Fá tim a Me nd e s
Esc o la Sup e rio r d e Ed uc a ç ã o d o Instituto Po lité c nic o d e Se túb a l fa tima .me nd e s@ e se .ip s.p t
Jo a na Bro c a rd o
Esc o la Sup e rio r d e Ed uc a ç ã o d o Instituto Po lité c nic o d e Se túb a l jo a na .b ro c a rd o @ e se .ip s.p t
Hé lia O live ira
Instituto d e Ed uc a ç ã o d a Unive rsid a d e d e Lisb o a hmo live ira @ ie .ul.p t
Re sum o : Ap re se nta mo s e d isc utimo s re sulta d o s p re limina re s re la tivo s à c a ra c te riza ç ã o
e e vo luç ã o d o s p ro c e d ime nto s d e a luno s d o 3.º a no q ua nd o re so lve m ta re fa s d e multip lic a ç ã o . Este s inse re m -se numa inve stig a ç ã o q ue p re te nd e c o mp re e nd e r c o mo o s a luno s d e se nvo lve m o se ntid o d e núme ro , no s a sp e to s a sso c ia d o s à multip lic a ç ã o , no â mb ito d e uma tra je tó ria d e a p re nd iza g e m. A a ná lise d a s p ro d uç õ e s d o s a luno s e e p isó d io s re la tivo s à s d isc ussõ e s c o le tiva s re ve la g ra nd e d ive rsid a d e d e p ro c e d ime nto s. Evid e nc ia ta mb é m a sua e vo luç ã o , ve rific a nd o -se , e m c e rto s c a so s, o re to rno a p ro c e d ime nto s me no s p o te nte s, a sso c ia d o a p a rtic ula rid a d e s d a s ta re fa s.
Pa la vra s- c ha ve : Se ntid o d e núme ro ; Ap re nd iza g e m d a multip lic a ç ã o ; Tra je tó ria d e
a p re nd iza g e m; Pro c e d ime nto s d o s a luno s.
Ab stra c t: We p re se nt a nd d isc uss p re limina ry re sults tha t fo c us o n the c ha ra c te riza tio n
a nd e vo lutio n o f p up ils’ p ro c e d ure s, in the 3rd g ra d e , whe n e xp lo ring multip lic a tio n ta sks. The se re sults a re p a rt o f a re se a rc h p ro je c t who se ma in o b je c tive is to und e rsta nd ho w p up ils d e ve lo p the se nse o f numb e r, in re la tio n to multip lic a tio n, in the c o nte xt o f a le a rning tra je c to ry. The a na lysis o f the p up ils’ w ritte n p ro d uc tio ns a nd o f e p iso d e s fro m c la ss d isc ussio ns re ve a ls the use o f a d ive rsity o f p ro c e d ure s. It a lso sho ws p up ils’ e vo lutio n; ne ve rthe le ss, in so me c a se s the re wa s a c e rta in d e g re e o f re g re ssio n re la te d to p a rtic ula ritie s o f the ta sks.
Ke y wo rd s: Se nse o f numb e r; Le a rning o f multip lic a tio n; Le a rning tra je c to ry;
Multip lic a tio n p ro c e d ure s.
Ré sum é : No us p ré se nto ns e t d isc uto ns d e s ré sulta ts p ré limina ire s sur la c a ra c té risa tio n
e t l’é vo lutio n d e s p ro c é d ure s d ’é lè ve s d e 3è me a nné e d e sc o la rité d a ns la ré so lutio n d e s ta c he s d e multip lic a tio n. C e tte a na lyse fa it p a rtie d ’ une re c he rc he sur le d é ve lo p p e me nt c he z le s é lè ve s d e la no tio n d e no mb re a sso c ié e à la multip lic a tio n. L´a na lyse d e s p ro d uc tio ns d e s é lè ve s e t d e le urs inte ra c tio ns ré vè le q ue le s e nfa nts utilise nt un la rg e ré p e rto ire d e p ro c é d ure s. L’a na lyse me t e nc o re e n é vid e nc e l’é vo lutio n d e s é lè ve s, la q ue lle , d a ns c e rta ins c a s, ré vè le le re to ur à d e s p ro c é d ure s mo ins p uissa nte s, a sso c ié e à la na ture d e s tâ c he s.
Mo t- c lé : No tio n d e no mb re ; Ap p re ntissa g e d e la multip lic a tio n; tra je c to ire
d ’a p p re ntissa g e ; Pro c é d ure s d e s é lè ve s.
Intro d uç ã o
Do c ume nto s inte rna c io na is d e re fe rê nc ia , c o mo o s p ub lic a d o s p e lo Na tio na l Co unc il o f Te a c he rs o f Ma the ma tic s e m 1991 e 2007, re a lç a m o d e se nvo lvime nto d o se ntid o d e núme ro d o s a luno s c o mo a p rinc ip a l fina lid a d e d o te ma Núme ro s e O p e ra ç õ e s, no c urríc ulo d e Ma te má tic a no s p rime iro s a no s. Em Po rtug a l, a uto re s c o mo Bro c a rd o & Se rra zina (2008) me nc io na m, ig ua lme nte , a imp o rtâ nc ia d e p e nsa r o s núme ro s e a s o p e ra ç õ e s no c urríc ulo e m te rmo s d e se ntid o d e núme ro .
