Eletromagnetismo II. Cap. 7: Eletrodinâmica 7.3 As equações de Maxwell. Prof. Marcos Menezes Instituto de Física - UFRJ

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Eletromagnetismo II

Cap. 7: Eletrodinâmica 7.3 – As equações de Maxwell

Prof. Marcos Menezes

Instituto de Física - UFRJ

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7.3.1 – O que temos até aqui e o que há de problemático

Reunindo as equações que discutimos até aqui temos, em forma diferencial:

Lei de Gauss

𝛁 ⋅ 𝐄 = 𝜌 𝜀

₀

𝛁 ⋅ 𝐁 = 0

𝛁 × 𝐄 = − 𝜕𝐁

𝜕𝑡

𝛁 × 𝐁 = 𝜇

₀

𝐉

Lei de Gauss para o magnetismo

Lei de Faraday (campo elétrico induzido)

Lei de Ampère

Este era o panorama do Eletromagnetismo clássico na 2ª metade do século XIX (com as equações não exatamente nessa forma), quando Maxwell iniciou seus trabalhos.

No entanto, há uma inconsistência em uma dessas equações quando levamos em conta correntes não-estacionárias.

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𝛁 ⋅ 𝛁 × 𝐁 = 𝜇

₀

𝛁 ⋅ 𝐉

• O lado esquerdo deve ser sempre igual a zero, já que o divergente do rotacional de qualquer função vetorial é sempre zero.

• Já o lado direito deve ser consistente com a equação da continuidade:

De fato, tomando a divergência nos dois lados da lei Ampère:

𝛁 ⋅ 𝐉 = − 𝜕𝜌

𝜕𝑡

Note, no entanto, que 𝛁 ⋅ 𝐉 = 0 apenas para correntes estacionárias (𝐉 e 𝜌 independentes do tempo).

Portanto, a lei de Ampère é válida apenas para correntes estacionárias! Já havíamos discutido essa limitação no cap. 5.

Exercício: verifique que a mesma inconsistência não está presente na lei de Faraday. Por que?

(4)

7.3.2 – A corrente de deslocamento de Maxwell

Precisamos corrigir a lei de Ampère para dar conta de correntes não-estacionárias. Para isso, substituindo a lei de Gauss na equação da continuidade, obtemos:

onde trocamos a ordem da divergência e da derivada temporal na última igualdade. Juntando as divergências, podemos escrever:

𝛁 ⋅ 𝐉 = − 𝜕

𝜕𝑡 𝜀

₀

𝛁 ⋅ 𝐄 = −𝛁 ⋅ 𝜀

₀

𝜕𝐄 𝜌 = 𝜀

₀

𝛁 ⋅ 𝐄 ⇒ 𝜕𝑡

𝛁 ⋅ 𝐉 + 𝜀

₀

𝜕𝐄

𝜕𝑡 = 0

Isto sugere que podemos corrigir a inconsistência na lei de Ampère fazendo a substituição 𝐉 → 𝐉 + 𝜀₀ ^𝜕𝐄

𝜕𝑡 , ou seja:

𝛁 × 𝐁 = 𝜇

₀

𝐉 + 𝜀

₀

𝜕𝐄

𝜕𝑡

Note que agora os dois lados da equação possuem sempre divergência nula, como esperado!

(5)

De fato, a validade desta correção é confirmada experimentalmente. Chamamos essa nova equação de lei de Ampère- Maxwell:

onde:

Podemos reescrevê-la ainda como:

𝛁 × 𝐁 = 𝜇

₀

𝐉 + 𝐉

_𝑑

𝐉

_𝑑

= 𝜀

₀

𝜕𝐄

𝜕𝑡

é a densidade volumétrica de corrente de deslocamento de Maxwell.

Note que 𝐉_𝑑 tem a mesma unidade de 𝐉, mas não representa um movimento real de cargas, como discutiremos a seguir.

Entenderemos a razão deste nome mais adiante.

𝛁 × 𝐁 = 𝜇

₀

𝐉 + 𝜇

₀

𝜀

₀

𝜕𝐄

𝜕𝑡

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Campo magnético induzido:

Além da consistência com a equação da continuidade, a lei de Ampère-Maxwell traz uma consequência física fundamental.

