Ray Tracing Modelo de Iluminação Global e Grids

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Processamento, An´alise e S´ıntese de Imagens II PSI-2652

Prof. Marcio Lobo Netto

Ray Tracing

Modelo de Ilumina¸c˜ ao Global e Grids

Silvia Esparrachiari Ghirotti No. USP 3682567 27 de novembro de 2005

Resumo

Many methods were developed to reflect the global illumination effects that several objects in a scene produce against each other. Here, we’ll abord the ray-tracing technique which calculates a few global special effects, like specular reflectance and refrac- tion of light through transparent objects, and consider some recursive method to calculate the dif- fuse ambient light reflection of objects against each other. Depending on the number of objects in the scene, the ray-tracing algorithm might become too slow. At the end of the paper, we shall explain the Grid technique, which helps to improve the rende- rization of a scene by sub-dividing it into cells.

Keywords: Ray tracing, Global Illumination, 3D Scene, Grid

1 Introdu¸ c˜ ao

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Na natureza, os raios de luz viajam a partir de suas fontes de luz até que atinjam, eventualmente, uma superf´ıcie que interrompa seu processo. Este raio de luz pode ser considerado como um feixe de fótons viajando todos na mesma trajetória. Ao alcan¸car um objeto (superf´ıcie) qualquer combina¸cão de três coisas pode ocorrer ao raio de luz: absor¸cão, re- flexão e refra¸cão. A superf´ıcie pode refletir o raio total ou parcialmente, em uma ou mais dire¸cões, com um intensidade menor ou igual.

A técnica do ray tracing permite a renderiza¸cão de imagens realistas a partir de cenas definidas em três dimensões. O algoritmo determina a visibi- lidade das superf´ıcies tra¸cando raios de luz ima- ginários a partir do olho do observador até os objetos na cena. No caminho do raio de luz, pode ser necessário calcular reflexões, refra¸cões e absor¸cões do raio enquanto este intercepta objetos na cena.

Figura 1: O processo de tra¸camento de raios atrav´es do plano de vis˜ao.

Como o ângulo de visão do observador (horizontal e vertical) é limitado, pode-se limitar a área rende- rizada escolhendo-se uma região no plano de visão para servir de “janela” para o algoritmo. Esta janela é então subdividida em regiões de modo a cor- responder a resolu¸cão em pixels da imagem final.

Para cada ponto da malha é disparado um raio a partir do olho do observador até o centro do pixel e, depois, este continua “caminhando” por dentro da cena 3D. A cor do pixel é definida principal- mente pelo objeto mais próximo interceptado pelo raio. O pseudo-código deste algoritmo é descrito na próxima se¸cão.

1.1 Perspectiva Hist´ orica

A técnica do ray tracing foi primeiramente desen- volvida por Appel e por Goldstein e Nagel. Appel utilizou uma malha esparsa de raios para determinar as sombras na cena. Goldstein e Nagel origi- nalmente utilizaram seu algoritmo para simular a trajetória bal´ıstica de projéteis e part´ıculas nuclea- res. Foi só posteriormente que eles aplicaram o algoritmo para gráficos. Appel foi o primeiro a tra¸car

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raios para determina¸cão de sombras, enquanto que Goldstein e Nagel foram pioneiros no uso de ray trace para calcular opera¸cões booleanas. Whitted e Kay estenderam o ray trace para lidar com reflexões especulares e refra¸cões. Posteriormente, serão dis- cutidas sombras, reflexões e refra¸cões – os efeitos pelos quais a técnica do ray trace é mais conhecida.

2 Calculando Intersec¸ c˜ oes

[2]

O pseudo-código para o algoritmo de ray tracing mais simples, também denominado ray casting, é definido da seguinte forma:

selecione o centro de proje¸c~ao e a janela no plano de vis~ao;

for(cada linha da imagem){

for(cada pixel de uma linha){

determine o raio que parte do centro de proje¸c~ao e passa pelo centro do pixel;

for(cada objeto da cena){

if(objeto é interceptado e o ponto é o mais próximo analisado até o momento)

armazene o ponto de intersec¸c~ao e a

identifica¸c~ao do objeto;

}

defina a cor do pixel baseada nas propriedades do material do objeto interceptado mais pr´oximo;

