QUESTÕES DE SALA
01. (UNIHERC) Três polígonos convexos têm n, n+1, n+2 lados, respectivamente. Sendo 2700º a soma de todos os ângulos internos dos três polígonos, determine o valor de n.
02. (VUNESP) Determine a medida do ângulo formado pelos prolongamentos dos lados 𝐴𝐵̅̅̅̅ e 𝐶𝐷̅̅̅̅ de um polígono regular ABCD de 20 lados.
a) 36º b) 50º c) 120º d) 144º e) 18º
03. (CFTMG/2020) A figura abaixo representa um pentágono regular estrelado, inscrito em uma circunferência.
A soma dos ângulos em destaque é igual a a) 90
b) 120 c)180 d)224
04. (IFPE/2019) Em uma olimpíada de robótica, o robô BESOURO caminha de fora do círculo de manobras e, após se apresentar, retorna ao ponto inicial conforme a figura a seguir.
Considerando que o caminho percorrido pelo robô está indicado pelas setas, qual o ângulo x formado entre o caminho de saída e o caminho de retorno do robô ao ponto inicial? a) 28 b) 22 c) 21 d) 49 e) 56
TAREFA DO DIA SEGUINTE T01. Na figura a seguir, calcule o ângulo .α
Dica: Use o resultado do ângulo externo de um triângulo. a) 30º.
b) 33º. c) 37º. d) 38º. e) 42º.
TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES:
A palavra polígono tem origem no grego e significa ter muitos lados ou ângulos. Eles foram estudados pelo grande Geômetra Euclides de Alexandria em sua obra Os elementos.
T02. (IFSUL) Quantos lados têm um polígono cujo número total de diagonais é igual ao quádruplo do seu número de vértices?
a) 10 b) 11 c) 13 d) 9
T03. (IFSUL) Quantos lados têm um polígono cuja soma dos ângulos internos e externos é 1980º ?
a) 8 b) 11 c) 13 d) 17
2 T04. (IFSUL) Sabe-se que a medida de cada ângulo interno de um polígono regular é 144º, então qual é o número de diagonais de tal polígono?
a) 10 b) 14 c) 35 d) 72
T05. (UTFPR) Os ângulos externos de um polígono regular medem 15º. O número de diagonais desse polígono é: a) 56.
b) 24. c) 252. d) 128. e) 168.
T06. (UECE) Se, em um polígono convexo, o número de lados n é um terço do número de diagonais, então o valor de n é
a) 9. b) 11. c) 13. d) 15.
T07. (UEPG) O polígono regular P1 tem n lados e o polígono
regular P2 tem n + 2 lados. Se o ângulo externo de P1
excede o ângulo externo de P2 em 15º, assinale o que for
correto.
01) O polígono P2 é um octógono.
02) Cada ângulo interno de P2 vale 120º.
04) O número de diagonais de P1 é 12.
08) O número de diagonais de P2 é 20.
16) A soma dos ângulos internos de P1 é 540º.
T08. Um dos esportes que mais tem atraído o público nos últimos anos é o MMA, em que as lutas são disputadas dentro de um ringue com a forma de um octógono regular. Segundo seu criador, Rorion Gracie, um dos fatores que levou à escolha deste formato de ringue foi o fato de seus ângulos internos evitarem que os lutadores fiquem presos nos cantos.
Quanto mede cada um dos ângulos internos de um octógono regular?
T09. (UFT) Um polígono convexo de 6 lados tem as medidas de seus ângulos internos formando uma progressão aritmética de razão igual a 6º. Logo, podemos afirmar que o seu menor ângulo mede:
a) 90º b) 105º c) 115º d) 118º e) 120º T10. (PUC-RJ)
Considere o pentágono regular ABCDE. Quanto vale o ângulo ACE? a) 24° b) 30° c) 36° d) 40° e) 45°
T11. (PUC-RJ) Os ângulos internos de um quadrilátero medem
3x - 45, 2x + 10, 2x + 15 e x + 20 graus. O menor ângulo mede: a) 90° b) 65° c) 45° d) 105° e) 80°
T12. (UNIFESP) Pentágonos regulares congruentes podem ser conectados, lado a lado, formando uma estrela de cinco pontas, conforme destacado na figura.
Nestas condições, o ângulo mede a) 108°.
b) 72°. c) 54°. d) 36°. e) 18°.
