Matemática. Elementar II Caderno de Atividades

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Matemática

Elementar I

Autor

Leonardo Brodbeck Chaves

Matemática

Elementar I

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IESDE Brasil S.A.

Al. Dr. Carlos de Carvalho, 1.482 • Batel

C512 Chaves, Leonardo Brodbeck.

Matemática Elementar I. Leonardo Brodbeck Chaves. — Curitiba: IESDE Brasil S.A., 2009.

196 p.

ISBN: 978-85-7638-798-5

1. Matemática. 2. Matemática – Estudo e ensino. I. Título.

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Leonardo Brodbeck Chaves

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Sumário

Contagem | 11

1. A noção básica da Matemática: a contagem | 11 2. O sistema de numeração decimal | 13

Adição e subtração | 17

1. A adição | 17 2. A subtração | 18

Multiplicação e divisão | 21

1. A multiplicação | 21 2. A divisão | 23

Frações (I) | 25

1. As frações | 25

2. Resolução de problemas com frações | 28 3. Frações próprias e impróprias | 30 4. Simplificação de frações | 31

Frações (II) | 35

1. Mínimo múltiplo comum (m.m.c) | 35

2. Adição e subtração de fração com o mesmo denominador | 36 3. Adição e subtração de frações com denominadores diferentes | 37 4. Multiplicação com frações | 40

5. Divisão com frações | 41

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Expressões numéricas | 47

1. Introdução | 47

2. Regras para a resolução de expressões numéricas | 47

Geometria (I) | 53

6. Medida do comprimento da circunferência | 62

Geometria (II) | 65

1. Unidade de área | 65 2. Áreas de figuras planas | 66 3. Volumes | 70

Razão e proporção | 75

1. Razão | 75

2. Proporção | 79

3. Aplicando razão e proporção para calcular densidade volumétrica | 80

Grandezas proporcionais (I): regra de três simples | 85

1. Grandezas diretamente proporcionais | 85

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Porcentagem e juro | 105

1. Porcentagem | 105 2. Juro | 111

Equações do 1.

o

_{grau | 117}

Equações do 2.

o

_{grau | 125}

1. Noção de equação do 2.o_{grau | 125} 2. Forma geral | 125

3. Solução de uma equação do 2.o_{grau | 127} 4. Resolução de problemas do 2.o_{grau | 137}

5. Problemas que envolvem equações do 2.o_{grau | 138}

Sistemas lineares 2 x 2 | 143

2. Sistema de equações lineares 2 x 2 | 144

3. Solução de um sistema linear 2 x 2: método gráfico | 144 4. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da substituição | 146 5. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da comparação | 151 6. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da adição | 153

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Apresentação

O mundo moderno está repleto de idéias, modelos e aplicações matemáticas. E desde o surgimento do homem foi dessa forma.

Quando vislumbramos o céu, a terra e o mar, encontramos inúmeras aplicações matemáticas:

a) as colméias com os seus prismas hexagonais de seus favos; b) o círculo da lua cheia;

c) um cristal de gelo com angulação precisa;

d) as ondas, que trazem consigo o conceito de periodicidade;

e) o sistema solar, que nos traz uma riqueza sem fim de relações geométricas, entre outros.

Várias atividades do nosso cotidiano necessitam de ações que envolvam idéias matemáticas, como a aquisição de um plano adequado de financiamento (com menores taxas de juros do mercado), o controle do orçamento familiar (mediante a relação salário X gastos), a compreensão das escalas próprias de fenômenos da natureza (por exemplo, a escala Ritchter dos terremotos).

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(conceito de frações), media um pedaço de pele com a finalidade de comparar comprimentos (idéias de menor e maior) e fabricava utensílios de barro que eram seus padrões de medida (idéia de volume). Desse modo, percebemos que o homem primitivo utilizava a Matemática para sua sobrevivência e transcendência como espécie humana, a partir de ações que demonstravam novas estratégias geradas pelo seu raciocínio lógico, frente às situações da realidade.

A capacidade de desenvolvimento, a criatividade e a necessidade de adaptação do homem fizeram com que fossem desenvolvidas ferramentas de apoio com a finalidade de auxiliar a resolução de problemas com agilidade, assim surgiram os computadores. O computador é uma máquina que executa operações matemáticas construindo seqüências lógicas, resolvendo problemas e executando operações matemáticas com maior eficiência e rapidez, por sua capacidade de memória.

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Multiplicação e divisão

1. A multiplicação

1

A operação de multiplicação era efetuada por antigas civilizações, tais como a babilônica e a egípcia. No antigo Egito, por exemplo, há registros do emprego da palavra “sep” entre os números em uma multiplicação, que se traduzia por “vezes”.

