UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ TIAGO ANDREI ADAMCZEVSKI

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TIAGO ANDREI ADAMCZEVSKI

COMPARAÇÃO ENTRE MÉTODOS DE IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA E NO DOMÍNIO DO TEMPO

CURITIBA 2011

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Monografia apresentada à disciplina Projeto de graduação como requisito parcial à conclusão do Curso de Engenharia Elétrica, Departamento de Engenharia Elétrica, Setor de Tecnologia, Universidade Federal do Paraná.

Orientador: Prof. Dr. Gustavo Oliveira da Costa

CURITIBA 2011

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TIAGO ANDREI ADAMCZEVSKI

Monografia aprovada como requisito parcial para a conclusão do Curso de Engenharia Elétrica, Departamento de Engenharia Elétrica, Setor de Tecnologia da Universidade Federal do Paraná, pela seguinte banca examinadora:

Aprovado em 05 de Julho de 2011 Comissão examinadora:

Prof. Dr. Gustavo Oliveira da Costa Universidade Federal do Paraná – UFPR Orientador

Prof. Dr. Eduardo Parente Ribeiro

Universidade Federal do Paraná – UFPR

Prof. Dr. Gideon Villar Leandro

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Muitas vezes um modelo para um sistema dinâmico não pode ser obtido simplesmente por um processo de modelagem matemática devido a alta complexidade do mesmo. A identificação de sistemas apresenta-se como uma alternativa a obtenção de um modelo aproximado, e para isso tantos dados no domínio do tempo como dados no domínio da frequência podem ser usados.

Neste trabalho faz-se uma comparação entre métodos de identificação de sistemas lineares usando dados no domínio da frequência com métodos de identificação clássicos que usam dados no domínio do tempo.

Os métodos escolhidos foram implementados e utilizados na modelagem de 4 sistemas propostos a fim de se comparar os modelos obtidos e analisar a qualidade dos mesmos através de processos de validação.

Desenvolveu-se também uma pequena estratégia para análise de sistemas de ordem desconhecida envolvendo os métodos de identificação no domínio da frequência

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Often a model for a dynamic system can not be obtained simply by a process of mathematical modeling due to the high complexity of it. The system identification is presented as an alternative in the attainment of approached models, and for that, data in the time domain or in the frequency domain can be used.

This document makes a comparison between methods of identification of linear systems using data in frequency domain with classical identification methods, which use data in the time domain.

The methods chosen were implemented and used in modeling four proposed systems in order to compare the obtained models and analyze their quality through a validation process.

A strategy for small systems analysis of unknown order involving identification methods in the frequency domain was developed.

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Índice usado em iterações

Denota o operador da transformada de Laplace Método de identificação usando uma estrutura Output Error Método de identificação de Levy

Método de identificação Vector Fitting

Método de identificação usando Levenberg-Marquardt

Valor de frequência de índice dentro de um intervalo de frequências ( ) Saída de um sistema no instante

( ) Entrada de um sistema no instante ( ) Erro introduzido num instante

_{Operador de atraso, ( )} _{( )} ( ) Função transferência de um sistema

( ) Função transferência de um modelo usado na representação de um sistema

( ) Erro encontrado entre sistema e modelo que o representa ( ) Erro ponderado. ( ) ( ) ( )

Módulo do erro ( ) ao quadrado | ( )| Operador Jacobiano

Sistema simples de coeficientes e ordem conhecida Sistema complexo de coeficientes e ordem conhecida Sistema simples de coeficientes e ordem desconhecida Sistema complexo de coeficientes e ordem desconhecida Número de amostras

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SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO ... 8 1.1 MOTIVAÇÂO ... 8 1.2 OBJETIVOS ... 9 1.3 METODOLOGIA ... 10 2 IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS ... 11

2.1 IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS NO DOMÍNIO DO TEMPO ... 13

2.1.1 Output-Error ... 14

2.2 IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA ... 16

2.2.1 Método de Levy (SK) ... 18

2.2.2 Método Vector Fitting (VF) ... 21

2.2.3 Método de Levenberg-Marquardt (LM) ... 24 3 SISTEMAS PROPOSTOS ... 28 4 RESULTADOS OBTIDOS ... 33 4.1 SISTEMAS CONHECIDOS ... 33 4.2 SISTEMAS DESCONHECIDOS ... 62 5 CONCLUSÃO ... 72 6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ... 73

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1 INTRODUÇÃO

1.1 MOTIVAÇÂO

Desde o começo de nossas vidas e ao longo de nosso crescimento, passamos por diversas situações em que aprendemos a relacionar certas consequências com suas causas. Construindo intuitivamente dessa forma, um grande modelo mental de nosso ambiente, que contém informações acerca de nossas ações e que nos auxiliam principalmente a prever situações que possam ocorrer devidas algumas atitudes.

A evolução do pensamento científico ao longo dos séculos e o surgimento da física clássica levou o ser humano a aprimorar o conceito desse modelo mental e a estendê-lo a análise de vários tipos de sistemas. Tornando-o não mais algo meramente qualitativo, sujeito a dúvidas, mas sim algo preciso e de grande confiabilidade que auxilia na análise e previsões nas mais diversas áreas.

Para que a confiabilidade de um modelo aumentasse novas técnicas matemáticas surgiram deixando a antiga abordagem newtoniana utilizando uma descrição de movimentos de corpos e dando lugar a técnicas cada vez mais sofisticadas usando cálculos numéricos. A área de conhecimento que estuda essas técnicas alternativas de modelagem matemática chama-se Identificação de

sistemas.

Em 1809, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) publicou um artigo no Werke sobre a estimação de parâmetros desconhecidos. Esta técnica mais tarde foi chamada por Legendre de mínimos quadrados e foi uma das primeiras publicações referentes a identificação de sistemas não utilizando técnicas convencionais.

Gauss propôs que o melhor modelo para representar um sistema é o que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos entre ele e o sistema a ser representado, ou seja, os parâmetros desconhecidos de um modelo são os que minimizam a soma:

∑ ( ̂)

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com os dados obtidos experimentalmente, e ̂indicando a saída de um modelo um bom modelo.

As técnicas atuais utilizadas na obtenção de modelos tem como fundamento a solução da equação ( 1 ) baseada em dados fornecidos pelo sistema quando da aplicação de uma entrada conhecida. Esses dados podem estar no domínio do tempo representado por valores instantâneos que variam ao longo dele, ou por dados no domínio da frequência referindo-se a valores de magnitude e fase.

O presente trabalho tem por objetivo principal implementar, comparar e analisar técnicas de estimação de modelos de sistemas lineares que resolvem a equação proposta por Gauss de maneira distinta, utilizando tanto dados no domínio do tempo, quanto dados no domínio da frequência.

1.2 OBJETIVOS

O presente trabalho tem como objetivo geral o estudo de métodos de identificação de sistemas lineares usando dados no domínio da frequência em comparação a métodos de identificação clássicos, que é a estimação feita a partir de dados no domínio do tempo.

Visa descobrir vantagens e desvantagens na análise usando o domínio da frequência na estimação de parâmetros de um modelo. E sua eficiência, ou não, quando comparado com a modelagem de sistemas dinâmicos no domínio do tempo.

Tem como objetivos específicos:

1) Implementar, analisar e comparar diferentes métodos de identificação usando dados no domínio da frequência.

2) Comparar a eficácia destes métodos com um procedimento clássico, utilizando uma estrutura do tipo “output error”.

3) Comprovar a validade de todos os modelos obtidos tanto no domínio do tempo quanto no domínio da frequência.

4) Analisar a qualidade de modelos obtidos usando variações nos dados usados para estimação.

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1.3 METODOLOGIA

A metodologia usada no presente trabalho visa basicamente o estudo, implementação e uso de alguns métodos de identificação de sistemas lineares, assim como a validação dos modelos obtidos na identificação de alguns sistemas propostos.

Inicialmente foi realizada uma revisão bibliográfica para familiarização e contextualização com o universo de identificação de sistemas. Foram levantadas algumas características de alguns métodos de identificação de sistemas lineares tanto no domínio do tempo, quanto no domínio da frequência. Desta etapa foram escolhidos os métodos a serem comparados: um método de identificação com dados no domínio do tempo usando uma estrutura conhecida como Output Error

(OE) e três métodos para comparação com dados no domínio da frequência.

A segunda etapa consistiu no estudo e implementação de cada um deles especificamente usando um software de cálculo matemático. A validade dos métodos implementados foi então comprovada na análise de dois sistemas de dinâmica conhecida. A seguir uma sequência de testes foi realizada para verificar a funcionalidade e precisão de modelos obtidos quando existia alguma variação no conjunto de dados utilizado.

A última etapa refere-se a análise dos métodos quando usados na identificação de dois conjuntos de dados relativos a sistemas de dinâmica não conhecida.

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2 IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS

A identificação de sistemas preocupa-se basicamente em encontrar um modelo matemático que consiga relacionar variáveis de um sistema com sinais de entrada e saída. Este processo de modelagem é feito a partir de dados obtidos experimentalmente e um processo de estimação dos parâmetros de uma estrutura usada para representá-lo.

O processo de modelagem de um sistema dinâmico passa por diversas etapas desde a aquisição dos dados até o processo de estimação do valor de seus parâmetros. Cada um dos processos é de vital importância para a obtenção de um bom modelo e pode ser feita de diversas maneiras. Em (AGUIRRE, 2004) encontramos uma descrição de cada etapa:

1. Testes dinâmicos e coleta de dados: Para que um processo de identificação de um sistema possa ocorrer é necessário um conjunto de dados que relacione entrada e saída de um sistema. Esta etapa é fundamental no processo de identificação visto que sem dados não se pode obter um modelo. Os dados obtidos podem estar tanto no domínio do tempo, representados por valores instantâneos que variam ao longo do tempo, quanto no domínio da frequência com a utilização de valores de magnitude e fase.

2. Escolha da representação matemática a ser usada: Nesta etapa escolhe-se a estrutura que será usada pra representar o sistema.

3. Estimação de parâmetros: Nesta etapa os parâmetros das estruturas são estimados através de métodos numéricos com dados tanto no domínio da frequência, quanto no domínio do tempo.

4. Validação do modelo: Tendo obtido uma família de modelos, é necessário verificar se eles incorporam ou não as características de interesse do sistema original. Além disso, é interessante poder comparar os modelos entre si e decidir se há algum candidato significativamente melhor.

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A ideia da qualidade de um modelo reside no fato de ele representar fielmente características desejadas de um sistema e não necessariamente todas elas. Para que isso possa ser alcançado a escolha da estrutura é importante.

As estruturas utilizadas na modelagem podem ser de dois tipos: paramétrica (número limitado de parâmetros), e não paramétricas (número infinito de parâmetros) (BOSH, P. P. J. van den,1994) (AGUIRRE, 2000) (LJUNG, 1987). As estruturas abordadas por este trabalho são todas paramétricas.

Deve-se lembrar que os dados experimentais são geralmente obtidos em ambientes sujeito a ação de fontes geradoras de erro nas medidas. Por esse motivo é relevante considerar isso nas estruturas utilizadas na estimação do modelo (LJUNG, 1987).

A

FIGURA 1 ilustra o diagrama de blocos de um sistema sujeito a adição de um sinal de ruído ou distúrbio ( ) modelado por uma função ( ) na saída do sistema. Este diagrama representa o efeito do ruído como uma adição na saída. Esta afirmação é válida para a maioria dos sistemas (BOSH, P. P. J. van den,1994).

FIGURA 1 - Sistema afetado por ruído ou distúrbio na saída.

Ao ser expressada matematicamente tem a forma:

Diante da equação ( 2 ) podemos definir cinco modelos de estruturas paramétricas, são eles: Resposta Impulso Finita (FIR), Auto Regressiva com entrada

exógena (ARX), Auto regressiva de média móvel com entrada exógena (ARMAX), Erro na Saída (OE) e Box-Jenkins (BJ). Que se distinguem quanto ao modelamento

tanto do sinal de entrada ( ) quanto em relação ao ruído ( ).

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Considere um modelo geral representado por:

em que os polinômios ( ) ( ) ( ) ( ) e ( ) são definidos como:

( ) ( ) ( ) ( ) = ( )

denota o operador de deslocamento (avanço unitário).

Fazendo a escolha de valores específicos para estes polinômios faz-se a permuta entre os diferentes modelos de representação que podem ser usados em um processo de identificação de um sistema.

Este trabalho contemplará técnicas de estimação de parâmetros em modelos para sistemas lineares e invariantes no tempo1, a partir de dados obtidos tanto no domínio da frequência quanto no domínio do tempo, usando estruturas paramétricas.

A seguir são apresentados os diversos métodos usados neste trabalho. Estes visam basicamente a resolução do problema de minimização proposto por Gauss. Porém como será visto adiante, dependendo da estrutura utilizada na representação do sistema, as equações obtidas a partir de ( 1 ) são não lineares e de difícil resolução.

2.1 IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS NO DOMÍNIO DO TEMPO

A identificação no domínio do tempo tem como objetivo obter um modelo que caracteriza um sistema a partir de dados no domínio. Estes podem ser obtidos a

1

Segundo (LATHI, 2001) um sistema é dito linear quando obedece a regras de linearidade e homogeneidade, e invariante no tempo quando o valor de suas variáveis não muda com o tempo. A maior parte dos sistemas existentes podem ser aproximados por um sistema linear e invariante no tempo.

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partir da operação normal do sistema ou usando alguns sinais específicos para se obter respostas mais características. (AGUIRRE, 2004).

Como já mencionado para que os parâmetros de uma estrutura possam ser estimados é necessário o uso de alguma técnica matemática. Uma possível maneira de se realizar isso é comparar a previsão da saída realizada no instante anterior com o valor real medido. Os métodos baseados neste principio são chamados de Métodos de Predição de Erro (PEM). (BOSH, P. P. J. van den,1994)

Suponha que o valor da saída do sistema a ser estudado num instante é representada por ( ), e que se deseja estipular o valor do processo no instante . Então o valor para a predição neste instante (representado por ( | ) ) usando um método PEM pode ser obtido com base no modelo geral da equação ( 3 ). Seu valor é calculado a partir da definição de um operador chamado de estimador ̂( | ). Seu valor para o modelo geral vale (MOUDGALYA, 2007) (BOSH, P. P. J. van den,1994) :

2.1.1 Output-Error

A estrutura de interesse analisada neste trabalho é a modelo erro na saída ou também conhecida como output error (OE). Nela a representação do distúrbio é feita na saída do sistema. O que justifica o nome do modelo. Esta estrutura também pode ser encontrada na literatura com o nome função de transferência (tranfer

function model ).

Ela pode ser desenvolvida com base em ( 3 ) fazendo com que os polinômios ( ) ( ) ( ) tenham valor unitário:

Um diagrama de blocos para melhor visualização é apresentado na FIGURA 2. Podemos observar que a saída total do sistema ( ) é a combinação de uma saída sem perturbação alguma ( ), corrompida por um sinal distúrbio ou erro ( )

̂( | ) ( ) ( ) [ _{( ) ][ ( ) ( ) ( )]} _{( 4 )}

( ) ( )

( ) ( ) ( )

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FIGURA 2: Estrutura Output Error (OE)

Pela FIGURA 2 o valor de ( ) pode ser facilmente calculado por:

A partir do modelo geral de predição de erro ( 4 ) podemos obter o modelo para a estrutura OE, fazendo ( ) e ( ) ( )_{( )} :

que se escrita em termos de ( ) torna-se:

O vetor contém o valor dos parâmetros de ( ) e ( ):

[ ] .