Compare esta lei com a lei de Faraday:

𝛁 × 𝐄 = − 𝜕𝐁

𝜕𝑡 𝛁 × 𝐁 = 𝜇

₀

𝐉 + 𝜇

₀

𝜀

₀

𝜕𝐄

𝜕𝑡

Note que o termo de deslocamento possui uma forma muito similar ao termo no lado direito da lei de Faraday!

Com isso, podemos concluir que:

Campos elétricos não-estacionários induzem campos magnéticos (lei de Ampère-Maxwell)

da mesma forma que campos magnéticos não-estacionários induzem campos elétricos (lei de Faraday)

• Como veremos no cap. 9, a existência desses dois termos é fundamental para a propagação de ondas eletromagnéticas.

• A propagação dessas ondas constituiu a primeira verificação experimental da teoria de Maxwell (experiência de Hertz)!

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Forma integral da lei de Ampère-Maxwell:

Integrando a forma diferencial da lei sobre uma superfície aberta 𝑆, obtemos:

න

𝑆

𝛁 × 𝐁 ⋅ 𝐝𝐚 = 𝜇

₀

න

𝑆

𝐉 ⋅ 𝐝𝐚 + 𝜇

₀

𝜀

₀

𝑑 𝑑𝑡 න

𝑆

𝐄 ⋅ 𝑑𝐚

Utilizando o teorema de Stokes para reescrever a integral no lado esquerdo, obtemos:

ර

𝐶

𝐁 ⋅ 𝑑𝐥 = 𝜇

₀

𝐼

_𝑖𝑛𝑡^𝑆

+ 𝜇

₀

𝜀

₀

𝑑Φ

_𝐸^𝑆

𝑑𝑡

onde:

• 𝐶 é a curva que delimita 𝑆, orientada de acordo com a regra da mão-direita.

• 𝐼_𝑖𝑛𝑡^𝑆 = ׬_𝑆𝐉 ⋅ 𝐝𝐚 é a corrente de carga que flui através de 𝑆.

• Φ_𝐸^𝑆 = ׬_𝑆𝐄 ⋅ 𝐝𝐚 é o fluxo de campo elétrico através de 𝑆.

• 𝐼_𝑑^𝑆 = 𝜀₀ ^𝑑Φ^𝐸^𝑆

𝑑𝑡 é a corrente de deslocamento que flui através de 𝑆. Compare com a lei de Faraday em forma integral!

(8)

Exemplo: Carregamento de um capacitor

Problema 7.32 (adaptado): Considere um capacitor de placas condutoras circulares e paralelas de raio 𝑎 separadas por uma distância 𝑤 ≪ 𝑎. O capacitor é alimentado por fios longos e retilíneos que transportam uma corrente de

intensidade 𝐼(𝑡), como mostra a figura. Suponha que a corrente flui sobre as placas de forma que a carga é uniformemente distribuída sobre elas em cada instante e que o capacitor está descarregado em 𝑡 = 0.

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(a) Com as hipóteses do problema, podemos tratar as placas como infinitas e utilizar a lei de Gauss para obter o campo elétrico entre as placas. O resultado é (ver cap. 2):

onde 𝑄 𝑡 = ׬₀^𝑡𝐼 𝑡′ 𝑑𝑡′ é a carga acumulada nesta placa no instante 𝑡 e 𝑄 0 = 0.

Portanto:

𝐄 𝑡 = 𝑄 𝑡 𝜋𝜀

₀

𝑎

² ^Ƹ𝐳

𝐄 = 𝜎 𝑡 𝜀

₀ ^Ƹ𝐳

onde 𝜎(𝑡) é a densidade superficial de cargas na placa positiva no instante 𝑡. Como a carga é uniformemente distribuída sobre cada placa, temos:

𝜎 𝑡 = 𝑄 𝑡

𝜋𝑎

²

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(b) A densidade volumétrica de corrente de deslocamento é dada por:

Portanto, 𝐉_𝑑 é uniforme na região entre as placas (mas possivelmente não-estacionário)!

