IMPLEMENTAÇÃO DE SISTEMAS DE CONTROLE SUPERVISÓRIO BASEADOS EM MÁQUINA DE ESTADOS

(1)

IMPLEMENTAÇÃO DE SISTEMAS DE CONTROLE SUPERVISÓRIO BASEADOS EM MÁQUINA DE ESTADOS

MOACYR C. POSSAN JR.(1)_,_{ANDRÉ B}_._LEAL(2)*

(1)_{Whirlpool Latin America, Rua Dona Francisca, 7200, Distrito Industrial, 89219-600, Joinville, SC, Brasil} (2)_{Grupo de Pesquisa em Automação de Sistemas e Robótica, Dpto. de Eng. Elétrica, Universidade do Estado de}

Santa Catarina – UDESC, Campus Universitário Prof. Avelino Marcante s/n, 89223-100, Joinville, SC, Brasil E-mails: moacyr_c_possan@whirlpool.com, leal@joinville.udesc.br Abstract  This paper presents a new methodology for the implementation of control systems based on the Supervisory Control Theory (SCT). It consists on a technique where an algorithm is proposed to obtain a Mealy finite state machine from an automa-ton of the supervisor obtained by the Supervisory Control Theory. This machine may be simplified further in order to have a re-duced number of state transitions. This machine is a template for the implementation in Programmable Logic Controller (PLC) using Ladder language. A manufacturing system is presented to exemplify such methodology. Besides, another contribution of this work refers to the possibility of treating more than one event in the same scan cycle of the Programmable Logic Controller. Keywords  Discrete Event Systems, Supervisory Control Theory, Manufacturing Systems, Modular Local Theory, State Ma-chines, Programmable Logic Controllers, Ladder Language.

Resumo  Este trabalho apresenta uma nova metodologia para implementação de sistemas de controle baseados na Teoria de Controle Supervisório (TCS). Consiste em uma técnica onde um algoritmo é proposto para, a partir do autômato do supervisor obtido pela Teoria de Controle Supervisório, construir uma máquina de estados de Mealy. Esta máquina pode ser simplificada em seguida para reduzir o número de transições entre estados. Essa máquina serve como base para implementação em Controla-dor Lógico Programável (CLP) usando linguagem Ladder. Um sistema de manufatura é apresentado para exemplificar essa me-todologia. Além disso, outra contribuição deste trabalho refere-se à possibilidade de tratamento de mais de um evento dentro do mesmo ciclo de execução do Controlador Lógico Programável.

Palavras-chave Sistemas a Eventos Discretos, Teoria de Controle Supervisório, Sistemas de Manufatura, Máquinas de Esta-do, Controladores Lógicos Programáveis, Linguagem Ladder.

1. Introdução

Nos últimos anos, a indústria tem se defrontado cada vez mais com a necessidade de uso de métodos efica-zes para o controle de Sistemas a Eventos Discretos (SEDs), dentre os quais se inclui grande parte dos sistemas de manufatura. Um SED é um sistema de estados discretos dirigido a eventos, isto é, sua evo-lução de estado depende da ocorrência de eventos discretos assíncronos no tempo (Cassandras e Lafor-tune, 1999).

A Teoria de Controle Supervisório (TCS) de Ramadge e Wonham (1989) é uma metodologia bas-tante conhecida e apropriada para a síntese de contro-ladores para SEDs. Entretanto, apesar de sua reco-nhecida importância no meio acadêmico, a TCS não é difundida no âmbito industrial, de forma que, em geral, a resolução de problemas de controle supervi-sório nas indústrias é feita sem a utilização de um procedimento formal. Na indústria, os projetos são geralmente baseados no conhecimento do projetista, ficando atrelados à sua experiência em programação. Segundo Fabian e Hellgren (1998), um motivo im-portante para este afastamento entre teoria e prática consiste nas dificuldades encontradas na implementa-ção da soluimplementa-ção obtida por intermédio da TCS.

Neste trabalho, apresenta-se um algoritmo para transformar o autômato do supervisor obtido por in-termédio da TCS em uma máquina de estados finita. Além disso, no intuito de minimizar as dificuldades normalmente encontradas na etapa de implementação da estrutura de controle, é proposta uma metodologia de implementação de controle supervisório para CLPs que se baseia nesta máquina de estados finita. Uma vantagem desta metodologia se comparada com outras encontradas na literatura, como a proposta em (Queiroz e Cury, 2002), consiste na possibilidade de tratamento de diversos eventos em um mesmo ciclo de execução do CLP.

Este trabalho está dividido da seguinte forma: na seção 2 apresenta-se uma visão geral da metodologia proposta e a seção 3 apresenta o algoritmo proposto para converter o autômato do supervisor em uma máquina de estados; a seção 4 mostra um exemplo motivador para ilustrar a metodologia proposta, a seção 5 descreve como simplificar esta máquina de estados, enquanto a seção 6 ilustra como implementar a máquina de estados em linguagem Ladder para CLP. Para finalizar, a seção 7 trata das conclusões.

(2)

proposta. Primeiro é realizada a síntese de um super-visor monolítico baseado na TCS. O autômato deste supervisor serve como parâmetro de entrada para o algoritmo de conversão para obter a máquina de es-tados. A máquina é então simplificada para reduzir o número de transições. A máquina simplificada, por sua vez, representa um modelo para gerar o código para um controlador (CLP, microcontrolador ou al-guma outra unidade de processamento).

Síntese do Supervisor usando a TCS Modelo das Plantas Especificações

Obtenção da Máquina de Estados Simplificação da Máquina de Estados Geração de Código para Controlador Figura 1. Metodologia Proposta

3. Algoritmo Para Gerar a Máquina de Estados A máquina de estados obtida com o algoritmo pro-posto consiste em uma máquina de Mealy (Mealy, 1955). Nesta topologia, uma transição pode ter uma ou mais ações de saída e qualquer ação de saída pode ser usada em mais do que uma transição. As ações de saída estão associadas com as transições e não com os estados, que são passivos. Sendo assim, as ações podem ser associadas com mais do que um estado.

Um exemplo simples de uma máquina de Mealy de dois estados é mostrado na figura 2. Partindo do estado 1, a transição 1 faz a máquina ir desse estado para o estado 2 e toma a ação 1; partindo do estado 2, a transição 1 mais a transição 2 faz a máquina ir do estado 2 para o estado 1 e a ação 2 é tomada.

Estado 1

Transição 1 / Ação 1

Estado 2

Transição 1, Transição 2 / Ação 2

Figura 2. Exemplo de máquina de Mealy

O algoritmo proposto para obter a máquina de estados finita funciona de forma iterativa, varrendo os dados de entrada para obter os estados, transições e ações que compõem esta máquina. A máquina esta-rá completa quando todos os dados de entrada forem processados. O algoritmo é mostrado na figura 3.

ENQUANTO Lista de Estados > 0

Cria Estado Inicial (Planta, Supervisor e Desabilitações = 0)

Cria Lista de Estados

PARA Lista de Trasições FAÇA

Estado já existe? No Yes Sc Evoluiu? Não Sim Lê Estado Cria Lista de Transições Ev. Não-Controláveis da Planta (Gu) Ev. Não-Controláveis do Supervisor (Su) Desabilitações Ev. Controláveis da Planta (Gc) Ev. Controláveis do Supervisor (Sc)

Cria um Novo Estado

Não Faz Nada

Adiciona Estado na Lista de Estados Máquina de Estados Fim Fim Figura 3. Algoritmo para Obtenção da Máquina de Estados

Os dados de entrada para o algoritmo são os au-tômatos da planta e do supervisor e as desabilitações, enquanto os dados de saída são os estados, as transi-ções e as atransi-ções que compõem a máquina de estados.

No processo de transformação do autômato do supervisor para a máquina de Mealy os eventos não-controláveis na TCS equivalem às transições entre os estados, enquanto os eventos controláveis equivalem às ações de saída na máquina de Mealy. A transição entre dois estados na máquina de Mealy pode ocorrer por meio de um ou mais eventos não-controláveis no autômato. Para cada transição, uma ação de saída pode ser gerada ou não.

(3)

representan-do a condição onde a operação representan-do processo físico ainda não começou.

O próximo passo é criar uma lista de estados. A lista é necessária para armazenar os estados que vão sendo obtidos iterativamente para serem tratados assim que o tratamento do estado atual é finalizado. A lista consiste em uma estrutura FIFO (First In, First Out). Enquanto ainda existirem estados na lista, haverá um processo iterativo para o seu tratamento. Um loop While é utilizado para esta finalidade.

Para cada estado, uma lista de transições é cria-da com o intuito de tratar tocria-das as transições válicria-das para aquele estado específico. Para cada transição saindo de um determinado estado, será feito um pro-cessamento iterativo até que todas as transições se-jam tratadas para todos os estados. Um loop For é utilizado para isto.

A fim de criar a lista de transições válidas para cada estado da máquina, é necessário primeiro dividir a planta e o supervisor em duas partes, de acordo com a controlabilidade dos eventos referentes às suas transições de estado. Define-se por Gu a parte da planta cujas transições se dão devido a eventos não-controláveis e por Gc a parte da planta cujas transi-ções se devem a eventos controláveis. De forma se-melhante, Su é a parte do supervisor cujas transições se dão por eventos não controláveis e Sc a parte cujas transições são devido a eventos controláveis.

A lista de transições equivale aos eventos não-controláveis que criam evoluções de estado em Gu e Su. A combinação de mais do que um evento não-controlável também é considerada uma transição.

