Pré-Cálculo
Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense
Slide 3
Pré-Cálculo 1
Domínio e Contradomínio Naturais (Efetivos) de Uma Função
Pré-Cálculo 2
Domínio e contradomínio naturais de uma função
Quando uma função real é definida apenas pela sua lei de associação, convenciona-se que o seu domínio é o maior subconjuntoD deR onde a lei de associação da função pode ser avaliada
dom(f) =D ={x ∈R|f(x)∈R}.
e que o seu contradomínio éR. Convenção
Exemplo: f(x) = 1 x.
O domínio natural def éD =R− {0}.
Domínio e contradomínio naturais de uma função
Quando uma função real é definida apenas pela sua lei de associação, convenciona-se que o seu domínio é o maior subconjunto D de R onde a lei de associação da função pode ser avaliada
dom(f) =D={x ∈R|f(x)∈R}.
e que o seu contradomínio éR. Convenção
Atenção: aqui, o termo “domínio natural” não significa que o domínio da função seja o conjuntoNdos números naturais!
O domínio natural também é denominadoefetivooumaximal!
Exercício 1: Qual é o domínio natural def(x) = 1
√2x −4?
Resolução:Temos que
D ={x ∈R: 2x−4>0}
Como
2x −4>0 ⇔ 2x >4 ⇔ x > 4
2 ⇔ x >2, segue que o domínio maximal def é
D={x ∈R | x >2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).
0 1 2
2 Pré-Cálculo 5
Exercício 2: Qual é o domínio natural def(x) = 1 x3−x? Resolução: Temos que
D={x ∈R: x3−x 6=0}
Como
x3−x6=0 ⇔ x(x2−1)6=0 ⇔ x(x−1)(x+1)6=0 ⇔ x6=0 ex6=1 ex6=−1,
segue que o domínio maximal def é
D ={x ∈R | x 6=0 ex 6=1 ex 6=−1} = R− {−1,0,1}.
−1
−1 0 0
1 1
Pré-Cálculo 6
Exercício 3: Qual é o domínio maximal def(x) = 1 r
1− 2x −6 x−1
?
Resolução:Temos que D=n
x ∈R:1−2x−1x−6 >0o
. Como 1−2x−6
x −1 >0 ⇔ 2x−6
x −1 −1<0 ⇔ 2x−6−(x−1)
x−1 <0 ⇔ x−5 x−1 <0
Sinal de x−5
Sinal de x−1
Sinal de (x−5)/(x−1)
5
5
5 1
1
1
segue queD ={x ∈R | 1<x <5}= (1,5).
Exercício 4: Se a funçãof tem domínio(1,2], determine o domínio da função definida por
g(x) =f 1
x−1
.
Resolução: O domínio deg é o conjunto dos valores dex para os quaisf
1 x−1
está definido.
Assim,x está no domínio deg se, e só se, x−11 ∈(1,2]ex 6=1 1
x−1 ∈(1,2]⇔1< 1
x−1 62⇔ 1
x −1 >1 e 1
x −1 62.
Exercício 4: Resolução
I 1
x −1 >1⇔ 1
x−1 −1>0⇔ 1
x−1 − x−1
x−1 >0⇔ 2−x x −1 >0
⇔x ∈(1,2) (Por quê?)
I 1
x −1 62⇔ 1
x−1 −260⇔ 1
x−1 − 2x−2
x−1 60⇔ 3−2x x−1 60
⇔x ∈(−∞,1)∪ 3
2,+∞
(Por quê?) Assim,x ∈(1,2)∩
(−∞,1)∪ 3
2,+∞
− {1}= 3
2,2
.
Pré-Cálculo 9
Exercício 4: Resolução
Logo, o domínio deg é 3
2,2
.
Pré-Cálculo 10
Modelagem com funções reais
Motivação: o problema da caixa
Você foi contratado por uma empresa que fabrica caixas sem tampa. Cada caixa é construída a partir de uma folha retangular de papelão medindo 30 cm×50 cm.
Para se construir a caixa, um quadrado de lado medindox cm é retirado de cada canto da folha de papelão.
50cm
30cm x
x
Dependendo do valor dex, diferentes caixas (com diferentes volumes) podem ser confeccionadas. O problema é determinar o valor de x a fim de que a caixa correspondente tenha o maior volume possível.
Motivação: o problema da caixa
Pré-Cálculo 13
O problema da caixa
50cm
30cm x
x
Aqui,y =V(x) =x(30−2x) (50−2x) =1500x−160x2+4x3eD= (0,15).
Pré-Cálculo 14
O problema da caixa O problema da caixa
Em Cálculo I -A-,
você aprenderá a calcular exatamente o valor dex que maximiza o volume da caixa:
x = 40−5√ 19
3 ≈6.068. . . .
O problema da caixa
O problema da caixa foi modelado por meio de uma função realf. Por que é importante, neste contexto, conhecer
odomínioe aimagemdef?
É possível produzir uma caixa com volume 5000 cm3? É possível produzir uma caixa com volume 2000 cm3?
De quantas maneiras diferentes?
Pré-Cálculo 17
Exercício 5:
Determine uma função que expresse a área do retângulo com base no eixox e vértices superiores sobre a parábolay =12−x2.
Pré-Cálculo 18
Exercício 5: Resolução
Hx,yL
-2 3 2 3 x
12 y
Note que (x,y) está localizado no primeiro quadrante. Assim, a área Ado retângulo será dada por
A=2·x·y.
Como (x,y) está na parábola, se- gue quey =12−x2. Logo,
A=2x(12−x2), ondex ∈(0,2√
3).
Exercício 6:
Do ponto A, situado numa das margens de um rio de 100 m de largura, deve-se levar energia elétrica ao pontoC situado na outra margem do rio. O fio a ser utilizado sobre a água custa R$ 5,00 o metro, e o que será utilizado sobre terra R$ 3,00 o metro. Encontre uma função que expresse o custo da ligação de A a C. Suponha as margens retilíneas e paralelas.
A
B C
100
1000
Exercício 6: Resolução
A
B C
100
1000
Considere x como a distância entre o pontoA e o pontoB0, que é a projeção de B sobre a margem em queA está. Olhando para o triângulo retângulo de vérticesA,BeB0, obtemos que a medida do segmento AB é igual a √
1002+x2 e que a distância de B a C é igual a 1000−x. Assim, o custo C de ligação de A a C é dada por
C =5p
10 000−x2+3(1000−x) ondex ∈[0,1000].
Pré-Cálculo 21
Exercício 7:
Determine uma função que expresse a distância de um ponto do gráfico dey =4−x2 ao ponto(0,2).
Pré-Cálculo 22
Exercício 7: Resolução
Hx,yL
-2 2 x
2 4 y
Considere(x,y)um ponto da pará- bola. Neste caso,então,y =4−x2 e a distância, d, entre os pares or- denados(0,2)e(x,4−x2)é dada por Logo,
d = q
(x−0)2+ (y −2)2
= q
x2+ (4−x2−2)2
= p
x4−2x2+4
ondex ∈R.