Transforma¸c˜ oes Lineares Profa. Anna Regina Corbo

(1)

4

^a

LISTA DE ´ ALGEBRA LINEAR II

Transforma¸c˜ oes Lineares Profa. Anna Regina Corbo

1. Verifique se as transforma¸c˜ oes s˜ ao lineares:

a) T : R

³

→ R

²

tal que T (x, y, z) = (x

²

, y + z).

b) T : R

³

→ R

²

tal que T (x, y, z) = (x, 2y).

c) T : R

²

→ R

²

tal que T (x, y, z) = (x + a, y + b), onde a, b ∈ R constantes.

2. Para que valores de k ∈ R a transforma¸c˜ ao no R

³

tal que T (x, y, z) = (2x + 3k, y, 3z)

´

e linear?

3. Seja M

_n

( R ) o espa¸co vetorial das matrizes quadradas de ordem 2 e seja A ∈ M

_n

( R ) uma matriz pr´ e-fixada. A transforma¸c˜ ao T : M

_n

( R ) → M

_n

( R ) dada por T (X) = A·X+X·A

´

e linear?

4. Considere a transforma¸c˜ ao linear T : R

²

→ M

_n

( R ) tal que T (x, y) =

1 2 0 3

· x

y

. Determine T (1, 1), T (−3, 4) e T (x, y).

5. Seja T : R

³

→ R

²

uma transforma¸c˜ ao linear tal que T (1, 0, 0) = (2, 4), T (0, 1, 0) = (3, 5) e T (1, 1, 1) = (1, 1). Indique a lei de T .

6. Seja T : R

³

→ R

²

uma transforma¸c˜ ao linear tal que T (1, 1, 1) = (1, 2), T (1, 1, 0) = (2, 3) e T (1, 0, 0) = (3, 4).

a) determine T (x, y, z);

b) determine (x, y, z) ∈ R

³

tal que T (x, y, z) = (−3, −2);

c) determine (x, y, z) ∈ R

³

tal que T (x, y, z) = (0, 0).

7. Calcule o n´ ucleo e a imagem das transforma¸c˜ oes lineares abaixo:

a) T : R

³

→ R

²

tal que T (x, y, z) = (x + 2y + 3z, 3x + 2y + z);

b) T : R

²

→ R

³

tal que T (x, y) = (x + y, 2x − y, −x + 3y).

8. Indique a lei de T

⁻¹

para cada uma das transforma¸c˜ oes lineares abaixo:

a) T : R

²

→ R

²

tal que T (x, y) = (y, −x);

b) T : M

2×2

( R ) → R

⁴

tal que T

x y z t

= (t, z, y, x).

9. Seja o operador T do R

³

tal que T (x, y, z) = (x + 2y, y, x + z). Mostre que T ´ e um isomorfismo e indique a sua inversa.

1

(2)

10. Considere β = {v, u, w} uma base do R

³

, onde v = (1, 2, 3), u = (2, 5, 3) e w = (1, 0, 1).

a) Ache a lei da transforma¸c˜ ao linear T : R

³

→ R

²

tal que T (v) = (1, 0), T (u) = (1, 0) e T (w) = (0, 1);

b) Encontre uma base e a dimens˜ ao para o subespa¸co vetorial N (T );

c) Encontre uma base e a dimens˜ ao para o subespa¸co vetorial Im(T );

d) T ´ e invert´ıvel? Justifique a sua resposta.

11. Seja T o operador linear de M

2×2

( R ) definido por T (X) = BX, ∀X ∈ M

2×2

( R ), onde B =

1 0 2 −1

. Determine N (T ) e uma base para Im(T ).

12. Seja β = {e

1

, e

2

, e

3

} a base canˆ onica do R

³

. Se F ´ e um operador linear do R

³

tal que F (e

₁

) = e

₂

, F (e

₂

) = e

₃

e F (e

₃

) = e

₁

.

a) Determine F (x, y, z);

b) Mostrar que F

³

= I, e que, portanto, F

²

= F

⁻¹

. 13. Seja A : R

⁴

→ R definida por A(x, y, z, w) = x + y − 2z − w.

a) Verifique que A ´ e uma transforma¸c˜ ao linear;

b) Forne¸ca dim(Im(A)) e dim(N (A)).

14. Seja B =

1 1 0 0

, e considere a transforma¸c˜ ao linear T : M

2×2

( R ) → M

2×2

( R ) tal que T (X) = XB.

a) Determine N (T );

b) Prove que T ´ e um isomorfismo.

15. Defina T : ℘(2) → R

²

por T (p) = (p(0), p(1)). Por exemplo, se p(t) = 3 + 5t + 7t

²

, ent˜ ao T (p) = (3, 15).

a) Mostre que T ´ e uma transforma¸c˜ ao linear;

b) Determine um polinˆ omio p ∈ ℘(2) que gere o n´ ucleo de T ; c) Descreva a imagem de T .