Após a parte devido a eventos não-controláveis ser tratada, a parte devido a eventos controláveis é processada. Após a ocorrência de uma transição, o estado resultante em Su é analisado para verificar quais eventos controláveis são desabilitados por esse estado. Enquanto os eventos desabilitados estão proi-bidos de ocorrer, os remanescentes podem dar ori-gem às ações. As ações válidas para um dado estado são os eventos controláveis que não estão desabilita-dos no supervisor e que causam evolução de estadesabilita-dos em Gc e em Sc.

Quando uma ação ocorre, o algoritmo verifica se Sc evoluiu. Em caso afirmativo, então os eventos desabilitados para o estado destino são analisados a fim de verificar se alguma outra ação pode ocorrer. Este passo assegura que todas as ações possíveis de ocorrer para uma mesma transição são processadas. Isso significa que mais do que uma ação pode ocorrer para a mesma transição.

Caso Sc não tenha evoluído, então um novo es-tado é criado. Este eses-tado é comparado com os outros estados e, caso já exista, é descartado. Caso contrá-rio, é adicionado à fila de estados para ser tratado posteriormente.

Para cada transição devido a eventos não-controláveis, Gu e Su obtidos a partir da TCS evolu-em. O mesmo ocorre para a parte controlável na o-corrência de uma ação. Esta metodologia é

consisten-te com a definição de máquina de Mealy, onde as saídas (ações) dependem do estado atual e das entra-das válientra-das (transições).

Após o término do procedimento de criar uma transição e as ações correspondentes o algoritmo trata as demais transições presentes na fila de transições. Quando todas as transições na fila são tratadas, o algoritmo analisa o próximo estado disponível na fila de estados. Estes processos iterativos são efetuados até que a fila de estados se torne vazia. Isto significa que a máquina de estados finita está completa.

4. Um Exemplo Motivador

Com o intuito de demonstrar a metodologia proposta considera-se um sistema de manufatura composto por 3 máquinas e 2 buffers intermediários de capacidade um entre as máquinas, conforme ilustrado na figura 4. As máquinas são representadas por Mi, onde i = 1,2,3 e os buffers são representados por Bj, onde j = 1,2.

M1 B1 M2 B2 M3

a1 b1 a2 b2 a3 b3

Figura 4. Sistema de Manufatura

A modelagem da planta e das especificações é feita por intermédio de autômatos de estados finitos, seguindo a TCS. Para modelagem da planta, são con-sideradas apenas as máquinas. Os buffers são levados em conta somente no modelo das especificações.

Os eventos controláveis que correspondem ao início de operação das máquinas são representados por ax, onde x = 1,2,3, enquanto os eventos não-controláveis que correspondem ao fim de operação das máquinas são representados por bx. O compor-tamento discreto das máquinas é modelado pelo au-tômato da figura 5.

0 1

ax

bx

Figura 5. Modelo das Plantas

As especificações de controle para o sistema são restrições de coordenação para evitar overflow (so-brecarga) ou underflow (retirada de peças de um buf-fer vazio) nos bufbuf-fers. Estas restrições expressam a idéia de que se devem alternar os eventos bx e ax+1, iniciando-se pelos eventos bx. O autômato que mode-la estas especificações é mostrado na figura 6.

0 bx

1

ax+1

(4)

O cálculo do supervisor minimamente restritivo e não bloqueante baseia-se num processo iterativo que identifica e elimina “maus estados” no autômato que modela a linguagem-alvo (Cury, 2001). O super-visor monolítico para este problema possui 18 esta-dos e 32 transições e pode ser obtido com o auxílio da ferramenta Grail (Reiser et al., 2006).

Utilizando o algoritmo proposto neste trabalho, obtêm-se, a partir do autômato do supervisor, dados para criar a máquina de estados ilustrada na figura 7, que é composta por 8 estados e 22 transições.

Os estados estão nomeados de acordo com as máquinas que estão ligadas em um determinado mo-mento e os buffers que estão cheios. As transições são devido aos eventos não-controláveis e as ações, se houver, são separadas das transições por uma barra (/). Os eventos desabilitados são representados por traços. Observa-se que neste modelo as transições podem ocorrer devido a mais do que um evento não-controlável e as ações podem ser devido a mais do que um evento controlável.

M1 /a1 M1 M2 b1/ a1,a2 M2 Buf 1 b1 M1 M3 b2/a3 _b1,b3/ a1,a2 b3 b1/ a1,a2 b2,b3/ a3 b3 M1 M2 M3 M1 M3 Buf 2 b2 M3 Buf 1,2 b1,b2 b1 b3/a3 M2 M3 Buf 1 b1 b1,b3 b1,b2,b3/ a1,a2,a3 b3 b2,b3/ a1,a2,a3 b2 b3/ a1,a2,a3 b2/ a1,a2,a3 b1,b3/ a1,a2,a3 b1,b2/ a1,a2,a3 a2,a3 a3 a1,a3 a2 a1 a2 a1,a2 1 2 3 4 5 6 7 8

Figura 7. Máquina de Estados de Mealy

5. Simplificação da Máquina de Estados A garantia de tratamento de mais do que um evento não-controlável dentro da mesma transição tem a desvantagem de resultar em um crescimento expo-nencial das transições, de acordo com o número de plantas presentes no modelo e quantas dessas podem ser habilitadas ao mesmo tempo. O número de transi-ções criadas para um dado estado é da ordem de 2n_-1, onde n é o número de eventos não-controláveis váli-dos para aquele estado. Desta forma, para sistemas de grande porte, o tamanho de código para uma deter-minada implementação seria afetado significativa-mente para satisfazer essa condição. Uma solução alternativa para isso é considerar uma máquina de estados simplificada onde somente as transições de-vido a um único evento não-controlável são conside-radas. Transições resultantes da combinação de mais do que um evento não-controlável são removidas do modelo.

A figura 8 mostra a máquina simplificada para o sistema de manufatura. Esta máquina ainda possui 8 estados, porém o número de transições foi reduzido para 14, se comparado com o modelo da figura 7.

M1 /a1 M1 M2 b1/ a1,a2 M2 Buf 1 b1 M1 M3 b2/a3 b3 b1/ a1,a2 b3 M1 M2 M3 M1 M3 Buf 2 b2 M3 Buf 1,2 b1 b3/a3 M2 M3 Buf 1 b1 b3 b2 b3/ a1,a2,a3 b2/ a1,a2,a3 a2,a3 a3 a1,a3 a2 a1 a2 a1,a2 1 2 3 4 5 6 7 8

Figura 8. Máquina de Estados Simplificada

Esta solução garante economia de espaço em memória para uma implementação em CLP, por e-xemplo. Além disso, essa solução não restringe que mais do que um evento não-controlável seja tratado dentro do mesmo ciclo de execução. Se mais do que um evento não-controlável ocorrer, esses podem ser tratados ou não, dependendo da ordem em que os rungs são implementados em linguagem Ladder. Uma prática comum é nomear os estados da máquina em ordem crescente (1, 2, 3, e assim por diante) à medida que as transições são implementadas nos rungs. Caso um evento resulte em uma transição de um estado menor para um maior (estado 3 para o estado 12, por exemplo), esse evento será tratado; caso um evento resulte em uma transição de estado maior para um menor (estado 8 para o estado 5, por exemplo), o fluxo do programa permitirá que tal e-vento seja tratado somente no próximo ciclo de exe-cução do CLP.

6. Geração de Código para CLPs

(5)

Sinais elétricos

dos sensores para os atuadoresSinais elétricos Supervisor

Planta Eventos

Não-controláveis ControláveisEventos

Unidade de Controle

Processo a Controlar

Figura 9. (a) Esquema de Supervisão RW (b) Esquema de Controle normalmente empregado na prática.

Com a transformação do autômato do supervisor em uma máquina de Mealy, obtém-se um modelo que mais se aproxima da forma do controlador apresenta-do por Malik (2002), isto é, da estrutura de controle mostrada na figura 9-b. Sendo assim, a geração da lógica de controle para o CLP fica mais intuitiva que aquela obtida a partir de autômatos.

A seguir, discute-se sobre alguns aspectos relati-vos à implementação da máquina de estados em CLP, cujo ciclo de execução do programa obedece ao se-guinte funcionamento: leitura das entradas, execução da lógica de controle e escrita nas saídas.

Esta característica do CLP obriga que as saídas sejam atualizadas somente no fim do ciclo de execu-ção. Devido a isso, a ativação dos atuadores requer um tratamento especial. Olhando para a estrutura da máquina de estados, pode acontecer que ao final de operação de um equipamento ele pode ser requisitado para um novo início de operação dentro do mesmo ciclo de execução. O CLP não reconhece o processo de fim/início de operação, mantendo sua saída física ativa o tempo inteiro ao longo do mesmo ciclo de execução. A fim de evitar isso, variáveis são necessá-rias para representar a evolução das plantas e garantir o sincronismo durante a dinâmica do sistema. Estas variáveis são chamadas Planta i, com i variando de 1 até n onde n é o número de plantas no sistema. Esta variável é setada toda vez que um equipamento ter-mina sua operação. Este procedimento garante que o equipamento não seja requisitado para iniciar sua operação novamente dentro de um mesmo ciclo de execução. Ele será ligado somente no próximo ciclo de execução.

Assim como no modelo, as variáveis bx repre-sentam os eventos não-controláveis (transições) en-quanto as variáveis ax (ações) representam os even-tos controláveis na implementação.

O código Ladder pode ser dividido em cinco blocos: Inicialização, Entradas, Transições/Ações, Desabilitações e Saídas.

Inicialização: inicia a máquina de estados para o estado inicial e seta o evento controlável a1 a fim de iniciar o processo, como mostrado na figura 10. Ou-tras variáveis, tais como os demais eventos controlá-veis ax, os eventos não-controlácontrolá-veis bx e a evolução

das plantas Planta i, são resetadas. As variáveis rese-tadas não são mostradas na figura 10.