Em c o nso nâ nc ia c o m e sta s id e ia s o no vo Pro g ra ma d e Ma te má tic a d o Ensino Bá sic o (PMEB) (Po nte , Se rra zina , G uima rã e s, Bre d a , G uima rã e s, So usa , Me ne ze s, Ma rtins & O live ira , 2007) a p re se nta uma p e rsp e tiva d ife re nte so b re a a p re nd iza g e m d o s Núme ro s e O p e ra ç õ e s, q ua nd o c o mp a ra d a c o m a d e p ro g ra ma s a nte rio re s, a ssumind o a imp o rtâ nc ia d o d e se nvo lvime nto d o se ntid o d e núme ro (Po nte , 2008). É re fe rid o q ue “ o se u e stud o [d o s núme ro s e o p e ra ç õ e s] te m p o r b a se trê s id e ia s fund a me nta is: p ro mo ve r a c o mp re e nsã o d o s núme ro s e o p e ra ç õ e s, d e se nvo lve r o se ntid o d e núme ro e d e se nvo lve r a fluê nc ia d e c á lc ulo ” (Po nte e t a l., 2007, p. 7).
A c a ra c te riza ç ã o e a e vo luç ã o d o s p ro c e d ime nto s d o s a luno s sã o a s ve rte nte s so b re a s q ua is inc id e e ste a rtig o , e q ue ta mb é m fa ze m p a rte d e uma inve stig a ç ã o ma is va sta c ujo p ro p ó sito é c o mp re e nd e r o mo d o c o mo o s a luno s d e se nvo lve m o se u se ntid o d e núme ro , e m p a rtic ula r no s a sp e to s re la c io na d o s c o m a o p e ra ç ã o multip lic a ç ã o , no c o nte xto d e uma tra je tó ria d e a p re nd iza g e m.
C o nte xtua liza ç ã o Te ó ric a
A p a rtir d o s a no s 90 d o sé c . XX a s inve stig a ç õ e s no â mb ito d a a p re nd iza g e m d a s o p e ra ç õ e s a ritmé tic a s sã o re a liza d a s, so b re tud o , na sa la d e a ula . Este fa c to re la c io na -se c o m mud a nç a s a o níve l d o q ua d ro te ó ric o so b re a a p re nd iza g e m, influe nc ia d a s p o r c o nte xto s so c ia is e c ultura is, e c o m a s fina lid a d e s d o s e stud o s, a sso c ia d a s a o d e se nvo lvime nto c urric ula r (Ve rsc ha ffe l, G re e r & De C o rte , 2007).
No c a so c o nc re to d a multip lic a ç ã o , d e sta c a m -se e stud o s e mp íric o s a sso c ia d o s a tip o s se mâ ntic o s d e situa ç õ e s (G re e r, 1992) e a mo d e lo s intuitivo s (Fisc hb e in, De ri, Ne llo & Ma rino , 1985; Mullig a n & Mitc he lmo re , 1997). Há ta mb é m inve stig a ç õ e s q ue re la c io na m a s e stra té g ia s d e c á lc ulo usa d a s p e lo s a luno s c o m o tip o d e p ro b le ma s p ro p o sto s e o utra s q ue c a ra c te riza m a s e stra té g ia s inve nta d a s p e lo s a luno s na re so luç ã o d e p ro b le ma s (Ba e k, 2006; Fuso n, 2003; He ird sfie ld , C o o p e r, Mullig a n & Iro ns, 1999). C o ntud o , d ive rso s a uto re s a firma m q ue a inve stig a ç ã o so b re a a p re nd iza g e m d a multip lic a ç ã o te m sid o me no r q ua nd o c o mp a ra d a c o m a inve stig a ç ã o so b re o utra s o p e ra ç õ e s a ritmé tic a s (Fuso n, 2003; Ve rsc ha ffe l e t a l., 2007).
Dive rso s e stud o s tê m c a ra c te riza d o a s e stra té g ia s d e c á lc ulo usa d a s p e lo s a luno s (Fuso n, 2003; Ha rtne tt, 2007). Uma d a s c a te g o riza ç õ e s ma is a b ra ng e nte s, p o r se r vá lid a p a ra to d a s a s o p e ra ç õ e s, c o nsid e ra a s se g uinte s c a te g o ria s: c o nta r p a ra a fre nte e p a ra trá s, a justa r e c o mp e nsa r, usa r o s d o b ro s e / o u a s me ta d e s, usa r p a rtiç õ e s d o s núme ro s e usa r o va lo r d e p o siç ã o (Ha rtne tt, 2007). O mo d o c o mo se a b o rd a m a s e stra té g ia s d e c á lc ulo me nta l na a ula te m sid o , ta mb é m, o b je to d e vá rio s e stud o s, nã o ha ve nd o , c o ntud o , c o nse nso e ntre e le s. Há a uto re s q ue d e fe nd e m o e nsino d e d e te rmina d a s e stra té g ia s e o utro s q ue inve ste m na c o nstruç ã o / inve nç ã o d e e stra té g ia s p e lo s a luno s a p a rtir d a re so luç ã o d e p ro b le ma s c o m c a ra c te rístic a s p a rtic ula re s (Amb ro se , Ba e k & C a rp e nte r, 2003; Ang hile ri, 2003; Ba e k, 2006; Fo sno t & Do lk, 2001; He ird sfie ld e t a l., 1999).
multip lic a ç ã o e vo lui q ua nd o sã o c o lo c a d o s p e ra nte c o nte xto s q ue fa ze m e me rg ir a sp e to s fund a me nta is: a s id e ia s, a s e stra té g ia s e o s mo d e lo s (Fo sno t & Do lk, 2001; Tre ffe rs & Buys, 2008). Essa e vo luç ã o re la c io na -se , ta mb é m, c o m o mo d o c o mo sã o p ro mo vid a s a d isc ussã o e a re fle xã o so b re a s re so luç õ e s d a s ta re fa s. No iníc io d a a p re nd iza g e m d a multip lic a ç ã o , o s a luno s c o me ç a m p o r re so lve r p ro b le ma s a tra vé s d a c o nta g e m p o r g rup o s, usa nd o a d iç õ e s re p e tid a s e re c o rre nd o d e p o is a fa c to s multip lic a tivo s c o nhe c id o s, e vo luind o no c á lc ulo à me d id a q ue o c o nc e ito d e multip lic a ç ã o se va i c o nstruind o e se d e ma rc a d a a d iç ã o (Tre ffe rs & Buys, 2008).