Para melhor apresentação das equações é interessante a definição de um vetor de regressão linear ou estimador ( | ) na forma:

Com isto o novo modelo de predição pode ser reescrito como:

( ) ( )_{( )} ( ), ( 6 )

̂( | ) ( )_{( )} ( ), ( 7 )

̂( | ) ( | ) ( 8 )

( | ) = [ ( ) ... ( ) ( | ) ... ( | ) ] ( 9 )

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Logo o problema da estimação de um modelo se resume ao cálculo de ( | ) feito pela equação ( 6 ) que implica no conhecimento dos parâmetros .

Podemos perceber que quando se utiliza a estrutura OE o problema na estimação de parâmetros tem caráter não linear. Algumas técnicas para resolução desse problema são apresentadas em (BOSH, P. P. J. VAN DEN,1994), (LJUNG, 1987), (AGUIRRE,2004), (PINTELON, 2001).

2.2 IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA

A modelagem no domínio da frequência diferencia-se da realizada no domínio do tempo principalmente quanto da origem dos dados utilizados. No domínio da frequência procura-se obter os parâmetros da estrutura utilizada a partir dos valores de amplitude e fase de um sistema quando submetido a entradas periódicas.

A identificação no domínio da frequência baseia-se no fato de que sistemas lineares invariantes no tempo quando excitados por uma entrada senoidal de frequência tem resposta em regime permanente também de frequência , porém com valores de amplitude e fase diferentes (PINTELON, 2001).

Em (PINTELON, 1994) encontramos algumas vantagens do uso do domínio da frequência na modelagem de um sistema.

 Fácil redução de ruído: O ruído surge como frequências que não foram excitadas na entrada do sistema. Assim, é fácil distingui-lo e eliminá-lo na saída do sistema.

 Redução do Volume de dados: um grande número de amostras no domínio do tempo é substituído por um número pequeno de linhas espectrais.

 Quando se usa DFT (Discrete Fourier Transform) para calcular o espectro, o erro tem função de distribuição de probabilidade normal.

 Ao contrário da identificação no domínio do tempo, não é necessário estimar o estado inicial do sistema, pois ele já é analisado em estado estacionário.

 É fácil combinar dados de diferentes experimentos, ou seja, o levantamento da resposta em frequência de um sistema pode ser feito

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através de vários experimentos, e depois, os resultados podem ser combinados.

Uma das principais desvantagens encontradas no uso do domínio da frequência reside no fato de que alguns sistemas, principalmente os industriais, não podem ser excitados com entradas oscilatórias, não permitindo dessa forma a aquisição dos valores de magnitude e fase. Para contornar esse problema, é possível empregar o método de identiﬁcação a partir da aplicação de um algoritmo de FFT (Fast Fourier Transform) nos sinais de entrada e saída, conhecido como ETFE (Empirical Transfer Funcion Estimate) (PINTELON, 2001) (AGUIRRE, 2004).

A função de transferência de um sistema linear e invariante no tempo de entrada simples e saída simples (SISO) pode ser escrita como (SOYSAL; SEMLYEN,1993) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , (11)

em que os coeficientes , , e são valores reais

Os coeficientes desta equação podem ser estimados a partir de ( 1 ). Supondo que se deseja obter um modelo ( ) dado como a razão de dois polinômios como em (11), a partir de valores de magnitude e fase amostrados em diferentes frequências , com , dentre toda a resposta em frequência do sistema, obtemos a seguinte função de custo ser minimizada :

( ) ∑( ( ) ( ₍ ) ₎) , ( 12 )

cujo problema é de natureza não linear.

Esta não linearidade em relação a estimação dos parâmetros do modelo tem levado ao surgimento de diferentes formulações e métodos de identificação. Neste trabalho são utilizados 3 diferentes métodos que abordam este problema distintamente.

O primeiro método descrito por (LEVY,1959) sugere um maneira de linearização da equação ( 9 ) através de um processo de ponderação da equação do erro. Posteriormente (SANATHANAN, KOERNER,1963) propuseram uma variante

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no método de Levy onde os coeficientes do denominador e numerador são estimados iterativamente, dando origem ao procedimento conhecido como iterações de Sanathanam e Koerner ou SK.

O segundo método contemplado por este trabalho é o método de interativo baseado em frações parciais proposto por (GUSTAVSEN; SEMLYEN,1999) conhecido como Vector Fitting. Este método difere do método de Levy com iterações SK por utilizar uma estrutura diferente de modelo, baseada em decomposição em frações parciais.

O último método apresentado é baseado no procedimento de otimização de funções não lineares de Levenberg-Marquardt. Este é conhecido na literatura por resolver problemas de mínimos quadrados não lineares. Tal método pode ser empregado aqui, já que o processo de identificação no domínio da frequência se resume a solução de um problema não linear.

2.2.1 Método de Levy (SK)

Como mencionado anteriormente, partindo-se do pressuposto que se deseja modelar um sistema dado por ( ) a partir de uma estrutura de função de transferência dada como a razão de dois polinômios (11), chega-se a uma equação de erro ( ) que estabelece uma diferença entre valor medido e valor estimado em uma dada frequência :

( ) ( ) ( ) ( 13 ) ou

( ) ( ) ( ₍ ) ₎. ( 14 )

Pode-se notar que a equação acima é não linear em termo nos coeficientes , já que os mesmos encontra-se no denominador da função. Isso impede o uso do método de mínimos quadrados convencional e dificulta a resolução do problema de otimização.

(LEVY,1959) propôs uma maneira de se contornar esse problema de não linearidade da equação ( 14 ), multiplicando todos os termos da equação pelo

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denominador ( ). Dessa maneira obtém-se um sistema de equações lineares, em que enfim o método de mínimos quadrados pode ser utilizado.

Multiplicando-se a equação ( 14 ) pelo denominador ( ), obtemos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( 15 )

Minimizando a função de erro quadrática | ( )| de modo a se encontrar o valor dos parâmetros do modelo ( ) , pode-se chegar a um conjunto de equações na forma linear . Que constitui um conjunto de equações lineares sobre determinado, ou seja, com mais equações que incógnitas.

Para a minimização da função de erro quadrática utilizamos uma condição necessária e suficiente para que tenha mínimos locais (DYER; DYER,2009).

e

Isolando os termos , . Nas condições acima apresentadas considerando todos os pontos de frequência analisados , e isolando em relação aos mesmos encontra-se o seguinte sistema de equações lineares que pode ser resolvido por um método de mínimos quadrados convencional:

( 16 ) [ ][ ] [ ] em que ∑( )

(20)

∑( ) , ∑( )

∑( ( ) )

e são as partes reais e imaginárias do valor experimental em uma determinada frequência ( ( ) ).

Notamos que com o método sugerido por Levy, a ponderação do sistema de equações leva a uma linearidade das equações e com isso um método de estimação ordinário pode ser utilizado. Tornando dessa forma a estimação dos parâmetros do modelo facilmente implementável.

Porém em algumas situações a solução deste problema pode resultar em matrizes mau condicionadas, principalmente quando estruturas de ordem elevadas são utilizadas.

Para contornar este problema Sanathanam e Koerner (1963) propuseram o uso de um método iterativo através de um novo termo referente ao “passado” de ( ).

Com a adição desse termo a equação ( 15 ) torna-se então:

( ) ₍( ₎) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( 17 )

Nesta equação corresponde ao índice de iterações O termo refere-se dessa forma ao valor anterior da referida variável.

Resolvendo novamente a nova expressão | ( )| obtém-se o mesmo conjunto de equações anteriores em ( 16 ), porém os novos coeficientes das matrizes são dados por:

∑ | ( )| ∑ | ( )|

(21)

∑ | ( )| ∑ ( ) | ( )|

Nota-se que as novas equações dependem dos valores anteriores do denominador. Os coeficientes obtidos pela iteração são usados para o calculo de ( ) para a próxima iteração. No início do processo como seu valor não é conhecido um valor unitário pode ser usado (SANATHANAM; KOERNER, 1963).