A lista dos principais verbos que sugerem multiplicação é a seguinte:

duplicar, dobrar, triplicar, quadriplicar, quintuplicar, centuplicar, replicar, redobrar, repetir etc. Exemplos:

1. Na sala de aula de Bruno, existem 5 filas com 6 alunos em cada fila.

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Matemática Elementar I – Caderno de Atividades

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a) Quantos alunos estão presentes na sala se ninguém faltou? 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 30 alunos b) Quantos pés de alunos nós temos na sala?

2 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 60 pés 30 vezes

Logo, temos 60 pés de alunos.

Na situação que acabamos de exemplificar está envolvida mais uma das idéias da multipli-cação, que é a soma de parcelas iguais.

Mas existem outras situações relacionadas à idéia de multiplicação, como a idéia de com-binação.

2. Considere as cidades X, A e Y. Para ir de X até A existem 5 caminhos diferentes. Para ir de A a Y existem 3 caminhos diferentes. Quantos caminhos diferentes existem de X até Y?

X Y b₁ b₂ b3 a₁ a2 a₃ a₄ a5 A

As possibilidades de caminho são:

a₁b₁ a₂b₁ a₃b₁ a₄b₁ a₅b₁

a₁b₂ a₂b₂ a₃b₂ a₄b₂ a₅b₂

a₁b₃ a₂b₃ a₃b₃ a₄b₄ a₅b₅

No total, são 15 maneiras diferentes.

3. Um prédio residencial possui 6 andares, com 4 apartamentos por andar. Em cada aparta-mento temos 3 moradores. Responda:

a) Quantos apartamentos tem esse prédio?

6 . 4 = 24 apartamentos b) Quantas pessoas moram nesse prédio?

24 . 3 = 72 pessoas

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Multiplicação e divisão 23

5. O táxi de Antônio gasta em média 1 litro de gasolina por 15 quilômetros rodados. O tan-que do carro é de 42 litros. Quantos quilômetros Antônio pode rodar com o combustível de um tanque cheio?

15 . 42 = 630 quilômetros

6. Uma roda-gigante dá 3 voltas por minuto. Quantas voltas dá em meia hora? meia hora = 30 minutos

3 . 30 = 90 voltas

2. A divisão

2

Desde a Antigüidade a divisão era a partilha de uma determinada quantidade de objetos por um certo número de pessoas. Na evolução das idéias provavelmente foi substituindo-se por sinais até chegarmos ao processo atual da divisão.

Desse modo, a idéia de divisão é associada a situações ligadas aos verbos: partir, repartir, fracionar, fragmentar, separar, dividir etc.

A divisão pode ser encarada também como a operação inversa da multiplicação. Veja:

Se 12 x 5 = 60, então 60 : 5 =12 ou 60 : 12 = 5

Vamos acompanhar algumas situações em que usamos a divisão:

1. Uma caixa de bombons será dividida entre 4 irmãos. Se a caixa possui 20 chocolates, quantos cada um recebeu?

20 : 4 = 5 chocolates Logo, cada irmão recebeu 5 chocolates.

2. Comprei 4 pneus e paguei R$480,00. Quanto custa cada pneu? 480 : 4 = 120

Logo, cada pneu custa R$120,00.

3. O preço de uma mercadoria em uma loja é de R$1.200,00 à vista, que pode ser parcelada em 5 vezes sem juros. Qual é o valor de cada parcela?

1200 : 5 = 240 Logo, cada parcela será de R$240,00.

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Exercícios

1. Um prédio comercial possui 15 andares, com 8 conjuntos por andar e 12 pessoas por

con-junto. Responda:

a) Quantos conjuntos tem esse prédio? b) Quantas pessoas trabalham nesse prédio?

2. Maria é muito vaidosa. Ela possui 2 calças e 7 camisetas. De quantas maneiras diferentes

ela pode se vestir com essas roupas?

3. Comprei 4 pneus e paguei R$600,00. Quanto custou cada pneu?

4. O preço de uma mercadoria em uma loja é de R$4.800,00 à vista, que pode ser parcelada

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Gabarito

Multiplicação e divisão

1. a) 120 conjuntos.

b) 120 x 12 = 1 440 pessoas.

2. 2 . 7 = 14 maneiras diferentes.

3. Cada pneu custou R$150,00.

4. Cada parcela será de R$800,00.

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Frações (I)

1. As frações

As frações foram criadas há mais de 3 500 anos, no antigo Egito, principalmente para expressar medidas que não podiam ser demonstradas apenas com os números naturais. Ainda hoje as frações são muito usadas para expressar medidas.