16. Seja P ∈ M

n×n

( R ) uma matriz invert´ıvel. Mostrar que T : M

n×n

( R ) → M

n×n

( R ) dada por T (X) = P

⁻¹

XP ´ e um operador linear desse espa¸co.

17. Mostrar que o operador linear T do R

³

dado por T (x, y, z) = (x + z, x − z, y) ´ e um isomorfismo. Determinar T

⁻¹

.

18. Seja T : R

³

→ R

²

dada por T (x, y, z) = (z, x + y). Determinar a matriz de T em rela¸c˜ ao as bases β e γ, onde β = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} e γ ´ e a base canˆ onica do R

²

.

19. Com a mesma transforma¸c˜ ao do exerc´ıcio anterior, determinar a matriz de T em rela¸c˜ ao as bases β e γ, com γ = {(1, 3), (2, 5)} base do R

²

.

20. Verificar matricialmente se o operador linear dado por F (x, y, z) = (x − y, 2y, y + z) ´ e invert´ıvel. Se for, encontre F

⁻¹

tamb´ em por meio de matriz.

2

(3)

21. Seja T a transforma¸c˜ ao linear determinada pela matriz





2 0

4 0

0 −4



.

a) Indique a lei da transforma¸c˜ ao;

b) Calcule T (−2, 1).

22. Seja T um operador linear do R

³

definido por T (x, y, z) = (2x + z, x − 4y, 3x).

a) Encontre a matriz de T na base β = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 0, 0)};

b) Encontre [T (1, 0, −1)]

_β

utilizando [T ]

^β_β

.

23. Seja T a transforma¸c˜ ao linear associada a matriz





−1 2 3 0 2 1



.

a) Qual a lei que define T ?

b) Determine o n´ ucleo de T e uma base para N (T );

c) Determine a imagem de T e uma base para Im(T ).

24. Seja T : V → V um operador linear e seja α uma base de V . Mostre que se T ´ e invert´ıvel, ent˜ ao det [T ]

^α_α

6= 0.

GABARITO:

1. a) N˜ ao b) Sim c) N˜ ao 2. k = 0

3. Sim 4. T (1, 1) =

3 3

, T (−3, 4) =

5

12 , T (x, y) =

x + 2y 3y

5. T (x, y, z) = (2x + 3y − 4z, 4x + 5y − 8z) 6. a) T(x, y, z) = (3x − y − z, 4x − y − z)

b) {(1, 6 − z, z); z ∈

R

} c) {(0, y, −y); y ∈

R

}

7. a) N (T ) = {(z, −2z, z); z ∈

R

} e Im(T ) =

R²

b) N (T ) = {(0, 0)} e Im(T ) = {(x, y, z) ∈

R³

| − 5x + 4y + 3z = 0}

8. a) T

⁻¹

(x, y) = (−y, x) b) T

⁻¹

(x, y, z, t) =

t z y x

9. T

⁻¹

(x, y, z) = (x − 2y, y, z − x + 2y)

3

(4)

10. a) T (x, y, z) =

−3x + y + 3z

8 , 9x − 3y − z 8

b) Base de N (T ) = {(1, 3, 0)} e dim(N (T)) = 1

c) Base de Im(T ) = {(1, −3), (3, −1)} e dim(Im(T )) = 2 d) N˜ ao. Pois N (T ) 6= (0, 0)

11. N (T ) =

0 0 0 0

e Im(T ) =

1 0 0 0

,

0 1 0 0

,

0 0 1 0

,

0 0 0 1

12. a) F (x, y, z) = (z, x, y)

13. b) dim(N (A)) = 3 e dim(Im(A)) = 1 14. a) N (T ) =

0 0 0 0

15. b) p(x) ∈ N (T) ⇔ p(x) = ax

²

− ax, a ∈

R

16. Mostre que s˜ ao v´ alidas:

(i) T (0) = 0

(ii) T (u + αv) = T (u) + αT (v), α ∈

R

17. T

⁻¹

(x, y, z) =

x + y

2 , z, x − y 2

18. [T ]

^βγ

=

1 0 0 2 2 1

19. [T ]

^βγ

=

−1 4 2

1 −2 −1

20. F

⁻¹

=





1

¹₂

0 0

¹₂

0 0 −

¹₂

1





21. a) T (x, y) = (2x, 4x, −4y) b) T (−2, 1) = (−4, −8, −4)

22. a) [T]

_β

=





−3 1 1

3 3 3

2 −3 −4





b) [T(1, 0, −1)]

_β

=





1 3

−5





23. a) T (x, y) = (−x + 2y, 3x, 2x + y) b) N (T ) = {(0, 0)}

c) Im(T ) = {(x, y, z) ∈

R³