75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 1 3 2 1 0 -1 -2
Valores Ajustados R e sí d u o s P a d ro n iz a d o s 57 56 55 54 53 52 3 2 1 0 -1 -2 (c)
Figura 1: Gráfico para Análise de Resídos Obtidos a partir do Modelo (1) para Resistência à Flexão dos Eletrodos de Carbono, no Mês de Fevereiro de 2009.
A Figura 2 apresenta o Gráfico de Controle de Regressão para as variáveis: resistividade elétrica e resistência à flexão de eletrodos de carbono, no mês de fevereiro de 2009, com k = 3. Nela, observa-se que todos os pontos encontram-se entre os limites de controle, isto implica que o processo está sob controle estatístico.
Figura 2: Gráfico de Controle de Regressão Funcional das Variáveis Resistência Elétrica e
Resistividade à Flexão, do Bloco de Carbono, no Mês de Fevereiro de 2009, com k = 3.
Conclusão
Este Artigo teve como objetivo principal, o monitoramento do processo de obtenção de alumínio, mais especificamente aplicado as características da qualidade do eletrodo de carbono a partir das variáveis resistividade elétrica (ohm) e resistência a flexão (mpa), por meio do gráfico de controle de regressão clássica. Por meio do gráfico de controle de regressão clássico, pode-se destacar que todos os pontos encontram-se entre dos limites de controle, isto implica que o processo
47,00 49,00 51,00 53,00 55,00 57,00 59,00 61,00 63,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00 18,00 R es is tiv id ad e E létr ica (O h m / cm ²)
está sob controle estatístico, assim caso uma amostra ultrapasse tais limites de controle, o processo deve ser investigado. Na prática, caso um ponto amostral ultrapasse o limite superior de controle, o valor da resistividade elétrica estará alto, logo dificultará a passagem de corrente não havendo o aumento da temperatura dos fornos, e consequentemente, o processo não está produzindo alumínio, causando prejuízos a empresa. Se um ponto amostral ficar abaixo do limite inferior de controle, o valor da resistividade elétrica estará baixo, havendo o aumento na passagem de corrente elétrica pelo eletrodo de carbono, que propicia o aumento na geração de calor, ocasionando aumento do consumo do eletrodo, pois este acaba reagindo mais facilmente com o oxigênio do ar, e consequentemente, poderá ocasionar contaminação do alumínio, pelo consumo dos pinos de ferro que sustentam o eletrodo.
Referência
[1] MONTGOMERY, D.C. Introdução ao Controle Estatístico da Qualidade. New York: John Wiley e Sons, 4.ed. 2001.
[2] DIPAOLA, P. P. Use of correlation in quality control, Industrial Quality Control, v. 2, n. 1, p. 10-14, July 1945.
[3] ALMEIDA, S.S. Desenvolvimento de Gráficos de Controle Aplicados ao Modelo Funcional de Regressão. 2003. Tese (Doutorado em Engenharia de Produção). Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção, Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, Santa Catarina, 2003.
[4] DEMING, W.E. Out of Crisis. Cambridge: MIT Press, 2000.
[5] RIBEIRO, J.C. Curvas Características de Operação para Gráficos de Controle Utilizando o Estimador Baseado nos Quartis Amostrais para Estimar o Desvio Padrão. 2007. TCC (Bacharelado em Estatística). Programa de Graduação de Bacharelado em Estatística, Universidade Federal do Pará, Belém, Pará, 2007.
[6] MANDEL, B.J. The Regression Control Chart. Journal of Quality Technology, v. 1, n. 1, p. 1-9, Jan. 1969.
