Prof. Sampaio
Página 1 de 8 1. (Unicamp 2019) Sabendo que 𝑐 é um número real, considere a função quadrática 𝑓(𝑥) = 2𝑥2− 3𝑥 + 𝑐, definida para todo número real 𝑥.
a) Determine todos os valores de 𝑐 para os quais 𝑓(−1)𝑓(1) = 𝑓(−1) + 𝑓(1).
b) Sejam 𝑝 e 𝑞 números reais distintos tais que 𝑓(𝑝) = 𝑓(𝑞). Prove que 𝑝 e 𝑞 não podem ser ambos números inteiros.
2. (Uerj 2019) Uma ponte com a forma de um arco de parábola foi construída para servir de travessia sobre um rio. O esquema abaixo representa essa ponte em um sistema de
coordenadas cartesianas 𝑥𝑦. Nele, os pontos 𝐴, 𝐵 e 𝐶 correspondem, respectivamente, à margem esquerda, à margem direita e ao ponto mais alto da ponte.
As distâncias dos pontos 𝐴, 𝐵 e 𝐶 até a superfície do rio são iguais, respectivamente, a 0,5 𝑚, 1,5 𝑚 e 2,3 𝑚.
Sabendo que o ponto 𝐶 tem, nesse sistema, abscissa igual a 6 𝑚, calcule, em metros, a largura do rio.
3. (Fuvest 2018) Considere as funções 𝑓: [−𝜋
2, 𝜋
2] → [−1, 1] e 𝑔: [0, 𝜋] → [−1, 1] definidas por 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 e 𝑔(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥. Sendo 𝑓 e 𝑔 bijetoras, existem funções 𝑓−1 e 𝑔−1 tais que 𝑓−1∘ 𝑓 = 𝑓 ∘ 𝑓−1= 𝑖𝑑 e 𝑔−1∘ 𝑔 = 𝑔 ∘ 𝑔−1= 𝑖𝑑, em que 𝑖𝑑 é a função identidade.
a) Para 0 ≤ 𝛼 ≤ 1, mostre que (𝑔 ∘ 𝑓−1)(𝛼) = √1 − 𝛼2. b) Mostre que 𝑓−1(1
2) + 𝑔−1(√6+√2
4 ) =𝜋
4.
4. (Fuvest 2017) O retângulo 𝐴𝐵𝐶𝐷, representado na figura, tem lados de comprimento 𝐴𝐵 = 3 e 𝐵𝐶 = 4. O ponto 𝑃 pertence ao lado 𝐵𝐶 e 𝐵𝑃 = 1. Os pontos 𝑅, 𝑆 e 𝑇 pertencem aos lados 𝐴𝐵, 𝐶𝐷 e 𝐴𝐷, respectivamente. O segmento 𝑅𝑆 é paralelo a 𝐴𝐷 e intercepta 𝐷𝑃 no ponto 𝑄. O segmento 𝑇𝑄 é paralelo a 𝐴𝐵.
Sendo 𝑥 o comprimento de 𝐴𝑅, o maior valor da soma das áreas do retângulo 𝐴𝑅𝑄𝑇, do triângulo 𝐶𝑄𝑃 e do triângulo 𝐷𝑄𝑆, para 𝑥 variando no intervalo aberto ]0, 3[, é
Página 2 de 8 a) Calcule 𝑓(−1) e 𝑓(3).
Usando os sistemas de eixos abaixo de cada item e esboce
b) o gráfico de 𝑔(𝑥) = |𝑓(𝑥)|, 𝑥 ∈ [−5, 5];
c) o gráfico de ℎ(𝑥) = 𝑓(|𝑥|), 𝑥 ∈ [−5, 5].
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Página 3 de 8 6. (Uerj 2014) O gráfico abaixo mostra o segmento de reta AB, sobre o qual um ponto C (p, q) se desloca de A até B (3, 0).
O produto das distâncias do ponto C aos eixos coordenados é variável e tem valor máximo igual a 4,5.
