Open Cálculo das retas numa superfície cúbica em P3

(1)

Universidade Federal da Para´ıba

Centro de Ciˆencias Exatas e da Natureza

Programa de P´

os-Gradua¸c˜

ao em Matem´

atica

Curso de Mestrado em Matem´

atica

C´

alculo das Retas numa Superf´ıcie

C´

ubica em

P

3 Geraldo de Assis Junior

(2)

Universidade Federal da Para´ıba

Centro de Ciˆencias Exatas e da Natureza

Programa de P´

os-Gradua¸c˜

ao em Matem´

atica

Curso de Mestrado em Matem´

atica

C´

alculo das Retas numa Superf´ıcie

C´

ubica em

P

3 por

Geraldo de Assis Junior.

sob orienta¸c˜ao de

Prof

a

. Dra Jacqueline Fabiola Rojas Arancibia

(3)

A848c Assis Junior, Geraldo de.

Cálculo das retas numa superfície cúbica em P3_{/ Geraldo de Assis Junior. - - João}

Pessoa : [s.n.], 2011. 55 f. il.

Orientadora: Jacqueline Fabíola Rojas Arancíbia. Dissertação (Mestrado) – UFPB/CCEN.

1.Matemática. 2.Superfície Cúbica. 3.Contagem das Retas. 4.Espaço Projetivo.

(4)

Universidade Federal da Para´ıba

Centro de Ciˆencias Exatas e da Natureza

Programa de Pós-Gradua¸cão em Matemática

Curso de Mestrado em Matem´atica

C´

alculo das Retas numa Superf´ıcie C´

ubica em

P

3

por

Geraldo de Assis Junior

Disserta¸cão apresentada ao Departamento de Matemática da UFPB como requisito para a obten¸cão do grau de Mestre em Matemática.

´

Area de Concentra¸c˜ao: ´Algebra

Aprovada por:

Profa

. Dra. Jacqueline Fabiola Rojas Arancibia - UFPB (Orientadora)

Prof. Dr. Andr´e Luiz Meireles Araujo - UFPE

(5)

Agradecimentos

`

A UFPB por ter me acolhido no programa de pós-gradua¸cão em matemática.

Aos meus pais, pelo apoio e incentivo em todos momentos da minha vida possibilitando a concretiza¸c˜ao deste sonho.

`

As minhas irm˜as, Selma, Gelly e Lili, pelo carinho e por todos os momentos de alegria que revigoravam minhas energias na luta pelo objetivo final.

`

A minha orientadora Jacqueline Rojas, pela paciência, confian¸ca e motiva¸cão sem os quais não teria realizado este trabalho.

Aos professores Jacqueline, Andrade, Everaldo, Lisandro e Fagner não só pelo conhe-cimento adquirido mas também pelo exemplo de bons profissionais.

Aos professores Roberto Bedregal e Andr´e Luiz, por terem aceitado participar da banca.

(6)

Resumo

Neste trabalho estudamos as superf´ıcies cúbicas em P3. Mais precisamente, nos preo-cupamos em contabilizar o número de retas sobre estas superf´ıcies. No cap´ıtulo um provamos o conhecido resultado que afirma que o número de retas sobre uma superf´ıcie cúbica não singular em P3 é 27. No cap´ıtulo dois, como motiva¸cão para o cap´ıtulo três, é abordada a classifica¸cão das singularidades de curvas planas. Para o caso singular, abordado no cap´ıtulo três, utilizamos dois algoritmos para contar as retas. O primeiro consiste em dividir as retas em seis pacotes, que na verdade são os abertos que cobrem a grassmanniana G(2,4), e em cada pacote contamos as retas que estão sobre a superf´ıcie dada. O segundo algoritmo consiste em dividir as retas sobreS em dois pacotes: O pacote das retas que passam por P e o pacote das retas que não passam por P, sendo P uma singularidade isolada da superf´ıcie em questão.

(7)

Abstract

In this work we study cubic surfaces in P3. More specifically, we take care to count the number of lines on these surfaces. In chapter one we proved that the number of lines on a non-singular cubic surface in P3 is 27. In chapter two, as the motivation for chapter three, we focused in the classification of singularities of plane curves. For the singular case, discussed in chapter three, we used two algorithm to compute the number of lines. The first one consists in to divide the computation in six packages, which are actually the open set of the grassmannianG(2,4), and in each open set we count the lines contained on the given surface. The second algorithm consists of dividing the lines on S

in two packages: The package of lines passing through P and those lines that not passing through P but they are contained in a plane that contain some line passing through P, here P is an isolated singularity of the given surface.

(8)

Sum´

ario

1 Contagem das 27 Retas numa Superf´ıcie C´ubica Regular em P3 1

1.1 Um Problema de Existência . . . 1 1.2 Determina¸cão das 27 Retas de uma Superf´ıcie Cúbica em P3 . . . 2

2 Classifica¸c˜ao das Singularidades Isoladas Segundo Arnold (1937-2010) 5

2.1 Séries de Potência . . . 5 2.2 Classifica¸cão das Singularidades das Cúbicas Planas . . . 7

3 Contagem das Retas numa Superf´ıcie C´ubica em P3 10

3.1 Caso 1: Posto de f2 ´e zero . . . 12

3.2 Caso 2: Posto de f2 ´e igual a 1 . . . 13

3.3 Caso 3: Posto de f2 ≥2. . . 22

A Resultados Preliminares 34

(9)

Introdu¸c˜

ao

Pode-se dizer que o estudo do problema de determinar o número de retas sobre uma superf´ıcie projetiva nasceu de discussões entre Arthur Cayley e George Salmon. Cayley provou que uma superf´ıcie cúbica geral contém um número finito de retas, mas coube a Salmon provar que este número é justamente 27. O ponto chave para demonstrar que o número de retas sobre uma superf´ıcie cúbica regular S _⊂ P3 é 27 consiste em verificar que S contém pelo menos uma reta. Feito isso, usamos um resultado que diz que dada uma reta l sobre uma cúbica regular S existem exatamente 5 planos distintos contendo l

cuja interse¸cão comS é igual a união de três retas. Usando este resultado sucessivamente obtemos 27 retas. O problema agora consiste em provar que estas 27 retas são duas a duas distintas e que não há mais retas sobre S diferentes das já determinadas.

De fato, se denotarmos porFk(X) a variedade de Fano formada pelosk-planos emPn

contidos na subvariedade X _⊂ Pn_{. No caso em que} _k _{= 1 e} _X _{´e uma superf´ıcie c´}_ubica,

ent˜ao F1(X) consiste de todas as retas contidas emS, como mencionado anteriormente se

S for n˜ao singularF1(X) tem dimens˜ao zero e grau 27. Por outro lado, como veremos no

cap´ıtulo três deste trabalho, se tirarmos a condi¸cão deSser não singular, nos depararemos, caso F1(X) seja de dimensão zero, que o cardinal deF1(X) varia entre 1 e 21. Já no caso

de superf´ıcies de grau d >3 em P3 verifica-se que pode n˜ao conter retas.

Voltando ao estudo deF1(S) sendo S uma superf´ıcie c´ubica singular faz-se necess´ario

classificar as singularidades. Considere por exemplo a curva afim f(x, y) = 0. Se P = (a, b)_∈C2 for um ponto regular o Teorema da Fun¸cão Impl´ıcita nos diz que esta curva é o gráfico de uma fun¸cão anal´ıtica de uma variável em uma vizinhan¸ca de P. Se P é um ponto singular o problema se complica um pouco mais. Por exemplo, a curva irredut´ıvel (x2 ₊_y2₎2 ₋_x2 ₊_y2 _{= 0 (lemniscata) possui uma singularidade na origem (0}_,_{0). Não}

podemos usar o Teorema da Fun¸cão Impl´ıcita mas podemos utilizar o Diagrama de Newton para obter uma equa¸cão local da curva, o que nos dá (x+y)(x−y) = 0. Assim para reconhecer algebricamente a redutibilidade local de uma curva singular iremos recorrer à extensão C[[x, y]] de C[x, y]. Assim dizemos que duas hipersuperf´ıcies definidas pelos polinômios f, g ∈ C[z1, . . . , zr] que têm singularidade isolada na origem são equivalentes

se existir um isomorfismo de C-´algebras ϕ : C[[z1, . . . , zr]] −→ C[[z1, . . . , zr]] tal que

ϕ(f) = g. Com esta rela¸c˜ao de equivalˆencia Arnould classificou as singularidades de hipersuperf´ıcies nas seguintes formas normais

An zn+1

1 +

r

X

2

zi2 (n≥1) E7 z13+z1z23+

r

X

3

zi2

Dn z₁n−1+z1z22+

r

X

3

zi2 (n≥4) E8 z31+z25+

r

X

3

zi2

E6 z13+z42+

r

X

3

zi2 Eb6 :z13+z23+z33+ 3λz1z2z3+

r

X

4

(10)

Feita esta classifica¸cão podemos calcular as retas sobre uma superf´ıcie cúbica irre-dut´ıvel singular que possui apenas pontos isolados. Usamos neste texto dois algoritmos para obter tais retas. O primeiro consiste em dividir o conjunto de todas as retas nos seis abertos que cobrem a grassmanniana G(2,4). Cada aberto determinará um sistema de equa¸cões cujo número de solu¸cões será igual ao número de retas deste aberto conti-das em S. Para usar o segundo algoritmo considere S = Z(F), com F = x3f2 +f3 e

P = [0 : 0 : 0 : 1] ∈ Sing(S). O m´etodo consiste em calcular as retas sobre S em duas etapas. Retas que passam por P e retas que n˜ao passam porP. As retas que passam por

P estão em bije¸cão comf2∩f3 ⊂P2 se f2 6= 0 (Ver figura 3.1) e as retas que não passam

(11)

Cap´ıtulo 1

Contagem das 27 Retas numa

Superf´ıcie C´

ubica Regular em

P

3

Neste cap´ıtulo S _⊂ P3 denotará uma superf´ıcie cúbica não singular em P3. Nosso objetivo é mostrar que uma superf´ıcie cúbica não singularS _⊂P3 contém exatamente 27 retas.