Entradas: as variáveis de transição bx serão ati-vadas no controlador somente quando um trigger ocorrer nas entradas correspondentes. Assim, um detector de pulso é necessário para cada entrada a fim de capturar tal evento, como mostra a figura 11.

Transições/Ações: o requisito para uma transição ocorrer é a máquina estar em um dado estado e um evento não-controlável válido ocorrer. Caso estes requisitos sejam atendidos, um novo estado é setado e o estado anterior é resetado. O evento não-controlável é resetado para garantir que um evento não-controlável seja responsável por somente uma transição durante o ciclo de execução, evitando assim o risco do Efeito Avalanche (Fabian e Hellgren, 1998). Caso uma planta evolua, a variável correspon-dente Planta i é setada para evitar que a ação corres-pondente para aquela planta seja tomada durante o mesmo ciclo de execução, sendo tratada somente no próximo ciclo de execução. Isto é devido ao trata-mento especial necessário para as ações, como des-crito previamente nesta seção. As ações, se houver, são setadas para permitir que a planta correspondente seja ativada no mesmo ciclo de execução ou no pró-ximo ciclo se for proibida de ocorrer no ciclo corren-te. A figura 12 mostra a parte inicial desse bloco para o sistema de manufatura.

Desabilitações: este bloco é responsável por de-sabilitar eventos controláveis em cada estado da má-quina. Isso significa que se a máquina alcançar um dado estado, os eventos controláveis relativos a este estado não serão permitidos de ocorrer. Isso é feito por intermédio de resetar as variáveis de ações seta-das durante as transições. A figura 13 mostra o bloco de desabilitações para o exemplo analisado.

Saídas: uma saída será permitida de ocorrer so-mente se a ação correspondente for tomada e sua variável correspondente Planta i não estiver setada, como mostrado na figura 14. Caso isso aconteça, a bobina Qi que representa a saída física do CLP será ativada. Ainda, no final do programa todas as variá-veis Planta i serão resetadas a fim de retornar para uma condição inicial antes de um novo ciclo de exe-cução. Start P S Estado 1 S a1

Figura 10. Bloco de Inicialização

P I1 S b1 P I2 S b2 P I3 S b3

(6)

Estado 1 S Estado 2 b1 R Estado 1 R b1 S Planta 1 S a1 S a2 Estado 2 S Estado 3 b1 R Estado 2 R b1 S Planta 1 Estado 2 S Estado 4 b2 R Estado 2 R b2 S Planta 2 S a3

Figura 12. Parte Inicial do Bloco de Transições/Ações

Estado 3 R a1 Estado 7 Estado 8 Estado 1 R a2 Estado 4 Estado 6 Estado 8 Estado 1 R a3 Estado 2 Estado 3

Figura 13. Bloco de Desabilitações

a3 Planta 3 Q3 R Planta 1 R Planta 2 R Planta 3 a2 Planta 2 Q2 a1 Planta 1 Q1

Figura 14. Bloco de Saídas

7. Conclusões

Este artigo apresenta um algoritmo para transformar o autômato de um supervisor obtido a partir da Teo-ria de Controle Supervisório (TCS) em uma máquina de estados finita, sua simplificação e conseqüente implementação em linguagem Ladder para Controla-dores Lógico Programáveis (CLPs). O código para efetuar o procedimento de controle é dividido em cinco blocos. Diversos eventos podem ser tratado no mesmo ciclo de execução do CLP dependendo da evolução das transições e das ações requeridas, res-pectivamente. Este trabalho serve como ponto de partida para o desenvolvimento de ferramentas auto-máticas para geração de código e de uma metodolo-gia similar à apresentada aqui, mas baseada na Teoria de Controle Modular Local (Queiroz e Cury, 2002), abordagem que explora a natureza modular do siste-ma a ser controlado, criando supervisores específicos para partes específicas da planta modelada.

Agradecimentos

Os autores agradecem a FAPESC e ao CNPq pelo apoio financeiro (Contrato CON04504/2008-7) e à Whirlpool Latin America pelo incentivo à realização deste trabalho.

Referências Bibliográficas

Cassandras, C.G; Lafortune, S. (1999). Introduction to Discrete Event Systems. 2nd _Ed.

Massachussetts, Kluwer Academic Publishers. Cury, J.E.R. (2001). Teoria de Controle Supervisório

de Sistemas a Eventos Discretos. In: V Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente (SBAI). Fabian, M. e Hellgren, A. (1998). PLC-based

implementation of supervisory control for discrete systems. In: 37th IEEE Conference on Decision and Control, v. 3, pp. 3305-3310. Malik, P. (2002). Generating controllers from

discrete-event models. In: F. Cassez, C. Jard, F. Laroussinie, M. D. Ryan, Proc. of the MOVEP. Mealy, George H. (1955). A Method to Synthesizing

Sequential Circuits. Bell Systems Technical Journal. pp. 1045–1079.

Queiroz, M. H. e Cury J. E. R. (2002). Synthesis and implementation of local modular supervisory control for a manufacturing cell. Proc. of 6th WODES.

Ramadge, P. J.; Wonham, W. M. (1989). The control of discrete event systems. In: Proceedings of IEEE, Special Issue on Discrete Event Dynamics Systems, 77(1):81-98.

(7)

UMA ABORDAGEM EVOLUTIVA ADAPTATIVA PARA O PROBLEMA DE

SEQUENCIAMENTO EM UMA M ´AQUINA COM PENALIDADES POR

ANTECIPA ¸C ˜AO E ATRASO DA PRODU ¸C ˜AO

F´abio Fernandes Ribeiro∗_{, Marcone Jamilson Freitas Souza}†_{, S´}_{ergio Ricardo de Souza}∗ ∗_{Centro Federal de Educa¸c˜}_{ao Tecnol´}_{ogica de Minas Gerais}

CEFET/MG – Campus II

CEP: 30.510-000 – Belo Horizonte – MG – Brasil

†_{Universidade Federal de Ouro Preto - ICEB}

Campus Universit´ario – UFOP CEP 35.400-000 – Ouro Preto – MG – Brasil

Emails: fabiobh@gmail.com, marcone@iceb.ufop.br, sergio@dppg.cefetmg.br

Abstract— This paper deals with the Single Machine Scheduling Problem with Earliness and Tardiness Penal-ties, considering distinct due windows and sequence-dependent setup time. Due to the complexity of this problem, an adaptive evolutive method is proposed for solving it. This method is based on Classical Genetic Algorithm being the crossover operator chosen according to the success among five operators in a previous search. Compu-tational results shows the effectiveness of the proposed algorithm.

Keywords— Genetic Algorithm, GRASP, Metaheuristics, Path Relinking, Single Machine Scheduling Resumo— Este trabalho trata do problema de sequenciamento em uma máquina com penalidades por anteci-pa¸cão e atraso da produ¸cão, considerando janelas de entrega e tempo de prepara¸cão de máquina dependente da sequência de produ¸cão. Em vista da complexidade combinatória do problema, um método evolutivo adaptativo ´

e proposto para resolvê-lo. Este método baseia-se nos princ´ıpios do Algoritmo Genético Clássico, sendo que o operador de cruzamento é escolhido dentre cinco operadores implementados, em fun¸cão da qualidade das solu¸cões produzidas em buscas pregressas. Testes computacionais mostram a efetividade do algoritmo proposto. Palavras-chave— Algoritmos Genéticos, GRASP, Metaheur´ısticas, Reconexão por caminhos, Sequenciamento em uma máquina

1 Introdu¸c˜ao

O problema de programa¸cão da produ¸cão objeto de estudo deste trabalho é relativo ao sequenci-amento em uma máquina com minimiza¸cão das penalidades por antecipa¸cão e atraso da produ-¸cão (Single Machine Scheduling for Minimizing Earliness and Tardiness Penalties), denominado PSUMAA. No problema abordado, considera-se a existência de janelas de entrega e tempos de pre-para¸cão de máquina dependentes da sequência de produ¸cão. O objetivo é determinar a sequência na qual as tarefas serão processadas numa deter-minada máquina, durante um per´ıodo de tempo, e o momento em que elas serão processadas, de modo a minimizar os custos por antecipa¸cão ou atraso na entrega. Para a resolu¸cão deste blema, um Algoritmo Genético Adaptativo é pro-posto. A popula¸cão inicial deste algoritmo é ge-rada aplicando-se a fase de constru¸cão GRASP (Feo and Resende, 1995), tendo como fun¸cão guia cinco regras de despacho (Montevechi et al., 2002): Tardiness Due Date (TDD), Earliest Due Date (EDD), Shortest Processing Time (SPT), Weight Shortest Processing Time (WSPT) e Longest Pro-cessing Time (LPT). O cruzamento utiliza um método adaptativo baseado na qualidade dos in-div´ıduos gerados por cada operador crossover ao longo da evolu¸cão, ou seja, após um certo número de gera¸cões (no caso, cinco), o fator de escolha

do operador a ser aplicado é atualizado de acordo com a qualidade dos indiv´ıduos formados por cada um deles nas gera¸cões anteriores.A popula¸cão so-brevivente é composta pelos cinco melhores indiv´ı-duos refinados desses operadores, pelo melhor in-div´ıduo encontrado até então e por 89 inin-div´ıduos escolhidos por elitismo. Outros cinco indiv´ıduos são escolhidos aleatoriamente da gera¸cão corrente e submetidos a muta¸cão, por meio de troca en-tre duas tarefas, para assegurar a diversidade da popula¸cão. A popula¸cão evolui até que o critério de parada seja atingido. A Reconexão por Ca-minhos (Glover, 1996) é também aplicada a cada cinco gera¸cões, e foi implementada caminhando-se do melhor indiv´ıduo produzido pelo algoritmo até então em dire¸cão ao melhor indiv´ıduo produzido por cada operador crossover. O restante deste tra-balho está estruturado como segue. Na Se¸cão 2 é feita uma breve apresenta¸cão de trabalhos relaci-onados. As caracter´ısticas do problema estudado são detalhadas na Se¸cão 3. Na Se¸cão 4 é descrito o Algoritmo Genético Adaptativo desenvolvido para resolu¸cão do PSUMAA abordado. Na Se¸cão 5 são apresentados e discutidos os resultados computa-cionais. A Se¸cão 6 conclui o trabalho.

