2. Sistemas Não Lineares (Conservativos)
Iberê L. Caldas Mecânica Clássica – PGF 5005 web.if.usp.br/controle IF-USP 2021Sistemas Mecânicos
• Modêlo è equações de movimento
• Exemplos:
Pêndulo simples Pêndulo duplo Pêndulo elástico
θ mg
Pêndulo Simples
θ! 2 ml L =U
T
E
H
=
=
+
2 2 2 22
1
2
1
ml
L
ml
T
=
θ
!
=
)
cos
1
(
−
θ
= mgl
U
(Momento angular)l
θ θ ∂ ∂ − = ∂ ∂ = L H L H ! !
θ
θ
sen
l
g
−
=
!!
θ
θ
sen
2mgl
L
ml
L
−
=
=
!
!
(
1 cosθ
)
2 2 2 − + = mgl ml L HHamiltoniana
Equações de Hamilton:Freqüência em função da energia
. ) (sen 0 cte l g = = ⇒ ≈θ ω θ Aprox. linear: Aprox. 3º Ordem: ) 8 1 ( ) ! 3 1 (sen 2 0 0 3 ω ω ω θ θ θ ≈ − ⇒ = − E ωο 1 Aprox. Linear Aprox. 1º Ordem Solução Exata ω EEspaço de Fases
• É uma representação gráfica na qual cada eixo
representa uma das variáveis dinâmicas do sistema. • Contém todas as informações sobre o sistema!
• Determinismo à trajetória completamente definida por uma condição inicial (um ponto no espaço de fases).
• Um grau de liberdade e uma constante de movimento, H=E à Sistema integrável.
• Trajetórias periódicas formam órbitas fechadas no espaço de fases.
Retrato de fase do pêndulo simples
Sistema com um grau de liberdade (um par de variáveis para descrever a evolução do sistema)
Pêndulo Duplo
Ιi : momentos de inércia mi : massas a CM1 CM2 s1 s2Hamiltoniana do sistema
) cos 1 ( ) cos 1 ( cos cos 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 φ φ γ ε α ε α − + − + Δ − Δ − + = L L L L H Li : momentos generalizados φ i : coordenadas generalizadas 1 2 φ φ − = Δ(2 graus de liberdade, i=1,2) H: constante de movimento
Variáveis Constantes 2 2 2 1 1 s m a m s m + = γ 2 2 2 1 I a m I + = α 2 2 2 I s am = ε
Equações de Hamilton
k k k kH
L
L
H
φ
φ
∂
∂
−
=
∂
∂
=
!
!
• Sistema de equações não-lineares
• Dois graus de liberdade e uma constante
Δ − Δ − = 1 2 2 2 1 cos cos ε α ε φ! L L Δ + Δ − Δ − Δ + − Δ + Δ Δ + Δ Δ − Δ Δ − = 2 2 2 4 4 1 4 4 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 3 2 2 2 2 1 2 1 cos cos 2 sen cos sen cos 2 sen sen sen cos sen cos sen cos ε αε α φ γε φ γαε φ γ α α ε ε α ε ε L L L L L L L! Δ − Δ − = 2 2 1 2 2 cos cos ε α ε α φ! L L Δ + Δ − Δ − Δ + − Δ − Δ Δ − Δ Δ + Δ Δ = 2 2 2 4 4 2 4 4 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 3 2 2 2 2 1 2 2 cos cos 2 sen cos sen cos 2 sen sen sen cos sen cos sen cos ε αε α φ ε φ αε φ α α ε ε α ε ε L L L L L L L!
Equações de movimento
Pêndulo elástico
y x mg k l Frequência do pêndulo: l g p = ω Frequência da mola: m k = 0 ωHamiltoniana do sistema
(
)
(
(
)
0)
2 2 2 2 2 2 2 1 l y x k mgy p p H = x + y + + + −(
)
(
2)
2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 (1 ) 2 1 2 1 q q f fq p p h = + + + − − + − Mudança de variáveis: 1 2 0 2 kl E t l l y q l x q = = + τ =ω ε = Variáveis dinâmicas: p1, q1, p2,q2 Parâmetro de controle: 2 0 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ω ωp fEquações de Hamilton
k k k kq
h
p
p
h
q
∂
∂
−
=
∂
∂
=
!
!
k = 1, 21 1 p q =! Equações
de movimento
1 2 2 2 1 1 1 ) 1 ( 4 3 q q q q p − − + = ! 2 2 p q =! 2 2 2 1 2 2 2 ) 1 ( 1 4 3 4 3 q q q q p − + − − − = !• Sistema de equações não-lineares
• Dois graus de liberdade e uma constante
Integração numérica
φ1(0)
L1(0) L1(dt)
Simulação Numérica
• Evolução das variáveis qi(t) e pi(t) dadas as condições iniciais qi(0) e pi(0).
• Equações de movimento integradas numerica-mente.
• Oscilações regulares: periódicas ou quase-periódicas.
• Oscilações irregulares : caóticas, sensibilidade às condições iniciais.
Trajetória no espaço de fases
• h(q1,p1,q2,p2) = ε = constante. Somente 3 variáveis são independentes.
• Trajetória representada no espaço tridimensional. • Seção de Poincaré: Intersecções da trajetória com
um plano
Seção de Poincaré
P1 P2 P3 q2 p1 q1Exemplos de mapas de Poincaré
(q
2= 0 e p
2> 0)
P1=P6 P2 P3 P4 P5 q1 p1 Órbita periódica P1 P2 P3 P4 P5 q1 p1 Órbita caótica P6Pêndulo Elástico
Experiências Numéricas
• Introduzido por E. Fermi, nos anos1940s: analisa
propriedades das trajetórias para diferentes condições iniciais e parâmetros de controle (E, f).
• Applicado na investigação de sólitons da equação KdV, oscilações da rede não linear de Fermi-Pasta-Ulam, etc. (Resultados publicados apenas em 1954)
• Anteriormente: investigações experimentais (observações em laboratório) ou teóricas (métodos matemáticos).
Trajetórias no Espaço de Fase
• h(q1,p1,q2,p2) = ε = constante. Apenas 3 variáveis são independentes.
• Trajetórias representadas no espaço tridimensional.
• Poincaré section:
Intersecções das trajectórias com um plano (q2=0, p2>0)
Exemplos de Trajetórias
• Troca de energia entre oscilações do pêndulo e da
mola.
• Dependência com a energia total Et e o parâmetro de controle f =
(
ω
p/
ω
0)
2Ressonância
Paramétrica
(ω0 =2ωp )
Seção de Poincarè do sistema caótico Júpiter-Sol-Terra
Sumário
• Sistemas lineares são integráveis. Sistemas não lineares, comumente, são não integráveis.
• Sensibilidade às condições iniciais →
Previsibilidade em sistemas caóticos requer precisão absoluta nas condições iniciais.
Imprecisões nas medidas são inevitáveis.
• Mudança em um parâmetro altera evolução, que pode se tornar caótica. Controle desse parâmetro pode evitar ou originar o caos.