À medida que as iterações são realizadas, os resultados obtidos tendem a convergir e os coeficientes avaliados tornam-se rapidamente aqueles obtidos pela minimização da soma de | ( )| , que de certa maneira era o problema inicial.

2.2.2 Método Vector Fitting (VF)

O método descrito a seguir proposto por Gustavsen e Semlyen (1999) aborda o problema de modelagem de um sistema de uma forma diferente do método descrito anteriormente. O método de Levy consiste da estimação de parâmetros de um modelo descrito como a razão de dois polinômios, já o método de Vector Fitting aborda o problema de identificação no domínio da frequência usando um modelo descrito em frações parciais. Esta abordagem trás uma grande vantagem ao método que é a não necessidade de lidar com os termos de frequências elevados à ordem do modelo do sistema.

Considere uma função de transferência no formato apresentado em (11), reescrita agora utilizando frações parciais, tal que:

(

)

( )

∑

,

( 18 )

Nesta equação e são respectivamente os resíduos e os pólos, d e h valores reais.

O método de Vector Fitting consiste na busca dos valores dos pólos e resíduos ótimos para a descrição de um sistema a partir de dados obtidos

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experimentalmente. Esta busca pelos pólos é feita por um esquema iterativo de realocação de pólos a partir de um conjunto de pólos iniciais arbitrários, em que em cada iteração um problema de mínimos quadrados é resolvido para se obter melhor exatidão nos valores dos parâmetros.

O processo de identificação dos pólos é feita em dois estágios. O primeiro consiste na estimação dos pólos do modelo a partir do uso de uma função de escalonamento com pólos iguais aos pólos iniciais escolhidos O segundo estágio estima o valor dos resíduos de ( 18 ) usando uma função não escalonada, também com base nos valores dos pólos iniciais.

Considerando um certo conjunto de pólos ̅ ditos pólos iniciais, distribuídos por todo o intervalo de frequência de interesse e uma função desconhecida ( ), pode-se definir uma função de escalonamento ( ) tal que o produto desta função por ( ) seja :

( )

(

)

∑

̅

, ( 19 ) Uma aproximação de ( ) é:

( )

∑

̃ ̃

.

( 20 )

Note que as duas funções possuem os mesmo pólos.

Substituindo a equação ( 20 ) em ( 19 ) encontramos a seguinte relação:

∑ ̅ (∑ _̃ ̃ ) ( ), ( 21 ) ∑ ̅ ∑ _̃ ̃ ( ) ( ), ( 22 )

Lembrado que e cada ponto em frequência analisada levaria a uma equação no formato apresentado em ( 22 ), podemos reescrever todo o conjunto de pontos de frequência analisados como um sistema linear na forma:

(23)

( 23 ) Tal que: [ ̅ ̅ ( ) ̅ ( ) ̅ ] [ ̃ ̃ ] ( )

As expressões acima demonstradas só são válidas para um conjunto de pólos iniciais puramente reais. Caso pares de pólos complexos conjugados sejam utilizados deve-se alterar os coeficientes de e para que o valor dos resíduos

e ̃ também apareçam em pares complexos conjugados.

Os dois elementos e devem ser substituídos por :

_̅ _̅ _̅ _̅ .

Os respectivos elementos no vetor solução torna-se e . Em que

( 24 )

O sistema de equações descrito em ( 23 ) pode ser resolvido usando um método de mínimos quadrados convencional, como em ( 16 ). Uma vez com os valores de e ̃ , podemos aproximar a função ( ) a partir de ( 21 ) como:

( )

∑ ̅ ∑ ̃ _̃

,

( 25 )

Como cada conjunto de frações parciais pode ser reescrito na forma de produtos obtemos então:

(24)

( ) ∏( ) ∏( ̅ ) ∏( ̃ ) ∏( ̅ ) ∏ ( ) ∏( ̃ )

( 26 )

Pode-se notar que uma simplificação dos pólos iniciais pode ser realizada já que tanto a função de escalonamento quanto o produto ( ) ( ) tinham os mesmo pólos. A equação ( 26 ) demonstra que os zeros da função ( ) convertem-se em pólos da função ( ). Durante o processo iterativo estes valores são usados como novos valores para os pólos iniciais da próxima iteração.

Os zeros de ( ) são calculados a partir dos autovalores de uma matriz definida abaixo:

̃

,

( 27 )

Em que é uma matriz diagonal contendo o valor dos pólos iniciais, é um vetor coluna de e ̃ é um vetor fila contendo os resíduos de ( ) (portanto os valores de ̃ ) encontrados anteriormente. A demonstração disto pode ser encontrada em (GUSTAVSEN B.; SEMLYEN, A, 1999).

Executando os passos descritos anteriormente em um processo iterativo chega-se a um modelo ( ) de ( )

Para a obtenção de um modelo satisfatório é de vital importância a solução do problema com exatidão e para isso bons pólos iniciais devem ser escolhidos. Uma solução dada pelo autor para esses problemas é o uso de pares complexos de pólos de forma que:

̅ ̅ Com .

Aprimoramentos no método vector fitting podem ser encontradas, dentre outras referências em (GUSTAVSEN, 2006).

2.2.3 Método de Levenberg-Marquardt (LM)

Quando se menciona o termo solução numérica para o problema de otimização, em particular, de minimização, quer dizer que o algoritmo tenta de

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alguma forma encontrar o valor dos parâmetros ou variáveis de uma determinada função, denominada de função objetivo ou custo, de modo que o seu valor seja o menor (no caso de minimização) possível, seja num determinado intervalo (mínimo local) ou em todo o seu conjunto imagem (mínimo global).

De certa maneira é isso o que tem-se abordado até o momento porém não usando uma abordagem tão “direta” do problema como quando usando técnicas de otimização. Tanto o método de Levy quanto o método de Vector Fitting buscam encontrar o valor dos parâmetros do modelo em questão para os quais o erro em relação aos valores medidos tem o menor valor possível, ou seja, visam encontrar o mínimo da função erro ( ) dada pela equação ( 13). O objetivo de um algoritmo de otimização é justamente esse, determinar os pontos onde uma função assume determinado valor, ou assume valores extremos.

A diferença na utilização do algoritmo de otimização para se modelar um sistema reside no fato de que o algoritmo não foi desenvolvido para isso como os demais, e sim vai ser utilizado para esse fim.

O algoritmo de Levenberg–Marquardt (LM) é um dos mais utilizados algoritmos de otimização e será utilizado neste documento para fins de encontrar os parâmetros do modelo que minimizam a função de erro quadrático entre os dados medidos e os dados previstos pelo modelo. Tem como objetivo prover uma solução numérica para problemas de minimização em que uma função custo é expressa na forma de soma de quadrados, ou seja:

( ) ∑[ ( )]

( 28 )

Para que os coeficientes , possam ser obtidos devemos minimizar uma função custo, que se tratando do processo de identificação já foi apresentada em ( 13 ).

Assim como outros métodos de otimização o método de Levenberg– Marquardt (LM) é iterativo. Isso significa que dado um valor inicial , aqui representado pelos coeficientes do modelo, ele produzirá uma série de valores , que espera-se que a função de custo vá convergir para um valor de mínimo local ou global .