T13. (ITA) Considere três polígonos regulares tais que os números que expressam a quantidade de lados de cada um constituam uma progressão aritmética. Sabe-se que o produto destes três números é igual a 585 e que a soma de todos os ângulos internos dos três polígonos é igual a 3780°. O número total das diagonais nestes três polígonos é igual a: a) 63 b) 69 c) 90 d) 97 e) 106 T14. (UFES)
Na figura acima, as retas r e s são paralelas.
A soma + + + das medidas dos ângulos indicados na figura é a) 180° b) 270° c) 360° d) 480° e) 540°
T15. (FUVEST) Dois ângulos internos de um polígono convexo medem 130° cada um e os demais ângulos internos medem 128° cada um. O número de lados do polígono é a) 6 b) 7 c) 13 d) 16 e) 17
T16. (MACK) Os ângulos externos de um polígono regular medem 20°. Então, o número de diagonais desse polígono é: a) 90 b) 104 c) 119 d) 135 e) 152
T17. (ENEM) Durante seu treinamento, um atleta percorre metade de uma pista circular de raio R, conforme figura a seguir. A sua largada foi dada na posição representada pela letra L, a chegada está representada pela letra C e a letra A representa o atleta. O segmento LC é um diâmetro da circunferência e o centro da circunferência está
representado pela letra F.
Sabemos que, em qualquer posição que o atleta esteja na pista, os segmentos LA e AC são perpendiculares. Seja θ o ângulo que o segmento AF faz com segmento FC.
Quantos graus mede o ângulo θ quando o segmento AC medir R durante a corrida?
a) 15 graus b) 30 graus c) 60 graus d) 90 graus e) 120 graus
T18. (FUVEST) Na figura, B, C e D são pontos distintos da circunferência de centro O, e o ponto A é exterior a ela. Além disso,
(1) A, B, C, e A, O, D, são colineares; (2) AB = OB;
(3) CÔD mede radianos.
Nessas condições, a medida de A
ˆB
O, em radianos, é igual a: a) - (/4) b) - (/2) c) - (2/3) d) - (3/4) e) - (3/2)T19. (FGV) Dado um pentágono regular ABCDE, constrói-se uma circunferência pelos vértices B e E de tal forma que BC e ED sejam tangentes a essa circunferência, em B e E, respectivamente.
A medida do menor arco BE na circunferência construída é a) 72°.
b) 108°. c) 120°. d) 135°. e) 144°.
4 T20. (CFTMG) Na figura, os segmentos PB e PD são secantes à circunferência, as cordas AD e BC são
perpendiculares e
AP = AD. A medida x do ângulo BPD é
a) 30° b) 40° c) 50° d) 60°
T21. (CFTMG) Na figura, os triângulos ABC e BCD estão inscritos na circunferência. A soma das medidas m + n, em graus, é a) 70 b) 90 c) 110 d) 130 T22. (MACK)
O ângulo da figura mede: a) 60°
b) 55° c) 50° d) 45° e) 40°
T23. (UFES) Na figura, A, B, C e D são pontos de uma circunferência, a corda CD é bissetriz do ângulo A
ˆC
B e as cordas AB e AC têm o mesmo comprimento. Se o ângulo BÂD mede 40°, a medida á do ângulo BÂC éa) 10° b) 15° c) 20° d) 25° e) 30°
T24. (FATEC) Na figura a seguir, o triângulo APB está inscrito na circunferência de centro C.
Se os ângulos assinalados têm as medidas indicadas, então x é igual a: a) 23°45' b) 30° c) 60° d) 62°30' e) 66°15'
T25. (UFMG) Observe a figura.
Nessa figura, BD é um diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo ABC, e os ângulos A
ˆB
D e AÊD medem, respectivamente, 20° e 85°.Assim sendo, o ângulo C
ˆB
D mede a) 25°b) 35° c) 30° d) 40°
T26. Um quadrilátero ABCD está inscrito numa circunferência. Sabendo que os arcos AB, BC e CD valem, respectivamente, 80°, 110° e 90°, determine todos os ângulos do quadrilátero.
T27. Calcule o valor de x na figura a seguir
T28. Seja o pentágono PQRST da figura, inscrito na circunferência de centro 0. Sabe-se que POQ mede 70°. Chamando de x e y os ângulos PTS e QRS, respectivamente, determine x + y.
T29. (ESPCEX/2020) Na figura abaixo ABCDEF é um hexágono regular de lado igual a 1, ABMN e CDVU são quadrados.