𝐉

_𝑑

(𝑡) = 𝜀

₀

𝜕𝐄

𝜕𝑡 = 𝜀

₀

𝜕

𝜕𝑡

𝑄 𝑡 𝜋𝜀₀𝑎² Ƹ𝐳

= 1 𝜋𝑎

²

𝑑𝑄 𝑑𝑡

^{Ƹ𝐳 =}

𝐼 𝑡 𝜋𝑎² Ƹ𝐳

A corrente de deslocamento que atravessa a superfície plana delimitada por um círculo de raio 𝑠 < 𝑎 coaxial ao sistema é:

𝐼

_𝑑^𝑆

𝑡 = න

𝑆

𝐉

_𝑑

𝑡 ⋅ 𝑑𝒂 = න

𝑆

𝐼 𝑡

𝜋𝑎

²

ො𝐳 ⋅ 𝑑𝑎 ො𝐳 =

^{𝐼 𝑡}

𝜋𝑎² 𝜋𝑠² = 𝐼 𝑡 𝑠² 𝑎²

Note que 𝐼_𝑑^𝑆 𝑡 = 𝐼(𝑡) para 𝑠 = 𝑎. É como se a corrente de cargas se “transformasse” em corrente de deslocamento na região entre as placas, onde há apenas vácuo!

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Como a distribuição de correntes de carga e de deslocamento tem simetria cilíndrica, esperamos que o campo magnético tenha a forma usual 𝐁 = 𝐵 𝑠, 𝑡 ෡𝝓.

Com a orientação que escolhemos para 𝑆 (𝐧 = ො𝐳), a amperianaෝ 𝐶 deve ter o sentido de 𝝓. Assim, a circulação do campo ෡ magnético ao longo de 𝐶 é dada por:

Γ

_𝐵^𝐶

= ර

𝐶

𝐁 ⋅ 𝑑𝐥 = 𝐵 𝑠, 𝑡 2𝜋𝑠

E a lei de Ampère-Maxwell em forma integral dá:

Γ

_𝐵^𝐶

= 𝜇

₀

(𝐼

_𝑖𝑛𝑡^𝑆

+ 𝐼

_𝑑^𝑆

)

𝐵 𝑠, 𝑡 2𝜋𝑠 = 𝜇

₀

𝐼 𝑡 𝑠

²

𝑎

²

𝐵 𝑠, 𝑡 = 𝜇

₀

𝐼 𝑡 𝑠

2𝜋𝑎

²

(𝑠 < 𝑎)

⇒

Já vimos um campo magnético com esta forma antes! Qual era a distribuição de correntes?

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(c) Como a corrente de deslocamento apenas tangencia a porção da superfície lateral de 𝑆 no interior do capacitor, ela não contribui para 𝐼_𝑑^𝑆, de forma que 𝐼_𝑑^𝑆 = 0.

Para a corrente de cargas, temos duas contribuições:

• Corrente fluindo através da base de 𝑆: 𝐼_𝑖𝑛𝑡^{𝑏𝑎𝑠𝑒} = 𝐼(𝑡)

• Corrente fluindo ao longo das placas e através da superfície lateral: 𝐼_𝑖𝑛𝑡^{𝑠𝑢𝑝.𝑙𝑎𝑡.} = −𝐼(𝑠, 𝑡) (contrária a ෝ𝐧)

Para calcular 𝐼(𝑠, 𝑡), note que a carga total contida na porção da placa envolvida por 𝑆 é:

𝑄

_𝑖𝑛𝑡^𝑆

𝑠, 𝑡 = න

0 𝑡

𝐼 𝑡′ − 𝐼 𝑠, 𝑡′ 𝑑𝑡′

Com isso, podemos escrever 𝜎(𝑡) como:

𝜎 𝑡 = 𝑄

_𝑖𝑛𝑡^𝑆

𝑠, 𝑡

𝜋𝑠

²

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Por outro lado, como 𝜎(𝑡) é uniforme, a expressão anterior deve ser independente de 𝑠. Para isso, devemos ter:

Portanto, a corrente total de carga que flui através de 𝑆 é:

𝐼 𝑡 − 𝐼 𝑠, 𝑡 = 𝑘(𝑡)𝑠

²

Com a condição de contorno 𝐼 𝑎, 𝑡 = 0 (não há correntes fluindo para fora da placa), obtemos:

𝑘 𝑡 = 𝐼 𝑡

𝑎

²

𝐼(𝑠, 𝑡) = 𝐼 𝑡 1 − 𝑠

²

𝑎

²

⇒

𝐼

_𝑖𝑛𝑡^𝑆

= 𝐼

_𝑖𝑛𝑡^{𝑏𝑎𝑠𝑒}

+ 𝐼

_𝑖𝑛𝑡^{𝑠𝑢𝑝.𝑙𝑎𝑡.}

= 𝐼 𝑡 − 𝐼 𝑡 1 − 𝑠

²

𝑎

²

= 𝐼 𝑡 𝑠

²

𝑎

²

Este resultado concorda com a análise que fizemos na superfície do item anterior, onde apenas a corrente de deslocamento contribuía. Portanto, obtemos a mesma expressão para o campo magnético, como esperado.