Denotemos por R = C[x0, x1, x2, x3] o anel dos polinˆomios nas vari´aveis x0, . . . , x3 a

coeficientes emC. Para cadad_≥0 inteiro sejaRdo subespa¸co vetorial deRformado pelos polinômios homogêneos de grau d. Lembremos que dimRd= 3+₃d. A seguir mostremos que a cúbica de Fermat S = Z(F) _⊂ P3 com F = x3

0 +· · ·+x23 cont´em exatamente 27

retas.

Exemplo 1.1 Considere o polinˆomioF =x3

0+x31+x32+x33 ∈C[x0, x1, x2, x3]. A superf´ıcie

c´ubica Z(F)⊂P3 cont´em exatamente 27 retas.

Tendo em considera¸c˜ao que uma retal =Z(f, g) est´a contida em Z(F) se, e somente se, F =αf +βg para algum α, β ∈R2. E usando o fato que xi3+x3j = (xi +α1xj)(xi+

α2xj)(xi+α3xj) onde αi ∈Cs˜ao as ra´ızes c´ubicas da unidade, conclu´ımos queS =Z(F)

contém 27 retas. Por outro lado, uma verifica¸cão local, usando os abertos básicos Uij da grassmanniana de retas (Ver apêndice A) nos permite concluir que S contém exatamente 27 retas.

1.1 Um Problema de Existˆ

encia

A seguir demonstraremos o importante fato de que toda superf´ıcie c´ubica em P3

contém pelo menos uma reta, este fato será o ponto de partida para demonstrarmos que o número de retas sobre uma cúbica não singularS ⊂P3 é exatamente 27.

Teorema 1.1 Toda superf´ıcie c´ubica emP3 cont´em ao menos uma reta.

Demonstra¸c˜ao:

Considere a variedade projetiva Γ ={(l,[F]) ∈ G(2,4)×P(R3)| l ⊂ Z(F)} ⊂ P119 e

as proje¸c˜oes p1 : Γ −→ G(2,4) e p2 : Γ −→ P(R3). Note que p1 ´e sobrejetiva. Se p2 for

sobrejetiva, ent˜ao temos o resultado que buscamos. Assim, vamos supor por absurdo que

p2(Γ)( P(R3).

Sejam L1, L2 ∈ R1 linearmente independentes e l = Z(L1, L2) ⊂P3 uma reta, ´e f´acil

(12)

vetorial de R3. Nosso objetivo agora é calcular a dimensão de Vl. Considere a aplica¸cão

linear sobrejetiva ψ : R2 × R2 −→ Vl dada por (A, B) 7−→ AL1 + BL2, temos que

Ker(ψ)∼=R1. Com efeito, se (A, B)∈Kerψ, ent˜aoAL1+BL2 = 0. Logo existeA1 ∈R1

tal que A = A1L2 e B = −A1L1. Assim Ker(ψ) = {(A1L2,−A1L1)| A1 ∈ R1} ∼= R1.

Logo pelo Teorema do N´ucleo e da Imagem temos que dim(R2 ×R2) =dimR1 +dimVl,

e portanto dimVl = 16.

Agora sejal =Z(L1, L2), ent˜ao p−11 (l) ={(l,[F])| l⊂Z(F)}={l} ×P(Vl)≡P(Vl)≡

P15. Logo dimp−1

1 (l) = 15. Aplicando o Teorema da Dimens˜ao das Fibras ao morfismo

p1 : Γ−→G(2,4), temos quedimΓ−dimG(2,4) = dimp−11(l), para todal num aberto n˜ao

vazio deG(2,4). Pela proposi¸c˜ao A.6 temos quedimG(2,4) = 4. LogodimΓ = 19. Agora seja Γ1 =p2(Γ), temos da proposi¸c˜ao A.4 quedim(Γ1)<19. Seja [F]∈Γ1. Pelo Teorema

da Dimens˜ao das Fibras dimp−1

2 ([F])≥dimΓ−dimΓ1 >0. Logodimp−21([F])≥1, o que

implica que p−1₂ ([F]) é um conjunto infinito. Conclu´ımos assim que, sendo S ⊂ P3 uma superf´ıcie cúbica não singular, ou S contém infinitas retas ou não contém retas, o que é uma contradi¸cão, pois como vimos no exemplo 1.1 a superf´ıcie Z(x3

0+x31+x23+x33)⊂P3

cont´em exatamente 27 retas. Portanto p2 ´e sobrejetiva.

1.2 Determina¸c˜

ao das 27 Retas de uma Superf´ıcie

C´

ubica em

P

3

A seguir enunciaremos três lemas cujas demonstra¸cões podem ser encontradas em [7] ou nas proposi¸cões 4.0.2 e 4.0.3 em [1].

Lema 1.1 SejamS ( P3 _{uma superf´ıcie c´}_{ubica n˜ao singular e}_H _⊂_P3 _{um plano, existem}

três possibilidades para a curva H_∩S, a saber: Uma curva c´ubica irredut´ıvel, a união de uma cônica irredut´ıvel com uma reta ou três retas distintas.

Lema 1.2 Sejap_∈S el1, l2 el3 retas distintas em S tais que p∈l1∩l2∩l3. Ent˜aol1, l2

e l3 s˜ao coplanares.

Lema 1.3 Dada uma reta l ⊂ S existem exatamente cinco planos π1, π2, π3, π4 e π5

contendo l tais que πi_∩S=l_∪li_∪l′

i, onde l, li e li′ s˜ao trˆes retas distintas.

Afirma¸c˜ao 1.1 Considere as retas l, l1, l′1, . . . , l5, l′5 como no lema 1.3. Ent˜ao li∩lj =

li_∩l′

j =li′∩lj′ =∅.

Demonstra¸cão: Provaremos apenas que li _∩lj = _∅. Os demais casos são análogos. Assim, suponha que exista p_∈li_∩lj, podemos considerar duas possibilidades.

1. p_∈l. Neste caso segue do lema 1.2 quel,li e lj s˜ao coplanares. Logo πi =πj.

2. p 6∈ l. Se p 6∈ l, ent˜ao existe um ´unico plano que contem l e p. Ora, mas πi, πj

contˆem l ep. Logo πi =πj.

(13)

Demonstra¸cão: O teorema 1.1 garante a existência de uma reta l em S. Aplicando o lema 1.3 à reta l obtemos 5 planos π1, . . . , π5 e 10 retas l1, l′1, . . . , l5, l′5 tais que πi∩S =

l_∪li_∪l′

i, como mostra a tabela 1.1. Aplicando o lema 1.3 `a reta l1 obtemos mais 8 retas

em S, m2, m′2, . . . , m′5, conforme mostra a tabela 1.2. Aplicando o lema 1.3 uma ´ultima

vez, mas agora sobre a reta l′

1, obtemos mais 8 retas em S, k2, k2′, . . . , k5′, como se vˆe na

tabela 1.3.

Tabela 1.1: Planos contendo l cuja interse¸c˜ao com S consiste de trˆes retas distintas.

planos retas

π1 l, l1 e l′1

π2 l, l2 e l′2

π3 l, l3 e l′3

π4 l, l4 e l′4

π5 l, l5 e l′5

Tabela 1.2: Planos contendo l1 cuja interse¸c˜ao com S consiste de trˆes retas distintas.

planos retas

π1 l, l1 e l′1

π′

2 m2, l1 em′2

π′

3 m3, l1 em′3

π′

4 m4, l1 em′4

π′

5 m5, l1 em′5

Tabela 1.3: Planos contendo l′

1 cuja interse¸c˜ao com S consiste de trˆes retas distintas.

planos retas

π1 l, l1 e l′1

π′′

2 k2, k′2 e l1′

π′′

3 k3, k′3 e l1′

π′′

4 k4, k′4 e l1′

π′′

5 k5, k′5 e l1′

Observe que as retas de cada tabela s˜ao duas a duas distintas. Para ver que nenhuma das 8 retas m2, m′2, . . . , m′5 coincide com alguma das 11 retas da tabela 1.1 suponha sem

perda de generalidade quemi =lj para algum i_{∈ {}2,3,4,5_} e para algumj _{∈ {}2,3,4,5_} (Note que mi já é diferente de l, l1 e l1′). Da´ı o plano πi′ contém as retas lj e l1. Assim

lj_∩l1 6=∅ com j 6= 1, o que contradiz a afirma¸c˜ao 1.1. De modo an´alogo conclu´ımos que

as retasm2, m′2, . . . , m5 s˜ao diferentes de todas as retas da tabela 1.3. O mesmo racioc´ınio

se estende para as retask2, k2′, . . . , k5′, de modo a concluirmos que as 27 retas do conjunto

LS ={l, l1, l1′, . . . , m2, m′2, . . . , k5, k5′} s˜ao duas a duas distintas.

Lema 1.4 Seja L ⊂ S uma reta tal que L∩l 6= ∅ ou L∩l1 6= ∅ ou L∩l′1 6= ∅, ent˜ao

(14)

Demonstra¸cão: De fato, seja L ⊂ S uma reta. Suponha sem perda de generalidade que L_∩l ₆=_∅. Se L=l, então L_{∈ L}S e se L∩l ={p}, então as retas l e L determinam

um único plano π que as contém. Pelo lema 1.1 a interse¸cão π_∩S pode representar no plano π, uma curva cúbica irredut´ıvel, a união de uma reta com uma cônica irredut´ıvel ou a união de três retas distintas. Se π_∩S é uma curva cúbica irredut´ıvel α no plano π, então L _⊂ π _∩S = α. Como dimL = dimα = 1, então pela proposi¸cão A.4 temos que

l =α, o que é um absurdo. Seπ∩S é a união de uma reta rcom uma cônica α no plano

π, então L _⊂ π_∩S = r_∪α. Logo L = (r_∩L)_∪(α_∩L) e pela proposi¸cão A.3 temos que L = r. Analogamente, como l _⊂ π _∩S temos que l = r. Logo l = L, o que é um absurdo. Portanto π∩S consiste de três retas distintas. Pelo lema 1.3 temos que π =πi

para algum i= 1,2,3,4,5 e portanto L_{∈ {}li, l′

i} ⊂ LS.