(26)

Pode-se interpretar o funcionamento do algoritmo do Levenberg–Marquardt como a combinação de dois outros métodos de otimização: gradiente descendente ou declive descendente e o método de Gauss-Newton. No primeiro a função custo é reduzida através do acréscimo dos parâmetros na direção de maior redução. Ao passo que no segundo, a soma do quadrado dos erros é reduzida fazendo-se uso de um processo de linearização local e a utilização de mínimos quadrados ordinários para encontrar um mínimo local dessa linearização. O algoritmo de LM atua como gradiente descendente quando os valores analisados estão longe de seu valor ótimo e como Gauss-Newton quando estão próximos. (RANGANATHAN, 2004)

A base para a aplicação do algoritmo é a aproximação linear do modelo em torno dos parâmetros iniciais [ , ] :

( ) ( ) ( 29 )

Nesta equação representa a matriz jacobiana ( ) Usando esta aproximação na equação de custo a ser minimizada

( ) | ( ) ( )| | ( ) ( ) | | | ( 30 ) Para que o valor da função acima convirja para um mínimo devemos encontrar um valor ótimo de A procura por esse valor está relacionada com um problema de mínimos quadrados ou também com as conhecidas equações normais:

( 31 )

A Matriz do lado esquerdo da equação acima é dita uma aproximação Hessiana ou seja, uma aproximação da matriz de derivadas de segunda ordem. O algoritmo Levenberg-Marquardt resolve um grupo de equação um pouco diferentes destas, conhecidas como equações normais aumentadas (augmented normal

equations ) :

( 32 )

Em que os elementos que não fazem parte da diagonal de são idênticos as de e os demais são dados por [ ] para .

(27)

A estratégia de alterar os coeficientes da diagonal da matriz é conhecida como damping e o termo é conhecido como fator de amortecimento (damping

factor). Quando o valor do vetor de parâmetros atualizado calculado usando a

equação ( 32 ) leva a uma redução do erro a atualização é aceita e o processo continua com um fator de amortecimento menor. Ao passo que, se o valor de aumenta, o valor de amortecimento é incrementado e as equações normais aumentadas são recalculadas até um valor de que decrementa o erro for encontrado. O processo de resolver a equação ( 32 ) para diferentes valores do fator de amortecimento até um valor aceitável de parâmetros for encontrado corresponde a uma iteração no algoritmo de Levenberg-Marquardt (RANGANATHAN A., 2004).

(28)

3 SISTEMAS PROPOSTOS

Este capítulo apresenta os sistemas que foram utilizados na obtenção dos dados para estimação dos modelos usando os diferentes métodos de identificação de sistemas.

Para formação do conjunto de dados que foram utilizados nos testes envolvendo os método de identificação de sistemas foram escolhidos 4 tipos de sistemas, sendo que algum deles se conhecia a sua representação usando função de transferência e outros de que não se tinha nenhuma informação prévia a cerca de sua dinâmica.

A nomenclatura adotada neste trabalho para facilitar a referência a esses sistemas está apresentada abaixo:

 : Sistema simples com valor de ordem conhecido.

 : Sistema complexo com valor de ordem conhecido.

 : Sistema simples de dinâmica não conhecida.

 : Sistema complexo de ordem não conhecida.

O termo sistema simples, refere-se a um sistema de ordem relativa baixa ao passo que sistema complexo refere-se a um sistema cuja ordem relativa é grande e seu comportamento é mais caótico do que o anterior.

Para representar o sistema foi escolhido o uso de um circuito eletrônico que representa um filtro com topologia Sallen-key. A FIGURA 3 ilustra o circuito:

FIGURA 3: Filtro Sallen Key para extração da função de transferência FONTE: LATHI, 2007

(29)

Essa estrutura é muito usada na implementação de filtros do tipo passa-baixas ou passa-altas. Escolhendo adequadamente o valor das impedâncias do circuito pode-se obter respostas do tipo Bessel, Butterworth, Chebyshev, etc.

Em (LATHI, 2007) podemos encontrar a função de transferência que representa este circuito:

( )

( ) ₍ ₎

,

( 33 )

em que

O termo na equação ( 33 ) referente a é chamado de frequência de corte e é o fator de qualidade do filtro.

Escolhendo os valores das capacitâncias e resistências de modo a se definir uma frequência de corte em e um fator de qualidade de na equação ( 33 ), obtém-se o seguinte modelo:

( ) ( )

.

( 34 )

A resposta em frequência da equação ( 34 ) está sendo exibida na FIGURA 4:

FIGURA 4: Reposta em frequência para o sistema

100 101 102 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 M a g n it u d e ( d B ) Resposta em frequência 100 101 102 -200 -150 -100 -50 0 P h a se ( d e g ) Frequency (rad/s)

(30)

Podemos notar que a equação do sistema , possui dois pólos complexos conjugados localizados em:

.

Para representar o sistema complexo de ordem conhecida ( ) foi escolhido o sistema apresentado em (ISERMANN; MÜNCHHOF, 2010). Trata-se do chamado oscilador com três massas (three mass oscillator), ilustrado na FIGURA 5. É formado por um motor com um eixo que se movimenta presos a três massas e três discos. Um dos quais será o alvo do estudo. As massas e os dois discos extras servem para acrescentar momentos de inércia ao sistema, tornando-o dessa forma mais crítico ou caótico.

FIGURA 5: Oscilador com três massas FONTE: (ISERMANN; MÜNCHHOF, 2010)

Substituindo os valores propostos por (ISERMANN; MÜNCHHOF, 2010) necessários para os momentos de inércia, diâmetros dos discos e massa dos pesos acrescentados, encontramos a seguinte função de transferência da velocidade do último disco em relação ao torque do motor:

(31)

cuja resposta em frequência encontra-se na FIGURA 6.

A equação ( 35 ) tem pólos reais e complexos localizados em:

FIGURA 6: Resposta em frequência para o sistema

Os sistemas e são de dinâmica desconhecida e foram fornecidos pelo orientador desde trabalho. Os gráficos de resposta em frequência podem ser encontrados respectivamente na FIGURA 7 e FIGURA 8

100 101 102 -80 -60 -40 -20 0 20 40 M a g n it u d e ( d B ) Resposta em frequência 100 101 102 -500 -400 -300 -200 -100 0 P h a se ( d e g ) Frequency (rad/s)

(32)

10-2 10-1 100 101 102 -40 -30 -20 -10 0 10 M a g n it u d e ( d B )

Resposta em frequência sistema desconhecido H3

10-2 10-1 100 101 102 -100 -50 0 50 100 P h a se ( d e g ) Frequency (rad/s) 101 102 103 104 105 106 107 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 M a g n it u d e ( d B )

Resposta em frequência sistema desconhecido H3

101 102 103 104 105 106 107 -100 -50 0 50 100 P h a se ( d e g ) Frequency (rad/s)

(33)

4 RESULTADOS OBTIDOS

Este capítulo descreve os testes realizados nos sistemas descritos no capítulo 3, para a análise dos métodos de identificação no domínio do tempo e da frequência.

Primeiramente serão apresentados a análise em sistemas de dinâmica conhecida ( e ) em algumas situações distintas e depois passa-se a modelagem dos sistemas de dinâmica não conhecida ( e ).

4.1 SISTEMAS CONHECIDOS

Nesta etapa foram executados um conjunto de testes nos sistemas ditos conhecidos: e . Foram testados o funcionamento de cada um dos métodos de identificação implementados no domínio da frequência e no domínio do tempo, em 5 testes distintos, envolvendo variações no processo de amostragem e diferentes estruturas usadas no processo de modelagem.

O primeiro tem por objetivo verificar a qualidade dos métodos implementados. Para isso os modelos obtidos na identificação foram sujeitos a uma etapa de validação na qual um valor de erro médio quadrático (RMS) em relação ao sistema analisado era medido.

A partir de todos os métodos funcionando corretamente, passou-se ao segundo teste envolvendo a introdução de um erro nas amostras coletadas. O erro foi adicionado de modo a verificar-se o comportamento dós métodos.

O terceiro teste contempla o uso de diferentes números de amostras e uma variação no período de amostragem utilizado no domínio do tempo. O teste seguinte usa um número fixo de amostras, porém com diferentes espectros de frequência para a coleta dos dados usados na estimação dos modelos.

O último teste foi realizado utilizando estruturas sub e sobre dimensionadas no modelamento, isto é, as estrutura tinham ordem menor e maior das do sistema a ser modelado.

