SISTEMAS LINEARES EM MALHA FECHADA. O sistema de controle

SISTEMAS LINEARES EM

SISTEMAS LINEARES EM

MALHA FECHADA

MALHA FECHADA

Sistema de controle para um

Sistema de controle para um

tanque de aquecimento

tanque de aquecimento

m_i , T_i m_o , T ∞ elemento de medida de temperatura T_m T_R elemento final de controle q energia elétrica ou vapor . . . registrador controlador T_m Componentes de um sistema de controle: processo Processo Elemento de medida Controlador

Diagrama de Blocos

Diagrama de Blocos

O diagrama torna muito mais fácil a visualização das relações existentes entre os diversos sinais

– +

4

4

4

8

4

4

4

7

6

Mecanismo de controle R

T

comparador

_ε

erro ponto de referência m

T

i

T

variável controlada carga

T

elemento final de controle controlador ++ processo elemento de medida variável medida

Realimentação negativa

x

Realimentação positiva

Desenvolvimento do Diagrama

Desenvolvimento do Diagrama

de Blocos

de Blocos

m

m

m

_&

_i

=

_&

_o

=

_&

→

Vazão constante

Processo

Conservação da energia:

(

)

(

)

dt

dT

CV

T

T

C

m

T

T

C

m

q

_&

+

_&

_i

−

₀

−

_&

−

₀

=

ρ

m_i , T_i m_o , T processo q . . .

T₀=Temperatura de referência da entalpia

Em regime permanente:

q

&

s

+

m

&

C

(

T

i_s

−

T

0

)

−

m

&

C

(

T

s

−

T

0

)

=

0

Subtraindo:

(

)

(

)

[

]

(

)

dt

T

T

d

CV

T

T

T

T

C

m

q

q

s s i i s _s

−

=

−

−

−

+

−

_&

_&

ρ

&

VARIÁVEIS DESVIO

s

i i

i

T

T

T

ˆ

=

−

T

ˆ

=

T

−

T

_s

Q

&

=

q

_&

−

q

_&

_s

(

)

(

)

[

]

(

)

dt T T d CV T T T T C m q q s s i i s _s − = − − − + − _{& &}

ρ

&

(

)

dt T d CV T T C m Q& + & ˆ_i − ˆ =

ρ

ˆ _dt T d m V T T C m Q i ˆ ˆ ˆ & & &

_ρ

= − + m V &

ρ

τ

=

( )

_T

_{( ) ( )}

_{s T s sT}

_{( )}

_s C m s Q i ˆ ˆ ˆ _{− =}

_τ

+ & &

( )(

)

( )

T

( )

s C m s Q s s Tˆ +1 = + ˆ_i & &

τ

⇒

( )(

)

( )

T

( )

s C m s Q s s Tˆ +1 = + ˆ_i & &

τ

( )

( )

T

( )

s s s Q s C m s T ˆ_i 1 1 1 1 ˆ + + + =

τ

τ

& &

( )

s Q& _Tˆ_i

( )

_{s = 0}

( )

s Tˆ Q&

( )

s

Se houver variação apenas em , então

a é:

e a função de transferência que relaciona

( )

s Tˆ

( )

s Q&

( )

( )

1 1 ˆ + = s C m s Q s T

τ

& & 1 1 + s C m τ &

Se houver variação apenas em Tˆ_i

( )

s Q&

( )

s = 0 e a função de transferência que relaciona _Tˆ

( )

_s Tˆ_i

( )

s

, então a é:

( )

( )

1 1 ˆ ˆ + = s s T s T i

τ

( )

s Tˆ 1 1 + s τ

( )

s Tˆ_i

( )

( )

T

( )

s s s Q s C m s T ˆ_i 1 1 1 1 ˆ + + + =

τ

τ

& &

Esta equação é representada no diagrama de blocos

1 1 + s C m τ &

( )

s Q& 1 1 + s τ

( )

s Tˆ_i

( )

s Tˆ ++ Diagrama de blocos equivalente

1 1 + s C m τ &

( )

s Q& C m&

( )

s Tˆ_i

( )

s Tˆ ++

Elemento de Medida

O elemento de medida de temperatura pode apresentar algum retardo por transporte

m_i , T_i m_o , T processo q elemento de medida de temperatura T_m T_m T_R registrador . . .

