Ministério da Educação - MEC
Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica (SETEC) Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará
Instalador e Reparador de Redes de Computadores
MATEMÁTICA BÁSICA
PROF. ESP. RAFAEL BRAZ DE MACÊDO
CURSO DE FORMAÇÃO INICIAL E CONTINUADA (FIC)
CRÉDITOS
Presidente
Dilma Vana Rousseff Ministro da Educação
José Henrique Paim Fernandes
Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica
Marco Antonio de Oliveira Reitor do IFCE
Virgílio Augusto Sales Araripe Pró-Reitora de Extensão
Zandra Maria Ribeiro Mendes Dumaresq
Pró-Reitor de Ensino
Reuber Saraiva de Santiago
Pró-Reitor de Administração Tássio Lofti
Coordenador Geral
Jose Wally Mendonça Menezes Elaboração do conteúdo RAFAEL BRAZ DE MACÊDO Coordenador Adjunto Campus André Luiz da Cunha Lopes Supervisor(es) Curso(s) José Tavares de Luna Neto Orientador(es) Curso(s) José Willame Felipe Alves Equipe 1
APOIO ADMINISTRATIVO ACADÊMICO
APOIO ADMINISTRATIVO FINANCEIRO Francisco Gomes de Loiola Neto
O QUE É O PRONATEC?
Criado no dia 26 de Outubro de 2011 com a sanção da Lei nº 12.513/2011 pela Presidenta Dilma Rousseff, o Programa Nacional de Acesso ao Ensino Técnico e Emprego (Pronatec) tem como objetivo principal expandir, interiorizar e democratizar a oferta de cursos de Educação Profissional e Tecnológica (EPT) para a população brasileira. Para tanto, prevê uma série de subprogramas, projetos e ações de assistência técnica e financeira que juntos oferecerão oito milhões de vagas a brasileiros de diferentes perfis nos próximos quatro anos. Os destaques do Pronatec são:
• Criação da Bolsa-Formação;
• Criação do FIES Técnico;
• Consolidação da Rede e-Tec Brasil;
• Fomento às redes estaduais de EPT por intermédio do Brasil Profissionalizado;
• Expansão da Rede Federal de Educação Profissional Tecnológica (EPT).
A principal novidade do Pronatec é a criação da Bolsa-Formação, que permitirá a oferta de vagas em cursos técnicos e de Formação Inicial e Continuada (FIC), também conhecidos como cursos de qualificação. Oferecidos gratuitamente a trabalhadores, estudantes e pessoas em vulnerabilidade social, esses cursos presenciais serão realizados pela Rede Federal de Educação Profissional, Científica e Tecnológica, por escolas estaduais de EPT e por unidades de serviços nacionais de aprendizagem como o SENAC e o SENAI.
Objetivos
• Expandir, interiorizar e democratizar a oferta de cursos de Educação Profissional Técnica de nível médio e de cursos e programas de formação inicial e continuada de trabalhadores;
• Fomentar e apoiar a expansão da rede física de atendimento da Educação Profissional e Tecnológica;
• Contribuir para a melhoria da qualidade do Ensino Médio Público, por meio da Educação Profissional;
• Ampliar as oportunidades educacionais dos trabalhadores por meio do incremento da formação profissional.
Ações
• Ampliação de vagas e expansão da Rede Federal de Educação Profissional e Tecnológica;
• Fomento à ampliação de vagas e à expansão das redes estaduais de Educação Profissional;
• Incentivo à ampliação de vagas e à expansão da rede física de atendimento dos Serviços Nacionais de Aprendizagem;
• Oferta de Bolsa-Formação, nas modalidades:
• Bolsa-Formação Estudante;
• Bolsa-Formação Trabalhador.