Lema 1.5 Seja L_⊂S uma reta, ent˜ao L_∩l ₆=_∅ ou L_∩l1 6=∅ ou L∩l′1 6=∅.

Demonstra¸c˜ao: Primeiramente observe que dois planos distintos em P3 sempre se interceptam determinando uma reta. Al´em disso dado um plano π e uma reta r em

P3, temos pela proposi¸c˜ao A.3 que π∩r 6= ∅. Agora seja L ⊂ S uma reta e seja π1 o

plano cuja interse¸c˜ao com S s˜ao as retas l, l1 e l1′, temos que existe p ∈ L∩π1. Logo

p_∈π1∩S =l∪l1∪l1′, isto é, uma da intersecõesL∩l, L∩l1, L∩l′1 é não vazia.

Teorema 1.2 S contem exatamente 27 retas.

(15)

Cap´ıtulo 2

Classifica¸c˜

ao das Singularidades

Isoladas Segundo Arnold (1937-2010)

Neste cap´ıtulo iremos classificar as singularidades das curvas cúbicas planas como motiva¸cão para o próximo cap´ıtulo onde usaremos esta classifica¸cão para contabilizar as retas sobre uma superf´ıcie cúbica em P3.

2.1 S´

eries de Potˆ

encia

SejaKum corpo e sejamz1, . . . , zrindeterminadas sobreK. Denotamos porK[[z1, . . . , zr]],

o conjunto das somas formais do tipo:

f =

∞

X

i=0

Pi =P0+P1+P2 +· · · ,

onde cada Pi é um polinômio homogêneo de grau i nas indeterminadas z1, . . . , zr.

Sejam f =

∞

X

i=0

Pi e g =

∞

X

i=0

Qi, definimos

f +g :=

∞

X

i=0

(Pi+Qi)

e

f.g:=

∞

X

i=0

i

X

j=0

PjQi−j.

Prova-se que com essas opera¸c˜oes K[[z1, . . . , zr]] ´e um anel comutativo com unidade.

Al´em disso, um elemento P =

∞

X

i=0

(16)

invert´ıvel em K. Com efeito, seja g =

∞

X

i=0

Qi o inverso de f, ent˜ao f g = 1, e portanto

P0Q0 = 1

P0Q1+P1Q0 = 0

. . .

P0Qi+· · ·+PiQ0 = 0

· · ·

Em particular, deP0Q0 = 1, temos que P0 ´e invert´ıvel. Reciprocamente, note que se

P0é invert´ıvel, então as equa¸cões acima nos permite determinar sucessivamenteQ0, Q1, . . .

de forma que f.g= 1, onde g =

∞

X

i=0

Qi.

Fixando f1, . . . , fr ∈ hz1, . . . , zri, ´e sempre poss´ıvel determinar um homomorfismo de

an´eis ϕ :K[[z1, . . . , zr]]7−→ K[[z1, . . . , zr]] tal que ϕ(zi) = fi e ϕ(a) =a, ∀a ∈K. Este

homomorfismo ser´a um isomorfismo se, e somente se, as partes lineares de f1, . . . , fr s˜ao

linearmente independentes. (Veja proposi¸c˜ao 8 pag. 13 em [3].) Considere a seguinte rela¸c˜ao emK[[z1, . . . , zr]]

f _∼g _{⇐⇒ ∃} ϕ isomorfismo, tal que ϕ(f) =g.

Note que esta é uma rela¸cão de equivalência. Com efeito,

i Se ϕ´e a identidade, ent˜ao ϕ(f) =f e portantof _∼f, _∀f.

ii Se f _∼g, ent˜ao _∃ ϕ tal que ϕ(f) = g. Logo ϕ−1₍_g_{) =}_f _{e portanto} _g _∼_f_.

iii Sef ∼geg ∼h, ent˜ao∃ϕ1, ϕ2tais queϕ1(f) =g eϕ2(g) = h. Logoϕ2◦ϕ1(f) = h

e portanto f _∼h.

Considere uma hipersuperf´ıcie Z(f)_⊂Ar, e sejaP uma singularidade isolada de Z(f), a menos de uma mudan¸ca de coordenadas afim podemos considerar P = (0, . . . ,0). Assim temos que f ´e equivalente a um dos seguintes polinˆomios, denominados formas normais:

An zn₁+1+

r

X

2

zi2 (n ≥1)

Dn zn1−1+z1z22+

r

X

3

zi2 (n ≥4)

E6 z31 +z24+

r

X

3

z_i2

E7 z31 +z1z32 +

r

X

3

zi2

E8 z31 +z25+

r

X

3

zi2

b

E6 z31 +z23+z33+ 3λz1z2z3+

r

X

4

(17)

Assim, se por exemplo f for equivalente a zn+1

1 +

r

X

2

z_i2, ent˜ao dizemos que a

singu-laridade P é do tipo An. Esta classifica¸cão das singularidades isoladas de uma hipersu-perf´ıcie é devida a Arnold. Para classificar uma singularidade P _∈ C = Z(f) quando

C ´e uma hipersuperf´ıcie em Pr, consideramos um aberto do tipo Ui = Z(xi)C _{de forma}

que P ∈ C∩Ui. Assim tomando a identifica¸c˜ao C∩Ui ←→φ Ce =Z(fe) ⊂ Ar, o tipo da singularidade P _∈C ser´a definido como o tipo da singularidade de φ(P)_∈Ce.

Defini¸cão 2.1 Sejamd, w1, . . . , wr ∈Zef ∈C[z1, . . . , zr], dizemos quef é um polinômio

quase-homogˆeneo de tipo (d;w1, . . . , wr) se, e somente se, todo monˆomiozα =z1α1. . . zαrr que comparece em f tem grau d relativo aos pesos w1, . . . , wr, onde

grau(zα) =α1w1+· · ·+αrwr.

Dizemos que f _∈C[z1. . . , zr]é quase-homogêneo se for quase-homogêneo de algum tipo.

Exemplo 2.1 O polinˆomio f = z3

1 +z22 +z32 ∈ C[z1, z2, z3] ´e quase-homogˆeneo de tipo

(1; 1₃,1₂,1₂)

Defini¸cão 2.2 Sejaf ∈C[[z1, . . . , zr]], fé dita semiquasehomogênea de tipo(d;w1, . . . , wr)

se, e somente se,

f =f0+f1,

onde f0 é um polinômio em C[z1, . . . , zr] quase-homogêneo de tipo (d;w1, . . . , wr) que

possui uma singularidade isolada na origem e grau(f1)> grau(f0), onde

grau(f1) =inf{grau(zα)| f1 =

X

α

cαzα_{, cα}

6

= 0_}.

f0 é dita parte principal da série de potência f.

Exemplo 2.2 Considere f = f0 +f1 ∈ C[[z1, z2, z3]], onde f0 = z12 +z22 +z33 e f1 =

z4

1+z24+z35+z16+z26+z37+· · ·. Note quef0´e quase-homogˆeneo de tipo (1;₂1,1₂,1₃), a origem

é seu único ponto singular egrau(f1) = 2>1 = grau(f0). Logo f é semiquasehomogênea

de tipo (1;1 2,

1 2,

1 3).

Teorema 2.1 (Princ´ıpio do Reconhecimento) Seja f _∈ C[[z1, . . . , zr]] uma s´erie de

potência. Atribua pesos w1, . . . , wr às variáveisz1, . . . , zr de maneira que uma das formas

normais An, Dn, E6, E7, E8,Eb6 tenha grau 1. Se f = f0 +f1 ´e semiquasehomogˆenea de

tipo (1;w1, . . . , wr), então f ∼ f0 e f0 é equivalente à respectiva forma normal de grau 1

na classifica¸c˜ao de Arnold.

Demonstra¸c˜ao: Veja corol´ario pag. 245 em [5].

2.2 Classifica¸c˜

ao das Singularidades das C´

ubicas Planas

Observemos inicialmente que uma cúbica plana projetiva não reduzida não possui sin-gularidades isoladas. Assim a seguir trataremos com cúbicas projetivas planas reduzidas. No apêndice B provamos que uma curva cúbica plana projetiva reduzida é projetivamente equivalente a uma das seguintes: x0x1x2, x0x1(x0 +x1), (x0x2 −x21)x1, (x0x2 −x21)x0,

x2

(18)

Caso 1

f

=

x

0

x

1

x

2

Note que P1 = [0 : 0 : 1], P2 = [0 : 1 : 0] e P3 = [1 : 0 : 0] s˜ao pontos singulares de

C =Z(f). Vamos mostrar que estes s˜ao os ´unicos. Com efeito, sejaP = [a :b:c]∈Z(f), temos que _∂x∂f

0(P) = bc,

∂f

∂x1(P) =ac,

∂f

∂x2(P) =ab. Se P ´e diferente de P1, P2 e P3, ent˜ao

pelo menos duas de suas entradas são não nulas. Logo pelo menos uma das derivadas acima é não nula. Portanto P não é um ponto singular.

Para classificar a singularidade no ponto P = [0 : 0 : 1], considere o aberto afim

x2 = 1. Logo fe=x0x1. Agora considerando o isomorfismo

ϕ : C[[x0, x1]] −→ C[[x0, x1]]

a _7−→ a

x0 7−→ x0+ix1

x1 7−→ x0−ix1

temos que fe∼ x2

0+x21. Portanto a singularidade P = [0 : 0 : 1] ´e do tipo A1.