( )

( )

1

1

ˆ

ˆ

+

=

s

s

T

s

T

m m

τ

onde:

=

m

τ

constante de tempo do termômetro s m m m

T

T

T

ˆ

=

−

s

T

T

T

ˆ

=

−

( )

s Tˆ_m 1 1 + s m τ

( )

s Tˆ

Controlador e Elemento Final de Controle

Por conveniência, os blocos que representam o controlador e o elemento final de controle são combinados em um só bloco

A

K

q

_&

=

_c

ε

+

O controlador será considerado do tipo PROPORCIONAL m R

T

T

ˆ −

ˆ

=

ε

s R R R

T

T

T

ˆ

=

−

onde: m_i, T_i m_o, T ∞ processo elemento de medida de temperatura T_m T_m T_R registrador controlador elemento final de controle q energia elétrica ou vapor . . . = s R Tˆ = c K = A

ε

=

0

temperatura de referência “normal”

sensibilidade proporcional ou ganho do controlador fluxo de calor quando

O uso da variável

Tˆ

_R permite-nos considerar os efeitos das variações no ponto de referência.

R s

R

T

T

=

O sistema deve ser projetado para que

T

T

T

ˆ

_R

=

ˆ

_m

=

ˆ

Em regime permanente

ε

=

0

, pois:

A

K

q

_&

=

_c

ε

+

A

K

q

_&

_s

=

_c

0

+

ε

c s

K

q

q

_&

− &

=

⇒

ε

c

K

Q

&

=

( )

s

K

( )

s

Q

&

=

_c

ε

Transformada de Laplace:

( )

s Q&

( )

s

ε

c

K

Diagrama de Blocos

Diagrama de Blocos

– + elementofinal de controle + processo +

4

4

4

8

4

4

4

7

6

Mecanismo de controle R

T

comparador

_ε

erro ponto de referência m

T

T

variável controlada i

T

carga controlador elemento de medida variável medida

( )

s

T

ˆ

_i C m&

( )

s

Tˆ

– +

ε

( )

s

K

_c 1 1 + s C m τ & ++

( )

s

Q&

( )

s

T

ˆ

_R 1 1 + s m τ

( )

s

T

ˆ

_m

Função de transferência do sistema

Função de transferência do sistema

– + ++

( )

s

T

ˆ

_R

ε

( )

s

( )

s

T

ˆ

_m

( )

s

Tˆ

( )

s

T

ˆ

_i c

K

1 1 + s m τ 1 1 + s C m τ & C m&

( )

s

Q&

i

θ

1

G

G

₂ 3

G

H

θ

o

(

)

[

θ

_i

−

H

θ

_o

G

₁

+

θ

_d

G

₂

]

G

₃

=

θ

_o d

θ

d i o G HG G G G HG G G

_θ

_θ

θ

3 1 3 2 3 1 3 1 1 1+ + + =

( )

( )

T

( )

s s C m K s s C m C m s T s C m K s s C m K s T _i c m R c m c ˆ 1 1 1 1 1 1 1 ˆ 1 1 1 1 1 1 1 ˆ + + + + + + + + + =

τ

τ

τ

τ

τ

τ

& & & & &

( )

( )

T

( )

s s C m K s s C m C m s T s C m K s s C m K s T _i c m R c m c ˆ 1 1 1 1 1 1 1 ˆ 1 1 1 1 1 1 1 ˆ + + + + + + + + + =

τ

τ

τ

τ

τ

τ

& & & & &

( )

(

)

(

)(

)

( )

(

)

(

)(

)