OBS: Note que a formulação original da lei de Ampère resultaria em uma inconsistência na análise dessas duas superfícies. Qual?

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7.3.3 – Forma final das equações de Maxwell no vácuo

Reunindo novamente as equações com a correção de Maxwell, obtemos:

Lei de Gauss

𝛁 ⋅ 𝐄 = 𝜌 𝜀

₀

𝛁 ⋅ 𝐁 = 0

𝛁 × 𝐄 = − 𝜕𝐁

𝜕𝑡

Lei de Gauss para o magnetismo

Lei de Faraday (campo elétrico induzido)

Lei de Ampère- Maxwell

• Juntamente com a lei de força para uma partícula, 𝐅 = 𝑞(𝐄 + 𝐯 × 𝐁), essas equações contém toda a Eletrodinâmica clássica!

• A solução delas com as condições de contorno apropriadas determinam os campos produzidos por diferentes distribuições de cargas e correntes, estacionárias ou não.

𝛁 × 𝐁 = 𝜇

₀

𝐉 + 𝜇

₀

𝜀

₀

𝜕𝐄

𝜕𝑡

(15)

7.3.4 – Monopolos magnéticos

No vácuo, onde não há cargas ou correntes, as equações de Maxwell assumem uma simetria completa:

𝛁 ⋅ 𝐄 = 0

𝛁 ⋅ 𝐁 = 0

𝛁 × 𝐄 = − 𝜕𝐁

𝜕𝑡

• Isto sugere que de alguma forma os termos de fonte (cargas e corrente) “estragam” essa simetria.

• Essa assimetria se dá pela ausência de termos de fonte vindos de monopolos magnéticos: cargas e correntes de monopolos!

• Como ficariam as equações se essas contribuições fossem observadas?

𝛁 × 𝐁 = 𝜇

₀

𝜀

₀

𝜕𝐄

𝜕𝑡

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Por analogia com os termos de fonte já presentes, devemos incluir os termos de monopolo magnético na lei de Gauss para o magnetismo e na lei de Faraday. Com isso, podemos escrever:

𝛁 ⋅ 𝐄 = 𝜌 𝜀

₀

𝛁 ⋅ 𝐁 = 𝜇

₀

𝜌

_𝑚

𝛁 × 𝐄 = −𝜇

₀

𝐉

_𝑚

− 𝜕𝐁

𝜕𝑡

onde 𝜌_𝑚 e 𝐉_𝑚 são, por definição, a densidade volumétrica de carga magnética e de corrente de carga magnética.

𝛁 × 𝐁 = 𝜇

₀

𝐉 + 𝜇

₀

𝜀

₀

𝜕𝐄

𝜕𝑡

Da mesma forma, a lei de força para uma partícula com carga elétrica 𝑞 e carga magnética 𝑞_𝑚 deve ser generalizada para:

𝐅 = 𝑞 𝐄 + 𝐯 × 𝐁 + 𝑞

_𝑚

𝐁 − 𝐯

𝑐

²

× 𝐄

onde 𝑐 = ¹

𝜀₀𝜇₀ é a velocidade da luz no vácuo, como veremos no cap. 9!

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Perguntas e comentários:

• Por que o sinal negativo para 𝐉_𝑚 na lei de Faraday? Dica: note que 𝜌_𝑚 e 𝐉_𝑚 devem satisfazer sua própria equação da continuidade.

• Por que a constante 𝑐² na lei de força para o monopolo magnético? Dica: analise as unidades de cada termo.

• Por que o sinal negativo para o termo com a velocidade nessa mesma lei de força? Dica: pense, por exemplo, na força elétrica entre dois fios paralelos transportando “correntes magnéticas” no mesmo sentido (mais difícil).

• As equações de Maxwell com os termos de monopolo são invariantes sob uma transformação de dualidade, que

“mistura” cargas elétricas e magnéticas. Veja como isto funciona no problema 7.60.

• Para mais detalhes sobre as consequências dessa dualidade, veja a seção 2.2.7 do Zangwill ou 6.11 do Jackson.