(34)

4.1.1 Verificação do funcionamento dos métodos e validação dos resultados obtidos

Este teste tem como objetivo verificar o funcionamento dos algoritmos implementados. Ao final os modelos obtidos foram sujeitos a um processo de validação que comprova sua qualidade.

Os dados para identificação no domínio do tempo foram coletados a partir da aplicação de uma entrada aleatória nos sistemas. A saída destes foi amostrada com período de amostragem , no total foram utilizados pontos. Como dito anteriormente as estruturas escolhidas para o modelamento tem denominador e numerador de ordem igual a ordem ao sistema a ser modelado.

Os resultados obtidos para o processo de estimação dos sistemas e usando o método OE encontram-se respectivamente nas FIGURA 9 e FIGURA 10. As figuras exibem o valor da resposta em frequência para os modelos obtidos.

Para que uma comparação adequada fosse realizada com os modelos no domínio do tempo, foi necessário um processo de discretização dos sistemas analisados, já que o método fornecia modelos no tempo discreto (Z). A discretização realizada usou o mesmo período de amostragem anterior, .

FIGURA 9: Resultados obtidos para a identificação do sistema usando OE. A estrutura utilizada tem ordem igual a do sistema.

100 101 102 -100 -80 -60 -40 -20 M a g n it u d e ( d B ) Resposta em frequência Real OE 100 101 102 -200 -150 -100 -50 0 P h a se ( d e g ) Frequency (rad/s)

(35)

Pode-se notar pelas figuras que o modelo obtido usando OE apresenta resposta em frequência idêntica ao sistema. Este resultado era esperado uma vez que a ordem da estrutura usada é igual a do sistema.

FIGURA 10: Resultados obtidos para a identificação do sistema usando OE. A estrutura utilizada tem ordem igual a do sistema.

No domínio da frequência os dados foram coletados num intervalo de frequência de [ ] , dispostos com um intervalo de , totalizando dessa forma também amostras.

Para o funcionamento dos métodos foi necessária algumas configurações prévias, distintas para cada um deles.

 Método de SK: 10 iterações.

 Método de VF: Foram usados pólos reais linearmente dispostos pelo intervalo de frequência analisado. O número de pólos utilizado era igual a ordem do sistema.

 No método de LM foram utilizadas 50 iterações. O valor inicial dos coeficientes utilizados foi no sistema igual a unidade e no sistema foi igual a grandeza dos coeficientes a serem estimados.

A resposta em frequência dos modelos obtidos usando a estrutura de mesma ordem dos sistemas e encontra-se respectivamente nas FIGURA 11 e FIGURA 12. Diferentemente dos dados anteriores não foi necessário um processo

100 101 102 -80 -60 -40 -20 0 20 40 M a g n it u d e ( d B ) Resposta em frequência Real OE 100 101 102 -500 -400 -300 -200 -100 0 P h a se ( d e g ) Frequency (rad/s)

(36)

de discretização já que todos os métodos no domínio da frequência fornecem modelos no domínio

FIGURA 11: Resultados obtidos para a identificação do sistema usando os métodos do domínio da frequência. A estrutura utilizada tem ordem igual a do sistema.

FIGURA 12: Resultados obtidos para a identificação do sistema usando os métodos do domínio da frequência. A estrutura utilizada tem ordem igual a do sistema.

100 101 102 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 M a g n it u d e ( d B ) Resposta em frequência Real SK VF LM 100 101 102 -200 -150 -100 -50 0 P h a se ( d e g ) Frequency (rad/s) 100 101 102 -80 -60 -40 -20 0 20 40 M a g n it u d e ( d B ) Resposta em frequência Real SK VF LM 100 101 102 -500 -400 -300 -200 -100 0 P h a se ( d e g ) Frequency (rad/s)

(37)

Observa-se que todos os métodos apresentaram respostas que se sobrepõem a resposta em frequência original do sistema. O que sugere a obtenção de um bom modelo.

Para uma melhor verificação dos modelos obtidos é interessante comparar a posição de seus pólos. A TABELA 1 e a TABELA 2 contém os pólos dos modelos obtidos no domínio do tempo e no domínio da frequência para o sistema e , respectivamente. Na primeira os modelos apresentam os mesmos pólos do sistema, o que nos levar a supor que quando os modelos obtidos para o sistema forem submetidos a uma análise de validação os erros encontrados serão pequenos.

TABELA 1: Pólos dos modelos obtidos. Sistema

Te m po OE Frequ ên ci a SK VF LM

Os modelos do sistema obtidos apresentaram diferenças em relação a alocação dos pólos reais. O pólo próximo a origem do sistema não foi encontrado em SK, e foi completamente excluído nos modelos obtidos por VF e LM, ao passo que no domínio do tempo foi corretamente encontrado.

TABELA 2: Pólos dos modelos obtidos. Sistema

Te m po OE Frequ ên ci a SK VF LM

(38)

Os modelos obtidos no domínio do tempo e no domínio da frequência foram sujeitos a um processo de validação, em que uma entrada aleatória era aplicada aos modelos e ao sistema. Valores de erro entre saída do modelo e saída do sistema foram medidos.

Pelo mesmo motivo anterior, para a realização da validação foi necessário a discretização dos modelos obtidos no domínio da frequência. A discretização realizada foi feita com o mesmo período de amostragem

Os resultados obtidos nesta etapa foram comparados e podem ser visualizados na FIGURA 13. Pode-se notar que, como o esperado, devido a boa alocação dos pólos dos modelos do sistema os erros são quase imperceptíveis. Uma análise mais crítica pode ser feita a partir da TABELA 3, que apresenta o valor médio dos erros quadráticos (RMS).

Todos os métodos de identificação na frequência trouxeram baixos valores de erros, mesmo os que não consideraram a inclusão do pólo real anteriormente comentado. O que nos leva a crer que o sistema , pode também ser modelado pro uma estrutura de ordem inferior. Esta observação será discutida mais adiante

TABELA 3: Valores de erro quadráticos medidos na validação

Output-Error (OE)

Levy (SK)

Vector Fitting (VF)

(39)

FIGURA 13: Resultado do processo de validação dos modelos obtidos usando entrada aleatória. Sistema (Superior) e sistema (Inferior)

4.1.2 Análise do funcionamento dos métodos com a adição de incertezas nas medidas

Uma vez com todos os métodos funcionando corretamente passou-se ao teste seguinte utilizando incertezas nas medidas coletadas. Os métodos de identificação foram aplicados no modelamento dos sistemas e com dados coletados contendo erros. Para simular o efeito da presença de erros nas medidas foi adiciona ao conjunto de dados coletados, tanto no domínio do tempo como no domínio da frequência, um pequeno valor aleatório.

A amplitude deste foi variada ao longo dos testes em intervalos constantes de em relação ao valor RMS obtido considerando os dados de magnitude, fase e as amostras no período do tempo.

Foram considerados os dois sistemas no processo de identificação. As estruturas dos modelos utilizados tem a mesma ordem da dos sistemas. O tempo de amostragem utilizado foi de para o OE e o intervalo de frequência utilizado para os demais métodos era [ ] dispostos em intervalos de . Em todas as situações foram usados um número de 1000 amostras, e os métodos tinham as mesmas configurações que o teste anterior em relação a iterações e valores iniciais.

0 1 2 3 4 5 6 7 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015

Saída dos modelos estimados sujeitos a uma entrada aleatória. Sistema H1

0 1 2 3 4 5 6 7 -2 0 2 4 6 8 10

Saída dos modelos estimados sujeitos a uma entrada aleatória. Sistema H2 Real OE SK VF LM Real OE SK VF LM

(40)

A FIGURA 14 representa o comportamento do erro calculado na magnitude e fase, presente na resposta em frequência dos modelos quando comparados com o sistema . A FIGURA 15 por sua vez, ilustra o valor dos erros dos modelos discretizados usando-se o mesmo anterior.