As e stra té g ia s q ue o s a luno s usa m e stã o re la c io na d a s c o m o se u se ntid o d e núme ro , uma ve z q ue o se u g ra u d e so fistic a ç ã o d e p e nd e d e e ste e sta r ma is o u me no s d e se nvo lvid o (Ell, 2001). O sig nific a d o e o uso d o te rmo e stra té g ia , e a sua c o inc id ê nc ia , o u nã o , c o m o te rmo p ro c e d ime nto , tê m sid o o b je to d e a lg uma s d isc ussõ e s te ó ric a s, nã o ha ve nd o c o nse nso (Ell, 2001; Fo sno t, 2007; Fuso n, 2003; Thre lfa ll, 2002). Ne ste e stud o d isting uimo s e stra té g ia d e p ro c e d ime nto : e stra té g ia d iz re sp e ito à mo d e la ç ã o ; o s p ro c e d ime nto s d ize m re sp e ito à s o p e ra ç õ e s d e c á lc ulo . Ma is p re c isa me nte , c o nsid e ra mo s q ue o s p ro c e d ime nto s d o s a luno s sã o a fo rma c o mo ma nip ula m o s núme ro s e q ue a s e stra té g ia s d e te rmina m a e strutura ma te má tic a d e sta s ma nip ula ç õ e s.
Me to d o lo g ia
C o nsid e ra nd o o s se us o b je tivo s e a sua na ture za , a p re se nte inve stig a ç ã o se g ue uma me to d o lo g ia c o m uma a b o rd a g e m q ua lita tiva d e c a riz inte rp re ta tivo (De nzin & Linc o ln, 2008; Eric kso n, 1986; Me rria n, 1991). Te m p o r b a se uma e xp e riê nc ia d e e nsino (G ra ve me ije r & C o b b , 2006) re a liza d a numa turma d o 3.º a no d e e sc o la rid a d e , c o m 23 a luno s, c o m a d ura ç ã o d e um a no le tivo .
A fo nte d ire ta d o s d a d o s é a a ula e o p rinc ip a l instrume nto d e re c o lha é a inve stig a d o ra , a tra vé s d a o b se rva ç ã o d e ta lha d a d o a mb ie nte na tura l (Me rria n, 1991; Yin, 1995). O s d a d o s sã o d e sc ritivo s, inc luind o no ta s d e c a mp o , tra nsc riç ã o d e e p isó d io s d e a ula s vid e o g ra va d a s e p ro d uç õ e s d o s a luno s. A sua a ná lise re a liza -se ind utiva me nte , p a rtind o d e situa ç õ e s p a rtic ula re s, a p e sa r d e -se d e finire m, à p a rtid a , a lg uma s c a te g o ria s d e c o rre nte s d a lite ra tura .
d a a p re nd iza g e m e imp lic a a c o nstruç ã o d e uma c ultura d e sa la d e a ula o nd e , a p a r d a s p rá tic a s ma te má tic a s, se inve ste no e sta b e le c ime nto d e no rma s so c ia is e no rma s so c io ma te má tic a s, se g und o C o b b , Ste p ha n, Mc C la in e G ra ve me ije r (2001).
Fo ra m c o nstruíd a s e imp le me nta d a s o nze se q uê nc ia s d e ta re fa s d e multip lic a ç ã o (e d e d ivisã o1), c o nsid e ra nd o o s o b je tivo s d e a p re nd iza g e m, a s hip ó te se s d e a p re nd iza g e m d o s a luno s e a c ultura d e sa la d e a ula e sta b e le c id a (C le me nts & Sa ra ma , 2004; Simo n, 1995; Simo n & Tzur, 2004). A sua c o nstruç ã o te m c o mo re fe rê nc ia o s ma rc o s d e a p re nd iza g e m p re c o niza d o s p o r Fo sno t & Do lk (2001) e Tre ffe rs & Buys (2008) p a ra a multip lic a ç ã o : a s id e ia s ma te má tic a s, a s e stra té g ia s e o s mo d e lo s a sso c ia d o s a e sta o p e ra ç ã o .
A tra je tó ria d e a p re nd iza g e m fo i se nd o a d a pta d a , num p ro c e sso c o ntínuo e c íc lic o , d a d a a sua na ture za hip o té tic a e o s fa to re s imp re visíve is q ue surg e m na a ula (Simo n, 1995; Simo n & Tzur, 2004). As ta re fa s fo ra m c o ntinua me nte a justa d a s, e m c o njunto p e la inve stig a d o ra (p rime ira a uto ra d e ste a rtig o ) e p e la p ro fe sso ra , c o nsid e ra nd o a sua e xp lo ra ç ã o na a ula e o s p ro c e d ime nto s d o s a luno s.
A inve nta ria ç ã o e c a ra c te riza ç ã o d o s p ro c e d ime nto s utiliza d o s p e lo s a luno s na re so luç ã o d a s ta re fa s p ro p o sta s fo ra m re a liza d a s a p a rtir d a a ná lise d o s se us re g isto s e sc rito s. A o p ç ã o p o r re c o rre r a p e na s a o s re g isto s e sc rito s d o s a luno s c o mo e vid ê nc ia e mp íric a p re nd e -se c o m o fa c to d e c o nsid e ra rmo s q ue e ste s p e rmite m o b te r uma visã o g lo b a l so b re o s p ro c e d ime nto s, tra d uzind o o se u mo d o d e ra c io c ina r so b re o s p ro b le ma s.