Analoga-mente, escolhendo abertos convenientes, conclu´ımos que as demais singularidades tamb´em s˜ao do tipo A1

Caso 2

f

=

x

0

x

1

(

x

0

+

x

1

)

Vamos provar que P = [0 : 0 : 1] é o único ponto singular deC =Z(f). Com efeito, seja P = [a: b :c] outro ponto singular deC, então f(P) = 0,_∂x∂f₀(P) = 0 e _∂x∂f₁(P) = 0. Assim temos o seguinte sistema

  

ab(a+b) = 0

a(2b+a) = 0

b(2a+b) = 0

cuja solu¸cão éb =a = 0. PortantoP = [0 : 0 : 1] é o único ponto singular. No aberto afim

x2 = 1, temos que fe= x0x1(x0 +x1). Para finalizar, considere o isomorfismo induzido

por x0 7−→ x0 +ix1, x1 7−→ x0 −ix1. Note que fe∼ 2(x30+x0x21) ∼ x30 +x0x21. Logo a

singularidade P = [0 : 0 : 1] ∈C ´e do tipo D4.

Caso 3

f

= (

x

0

x

2

−

x

21

)

x

0

SejaP = [a:b :c] um ponto singular deC=Z(f). Segue quea = 0 pois _∂x∂f₂(P) =a2_,

e b = 0 pois _∂x∂f

0(P) = 2ac−b

2 ₌₋_b2_{. Logo} _P _{= [0 : 0 : 1] ´e o ´}_{unico ponto singular de}

C = Z(f). Tomando o aberto afim x2 = 1, temos que fe= x20−x0x21. Considerando o

isomorfismo induzido por x0 7−→u2x02+x1,x1 7−→u

√

2x1, ondeu4 =−1, conclu´ımos que

e

f ∼x4

0+x21. Portanto a singularidade P = [0 : 0 : 1] ∈C ´e do tipo A3.

Caso 4

f

= (

x

0

x

2

−

x

21

)

x

1

Neste caso os ´unicos pontos singulares deC =Z(f) s˜aoP1 = [0 : 0 : 1] eP2 = [1 : 0 :

0]. Com efeito, seja P = [a:b :c] um ponto singular deC, temos que ∂f

∂x0(P) =

∂f

∂x1(P) =

∂f

(19)

  

bc = 0

ac₋3b2 _{= 0}

ab = 0

que tem como solu¸c˜ao a = b = 0 ou b =c = 0. Logo P = [0 : 0 : 1] ou P = [1 : 0 : 0]. No aberto afim x2 = 1, temos que fe=x0x1 −x31. Considere o isomorfismo induzido por

x0 7−→x0+ix1, x1 7−→x0−ix1

Note quefe_∼x2

0+x21−x30+ 3ix20x1+ 3x0x21−ix31. Pondo peso 1/2 em ambas vari´aveis

x0 ex1, temos quex20+x21 tˆem grau 1, e−x03+ 3ix20x1+ 3x0x21−ix31 tem grau maior que 1.

Assim, Pelo princ´ıpio do Reconhecimento, temos quefe_∼x2

0+x21. LogoP1 = [0 : 0 : 1] ∈C

´e uma singularidade do tipoA1.

Analogamente, no aberto x0 = 1 temos que fe=x1x2 −x31. Definindo o isomorfismo

induzido por x1 7−→x1+ix2 ex2 7−→x1−ix2 conclu´ımos quefe∼x21+x22−x31+ 3ix21x2+

3x1x22−ix23. Pondo novamente peso 1/2 em ambas vari´aveisx1 ex2 e usando o Princ´ıpio

do Reconhecimento conclu´ımos que fe_∼x2

1+x22. Portanto P2 = [1 : 0 : 0]∈C tamb´em ´e

uma singularidade do tipo A1.

Caso 5

f

=

x

2

1

x

2

−

x

30

−

x

20

x

2

Do lema B.7 conclu´ımos que f possui exatamente um ponto singular, a saber, P = [0 : 0 : 1]. Tomando o aberto afim x2 = 1, segue que fe= x12 −x30 −x20. Considere o

isomorfismo induzido por x0 7−→ ix0 e x1 7−→ x1. Segue que fe∼ x20+x21 −ix30. Pondo

peso 1/2 em ambas as vari´aveis, segue do Princ´ıpio do Reconhecimento que fe_∼x2 0+x21.

Logo a singularidade P _∈C ´e do tipo A1.

Caso 6

f

=

x

2

x

2₁

−

x

3₀

Novamente temos que P = [0 : 0 : 1] ´e o ´unico ponto singular da curva. Tomando o aberto afim x2 = 1, segue que fe=x21−x30. Considere agora o isomorfismo induzido por

(20)

Cap´ıtulo 3

Contagem das Retas numa

Superf´ıcie C´

ubica em

P

3

Neste cap´ıtulo sejam R = C[x0, x1, x2, x3] e Ri ⊂ R o subespa¸co vetorial dos

polinômios homogêneos de grau i. Considere F _∈ R3 não nulo e S = Z(F) ⊂ P3.

Observe que se S for uma superf´ıcie não reduzida, isto é, F é um polinômio que não é livre de quadrados, entãoF =L3 _ou_F ₌_L2_M _com_{L, M} _{L.I. em}_R

1. Portanto Scont´em

infinitas retas.

Agora, se S for uma superf´ıcie reduzida e redut´ıvel necessariamente F = LQ ou

F =LM1M2 com L, M1, M2 L.I. em R1 e Q∈R2 irredut´ıvel. Assim, neste caso tamb´em

cont´em infinitas retas.

Assim, daqui em diante assumiremos que S é irredut´ıvel e reduzida, o que nos leva a analisar duas possibilidades, a saber: S é não singular ou S é singular. Se S é não singular então S contém exatamente 27 retas (Ver cap´ıtulo 1). Se S for singular então temos a seguinte descri¸cão para as singularidades, Sing(S)⊂S, de S.

Teorema 3.1 Seja S = Z(F) uma superf´ıcie c´ubica irredut´ıvel reduzida e singular em

P3. Então dimSing(S) = 0, ou seja, S só possui singularidades isoladas ou Sing(S) é uma reta em P3.

Demonstra¸c˜ao: Como Sing(S) ´e uma subvariedade contida estritamente em S e

dim(S) = 2, temos que dimSing(S)≤ 1. Se dimSing(S) = 0, então naturalmente S só possui singularidades isoladas. Assim, nos resta mostrar que se dimSing(S) = 1, então

Sing(S) ´e uma reta. Com efeito, seja (P3)∗ ₌ _{_H _⊂ _P3_| _H _{´e um plano}_} _{o dual de} _P3_,

o Teorema de Bertini (1846 - 1933) garante que existe um aberto n˜ao vazio U de (P3)∗

tal que H ∩S é irredut´ıvel para todo H ∈ U. Seja C uma componente irredut´ıvel de dimensão 1 de Sing(S). Seja d o grau da curva C. Sabemos que existe um aberto não vazio V em (P3)∗ _{tal que} _H _∩_C _{consiste de exatamente} _d _{pontos distintos para todo}

H ∈ V. Al´em disso, prova-se que cada ponto de H ∩C ´e um ponto singular da curva

H_∩S. Por outro lado, se escolhemos H _∈U, então H_∩S é uma cúbica irredut´ıvel, logo admite no máximo um ponto singular. Escolhendo H _∈U _∩V, conclu´ımos que C é uma curva de grau d= 1, e portanto é uma reta.

Conclu´ımos até aqui que toda componente irredut´ıvel de dimensão 1 de Sing(S) é uma reta. Agora suponha que existam retas distintas l1, l2 tais que l1 ∪l2 ⊂ Sing(S).

Neste caso existe um abertoV1 de (P3)∗ tal que H∩(l1∪l2) consiste de 2 pontos distintos.

Escolhendo H _∈ U _∩V1 conclu´ımos que a curva irredut´ıvel H ∩S possui dois pontos

(21)

Para finalizar, suponha que existam l reta e P 6∈ l tais que l∪ {P} ⊂ Sing(S). Por uma mudan¸ca de coordenadas podemos considerar l = Z(x2, x3) e P = [0 : 0 : 0 : 1].

De P = [0 : 0 : 0 : 1] temos que F = x3f2(x0, x1, x2) +f3(x0, x1, x2). Dados α, β ∈ C,

temos que f3(α, β,0) = F(α, β,0,0) = 0. Logo Z(x2) ⊂ Z(f3) em P2, e portanto existe

h _∈ C[x0, x1, x2] tal que f3 = hx2. Por outro lado, f2(α, β,0) = _∂x∂F3(α, β,0,0) = 0.

Logo Z(x2) ⊂ Z(f2) em P2, e portanto existe eh ∈ C[x0, x1, x2] tal que f2 = ehx2. Logo

F =x2(x3eh+h), o que ´e um absurdo.

O conjunto dos pontos singulares de

S

=

Z

(

F

)

´

e uma reta em

P

3

Proposi¸cão 3.1 Seja S=Z(F)_⊂P3 uma superf´ıcie cúbica irredut´ıvel e reduzida tal que Sing(S) = Z(x0, x1)⊂P3. Então

1. F = x3f2(x0, x1) + x2g2(x0, x1) +g3(x0, x1) para algum f2, g2, g3 ∈ C[x0, x1]

ho-mogˆeneos de grau 2 e 3 conforme os ´ındices.

2. S cont´em infinitas retas.

Demonstra¸c˜ao: Como P = [0 : 0 : 0 : 1] ∈ Sing(S), ent˜ao podemos escrever

F = x3f2(x0, x1, x2) + f3(x0, x1, x2) com fi homogˆeneo de grau i = 2,3 e f3 6= 0. Por

sua vez, podemos ainda escrever f2 = α0x22 +x2α1(x0, x1) +α2(x0, x1) e f3 = β0x32 +

β1(x0, x1)x22+β2(x0, x1)x2+β3(x0, x1) com α1, α2, β1, β2, β3 homogˆeneos de graus 1, 2 e 3

conforme o ´ındice e α0, β0 constantes.