Na linguagem comum, fração significa “parte”. Na Matemática, fração é um conceito com mais de um significado. Um desses significados relaciona-se com a noção de parte.

Observe as representações fracionárias das partes pintadas em relação à figura toda:

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1.1 Representação

Na representação de um número fracionário usamos dois números inteiros separados por uma barra horizontal chamada traço de fração.

Veja:

numerador

denominador a b

O número de cima é chamado numerador e o número de baixo é chamado de denominador. 2

3 representa

a) O numerador indica o número de partes consideradas;

b) o denominador indica o total de partes em que o todo foi dividido.

1.2 Nomenclatura

Usamos as palavras meio, terço, quarto, quinto, sexto, sétimo, oitavo, nono e décimo para as frações de denominadores 2 a 10. Por exemplo: 2 7 Dois sétimos 3 4 Três quartos 1 8 Um oitavo 1 2 Um meio 3 10 Três décimos

Para denominadores maiores que 10, acrescenta-se à leitura dos denominadores a palavra

avos. Veja alguns exemplos:

1

37 Um trinta e sete avos

7

11 Sete onze avos

72 168

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Frações (I) 27

1.2.1 Frações decimais

As frações cujos denominadores são potências de 10, chamadas de frações decimais, recebem denominações especiais.

Acompanhe os exemplos: 1 10 Um décimo 1 100 Um centésimo 1 1 000 Um milésimo 1 10 000 Um décimo de milésimo

Exercícios

1. Escreva a fração correspondente à parte pintada em cada figura.

a)

b)

(20)

28

2. Ligue as frações indicadas às representações gráficas correspondentes.

2 5 1 5 1 7 3 3

3. Escreva a forma numérica de cada uma das frações:

a) Dois nonos b) Doze centésimos c) Três quartos d) Sete treze avos e) Quatro sextos

f) Vinte e dois trinta e nove avos

2. Resolução de problemas com frações

1. Uma cachorrinha teve 12 filhotes. Desses, 3

4 eram machos. Quantos eram machos?

A quarta parte de 12 é 12 : 4 = 3. Assim, 1

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Frações (I) 29

2

4 de 12 é igual a 2 x 3 = 6. 3

4 de 12 é igual a 3 x 3 = 9, que é o número de machos.

2. Antônio gasta 3₅ do seu salário com o aluguel. Se Antônio ganha R$850,00, quanto ele

gasta com o aluguel? 1

5 de 850 = 8505 = 170

3

5 de 850 = 3 x 170 = 510

Logo, Antônio gasta R$510,00 com o aluguel.

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3. Frações próprias e impróprias

Observe a classificação das frações nas figuras abaixo:

3 4

Fração própria, pois está relacionada com a parte de um todo, sendo menos que a unidade.

6 4

Fração imprópria, pois é maior que a unidade.

11 5

Fração imprópria, pois é maior que a unidade.

4 4 = 1

É o inteiro, pois a fração 4

4 representa o

número 1.

Exercícios

5. Escreva a fração correspondente a cada uma das figuras:

a)

(23)

Frações (I) 31

c)

4. Simplificação de frações

Existem frações que se referem a mesma parte do todo, por exemplo 1

2 e 24. Observe nas figuras a seguir: 1 2 2 4

Para simplificar uma fração devemos determinar sua fração equivalente.

Uma maneira de simplificar uma fração é dividir o numerador e o denominador por um mesmo número quando houver fator comum. Caso esses termos não tenham fator comum, não é possível simplificar a fração. Neste caso, dizemos que a fração está na forma irredutível.

Veja alguns exemplos: a) Simplificar 6

8:

Dividimos o numerador e o denominador por 2: 6 = 6 : 2 = 3 8 8 : 2 4 A fração 3

4 está na forma irredutível, pois não há fator comum entre 3 e 4.

b) Simplificar 15 25 .

Dividimos o numerador e o denominador por 5: 15 25 15 : 5 25 : 5 3 5 = = A fração 3

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32

c) Simplificar 21 168.

Dividimos o numerador e o denominador por 3 e depois por 7: 21 168= 21 : 3168 : 3 7 56 = = 7 : 7 56 : 7= 18 A fração 1

8 está na forma irredutível, pois não há fator comum entre 1 e 8.

Exercícios

6. Escreva as frações equivalentes para cada figura a seguir. Observe o modelo:

(25)

Frações (I) 33

c)

=

7. Simplifique as frações a seguir:

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34

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