O a p ro fund a me nto d a a ná lise d a e vo luç ã o d o s p ro c e d ime nto s é e fe tua d o c o nsid e ra nd o ta mb é m a s inte ra ç õ e s na a ula , imp lic a nd o um o lha r c íc lic o so b re o s d a d o s, id e ntific a nd o c a te g o ria s e me rg e nte s, p a ra a lé m d a s d e c o rre nte s d a lite ra tura , e a e strutura a d e q ua d a p a ra o re la tó rio d e a ná lise .
Ta re fa s d e m ultip lic a ç ã o c o m núm e ro s na tura is
Ta re fa1 - Me rc e a ria d a Pie d a d e 1 Sub ta re fa 1 e 2 Ta re fa1 - Me rc e a ria d a Pie d a d e 2 Sub ta re fa 1 Ta re fa 4 - C a rte ira s d e c ro mo s Sub ta re fa 1, 2 e 3 Ta re fa 7 - C o rtina s Sub ta re fa 1, 2,3 e 4 Ta re fa - Pá tio d o Jo ã o Sub ta re fa 1, 2,3 e 4 Ta re fa 8 B - Pá tio d o C ristó vã o Sub ta re fa 1, 2,3 e 4 Ta re fa 10 - Pilha s d e c a ixa s Sub ta re fa 1, 2 e 3
Ta re fa s d e m ultip lic a ç ã o c o m núm e ro s na re p re se nta ç ã o
d e c im a l
Ta re fa 13 - G a rra fa s e ma is g a rra fa s Sub ta re fa 1, 2,3 e 4 Ta re fa 16 - C o nta r mo e d a s 1 Sub ta re fa 1
Ta re fa 17 - C o nta r mo e d a s 2 Sub ta re fa 4,5 e 6
Ta re fa s d e d ivisã o c o m núm e ro s na tura is
Ta re fa 19 - C o le c c io na r c a rta s Sub ta re fa 1 e 2 Ta re fa 20 - Má q uina s d e b e b id a s Sub ta re fa 1 e 2 Ta re fa 25 - O utra má q uina d e b e b id a s Sub ta re fa 1 Ta re fa 26 - Minia tura s d e a nima is Sub ta re fa 1
Ta re fa s d e m ultip lic a ç ã o (se ntid o p ro p o rc io na l) c o m núm e ro s na re p re se nta ç ã o
d e c im a l
Ta re fa 29 - Id a a o te a tro Sub ta re fa 1, 2 e 3
Ta re fa 30 - Id a à me rc e a ria d a Pie d a d e Sub ta re fa 1, 2 e 3
Ta b e la 1 – O rg a niza ç ã o d a s ta re fa s d e a c o rd o c o m a s sua s c a ra c te rístic a s
Alé m d isso , fo ra m q ua ntific a d o s to d o s o s p ro c e d ime nto s utiliza d o s, a tra vé s d e ta b e la s, e m c a d a ta re fa e sub ta re fa d a e xp e riê nc ia d e e nsino .
Re sulta d o s
C a te g o ria s d e p ro c e d im e nto s Pro c e d im e nto s e sp e c ífic o s
Pro c e d ime nto s d e c o nta g e m C o nta r p o r “ sa lto s“
Pro c e d ime nto s a d itivo s
Ad ic io na r suc e ssiva me nte Ad ic io na r d o is a d o is C a lc ula r e m c o luna Pro c e d ime nto s sub tra c tivo s Sub tra ir suc e ssiva me nte
Pro c e d ime nto s multip lic a tivo s
Usa r p ro d uto s c o nhe c id o s c o m núme ro s d e re fe rê nc ia
Usa r re la ç õ e s d e d o b ro Usa r múltip lo s d e 5 e d e 10
Re c o rre r à d e c o mp o siç ã o d e c ima l d e um d o s fa c to re s
Re c o rre r a uma d e c o mp o siç ã o nã o d e c ima l d e um d o s fa c to re s
Usa r múltip lo s d e 10 e c o mp e nsa r Usa r re la ç õ e s d e d o b ro e d e me ta d e Multip lic a r suc e ssiva me nte a p a rtir d e um p ro d uto d e re fe rê nc ia
C a lc ula r e m c o luna
Ta b e la 2 – Pro c e d ime nto s usa d o s p e lo s a luno s na re so luç ã o d a s ta re fa s
A e vo luç ã o d o s p ro c e d ime nto s d o s a luno s fo i e vid e nc ia d a a p a rtir d a a ná lise tra nsve rsa l d o s p ro c e d ime nto s utiliza d o s a o lo ng o d a e xp e riê nc ia d e e nsino , e m a rtic ula ç ã o c o m a sua q ua ntific a ç ã o e m c a d a ta re fa . Há , c o ntud o , a lg uns a sp e to s a d e sta c a r. Um p rime iro a sp e to re fe re -se a o fa c to d e um me smo a luno usa r vá rio s p ro c e d ime nto s p a ra re a liza r um c á lc ulo . Um se g und o a sp e to re la c io na -se c o m a fre q uê nc ia na utiliza ç ã o d e d e te rmina d o s p ro c e d ime nto s e , um te rc e iro re fe re -se à p re fe rê nc ia d e a lg uns a luno s p o r d e te rmina d o s p ro c e d ime nto s.
d o s a luno s. Alé m d isso , ta l c o mo e xe mp lific a mo s c o m a ta re fa 7 – C o rtina s, o nd e é ne c e ssá rio c a lc ula r o núme ro to ta l d e flo re s , o s a luno s p a re c ia m te r g o sto e m mo stra r q ue c o nse g uia m e fe tua r o me smo c á lc ulo d e vá ria s ma ne ira s.