Com base nessas informações, a medida do segmento VN é igual a a) 2− 3. b) 2 3. 3 − c) 1 3. 3 − d) 3 1.− e) 3. 3
T30. (IFPE/2019) “Há uns dez anos, um aluno, cujo nome infelizmente não recordo, apareceu na escola com algumas peças de seu artesanato. Trabalhando com madeira, pregos e linhas de várias cores, ele compunha paisagens, figuras humanas e motivos geométricos. Foi a primeira vez que vi esse tipo de artesanato. Depois disso, vi muitos outros trabalhos na mesma linha (sem trocadilho!). Certo dia, folheando um livro, vi o desenho de um decágono regular e suas diagonais:”
Disponível em: <http://www.rpm.org.br/cdrpm/7/8.htm>. Acesso em: 04 maio 2019 (adaptado).
Observe que, no decágono que ilustra o texto acima, o aluno citado usou vários pedaços de linha para compor os lados e as diagonais do polígono. Cada lado e cada diagonal foi construído com, exatamente, um pedaço de linha. A quantidade de pedaços de linha usados para formar as diagonais do decágono é a) 50. b) 70. c) 25. d) 40. e) 35.
T31. (ENEM/2020) Azulejo designa peça de cerâmica vitrificada e/ouesmaltada usada, sobretudo, no revestimento de paredes.A origem das técnicas de fabricação de azulejos é oriental, mas sua expansão pela Europa traz consigo umadiversificação de estilos, padrões e usos, que podem ser decorativos, utilitários e arquitetônicos.
Disponível em: www.itaucultural.org.br. Acesso em: 31 jul. 2012. Azulejos no formato de octógonos regulares serãoutilizados para cobrir um painel retangular conformeilustrado na figura.
6 Entre os octógonos e na borda lateral dessa área, seránecessária a colocação de 15 azulejos de outros formatospara preencher os 15 espaços em branco do painel. Umaloja oferece azulejos nos seguintes formatos: 1 – Triângulo retângulo isósceles;
2 – Triângulo equilátero; 3 – Quadrado.
Os azulejos necessários para o devido preenchimento dasáreas em branco desse painel são os de formato a)1.
b)3. c)1 e 2. d)1 e 3. e)2 e 3.
T32. (UECE/2019) Considere MXYZW um pentágono regular e XYO um triângulo equilátero em seu interior (o vértice O está no interior do pentágono). Nessas condições, a medida, em graus, do ângulo XOZˆ é
a) 116. b) 96. c) 126. d) 106.
T33. (IFCE/2019) O polígono regular convexo cujo ângulo interno é 7
2 do seu ângulo externo é a) octógono.
b) dodecágono. c) decágono. d) icoságono. e) eneágono
T34. (IFPE/2019) A logomarca da Texaco, grande empresa no ramo de combustíveis, é composta por uma estrela de cinco pontas inscrita em uma circunferência. As cinco pontas dessa estrela dividem a circunferência em cinco partes congruentes.
Disponível em: <http://www.logosvectorfree.com/page/2/>. Acesso em: 06 maio 2019.
De acordo com as informações fornecidas acima, é CORRETO afirmar que o ângulo θ de uma das pontas da estrela é de a) 60 . b) 30 . c) 45 . d) 36 . e) 72 .
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: FÍSICA PARA POETAS
O ensino da física sempre foi um grande desafio. Nos últimos anos, muitos esforços foram feitos com o objetivo de ensiná-la desde as séries iniciais do ensino fundamental, no contexto do ensino de ciências. Porém, como disciplina regular, a física aparece no ensino médio, quando se torna “um terror” para muitos estudantes.
1Várias pesquisas vêm tentando identificar quais são as
principais dificuldades do ensino de física e das ciências em geral. Em particular, a queixa que sempre se detecta é que
2os estudantes não conseguem compreender a linguagem
matemática na qual, muitas vezes, os conceitos físicos são expressos. Outro ponto importante é que as questões que envolvem a física são apresentadas fora de uma contextualização do cotidiano das pessoas, o que dificulta seu aprendizado. Por fim, existe uma enorme carência de professores formados em física para ministrar as aulas da disciplina.
As pessoas que vão para o ensino superior e que não são da área de ciências exatas praticamente nunca mais têm contato com a física, da mesma maneira que os estudantes de física, engenharia e química poucas vezes voltam a ter contato com a literatura, a história e a sociologia. É triste notar que 3a especialização na formação dos indivíduos
costuma deixá-los distantes de partes importantes da nossa cultura, da qual as ciências físicas e as humanidades fazem parte.