O comprimento do segmento AB corresponde a:
a) 5 b) 6 c) 3√5 d) 6√2
Página 4 de 8 5𝑐 − 5 + 𝑐 − 𝑐 = 4 + 2𝑐
𝑐2+ 2𝑐 − 9 = 0
𝑐 =−2 ± √(−2)2− 4 ⋅ 1 ⋅ (−9) 2 ⋅ 1
𝑐 =−2 ± √40 2 𝑐 =−2 ± 2√10
2 𝑐 = −1 ± √10
b) De 𝑓(𝑥) = 2𝑥2− 3𝑥 + 𝑐,
𝑓(𝑝) = 2𝑝2− 3𝑝 + 𝑐 𝑓(𝑞) = 2𝑞2− 3𝑞 + 𝑐 Como 𝑓(𝑝) = 𝑓(𝑞),
2𝑝2− 3𝑝 = 2𝑞2− 3𝑞 2𝑞2− 2𝑝2− 3𝑞 + 3𝑝 = 0 2 ⋅ (𝑞2− 𝑝2) − 3 ⋅ (𝑞 − 𝑝) = 0 2 ⋅ (𝑞 + 𝑝) ⋅ (𝑞 − 𝑝) − 3 ⋅ (𝑞 − 𝑝) = 0 (𝑞 − 𝑝) ⋅ (2 ⋅ (𝑞 + 𝑝) − 3) = 0
Como 𝑝 ≠ 𝑞, 𝑞 − 𝑝 ≠ 0, logo,
2 ⋅ (𝑞 + 𝑝) − 3 = 0 2 ⋅ (𝑞 + 𝑝) = 3
Se 𝑝 e 𝑞 forem ambos números inteiros, o número 2 ⋅ (𝑞 + 𝑝) é par.
Como 2 ⋅ (𝑞 + 𝑝) = 3 e 3 é ímpar, p e q não podem ser ambos números inteiros.
Resposta:
a) 𝑐 = −1 + √10 ou 𝑐 = −1 − √10;
b) Demonstração.
Resposta da questão 2:
De acordo com a figura acima temos a seguinte parábola:
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Página 5 de 8 Utilizando a forma canônica da função quadrática podemos determinar a lei de formação da parábola:
𝑦 = 𝑎 ⋅ (𝑥 − 𝑥𝑉)2+ 𝑦𝑉 𝑦 = 𝑎 ⋅ (𝑥 − 6)2+ 1,8
Como o gráfico passa por (0, 0), temos:
0 = 𝑎 ⋅ (0 − 6)2+ 1,8 ⇒ 𝑎 = − 1 20
Logo:
𝑦 = − 1
20⋅ (𝑥 − 6)2+ 1,8
Como o gráfico da função passa por (d, 1), podemos escrever que:
1 = − 1
20⋅ (𝑑 − 6)2+ 1,8 ⇒⋅ (𝑑 − 6)2= 16 ⇒ 𝑑 − 6 = ±4 ⇒ 𝑑 = 10 𝑜𝑢 𝑑 = 4 Como 𝑑 > 6, a largura do rio será 𝑑 = 10 𝑚.
Resposta da questão 3:
a) Tem-se que 𝑓−1(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥, com −1 ≤ 𝑥 ≤ 1. Logo, encontramos 𝑔(𝑓−1(𝛼)) = 𝑐𝑜𝑠𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝛼.
Se 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝛽, então 𝑠𝑒𝑛 𝛽 = 𝛼. Daí, vem 𝑠𝑒𝑛2𝛽 = 𝛼2, com −𝜋
2≤ 𝛽 ≤𝜋
2, −1 ≤ 𝛼 ≤ 1 e 𝑐𝑜𝑠 𝛽 ≥ 0. Portanto, desde que 𝑠𝑒𝑛2𝛽 + 𝑐𝑜𝑠2𝛽 = 1, temos
𝑐𝑜𝑠2𝛽 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝛽 ⇒ 𝑐𝑜𝑠 𝛽 = √1 − 𝛼2.
Em consequência, podemos escrever 𝑔(𝑓−1(𝛼)) = 𝑐𝑜𝑠 √1 − 𝛼2.
b) Sabendo que 𝑓−1(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥, com −1 ≤ 𝑥 ≤ 1, temos 𝑓−1(1
2) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛1 2=𝜋
6. Ademais, como 𝑔−1(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑥, com −1 ≤ 𝑥 ≤ 1 e
√6 + √2 4 =√3
2 ⋅√2 2 +1
2⋅√2 2
= 𝑐𝑜𝑠𝜋 4⋅ 𝑐𝑜𝑠𝜋
6+ 𝑠𝑒𝑛𝜋 4⋅ 𝑠𝑒𝑛𝜋
6
= 𝑐𝑜𝑠 (𝜋 4−𝜋
6)
= 𝑐𝑜𝑠 𝜋 12, segue que 𝑔−1(√6+√2
4 ) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠√6+√2
4 = 𝜋
12.