T

( )

s

C

m

K

s

s

s

s

T

C

m

K

s

s

s

C

m

K

s

T

_i c m m R c m m c

ˆ

1

1

1

ˆ

1

1

1

ˆ

&

&

&

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

τ

τ

τ

τ

τ

τ

Função de transferência do sistema

Função de transferência do sistema

( )

s

T

ˆ

_i C m&

( )

s

Tˆ

– +

ε

( )

s

K

_c 1 1 + s C m τ & ++

( )

s

Q&

( )

s

T

ˆ

_R 1 1 + s m τ

( )

s

T

ˆ

_R

T

ˆ

_i

( )

s

=

0

( )

s

T

ˆ

_m

Para uma variação em e

( )

s

Tˆ

( )

s

ε

– +

K

_c

Q&

( )

s

( )

s

T

ˆ

_R 1 1 + s C m τ & 1 1 + s m τ

( )

s

T

ˆ

_m

( )

s

Tˆ

( )

s

ε

– +

K

_c

Q&

( )

s

( )

s

T

ˆ

_R 1 1 + s C m τ & 2

G

θ

o i

θ

1 1 + s m τ

( )

s

T

ˆ

_m

G

1

(

θ

_i

−

θ

_o

H

)

G

₁

G

₂

=

θ

_o

H

( )

( )

1

1

.

1

1

.

1

1

1

.

ˆ

ˆ

+

+

+

+

=

s

s

C

m

K

s

C

m

K

s

T

s

T

m c c R

τ

τ

τ

&

&

( )

( )

(

)

(

)(

)

C

m

K

s

s

s

C

m

K

s

T

s

T

c m m c R

&

&

+

+

+

+

=

1

1

1

ˆ

ˆ

τ

τ

τ

H

G

G

G

G

i o 2 1 2 1

1

+

=

θ

θ

( )

( )

(

)

(

)(

)

C m K s s s C m K s T s T c m m c R & & + + + + = 1 1 1 ˆ ˆ

τ

τ

τ

( )

( )

(

)

(

)

      ₊ + + + + = 1 1 ˆ ˆ 2 C m K s s s C m K s T s T c m m m c R & &

τ

τ

τ

τ

τ

Função de transferência do sistema

Função de transferência do sistema

( )

s

T

ˆ

_i C m&

( )

s

Tˆ

– +

ε

( )

s

K

_c 1 1 + s C m τ & ++

( )

s

Q&

( )

s

T

ˆ

_R 1 1 + s m τ

( )

s

T

ˆ

_i

T

ˆ

_R

( )

s

=

0

( )

s

T

ˆ

_m

Para uma variação em e

( )

s

Tˆ

( )

s

T

ˆ

_i + + c

K

1 1 + s C m τ & C m&

( )

s

Q&

ε

( )

s

T

ˆ

m

( )

s

1 1 + s m τ -1

+ +

( )

s

T

ˆ

_i

( )

s

ε

T

ˆ

_m

( )

s

( )

s

Tˆ

c

K

1_{s +1} m τ 1 1 + s C m τ &

( )

s

Q&

C m& 3 2 1 2 2 1

1

G

H

H

H

G

G

i o

−

=

θ

θ

i

θ

θ

o 1 G G2 1 H H₂ H₃

(

θ

_i

G

₁

+

θ

_o

H

₁

H

₂

H

₃

)

G

₂

=

θ

_o -1

( )

( )

1

1

.

.

1

1

1

1

1

ˆ

ˆ

+

+

+

+

=

s

K

s

C

m

s

s

T

s

T

m c i

τ

τ

τ

&

( )

( )

1

1

.

.

1

1

1

1

1

ˆ

ˆ

+

+

+

+

=

s

K

s

C

m

s

s

T

s

T

m c i

τ

τ

τ

&

( )

( ) (

)(

)

C

m

K

s

s

s

s

T

s

T

c m m i

&

+

+

+

+

=

1

1

1

ˆ

ˆ

τ

τ

τ

( )

( )

(

)

      ₊ + + + + = 1 1 ˆ ˆ 2 C m K s s s s T s T c m m m i &

τ

τ

τ

τ

τ

Exemplo de solução com

Exemplo de solução com

MATLAB Simulink

MATLAB Simulink

m_i, T_i m_o, T ∞ processo elemento de medida de temperatura T_m T_m T_R registrador controlador elemento final de controle q energia elétrica ou vapor – + ++

( )

s Tˆ_R ε

( )

s

( )

s Tˆ_m

( )

s Tˆ

( )

s Tˆ_i c

K

1 1 + s m τ 1 1 + s C m τ & C m&

( )

s Q& s 60 =

τ

s m =10

τ

s kg m_& = 2,0 C kg kJ C _o . 18 , 4 = TR

( )

s +_– ++ ˆ Tˆ

( )

s

( )

s Tˆ_i

50

₆₀0,_s12₊₁ 36 , 8 Simulink mdl files Dados: C kW K_c = 50 _o 1 10 1 + s

Para uma entrada Degrau unitário em T_R , qual o erro em regime permanente?