(18)

7.3.5 – Equações de Maxwell em meios materiais

Em meios dielétricos, vimos no cap. 4 que é conveniente separarmos as cargas em duas contribuições:

• Cargas ligadas: produzidas por uma polarização 𝐏, com densidade volumétrica 𝜌_𝑏 = −𝛁 ⋅ 𝐏

• Cargas livres: não oriundas de uma polarização, com densidade volumétrica 𝜌_𝑓

Já em meios magnéticos, vimos no cap. 6 que é conveniente fazermos uma separação similar para as correntes:

• Correntes ligadas: produzidas por uma magnetização 𝐌, com densidade volumétrica 𝐉_𝑏 = 𝛁 × 𝐌

• Correntes livres: não oriundas de uma magnetização, com densidade volumétrica 𝐉_𝑓

Com essas separações, reescrevemos as equações de Maxwell de uma maneira mais conveniente para esses meios, envolvendo explicitamente apenas as cargas e correntes livres.

Como isso fica na eletrodinâmica, se 𝐏 e 𝐌 forem funções do tempo?

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Lembre que a polarização 𝐏 está associada a uma separação de cargas (ligadas) no interior do meio. O que acontece se ela variar com o tempo?

Corrente de polarização:

Exemplo: Barra uniformemente polarizada

As cargas ligadas são:

• 𝜌_𝑏 = −𝛁. 𝐏 = 0

• 𝜎_𝑏 = 𝐏 ⋅ ෝ𝐧 = −𝑃 na face esquerda e 𝜎_𝑏 = +𝑃 na face direita

• 𝜎_𝑏 = 0 na superfície lateral.

Se 𝐏 varia com o tempo, as cargas ligadas nas extremidades devem variar, dando origem a uma corrente:

𝐼

_𝑝

= 𝑑𝑄

_𝑏

𝑑𝑡 = 𝑑 𝜎

_𝑏

𝐴

𝑑𝑡 = 𝐴 𝑑𝑃 𝑑𝑡

que flui no interior da barra. Esta corrente é conhecida como corrente de polarização.

(20)

Como a distribuição é uniforme, podemos escrever a densidade volumétrica de corrente nesse caso como:

𝐽

_𝑝

= 𝐼

_𝑝

𝐴 = 𝑑𝑃 𝑑𝑡

com a mesma direção de 𝐏.

Como isto fica num caso geral, onde a polarização pode ser não-uniforme e não-estacionária?

(21)

De forma geral, definimos a densidade volumétrica de corrente de polarizaçãocomo:

𝐉

_𝑝

= 𝜕𝐏

𝜕𝑡

Note que:

• Essa densidade de corrente é diferente de 𝐉_𝒃 = 𝛁 × 𝐌, que é produzida por uma magnetização!

• Essa definição é consistente com a equação da continuidade, uma vez que:

𝛁 ⋅ 𝐉

_𝑝

= 𝜕(𝛁 ⋅ 𝐏)

𝜕𝑡 = − 𝜕𝜌

_𝑏

𝜕𝑡

Isto mostra mais uma vez que a corrente de polarização vem de uma reorganização das cargas ligadas!

E o que acontece se a magnetização variar com o tempo?

• 𝐉_𝑏(𝑡) = 𝛁 × 𝐌(𝑡) também deve variar com o tempo, mas isso não resulta em contribuições novas para a carga ou a corrente!

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Podemos reunir todas as contribuições para a densidade volumétrica de carga:

𝜌 = 𝜌

_𝑓

+ 𝜌

_𝑏

= 𝜌

_𝑓

− 𝛁 ⋅ 𝐏

Reunindo as divergências, reobtemos a lei de Gauss em meios dielétricos:

Substituindo na lei de Gauss, obtemos:

𝛁 ⋅ 𝐄 = 𝜌

𝜀

₀

= 1

𝜀

₀

(𝜌

_𝑓

− 𝛁 ⋅ 𝐏)

𝛁 ⋅ 𝐃 = 𝜌

_𝑓 ^com

𝐃 = 𝜀

₀

𝐄 + 𝐏

(Deslocamento elétrico)

Este procedimento é idêntico ao que fizemos no cap. 4, mas agora todos os campos e cargas podem ser funções do tempo!