Sejam Q = [0 : 0 : 1 : 0], Q1 = [0 : 0 : 1 : 1] ∈ Sing(S), temos que _∂x∂F3(Q) =

α0 = 0, _∂x∂F2(Q) = 3β0 = 0,

∂F

∂xi(Q) =

∂β1

∂xi para i = 0,1 donde conclu´ımos que β1 = 0 e

∂F

∂xi(Q1) =

∂α1

∂xi para i = 0,1 donde conclu´ımos que α1 = 0. Portanto F = x3α2(x0, x1) +

x2β2(x0, x1) +β3(x0, x1), e assim provamos 1. Agora se α2 = 0 ou β2 = 0, ent˜ao S ´e

um cone. Logo cont´em infinitas retas como veremos no caso 1 na subse¸c˜ao 3.1. No caso

α2β2 6= 0, considere para cada µ∈C o plano Hµ =Z(x0 −µx1). A interse¸c˜aoHµ∩S ´e

definida pelo polinˆomioF(µx1, x1, x2, x3) = x21[α2(µ,1)x3+β2(µ,1)x2+β3(µ,1)x1]. Assim

determinamos uma fam´ılia infinita de retas lµ = Z(x0 −µx1, α2(µ,1)x3 +β2(µ,1)x2 +

β3(µ,1)x1) contidas em S.

A conclus˜ao do caso geral segue da utiliza¸c˜ao de uma mudan¸ca de coordenadas proje-tiva T tal que T(Sing(S)) =Z(x0, x1).

A superf´ıcie

S

=

Z

(

F

)

s´

o possui singularidades isoladas

Após fazer uma mudan¸ca de coordenada projetiva, se necessário, podemos assumir que P = [0 : 0 : 0 : 1]∈Sing(S). Assim com um cálculo análogo ao que fizemos no lema B.7 podemos concluir que

F =x3f2(x0, x1, x2) +f3(x0, x1, x2), (3.1)

onde fi ´e homogˆeneo de grau i= 2,3 e f3 6= 0.

Definimos o posto da forma quadr´atica f2 como sendo o posto da matriz hessiana

associada af2. A seguir faremos a classifica¸c˜ao das superf´ıcies c´ubicas irredut´ıveis

reduzi-das e singulares estudando o posto de f2. Para contabilizar as retas sobre a superf´ıcie

(22)

que na verdade são os abertos que cobrem a grassmanniana G(2,4), e em cada pacote contamos as retas que estão sobre a superf´ıcie dada. Usaremos este algoritmo no caso em que o posto de f2 é igual a 1. O segundo algoritmo consiste em dividir as retas sobre

S em dois pacotes: O pacote das retas que passam por P e o pacote das retas que não passam por P. Para contabilizar as retas que passam porP usamos a proposi¸cão 3.5 que afirma que estas estão em bije¸cão com Z(f2)∩Z(f3)⊂P2 sef2 6= 0. Para contabilizar as

retas que não passam por P usamos a proposi¸cão 3.6 que afirma que estas estão contidas em planos determinados pelas retas que contém P.

3.1 Caso 1: Posto de

f

2

´

e zero

Neste caso f2 = 0 e portanto F = f3(x0, x1, x2) ∈ C[x0, x1, x2, x3]. Assim S ´e um

cone. Observe que

S=Z(F) = [

Q∈S∩Z(x3)

lP,Q,

ondelP,Q _⊂P3 denota a ´unica reta emP3 passando por P = [0 : 0 : 0 : 1] eQ_∈S_∩Z(x3).

Logo S cont´em infinitas retas. Al´em disso Sing(S) depende das singularidades da curva

C =S_∩Z(x3). De fato,

Teorema 3.2 Seja S = Z(F) ⊂ P3 com F = f3(x0, x1, x2) uma superf´ıcie c´ubica

irre-dut´ıvel reduzida. Ent˜ao

Sing(S) =

{P}, se Sing(C) =∅

lP,Q, se Sing(C) =_{Q_}.

Demonstra¸c˜ao:

Assuma que C = Z(f3) ⊂ P2 ´e n˜ao singular. Seja R = [a : b : c : d] ∈ P3 um ponto

singular de Z(F)⊂P3_{. Ent˜ao}

f3(a, b, c) =

∂f3

∂xi(a, b, c) = 0, i= 0,1,2.

Se (a, b, c) 6= (0,0,0), então [a : b : c] ∈ P2 é um ponto singular de C, o que está proibido por hipótese. Logo R=P e portanto Sing(S) = _{P_}.

Reciprocamente, assuma que C ´e singular. Como f3 ´e irredut´ıvel segue do lema B.7

(23)

e seja Q = [a : b : c: 0] ∈ P3, afirmamos que Sing(S) = lP,Q. Com efeito, se P1 ∈ lP,Q,

ent˜ao P1 = [sa:sb:sc:t] para algum [s:t]∈P1. Logo

∂f3

∂xi(P1) = ∂f3

∂xi(sa, sb, sc) =s

2∂f3

∂xi(a, b, c) = 0 ∀ i= 0,1,2.

Logo P1 ∈Sing(S). Portanto, segue-se do teorema 3.1 que sing(S) =lP Q.

Se S admite P como singularidade isolada, então P é uma singularidade isolada do tipo Ec6, conforme mostra o próximo teorema.

Teorema 3.3 Seja S = Z(F) _⊂ P3 com F = f3(x0, x1, x2) uma superf´ıcie c´ubica

ir-redut´ıvel reduzida singular. Se P = [0 : 0 : 0 : 1] é o único ponto singular em S, então existe uma mudan¸ca de coordenadas projetivas T : P3 _−→ P3 tal que T_•x3 = x3 e

T_•F =x3

0 +x31 +x32+ 3λx0x1x2, λ 6=−1 e portanto P ´e um ponto singular do tipo Ec6.

Caso contr´ario, existe T:P3 −→P3 mudan¸ca de coordenadas projetivas tal queT•x3 =x3

e

T•F =

  

x2(x21−x20)−x30

ou x2x21−x30.

Demonstra¸cão: Se P = [0 : 0 : 0 : 1] é o único ponto singular de S ⊂ P3, então a curva Z(f3) é não singular. Assim pelo lema B.8 existe uma mudan¸ca de coordenadas

T:P2 _−→P2 tal que T_•f3 =x30+x31 +x32+ 3λx0x1x2. Note que {T•x0, T•x1, T•x2, x3} ⊂

C[x0, x1, x2, x3]1 ´e linearmente independente. Da´ı podemos definir o isomorfismo de C

-´algebras Te_• : C[x0, x1, x2, x3] −→ C[x0, x1, x2, x3] pondo Te•x3 = x3 e Te•xi = T•xi, i =

0,1,2. Desta forma obtemos uma mudan¸ca de coordenadas Te :P3 −→P3 tal que Te•F =

x3

0+x31+x32+ 3λx0x1x2 eTe•x3 =x3.

SeSing(S) =lP Q, então a curvaZ(f3) é singular. Segue da proposi¸cão B.5 que existe

uma mudan¸ca de coordenadas projetivas T:P2 −→P2 tal que

T_•f =

  

x2(x21−x20)−x30

ou

x2x21−x30.

Logo, definimosTe• :C[x0, x1, x2, x3]−→C[x0, x1, x2, x3] pondoTe•x3 =x3 e Te•xi =xi,

i= 0,1,2.

3.2 Caso 2: Posto de

f

2

´

e igual a 1

Seja F = F(x0, x1, x2, x3) como em (3.1). Se o posto de f2 ´e igual a 1, ent˜ao pelo

teorema A.4 existe uma mudan¸ca de coordenadas T : P2 _−→ P2 tal que T_•f2 = x20.

Definamos Te• : C[x0, x1, x1, x3] −→ C[x0, x1, x2, x3] pondo Te•x3 = x3 e Te•xi = T•xi

com i = 0,1,2. Segue que Te_•F = x3x20 +g3(x0, x1, x2), onde g ´e homogˆeneo de grau 3.

Escrevendo g3(x0, x1, x2) =x20h1(x0, x1, x2) +x0h2(x1, x2) +h3(x1, x2) com hi homogˆeneo

de grau i= 1,2,3 temos que

e

(24)

Considere a mudan¸ca de coordenadasS:P3 −→P3tal queS•(x3+h1(x0, x1, x2)) = x3

e S_•xi =xi,i= 0,1,2. Assim obtemos

G=x3x20+x0h2(x1, x2) +h3(x1, x2) (3.2)

Lema 3.1 SejaG como em (3.2). Se Z(h3)⊂P1 consiste de trˆes pontos distintos, ent˜ao

P = [0 : 0 : 0 : 1] é o único ponto singular de S =Z(G)⊂P3_{. Além disso} _P _{é um ponto}

singular do tipo D4.

Demonstra¸c˜ao:

Sendo ♯(Z(h3)) = 3 existem L, L1, L2 ∈ C[x1, x2]1 formas lineares duas a duas L.I.

tais que h3 = LL1L2. Assim existem a, b ∈ C\{0} tais que L = aL1+bL2. Considere

a mudan¸ca de coordenadas T : P3 _−→ P3 tal que T_•x0 = x0, T•x3 = x3, T•L1 =

µb(x1+ix2), T•L2 =µa(x1−ix2) onde µ3 = ₂_a12_b2. Segue que

T_•G=x3x20+x0he2(x1, x2) +x31+x1x22.

Assim podemos dizer que a menos de uma mudan¸ca de coordenadas

G=x3x20+x0eh2(x1, x2) +x31+x1x22.

Dado R = [a : b : c : d] _∈ P3 temos que ∂G

∂x0(R) = 2ad+eh2(b, c),

∂G

∂x1(R) = a

∂eh2

∂x1(b, c) +

3b2₊_c2_, ∂G

∂x2(R) = a

∂eh2

∂x2(b, c) + 2bce

∂G

∂x3(R) =a

2_.

SeR _∈ Sing(S), ent˜ao das equa¸c˜oes acima conclu´ımos que a =b =c= 0 e portanto

R =P. Para verificar que P ´e um ponto singular do tipo D4. Note que no aberto afim

x3 = 1, obtemos

G=x2

0+x0he2(x1, x2) +x31 +x1x22.

Atribuindo os pesos 1₂,1₃,₃1 as vari´aveisx0, x1, x2 respectivamente e usando o Princ´ıpio do

Reconhecimento conclu´ımos que G _∼x2

0 +x31+x1x22. Logo P ´e um ponto singular de S

do tipo D4.