Fig ura 1 – Re so luç ã o d e C ristó vã o d a sub ta re fa 2 – ta re fa 7
A re so luç ã o d e C ristó vã o inc lui d o is tip o s d ife re nte s d e p ro c e d ime nto s: o re c urso a d e c o mp o siç õ e s nã o d e c ima is d e um d o s fa to re s d a multip lic a ç ã o a e fe tua r (8x6 o u 6x8, c o nfo rme o q ue se re p e te ) e p ro c e d ime nto s d o tip o a d itivo , a lte ra nd o a p a rc e la q ue se re p e te .
No utra s situa ç õ e s, o s a luno s e fe tua ra m um d e te rmina d o c á lc ulo usa nd o o p ro c e d ime nto sug e rid o p e la p rime ira re p re se nta ç ã o , se nd o a s re p re se nta ç õ e s se g uinte s a p e na s uma fo rma d e mo stra r q ue o p ro b le ma p o d e se r re so lvid o d e o utra s ma ne ira s. A p rime ira e xp re ssã o re p re se nta d a p a re c e tra d uzir, e fe tiva me nte , o mo d o d e ra c io c ina r d o s a luno s. Ap re se nta mo s o e xe mp lo d e Ma ria na , a p ro p ó sito d a ta re fa 2 – Me rc e a ria d a Pie d a d e 2, na q ua l é ne c e ssá rio sa b e r q ua nto c usta m 10 sa c o s d e ma ç ã s, a 5€ c a d a .
Fig ura 2 – Re so luç ã o d e Ma ria na d e p a rte d a ta re fa 2
Ma ria na c o me ç a p o r e sc re ve r a ig ua ld a d e 10×5=50, q ue p a re c e c o rre sp o nd e r à sua fo rma d e p e nsa r. De p o is re g ista o utra s e xp re ssõ e s q ue sa b e c o rre sp o nd e re m a o me smo p ro d uto , ta l c o mo já tinha visto a p ro fe sso ra fa ze r no q ua d ro , a p ro p ó sito d a s d isc ussõ e s c o le tiva s.
a o lo ng o d a e xp e riê nc ia d e e nsino , p o is o s a luno s c o mp re e nd e m q ue o q ue se p re te nd e é re so lve r c a d a um d a ma ne ira q ue c o nsid e re m ma is a d e q ua d a .
Um se g und o a sp e to re ve la d o p e la a ná lise e stá re la c io na d o c o m a fre q uê nc ia d e utiliza ç ã o d e d e te rmina d o s p ro c e d ime nto s – há o s q ue sã o usa d o s fre q ue nte me nte p e lo s a luno s e o utro s q ue o sã o muito ra ra me nte . De sta c a m -se , p e la sua e le va d a fre q uê nc ia , o s p ro c e d ime nto s a d itivo s, o re c urso a p ro d uto s c o nhe c id o s e o s p ro c e d ime nto s multip lic a tivo s c o m b a se na d e c o mp o siç ã o d e c ima l d e um d o s fa to re s. Pe la sua b a ixa fre q uê nc ia , so b re ssa i o uso d e re la ç õ e s d e d o b ro e d e me ta d e , a q ue o s a luno s ra ra me nte re c o rre m.
Na re so luç ã o d a s p rime ira s ta re fa s d a e xp e riê nc ia d e e nsino (ta b e la 1), p re d o mina m o s p ro c e d ime nto s a d itivo s, q ue sã o me no s usa d o s na s se g uinte s, p a ra surg ire m, no va me nte , na s última s ta re fa s. Uma d a s ra zõ e s p a ra a e le va d a fre q uê nc ia d e ste s p ro c e d ime nto s na s ta re fa s inic ia is p a re c e e sta r re la c io na d a c o m o fa c to d e o s a luno s te re m c o nfia nç a no se u uso . Alé m d isso , a g ra nd e za d o s núme ro s e nvo lvid o s, c ujo p ro d uto é infe rio r a 100, nã o re ve la a ind a a ine fic á c ia d o s p ro c e d ime nto s a d itivo s, q ue p re va le c e m d ura nte a lg um te mp o . C o ntud o , na re so luç ã o d e ta re fa s a sso c ia d a s à d isp o siç ã o re ta ng ula r, e m p a rtic ula r, e me rg e m e p a re c e m c o nso lid a r-se p ro c e d ime nto s multip lic a tivo s b a r-se a d o s na s p ro p rie d a d e s d a multip lic a ç ã o .
A re so luç ã o d a s ta re fa s d e multip lic a ç ã o , no se u se ntid o p ro p o rc io na l, c o m núme ro s na re p re se nta ç ã o d e c ima l, e vid e nc ia o re to rno a o s p ro c e d ime nto s a d itivo s, p o r p a rte d o s a luno s, c o m b a sta nte fre q uê nc ia . De fa c to , num d o s p ro b le ma s d a ta re fa 29 – Id a a o te a tro , p a ra c a lc ula r o p re ç o d e 24 b ilhe te s d e te a tro , d a d o o p re ç o unitá rio , to d o s o s a luno s q ue a re so lve m re c o rre m a um p ro c e d ime nto a d itivo , e xc e to um p a r. Ta mb é m na ta re fa 30 – Id a à me rc e a ria d a Pie d a d e , ma is d e me ta d e d o s a luno s re c o rre a p ro c e d ime nto s a d itivo s. Uma d a s ra zõ e s p a ra e ste fa c to p a re c e re la c io na r-se c o m o fa c to d e o s d a d o s e sta re m o rg a niza d o s e m ta b e la s, sug e rind o “c o mp o siç õ e s” e “d e c o mp o siç õ e s” a tra vé s d a a d iç ã o . Alé m d isso , o s c á lc ulo s p a ssa m a inc luir núme ro s ra c io na is re p re se nta d o s na fo rma d e c ima l, o q ue c o nstitui uma d ific uld a d e p a ra o s a luno s.