Lei de Gauss em meios dielétricos

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Da mesma forma, reunimos todas as contribuições para a densidade volumétrica de corrente:

𝐉 = 𝐉

_𝑓

+ 𝐉

_𝑏

+ 𝐉

_𝒑

= 𝐉

_𝑓

+ 𝛁 × 𝐌 + 𝜕𝐏

𝜕𝑡

Substituindo na lei de Ampère-Maxwell, obtemos:

𝛁 × 𝐁 = 𝜇

₀

𝐉

_𝑓

+ 𝛁 × 𝐌 + 𝜕𝐏

𝜕𝑡 + 𝜇

₀

𝜀

₀

𝜕𝐄

𝜕𝑡

Juntando os rotacionais e as derivadas temporais, obtemos:

𝛁 × 𝐁

𝜇

₀

− 𝐌 = 𝐉

_𝑓

+ 𝜕(𝜀

₀

𝐄 + 𝐏)

𝜕𝑡

Observe os termos nos parênteses. Já vimos os dois antes!

Lei de Ampère-Maxwell em meios materiais

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Com as definições do campo auxiliar 𝐇 e do deslocamento elétrico 𝐃, obtemos a lei de Ampère-Maxwell em meios materiais:

𝛁 × 𝐇 = 𝐉

_𝑓

+ 𝜕𝐃

𝜕𝑡

^com

𝐇 = 𝐁

𝜇

₀

− 𝐌

(Campo auxiliar H)

Note que:

• O 2º termo representa a densidade de corrente de deslocamento em meios materiais:

𝐉

_𝑑

= 𝜕𝐃

𝜕𝑡

E revela também a origem do nome “corrente de deslocamento”!

• 𝐉_𝑑 contém uma contribuição de corrente de deslocamento “pura” 𝜀₀ ^𝜕𝐄

𝜕𝑡, sem conexão com cargas em movimento, e uma contribuição associada à reorganização das cargas ligadas, dada por 𝐉_𝑝 = ^𝜕𝐏

𝜕𝑡.

(25)

Como a lei de Gauss para o magnetismo e a lei de Faraday não contém termos de fontes (cargas ou correntes), elas não são modificadas. Com isso, obtemos finalmente:

𝛁 ⋅ 𝐃 = 𝜌

_𝑓

𝛁 ⋅ 𝐁 = 0

𝛁 × 𝐄 = − 𝜕𝐁

𝜕𝑡

Note que:

• Essas equações são inteiramente equivalentes às equações de Maxwell na forma original! Não há Física nova nelas:

são apenas uma forma conveniente de escrever as equações para esses meios.

• Elas são válidas para quaisquer meios materiais, incluindo meios não-lineares!

• Para meios lineares (simples), temos as relações constitutivas 𝐃 = 𝜀 𝐄 e 𝐁 = 𝜇 𝐇. Compare com as equações originais neste caso. Qual é a diferença?

• Para meios ôhmicos, temos ainda a relação constitutiva 𝐉_𝑓 = 𝜎𝐄.

𝛁 × 𝐇 = 𝐉

_𝑓

+ 𝜕𝐃

𝜕𝑡

Forma final das equações de Maxwell em meios materiais

(26)

7.3.6 – Condições de contorno

Vamos agora generalizar as condições de contorno que vimos nos casos estáticos. O que acontece com os campos quando atravessamos uma superfície que possui uma distribuição superficial de cargas ou correntes?

Vamos partir das equações de Maxwell para meios materiais em forma integral:

ර

𝑆

𝐃 ⋅ 𝑑𝐚 = 𝑄

_{𝑖𝑛𝑡,𝑓}^𝑆

ර

𝑆

𝐁 ⋅ 𝑑𝐚 = 0

ර

𝐶

𝐄 ⋅ 𝑑𝐥 = − 𝑑Φ

_𝐵^𝑆

𝑑𝑡

ර

𝐶

𝐇 ⋅ 𝑑𝐥 = 𝐼

_{𝑖𝑛𝑡,𝑓}^𝑆

+ 𝑑Φ

_𝐷^𝑆

𝑑𝑡

Lembre-se da análise que fizemos no curso anterior para obter as condições de contorno. O que mudaria aqui?

(27)

Como as leis de Gauss para meios dielétricos e para o magnetismo permanecem com a mesma forma de antes, a análise a partir delas deve ser idêntica!

ර

𝑆

𝐃 ⋅ 𝑑𝐚 = 𝐷

_⊥¹

− 𝐷

_⊥²

𝐴

Para a superfície gaussiana 𝑆 em forma de caixa ao lado, se ℎ e 𝐴 forem pequenos, podemos escrever:

Por outro lado, 𝑄_{𝑖𝑛𝑡,𝑓}^𝑆 = 𝜎_𝑓𝐴 no mesmo limite. Assim:

𝐷

_⊥¹

− 𝐷

_⊥²

= 𝜎

_𝑓

Portanto, a componente de 𝐃 normal à superfície apresenta uma descontinuidade apenas se houver uma distribuição superficial de cargas livres na superfície!