Proposi¸c˜ao 3.2 Seja G _∈ C[x0, x1, x2, x3] como em (3.2). Suponha que Z(h3) ⊂ P1

consiste de trˆes pontos distintos. Logo S =Z(G)⊂P3 contem exatamente 6 retas.

Demonstra¸cão: Para provar a proposi¸cão iremos calcular quantas das restas contidas em cada aberto Uij de G(2,4) (Ver apêndice A) estão contidas em S = Z(G), onde

G(x0, x1, x2, x3) =x3x20+x0(αx12+βx1x2+γx22) +x31+x32, com α, β, γ ∈C.

Considere o conjunto U12 = {[(1,0, a, b),(0,1, c, d)] ∈ G(2,4)| a, b, c, d ∈ C}. Seja

l ∈U12 tal que l ⊂S=Z(G), ent˜ao

G(s, t, sa+tc, sb+td) = 0,_∀ s, t _∈C.

Da equa¸c˜ao acima obtemos o sistema ema, b, c, d

      

b+γa2₊_a3 _{= 0}

d+βa+eγac+ 3a2_c_{= 0}

αβc+γc2 _{+ 3}_c2_a_{= 0}

(25)

Note que a equa¸c˜ao 1 +c3 _{= 0 admite exatamente 3 solu¸c˜oes distintas em} _C_{, e para}

cada valor de cfixado as demais equa¸cões nos fornecem valores únicos para a, be d. Logo existem exatamente três retas de U12 contidas em S.

Considere o conjunto U13 = {[(1, a,0, b),(0, c,1, d)] ∈ G(2,4)| a, b, c, d ∈ C}. Seja

l _∈U13 tal que l ⊂S=Z(G), ent˜ao

G(s, sa+tc, t, sb+td) = 0, _∀s, t _∈C.

      

b+αa2₊_a3 _{= 0}

d+ 2acα+βa+ 3a2_c_{= 0}

αc2₊_βcγ₃_ac2 _{= 0}

1 +c3 _{= 0}

Analogamente este sistema admite três solu¸cões. Porém as retas aqui encontradas são as mesmas retas do caso anterior. Com efeito, seja l = P(W) _∈ U13 com W =

[(1, a,0, b),(0, c,1, d)] el⊂S. Comoc6= 0, podemos escreverW = [(1,0, a′_{, b}′₎_,₍₀_,₁_{, c}′_{, d}′_)]

e portanto l _∈U12.

Considere o conjunto U14 = {[(1, a, b,0),(0, c, d,1)] ∈ G(2,4)| a, b, c, d ∈ C}. Seja

G(s, sa+tc, sb+td, t) = 0, _∀s, t _∈C.

      

αa2₊_abβ₊_γb2₊_a3₊_b3 _{= 0}

1 + 2acα+β(ad+bc) + 2γbd+ 3a2_c_{+ 3}_b2_d_{= 0}

αc2₊_βcd₊_γd2_{+ 3}_ac2_{+ 3}_bd2 _{= 0}

c3₊_d3 _{= 0}

Sabemos que cada solu¸c˜ao (a, b, c, d) do sistema acima determina uma retal=P(W)_∈

U14 com W = [(1, a, b,0),(0, c, d,1)]. Note que l ∈ U12 se c6= 0 e l ∈U13 sed 6= 0. Al´em

disso, o sistema não admite solu¸cão para c = d = 0. Logo não existem retas em U14

contidas em S al´em das j´a encontradas em U12 e U13.

Considere o conjunto U23 = {[(a,1,0, b),(c,0,1, d)] ∈ G(2,4)| a, b, c, d ∈ C}. Seja

G(sa+tc, s, t, sb+td) = 0, _∀s, t _∈C.

      

a2_b₊_αa_{+ 1 = 0}

a2_d_{+ 2}_acb₊_αc₊_βa_{= 0}

2acd+c2_b₊_βc₊_γa _{= 0}

c2_d₊_γc_{+ 1 = 0}

Novamente, o sistema não admite solu¸cão se c = 0. Logo não existe reta l _∈ U23

contida em S al´em das j´a determinadas em U12.

Considere o conjunto U24 = {[(a,1, b,0),(c,0, d,1)] ∈ G(2,4)| a, b, c, d ∈ C}. Seja

(26)

      

αa+βab+γab2₊_b3_{+ 1 = 0}

αc+a2_{+ 3}_db2₊_βcb₊_γcb2_{+ 2}_γadb_{= 0}

3d2_b_{+ 2}_ac₊_βcd_{+ 2}_γcdb₊_γad2 _{= 0}

c2₊_d3 ₊_γcd2 _{= 0}

Sec= 0, entãod=a= 0 e b3 ₌₋_{1. Assim obtemos mais três retas diferentes das já}

encontradas nos abertos anteriores. Se c₆= 0 reca´ımos no caso do aberto U12.

Finalmente, considere o conjunto U34 = {[(a, b,1,0),(c, d,0,1)] ∈ G(2,4)| a, b, c, d ∈

C_}. Seja l _∈U34 tal que l ⊂S =Z(G), ent˜ao

G(sa+tc, sb+td, s, t) = 0, _∀s, t _∈C.

      

γa+βab+αab2₊_b3_{+ 1 = 0}

a2₊_γc₊_αcb2_{+ 2}_αabd_{+ 3}_db2₊_βcb₊_βad _{= 0}

2ac+ 3d2_b₊_βcd_{+ 2}_αcdb₊_αad2 _{= 0}

c2₊_αcd2₊_d3 _{= 0}

Sec= 0, então d=a= 0 e b3 ₌₋_{1. Assim obtemos as três retas já determinadas no}

aberto anterior. Se c₆= 0 reca´ımos no caso do aberto U13.

Proposi¸c˜ao 3.3 Seja G_∈C[x0, x1, x2, x3]como em (3.2)e S =Z(G)⊂P3. Se Z(h3)⊂

P1 consiste de dois pontos distintos, ent˜ao a menos de uma mudan¸ca de coordenadas G=x3x20+x0eh2(x1, x2) +x21x2.

Além disso, se eh2(0,1) 6= 0, então Sing(S) = {P} onde P = [0 : 0 : 0 : 1] é uma

singularidade isolada do tipo D5 eS contém exatamente três retas. Seeh2(0,1) = 0, então

Sing(S) = Z(x0, x1). Logo S cont´em infinitas retas.

Demonstra¸c˜ao: Como ♯(Z(h3)) = 2, existem L1, L2 formas lineares L.I. em C[x1, x2]

tais que h3(x1, x2) = L12L2. Tomando a mudan¸ca de coordenadas T : P3 −→ P3 tal que

T•x0 =x0, T•x3 =x3, T•L1 =x1, T•L2 =x2 obtemos T•G=x3x20+x0eh2(x1, x2) +x21x2,

onde eh2(x1, x2) ´e homogˆeneo de grau 2. Agora dividiremos o resto da prova em cinco

partes.

1. P = [0 : 0 : 0 : 1] ´e o ´unico ponto singular de S se, e somente se,eh2(0,1)6= 0.

Dado R = [a : b : c : d] ∈ P3, note que _∂x∂G₃(R) = a2, _∂x∂G₂(R) = a∂eh2

∂x2(b, c) +b

2_,

∂G

∂x1(R) = a

e

h2

∂x1(b, c) + 2bc,

∂G

∂x0(R) = 2ad+eh2(b, c). Segue que R ∈ Sing(S) se,

e somente se, a = b = 0 e c2e_h

2(0,1) = 0. Assim, se eh2(0,1) 6= 0 ent˜ao c = 0 e

portanto P é o único ponto singular de S. Reciprocamente, se eh2(0,1) = 0, então

para quaisquer valores de c, dtemos que R = [0 : 0 : c:d]_∈ Sing(S) e portanto P

não é o único ponto singular deS.

2. Seeh2(0,1)6= 0, ent˜aoP ´e uma singularidade do tipo D5.

Considere eh2(x1, x2) = αx21 +βx1x2 + γx22, com α, β, γ ∈ C. Se eh2(0,1) 6= 0,

(27)

x2

1x2. Atribuindo os pesos 1₂,3₈,1₄ `as vari´aveis x0, x1, x2 respectivamente e usando o

Princ´ıpio do Reconhecimento conclu´ımos que G _∼x2

0 +x21x2 +γx0x22. Considere o

isomorfismo de C-´algebras ϕ :C[[x0, x1, x2]]−→ C[[x0, x1, x2]] induzido por x0 7−→

x0+x22i, x1 7−→u1u2x1,x2 7−→v1v2x2 comu21v1 = 1, v12γ = 1, v22 =−2i, u22v2 = 1.

Segue que G_∼x2

0+x21x2+x42 e portantoP = [0 : 0 : 0 : 1]∈Sing(S) ´e do tipo D5.

3. eh2(0,1) = 0 se, e somente se, Z(x0, x1) = Sing(S).

Como vimos em 1. R = [a : b : c : d] ´e singular se, e somente se, a = b =

c2e_h

2(0,1) = 0. Assim, pondo a condi¸c˜ao eh2(0,1) = 0 temos que R ∈ Sing(S) se,

e somente se, a = b = 0. Segue que Sing(S) = Z(x0, x1). Reciprocamente, se

Sing(S) = Z(x0, x1), ent˜ao R = [0 : 0 : 1 : 0] ´e um ponto singular de S. Logo

satisfaz a condi¸c˜ao c2e_h

2(0,1) = 0. Como neste caso c= 1, temos queeh2(0,1) = 0.

4. Se Sing(S) =_{P_}, ent˜ao S cont´em exatamente 3 retas.

Seja eh2(x1, x2) = αx20+βx0x1 +γx21, com α, β, γ ∈ C. Se P = [0 : 0 : 0 : 1] ´e o

´

unico ponto singular de S, ent˜ao pelos ´ıtens 1 e 3 desta proposi¸c˜ao conclu´ımos que

e

h2(0,1)6= 0, e portanto γ 6= 0.