• Atendimento a beneficiários do Seguro-Desemprego;
APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA
A disciplina de matemática básica tem por objetivo desenvolver no estudante a capacidade de reconhecer, operar e estabelecer conexão entre os números fracionários e situações no cotidiano, compreender o que são grandezas diretamente proporcionais e inversamente proporcionais através de resolução de exercícios que despertam curiosidades e solucionar problemas que envolvem as equações de 1º e 2º graus.
Tem, também, por finalidade fazer com que o discente consiga identificar quais
situações podem ser solucionadas com cada tipo de conteúdo e que consiga montar uma
estratégia de resolução.
SUMÁRIO
1. FRAÇÕES ... 6
1.1 O SIGNIFICADO DE UMA FRAÇÃO ... 6
1.2 FRAÇÕES EQUIVALENTES ... 6
1.3 SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES ... 6
1.4 NÚMEROS FRACIONÁRIOS ... 7
1.5 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS ... 7
1.6 MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS ... 8
1.7 POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS ... 8
1.8 FRAÇÕES DECIMAIS ... 9
1.9 EXERCÍCIOS ... 9
2. REGRA DE TRÊS SIMPLES ... 10
2.1 EXERCÍCIOS ... 13
3. EQUAÇÕES DE 1º GRAU ... 13
3.1 EXERCÍCIOS ... 14
4. EQUAÇÕES DE 2º GRAU ... 15
4.1 EQUAÇÃO COMPLETAS E INCOMPLETAS ... 15
4.2 RAÍZES DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU ... 15
4.3 RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS ... 16
4.4 RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS ... 17
4.5 DISCRIMINANTE... 19
4.6 EXERCÍCIOS ... 21
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ... 23
1. FRAÇÕES
1.1 O SIGNIFICADO DE UMA FRAÇÃO
Algumas vezes, é um número natural. Outras vezes, isso não acontece. Neste caso, qual é o significado de ?
Uma fração envolve a seguinte idéia: dividir algo em partes iguais. Dentre essas partes, consideramos uma ou algumas, conforme nosso interesse.
Exemplo: Roberval comeu de um chocolate. Isso significa que, se dividíssemos o chocolate em 4 partes iguais, Roberval teria comido 3 partes:
Na figura acima, as partes pintadas seriam as partes comidas por Roberval, e a parte branca é a parte que sobrou do chocolate.
1.2 FRAÇÕES EQUIVALENTES
Frações equivalentes são frações que representam a mesma parte do todo.
Exemplo:
são equivalentes.
Para encontrar frações equivalentes devemos multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo número natural, diferente de zero.
Exemplo: Obter frações equivalentes à fração .
Portanto estas frações são algumas das frações equivalentes a .
1.3 SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES
Uma fração equivalente a
, com termos menores, é . A fração foi obtida dividindo-se ambos os termos da fração
pelo fator comum 3. Dizemos que a fração é uma fração simplificada de .
A fração não pode ser simplificada, por isso é chamada de fração irredutível. A fração não pode ser simplificada porque 3 e 4 não possuem nenhum fator comum.
1.4 NÚMEROS FRACIONÁRIOS
Seria possível substituir a letra X por um número natural que torne a sentença abaixo verdadeira?
Substituindo x, temos:
por 0 temos: 5.0 = 0 por 1 temos: 5.1 = 5.
Portanto, substituindo por qualquer número natural jamais encontraremos o produto 1. Para resolver esse problema temos que criar novos números. Assim, surgem os números fracionários.
Toda fração equivalente representa o mesmo número fracionário.
Portanto, uma fração (n diferente de zero) e todas frações equivalentes a ela representam o mesmo número fracionário .
Resolvendo agora o problema inicial, concluímos que
, pois . 1.5 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS
Temos que analisar dois casos:
1º Caso: Denominadores iguais.
Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e conservar o denominador.
Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar o denominador.
Observe os exemplos:
2º) Denominadores diferentes.
Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações equivalentes, de denominadores iguais ao mmc dos denominadores das frações.
Exemplo: somar as frações
e .