} }

O princ´ıpio básico e delimitante do desempenho de um algoritmo de ray trace é a determina¸cão do ponto de interseçcão de um raio com os objetos na cena. Quanto mais variadas as formas aceitas (triângulos, esferas, cilindros, toros), mais realistas se tornam as cenas, porém, mais complexo o código. O ponto inicial do algoritmo constitui na defini¸cão do raio. A mais usada é a defini¸cão pa- ramétrica. Cada ponto (x, y, z) ao longo do raio de P⁰ = (x⁰, y⁰, z⁰) a P¹ = (x¹, y¹, z¹) é definido por um valorttal que:

P =P0+t(P1−P0) Lembrando que:

Px=P⁰x+t(P¹x−P⁰x) Py=P⁰_y +t(P¹_y−P⁰_y)

Py =P⁰_z+t(P¹_z−P⁰_z)

Agora, para obtermos um ponto de interseçcão com um objeto da cena, só precisamos da equa¸cão que o representa.

2.1 Esferas

[1]

Daremos aqui um exemplo de cálculo de interseçcão utilizando o caso de uma esfera. Uma esfera cen- trada no pontoECe de raioER, tem uma equa¸cão que a descreve no espa¸co igual a:

(x−EC_x)²+ (y−EC_y)²+ (z−EC_z)²=E_R² Para encontrarmos o ponto de interseçcão do raio com a esfera (se ele existir), basta substituirmos o ponto (x, y, z) pela defini¸cão dos pontos pertencen- tes ao raioP =P0+t(P1−P0).

x²+ 2EC_xx+E_C²_x+y²+ 2EC_yy+E_C²_y+ z²+ 2EC_zz+E_C²

z =E_R² Considerando:

Rx=P1_x−P0_x

Ry=P¹y −P⁰y

Rz=P1_z −P0_z

(P⁰x+tRx)²+ 2ECx(P⁰x+tRx) +E_C²_x+ (P0_y +tRy)²+ 2EC_y(P0_y +tRy) +E²_C

y+ (P0_z+tRz)²+ 2ECz(P0_z +tRz) +E_C²

z =E_R²

∴

t²(R²_x+R_y²+R²_z) + 2t(P0_xRx+P0_yRy+P0_zRz+ ECxRx+ECyRy+ECzRz) +E_C²_x+E_C²_y +E_C²_z+ P0²_x+P0²_y+P0²_z+ 2(EC_xP0_x+EC_yP0_y+EC_zP0_z) =

E_R² Reagrupando os termos:

t²(R·R) + 2t(P0·(R+EC)) +EC·EC+P0·P0+ 2EC·P0−E_R² = 0

E considerando:

A=R·R

B= 2(P⁰·(R+EC))

C=EC·EC+P0·P0+ 2EC·P0−E_R²

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Temos:

t=−B±√

B²−4AC

2A (1)

Se ∆ = B² −4AC > 0 dois pontos de inter- seçcão são definidos, então é preciso escolher o mais próximo, ou seja, definido pelo menor t;

Se ∆ =B²−4AC = 0 apenas um ponto ´e definido;

Se ∆ =B²−4AC <0 não há interseçcão com a esfera.

3 Definindo a cor do pixel

[3]

Após encontrarmos o ponto de interseçcão mais próximo do observador, para um dado raio, precisamos calcular a cor do pixel correspondente.

Esta propriedade está diretamente relacionada com as caracter´ısticas do material do objeto e com a posi¸cão das fontes de luz na cena. Podemos basear a modelagem das reflexões numa superf´ıcie nas seguintes componentes:

Reflex˜ao Difusa: Reflex˜ao que ocorre em objetos opacos, ou foscos, tais como borracha ou tecido.

Reflexão Especular: Regiões brilhantes que aparecem em objetos polidos (metais ou superf´ıcies envernizadas). Este modelo de re- flexão não é o mesmo que ocorre em espelhos.

Espelhos e materiais transparentes requerem um tratamento recursivo e ser˜ao vistos posteriormente.

Reflex˜ao espelhada: objetos cromados ou espelhados.

Transmiss˜ao: objetos transparentes tais como garrafas e janelas.