G(s, t, sa+tc, sb+td) = 0,∀ s, t ∈C.

Da equa¸c˜ao acima obtemos o sistema em a, b, c, d

      

γa2₊_b_{= 0}

d+ 2γac+βa= 0

γc2₊_α₊_βc₊_a _{= 0}

c= 0

Note que o sistema acima admite somente uma solu¸c˜ao, a saber a = −α, b =

−α2_{γ, c}_{= 0}_{, d}₌_αβ_{. Logo, apenas uma reta do aberto} _U

12 est´a contida emS.

G(s, sa+tc, t, sb+td) = 0,_∀ s, t _∈C.

      

αa2₊_b_{= 0}

d+βa+ 2αac+a2 _{= 0}

βc+αc2₊_γ_{+ 2}_ac_{= 0}

c2 _{= 0}

As duas últimas equa¸cões deste sistema implicam em γ = 0, o que é um absurdo já queeh2(0,1)6= 0. Logo, nenhuma reta do aberto U13 está contida emS.

(28)

      

γb2₊_βab₊_αa2₊_a2_b _{= 0}

1 +βbc+βad+ 2αac+ 2γbd+ 2abc+a2_d_{= 0}

βcd+αc2₊_γd2₊_c2_b_{+ 2}_acd_{= 0}

c2_d_{= 0}

Seja l =P(W) com W = [(1, a, b,0),(0, c, d,1)]. Se c6= 0 ent˜ao l ∈ U14∩U12, e se

d ₆= 0 então l _∈ U14∩U13. Além disso, o sistema acima não admite solu¸cão para

c=d= 0. Logo não existe retas em U14 contidas em S além da já determinada em

U12.

G(sa+tc, s, t, sb+td) = 0,_∀ s, t _∈C.

      

a2_b₊_αa _{= 0}

βa+ 2abc+a2_d₊_ac_{+ 1 = 0}

bc2_{+ 2}_acd₊_βc₊_γa_{= 0}

c2_d₊_γc_{= 0}

Seja l = P(W) com W = [(a,1,0, b),(c,0,1, d)]. Se c₆= 0, ent˜ao l _∈ U23∩U12. Se

c= 0, então o sistema não admite solu¸cão. Logo não existe reta em U23 além da já

determinada em U12.

G(sa+tc, s, sb+td, t) = 0,_∀ s, t _∈C.

      

βab+γab2₊_αa₊_b _{= 0}

a2 ₊_αc₊_βbc₊_βad₊_d₊_γb2_c_{+ 2}_γabd_{= 0}

2ac+βcd+ 2γbcd+γad2 _{= 0}

γcd2 _{= 0}

Seja l = P(W) com W = [(a,1, b,0),(c,0, d,1)]. Se c₆= 0, ent˜ao l _∈ U24∩U12. Se

a6= 0, ent˜ao l ∈U14∩U24. Se a=c= 0, ent˜ao b=d= 0 e portanto obtemos a reta

l = P([(0,1,0,0),(0,0,0,1)]). Note que esta reta ´e diferente daquela determinada em U12.

Considere o conjunto U34 = {[(a, b,1,0),(c, d,0,1)] ∈ G(2,4)| a, b, c, d ∈ C}. Seja

(29)

      

αab2 ₊_γa₊_βab₊_b2 _{= 0}

a2₊_αb2_c_{+ 2}_αabd₊_γc_{+ 2}_bd₊_βbc₊_βad_{= 0}

2ac+ 2αbcd+αad2₊_βcd₊_d2 _{= 0}

c2₊_αcd2 _{= 0}

Seja l = P(W) com W = [(a, b,1,0),(c, d,0,1)]. Se a 6= 0, ent˜ao l ∈ U14∩U34.

Se b ₆= 0, então l _∈ U24∩U34. Se c 6= 0, então l ∈ U13 ∩U34. Se d 6= 0, então

l _∈ U23 ∩ U34. Sendo a = b = c = d = 0 uma solu¸c˜ao do sistema obtemos

l = P([(0,0,1,0),(0,0,0,1)]). Note que esta reta ´e diferente das duas anteriores. Assim, conclu´ımos que S contem exatamente trˆes retas.

5. Segue da proposi¸cão 3.1 que seSing(S) =Z(x0, x1), então S contém infinitas retas.

Proposi¸c˜ao 3.4 Seja G _∈ C[x0, x1, x2, x3] como em (3.2) e S = Z(G) ⊂ P3. Assuma

que Z(h3) ⊂ P1 consiste de um ´unico ponto. Segue que, a menos de uma mudan¸ca de

coordenadas,

G=x3x20+x0he2(x1, x2) +x31.

Além disso, se eh2(0,1) 6= 0, então Sing(S) = {P} onde P = [0 : 0 : 0 : 1] é uma

singularidade isolada do tipo E6 eZ(x0, x1)´e a ´unica reta contida em S. Seeh2(0,1) = 0,

ent˜ao Sing(S) = Z(x0, x1). Logo S cont´em infinitas retas.

Demonstra¸c˜ao:

A demonstra¸c˜ao ser´a dividida em cinco partes.

1. P = [0 : 0 : 0 : 1] ´e o ´unico ponto singular de S se, e somente se,eh2(0,1)6= 0.

Dado R = [a :b : c: d] _∈P3, note que ∂G

∂x3(R) = a

2_, ∂G

∂x2(R) = a

∂eh2

∂x2(b, c),

∂G ∂x1(R) =

a∂eh2

∂x1(b, c) + 3b

2_, ∂G

∂x0(R) = 2ad+eh2(b, c). Segue que R ∈ Sing(S) se, e somente se,

c2e_h

2(0,1) = a =b = 0. Assim, se eh2(0,1)6= 0 então c= 0 e portanto P é o único

ponto singular de S. Reciprocamente, se eh2(0,1) = 0, ent˜ao para quaisquer valores

de c, d temos que R = [0 : 0 : c : d] ∈ Sing(S) e portanto P não é o único ponto singular de S.

2. Seeh2(0,1)6= 0, ent˜aoP ´e uma singularidade do tipo E6.

Considere eh2(x1, x2) =αx21+βx1x2+γx22, com α, β, γ ∈ C. Se eh2(0,1)6= 0, ent˜ao

γ 6= 0. No aberto afim x3 = 1 obtemos G = x20 +αx0x21 +βx0x1x2 +γx0x22 +

x3

1. Atribuindo os pesos 12, 1 3,

1

4 `as vari´aveis x0, x1, x2 respectivamente e usando o

Princ´ıpio do Reconhecimento conclu´ımos que G _∼ x2

0 +γx0x22 +x31. Considere o

isomorfismo de C-´algebras ϕ : C[[x0, x1, x2]] −→ C[[x0, x1, x2]] definido por x0 7−→

x0 +x22i, x1 7−→ x1, x2 7−→ λ1λ2x2 com λ21 = −2i e λ22 = γ−1. Segue que G ∼

x3

(30)

3. Sing(S) = Z(x0, x1) se, e somente se, eh2(0,1) = 0.

Como vimos em 1. R = [a : b : c : d] ´e um ponto singular se, e somente se, a =

b = c2e_h

2(0,1) = 0. Assim, pondo a condi¸c˜ao eh2(0,1) = 0 temos que R ∈ Sing(S)

se, e somente se, a = b = 0. Segue que Sing(S) = Z(x0, x1). Reciprocamente, se

Sing(S) = Z(x0, x1), ent˜ao R = [0 : 0 : 1 : 0] ´e um ponto singular de S. Logo

satisfaz a condi¸c˜ao c2e_h

2(0,1) = 0. Como neste caso c= 1, temos queeh2(0,1) = 0.

4. Se Sing(S) =_{P_}, então Z(x0, x1) é a única reta contida em S.

l ∈U tal que l ⊂S =Z(G), ent˜ao

G(s, t, sa+tc, sb+td) = 0,∀ s, t ∈C.

      

b+γa2 _{= 0}

d+ 2acγ+βa= 0

γc2₊_α₊_βc _{= 0}

1 = 0

Note que o sistema n˜ao admite solu¸c˜ao.

G(s, sa+tc, t, sb+td) = 0,_∀ s, t _∈C.

      

αa2₊_b₊_a3 _{= 0}

d+βa+ 2αac+ 3a2_c_{= 0}

βc+αc2₊_γ_{+ 3}_ac2 _{= 0}

c3 _{= 0}

Das duas últimas equa¸cões obtemos γ = 0, o que contradiz a hipótese de ser P o ´

unico ponto singular de S.

G(s, sa+ct, sb+td, t) = 0,∀ s, t ∈C.

      

γb2₊_βab₊_αa2₊_a3 _{= 0}

1 +βbc+βad+ 2αac+ 2γbd+ 3a2_c_{= 0}

βcd+αc2₊_γd2_{+ 3}_ac2 _{= 0}

c3 _{= 0}

(31)

G(sa+tc, s, t, sb+td) = 0,_∀ s, t _∈C.

      

ba2₊_αa_{+ 1 = 0}

βa+a2_d_{+ 2}_abc₊_αc_{= 0}

2acd+bc2 ₊_βc₊_γa _{= 0}

c2_d₊_γc_{= 0}

Sec6= 0 reca´ımos no caso do abertoU12. Se c= 0 obtemos da terceira equa¸c˜ao que

a = 0. Substituindo a=c= 0 na segunda equa¸cão obtemos 1 = 0. Logo o sistema não admite solu¸cão.

G(sa+tc, s, sb+td, t) = 0,_∀ s, t _∈C.

      

βab+αa+γab2_{+ 1 = 0}

a2₊_αc₊_βbc₊_βad₊_γb2_c_{+ 2}_γabd_{= 0}

2ac+βcd+ 2γbcd+γad2 _{= 0}

c2₊_γcd2 _{= 0}

Se d 6= 0 reca´ımos no caso do aberto U23. Se d = 0, obtemos c = 0 da quarta

equa¸cão e a = 0 da segunda. Substituindo a = 0 na primeira equa¸cão obtemos 1 = 0. Logo o sistema não admite solu¸cão.