2 Trabalhos relacionados

(8)

total como critério de otimiza¸cão, é NP-dif´ıcil (Du and Leung, 1990).(Lee and Choi, 1995) usaram Al-goritmos Genéticos (AG) para a resolu¸cão do pro-blema com datas de entrega distintas. Esses au-tores desenvolveram um algoritmo espec´ıfico, de complexidade polinomial, para determinar a data ótima de conclusão de processamento de cada ta-refa da sequência produzida pelo AG. (Wan and Yen, 2002) trataram o PSUMAA considerando ja-nelas de entrega, ao invés de datas de entrega. Em (Gomes Jr. et al., 2007) trata-se o PSUMAA mais genérico, considerando além das janelas de entrega, também tempos de setup dependentes da sequência. Esses últimos autores desenvolve-ram uma formula¸cão de programa¸cão matemática para o problema, bem como um algoritmo heur´ıs-tico para resolver problemas-teste de dimensões mais elevadas. Segundo (Matias, 2008), o con-trole dos parâmetros e operadores dos Algoritmos Genéticos durante a sua execu¸cão é de fundamen-tal importância, pois permite um ajuste autom´ a-tico em tempo de execu¸cão. Este autor propôs uma técnica de adapta¸cão automática dos prin-cipais operadores dos Algoritmos Genéticos base-ada no desempenho do algoritmo e na distribui¸cão dos indiv´ıduos da popula¸cão no espa¸co de busca. A técnica estudada permite ao Algoritmo Gené-tico ajustar o valor dos operadores, de forma a privilegiar aqueles que podem produzir resultados melhores em um determinado momento da busca.

3 Problema de sequenciamento abordado O problema objeto deste trabalho é o de sequenci-amento em uma máquina (PSUMAA), com tempo de prepara¸cão dependente da sequência de produ-¸cão e janelas de entrega. Considera-se que uma máquina deve processar um conjunto de n tarefas e que cada tarefa possui um tempo de processa-mento Pi, uma data inicial Eie uma data final Ti,

desejadas para o término do processamento. Além disso, a máquina executa no máximo uma tarefa por vez e, uma vez iniciado o processamento de uma tarefa, a mesma deverá ser finalizada, não sendo permitida a interrup¸cão do processamento. Admite-se que todas as tarefas estejam dispon´ı-veis para processamento na data 0. Considera-se, também, que quando uma tarefa j é sequenciada imediatamente após uma tarefa i, sendo estas per-tencentes a diferentes fam´ılias de produtos, é ne-cessário um tempo Sij para a prepara¸cão da m´

a-quina. Tempos de prepara¸c˜ao de m´aquina nulos (Sij = 0) levam a produtos da mesma fam´ılia.

Considera-se, ainda, que a máquina não ne-cessita de tempo de prepara¸cão inicial. Permite-se, neste trabalho, tempo ocioso entre a execu-¸cão de duas tarefas consecutivas. Considera-se, além disso, que tarefas devem ser finalizadas den-tro da janela de tempo [Ei, Ti], denominada janela

de entrega. Caso a tarefa seja finalizada antes de Ei, há, então, uma penaliza¸cão por antecipa¸cão.

Caso a tarefa seja finalizada ap´os Ti, ent˜ao

ocor-rerá uma penaliza¸cão por atraso. As tarefas que forem finalizadas dentro da janela de entrega não proporcionarão nenhum custo. Por fim, admite-se que custos unitários por antecipa¸cão e atraso da produ¸cão sejam dependentes das tarefas, ou seja, cada tarefa i possui um custo unitário de anteci-pa¸cão αi e um custo unitário de atraso βi. O

ob-jetivo do problema é a minimiza¸cão do somatório dos custos de antecipa¸cão e atraso da produ¸cão.

4 Metodologia heur´ıstica 4.1 Representa¸c˜ao de um indiv´ıduo

Um indiv´ıduo (sequência de tarefas) é represen-tado por um vetor v de n genes (tarefas). A po-si¸cão de cada gene indica sua ordem de produ¸cão. Por exemplo, no indiv´ıduo v = {7, 1, 5, 6, 4, 3, 2}, a tarefa 7 é a primeira a ser processada e a tarefa 2, a última.

4.2 Avalia¸c˜ao dos indiv´ıduos

Todos os indiv´ıduos da popula¸cão são avaliados pela própria fun¸cão objetivo do problema, dada pela equa¸cão (1), onde são considerados mais adaptados aqueles que obtiverem o menor valor.

min Z =

n

X

i=1

(αiei+ βiti) ; (1)

4.3 Constru¸cão de uma popula¸cão inicial A popula¸cão inicial do Algoritmo Genético Adap-tativo (AGA) proposto é gerada aplicando-se a fase de constru¸cão GRASP (Feo and Resende, 1995), tendo como fun¸cão guia cinco regras de des-pacho (EDD, TDD, SPT, WSPT e LPT). Para cada constru¸cão (GRASP + Regra de despacho) são gerados 200 indiv´ıduos. Em seguida, estes são ordenados, do melhor para o pior segundo a fun-¸cão de avalia¸cão. A popula¸cão inicial é, então, composta pelos 100 melhores indiv´ıduos gerados. 4.3.1 Regras de despacho

(9)

e a sua prioridade de processamento. Finalmente, a regra de despacho LPT elabora a sequência de tarefas, criando uma ordem tal que a tarefa com tempo de processamento mais longo seja proces-sada antes daquela com o tempo de processamento mais curto, ou seja, as tarefas com processamento mais longo são as primeiros a serem processadas. A escolha dessas regras é associada ao seu baixo custo computacional (Montevechi et al., 2002). 4.3.2 Fase de constru¸cão GRASP

O procedimento de constru¸cão segue as idéias da fase de constru¸cão do algoritmo GRASP (Feo and Resende, 1995). Neste procedimento, um indiv´ı-duo é formado gene a gene, de acordo com um critério g de sele¸cão. Para estimar o benef´ıcio da inser¸cão de cada gene (tarefa), utiliza-se uma das regras de despacho descritas na se¸cão anterior, re-gra essa que é escolhida de forma aleatória, mas é fixa durante toda a constru¸cão. A cada inser-¸cão, os próximos genes candidatos a formarem o indiv´ıduo são colocados em uma lista de candida-tos, respeitando o critério de sele¸cão. Os melho-res candidatos são, então, colocados em uma Lista Restrita de Candidatos (LRC). A seguir, um des-ses candidatos é escolhido randomicamente e colo-cado no indiv´ıduo em constru¸cão. O procedimento é encerrado quando todos os genes são alocados, situa¸cão na qual o indiv´ıduo está completamente formado. Um parâmetro γ, 0 ≤ γ ≤ 1, é

utili-AlgoritmoAGA(maxger,numind,aaa ); 1 t ← 0;

2 Gere a popula¸c˜ao inicial P (t); 3 Avalie P (t);

4 enquanto (t ≤ maxger) fa¸ca 5 t ← t + 1;

6 Gere P (t) a partir de P (t − 1); 7 enquanto (i ≤ numind) fa¸ca

8 i ← 1;

9 cross ←Número aleatório até 100; 10 se (cross ≤ probcrossover ) fa¸ca 11 Selecionar indiv´ıduo;

12 Cruzar;

13 fim-se;

14 Avaliar P (t);

15 fim-enquanto (i ≤ numind) fa¸ca 16 Definir a popula¸c˜ao sobrevivente; 17 se (t mod 5 = 0) fa¸ca

18 Atualizar probabilidade de escolha de cada operador (p(Oi));

19 Executar Busca local;

20 Aplicar Reconex˜ao por Caminhos; 21 fim-se;

22 fim-enquanto; fimAGA;

Figura 1: Pseudoc´odigo do Algoritmo Gen´etico Adaptativo

zado para controlar o tamanho da LRC. Empirica-mente, foram gerados preliminarmente 10.000 in-div´ıduos para cada um dos seguintes valores de γ: 0, 02; 0, 04; 0, 06; 0, 08; 0, 10; 0, 12; 0, 14; 0, 16; 0, 18; 0, 20. Tendo-se como base um problema-teste en-volvendo 20 tarefas e as cinco regras de despa-cho, cada qual escolhida aleatoriamente em cada execu¸c˜ao, o melhor comportamento foi observado para γ = 0, 20.