Este resultado é idêntico ao da eletrostática, como esperado.

(28)

Da mesma forma, como ׯ_𝑆𝐁 ⋅ 𝑑𝐚 = 0, obtemos:

𝐵

_⊥¹

− 𝐵

_⊥²

= 0

Portanto, a componente de 𝐁 normal à superfície é sempre contínua!

Este resultado é idêntico ao da magnetostática, como esperado.

(29)

Como as leis de Faraday e de Ampère-Maxwell são diferentes das equações dos casos estáticos, devemos olhá-las com um pouco mais de atenção.

ර

𝑆

𝐇 ⋅ 𝑑𝐚 = 𝐻

_∥¹

− 𝐻

_∥²

𝑙

Para a curva amperiana retangular 𝐶 ao lado, se 𝑙 e ℎ forem pequenos, podemos escrever:

Por outro lado, no mesmo limite:

• 𝐼_{𝑖𝑛𝑡,𝑓}^𝑆 = 𝐾_𝑓𝑙

• Φ_𝐷^𝑆 = 0, uma vez que a área definida pelo circuito tende a zero

Portanto:

𝐻

_∥¹

− 𝐻

_∥²

= 𝐾

_𝑓

Mas cuidado: O que acontece se girarmos a curva 𝐶 de 90 graus em torno de 𝐧?ෝ

(30)

Neste caso:

• 𝐼_{𝑖𝑛𝑡,𝑓}^𝑆 = 0, uma vez que 𝐊_𝑓 passa a tangenciar a área definida pelo circuito!

• Φ_𝐷^𝑆 = 0 pelo mesmo argumento de antes Com isso:

Podemos resumir essas duas condições em uma única equação:

𝐻

_∥′¹

− 𝐻

_∥′²

= 0

Ou seja: Apenas a componente de 𝐇 que é tangente à superfície e perpendicular à 𝑲_𝒇 sofre uma descontinuidade!

𝐇

_∥¹

− 𝐇

_∥²

= 𝐊

_𝑓

× ෝ 𝐧

Este resultado é idêntico ao da magnetostática! Isto acontece por que o termo associado ao fluxo de 𝐃 não interfere na análise.

(31)

Da mesma forma, como

ׯ

_𝐶

𝐄 ⋅ 𝑑𝐥 = −

^𝑑Φ^𝐵^𝑆

𝑑𝑡 , obtemos:

Ou seja: As componentes tangenciais de 𝐄 não sofrem descontinuidades!

𝐄

_∥¹

− 𝐄

_∥²

= 𝟎

Este resultado é idêntico ao da eletrostática! Isto acontece por que o termo associado ao fluxo de 𝐁 não interfere na análise.

(32)

Reunindo os resultados, vemos que todas as condições de contorno permanecem inalteradas com relação ao que vimos no curso anterior:

𝐷

_⊥¹

− 𝐷

_⊥²

= 𝜎

_𝑓

𝐵

_⊥¹

− 𝐵

_⊥²

= 0 𝐇

_∥¹

− 𝐇

_∥²

= 𝐊

_𝑓

× ෝ 𝐧 𝐄

_∥¹

− 𝐄

_∥²

= 𝟎

Para meios lineares (simples), podemos utilizar as relações constitutivas 𝐃 = 𝜀 𝐄 e 𝐁 = 𝜇 𝐇 para expressar as condições acima inteiramente em termos de 𝐄 e 𝐁:

𝜀

₁

𝐸

_⊥¹

− 𝜀

₂

𝐸

_⊥²

= 𝜎

_𝑓

𝐵

_⊥¹

− 𝐵

_⊥²

= 0 1

𝜇

₁

𝐁

_∥¹

− 1

𝜇

₂

𝐁

_∥²

= 𝐊

_𝑓

× ෝ 𝐧 𝐄

_∥¹

− 𝐄

_∥²

= 𝟎

Como veremos no cap. 9, essas condições são fundamentais para a descrição dos fenômenos da reflexão e da refração!

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Referências básicas

• Griffiths (3ª edição) – cap. 7

• Purcell – cap. 9

Leitura avançada

• Zangwill – cap. 2