Considere o conjunto U34 = {[(a, b,1,0),(c, d,0,1)] ∈ G(2,4)| a, b, c, d ∈ C}. Seja

G(sa+tc, sb+td, s, t) = 0,_∀ s, t _∈C.

      

γa+βab+αab2₊_b3 _{= 0}

a2₊_γc₊_αb2_c_{+ 2}_αabd_{+ 3}_b2_d₊_βbc₊_βad _{= 0}

2ac+ 3bd2₊_βcd_{+ 2}_αbcd₊_αad2 _{= 0}

c2₊_αcd2₊_d3 _{= 0}

Se d6= 0, ent˜ao reca´ımos no caso do aberto U23. Se d= 0, obtemos a =b =c= 0.

Assim determinamos a reta l=P([(0,0,1,0),(0,0,0,1)]), que ´e a ´unica reta contida em S.

5. Segue da proposi¸c˜ao 3.1 que se Sing(S) = Z(x0, x1), ent˜ao existem infinitas retas

(32)

3.3 Caso 3: Posto de

f

2

≥

2 .

Lembre-se que neste cap´ıtulo S =Z(F)_⊂P3 denota uma c´ubica singular irredut´ıvel e reduzida. Como em (3.1) consideramos P = [0 : 0 : 0 : 1]∈Sing(S) e portanto

F(x0, x1, x2, x3) = x3f2(x0, x1, x2) +f3(x0, x1, x2).

Proposi¸cão 3.5 Assuma que f2 6= 0, então existe uma bije¸cão entre FP ={l reta

⊂ P3_| l _⊂ S e P ∈l} e A={[a0 :a1 :a2]∈P2| f2(a0, a1, a2) =f3(a0, a1, a2)}=Z(f1, f2).

Demonstra¸c˜ao: Para cada q = [q0 : q1 : q2] ∈ A, seja Q = [q0 : q1 : q2 : 0] ∈ S.

Mostremos que a reta lP Q pertence a F_P. Com efeito, seja R= [sq0 :sq1 :sq2 :t] ∈lP Q.

Temos que

F(R) =ts2f2(q0, q1, q2) +s3f3(q0, q1, q2) = 0.

Assim temos uma aplica¸c˜ao ϕ bem definida que a cada q = [q0 : q1 : q2] ∈ A associa a

reta lP Q ∈ FP, com Q = [q0 : q1 : q2 : 0]. Reciprocamente, considere lP Q ∈ FP, com Q = [q0 :q1 :q2 :q3]. Se R ∈lP Q, ent˜ao R se escreve como R = [sq0 :sq1 : sq2 :sq3+t]

para algum [s : t] _∈ P1. Fazendo s = 1 e t = ₋q3 obtemos R1 = [q0 : q1 : q2 : 0] ∈ lP Q.

ComolP Q⊂S, temos queR1 ∈Se portantof3(q0, q1, q2) = 0. Fazendos= 1 et=−q3+1

obtemos R2 = [q0 : q1 : q2 : 1] ∈ lP Q. Como lP Q ⊂ S, temos que R2 ∈ S, e portanto

f2(q0, q1, q2) = 0. Logo q= [q0 :q1 :q2]∈A. Assim temos bem definida a inversaϕ−1.

Proposi¸cão 3.6 Sejam S = Z(F) uma cúbica singular irredut´ıvel e reduzida, P = [0 : 0 : 0 : 1] ∈ Sing(S) e l ⊂ S uma reta que não contem P. Seja π ⊂ P3 _{o ´}_{unico plano}

que contém l e P. Então π _∩S = l_∪l1 ∪l2, onde l1 e l2 são retas que contém P, não

necessariamente distintas.

Demonstra¸cão: Afirmamos que P é um ponto singular da curva π_∩S. Com efeito, já sabemos que a menos de uma mudan¸ca de coordenadas podemos supor P = [0 : 0 : 0 : 1] e F = x3f2 +f3, onde fi ∈ C[x0, x1, x2]i, i = 2,3. Seja π = Z(h) com h=ax0+bx1+cx2+dx3. ComoP ∈πtemos queh(P) = d= 0. Logoh=ax0+bx1+cx2.

Suponhamos sem perda de generalidade que c 6= 0, assim podemos finalmente escrever

h = x2 +αx1 +βx0. Considere a mudan¸ca de coordenadas T : P3 −→ P3 dada por

x0 7−→ x0, x1 7−→x1, x2 7−→ x2−αx0−βx1, x3 7−→ x3. Segue que T(P) = P, T•h = x2

e T•F = x3fe2 + fe3 onde fie ∈ C[x0, x1, x2]i, i = 2,3. Isto significa que a menos de

uma mudan¸ca de coordenadas podemos considerar h = x2. Escreva f2 = x2q1 +r2 e

f3 = x2q2+r3, onde qi ∈ C[x0, x1, x2]i e rj ∈ C[x0, x1]j, i = 1,2, j = 2,3, assim temos F =x2(x3q1+q2) +x3r2+r3. Segue que π∩S =Z(x2, F) =Z(x2, x3r2+r3). Logoπ∩S

é a curva de equa¸cãoh3 =x3r2+r3 no plano π. Assim verifica-se facilmente queP é um

ponto singular de π_∩S. Agora, como o plano π e a c´ubica S cont´em a reta l, segue que

π∩S =l∪C, onde C ´e uma cˆonica no plano π. Por outro lado, como P ∈π∩S eP 6∈l, temos que P _∈C. SendoP um ponto singular del_∪C, segue queP _∈Sing(C). LogoC

´e redut´ıvel e portanto contem uma reta passando por P.

Proposi¸c˜ao 3.7 Nota¸c˜oes como em (3.1). Seja Q = [q0 : q1 : q2 : q3] 6= P outro ponto

singular de S. S˜ao verdadeiras as seguintes asser¸c˜oes.

(33)

2. Se P ´e uma singularidade isolada, ent˜ao Qe = [q0 :q1 :q2]6∈Sing(Z(f2)).

3. Se P ´e uma singularidade isolada, ent˜ao lP,Q_∩Sing(S) =_{P, Q_}.

4. SeP é uma singularidade isolada e posto def2é igual a 2, então existe uma mudan¸ca

de coordenadas T : P3 −→ P3 tal que T(P) = P, T•x3 = x3, T•f2 = x0x1 e

T(Q) = [1 : 0 : 0 :q_e3].

5. SeP é uma singularidade isolada e posto def2é igual a 3, então existe uma mudan¸ca

de coordenadas T : P3 _−→ P3 tal que T(P) = P, T_•x3 = x3, T•f2 = x21 −x0x2 e

T(Q) = [0 : 0 : 1 :q_e3].

Demonstra¸c˜ao: Seja Qe = [q0 :q1 :q2].

1. SendoQ= [q0 :q1 :q2 :q3] um ponto singular deS =Z(F), comF =x3f2(x0, x1, x2)+

f3(x0, x1, x2) segue que f2(Qe) = _∂x∂F3(Q) = 0 e f3(Qe) = F(Q) = 0. Agora, seja

R = [sq0 :sq1 :sq2 :sq3+t]∈lP Q, temos queF(R) = (sq3+t)s2f2(Qe)+s3f3(Qe) = 0.

Logo lP Q_⊂S.

2. Suponha que Qe ∈ Sing(Z(f2)), ent˜ao ∂f_∂x2_i(Qe) = f2(Qe) = 0, i = 0,1,2. Por outro

lado, como Q∈Sing(S) segue que Qe∈Sing(Z(f3)).

Agora, seja R = [sq0 :sq1 :sq2 :sq3 +t]∈ lP Q, temos que _∂x∂F3(R) =s

2_f

2(Qe) = 0 e

∂F

∂xi(R) = (sq3+t)s

∂f2

∂xi(Qe) +s

2∂f3

∂xi(Qe) = 0, i = 0,1,2. Logo lP Q ⊂ Sing(S), o que contradiz a hip´otese de P ser uma singularidade isolada.

3. Seja R = [sq0 :sq1 :sq2 :sq3 +t]∈lP Q∩Sing(S). Ent˜ao _∂x∂F_i(R) = 0, i= 0,1,2,3.

Por outro lado, para i = 0,1,2 temos ∂F

∂xi(R) = s(sq3 +t)

∂f2

∂xi(Qe) + s

2∂f3

∂xi(Qe) =

s2_[_q

3∂f_∂x2_i(Qe) + ∂f_∂x3_i(Qe)] +st∂f_∂x2_i(Qe) = st∂f_∂x2_i(Qe). Logo st∂f_∂x2_i(Qe) = 0. Sabemos do item

2. que Qe _6∈ Sing(Z(f2)), isto ´e, ∂f_∂x2_i(Qe) 6= 0 para algum i = 0,1,2. Logo s = 0 ou

t = 0. Ses= 0 temos R =P, e se t = 0 temos R=Q.

4. Sendo o posto de f2 igual a 2 j´a temos do teorema A.4 que por uma mudan¸ca de

coordenadas podemos tomar f2 =x0x1. Seja Qe= [q0 :q1 :q2]. Como Qe ∈Z(x0x1),

segue que q0 = 0 ouq1 = 0. Por outro lado, temos do item 2 que Qe6∈Sing(Z(f2)),

e portanto q0 6= 0 ou q1 6= 0. Logo Q = [1 : 0 : q_q20 :

q3

q0] ou Q = [0 : 1 :

q2

q1 :

q3

q1]. Se

Q= [1 : 0 : q2

q0 :

q3

q0], ent˜ao a matriz

A=

   

1 0 0 0 0 1 0 0

−q2

q0 0 1 0

0 0 0 1

   

induz uma mudan¸ca de coordenadas T: P3 _−→ P3 com as propriedades desejadas. Se Q= [0 : 1 : q2

q1 :

q3

q1], ent˜ao a matriz

B =

   

0 1 0 0 1 0 0 0 0 −q2

q1 1 0

0 0 0 1