O s a luno s re c o rre m, ta mb é m fre q ue nte me nte , a p ro d uto s c o nhe c id o s. Em muita s d a s ta re fa s inic ia is o s p ro d uto s e nvo lvid o s sã o d o d o mínio d a s ta b ua d a s, já a uto ma tiza d a s p o r e le s, p e lo q ue nã o ne c e ssita m e fe tua r q ua isq ue r c á lc ulo s.
Ap re se nta mo s o e xe mp lo d a ta re fa 10 – Pilha s d e c a ixa s, e m q ue vá rio s a luno s utiliza m e ste tip o d e p ro c e d ime nto p a ra d e te rmina r o to ta l d e ma ç ã s e xiste nte e m 25 c a ixa s c o m 48 ma ç ã s c a d a . Pa ra c a lc ula r 25×48, Enzo e Fra nc isc o usa m a d e c o mp o siç ã o d e c ima l d o núme ro 48:
Fig ura 3 – Re so luç ã o d e Enzo e Fra nc isc o d a sub ta re fa 2 – Ta re fa 10
Aind a ne ssa ta re fa , Cristó vã o e Hug o re c o rre m ta mb é m a um p ro c e d ime nto d e d e c o mp o siç ã o , d ife re nte d o a nte rio r e sug e rid o p e la d isp o siç ã o d a s c a ixa s na fig ura q ue a c o mp a nha a ta re fa (fig . 4). De ste mo d o a p o ia m-se na visua liza ç ã o d a fig ura e d ã o -lhe sig nific a d o . Usa m trê s p ro d uto s p a rc ia is q ue c o rre sp o nd e m à d e c o mp o siç ã o d e 25 e m 12+10+3. O p ro d uto 12×48 c o rre sp o nd e a o to ta l d e ma ç ã s d a s d ua s fila s d e c a ixa s infe rio re s, 10×48 e q uiva le a o to ta l d e ma ç ã s d a s d ua s fila s se g uinte s e , fina lme nte , 3×48 c o rre sp o nd e a o to ta l d e ma ç ã s e xiste nte na fila sup e rio r. Pa ra d e te rmina re m o s p ro d uto s p a rc ia is, o s a luno s usa m a d e c o mp o siç ã o d e c ima l q ue ma is lhe s fa c ilita o s c á lc ulo s.
Alé m d o s p ro c e d ime nto s já re fe rid o s, q ue se d e sta c a m p e la sua ma io r fre q uê nc ia , há ta mb é m o s q ue sã o usa d o s ra ra me nte . O p ro c e d ime nto usa r re la ç õ e s d e d o b ro e d e me ta d e é um a q ue o s a luno s me no s re c o rre m, me smo q ue o c o nte xto e o s núme ro s d a ta re fa p ro p o sta o sug ira m.
Ap re se nta mo s uma p a rte d a re so luç ã o d e Dua rte e Tia g o d a ta re fa 13 – G a rra fa s e ma is g a rra fa s, o nd e se p re te nd ia sa b e r o núme ro to ta l d e g a rra fa s d e 0,5l ne c e ssá rio p a ra p e rfa ze r 30 litro s d e á g ua , a p ó s te r-se d e te rmina d o q ue 30 g a rra fa s d e 1l tê m um to ta l d e 30 litro s. Pa ra c a lc ula r o núme ro to ta l d e g a rra fa s, fo i re la c io na d a a e xp re ssã o 60×0,5l c o m o p ro d uto 30×1l=30l, p o is o s a luno s justific a m a sua re sp o sta re fe rind o o d o b ro d e 30 e a me ta d e d e um litro .
Fig ura 5 – Re so luç ã o d e Dua rte e Tia g o d a sub ta re fa 3 – Ta re fa 13
Fina lme nte , um te rc e iro a sp e to re ve la d o , re fe re -se à p re fe rê nc ia d e a lg uns a luno s p o r d e te rmina d o s p ro c e d ime nto s. Efe tiva me nte , a p e sa r d a multip lic id a d e d e p ro c e d ime nto s e vid e nc ia d a p e la turma e m g e ra l e d a e vo luç ã o ma nife sta d a , há a lg uns a luno s q ue p re fe re m um p a rtic ula r, me smo q ua nd o e ste nã o se re ve le o ma is a d e q ua d o p e ra nte um d a d o p ro b le ma .
Fig ura 6 – Re so luç ã o d e Ana Rita e Mig ue l d a sub ta re fa 2 – ta re fa 20
Po ste rio rme nte , Ana Rita e Mig ue l re c o rre m a o me smo p ro c e d ime nto na ta re fa 26 – Minia tura s d e a nima is, uma o utra situa ç ã o d e d ivisã o , o nd e é p re c iso sa b e r c o mo re p a rtir ig ua lme nte 256 minia tura s d e a nima is p o r 8 c ria nç a s.
Fig ura 7 – Re so luç ã o d e Ana Rita e Mig ue l d e uma p a rte d a ta re fa 26
se u uso , uma ve z q ue o me smo se mo stro u e fic a z e m re so luç õ e s a nte rio re s. Po r isso , d ura nte a lg um te mp o , nã o se nte m ne c e ssid a d e d e o a lte ra r, re fina r o u sub stituir p o r o utro . O p ro c e d ime nto usa d o é e xp lic ita d o na d isc ussã o c o le tiva à vo lta d a ta re fa .
