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Domínio e Contradomínio Naturais (Efetivos) de Uma Função

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Academic year: 2022

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(1)

Pré-Cálculo

Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense

Slide 3

Pré-Cálculo 1

Domínio e Contradomínio Naturais (Efetivos) de Uma Função

Pré-Cálculo 2

Domínio e contradomínio naturais de uma função

Quando uma função real é definida apenas pela sua lei de associação, convenciona-se que o seu domínio é o maior subconjuntoD deR onde a lei de associação da função pode ser avaliada

dom(f) =D ={x ∈R|f(x)∈R}.

e que o seu contradomínio éR. Convenção

Exemplo: f(x) = 1 x.

O domínio natural def éD =R− {0}.

Domínio e contradomínio naturais de uma função

Quando uma função real é definida apenas pela sua lei de associação, convenciona-se que o seu domínio é o maior subconjunto D de R onde a lei de associação da função pode ser avaliada

dom(f) =D={x ∈R|f(x)∈R}.

e que o seu contradomínio éR. Convenção

Atenção: aqui, o termo “domínio natural” não significa que o domínio da função seja o conjuntoNdos números naturais!

O domínio natural também é denominadoefetivooumaximal!

(2)

Exercício 1: Qual é o domínio natural def(x) = 1

√2x −4?

Resolução:Temos que

D ={x ∈R: 2x−4>0}

Como

2x −4>0 ⇔ 2x >4 ⇔ x > 4

2 ⇔ x >2, segue que o domínio maximal def é

D={x ∈R | x >2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).

0 1 2

2 Pré-Cálculo 5

Exercício 2: Qual é o domínio natural def(x) = 1 x3−x? Resolução: Temos que

D={x ∈R: x3−x 6=0}

Como

x3−x6=0 x(x2−1)6=0 x(x−1)(x+1)6=0 x6=0 ex6=1 ex6=−1,

segue que o domínio maximal def é

D ={x ∈R | x 6=0 ex 6=1 ex 6=−1} = R− {−1,0,1}.

−1

−1 0 0

1 1

Pré-Cálculo 6

Exercício 3: Qual é o domínio maximal def(x) = 1 r

1− 2x −6 x−1

?

Resolução:Temos que D=n

x ∈R:1−2x−1x−6 >0o

. Como 1−2x−6

x −1 >0 ⇔ 2x−6

x −1 −1<0 ⇔ 2x−6−(x−1)

x−1 <0 ⇔ x−5 x−1 <0

Sinal de x5

Sinal de x1

Sinal de (x5)/(x1)

5

5

5 1

1

1

segue queD ={x ∈R | 1<x <5}= (1,5).

Exercício 4: Se a funçãof tem domínio(1,2], determine o domínio da função definida por

g(x) =f 1

x−1

.

Resolução: O domínio deg é o conjunto dos valores dex para os quaisf

1 x−1

está definido.

Assim,x está no domínio deg se, e só se, x−11 ∈(1,2]ex 6=1 1

x−1 ∈(1,2]⇔1< 1

x−1 62⇔ 1

x −1 >1 e 1

x −1 62.

(3)

Exercício 4: Resolução

I 1

x −1 >1⇔ 1

x−1 −1>0⇔ 1

x−1 − x−1

x−1 >0⇔ 2−x x −1 >0

⇔x ∈(1,2) (Por quê?)

I 1

x −1 62⇔ 1

x−1 −260⇔ 1

x−1 − 2x−2

x−1 60⇔ 3−2x x−1 60

⇔x ∈(−∞,1)∪ 3

2,+∞

(Por quê?) Assim,x ∈(1,2)∩

(−∞,1)∪ 3

2,+∞

− {1}= 3

2,2

.

Pré-Cálculo 9

Exercício 4: Resolução

Logo, o domínio deg é 3

2,2

.

Pré-Cálculo 10

Modelagem com funções reais

Motivação: o problema da caixa

Você foi contratado por uma empresa que fabrica caixas sem tampa. Cada caixa é construída a partir de uma folha retangular de papelão medindo 30 cm×50 cm.

Para se construir a caixa, um quadrado de lado medindox cm é retirado de cada canto da folha de papelão.

50cm

30cm x

x

Dependendo do valor dex, diferentes caixas (com diferentes volumes) podem ser confeccionadas. O problema é determinar o valor de x a fim de que a caixa correspondente tenha o maior volume possível.

(4)

Motivação: o problema da caixa

Pré-Cálculo 13

O problema da caixa

50cm

30cm x

x

Aqui,y =V(x) =x(302x) (502x) =1500x160x2+4x3eD= (0,15).

Pré-Cálculo 14

O problema da caixa O problema da caixa

Em Cálculo I -A-,

você aprenderá a calcular exatamente o valor dex que maximiza o volume da caixa:

x = 40−5√ 19

3 ≈6.068. . . .

(5)

O problema da caixa

O problema da caixa foi modelado por meio de uma função realf. Por que é importante, neste contexto, conhecer

odomínioe aimagemdef?

É possível produzir uma caixa com volume 5000 cm3? É possível produzir uma caixa com volume 2000 cm3?

De quantas maneiras diferentes?

Pré-Cálculo 17

Exercício 5:

Determine uma função que expresse a área do retângulo com base no eixox e vértices superiores sobre a parábolay =12−x2.

Pré-Cálculo 18

Exercício 5: Resolução

Hx,yL

-2 3 2 3 x

12 y

Note que (x,y) está localizado no primeiro quadrante. Assim, a área Ado retângulo será dada por

A=2·x·y.

Como (x,y) está na parábola, se- gue quey =12−x2. Logo,

A=2x(12−x2), ondex ∈(0,2√

3).

Exercício 6:

Do ponto A, situado numa das margens de um rio de 100 m de largura, deve-se levar energia elétrica ao pontoC situado na outra margem do rio. O fio a ser utilizado sobre a água custa R$ 5,00 o metro, e o que será utilizado sobre terra R$ 3,00 o metro. Encontre uma função que expresse o custo da ligação de A a C. Suponha as margens retilíneas e paralelas.

A

B C

100

1000

(6)

Exercício 6: Resolução

A

B C

100

1000

Considere x como a distância entre o pontoA e o pontoB0, que é a projeção de B sobre a margem em queA está. Olhando para o triângulo retângulo de vérticesA,BeB0, obtemos que a medida do segmento AB é igual a √

1002+x2 e que a distância de B a C é igual a 1000−x. Assim, o custo C de ligação de A a C é dada por

C =5p

10 000−x2+3(1000−x) ondex ∈[0,1000].

Pré-Cálculo 21

Exercício 7:

Determine uma função que expresse a distância de um ponto do gráfico dey =4−x2 ao ponto(0,2).

Pré-Cálculo 22

Exercício 7: Resolução

Hx,yL

-2 2 x

2 4 y

Considere(x,y)um ponto da pará- bola. Neste caso,então,y =4−x2 e a distância, d, entre os pares or- denados(0,2)e(x,4−x2)é dada por Logo,

d = q

(x−0)2+ (y −2)2

= q

x2+ (4−x2−2)2

= p

x4−2x2+4

ondex ∈R.

Referências

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