Reflexão ambiente: Reflexão difusa prove- niente de outros objetos na cena. Neste do- cumento, tratamos a ilumina¸cão ambiente de forma simples, dando mais ênfase à intera¸cão entre os objetos da cena por meio da reflexão total e da refra¸cão (transmissão).

Seja L= (LR, LG, LB) uma fonte de luz e C = (CR, CG, CB) a cor de um objeto definidos pelas suas três intensidades na faixa do vermelho, verde e azul, respectivamente. Os objetos da cena possuem um coeficiente para cada tipo de reflexão, trans- missão e espelhamento descritos acima: Cd,Cseα, Cr,CteCa. A fonte de luz, por sua vez, deve con- ter um vetor de componentes para reflexão difusa e outro para a especular: Ld eLs. Cada componente

Figura 2: Vetores utilizados no c´alculo do pixel ob- sercado pelo raio tra¸cado.

de C e L devem estar no intervalo de [0,1] e representa a porcentagem de luz refletida. Por exemplo, seC= (0.5,0.2,0.2) eL= (1.0,0.0,1.0), a cor final do objeto ser´a:

LC = (0.5,0.0,0.2), note que o produto ´e feito componente a componente.

3.1 Analisando as reflex˜ oes

Conforme dito anteriormente, o sombreamento de um ponto numa superf´ıcie é feito em fun¸cão do rela- cionamento entre a posi¸cão do observador, as fontes de luz, a superf´ıcie em questão e os demais objetos da cena. Os seguintes vetores são importantes na defini¸cão do sombreamento:

Vetor Normal: ~n´e perpendicular `a superf´ıcie e direcionado para o lado externo do objeto.

Cada superf´ıcie possui um modo particular de ter sua normal calculada. Por exemplo, para a esfera:

~n=normalize(Pt−EC) (2) Vetor do observador: ~v aponta na dire¸c˜ao do observador~v=P0−Pt.

Vetor de ilumina¸c˜ao: ~laponta na dire¸c˜ao da fonte de luz.

Vetor de reflexão: ~rindica a dire¸cão da re- flexão pura do vetor de ilumina¸cão.

~r= 2(~n·~l)~n−~l (3) Vetor de meio caminho: ~h´e definido como estando exatamente no meio entre~le~v:

~h=normalize(~l+~v) (4) Reflexão Difusa A reflexão difusa se baseia no fato de que a luz vinda de qualquer dire¸cão é refletida uniformemente em todas as dire¸cões. Tal tipo de reflexão também é conhecido comoRefletor Lambertiano. A explica¸cão f´ısica para tal processo

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é que os objetos, num n´ıvel microscópico apresen- tam sua superf´ıcie micro-facetada e altamente irre- gular. Estas irregularidades espalham a luz uniformemente em todas as dire¸cões.

A razão pela qual um refletor Lambertiano pa- rece ser mais brilhante em algumas regiões que em outras é devida ao fato daquela região estar vol- tada diretamente para luz, então, a energia é espalhada por uma área menor, aumentando o brilho.

Conforme o ˆangulo de inclina¸c˜ao aumenta, menor a intensidade da luz refletida.

Seja Id a componente difusa da fonte de luz e Cd o coeficiente de reflexão difusa do objeto. Se assumirmos que ~n e~l estão ambos normalizados, temos cosθ =~n·~l. Se~n·~l < 0 o ponto está voltado para o lado oposto à fonte de luz. Se não for o caso, Precisamos verificar se não há nenhum objeto entre o ponto e a fonte de luz. Utilizamos nova- mente o algoritmo do ray trace para percorrermos o raio: R=Pt+t(L0−Pt), ondePté o ponto em questão eL0 é a posi¸cão da fonte de luz. Se não houver nenhum objeto no caminho, armazenamos esta informa¸cão (para ser usada nos demais passos) e calculamos a componente difusa da cor como se segue:

Id=Cdmax{0, ~n·~l}LdC (5) OndeCdé o coeficiente de reflexão da luz difusa, Ldé a componente difusa da luz e C é a cor do objeto. Caso haja um objeto bloqueando a fonte de luz, armazenamos qual o objeto mais próximo interceptado e o ponto de interseçcão (esta informa¸cão será usada na composi¸cão da luz ambiente) e defi- nimosId= 0. Caso o ponto não esteja voltado para a luz também definimosId= 0.