Observa-se que o método OE foi o que sofreu menos influência conforme a amplitude do erro aumentava, tanto para a magnitude quanto para a fase. Os métodos de identificação no domínio da frequência apresentaram um crescimento exponencial do erro para o valor da magnitude, sendo que o VF apresentou o maior dos erros. Foi verificado ainda que o VF apresentou um comportamento diferente quando sofreu o processo de discretização nos valores referentes a fase (FIGURA 15) .

FIGURA 14 Evolução do erro para os modelos no domínio da frequência variando-se a amplitude do erro aplicado sobre as medidas realizadas. Sistema .

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4x 10 -3 Erro Introduzido (%) V a lo r rm s d o e rr o d e v a lid a ç ã o

Evolução do erro na MAGNITUDE no domínio s

SK VF LM 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 10 20 30 40 50 Erro Introduzido (%) V a lo r rm s d o e rr o d e v a lid a ç ã o

(41)

FIGURA 15: Evolução do erro para os modelos discretizados variando-se a amplitude do erro aplicado sobre as medidas realizadas. Sistema .

Durante o processo de validação dos modelos o erro medido apresentou um comportamento similar ao das figuras anteriores. Os resultados estão apresentados na FIGURA 16. O método SK apresentou um pico quando o erro tinha 5% em relação ao RMS total, este valor provavelmente foi oriundo de um problema de mau condicionamento da matriz dos coeficientes utilizada pelo método.

FIGURA 16: Evolução do erro RMS encontrado na validação dos modelos obtidos. Sistema . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4x 10 -3 Erro Introduzido (%) V a lo r rm s d o e rr o d e va li d a çã

o Evolução do erro na MAGNITUDE no domínio Z

OE SK VF LM 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 100 200 300 400 Erro Introduzido (%) V a lo r rm s d o e rr o d e va li d a çã

o Evolução do erro na FASE no domínio Z

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4x 10 -3 Erro Introduzido (%) V a lo r rm s d o e rr o d e va li d a çã o

Evolução do erro de validação

OE SK VF LM

(42)

Os modelos obtidos para o sistema demostraram um comportamento diferente aos do sistema . Pode-se observar pela FIGURA 17 que os métodos de identificação na frequência SK e LM, apresentaram grandes valores de erro quando o erro introduzido era muito grande. Ao contrário do sistema , não foram verificadas diferenças no comportamento do erro no domínio do tempo contínuo e discreto em nenhum dos métodos.

FIGURA 17: Evolução do erro encontrado conforme variação da amplitude do erro aplicado sobre as medidas realizadas. Sistema .

No processo de validação dos modelos, os métodos VF e SK apresentaram erros muito grandes dificultando dessa forma a visualização da curva de validação. Por esse motivo a FIGURA 18 contém o valor dos erros obtidos para o método de identificação no domínio da frequência VF e identificação no domínio do tempo OE.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 Erro Introduzido (%) V a lo r rm s d o e rr o d e va li d a çã

o Evolução do erro na MAGNITUDE no domínio Z

OE SK VF LM 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 50 100 150 200 Erro Introduzido (%) V a lo r rm s d o e rr o d e va li d a çã

(43)

FIGURA 18: Evolução do erro na validação usando os métodos OE (domínio do tempo) e VF (domínio da frequência).

Os valores obtidos para os dois sistemas, simples e complexo, foram diferentes. Porém o método de identificação no domínio do tempo apresentou-se mais eficiente para os dois sistemas.

4.1.3 Análise do funcionamento dos métodos com a variação no número de amostras coletadas.

Este teste tem por objetivo avaliar o comportamento do erro no modelamento dos sistemas quando um número diferente de amostras é usado. Para que essa análise fosse realizada foi definido um intervalo fixo no domínio da frequência e no domínio do tempo e o intervalo entre as amostras coletadas era variado.

Os intervalos de variação de frequência foram definidos em [ ] e no tempo [ ] . Toda vez que o intervalo entre as amostras era variado uma nova coleta de dados era realizada e novos modelos eram obtidos e então avaliados em relação ao valor de magnitude e fase.

Para a realização dos testes foi utilizada as configurações iniciais utilizada nos testes anteriores e também uma estrutura de mesma ordem que a do sistema avaliado. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10-0.6 10-0.5 10-0.4 10-0.3 10-0.2 10-0.1 100 100.1 Erro Introduzido (%) V a lo r rm s d o e rr o d e va li d a çã o

Evolução do erro de validação

OE VF

(44)

A FIGURA 19 contém as diversas respostas em frequência para os diferentes modelos obtidos no domínio do tempo para o sistema . Nota-se que à medida que o número de amostras aumentava, ou seja diminuía, o modelo ia se tornando mais preciso. O que nos leva a perceber que os modelos no domínio do tempo são totalmente dependentes do período de amostragem utilizado.

FIGURA 19: Resposta em frequência para os modelos obtidos no processo de identificação no domínio do tempo usando-se um número variável de amostras.

As figuras abaixo ilustram as resposta em frequência para os demais métodos de identificação no domínio da frequência para o sistema . O método VF (FIGURA 22) apresentou os melhores resultados para um baixo número de amostras ao passo, que o método LM os piores. Este último só obteve resultados satisfatórios quando as amostras utilizadas ultrapassavam o número de 200.

100 101 102 -80 -60 -40 -20 0 20 40 M a g n it u d e ( d B ) Resposta em frequência 100 101 102 -2000 -1500 -1000 -500 0 P h a s e ( d e g ) Frequency (rad/s) real N = 20 N = 60 N = 80 N = 200 N = 300 N = 500

(45)

FIGURA 20: Resposta em frequência para os modelos obtidos no processo de identificação no domínio da frequência com o método SK ,usando um número variável de amostras

FIGURA 21: Resposta em frequência para os modelos obtidos no processo de identificação no domínio da frequência com o método VF ,usando um número variável de amostras

100 101 102 -80 -60 -40 -20 0 20 40 M a g n it u d e ( d B ) Resposta em frequência 100 101 102 -500 -400 -300 -200 -100 0 P h a s e ( d e g ) Frequency (rad/s) real N = 20 N = 60 N = 80 N = 100 N = 200 N = 300 100 101 102 -80 -60 -40 -20 0 20 40 M a g n it u d e ( d B ) Resposta em frequência 100 101 102 -500 -400 -300 -200 -100 0 P h a se ( d e g ) Frequency (rad/s) real N = 20 N = 60 N = 80 N = 100 N = 200 N = 300 N = 500

(46)

FIGURA 22: Resposta em frequência para os modelos obtidos no processo de identificação no domínio da frequência com o método LM ,usando um número variável de amostras

A partir da evolução do erro na análise do sistema (FIGURA 23) e do sistema (FIGURA 24) podemos concluir que o método de identificação no domínio do tempo usado é bastante dependente do tempo de amostragem. Nos dois gráficos notamos que a medida que o número de amostras aumenta, e consequentemente o período de amostragem diminuía o erro diminuía proporcionalmente, até o número de 100 amostras.

FIGURA 23:Evolução dos erros entre magnitude e fase em relação ao sistema quando o número de amostras era variado. Sistema

100 101 102 -100 -50 0 50 M a g n it u d e ( d B ) Resposta em frequência 100 101 102 -500 -400 -300 -200 -100 0 P h a se ( d e g ) Frequency (rad/s) real N = 20 N = 60 N = 80 N = 100 N = 200 N = 300 N = 500 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 10-20 10-15 10-10 10-5 100

Erro acumulado MAGNITUDE

Amostras V a lo r d o e rr o a b so lu to OE SK VF LM 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 10-15 10-10 10-5 100 105

Erro acumulado FASE

Amostras V a lo r d o e rr o a b so lu to

(47)

FIGURA 24: Evolução dos erros entre magnitude e fase em relação ao sistema quando o número de amostras era variado. Sistema

Em relação a um número pequeno de amostras, os métodos no domínio da frequência apresentaram melhores resultados do que no domínio do tempo. O método VF apresentou o menor dos erros nos dois sistemas.