4.4 Algoritmo gen´etico adaptativo aplicado ao PSUMAA

A Figura 1 apresenta o pseudocódigo do Algo-ritmo Genético Adaptativo (AGA) proposto. As fases desse algoritmo são, a seguir, detalhadas. Método de sele¸cão de indiv´ıduos Após a avalia¸cão de toda a popula¸cão, os indiv´ıduos são selecionados por meio do método da roleta, cujo principal objetivo é permitir que os indiv´ıduos mais adaptados tenham maior probabilidade de serem selecionados. Para este problema, a apti-dão dos indiv´ıduos (fitness) é uma fun¸cão linear decrescente com rela¸cão à fun¸cão de avalia¸cão. Cruzamento Após a avalia¸cão de toda a po-pula¸cão, os indiv´ıduos são selecionados para re-produ¸cão através do método de sele¸cão de indiv´ı-duos já descrito. Os operadores crossover utili-zados são o One Point Crossover (OX), o Simi-lar Job Order Crossover (SJOX), o Relative Job Order Crossover (RRX), o Based Order Uniform Crossover (BOUX) e o Partially Mapped Crosso-ver (PMX) por apresentarem alta eficiência para o PSUMAA (Lee and Choi, 1995). A probabili-dade de escolha de um operador crossover espec´ı-fico varia de acordo com a qualidade das solu¸cões produzidas em gera¸cões passadas. Assim, sejam Oi, i = 1, · · · , 5, os cinco operadores crossover.

Inicialmente, cada operador crossover Oi tem a

mesma probabilidade de ser escolhido, no caso, p(Oi) = 1/5. Seja f (s∗) a melhor solu¸c˜ao

encon-trada até então e Ai o valor médio das solu¸cões

encontradas por cada operador Oi desde a ´ultima

atualiza¸cão. Caso o operador não tenha sido esco-lhido nas últimas cinco gera¸cões, faz-se Ai = 1.

Seja qi = f (s∗) = Ai e p(Oi) = qi/P5_j=1qj,

i = 1, · · · , 5. Observe que quanto melhor a so-lu¸c˜ao, maior o valor de qi e, portanto, maior a

probabilidade p(Oi) de se escolher o operador Oi.

Logo, durante a evolu¸c˜ao do algoritmo, o melhor operador tem sua chance de escolha incrementada. Este procedimento foi inspirado no algoritmo Re-active GRASP (Prais and Ribeiro, 2000).

(10)

aleatoriamente duas tarefas, trocando-as de posi-¸cão. Se esse novo vizinho for melhor que o an-terior segundo a fun¸cão de avalia¸cão, ele é aceito e passa a ser a solu¸cão corrente; caso contrário, outro vizinho é escolhido aleatoriamente. Se du-rante MRDmax nenhuma melhor solu¸cão for ge-rada, então passa-se a usar movimentos de realo-ca¸cão. Havendo melhora com este tipo de movi-mento, retorna-se à utiliza¸cão de movimentos de troca; caso contrário, encerra-se a busca local de-corridas MRDmax itera¸cões sem melhora. Esse método foi escolhido por apresentar alta eficiência computacional, pois não requer a explora¸cão de toda a vizinhan¸ca (Mladenovic and Hansen, 1997). Reconexão por Caminhos A Reconexão por Caminhos (Path Relinking) é um procedimento que integra estratégias de intensifica¸cão e diver-sifica¸cão durante o processo de busca (Rossetti, 2003). Ele gera novas solu¸cões explorando traje-tórias que ligam solu¸cões de alta qualidade. Dado um par de solu¸cões, come¸ca-se a busca com uma delas, dita solu¸cão base, e chega-se à outra, dita solu¸cão guia, adicionando-se gradualmente atribu-tos da solu¸cão guia à solu¸cão base. No problema em questão, durante o processo evolutivo forma-se um grupo com os cinco melhores indiv´ıduos obti-dos por cada operador crossover. Periodicamente (a cada cinco gera¸cões), aciona-se a Reconexão por Caminhos, tendo-se, como solu¸cão base, o melhor indiv´ıduo encontrado pelo algoritmo até então e, como solu¸cão guia, cada um dos melhores indiv´ı-duos formados por cada operador crossover. O procedimento aplicado é a Reconexão por Cami-nhos Regressiva Truncada (Truncated Backward Path Relinking), no qual interrompe-se a busca quando 75% dos atributos da solu¸cão guia forem inseridos na solu¸cão base. A escolha deste mé-todo é justificada pela sua eficiência e pelo baixo custo computacional (Rossetti, 2003). Considera-se como atributo a posi¸cão da tarefa na sequên-cia de produ¸cão. Para cada tarefa candidata à inser¸cão, aplica-se o módulo de Busca Local des-crito anteriormente, não permitindo a movimen-ta¸cão da tarefa candidata. A tarefa efetivamente inserida é aquela que produzir o melhor valor para a fun¸cão de avalia¸cão.

Sobrevivência de indiv´ıduos A popula¸cão sobrevivente é composta por indiv´ıduos mais adaptados, selecionados por elitismo, pela melhor solu¸cão gerada por cada um dos operadores cros-sover e pela melhor solu¸cão produzida pela mé-todo até então.

Critério de parada Como critério de parada, adota-se o número máximo de gera¸cões.

5 Resultados computacionais O Algoritmo Genético Adaptativo proposto foi implementado em linguagem C, utilizando o am-biente C++ Builder 5. Seus parâmetros são apre-sentados na Tabela 1. Os testes computacio-nais foram realizados em um computador Pentium

Core 2 Duo 2,1 GHz, com 4 GB de memória RAM, sob plataforma Windows Vista. Os problemas-teste utilizados são os de (Gomes Jr. et al., 2007) e envolvem número de tarefas n igual a 8, 9, 10, 11, 12, 15, 20, 25, 30, 40, 50 e 75. São 12 problemas-teste para cada número de tarefas, totalizando 144 problemas-teste. Cada problema-teste foi resol-vido 30 vezes pelo método proposto, com exce-¸cão daqueles envolvendo 75 tarefas, os quais fo-ram resolvidos apenas 20 vezes, tendo MRDmax = 2 × n, por demandar maior tempo computa-cional. A Tabela 2 mostra os resultados obtidos

Tabela 1: Parˆametros do AGA

Parˆametros Valores

Parˆametro γ constru¸c˜ao GRASP 0,20

Itera¸c˜oes da Busca Local (MRDmax ) 7 × n

Gera¸c˜oes do AG Adaptativo (maxger ) 100

Probabilidade de cruzamento 80%

Taxa de muta¸c˜ao 5%

para o AGA, bem como reproduz os de (Gomes Jr. et al., 2007), por apresentar os melhores resultados para este tipo de problema até a presente data. A primeira coluna mostra o número de tarefas en-volvidas; a segunda e terceira colunas mostram o quanto as solu¸cões médias de cada algoritmo (AGA e (Gomes Jr. et al., 2007), respectivamente) desviaram da melhor solu¸cão conhecida referente a cada problema-teste; nas duas últimas colunas mostra-se o quanto as melhores solu¸cões geradas por tais algoritmos desviaram das melhores solu-¸cões conhecidas. O Desvio é calculado pela ex-pressão Desvio = (RMed − MR)/MR, sendo RMed o resultado médio obtido pela aplica¸cão do respec-tivo algoritmo e MR é o melhor resultado conhe-cido de cada problema-teste.

Nas tabelas 3, 4, 5 e 6 são apresentados os re-sultados detalhados para os problemas-teste com número de tarefas iguais a 12, 15, 20, 25, 30, 40, 50 e 75 tarefas. A coluna “Instância” apresenta o número do problema-teste testado; a coluna “GAP (%)” apresenta o desvio médio em rela¸cão às solu-¸cões médias; a coluna “GAP MS (%)” apresenta o desvio médio em rela¸cão à melhor solu¸cão conhe-cida para o problema.

Tabela 2: Resultados do AGA

# Desvio sol. m´edia Desviosolu¸c˜ao

Tarefas AGA Gomes Jr. AGA Gomes Jr.

8 0,00 0,03 0,00 0,00 9 0,15 0,06 0,00 0,00 10 0,24 0,02 0,00 0,00 11 0,03 0,12 0,00 0,00 12 0,07 0,21 0,00 0,00 15 0,76 1,47 0,00 0,00 20 0,73 1,65 0,00 0,00 25 1,02 2,32 0,00 0,00 30 1,60 3,34 0,00 -0,20 40 2,15 4,38 0,25 -0,18 50 3,72 6,13 0,60 -0,28 75 4,59 10,89 1,48 -0,56

(11)

al-goritmo proposto foram sempre menores que aque-les de (Gomes Jr. et al., 2007). Este fato mostra a robustez do AGA, uma vez que produz solu¸cões finais com uma menor variabilidade. Para proble-mas envolvendo 30 tarefas, o AGA gerou a melhor solu¸cão conhecida em todas as execu¸cões, ao passo que no algoritmo de (Gomes Jr. et al., 2007) houve um desvio de 0,20%. Para os problemas-teste en-volvendo 40, 50 e 75 tarefas, o AGA produziu so-lu¸cões melhores que as de (Gomes Jr. et al., 2007). Para as instâncias de 12 e 15 tarefas, apresentados na Tabela 3, o AGA apresentou um desvio médio em rela¸cão à melhor solu¸cão encontrada 48% me-nor do que o algoritmo de (Gomes Jr. et al., 2007).

Tabela 3: Resultados para 12 e 15 tarefas

# GAP (%) GAP MS (%)

Instˆancia AGA Gomes Jr. AGA Gomes Jr.