( )

( )

(

)

(

)

      ₊ + + + + = 1 1 ˆ ˆ 2 C m K s s s C m K s T s T c m m m c R & & τ τ τ τ τ

Ã

Entrada degrau unitário em T_R:

( )

s s Tˆ_R = 1

( )

(

)

(

)

s C m K s s s C m K s T c m m m c 1 1 1 ˆ 2 _      ₊ + + + + = & & τ τ τ τ τ

9 Teorema do valor final:

( )

t

sF

( )

s

f

s t

lim

0

lim

→ ∞ →

=

Ã

Função de transferência:

( )

t sF

( )

s f s t lim0 lim → ∞ → =

Ã

Valor final:

( )

1 lim + = ∞ → C m KmC K t T c c t & &

( )

(

)

(

)

s C m K s s s C m K s t T c m m m c s t 1 1 1 . lim lim 2 0       ₊ + + + + = → ∞ → & & τ τ τ τ τ

⇒

( ) ( )

∞ − ∞ = T T Erro _R

Ã

Erro: 1 1 + − = C m KmC K Erro c c & & 1 1 + = C m K Erro c &

⇒

Para uma entrada Degrau unitário em T_i , qual o erro em regime permanente, em relação à T_R?

Ã

Entrada degrau unitário em T_i:

Ã

Função de transferência:

( )

( )

(

)

      ₊ + + + + = 1 1 ˆ ˆ 2 C m K s s s s T s T c m m m i & τ τ τ τ τ

( )

s s Tˆ_i = 1

( )

(

)

s C m K s s s s T c m m m 1 1 1 ˆ 2 _      ₊ + + + + = & τ τ τ τ τ

9 Teorema do valor final:

( )

t

sF

( )

s

f

s t

lim

0

lim

→ ∞ →

=

( )

t sF

( )

s f s t lim0 lim → ∞ → =

Ã

Valor final:

( )

(

)

s C m K s s s s t T c m m m s t 1 1 1 . lim lim 2 0       ₊ + + + + = → ∞ → & τ τ τ τ τ

( )

1 1 lim + = ∞ → C m K t T c t &

⇒

( ) ( )

∞ − ∞ = T T Erro _R

Ã

Erro: 1 1 0 + − = C m K Erro c &

⇒

1 1 + − = C m K Erro c & Simulink mdl files

Sistema de controle de nível

Sistema de controle de nível

q_i q_d h Bóia Distúrbio Ajuste do valor de referência h_r x y _Alavanca z Válvula Reservatório q_o Resistência R

Determinar a relação entre as entradas:

9Valor de ajuste para o nível do líquido h_r 9Distúrbio para o nível de líquido q_d

Distúrbio h Variáveis desvio: o d i

q

q

q

z

h

,

,

,

e

Ajuste do valor de referência h_r q_d E a saída: 9 Nível do líquido h

Diagrama de Blocos

Diagrama de Blocos

– + elementofinal de controle + processo +

4

4

4

8

4

4

4

7

6

Mecanismo de controle R

θ

comparador

_ε

erro ponto de referência m

θ

o

θ

variável controlada d

θ

distúrbio controlador elemento de medida variável medida –

+ alavanca_pivotada válvula ++ tanque

d

q

i

q

z

h

h

_R

−

h

R

h

h

bóia

Desenvolvimento do Diagrama

Desenvolvimento do Diagrama

de Blocos

de Blocos

Alavanca pivotada

h z x y entrada na pivô do Distância saída na pivô do Distância EntradaSaída = y h xz = = α tan

y

x

h

z =

( )

y

H

( )

s

x

s

Z

=

α

y x

( )

s H Z

( )

s

Válvula

ª

A entrada

_z

para a válvula determina a taxa de escoamento q_i na saída da válvula.