Ana Rita – Nó s vimo s q ue tínha mo s d e fa ze r 256:8 […]. C o mo a ind a nã o sa b ía mo s o re sulta d o [q uo c ie nte d a d ivisã o ], fize mo s p o r multip lic a ç õ e s.
Pro fe sso ra – O s o utro s g rup o s ta mb é m p e nsa ra m a ssim ma s fize ra m d e ma ne ira d ife re nte . O ra , c o ntinue m a e xp lic a r.
Ana Rita – Nó s ta mb é m te ntá mo s […] ma s nã o c o nse g uimo s […].
Pro fe sso ra – Ma s e xp liq ue m lá a vo ssa ma ne ira .
Ana Rita – Nó s fo mo s fa ze nd o a ta b ua d a to d a a té a o 32.
G uilhe rme – Ma s c o mo é q ue sa b ia m q ue p a ra va a í? Q ua nta s ve ze s fize ra m a ta b ua d a ? Ana Rita – Sa b ía mo s p o rq ue 32×8 é 256, o núme ro d a s m inia tura s.
Pro fe sso ra – E é fá c il fa ze r d e sta ma ne ira ?
Ana Rita – Ma is o u me no s.
Pro fe sso ra – E p o rq uê ma is o u me no s?
Ana Rita – Po r c a usa d e d e mo ra r a lg um te mp o e q ue m nã o sa b e a ta b ua d a p o d e e ng a na r-se .
Pro fe sso ra – E c o mo p o d ia m fa ze r d e ma ne ira ma is rá p id a e se m se e ng a na re m?
Ana Rita – Pa ssa r lo g o d e 10 ve ze s p a ra 20 e d e p o is p a ra 30 ve ze s.
Ana Rita fund a me nta o se u mo d o d e p e nsa r e vid e nc ia nd o q ue re c o nhe c e se r um p ro b le ma d e d ivisã o e e xp lic ita nd o a sua o p ç ã o p o r um p ro c e d ime nto d e multip lic a ç ã o , uma ve z q ue a ind a nã o c o nhe c e p ro c e d ime nto s a sso c ia d o s à d ivisã o . Um c o le g a , G uilhe rme , c o lo c a -lhe uma q ue stã o so b re “ sa b e r q ua nd o p a ra r”, à q ua l re sp o nd e , mo stra nd o c o mp re e nd e r o p ro c e d ime nto q ue uso u. Inte rp e la d a p e la p ro fe sso ra , c o nse g ue id e ntific a r o s risc o s d o se u uso e p a re c e a va nç a r p a ra um p ro c e d ime nto d o me smo tip o , ma is e fic a z, re c o rre nd o a fa to re s múltip lo s d e 10.
a na lisa d o s e vid e nc ia m a imp o rtâ nc ia d e ssa s d isc ussõ e s e , e m p a rtic ula r, a e xp lic ita ç ã o e justific a ç ã o d o s ra c io c ínio s d o s a luno s, na e vo luç ã o d o s se us p ro c e d ime nto s, ta l c o mo e xe mp lific á mo s no e p isó d io c e ntra d o na re so luç ã o d e Ana Rita e Mig ue l. Efe tiva me nte , a p ro g re ssã o d o s a luno s p a re c e , ta mb é m, e sta r a sso c ia d a à c ultura d e sa la d e a ula q ue fo i se nd o c o nstruíd a p e la p ro fe sso ra , o nd e c o e xistira m mo me nto s d e tra b a lho ind ivid ua l o u a p a re s c o m mo me nto s d e d isc ussã o c o le tiva . Ne sta s, a o rq ue stra ç ã o p e la p ro fe sso ra fo i e sse nc ia l, c e ntra nd o -a s n-a s re l-a ç õ e s e n-a s p ro p rie d -a d e s d -a multip lic -a ç ã o e e st-a b e le c e nd o p o nte s c o m ta re fa s a nte rio re s.
A e vo luç ã o d o s p ro c e d ime nto s nã o é , a ind a a ssim, line a r ne m se ma nife sta d o me smo mo d o e m to d o s o s a luno s. Alg uns p e rsiste m ma is te mp o e m d e te rmina d o s p ro c e d ime nto s, o q ue p a re c e re la c io na r-se c o m c a ra c te rístic a s p a rtic ula re s d a s ta re fa s, c o mo o c o nte xto e o tip o e g ra nd e za d o s núme ro s e nvo lvid o s.
O s p ro b le ma s c o m um c o nte xto d e d ivisã o , p a rtic ula rme nte , p a re c e m te r p ro vo c a d o , e m a lg uns a luno s, o re g re sso a p ro c e d ime nto s me no s p o te nte s, q ua nd o já re c o rria m, c o m fa c ilid a d e , a p ro c e d ime nto s b a se a d o s na s p ro p rie d a d e s d a multip lic a ç ã o , uma ve z q ue a s ta re fa s d e d ivisã o fo ra m intro d uzid a s d e p o is d e o s a luno s te re m re so lvid o b a sta nte s ta re fa s d e multip lic a ç ã o (ve r Ta b e la 1). O ma io r g ra u d e c o mp le xid a d e a sso c ia d o a o s c o nte xto s d e d ivisã o te ve c o mo c o nse q uê nc ia s q ue a lg uns a luno s nã o fo ra m c a p a ze s d e o s re so lve r o u fize ra m -no inc o rre ta me nte , e nq ua nto o utro s o pta ra m p o r p ro c e d ime nto s a d itivo s o u sub tra tivo s.
Ap re se nta mo s o e xe mp lo d e Jo a na , d a ta re fa 19 – C o le c io na r c a rta s, q ue o pta p o r um p ro c e d ime nto d e sub tra ç õ e s suc e ssiva s, p a ra d e te rmina r q ua nta s fo lha s d e c a d e rne ta sã o ne c e ssá ria s p a ra g ua rd a r uma c o le ç ã o d e 96 c a rta s, se c a d a fo lha le va r o ito .
