Natureza Dual da Matéria

Natureza Dual da Matéria Fenômenos Ondulatórios

A natureza dual da matéria necessita o conhecimento mais profundo das propriedades e dos fenômenos das

ondas.

Entre as propriedades, destaca-se a decomposição em ondas harmônicas, ondas estacionárias e a

caracterização da onda pela velocidade de propagação e da amplitude.

Entre os fenômenos, destaca-se a interferência e a

difração.

Caso motivador:

Uma maneira de determinar a espessura h de um o de cabelo é incidir luz de uma ponteira laser vermelha ( λ = 638, 3 nm) e medir a distância y entre as duas manchas no padrão de interferência no anteparo colocado a uma distância z a frente do o. Existe uma relação entre a distância e a largura do o.

h = z y λ

O que está acontecendo?

Pulso e onda em 1D:

Uma onda é a transmissão de informação entre dois pontos no espaço sem, necessariamente, movimentar quantidade de massa.

O exemplo clássico em 1D é um pulso propagando em

uma corda esticada.

Descrevendo ondas:

Analisando um elemento da corda, vemos que seu movi- mento ocorre na vertical e sofre aceleração devido a estar ligado a outros elementos da corda.

O movimento de todos elementos juntos fazer a ex-

istência do pulso na corda propagando-se em uma di-

reção com velocidade constante.

Expressão para o pulso:

Seja y o valor do deslocamento vertical, podemos de- screver esse deslocamento como função da posição e do tempo,

y := y(x, t)

Onda harmônica em 1D:

Uma corda esticada em que uma das pontas executa um MHS produz uma onda em que chamamos de onda harmônica propagando com velocidade v .

O MHS tem como característica uma freq. f e uma amplitude A .

O efeito do movimento gera um perl para o desloca- mento de uma função trigonométrica com comp. de onda λ .

A relação entre a freq. e o comp. de onda é dado por

λf = v.

Decomposição em ondas harmônicas:

Na corda, o deslocamento transversal que caracteriza a onda pode ser escrita como uma função de x e t , y := y(x, t) .

No caso de ondas harmônicas temos:

y

(x, t) = A cos(kx − ωt + φ)

onde k = 2π/λ é o número de onda e ω = 2πf é a freq.

angular.

Qualquer perl de onda pode ser descrito como com- binação linear de ondas harmônicas,

y(x, t) =

k

A

cos(kx − ωt + φ

).

Interferência:

Duas ondas se cruzando pode apresentar interferências construtivas ou destrutivas.

A base teórica da interferência é o princípio de super-

posição. Dado duas ondas, ψ

e ψ

, o resultado é a

soma das duas ψ = ψ

+ ψ

.

Onda harmônica em 2D ou 3D:

Uma onda harmônica em 2D ou 3D pode ser caracter- izada pelo raio de propagação, i.e., a linha na qual a onda irá se propagar, e pela frente de onda, i.e. espaço geométrico onde o valor da onda é o mesmo.

Nessa onda podemos ter:

ondas esféricas - ondas planas

Difração:

O fenômeno de difração de uma onda corresponde a

interferências da mesma ondas quando passa por um

obstáculo.

Fenda simples:

Ao longo da fenda, a parte da onda que está por cima percorre um caminho óptico diferente da que está por baixo para chegar no ponto y do anteparo.

Caso a diferença seja a metade do comprimento de onda, temos interferência destrutiva total naquele ponto.

Assim, temos um sinal de difração pelo padrão obtido

no anteparo.

Fenda dupla:

Em uma fenda dupla ca mais evidente a razão do padrão de interferência.

Pode-se obter uma relação entre a posição onde ocorre interferência construtiva caso a diferença entre os cam- inhos ópticos das fendas seja múltiplo do comprimento de onda,

y = z

h λ

Hipótese de De Broglie:

Do mesmo modo que a radiação pode ter característi- cas de onda e de partícula, De Broglie propôs que essa dualidade seja feita para a matéria.

Considerando ondas estacionárias para o elétron no átomo de Bohr, ele obteve uma relação entre o comprimento de onda de matéria e a velocidade.

Para hipótese supôs que

λ = h

mv

Experimento de Davisson-Germer:

A hipótese de De Broglie foi conrmada no experimento

de Davisson-Germer onde a incidência de um feixe de

elétron sob um superfície de níquel produzia uma luz

reetida com padrão de difração com o pico de intensi-

dade ocorrendo como uma onda de comprimento dado

pela expressão de De Broglie.

Conclusão:

Vemos que tanto a radiação quanto a matéria tem o comportamento dual de onda e partícula a depender do experimento que estamos tratando.

O comportamento ondulatório conduz uma probabili-

dade de ocorrência do fenômeno corpuscular e, a isso,

vamos investigar na próxima aula.

Caso motivador:

O caso motivador consiste o efeito de difração por duas

fendas e o resultado constitui de uma das técnicas de

obter informação sobre o comprimento de onda da luz

monocromática.

Exercício:

20. Um nêutron possui uma energia cinética de 10 MeV. Que tamanho de objeto é necessário para obser- var efeitos de difração com nêutrons. Existe algo na natureza desse tamanho que pudesse servir como um alvo am de demonstrar a natureza ondulatória deste nêutron.

Resposta: 9 fm