1201 0,00 0,56 0,00 0,00 1202 0,07 0,10 0,00 0,00 1203 0,11 0,21 0,00 0,00 1204 0,07 0,04 0,00 0,00 1205 0,00 0,00 0,00 0,00 1206 0,00 0,00 0,00 0,00 1207 0,39 0,35 0,00 0,00 1208 0,00 0,00 0,00 0,00 1209 0,14 1,25 0,00 0,00 1210 0,10 0,06 0,00 0,00 1211 0,00 0,00 0,00 0,00 1212 0,00 0,00 0,00 0,00 1501 0,00 0,00 0,00 0,00 1502 1,10 2,93 0,00 0,00 1503 0,00 3,89 0,00 0,00 1504 0,00 0,57 0,00 0,00 1505 0,00 1,68 0,00 0,00 1506 0,00 0,28 0,00 0,00 1507 0,23 0,93 0,00 0,00 1508 7,53 5,23 0,00 0,00 1509 0,00 0,00 0,00 0,00 1510 0,24 1,29 0,00 0,00 1511 0,00 0,81 0,00 0,00 1512 0,00 0,00 0,00 0,00

Para as instâncias envolvendo 20 e 25 tarefas (Tabela 4), o desvio médio em rela¸cão à melhor solu¸cão encontrado pelo AGA foi 44% menor que o alcan¸cado por (Gomes Jr. et al., 2007). Em instâncias envolvendo 30 e 40 tarefas (5), o AGA apresentou um ganho médio na melhor solu¸cão de 0,13% enquanto (Gomes Jr. et al., 2007) apre-sentou piora de 0,19%. Já em rela¸cão ao desvio médio da melhor solu¸cão encontrada, o resultado apresentado pelo AGA foi 48% melhor do que os de (Gomes Jr. et al., 2007). Para as maiores ins-tâncias, de 50 e 75 tarefas apresentados na Tabela 6, os resultados atingidos pelo AGA foram ainda melhores na compara¸cão com os de (Gomes Jr. et al., 2007). O percentual médio de melhora foi de 0,54%, ao passo que (Gomes Jr. et al., 2007) apresentou piora de 0,42%. O desvio médio em rela¸cão ao melhor resultado foi de 31%.

6 Conclus˜oes

Este artigo teve seu foco no PSUMAA consi-derando janelas de entrega e tempo de

prepa-Tabela 4: Resultados para 20 e 25 tarefas

2001 0,00 0,00 0,00 0,00 2002 0,37 3,05 0,00 0,00 2003 0,32 1,04 0,00 0,00 2004 0,23 1,14 0,00 0,00 2005 0,38 0,98 0,00 0,00 2006 4,74 4,52 0,00 0,00 2007 1,34 3,87 0,00 0,00 2008 0,21 0,62 0,00 0,00 2009 0,33 2,09 0,00 0,00 2010 0,27 1,09 0,00 0,00 2011 0,40 0,68 0,00 0,00 2012 0,20 0,72 0,00 0,00 2501 0,14 0,36 0,00 0,00 2502 0,22 0,54 0,00 0,00 2503 0,00 0,12 0,00 0,00 2504 0,35 0,55 0,00 0,00 2505 0,69 2,60 0,00 0,00 2506 0,02 0,21 0,00 0,00 2507 0,17 1,46 0,00 0,00 2508 0,17 1,15 0,00 0,00 2509 0,00 0,27 0,00 0,00 2510 5,78 11,20 0,00 0,00 2511 4,19 6,25 0,00 0,00 2512 0,53 3,09 0,00 0,00

(12)

Tabela 5: Resultados para 30 e 40 tarefas

3001 0,80 2,53 0,00 0,00 3002 0,08 0,31 0,00 0,00 3003 0,47 1,93 0,00 0,00 3004 2,78 4,92 0,00 0,00 3005 2,03 2,62 0,00 0,00 3006 0,64 3,36 0,00 0,00 3007 0,29 1,40 0,00 0,00 3008 5,89 6,20 0,00 0,00 3009 0,00 1,43 0,00 0,00 3010 2,84 4,56 0,00 0,00 3011 2,18 8,42 0,00 -2,30 3012 1,18 2,42 0,00 -0,07 4001 0,35 1,16 0,00 0,00 4002 0,28 0,81 0,00 0,00 4003 0,00 0,67 0,00 0,00 4004 1,62 2,30 0,04 0,00 4005 1,27 2,45 0,00 0,00 4006 1,19 3,41 0,00 0,00 4007 2,51 7,17 1,48 0,00 4008 2,16 4,03 0,00 0,00 4009 3,97 6,77 0,00 0,00 4010 2,95 4,46 0,39 0,00 4011 5,51 12,57 1,11 -2,17 4012 3,93 6,79 0,00 0,00 Agradecimentos

Os autores agradecem ao CEFET-MG, CAPES e FAPERJ.

Referˆencias

Du, J. and Leung, J. Y. T. (1990). Minimi-zing total tardiness on one machine is np-hard, Mathematics of Operations Research 15: 483–495.

Feo, T. A. and Resende, M. G. C. (1995). Gre-edy randomized adaptive search procedures, Journal of Global Optimization 6: 109–133. Glover, F. (1996). Tabu search and adaptive

me-mory programming - advances, applications and challenges, in R. S. Barr, R. V. Helga-son and J. L. Kennington (eds), Computing Tools for Modeling, Optimization and Simu-lation: Interfaces in Computer Science and Operations Research, Kluwer Academic Pu-blishers, pp. 1–75.

Gomes Jr., A. C., Carvalho, C. R. V., Mu-nhoz, P. L. A. and Souza, M. J. F. (2007). Um método heur´ıstico h´ıbrido para resol-ver o problema de sequenciamento em uma máquina com penalidades por antecipa¸cão e atraso, Anais do XXXIX Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional, Fortaleza, Brazil, pp. 1649–1660.

Lee, C. Y. and Choi, J. Y. (1995). A genetic algo-rithm for job sequencing problems with

dis-Tabela 6: Resultados para 50 e 75 tarefas

5001 3,72 5,34 0,13 -0,89 5002 3,46 6,00 0,56 -1,98 5003 0,60 1,59 0,00 0,00 5004 0,00 4,73 0,00 0,00 5005 0,62 2,33 0,57 0,00 5006 0,43 1,93 0,00 0,00 5007 5,27 8,95 0,00 0,00 5008 1,10 4,04 0,78 0,00 5009 4,93 9,46 1,77 -0,02 5010 5,49 5,44 3,33 -0,45 5011 7,74 11,70 0,00 0,00 5012 7,63 12,10 0,00 0,00 7501 4,48 7,40 0,00 0,00 7502 2,34 7,01 0,00 0,00 7503 5,84 7,98 0,52 -3,30 7504 2,04 4,05 0,00 -0,45 7505 6,90 12,52 0,00 0,00 7506 2,16 7,09 0,00 0,06 7507 5,34 11,19 0,00 0,00 7508 6,67 16,62 0,00 0,00 7509 3,36 10,65 5,25 -2,84 7510 3,99 9,13 0,00 0,00 7511 12,45 24,03 0,00 0,00 7512 6,45 13,05 0,00 0,00

tinct due dates and general early-tardy pe-nalty weights, Computers and Operations Re-search 22: 857–869.

Matias, P. T. (2008). Avalia¸c˜ao comparativa de algoritmos evolutivos com operadores adap-tativos, Disserta¸c˜ao de mestrado, Programa de Engenharia Civil, UFRJ, Rio de Janeiro. Mladenovic, N. and Hansen, P. (1997). Variable

neighborhood search, Computers and Opera-tions Research 24: 1097–1100.

Montevechi, J. A., Turrioni, J. B., Almeida, A. D., Mergulhão, R. C. and Leal, F. (2002). An´ a-lise comparativa entre regras heur´ısticas de sequenciamento da produ¸cão aplicada em Job Shop, Produto e Produ¸cão 6(2): 12–18. Prais, M. and Ribeiro, C. C. (2000). An

appli-cation to a matrix decomposition problem in tdma traffic assignment, INFORMS - Jour-nal on Computing 12: 164–176.

Rossetti, I. C. M. (2003). Estratégias sequenciais e paralelas de GRASP com reconexão por ca-minhos para o problema de s´ıntese de redes a 2 caminhos, Tese de doutorado, Programa de Pós-Gradua¸cão em Informática, PUC-RJ, Rio de Janeiro, Brasil.

(13)

PRINC´IPIO DA OTIMALIDADE PR ´OXIMA APLICADO AO PROBLEMA DE

SEQUENCIAMENTO DE TAREFAS EM UMA M ´AQUINA COM PENALIDADES

POR ANTECIPA ¸C ˜AO E ATRASO DA PRODU ¸C ˜AO

Bruno Ferreira Rosa∗_{, Marcone Jamilson Freitas Souza}†_{, S´}_{ergio Ricardo de Souza}∗ ∗_{Avenida Amazonas, 7675, CEP 30.510-000}

Centro Federal de Educa¸c˜ao Tecnol´ogica de Minas Gerais Belo Horizonte, Minas Gerais, Brasil

†_{ICEB, Campus Universit´ario, CEP 35.400-000}

Universidade Federal de Ouro Preto Ouro Preto, Minas Gerais, Brasil

Emails: brunofazmat@dppg.cefetmg.br, marcone@iceb.ufop.br, sergio@dppg.cefetmg.br Abstract— This work deals with the single machine scheduling problem where a sequence-dependent setup time is required for the changeover job. In the considered problem, each job has a time window in which the job must preferably be completed. The objective is to minimize the weighted sum of the tardiness and earliness. A mathematical model is proposed for the problem and also a heuristic algorithm based on GRASP, Proximate Optimality Principle and Variable Neighborhood Descent to solve it. Computational experiments performed in a set of instances of the literature suggest that the proposed algorithm is able to find good solutions and with low average divergence.

Keywords— Scheduling single machine, GRASP, Proximate Optimality Principle.