Reflexão especular Muitos objetos não são re- fletores Lambertianos perfeitos. Um bom exemplo

é o caso das superf´ıcies polidas ou metálicas. Estas costumam ter pontos ou áreas mais brilhantes e de destaque. Teoricamente, estes realces são gerados num n´ıvel microscópico, onde a luz não está sendo espalhada uniformemente em todas as dire¸cões, e sim numa dire¸cão preferencial, que condiz com a regra “ângulo de incidência igual ao ângulo de re- flexão”. Por outro lado, as micro-facetas não são tão suaves ao ponto de se assemelharem a um es- pelho.

Quanto mais próximo da dire¸cão de reflexão ab- soluta está o observador, mais brilhante será o ponto observado. Os parâmetros da superf´ıcie que controlam a reflexão especular sãoCs, o coeficiente de reflexão especular e α, o coeficiente de brilho.

Quanto maior o α, menor os focos brilhantes na superf´ıcie. Os valores de brilho costuma variar en-

tre [1,1000]. A componente especular só deve ser computada se o ponto é iluminado diretamente pela fonte de luz. A componente de reflexão especular final é:

Is=Csmax{0, ~r·~v}^αLs (6) Decaimento da intensidade da luz Para acen- tuarmos a sensa¸cão de profundidade, podemos adi- cionar um efeito de atenua¸cão da intensidade da fonte de luz de acordo com a distância do ponto

à fonte. Dessa forma, duas superf´ıcies idênticas (mesmo material, inclina¸cão, tamanho), mas a distâncias diferentes do observador, poderão con- tar, além do efeito de perspectiva, com uma atenua¸cão na ilumina¸cão: se a fonte está mais próxima do observador, a superf´ıcie mais distante será ligei- ramente sombreada.

Uma equa¸cão que permite uma série de efeitos de ilumina¸cão é:

f =min

µ 1

ad²+bd+c,1

¶

(7) Quando a = 1, b = c = 0, temos o decaimento tradicional referente ao inverso do quadrado da distância. Os parâmetros a, b e c podem ser com- binados de diversas maneiras até se obter o efeito desejado.

Reflexão espelhada Este tipo de reflexão é aquela observada em espelhos, superf´ıcies cromadas ou espelhos d’água. Objetos espelhados possuem seu coeficiente de reflexão no intervalo ]0,1]. Seja

~v = normalize(Pt−P0), o que vemos ´e o objeto atingido pelo vetor de vis˜ao refletido:

~rv= 2(~v·~v)~n−~v (8) Utilizando o vetor ~rv, tra¸camos um novo raio e verificamos qual o primeiro objeto interceptado.

Calculamos a cor naquele ponto e atribu´ımos esta cor à componente Ir. Caso nenhuma objeto seja interceptado, atribu´ımos a cor de fundo a Ir. Pre- cisamos tomar um cuidado especial quando tenho muitos objetos espelhados numa cena, senão, podemos gerar uma situa¸cão de um la¸co infinito. Para tal, precisamos definir o grau máximo de recursão de uma determinada cena. Além do mais, como os coeficientes de reflexão estão sempre num intervalo ]0,1], para objetos espelhados, a partir de um certo grau de recursão, a contribui¸cão do objeto passa a ser desprez´ıvel.

Transmissão O modelo de transmissão, também conhecido comorefra¸cão, é determinado pelo coeficiente de transmissãoCtdiferente de zero. Também

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Figura 3: Efeitos de refra¸c˜ao gerados pelo ray- tracing.

Figura 4: A lei de Snell, o raio incide de um meio com um ´ındice de refra¸c˜ao menor para um com o

´ındice de refra¸c˜ao maior.

é necessário determinar outros dois parâmetros, os

´ındices de refra¸cão para o meio interno ηi e para o meio externo ηi. Relembrando o modelo f´ısico, o ´ındice de refra¸cão representa a razão entre a velocidade da luz no vácuo e a velocidade da luz no meio.