Obtendo o mmc dos denominadores temos mmc(5,2) = 10.
(10:5).4 = 8 (10:2).5 = 25
Resumindo: utilizamos o mmc para obter as frações equivalentes e depois somamos normalmente as frações, que já terão o mesmo denominador, ou seja, utilizamos o caso 1.
1.6 MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS
Na multiplicação de números fracionários, devemos multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador, assim como é mostrado nos exemplos abaixo:
Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda, como é mostrado no exemplo abaixo:
1.7 POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS
Na potenciação, quando elevamos um número fracionário a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente, conforme os exemplos abaixo:
Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número fracionário, estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador, conforme o exemplo abaixo:
1.8 FRAÇÕES DECIMAIS
Observe as frações:
Os denominadores são potências de 10.
Denominam-se frações decimais, todas as frações que apresentam potências de 10 no denominador.
1.9 EXERCÍCIOS
1) Determine 4 frações equivalentes a
.
2) Um lojista vende três partes de uma peça de tecido: , e . Quantos metros ele vendeu ao todo?
3) Complete o quadro de modo que a soma dos números de cada linha, de cada coluna e da diagonal seja a mesma:
4) Ao receber seu salário, Pedro gastou com o aluguel e do que sobrou em custos com alimentação. Que fração do salário ainda restou?
5) Resolva:
a)
b) ( ) [ ]
c)
d) +4 e)
6) Escreva na forma de fração os seguintes números decimais:
a) 0,6 b) 0,0003 c) 0,23 d) 12,5 e) 1,9 f) 2,45
7) Calcule o valor da expressão:
8) Qual o valor da diferença entre os e os do preço de um objeto que custa R$60,00?
2. REGRA DE TRÊS SIMPLES
Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.
Passos utilizados numa regra de três simples:
1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.
2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
3º) Montar a proporção e resolver a equação.
Exemplos 1:
Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida?
Solução: Montando a tabela:
Área (m2) Energia (Wh)
1,2 400
1,5 x
Identificação do tipo de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.
Exemplo 2:
Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?
Solução: Montando a tabela:
Velocidade (Km/h) Tempo (h)
400 3
480 x
Identificação do tipo de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui.
Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Inverteu-se os valores de uma das grandezas, pois as grandezas são inversamente proporcionais..
Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.
Exemplo 3:
Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?
Solução: Montando a tabela:
Camisetas Preço (R$)
3 120
5 x
Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.
Exemplo 4:
Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?
Solução: Montando a tabela:
Horas por dia Prazo para termino
8 20
5 x
Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta.
Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, o novo prazo será 5 dias.
2.1 EXERCÍCIOS
1) Se um ônibus percorre uma estrada com velocidade média de 80 km/h, quantos quilômetros percorrerá em 2 horas?
2) Dois pintores gastam 18 horas para pintar uma parede. Quanto tempo levariam 4 pintores para fazer o mesmo serviço?
3) Cinco operários constroem uma casa em 360 dias. Quantos dias serão necessários para que 15 operários construam a mesma casa?
4) Um ônibus, em velocidade média de 80 km/h, leva 5 horas para percorrer uma estrada. Quanto tempo gastará para percorrer a mesma estrada se desenvolver velocidade média de 100 km/h?
5) Depositando-se R$ 600,00 numa caderneta de poupança, ao final do mês obtêm-se R$ 621,00. Calcule a taxa de porcentagem do rendimento.
6) Ao vender um imóvel, um corretor ganhou de comissão 5% do valor da venda, recebendo R$ 2.500,00.
Qual foi o valor da venda?
7) Uma torneira enche um tanque em 2 horas. Em quanto tempo (em minutos) 3 torneiras iguais à primeira encherão o mesmo tanque?
8) Se 16 operários levam 3 dias para completar uma obra, quantos operários seriam necessários para completar essa obra em 2 dias?