Resumo— Este trabalho trata do problema de sequenciamento em uma máquina, no qual há um tempo de prepara¸cão dependente da sequência de produ¸cão. No problema abordado, cada tarefa possui uma janela de tempo, dentro da qual ela deve ser preferencialmente conclu´ıda. O objetivo é minimizar a soma ponderada dos atrasos e antecipa¸cões. É proposto um modelo matemático para o problema e também um algoritmo heur´ıstico baseado em GRASP, Princ´ıpio da Otimalidade Próxima e Busca em Vizinhan¸ca Variável para resolvê-lo. Ex-perimentos computacionais realizados em um conjunto de problemas-teste da literatura sugerem que o algoritmo proposto é capaz de encontrar boas solu¸cões e com baixo desvio médio.

Keywords— Sequenciamento uma máquina, GRASP, Princ´ıpio da Otimalidade Próxima. 1 Introdu¸cão

O problema de sequenciamento de tarefas em uma máquina com penalidades por antecipa¸cão e atraso da produ¸cão (PSUMAA) consiste em se-quenciar e determinar o momento em que as tare-fas devem ser executas em uma máquina, com o objetivo de minimizar a soma ponderada das ante-cipa¸cões e dos atrasos na produ¸cão de tais tarefas. Há antecipa¸cão de uma tarefa quando ela é con-clu´ıda antes da data desejada para sua entrega e há atraso quando ela é conclu´ıda após esta data. Em ambas as situa¸cões são geradas penalidades.

Segundo Liaw (1999), concluir uma tarefa com atraso pode resultar em multas contratuais, perda de credibilidade da empresa e redu¸c˜ao de vendas. Do mesmo modo, concluir uma tarefa antecipadamente pode resultar em custos finan-ceiros extras, pela necessidade de disponibilizar antecipadamente capital, necessidade de espa¸co para armazenamento ou necessidade de outros re-cursos para manter e gerenciar o estoque (Fran¸ca Filho, 2007).

Com rela¸cão às datas de entrega das tarefas, um caso pouco explorado na literatura é aquele no qual se considera janelas de entrega distintas (dis-tinct due windows). Isto é, há um determinado per´ıodo de tempo associado a cada tarefa, dentro

do qual a tarefa deve ser preferencialmente con-clu´ıda. Segundo (Wan and Yen, 2002), este caso ocorre quando existe tolerˆancia em torno da data desejada para a entrega de cada tarefa.

Em um grande número de aplica¸cões do PSUMAA, após a conclusão de uma tarefa é necessário preparar a máquina para a execu¸cão da tarefa seguinte (Allahverdi et al., 1999). Isto ocorre em indústrias que produzem diferentes tipos de produtos e em que existe uma troca fre-quente do tipo de tarefa executada na máquina. Este tempo de prepara¸cão (ou tempo de setup) inclui os tempos gastos para trocar as ferramen-tas, preparar o material, limpar a máquina, etc. A maioria dos trabalhos em problemas de sequencia-mento assume que tais tempos são independentes da sequência de produ¸cão, isto é, que eles são des-prez´ıveis ou podem ser acrescentados aos tempos de processamento das tarefas. No entanto, em grande parte das situa¸cões práticas, esses tempos são dependentes da sequência de produ¸cão (Gupta and Smith, 2006).

(14)

a produ¸cão. Outra situa¸cão em que isto ocorre é quando a capacidade da máquina é inferior à demanda. No entanto, há casos em que vale a pena manter a máquina parada, mesmo que exista uma tarefa dispon´ıvel para ser processada (Fran¸ca Filho, 2007).

O PSUMAA possui muitas aplica¸cões práti-cas em indústrias metalúrgicas, têxteis, de tintas, dentre outras. Associado a este grande leque de aplica¸cões está a dificuldade de resolvê-lo de forma ótima, dado que se trata de um problema NP-dif´ıcil (Allahverdi et al., 1999). Esta união entre aplicabilidade e dificuldade de resolu¸cão motiva o desenvolvimento de algoritmos eficientes para resolvê-lo.

No presente trabalho é estudado o PSUMAA em sua forma mais genérica, isto é, com janelas de entrega distintas, penalidades por atraso e an-tecipa¸cão das tarefas diferentes, tempo de setup dependente da sequência de produ¸cão, sendo per-mitidos tempos ociosos entre as execu¸cões de tare-fas consecutivas. Esse problema, com todas as caracter´ısticas apontadas, tem sido pouco explo-rado na literatura. Destacam-se os trabalhos de Gomes Júnior et al. (2007) e Souza et al. (2008). No primeiro trabalho, é proposto um modelo de Programa¸cão Inteira Mista (PLIM) para represen-tar o problema, bem como um algoritmo heur´ıs-tico baseado em GRASP, Iterated Local Search e Variable Neighborhood Descent - VND. Para cada sequência de tarefas gerada por esse algo-ritmo, é acionado um procedimento de complex-idade polinomial para determinar a data ótima de in´ıcio de processamento das tarefas na sequên-cia dada, sendo este procedimento uma extensão daquele proposto por Wan and Yen (2002). No segundo trabalho é proposto um algoritmo heur´ıs-tico baseado em GRASP, VND, Busca Tabu e Reconexão por Caminhos. Outros trabalhos cu-jas caracter´ısticas se aproximam são os de Wan and Yen (2002), mas que não consideram a e-xistência de tempos de prepara¸cão da máquina dependente da sequência, e o de Bustamante (2007). Este último não considera a existência de janelas de entrega. A formula¸cão de progra-ma¸cão matemática proposta também exige que os tempos de prepara¸cão satisfa¸cam à desigualdade triangular.

O presente trabalho inclui a apresenta¸cão de um novo modelo de PLIM para representar o problema e também de um algoritmo heur´ıstico baseado em GRASP (Feo and Resende, 1995), Princ´ıpio da Otimalidade Próxima - POP (Glover and Laguna, 1997) e VND (Mladenović and Hansen, 1997) para resolvê-lo.

O restante deste trabalho está organizado do seguinte modo. Na Se¸cão 2, é feita uma descri¸cão detalhada do problema estudado, enquanto, na Se¸cão 3, é apresentada uma formula¸cão de progra-ma¸cão matemática para representar tal problema.

Na Se¸cão 4 é descrito o algoritmo heur´ıstico desen-volvido para resolvê-lo. Na Se¸cão 5 são apresenta-dos e discutiapresenta-dos os resultaapresenta-dos computacionais. A Se¸cão 6 conclui o trabalho.

2 Descri¸c˜ao do problema

O PSUMAA abordado neste trabalho possui as seguintes caracter´ısticas: (i) Uma m´aquina deve processar um conjunto I de n tarefas; (ii) A cada tarefa i ∈ I est´a associado um tempo de proces-samento Pi, uma janela de entrega [Ei, Ti],

den-tro da qual a tarefa i deve ser preferencialmente conclu´ıda, um custo αi por unidade de tempo de

antecipa¸c˜ao e um custo βi por unidade de tempo

de atraso. Há antecipa¸cão de uma tarefa i ∈ I quando seu processamento é conclu´ıdo antes de Ei

e h´a atraso quando seu processamento ´e conclu´ıdo depois de Ti; (iii) As tarefas que forem conclu´ıdas

dentro de suas respectivas janelas de entrega não geram custo; (iv ) A máquina executa no máximo uma tarefa por vez e, uma vez iniciado o processa-mento de uma tarefa, não é permitida a sua inter-rup¸cão; (v ) Todas as tarefas estão dispon´ıveis para processamento na data 0; (vi) Entre duas tarefas i e j consecutivas é necessário um tempo Sij de

prepara¸cão da máquina, chamado tempo de setup; (vii) Assume-se que o tempo de prepara¸cão da máquina para o processamento da primeira tarefa na sequência é igual a 0; (viii) ´E permitido tempo ocioso entre a execu¸cão de duas tarefas consecuti-vas.

O objetivo é determinar a sequência de pro-du¸cão e as datas de in´ıcio de propro-du¸cão das tarefas, de forma a minimizar a soma ponderada das an-tecipa¸cões e dos atrasos.

3 Modelo matem´atico

O modelo de Programa¸cão Linear Inteira Mista (PLIM) apresentado a seguir é baseado naquele proposto por Gomes Júnior et al. (2007). Para sua apresenta¸cão, sejam si, ei e ti a data de in´ıcio do

processamento, o tempo de antecipa¸cão e o tempo de atraso da tarefa i ∈ I, respectivamente. A con-trário de Gomes Júnior et al. (2007), é utilizada apenas uma tarefa fict´ıcia, 0 (zero), para auxiliar na modelagem. A tarefa 0 é sequenciada duas vezes, sendo uma necessariamente na primeira e outra na ´ultima posi¸cão. Considera-se que P0= 0

e que S0i= Si0= 0, ∀ i ∈ I. Deste modo, se

com-parado ao modelo daqueles autores, há redu¸cão de 2n + 3 variáveis e n + 1 restri¸cões, com n represen-tando o número de tarefas a serem sequenciadas. Sejam yijvariáveis que determinam a

sequˆen-cia de produ¸c˜ao, sendo yij = 1 se a tarefa j for

se-quenciada imediatamente ap´os a tarefa i e yij = 0,

(15)

min Z = n X i=1 (αiei+ βiti) (1) s.a. si+ Pi+ yij(M + Sij) − M ≤ sj ∀ i ∈ I ∪ {0}, ∀ j ∈ I e i 6= j (2) n X j=0, j6=i yij = 1 ∀ i ∈ I ∪ {0} (3) n X i=0, i6=j yij = 1 ∀ j ∈ I ∪ {0} (4) si+ Pi+ ei ≥ Ei ∀ i ∈ I (5) si+ Pi− ti ≤ Ti ∀ i ∈ I (6) si ≥ 0 ∀ i ∈ I ∪ {0} (7) ei ≥ 0 ∀ i ∈ I (8) ti ≥ 0 ∀ i ∈ I (9) yij ∈ {0, 1} ∀ i, j ∈ I ∪ {0} e i 6= j (10)

A fun¸cão objetivo, representada pela equa¸cão (1), busca a minimiza¸cão da soma ponderada das antecipa¸cões e atrasos. As restri¸cões (2) garan-tem que existe garan-tempo suficiente para executar uma tarefa i antes do in´ıcio da tarefa seguinte j, ou seja, elas garantem que o processamento da tarefa j não será iniciado antes do término do processa-mento da tarefa i. As restri¸cões (3) e (4) garantem que cada tarefa terá apenas uma tarefa imediata-mente sucessora e uma tarefa imediataimediata-mente an-tecessora, respectivamente. As restri¸cões (5) e (6) definem as antecipa¸cões e os atrasos, de acordo com as respectivas janelas de entrega de cada tarefa. As restri¸cões (7), (8), (9) e (10) dizem respeito ao tipo de variáveis.