Mas vamos pensar em soluções. Há alguns anos, 4ofereço
um curso chamado “Física para poetas”. A ideia não é original – ao contrário, é muito utilizada em diversos países e aqui mesmo no Brasil. Seu objetivo é apresentar a física sem o uso da linguagem matemática e tentar mostrá-la próxima ao cotidiano das pessoas. Procuro destacar a beleza dessa ciência, associando-a, por exemplo, à poesia e à música.
Alguns dos temas que trabalho em “Física para poetas” são inspirados nos artigos que publico. Por exemplo, 5“A busca
pela compreensão cósmica” é uma das aulas, na qual apresento a evolução dos modelos que temos do universo. Começando pelas visões místicas e mitológicas e chegando até as modernas teorias cosmológicas, falo sobre a busca por responder a questões sobre a origem do universo e, consequentemente, a nossa origem, para compreendermos o nosso lugar no mundo e na história. Na aula “Memórias de um carbono”, faço uma narrativa de um átomo de carbono contando sua história, em primeira pessoa, desde seu nascimento, em uma distante estrela que morreu há bilhões de anos, até o momento em que sai pelo nariz de uma pessoa respirando. Temas como
astronomia, biologia, evolução e química surgem ao longo dessa aula, bem como as músicas “Átimo de pó” e “Estrela”, de Gilberto Gil, além da poesia “Psicologia de um vencido”, de Augusto dos Anjos.
Em “O tempo em nossas vidas”, apresento esse fascinante conceito que, na verdade, vai muito além da física: está presente em áreas como a filosofia, a biologia e a psicologia. Algumas músicas de Chico Buarque e Caetano Veloso, além de poesias de Vinicius de Moraes e Carlos Drummond de Andrade, ajudaram nessa abordagem. Não faltou também “Tempo Rei”, de Gil.
A arte é uma forma importante do conhecimento humano. Se músicas e poesias inspiram as mentes e os corações, podemos mostrar que a ciência, em particular a física, também é algo inspirador e belo, capaz de criar certa poesia e encantar não somente aos físicos, mas a todos os poetas da natureza.
ADILSON DE OLIVEIRA Adaptado de cienciahoje.org.br, 08/08/2016. T35. (UERJ/2019)
FÍSICA
Colho esta luz solar à minha volta, No meu prisma a disperso e recomponho: Rumor de sete cores, silêncio branco.
JOSÉ SARAMAGO Na imagem a seguir, o triângulo ABC representa uma seção plana paralela à base de um prisma reto. As retas n e n' são perpendiculares aos lados AC e AB, respectivamente, e BÂC=80 .
A medida do ângulo θ entre n e n' é: a) 90
b) 100 c) 110 d) 120
T36. (FGV) A figura abaixo mostra dois quadrados e um triangulo equilátero entre eles.
Determine os ângulos internos do triangulo ABC.
T37. (FGV) As cordas AB e CD de uma circunferência de centro O são, respectivamente, lados de polígonos regulares de 6 e 10 lados inscritos nessa circunferência. Na mesma circunferência, as cordas AD e BC se intersectam no ponto P, conforme indica a figura a seguir.
A medida do ângulo BPD, indicado na figura por , é igual a: a) 120º. b) 124º. c) 128º. d) 130º. e) 132º.
T38. (CEFET) Na figura a seguir, o pentágono regular está inscrito numa circunferência de centro O e as semirretas PA e PB são tangentes à circunferência nos pontos A e B, respectivamente.
A medida do ângulo APB,ˆ em graus, é igual a: a) 36.
b) 72. c) 108. d) 154.
MICRO-REVISÃO 1
T39. A figura a seguir mostra uma circunferência e dois polígonos. Um dos polígonos é inscrito nessa circunferência e outro, circunscrito a ela.
8 Se M é o número de diagonais do polígono inscrito e N é o número de diagonais do polígono circunscrito, a razão entre M e N é igual a a) 7. 5 b) 5. 7 c) 14. 5 d) 5 . 14
T40. (PUC-SP) Atribui-se aos pitagóricos a ideia de números figurados. Esses números expressam configurações geométricas e representam um elo entre a geometria e a aritmética.
A tabela mostra alguns desses números e suas respectivas expressões algébricas gerais, em que n é um número natural diferente de zero.
Números
figurados Oblongos Pentagonais Hexagonais Expressões algébricas gerais n(n 1)+ n(3n 1) 2 − 2 2n −n Fonte: Carl B. Boyer: História da matemática – Editora Edgard
Blücher – 1974 (Adaptado) Sabendo que para determinado valor de n, o número pentagonal correspondente possui 3 unidades a menos que o número hexagonal, então, o valor do número oblongo que corresponde ao dobro do valor de n é
a) 18. b) 26. c) 34. d) 42.