A lei deSnelldiz que um raio incidente com um ângulo θi ( relativo à normal da superf´ıcie) será transmitido com um ângulo θt (relativo à normal oposta) tal que:

sinθi

sinθt

=ηt

ηi (9)

Com um pouco de geometria e com a equa¸c˜ao 9, podemos concluir que o raio refratado ´e:

~t= µηi

ηt

cosθi−cosθt

¶

~n−ηi

ηt

~v (10) Sendo cosθi = (~v·~n) e

cosθt= s

1− µηi

ηt

¶²³

1−(~n·~n)²´

(11) Note que o termo dentro da ra´ız quadrada pode ser negativo seηi/ηt>1, ou seja, se já nos encon- tramos no meio de maior refra¸cão. Neste caso, não ocorrerá refra¸cão, e sim reflexão.

Um raio pode, portanto, percorrer um vasto caminho até que tenha sua cor definida. Enquanto percorre a cena e interage com objetos espelhados ou com transparência, sua dire¸cão muda, e ele de- fine uma árvore hierárquica de objetos pelos quais passou. A profundidade máxima desta árvore deve ser definida a fim de evitar-se loops infinitos. Um raio determinará uma componente de cor ao atingir um objeto opaco, o limite máximo da árvore ou ad- mitirá a cor de fundo quando não interceptar mais nenhum objeto da cena.

Figura 5: O caminho percorrido por um raio conforme vai sendo refratado e refletido pelos objetos em meio a uma cena.

Reflexão ambiente Num modelo simples de re- flexão, é definido um coeficiente de reflexão da luz ambiente e todos os objetos, mesmo aqueles não iluminados, ou as faces não iluminadas diretamente pela fonte de luz, possuem sua cor influenciada por esta componente da luz. Como esta componente não interage nem depende dos demais objetos na cena, ela é definida simplesmente como:

Ia=CaLaC (12) Juntando tudo Depois que calculamos as componentes diretas no ponto difusa, ambiente e especulares de cor, e as componentes recursivas de re- flexão e refra¸cão, calculamos a distância do ponto até a fonte de luz para obtermos o decaimento da intensidade nas componentes locais (difusa, especular e ambiente). A cor final no pontoPté dada por:

I=CaLaC+

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X

i

V is(P, i) Li

ad²_i +bd+c[CdCmax(0,(~n·~l))+

Csmax(0,(~r·~v)^α] +Crtrace(P, ~rv) +Cttrace(P, ~t) (13) Onde: V is(P, i) indica se a i-ésima fonte de luz é vis´ıvel pelo ponto. CasoCreCtsejam zero, a chamada para o ray trace (trace(P, ~rv)) não precisa ser feita. Perceba que a atenua¸cão do raio de luz não

´e aplicado as componentes refletida ou atenuadas.

Isto tem se mostrado uma boa aproxima¸cão para um modelo de ilumina¸cão, mesmo para os objetos próximos o observador.

4 Grids

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Nos métodos que utilizam recursão, tais como cálculo de reflexão e refra¸cão, a verifica¸cão da in- terseçcão do raio com cada objeto da cena pode consumir um tempo considerável. Mesmo em cenas com poucos objetos reflexivos ou transparentes, mas com uma grande quantidade de objetos opacos,

é necessário verificar cada um deles na busca pela interseçcão mais próxima do observador.

Um método simples para reduzir o número de objetos consultados é denominado grid (grade), e consiste na subdivisão do espa¸co em células, e na associa¸cão dos objetos da cena a elas.

As células costumam ser geradas a partir da di- visão da cena nos planos paralelos a um ou mais eixos. A cada célula é associada uma lista de objetos que ela contém total ou parcialmente.

Ao disparar um raio de luz do olho do observador em dire¸cão à cena, o raio come¸ca a percorrer algumas células do grid. A cada célula, só é necessário testar a interseçcão do raio com os objetos associ- ados a ela, reduzindo consideravelmente o número de testes.

E necessário escolher um algoritmo que defina´ como as células serão percorridas. O algoritmo descrito aqui é o de Amanatides, Woo (1987). Os testes de interseçcão do raio com a lista de objetos de cada célula ou com os limites da grade são os responsáveis pela interrup¸cão do algoritmo de varredura.

Mesmo que o raio intercepte um objeto, deve-se continuar com os testes de interseçcão para todos objetos da lista, a fim de se obter um ponto de interseçcão mais próximo à origem do raio.