Página 6 de 8 A soma das áreas hachuradas será:
𝑆(𝑥) =𝑥2
2 +3 ⋅ (3 − 𝑥)
2 + 𝑥 ⋅ (4 − 𝑥) =𝑥2+ 9 − 3𝑥 + 8𝑥 − 2𝑥2 2
𝑆(𝑥) =1
2⋅ (−𝑥2+ 5𝑥 + 9) 𝑆𝑚á𝑥 = 𝑦𝑚á𝑥=1
2⋅−(52−4⋅(−1)⋅9)
4⋅(−1) → 𝑆𝑚á𝑥=61
8
Resposta da questão 5:
a) De acordo com o gráfico, uma das raízes da parábola é −5. Por simetria pode-se perceber que a outra raiz será 1 e sua função será do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎 ⋅ (𝑥 + 5) ⋅ (𝑥 − 1). Se o vértice da parábola é (−2, −3), então pode-se escrever:
𝑓(−2) = −3
𝑓(−2) = 𝑎 ⋅ (−2 + 5) ⋅ (−2 − 1) = −3 ⇒ 𝑎 ⋅ (3) ⋅ (−3) = −3 ⇒ 𝑎 =1
3 Assim, a função da parábola será:
𝑓(𝑥) =1
3⋅ (𝑥 + 5) ⋅ (𝑥 − 1)
De acordo com o gráfico, ponto de encontro entre a parábola e a reta será quando x for igual a zero, ou seja:
𝑓(0) =1
3⋅ (0 + 5) ⋅ (0 − 1) ⇒ 𝑓(0) = −5 3
Sabe-se também que a equação de reta tem o formato 𝑓(𝑥) = 𝑏𝑥 + 𝑐, e, pelo enunciado, que 𝑓(2) = 0. Assim, pode-se escrever a função da reta:
𝑓(0) = 𝑏 ⋅ 0 + 𝑐 = −5
3⇒ 𝑐 = −5
3
𝑓(2) = 𝑏 ⋅ 2 + 𝑐 = 0 ⇒ 𝑏 ⋅ 2 −5
3= 0 ⇒ 𝑏 =5
6
⟩ ⇒ 𝑓(𝑥) =5
6𝑥 −5
3
Por fim, pode-se calcular 𝑓(−1) e 𝑓(3):
𝑓(−1) ⇒ 𝐸𝑠𝑡á 𝑛𝑎 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎! ⇒ 𝑓(−1) =1
3⋅ (−1 + 5) ⋅ (−1 − 1) ⇒ 𝑓(−1) = −8 3 𝑓(3) ⇒ 𝐸𝑠𝑡á 𝑛𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑎! ⇒ 𝑓(3) =5
6⋅ 3 −5
3⇒ 𝑓(3) =5 6
Prof. Sampaio
Página 7 de 8 b) Desenhando o gráfico de 𝑔(𝑥) = |𝑓(𝑥)|, 𝑥 ∈ [−5, 5], tem-se:
c) Desenhando o gráfico de ℎ(𝑥) = 𝑓(|𝑥|), 𝑥 ∈ [−5, 5], tem-se:
Resposta da questão 6:
[C]
A reta que passa por A e por B(3,0) tem equação 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, logo, 0 = 3𝑎 + 𝑏 ⇒ 𝑏 = −3𝑎.
Então, 𝑦 = 𝑎𝑥 − 3𝑎, como a reta passa pelo ponto (p,q) temos que :
𝑝 ⋅ 𝑞 = 𝑝 ⋅ (𝑎𝑝 − 3𝑎) 𝑝 ⋅ 𝑞 = 𝑎𝑝2− 3𝑎𝑝 4,5 = − 𝛥
4𝑎⇒ 4,5 = −9𝑎2
4. 𝑎 ⇒ 𝑎 = 0 (𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣é𝑚) 𝑜𝑢 𝑎 = −2 Portanto, 𝑦 = −2𝑥 + 6 e A(0,6)
Portanto, 𝐴𝐵 = √(3 − 0)2+ (0 − 6)2= √45 = 3√5.
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Q/prova Q/DB Grau/Dif. Matéria Fonte Tipo
1 ... 183419 ... Elevada ... Matemática ... Unicamp/2019 ... Analítica
2 ... 184742 ... Elevada ... Matemática ... Uerj/2019 ... Analítica
3 ... 176391 ... Elevada ... Matemática ... Fuvest/2018 ... Analítica
4 ... 165942 ... Elevada ... Matemática ... Fuvest/2017 ... Múltipla escolha
5 ... 153784 ... Elevada ... Matemática ... Fuvest/2016 ... Analítica
6 ... 127297 ... Elevada ... Matemática ... Uerj/2014 ... Múltipla escolha