T41. (FUVEST) Prolongando-se os lados de um octógono convexo ABCDEFGH, obtém-se um polígono estrelado, conforme a figura. A soma α1+ +α8 vale a) 180 . b) 360 . c) 540 . d) 720 . e) 900 .
T42. (CFTMG) Considere um hexágono regular ABCDEF. A partir dos pontos médios dos lados traça-se um novo hexágono A 'B'C'D'E'F'.
A medida do ângulo BÂ’B’, em graus, é a) 20
b) 30 c) 40 d) 60
MICRO-REVISÃO 2
T43. (IFPE/2018) Para encontrar quais os assentos em um teatro possibilitam que um espectador veja todo o palco sob um ângulo de visão determinado, utilizamos o conceito de “arco capaz”. A esse respeito, analise a figura abaixo:
O “arco capaz do ângulo θ θ ( 90 ) sobre o segmento AB" corresponde ao arco maior da circunferência representada na figura acima, que possui centro em O, e tem AB como corda. Como os ângulos APB e AMB são ângulos inscritos nessa circunferência e determinam o mesmo arco, eles têm a mesma medida. Esses ângulos são conhecidos como “inscritos”. Considere o arco capaz de 60º sobre o segmento AB representado abaixo.
Qual é o valor do ângulo α = OÂB, sabendo que O é o centro da circunferência?
a) 30 . b) 36 . c) 20 . d) 60 . e) 45 .
T44. Alguns polígonos regulares, quando postos juntos, preenchem o plano, isto é, não deixam folga, espaço entre si. Por outro lado, outras combinações de polígonos não preenchem o plano.
A seguir, exemplos desse fato: a Figura 1, formada por hexágonos regulares, preenche o plano; a Figura 2, formada por pentágonos e hexágonos regulares, não preenche o plano.
Na Figura 2, a medida do ângulo é igual a x a) 14 .
b) 12 . c) 10 . d) 8 .
T45. O mosaico a seguir é formado por pentágonos regulares e losangos.
A soma das medidas dos ângulos x, y e z é igual a a) 252 .
b) 288 . c) 324 . d) 360 .
T46. (ENEM/2018) As Artes Marciais Mistas, tradução do inglês: MMA – mixed martial arts são realizadas num octógono regular. De acordo com a figura, em certo momento os dois lutadores estão respectivamente nas posições G e F, e o juiz está na posição I. O triângulo IGH é equilátero e GIF é o ângulo formado pelas semirretas ˆ com origem na posição do juiz, respectivamente passando
pelas posições de cada um dos lutadores.
A medida do ângulo GIFˆ é a) 120 b) 75 c) 67,5 d) 60 e) 52,5 MICRO-REVISÃO 3
T47. (MACK) As medidas dos ângulos assinalados na figura a seguir formam uma progressão aritmética. Então, necessariamente, um deles sempre mede:
a) 108°
b) 104°
c) 100°
d) 86°
e) 72°
T48. (USF) O polígono regular cujo ângulo interno mede o triplo do ângulo externo é o
a) pentágono b) hexágono c) octógono d) decágono e) dodecágono
T49. (MACK) Os ângulos externos de um polígono regular medem 20°. Então, o número de diagonais desse polígono
é: a) 90 b) 104 c) 119 d) 135 e) 152
10 T50. O ângulo x, na figura a seguir, mede:
a) 60° b) 80° c) 90° d) 100° e) 120°
GABARITO - TAREFA DO DIA SEGUINTE
T01: B T02: B T03: B T04: C T05: C T06: A T07: 01 + 08 = 09 T08: 135º T09: B T10: C T11: B T12: D T13: D T14: E T15: B T16: D T17: C T18: C T19: E T20: A T21: A T22: C T23: C T24: E T25: A T26: A = 100º, B = 85º, C = 80º E D = 95º T27: X = 20º T28: 20 T29: A T30: E T31: D T32: C T33: E T34: D T35: B
T36: ABC = 60°, BAC = 75° BCA = 45° T37: E T38: C GABARITO - MICRO-REVISÃO 1 T39: D T40: D T41: B T42: B GABARITO - MICRO-REVISÃO 2 T43: A T44: B T45: B T46: E GABARITO - MICRO-REVISÃO 3 T47: A T48: C T49: D T50: B