Jo a na e xp lic ita o se u ra c io c ínio na d isc ussã o c o le tiva : “Eu fiz 96 me no s 8, sã o 82 e fiq ue i c o m 1 fo lha d a c a d e rne ta c he ia . De p o is fiz 82 me no s 8 e fiq ue i c o m 74, e fiz se mp re a ssim”. O se u p ro c e d ime nto p a re c e se r sug e rid o p e lo c o nte xto , uma situa ç ã o d e d ivisã o p o r me d id a . Efe tiva me nte , a sua inte rp re ta ç ã o d a situa ç ã o , muito lig a d a a o c o nte xto , le va -a a o pta r p o r sub tra ç õ e s suc e ssiva s, p ró xima s d a a ç ã o d e c o lo c a r c a rta s numa c a d e rne ta .
Fina lme nte , o s núme ro s utiliza d o s na s ta re fa s p ro p o sta s ta mb é m p a re c e m te r influe nc ia d o o s p ro c e d ime nto s d o s a luno s. Q ua nd o o s a luno s re so lve m ta re fa s c o m núme ro s ra c io na is nã o ne g a tivo s na re p re se nta ç ã o d e c ima l, o se u c o nhe c ime nto so b re e ste s núme ro s a ind a é p o uc o p ro fund o , p ro vo c a nd o -lhe s d ific uld a d e s. Efe tiva me nte , o s a luno s re ve la m, a ind a , p o uc o à -vo nta d e no c á lc ulo c o m e ste s “ no vo s” núme ro s, intro d uzid o s no me smo a no le tivo d a e xp e riê nc ia d e e nsino . C o mo c o nse q uê nc ia s, id e ntific a m -se ta nto o re to rno a p ro c e d ime nto s me no s e fic a ze s, c o mo o se u uso inc o rre to . Em a lg uns c a so s, a p o uc a d e stre za no c á lc ulo c o m e ste s núme ro s a c a rre ta , ta mb é m, a nã o re so luç ã o d a s ta re fa s. As d ific uld a d e s d e a lg uns a luno s, a sso c ia d a s a o c o nhe c ime nto e c á lc ulo c o m núme ro s na fo rma d e c ima l e o s se us e fe ito s no s p ro c e d ime nto s a q ue re c o rre m, fo ra m e vid e nte s e m q ua se to d a s a s ta re fa s q ue inc lue m núme ro s ne sta re p re se nta ç ã o .
C o nc lusõ e s
O s a luno s re c o rre m a p ro c e d ime nto s muito d ive rsific a d o s q ua nd o re so lve m ta re fa s d e multip lic a ç ã o , e vo luind o g ra d ua lme nte d e p ro c e d ime nto s d e c o nta g e m e a d itivo s p a ra p ro c e d ime nto s multip lic a tivo s, b a se a d o s e m p ro p rie d a d e s d a o p e ra ç ã o , re sulta d o s q ue e stã o d e a c o rd o c o m o q ue a uto re s c o mo Fo sno t & Do lk (2001) e Tre ffe rs & Buys (2008) re fe re m. A e vo luç ã o o b se rva d a e stá fo rte me nte a nc o ra d a na s d isc ussõ e s c o le tiva s fo c a d a s na s re so luç õ e s d o s a luno s e q ue e ra m c uid a d o sa me nte o rq ue stra d a s p e la p ro fe sso ra .
So b re tud o no iníc io d a e xp e riê nc ia d e e nsino , a lg uns a luno s re c o rre m c o m a lg uma fre q uê nc ia a o uso d e d ife re nte s p ro c e d ime nto s p a ra re a liza r um c á lc ulo . Alé m d isso , há a luno s q ue re ve la m uma c la ra p re fe rê nc ia p e lo uso siste má tic o d e um d e te rmina d o tip o d e p ro c e d ime nto s. Este a sp e to é , ig ua lme nte , id e ntific a d o p o r G ilmo re & Pa p a d a to u (2009) na me ta -a ná lise q ue re a liza ra m e q ue sa lie nta a e xistê nc ia d e um g rup o d e c ria nç a s q ue se fo c a num d e te rmina d o p ro c e d ime nto e nã o o a lte ra p e ra nte d ife re nte s situa ç õ e s.
g lo b a lme nte , a o níve l d o d e se nvo lvime nto c urric ula r a sso c ia d o a o e stud o d e sta o p e ra ç ã o . De fa c to , a a ná lise d o s p ro c e d ime nto s d o s a luno s e d a sua e vo luç ã o p o d e o rie nta r a se q ue nc ia ç ã o d o e nsino e a jud a r o s p ro fe sso re s a d e c id ir “o q ue ve m a se g uir” p e ra nte o s mo d o s d e re so luç ã o d e c a d a um (Ell, 2001). Ta mb é m, o c o nhe c ime nto so b re o s p ro c e d ime nto s usa d o s p e lo s a luno s na re so luç ã o d e ta re fa s d e multip lic a ç ã o e so b re o mo d o c o mo e vo lue m é um c o ntrib uto p a ra d e line a r tra je tó ria s e fe tiva s d e a p re nd iza g e m d e sta o p e ra ç ã o .
No ta : Pro je to a p o ia d o p e lo Instituto Po lité c nic o d e Se túb a l e p e la Fund a ç ã o p a ra
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No ta s
1 Na tra je tó ria d e a p re nd iza g e m fo ra m inc luíd a s ta re fa s c o m c o nte xto s d e d ivisã o q ue o s a luno s re so lve ra m usa nd o , so b re tud o , a