Verifica-se que SK forneceu modelos mais precisos que no tempo em relação ao sistema isso já não foi verificado no sistema . Isto se deve provavelmente devido a ordem elevada do mesmo.

O método de otimização LM apresentou variações bruscas no erro quando o sistema foi modelado, já os resultados obtidos para foram bem mais estáveis.

4.1.4 Análise do funcionamento dos métodos com o uso de sinais de excitação de mesmo espectro de frequência

Este teste tem como objetivo comparar de maneira mais exata a capacidade de identificação dos métodos quando sinais de mesmo espectro de frequência são usados para a excitação durante a coleta dos dados. Isso quer dizer que se um determinado intervalo de frequência for coletado no domínio da frequência, este mesmo intervalo será utilizado para compor o sinal que vai ser usado na excitação do sistema para a coleta de informações no domínio do tempo.

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 10-15 10-10 10-5 100 105

Erro acumulado MAGNITUDE

Amostras V a lo r d o e rr o a b so lu to OE SK VF LM 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 10-10 10-5 100 105

Erro acumulado FASE

Amostras V a lo r d o e rr o a b so lu to

(48)

O objetivo do teste é também verificar se o uso de componentes de frequência distante ou próximo dos pólos acarreta em diferenças na qualidade do modelo adquirido.

A análise envolveu o estudo de dois casos com faixas de frequências diferentes. Em ambos, foi utilizada uma faixa de frequência para compor o sinal de excitação denotado por , e outra para compor um sinal usado no processo de validação, representado por . Os métodos também foram submetidos a validação usando um sinal de entrada aleatória ( ).

{ [ ] [ ] { [ ] [ ]

Estas faixas foram escolhidas de modo que no Caso 1, o sinal usado para estimação abrangesse os pólos das funções de transferência, e o espectro usado na validação ( ) estivesse fora desse intervalo. No Caso 2, esta situação se

inverte, a coleta de dados era feita fora da faixa de frequência dos pólos e a validação dentro dela. Deve-se observar que nos dois casos a validação usando entrada aleatória usava uma distribuição normal de frequência ( ).

Para uma melhor avaliação dos modelos obtidos os erros relativos entre modelos e sistemas foram analisados graficamente e quantitativamente num intervalo de [ ] .

Nos dois casos foi usado um total de amostras. Logo 1000 pontos de frequência foram usados dentro do intervalo de cada situação e estes foram usados para compor um sinal que foi aplicado a um sistema, cuja saída, foi amostrada com , de modo a também se obter 1000 pontos para serem usados na identificação no domínio do tempo.

As estruturas utilizadas tem a mesma ordem dos sistemas e as configurações iniciais para os métodos são as mesmas dos testes anteriores.

Pode-se observar pelas FIGURA 25 e FIGURA 26 que a resposta em frequência dos modelos obtidos para o Caso 1 aproximaram-se de forma satisfatória da resposta em frequência dos sistemas avaliados. Os modelos obtidos por VF e LM apresentaram bons resultados, ao passo que SK e OE apresentaram desvios elevados no modelamento de .

(49)

FIGURA 25: Resposta em frequência dos modelos discretizados usando um espectro em frequência para o sinal de excitação, fora da faixa dos pólos do sistema. Sistema .

FIGURA 26: Resposta em frequência dos modelos discretizados usando um espectro em frequência para o sinal de excitação, fora da faixa dos pólos do sistema. Sistema .

A FIGURA 27 e a FIGURA 28 apresentam o teste de validação dos modelos utilizando a faixa do Caso 1, e também a entrada aleatória. Como já observado os métodos de identificação no domínio da frequência apresentaram bons resultados, e os erros encontrados podem ser visto na TABELA 4.

100 101 102 -100 -80 -60 -40 -20 M a g n it u d e ( d B ) Resposta em frequência 100 101 102 -200 -150 -100 -50 0 P h a s e ( d e g ) Frequency (rad/s) Real OE SK VF LM Faixa estimação Faixa validação 100 101 102 -80 -60 -40 -20 0 20 40 M a g n it u d e ( d B ) Resposta em frequência Real OE SK VF LM Faixa estimação Faixa validação 100 101 102 -600 -500 -400 -300 -200 -100 0 P h a s e ( d e g ) Frequency (rad/s)

(50)

FIGURA 27: Testes de validação usando as faixas de frequência do Caso 1. Sistema .

TABELA 4: Erros de estimação e validação obtidos no Caso 1

Entradas Estimação Validação Aleatória Estimação Validação Aleatória OE SK VF LM 0 1 2 3 4 5 6 7 -10 0 10

Teste de validação com a entrada de estimação

real OE SK VF LM 0 1 2 3 4 5 6 7 -10 0 10 20 Teste de validação 1 real OE SK VF LM 0 1 2 3 4 5 6 7 -1 0 1 Tempo (s) Teste de validação 2 real OE SK VF LM 0 1 2 3 4 5 6 7 -5000 0

5000 Teste de validação com a entrada de estimação

real OE SK VF LM 0 1 2 3 4 5 6 7 -1 0 1 2x 10 4 _{Teste de validação 1} real OE SK VF LM 0 1 2 3 4 5 6 7 -500 0 500 1000 Tempo (s) Teste de validação 2 real OE SK VF LM

(51)

No caso 2 foi utilizada uma faixa de frequência cujo espectro estava predominantemente dentro da faixa de disposição dos pólos dos sistemas. As figuras FIGURA 29 e FIGURA 30 apresentam as respostas em frequência dos modelos discretizados. Pode-se notar que ao contrário do Caso 1, o método OE não apresentou o mesmo problema em altas frequências que anteriormente, tanto para o sistema quanto para .

FIGURA 29: Resposta em frequência dos modelos discretizados usando um espectro em frequência para o sinal de excitação, dentro da faixa dos pólos do sistema. Sistema .

FIGURA 30: Resposta em frequência dos modelos discretizados usando um espectro em frequência para o sinal de excitação, dentro da faixa dos pólos do sistema. Sistema

100 101 102 -100 -80 -60 -40 -20 M a g n it u d e ( d B ) Resposta em frequência Real OE SK VF LM Faixa estimação Faixa validação 100 101 102 -200 -150 -100 -50 0 P h a s e ( d e g ) Frequency (rad/s) 100 101 102 -80 -60 -40 -20 0 20 40 M a g n it u d e ( d B ) Resposta em frequência Real OE SK VF LM Faixa estimação Faixa validação 100 101 102 -500 -400 -300 -200 -100 0 P h a s e ( d e g ) Frequency (rad/s)

(52)

As FIGURA 31 e FIGURA 32 ilustram os resultados obtidos no processo de validação usando as faixas de frequência do Caso 2.

O valor dos erros obtidos usando a validação com espectro do

Caso 2 está próximo dos valores obtidos quando se utilizava uma entrada aleatória e também próximo aos erros obtidos do teste usando uma coleta de dados usando uma entrada aleatória (TABELA 3).

0 1 2 3 4 5 6 7 -5 0 5 10 15

real OE SK VF LM 0 1 2 3 4 5 6 7 -10 -5 0 5 10 Teste de validação 1 real OE SK VF LM 0 1 2 3 4 5 6 7 -1 -0.5 0 0.5 1 Tempo (s) Teste de validação 2 real OE SK VF LM 0 1 2 3 4 5 6 7 -5000 0 5000 10000 15000

real OE SK VF LM 0 1 2 3 4 5 6 7 -2000 0 2000 4000 6000 Teste de validação 1 real OE SK VF LM 0 1 2 3 4 5 6 7 -200 0 200 400 600 Tempo (s) Teste de validação 2 real OE SK VF LM