Uma vez que as células contém uma lista de objetos, inclusive os parcialmente contidos, nota-se que um objeto pode ter seu volume ocupando em mais de uma célula. Isto pode ocasionar repetidos testes de interseçcão entre um raio e um objeto e, ainda assim, não ocorrer interseçcão alguma entre eles.

Para evitar um recálculo do teste de interseçcão do raio com um mesmo objeto, adota-se o que é conhecido como mail boxing. Quando um raio é testado contra um objeto qualquer, pode-se arma- zenar temporariamente o resultado da interseçcão do raio com o objeto, e reaproveitá-lo posteriormente. Quando uma rotina de teste de interseçcão

é chamada, ela verifica primeiramente se o objeto já não foi testado para aquele raio. Se o foi, ela retorna os dados armazenados previamente.

Uma vez que objetos grandes podem ocupar mais de uma célula, pode acontecer de uma interseçcão ocorrer fora da célula em questão. A conseqüência disto pode ser desastrosa: ao retornar desta inter- seçcão, os testes das próximas células serão supri- midos, o que pode omitir pontos de interseçcão com outros objetos mais próximos.

Para ilustrar a situa¸cão, imagine uma cena com- posta por algumas esferas de tamanho variado, ma- peadas em uma grade. Um raio atravessa a cena, chegando a uma célula que contém parte de uma esfera grande. Um teste de interseçcão entre o raio e a esfera grande é realizado, e descobre-se que o raio intercepta a esfera. O algoritmo de varredura de grade retorna o ponto interceptado com a esfera grande, parando de varrer as células da grade.

Porém, nota-se que na próxima célula a ser varrida, o raio intercepta a esfera pequena em um ponto mais próximo em rela¸cão ao ponto interceptado na esfera grande. Como o mesmo ocorre para outros raios semelhantes, o efeito resultante é o “desapa- recimento” da esfera pequena.

Da mesma forma, esse problema n˜ao se limita a

“apagar” objetos pequenos da cena, como também pode levar a erros no cálculo de sombras ao disparar raios secundários de objetos a fontes de luz e acumular erros grosseiros em cenas com muitos objetos espelhados.

A corre¸cão deste problema consiste em verificar se o ponto de interseçcão obtido encontra-se dentro da célula atual, o que aumenta o custo computacional, dado que a verifica¸cão é feita toda vez que um teste de interseçcão entre raio e objeto retorna um resultado positivo.

A fim de reduzir o número de interseçcões entre os raios e sua caixa envoltória, uma boa prática ao criar uma grade é minimizar o seu volume. De- pois de definido o volume, é necessário divid´ı-la em células num tamanho adequado.

Células com tamanho reduzido podem aumentar o custo computacional do algoritmo de varredura, mas também diminuem o número de objetos contidos, o que é vantajoso em cenas com alta densidade de primitivas cujo custo do teste de interseçcão seja muito alto. Células de tamanho maior são mais adequadas a cenas com baixa densidade de objetos

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(cujos testes de interseçcão não sejam muito custo- sos).

Outro fator importante é não inserir objetos mal distribu´ıdos em uma mesma grade. Por um lado, a concentra¸cão de objetos beneficia raios que atra- vessam a cena cruzando as grades vazias, por outro, os raios acabam caindo em células com uma longa lista de objetos, praticamente inutilizando o uso da grade em determinadas situa¸cões. Esse ponto fraco encontrado ao se utilizar grades foi uma das mo- tiva¸cões para o desenvolvimento de outras subdi- visões espaciais com vários n´ıveis de profundidade, não abordados neste artigo.

5 Bibliografia Referˆ encias

[1] Foley, J.D., van Dam, A., Feiner, S.K., Hughes, J.F., Computer Graphics, principles and pra- tice, Addison-Wesley, 2^a edi¸c˜ao, USA, 09/2004, pp 701-711.

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[3] Mount, D.M., Computer Graphics, CMSC 427, notas de aula, primavera/2004, Maryland, USA, pp 58-66.

[4] Balciunas, D.A., Uso de Subdivis˜oes Espaciais em Objetos Complexos em Tra¸cado de Raios - Tese de Mestrado a ser publicada, 1^o semestre de 2006.