ª

A relação entre a entrada e a saída pode ser linearizada:

z

c

q

_i

=

z q_i

( )

s Q_i

( )

s

c

Z

( )

s

Q

_i

=

Z

( )

s c

Tanque

Conservação da massa:

dt

h

d

A

q

q

q

_i

+

_d

−

_o

=

R

h

q

_o

=

R

h

dt

h

d

A

q

q

_i

+

_d

=

+

⇒

q_i q_d h

( )

( )

[

Q

s

Q

s

]

AR

s

H

( )

s

H

( )

s

R

_i

+

_d

=

+

AR

=

τ

( )

s Q_d q_o Resistência R

( )

( )

( )

1

1

+

+

+

=

s

s

Q

R

s

s

Q

R

s

H

i q

τ

τ

Qi

( )

s s +1 H

( )

s R τ ++

Bóia

A realimentação é o movimento da bóia

h

O movimento da bóia transmite diretamente o sinal de altura de líquido em movimento da alavanca.

Portanto a realimentação é unitária. h

( )

s

H

( )

s

H

=

1

.

H

( )

s H

( )

s 1

Diagrama de Blocos

Diagrama de Blocos

– + ++

( )

s

H

_R

( )

s

H

( )

s

H

_R

−

_m

( )

s

Q

_d

( )

s

Z

Q

_i

( )

s

( )

s

H

alavanca

pivotada válvula tanque

( )

s

H

_m bóia – + ++

( )

s

H

_R

( )

s

H

( )

s

H

_R

−

( )

s

Q

_d

( )

s

Z

Q

_i

( )

s

1 + s R τ c y x

H

( )

s

( )

s

H

Função de Transferência

Função de Transferência

d

θ

– + ++ ( )s H( )s H_R − Z

( )

s _Q

_{( )}

_s i c y x 1

G

G

₂ ( )s Q_d ( )s H 1 + s R τ 3

G

( )s H_R i

θ

_θ

_o

H

(

)

[

θ

_i

−

θ

_o

H

G

₁

G

₂

+

θ

_d

]

G

₃

=

θ

_o

H

G

G

G

G

G

G

G

_{i d} o 3 2 1 3 3 2 1

1

+

+

=

θ

θ

θ

( )

( )

( )

1

1

1

1

+

+

+

+

+

=

s

R

c

y

x

s

Q

s

R

s

H

s

R

c

y

x

s

H

d R

τ

τ

τ

( )

( )

( )

1 1 1 1 + + + + + = s R c y x s Q s R s H s R c y x s H d R τ τ τ

_{( )}

( )

( )

cR y x s s Q R s H cR y x s H d R + + + = 1 τ

( )

( )

Q

( )

s cR y x s R s H cR y x s cR y x s H _{R d} + + + + + = 1 1 τ τ ⇒ Definindo as constantes: cR y x cR y x K + = 1 1 τ cR y x a + = 1 cR y x R K + = 1 2

( )

( )

Q

( )

s

a

s

a

K

s

H

a

s

a

K

s

H

_{R d}

+

+

+

=

1 2

( )

( )

Q

( )

s

a

s

K

s

H

a

s

a

K

s

H

_{R d}

+

+

+

=

1 2

Com uma entrada degrau unitário em H_R(s), sem distúrbio:

( ) ( )

s

s

a

a

K

s

H

+

=

1

_h

( )

_t

₌

_K

(

₁

₋

_e

−at

)

1

( )

s

s

H

_R

=

1

Com uma entrada degrau unitário em Q_d (s), sem alterar o ponto de ajuste:

( ) ( )

s

s

a

a

K

s

H

+

=

2

( )

s

s

Q

_d

=

1

_h

( )

_t

₌

_K

(

₁

₋

_e

−at

)

2

0 100 200 300 400 500 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 3.5 0 h t( ) Hsc t( ) 0500 0 t 2 3 , 0 m A = s m m R = 300 ₃ m x = 0,3 m y =1,2 s m c 2 15 , 0 = s 90 =

τ

( )

_t

_K

(

_e

at

)

h

=

₂

1

−

− s m Q_d 3 01 , 0 =

( )

_t

(

_e

t

)

h

=

0

,

25

1

−

−0,136.

( )

_t

(

_e

t

)

h

=

3

1

−

−0,011. sem controle Mathcad Document Dados: distúrbio