Dada uma sucess˜ ao de n´ umeros complexos, (z

S´ eries num´ ericas e s´ eries de potˆ encias

Dada uma sucess˜ ao de n´ umeros complexos, (z

) = (z

, z

, z

, . . .), chamamos s´ erie (num´ erica) a uma express˜ ao do tipo

z

+ z

+ z

+ . . . + z

+ . . . (ou

∞

X

n=1

z

) Soma parcial da s´ erie ´ e um termo da sucess˜ ao definida por s

= z

+ z

+ z

+ . . . + z

Aten¸ c˜ ao: as sucess˜ oes (z

) e (s

) s˜ ao diferentes!

A s´ erie diz-se “convergente” quando (s

) ´ e convergente. Nesse caso chama-se “soma da s´ erie” ao lim

n→∞

s

e escreve-se

∞

X

n=1

z

= s em vez de lim

n→∞

s

= s

“S´ erie geom´ etrica” ´ e qualquer s´ erie em que o quociente (ou “raz˜ ao”) de dois termos consecutivos ´ e sempre igual, ou seja, z

= z

r

∞

X

n=1

z

r

converge se e s´ o se |r | < 1

sendo nesse caso

∞

X

n=1

z

r

= z

1 − r , ou seja,

A soma da s´ erie geom´ etrica (com |raz˜ ao| < 1) ´ e: primeiro termo

1 − raz˜ ao

I

Se

∞

X

n=1

z

for convergente ent˜ ao lim z

= 0 (mas pode acontecer que lim z

= 0 e

∞

X

n=1

z

seja divergente)

I

Se

∞

X

n=1

|z

| for convergente ent˜ ao

∞

X

n=1

z

ser´ a convergente

I

Se lim p

|z

| = L < 1 ent˜ ao a s´ erie X

|z

| ´ e convergente.

Se lim p

|z

| = L > 1 ou lim p

|z

| = +∞

ent˜ ao a s´ erie X

z

´ e divergente.

I

Se lim |z

|

|z

| = L < 1 ent˜ ao a s´ erie X

|z

| ´ e convergente.

Se lim |z

|

|z

| = L > 1 ou lim |z

|

|z

| = +∞

ent˜ ao a s´ erie X

z

´ e divergente.

Uma s´ erie de potˆ encias ´ e uma express˜ ao da forma

∞

X

n=0

a

(z − z

)

= a

+ a

(z − z

) + a

(z − z

)

+ · · ·

onde z

e (a

)

s˜ ao n´ umeros complexos previamente definidos.

Se na s´ erie de potˆ encias substituirmos z por um n´ umero complexo obteremos uma s´ erie convergente ou divergente, dependendo do valor de z.

Uma s´ erie de potˆ encias define assim uma fun¸ c˜ ao complexa de vari´ avel

complexa (cujo dom´ınio ter´ a pelo menos um elemento: z = z

).

Para cada s´ erie de potˆ encias,

∞

X

n=0

a

(z − z

)

, estaremos numa das trˆ es situa¸c˜ oes seguintes:

I

A s´ erie converge s´ o se z = z

I

A s´ erie converge para qualquer z ∈ C

I

Existe R > 0 tal que

a s´ erie converge para |z − z

| < R e diverge para |z − z

| > R No terceiro caso chama-se a R raio de convergˆ encia da s´ erie que geralmente se pode determinar por aplica¸c˜ ao do crit´ erio da raz˜ ao ou do crit´ erio da raiz

(de onde se poderiam obter as f´ ormulas, que n˜ ao ´ e necess´ ario decorar, R = lim 1

p

|a

| ou R = lim |a

|

|a

| , se algum destes existir).

Teorema: seja

∞

X

n=0

a

(z − z

)

uma s´ erie de potˆ encias com raio de convergˆ encia R > 0 e seja f a fun¸ c˜ ao definida por f (z ) =

∞

X

n=0

a

(z − z

)

(em D = {z : |z − z

| < R})

Ent˜ ao

1) A deriva¸ c˜ ao termo a termo conserva o raio de convergˆ encia.

2) A fun¸ c˜ ao f ´ e anal´ıtica em D e f

(z ) =

∞

X

n=1

na

(z − z

)

Exerc´ıcio:

Teorema: seja

∞

X

n=0

a

(z − z

)

uma s´ erie de potˆ encias com raio de convergˆ encia R > 0 e seja f a fun¸ c˜ ao definida por f (z ) =

∞

X

n=0

a

(z − z

)

(em D = {z : |z − z

| < R})

Ent˜ ao

1) A deriva¸ c˜ ao termo a termo conserva o raio de convergˆ encia.

2) A fun¸ c˜ ao f ´ e anal´ıtica em D e f

(z ) =

∞

X

n=1

na

(z − z

)

Exerc´ıcio:

Exerc´ıcios:

1. Seja p(z ) o polin´ omio a

+ a

(z − 2) + a

(z − 2)

. (a) Calcule p

(2).

(b) Sabendo que p(2) = i, p

(2) = i + 1 e p

(2) = 3, determine a

, a

e a

.

2. Seja q(z ) o polin´ omio a

(z − 3)

. (a) Calcule q

(3), q

(3) e q

(3).

(b) Sabendo que q

(3) = 2017, determine a

.