4 Algoritmo proposto

O algoritmo heur´ıstico proposto, denotado por GPV, combina os procedimentos GRASP (Feo and Resende, 1995), Princ´ıpio da Otimalidade Próxima - POP (Glover and Laguna, 1997) e VND (Mladenović and Hansen, 1997). A Figura 1 ap-resenta seu pseudocódigo.

Algoritmo GPV() 1 f?_{← ∞;} 2 Iter ← 0;

3 enquanto (Iter < GRASPMax) fa¸ca 4 Iter ← Iter + 1; 5 v0← ConstruaSolucao(); 6 v ← VND1(v0); 7 se (f (v) < f?_{) ent˜ao} 8 v?_{← v;} 9 f?_{← f (v);} 10 Iter ← 0; 11 fim-se; 12 fim-enquanto; 13 v?_{← VND} 2(v?); 14 Retorne v?_; fim GPV Figura 1: Algoritmo GPV

H´a duas fases neste algoritmo. A primeira (linhas 1 a 12 da Fig. 1) gera uma solu¸c˜ao com

base na metaheur´ıstica GRASP. A segunda (linha 13) consiste em um pós-refinamento da solu¸cão proveniente da fase anterior. Seu detalhamento é apresentado nas subse¸cões seguintes.

4.1 Representa¸c˜ao de uma solu¸c˜ao

Uma solu¸cão (sequência) para o PSUMAA de n tarefas é representada por um vetor v de n posi¸cões, em que cada posi¸cão i = 1, 2, · · · , n in-dica a ordem de produ¸cão da tarefa vi. Por

exem-plo, dada a sequência v = {5, 3, 2, 1, 4, 6}, a tarefa 5 é a primeira a ser realizada e a tarefa 6 a última. 4.2 Vizinhan¸ca de uma solu¸cão

Para explorar o espa¸co de solu¸cões são usados três tipos de movimentos: troca da ordem de processa-mento de duas tarefas da sequência de produ¸cão, realoca¸cão de uma tarefa para outra posi¸cão da sequência e realoca¸cão de um bloco com duas ou mais tarefas. Esses movimentos definem, respec-tivamente, as vizinhan¸cas NT_{, N}R _{e N}RB_. 4.3 Fun¸cão de avalia¸cão

Como os movimentos utilizados não geram solu¸cões inviáveis, uma sequência é avaliada pela própria fun¸cão objetivo, dada pela expressão (1) do modelo de PLIM. Para determinar os valores de eie ti, é utilizado o algoritmo de determina¸cão

das datas ótimas de in´ıcio de processamento (AD-DOIP) proposto por Gomes Júnior et al. (2007). 4.4 Constru¸cão de uma solu¸cão

(16)

Candidatos (LRC). Desta lista é escolhida aleato-riamente uma, a qual é adicionada à solu¸cão par-cial.

Para estimar o benef´ıcio da inser¸cão de cada tarefa j ainda não sequenciada, em cada itera¸cão i, utiliza-se uma das 4 seguintes fun¸cões como critério de sele¸cão: (1) g1(j) = 2Ej/ max{Ek| k ∈ Fi} + 2Tj/ max{Tk| k ∈ Fi} + αj/ max{αk| k ∈ Fi} − βj/ max{βk| k ∈ Fi} + Pj/ max{Pk| k ∈ Fi} + Si−1,j/ max{Si−1,k| k ∈ Fi}, em que Fi

representa o conjunto das tarefas ainda não se-quenciadas até a i-ésima itera¸cão (para i = 1, no lugar de Si−1,j/ max{Si−1,k| k ∈ Fi} é utilizado −média{Skj| k ∈ I e k 6= j}/ max{Skl| k, l ∈ I e k 6= l}); (2) g2(j) = Tj; (3) g3(j) = (αjEj+ βjTj)/(αj+ βj); (4) g4(j) = Ej.

As fun¸cões g’s são utilizadas seguindo-se a or-dem anterior. Nas quatro primeiras itera¸cões, ou seja, na primeira vez em que cada fun¸cão g é uti-lizada, faz-se γ = 0. Nas demais itera¸cões, γ é selecionado aleatoriamente dentro de um conjunto Γ, onde Γ é um parâmetro do método.

4.5 POP aplicado ao PSUMAA

Durante a etapa de constru¸cão é aplicado o Princ´ı-pio da Otimalidade Próxima (POP). Este princ´ı-pio é baseado na idéia de que boas solu¸cões em um n´ıvel estão próximas de boas solu¸cões em um n´ıvel adjacente (Glover and Laguna, 1997). As-sim, antes de se inserir uma nova tarefa na solu¸cão em forma¸cão, esta é submetida a uma busca local. A busca local utilizada consiste em uma des-cida randômica em rela¸cão à vizinhan¸ca NR_.

Dada uma solu¸cão, aleatoriamente escolhe-se uma tarefa na sequência e uma nova posi¸cão para ela. Se a nova sequência produzir uma solu¸cão com um valor menor para a fun¸cão objetivo, a nova sequên-cia é aceita e passa a ser a solu¸cão corrente; caso contrário, é testada outra realoca¸cão. A busca é interrompida após MRDMax realoca¸cões consecu-tivas sem melhora na fun¸cão objetivo.

4.6 VND1

Na etapa de busca local da primeira fase do al-goritmo (linha 6 da Figura 1), utiliza-se a Busca em Vizinhan¸ca Variável (Variable Neighborhood Descent - VND). Proposto por Mladenović and Hansen (1997), o VND é um método de busca lo-cal que consiste em explorar o espa¸co de busca através de trocas sistemáticas de estruturas de vi-zinhan¸cas. Basicamente o procedimento utilizado consiste em três passos: (1) método randômico de descida (MRD) com a vizinhan¸ca NT_{; (2)}

MRD com a vizinhan¸ca NR_{; (3) MRD com a}

vi-zinhan¸ca NRB_{. Cada passo ´e constituido de}

ite-ra¸cões que geram vizinhos aleatórios com rela¸cão à respectiva estrutura de vizinhan¸ca. Sempre que uma solu¸cão de melhora é encontrada, volta-se ao primeiro passo. Quando um dos MRD’s atinge MRDmax itera¸cões sem melhora, passa-se para o

passo seguinte. Estando-se no último passo, então o procedimento é interrompido e a melhor solu¸cão encontrada é retornada.

4.7 VND2

Como a solu¸cão proveniente da primeira fase do algoritmo GPV (linhas 1-12 da Figura 1) não é necessariamente um ótimo local com rela¸cão às vi-zinhan¸cas adotadas, ela é submetida a uma busca local mais efetiva, no caso, também baseada na Busca em Vizinhan¸ca Variável (VND2). Nesta,

a explora¸cão do espa¸co de solu¸cões é realizada de acordo com os seguintes passos: (1) descida completa (DC) com rela¸cão à vizinhan¸ca NT_{; (2)}

DC com rela¸c˜ao `a vizinhan¸ca NR_{; (3) DC na}

vi-zinhan¸ca NRB_{. No passo (3), em que s˜ao}

real-izadas realoca¸cões de blocos de tarefas, inicial-mente testam-se todas as realoca¸cões com blocos de duas tarefas poss´ıveis e quando não for mais poss´ıvel melhorar a solu¸cão com um determinado tamanho de bloco, passa-se a explorar movimen-tos com blocos de tamanho imediatamente maior. Sempre que uma solu¸cão de melhora é encontrada, volta-se ao passo (1). Se em um determinado passo, todos os vizinhos com rela¸cão à respec-tiva estrutura de vizinhan¸ca não são de melhora, passa-se para o passo seguinte. O procedimento é interrompido quando um ótimo local com rela¸cão às três vizinhan¸cas é encontrado.

5 Resultados computacionais Foram utilizados para teste os mesmos problemas usados em Gomes Júnior et al. (2007). Esta base de dados é constitu´ıda por grupos de problemas-teste de 8 a 75 tarefas e tempos de setup simétri-cos. Cada grupo possui 12 problemas distintos gerados de forma pseudo-aleatória.

O modelo matemático apresentado na Se¸cão 3 foi implementado usando o modelador AMPL e o otimizador CPLEX, versão 10.1, da ILOG. Foram submetidos a tal otimizador os problemas com até 12 tarefas, sendo estipulado o limite de 3600 se-gundos para obten¸cão de cada resultado. Para os problemas que atingiram esse tempo limite, a solu¸cão encontrada não é necessariamente ótima; porém, é retornado pelo CPLEX um limite infe-rior. Este limite é utilizado para medir a quali-dade da solu¸cão retornada por meio da equa¸cão gapi = (fiCPLEX− Li)/Li, em que fiCPLEX e Li

representam o valor da solu¸c˜ao e o limite inferior encontrados pelo otimizador. Deste modo, gapi ´e