9) Qual é a altura de um edifício cuja sombra tem 6 m no mesmo instante em que um poste de 2 m de altura projeta uma sombra de 0,6 m?
10) Trabalhando durante 40 minutos, uma máquina produz 100 peças. Quantas peças essa máquina produzirá em 2 horas?
11) A comida que restou para 3 náufragos seria suficiente para alimentá-los por 12 dias. Um deles resolveu saltar e tentar chegar em terra nadando. Com um náufrago a menos, qual será a duração dos alimentos?
12) Com a velocidade de 75 Km/h, um ônibus faz um trajeto em 40 min. Devido a um congestionamento, esse ônibus fez o percurso de volta em 50 min. Qual a velocidade média desse ônibus?
3. EQUAÇÕES DE 1º GRAU
Definição: Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade.
Exemplo:
Definição: Denomina-se equação do 1º grau na incógnita x, toda equação da forma:
A solução da equação da equação e determinada subtraindo-se nos dois membros da equação e depois dividindo-se ambos os membros por
Exemplo:
3.1 EXERCÍCIOS
1) Resolva as equações a seguir:
a) 18x - 43 = 65 b) 23x - 16 = 14 - 17x
c) 10y - 5 (1 + y) = 3 (2y - 2) – 20
2) Dois pacotes juntos pesam 22 kg. Quanto pesa cada um deles, se o maior tem 6 kg a mais que o menor ? 3) Sabendo que o quádruplo de um número somado com 9 é igual ao número somado com 6, descubra qual é esse número.
4) Uma estante custa três vezes o preço de uma cadeira. Qual o preço da estante, se as duas mercadorias juntas custam R$ 64,00?
5) Resolva as equações:
a) 4x + 8 = 3x - 5 b) 3a - 4 = a + 1 c) 9y - 11 = - 2 d) 5x - 1 = 8x + 5
6) Ana e Maria são irmãs e a soma de suas idades é igual a 35. Qual a idade de Ana, se Maria é 5 anos mais nova?
7) Qual é o número que somado com 5 é igual a 11?
8) Qual é o número que somado com 6 é igual a - 13?
4. EQUAÇÕES DE 2º GRAU
Definição: Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma:
Exemplo:
2 é um equação do 2º grau com a = 1, b = -5 e c = 6.
2 é um equação do 2º grau com a = 6, b = -1 e c = -1.
2 é um equação do 2º grau com a = 7, b = -1 e c = 0.
2 é um equação do 2º grau com a = 1, b = 0 e c = -36.
Nas equações escritas na forma chamamos a, b e c de coeficientes.
a é sempre o coeficiente de ; b é sempre o coeficiente de ;
c é o coeficiente ou termo independente
.
4.1 EQUAÇÃO COMPLETAS E INCOMPLETAS
Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero.
Exemplos:
e são equações completas.
Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda quando ambos são iguais a zero. Exemplos:
4.2 RAÍZES DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU
Resolver uma equação do 2º grau significa determinar suas raízes.
DEFINIÇÃO: Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação, transforma-a numa sentença verdadeira.
O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-se conjunto verdade ou conjunto solução. Exemplos:
Exemplo 1:
Quais os elementos do conjunto A= {-1, 0, 1, 2}, que são raízes de ?
Solução:
Substituímos a incógnita x da equação por cada um dos elementos do conjunto e verificamos quais as sentenças verdadeiras.
Para x = -1
(-1)² - (-1) - 2=0 1 + 1 - 2 = 0 0 = 0
( V) Para x = 0
0² - 0 - 2 = 0 0 - 0 -2 = 0 -2 = 0
( F) Para x = 1
1² - 1 - 2 = 0 1 - 1 - 2 = 0 -2 = 0
( F) Para x = 2
2² - 2 - 2 = 0 4 - 2 - 2 = 0 0 = 0
( V)
Logo, -1 e 2 são raízes da equação.
Exemplo 2:
Determine p sabendo que 2 é raiz da equação . Solução:
Substituindo a incógnita x por 2, determinamos o valor de p.
Logo, o valor de p é
.
.
4.3 RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS
Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade.
Utilizamos na resolução de uma equação incompleta as técnicas da fatoração e duas importantes propriedades dos números reais:
1ª Propriedade:
2ª Propriedade:
1º Caso: Equação do tipo . Exemplo 1:
Determine as raízes da equação , sendo : Solução:
Inicialmente, colocamos x em evidência:
Para o produto ser igual a zero, basta que um dos fatores também o seja. Assim:
Obtemos dessa maneira duas raízes que formam o conjunto verdade:
De modo geral, a equação do tipo , tem para soluções e . 2º Caso: Equação do tipo :
Exemplo 2:
Determine as raízes da equação , sendo : Solução:
De modo geral, a equação do tipo possui duas raízes reais se for um número positivo, não tendo raiz real caso seja um número negativo.
4.4 RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS
Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos a fórmula de Bhaskara.
A partir da equação , em que a, b, c e a≠0, desenvolveremos passo a passo a dedução da fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolutiva).
1º passo: multiplicaremos ambos os membros por 4a:
2º passo: passar 4ac par o 2º membro:
3º passo: adicionar b2 aos dois membros.
4º passo: fatorar o 1º elemento:
5º passo: extrair a raiz quadrada dois membros:
6º passo: passar b para o 2º membro:
7º passo: dividir os dois membros por 2ª (a 0) :
Assim, encontramos a fórmula resolutiva da equação do 2º grau:
√
Muitas vezes escreve-se:
√ √
Exemplos:
Resolução a equação : Temos
4.5 DISCRIMINANTE
Denominamos discriminante o radical b2 - 4ac que é representado pela letra grega Δ(delta).
Pode-se agora escrever deste modo, a fórmula de Bhaskara:
√
De acordo com o discriminante, temos três casos a considerar:
1º Caso: O discriminante é positivo .
O valor de √ é real e a equação tem duas raízes reais diferentes, assim representadas:
√
e √
Exemplo:
Para quais valores de k a equação admite raízes reais e desiguais?
Solução
Para que a equação admita raízes reais e desiguais, devemos ter .
Logo, os valores de k devem ser menores que 3.
2º Caso: O discriminante é nulo .
O valor de √ é nulo e a equação tem duas raízes reais e iguais, assim representadas:
Exemplo:
Determine o valor de p, para que a equação , possua raízes iguais.
Solução:
Para que a equação admita raízes iguais é necessário que .
Logo, o valor de p é 3.
3º Caso: O discriminante é negativo Δ<0.
O valor de √ não existe em , não existindo, portanto, raízes reais. As raízes da equação são
números complexos.
Exemplo:
Para quais valores de m a equação não admite nenhuma raiz real?
Solução:
Para que a equação não tenha raiz real devemos ter Δ<0.
Logo, os valores de m devem ser maiores que 3.
4.6 EXERCÍCIOS
1) Identifique os coeficientes de cada equação e diga se ela é completa ou não:
a) 2 b) 2 c) 2
d) 2
2) Dentre os números -2, 0, 1, 4, quais deles são raízes da equação 2 ? 3) Achar as raízes das equações:
a) 2 b) 2 c) 2
4) O número -3 é a raíz da equação 2 . Nessas condições, determine o valor do coeficiente c.
5) Se você multiplicar um número real x por ele mesmo e do resultado subtrair 14, você vai obter o quíntuplo do número x. Qual é esse número?
6) Resolver a equação . 7) Resolver a equação
8) Na equação , verifique se o número 5 é solução.
9) Qual é o número que elevado ao quadrado é igual ao seu dobro?
10) Quais são os coeficientes da equação ?
11) Resolva as equações incompletas:
a) b) c) d)
12) Dados os números 0, - 1, 1, indique quais são soluções da equação .