Para p

(z ) = a

(z − z

)

tem-se p

(z

) =



 

 

0 se k < n k! a

se k = n 0 se k > n Se f (z ) =

∞

X

n=0

a

(z − z

)

, ent˜ ao f

(z

) = k !a

, ou seja,

a

= f

(z

)

k! (ou seja, a

= f

(z

) n! )

Teorema de Taylor: dada uma fun¸ c˜ ao, f , anal´ıtica (ou seja, deriv´ avel) numa certa regi˜ ao, tem-se

f (z ) =

∞

X

n=0

f

(z

)

n! (z − z

)

no maior disco aberto centrado em z

que esteja contido nessa regi˜ ao (

∞

X

n=0

f

(z

)

n! (z − z

)

chama-se s´ erie de Taylor de f centrada em z

)

Teorema de Taylor: dada uma fun¸ c˜ ao, f , anal´ıtica (ou seja, deriv´ avel) numa certa regi˜ ao, tem-se

f (z ) =

∞

X

n=0

f

(z

)

n! (z − z

)

no maior disco aberto centrado em z

que esteja contido nessa regi˜ ao

Exerc´ıcio:

Teorema de Taylor: dada uma fun¸ c˜ ao, f , anal´ıtica (ou seja, deriv´ avel) numa certa regi˜ ao, tem-se

f (z ) =

∞

X

n=0

f

(z

)

n! (z − z

)

no maior disco aberto centrado em z

que esteja contido nessa regi˜ ao

Exerc´ıcio:

Teorema de Taylor: dada uma fun¸ c˜ ao, f , anal´ıtica (ou seja, deriv´ avel) numa certa regi˜ ao, tem-se

f (z ) =

∞

X

n=0

f

(z

)

n! (z − z

)

no maior disco aberto centrado em z

que esteja contido nessa regi˜ ao

Exerc´ıcio:

Teorema de Taylor: dada uma fun¸ c˜ ao, f , anal´ıtica (ou seja, deriv´ avel) numa certa regi˜ ao, tem-se

f (z ) =

∞

X

n=0

f

(z

)

n! (z − z

)

no maior disco aberto centrado em z

que esteja contido nessa regi˜ ao

Exerc´ıcio:

S´ erie de Laurent

Ainda que f n˜ ao seja anal´ıtica em z

, pode ser poss´ıvel desenvolver f como s´ erie de “potˆ encias” de (z − z

) se incluirmos potˆ encias negativas de (z − z

)

Teorema de Laurent: dada uma fun¸c˜ ao, f , anal´ıtica numa coroa circular D = {z ∈ C : r < |z − z

| < R}, existe uma sucess˜ ao de coeficientes complexos, a

, a

, a

, a

, a

, . . . tal que, para z ∈ D, se tem

f (z ) =

∞

X

n=0

a

(z − z

)

+

∞

X

n=1

b

(z − z

)

A s´ erie anterior, chamada s´ erie de Laurent, escreve-se habitualmente na forma

f (z ) =

∞

X

n=−∞

a

(z − z

)

(usa-se a

em vez de b

) Chama-se parte principal da s´ erie de Laurent de f a

∞

X

n=1

b

(z − z

)

Se f for anal´ıtica no disco {z ∈ C : |z − z

| < R} a parte principal da

s´ erie de Laurent ser´ a nula (isto ´ e, b

= 0 para qualquer n ∈ N )

Teorema de Laurent: dada uma fun¸c˜ ao, f , anal´ıtica numa coroa circular D = {z ∈ C : r < |z − z

| < R}, existe uma sucess˜ ao de coeficientes complexos, a

, a

, a

, a

, a

, . . . tal que, para z ∈ D, se tem f (z ) =

∞

X

n=−∞

a

(z − z

)

= . . . + a

(z − z

)

+ a

(z − z

) + a

+ a

(z − z

) + a

(z − z

)

+ . . .

Exerc´ıcio:

Teorema de Laurent: dada uma fun¸c˜ ao, f , anal´ıtica numa coroa circular D = {z ∈ C : r < |z − z

| < R}, existe uma sucess˜ ao de coeficientes complexos, a

, a

, a

, a

, a

, . . . tal que, para z ∈ D, se tem f (z ) =

∞

X

n=−∞

a

(z − z

)

= . . . + a

(z − z

)

+ a

(z − z

) + a

+ a

(z − z

) + a

(z − z

)

+ . . .

Exerc´ıcio:

Teorema de Laurent: dada uma fun¸c˜ ao, f , anal´ıtica numa coroa circular D = {z ∈ C : r < |z − z

| < R}, existe uma sucess˜ ao de coeficientes complexos, a

, a

, a

, a

, a

, . . . tal que, para z ∈ D, se tem f (z ) =

∞

X

n=−∞

a

(z − z

)

= . . . + a

(z − z

)

+ a

(z − z

) + a

+ a

(z − z

) + a

(z − z

)

+ . . .

Exerc´ıcio:

Teorema de Laurent: dada uma fun¸c˜ ao, f , anal´ıtica numa coroa circular D = {z ∈ C : r < |z − z

| < R}, existe uma sucess˜ ao de coeficientes complexos, a

, a

, a

, a

, a

, . . . tal que, para z ∈ D, se tem f (z ) =

∞

X

n=−∞

a

(z − z

)

= . . . + a

(z − z

)

+ a

(z − z

) + a

+ a

(z − z

) + a

(z − z

)

+ . . .

Exerc´ıcio (exame 2016):

Teorema de Laurent: dada uma fun¸c˜ ao, f , anal´ıtica numa coroa circular D = {z ∈ C : r < |z − z

| < R}, existe uma sucess˜ ao de coeficientes complexos, a

, a

, a

, a

, a

, . . . tal que, para z ∈ D, se tem f (z ) =

∞

X

n=−∞

a

(z − z

)

= . . . + a

(z − z

)

+ a

(z − z

) + a

+ a

(z − z

) + a

(z − z

)

+ . . .

Exerc´ıcio: