INPE-13075-PUD/175
MODELAGEM E CONTROLE DE ESTRUTURAS
ESPACIAIS FLEXÍVEIS
Marcelo Ricardo Alves da Costa Tredinnick
Exame de Qualificação de Doutorado (segundo tema) do Curso de Pós-Graduação em Engenharia e Tecnologia Espaciais, orientado pelo Dr. Marcelo Lopes de Oliveira e
Souza, aprovado em 24 de maio de 2005.
INPE São José dos Campos
AGRADECIMENTOS
Agradeço aos Professores Marcelo Lopes de Oliveira e Souza e Dr. Luiz Carlos Gadelha de Souza pelos ensinamentos a respeito de Modelagem e Controle de Estruturas Espaciais Flexíveis e aos demais membros da banca desse Exame de Qualificação de Doutorado pelas valiosas observações e comentários feitos: Gilberto da Cunha Trivelato e Mário Cezar Ricci.
RESUMO
Neste trabalho pretende-se dar uma visão superficial das principais técnicas de modelagem e controle aplicados a estruturas flexíveis que tem particular interesse em aplicações espaciais. Os métodos de modelagem matemática tem a sua teoria apresentada de forma encadeada o que facilita a compreensão dos mesmos dado que podemos ver claramente como surge cada método partindo de um anterior. Os métodos de modelagem matemática apresentados aqui são: princípio do trabalho virtual, princípio e D’alembert, as equações de Euler-Lagrange, o método dos modos assumidos (ou modos admitidos), o método dos elementos finitos. Na parte que trata de controle serão abordados os seguintes métodos: controle modal, LQR/LQG, H2 e Hinf.
MODELING AND CONTROL OF SPACE FLEXIBLE STRUCTURES
ABSTRACT
In this work we aim to give an overview about the main techniques in modeling and control applied to flexible structures that has particular interest in space applications. The mathematical modeling methods has its theory presented in chained form that makes easy the comprehension because we can see as arises a method from the previous. The modeling methods presented are: virtual work principle, D’Alembert principle, Euler-Lagrange equations, Assumed Modes method, Finite Elements method. In the control part it will be explained the following methods: modal control, LQR/LQG, H2 and Hinf.
SUMÁRIO
Pág.
LISTA DE FIGURAS ... 15
LISTA DE TABELAS ... 17
CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO... 19
CAPÍTULO 2 PRINCÍPIOS: DO TRABALHO VIRTUAL, D’ALEMBERT, ESTENDIDO E GENERALIZADO DE HAMILTON ... 21
2.1 PRINCÍPIO DO TRABALHO VIRTUAL. ...21
2.2 PRINCÍPIO DE D’ALEMBERT: ...24
2.3 PRINCÍPIO DE HAMILTON:...26
CAPÍTULO 3 ABORDAGEM LAGRANGEANA DAS EQUAÇÕES DO MOVIMENTO ... 35
CAPÍTULO 4 VIGAS DE EULER-BERNOULI E TIMOSHENKO ... 41
CAPÍTULO 5 O PROBLEMA DIFERENCIAL DO AUTOVALOR... 45
CAPÍTULO 6 MÉTODO DOS MODOS ASSUMIDOS ... 51
CAPÍTULO 7 CONCEITO DE MODELAGEM PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS... 59
7.1 MOVIMENTOAXIAL...59
7.2 MOVIMENTO TRANSVERSAL...62
7.3 MOVIMENTO DE TORÇÃO ...68
7.4 DINÂMICA ENVOLVENDO TRELIÇAS - MÉTODO DO DESLOCAMENTO ...70
CAPÍTULO 8 CONTROLE ANALÓGICO DE ESTRUTURAS FLEXÍVEIS... 75
8.1 CONTROLE VIA REPRESENTAÇÃO EM VARIÁVEIS DE ESTADO MODAIS... 75
8.2 CONTROLELQR...76
8.3 CONTROLE LQG: NORMA MÍNIMA H2...78
8.4 CONTROLEH2...80
8.5 CONTROLE H ∞ ...81
8.6 VANTAGENS E DESVANTAGENS DAS TÉCNICAS DE CONTROLE ABORDADAS...84
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 2. 1- Movimento de uma partícula sobre uma superfície de vínculo... 22
FIGURA 2.2 - Interpretação gráfica de um deslocamento virtual. ... 27
FIGURA 3.1- Trajetórias real e perturbada... 36
FIGURA 4.1- Viga de Euler-Bernouli. ... 41
FIGURA 4.2 - Viga de Timoshenko. ... 42
FIGURA 5. 1 – Diversos tipos de arranjos com uma viga, as equações transcendentais e modos de vibração correspondentes. ... 49
FIGURA 7.1 – Um elemento uniforme sujeito à deformação longitudinal. ... 60
FIGURA 7.2 – Funções de forma para o elemento longitudinal... 60
FIGURA 7.3 – Deflexão transversal na viga de Euler-Bernouli... 62
FIGURA 7.4 – funções de forma para a deformação transversal... 67
FIGURA 7. 5 – elemento de viga sofrendo torção... 69
FIGURA 7.6 – sistema de eixos coordenados de uma treliça. ... 70
FIGURA 7.7– Decomposição dos deslocamentos longitudinais da viga em componentes do eixo global. ... 71
FIGURA 8.1– Diagrama em blocos de realimentação com a presença de “variáveis exógenas”... 78
FIGURA 8.2 – Estrutura em blocos do Controlador H2... 81
LISTA DE TABELAS
19
CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO
A modelagem de sistemas considerando a flexibilidade como elemento relevante tem aumentado consideravelmente nas últimas décadas devido principalmente ao aumento das exigências da demanda de serviços de sistemas com estruturas flexíveis e aos problemas associados à interação estrutura & controle (CSI – “Control Structure Interaction”). A modelagem de estruturas flexíveis pode ser considerado relevante, por exemplo, em projetos de: a) segmento aeroespacial: satélites artificiais com grandes painéis solares, estações espaciais, veículos lançadores de satélites, ônibus espaciais, aviões, etc.; b) segmento industrial: usinagens de alta precisão, manipuladores robóticos flexíveis, nanotecnologia, etc. Torna-se relevante assim estudarmos alguns métodos matemáticos para modelagem de sistemas físicos como esses.
Serão apresentados tópicos didáticos que nos possibilitarão compreender como modelar uma estrutura flexível, tais como: princípio extendido e generalizado de Hamilton, abordagem lagrangeana, problema diferencial do autovalor, ortogonalidade de modos naturais, resposta completa para o comportamento de uma estrutura flexível, métodos dos modos assumidos e o método dos elementos finitos.
Compreendido como se faz a modelagem de estruturas flexíveis, entenderemos posteriormente também como controlar o seu comportamento.
21
CAPÍTULO 2
PRINCÍPIOS: DO TRABALHO VIRTUAL, D’ALEMBERT, ESTENDIDO E GENERALIZADO DE HAMILTON
O princípio de Hamilton é o mais famoso princípio variacional da Mecânica, é conceitualmente simples de ser aplicado, mas possui uma álgebra e cálculo que, na maioria dos casos, torna-se muito tediosa devido a uma grande quantidade de integrações por partes que surgem nos cálculos. As equações de Lagrange que saíram do princípio de Hamilton resolveram esta dificuldade analítica.
O princípio generalizado de Hamilton é definido da seguinte forma (Junkins, 1993; e Meirovitch, 1980):
(
)
∫
2 − +∫
= 1 2 1 0 t t t t ncdt W dt V K δ δ (2.1)onde, K é a energia cinética total, V é a energia potencial, δWnc é o trabalho virtual causado por forças não conservativas tais como o amortecimento, onde o “δ” que aparece em (2.1) indica uma variação das funções.
Para deduzir o princípio generalizado de Hamilton precisamos dos princípios do trabalho virtual e de D’Alembert.
2.1 PRINCÍPIO DO TRABALHO VIRTUAL.
Seja o movimento de uma partícula sobre uma superfície de vínculo f tal como mostrado na Figura 2.1 onde drdt é a velocidade da partícula sobre a superfície de vínculo (tangencial à esta superfície) e ∇rf é o gradiente da superfície de vínculo, normal à mesma.
22 ∇f dr / dt Fv f(x,y) r x y z
FIGURA 2. 1- Movimento de uma partícula sobre uma superfície de vínculo. Pela Figura 2.1 pode-se escrever: Como
dt r d f ⊥ ∇r temos, 0 . = ∇ dt r d f r (2.2) 0 . = ∇rf dr (2.3)
Imagine que esta partícula interaja com a superfície de vínculo de forma que uma força normal Fv (força devida ao vínculo) surja, logo,
f Fv // ∇r (2.4) v F k f = . ∇r (2.5)
Substituindo a Equação (2.5) na Equação (2.3) temos: 0 . .F dr = k v (2.6) 0 .dr = Fv (2.7)
Como trabalho define-se como força x distância vem da equação (2.7), 0
. = =F dr
dW v (2.8)
Pode haver o caso em que a superfície de vínculo se modifica com o tempo. O procedimento analítico para superar esta dificuldade vem pela introdução do princípio dos deslocamentos virtuais onde se desconsidera a perturbação temporal, daí temos a expressão do princípio do trabalho virtual como segue na equação (2.9):
23 0 . = =F r W vδ δ (2.9)
O princípio do trabalho virtual pode ser enunciado da seguinte forma: o trabalho feito pelas forças de vínculo relativas a deslocamentos virtuais é zero.
Exemplo 1: (Meirovitch, 1970) para o sistema dinâmico apresentado encontre pelo princípio do trabalho virtual a equação do movimento.
Resposta:
(
)
− = = y x g m x k r F W v δ δ δ δ . . . . 0 . . . + = − = kx x mg y W δ δ δComo x=l−l.cos(θ)=(1−cos(θ)).l e y =l.sen(θ) temos os diferenciais: δx θ l m m gr Eixo x δy Eixo y Mola Cte. Elástica k -k.x x l l.cos(θ)
24 δθ θ δ δθ θ δ ). cos( . ). ( . l y sen l x = =
Assim, substituindo na equação de δ vem: W
(
)
(
)
(
..1 cos( ).. ( ) .cos( ))
. 0 0 ). cos( . ). ( . . ) cos( 1 . . = + − − = + − − δθ θ θ θ δθ θ δθ θ θ mgl sen l l k mgl sen l l k Como δθ ≠0 então:(
)
(
)
kl mg mgl sen l l k = − = + − − ) tan( . ) cos( 1 0 ) cos( . ) ( . . ) cos( 1 . . θ θ θ θ θQue é uma equação transcendental do movimento para a coordenada generalizada θ com o sistema em equilíbrio (θ&=θ&&=0).
2.2 PRINCÍPIO DE D’ALEMBERT:
Da segunda lei de Newton (lei da inércia):
•
= p
F (2.10)
onde F é a força resultante de todas as forças presentes no sistema e p• é a derivada do momento linear. Suponha que possamos reescrever F na forma:
∑
∑
+ = j j v i i F F F , (2.11)onde Fi são todas as forças aplicadas e Fv,j são as forças de vínculo. Substituindo a Equação (2.11) na Equação (2.10) teremos o princípio de D’Alembert:
0 , − = +
∑
•∑
F F p j j v i i (2.12)Para chegar ao princípio generalizado de D’Alembert temos que proceder como segue: multiplique a equação (2.12) por um “deslocamento virtual reversível” δ (um r δ e ri δrj
para cada componente):
0 . . . +
∑
, − • =∑
j i j j v i i i r F r p r F δ δ δ (2.13) Sendo,∑
= i j v v F F , (2.14) Temos que,25 0 . . . + − • =
∑
i v j i i i r F r p r F δ δ δ (2.15)Pelo princípio do trabalho virtual (equação 2.9) podemos simplificar a equação (2.15) da seguinte forma: 0 . . − • =
∑
i i i i r p r F δ δ (2.16)Como para cada F aplicada há um i i
p• equivalente, onde
i
i p
F − • é conhecida como “força efetiva”, teremos o princípio generalizado de D’Alembert (Meirovitch, 1970):
0 . = −
∑
• i i i i r p F δ (2.17)É interessante perceber que a lei da conservação da energia pode ser obtida a partir da
equação (2.17) (aproximando δ para uma variação infinitesimal ri dri): 0 . . . . = −
∑
∑
• dt dt r d r m dt d r F i i i i i iδ (2.18)Do cálculo diferencial elementar sabe-se que
dt r r d r dt r d = • • • • . . 2 1 . , logo: 0 . . . . 2 1 . = −
∑
∑
mr• r• dt dt d r F i i i i i i δ (2.19)Sendo o sistema conservativo, sendo K a energia cinética e U a energia potencial, temos que o trabalho pode ser dado por:
∑
= − = i i i dr F U W δ . (2.20) e fazendo: =∑
• • i i i r r m d dK . . . 2 1 (2.21) Teremos, substituindo as Equações (2.20) e (2.21) na Equação (2.19):0 = − −dU dK (2.22)
(
U + K)
=0 d (2.23)26
U K
E = + (2.24)
Logo, podemos concluir que a energia mecânica ou total E (equação 2.24) é uma constante igual à soma das energias cinética e potencial, válida para sistemas em que a energia potencial e os vínculos independem do tempo.
2.3 PRINCÍPIO DE HAMILTON:
Do princípio generalizado de D’Alembert, Equação (2.17), temos: 0 . . = −
∑
•• i i i i mr r F δ (2.25) 0 . . . −∑
=∑
•• i i i i i i i r F r r m δ δ (2.26) Sendo i i i r F W δ δ =∑
. (2.27)o trabalho virtual realizado por todas as forças presentes no sistema (conservativas e não conservativas), e lembrando-se que ri ri ri ri ri ri
dt d • •• • • + = .δ .δ .δ e do cálculo elementar conforme vimos dt r r d dt r d r = • • • • 2. . 1 . , teremos: − = • • • • • i i i i i i r r r r dt d r r . . 2 1 . .δ δ δ (2.28)
Daí vem, aplicando-se as Equações (2.27) e (2.28) na Equação (2.26) teremos, 0 . . 2 1 . . . − = −
∑
∑
r• r m r• r• W dt d m i i i i i i i i δ δ δ (2.29) 0 . . − − = ∑
r• r K W dt d m i i i i δ δ δ (2.30)∑
= + • i i i i r r dt d m W K δ δ δ . . (2.31)27
(
)
∑ ∫
∫
= + • i t t i i i t t r r d m dt W K 2 1 2 1 . . . δ δ δ (2.32)(
)
∑
∫
+ = • 1 2 . . . 2 1 t t r r m dt W K i i i t t δ δ δ (2.33)O segundo membro da equação (2.33) dará zero como pode-se ver pela Figura 2.2: em t1 e t2 a variação δri torna-se nula em relação ao caminho real (newtoniano, ou dinâmico).
δri
t1
t2
Caminho variado
Caminho real
FIGURA 2.2 - Interpretação gráfica de um deslocamento virtual. Logo, a equação (2.33) simplifica-se na seguinte equação:
(
)
. 0 2 1 = +∫
K W dt t t δ δ (2.34)Como δ representa o trabalho virtual de forças conservativas e não conservativas vem W
que NC C W W W δ δ δ = + (2.35)
onde δWC =−δU é o trabalho realizado por forças conservativas e δWNC é o trabalho
realizado por forças não conservativas, daí teremos:
NC
W U
W δ δ
δ =− + (2.36)
Aplicando a Equação (2.36) na Equação (2.34) vem:
(
)
0 2 1 2 1 = + −∫
∫
K U dt W dt t t t t NC δ δ δ (2.37)(
)
0 2 1 2 1 = + −∫
∫
K U dt W dt t t t t NC δ δ (2.38)28
A equação (2.38) é conhecida como princípio generalizado de Hamilton, onde a chamada “lagrangeana“ do sistema é dada por L=K −U o que permite reescrever a equação (2.38)
na forma 0 2 1 2 1 = +
∫
∫
Ldt W dt t t t t NC δ δ .Se não há forças não conservativas no sistema então a equação (2.38) simplifica-se para
(
)
0 2 1 = −∫
K U dt t t δ (2.39)que é conhecida como o princípio estendido de Hamilton, podendo ser escrito também como 0 2 1 =
∫
Ldt t t δ ou 0 2 1 =∫
Ldt t t δ .Exemplo 2: (Meirovitch, 1970) para o sistema dinâmico apresentado no Exemplo 1 encontre pelo princípio (estendido) de Hamilton a equação do movimento para a posição de equilíbrio.
Resposta:
A lagrangeana de tal sistema é dada por:
( )
= ( )
−(
−( )
)
+ − − = − = ) ( 2 cos 1 cos 2 1 , 2 1 . 2 1 2 2 2 2 2 θ θ θ θ θ θ sen l g m k ml L mgy kx y m U K L & & &Usando o princípio estendido de Hamilton com o conceito elementar de diferencial total,
( )
∫
( )
( )
∫
∂ ∂ + ∂ ∂ = 2 1 2 1 , , , t t t t dt L L dt L δθ θ θ θ δθ θ θ θ θ θ δ & & & & & Chega-se à equação:( )
(
1 cos( )
)
( ) cos( )
cos( )
0 cos ) ( 2 1 2 2 2 = − + − − −∫
dt l g sen m k sen ml t t θ δ θ θ δθ θ θ θ θ θθ& & &
( )
(
1 cos( )
)
( ) cos( )
cos( )
0 cos ) ( 2 1 2 1 2 2 − = + − −∫
t t t t dt l g sen m k senθ θ θ θ θ δθ θ θ δθ θ& &Como δθ(t1)=δθ(t2)=0 (Figura 2.2), teremos:
( )
(
1 cos( )
)
( ) cos( )
0 cos ) ( 2 1 2 = + − −∫
dt l g sen m k sen t t δθ θ θ θ θ θ θ&29
( )
(
1 cos( )
)
( ) cos( )
0 cos ) ( 2 θ θ + − θ θ − θ = θ l g sen m k sen &Para o sistema numa posição de equilíbrio θ&&=θ&=0:
( )
(
1−cosθ)
(θ)− cos( )
θ =0 l g sen m k(
)
kl mg = −cos( ).tan( ) 1 θ θExemplo 3: (Junkins, 1993) Encontrar a equação do movimento para uma viga engastada-livre sujeita a um carregamento transversal p(x,t).
Dados estruturais (constantes) da viga:
Módulo de Young (módulo de elasticidade): E Momento de inércia da seção transversal da viga: I Densidade de massa: ρ Comprimento: l Resposta: Condições de contorno, p(x,t) l y x
30 l x x y l x x y l t x x t y t y = = ∂ ∂ = = ∂ ∂ = = = ∂ ∂ = ∂ ∂ = em 0 em 0 x e 0 x em 0 0 ) , 0 ( ; 0 ) , 0 ( 2 2 3 3
Energia cinética e energia potencial:
∫
∫
∂ ∂ = ∂ ∂ = l l dx x t x y I E U dx t t x y K 0 2 2 2 0 2 ) , ( . . . 2 1 ) , ( . . 2 1 ρOnde E.I é a “elasticidade” da viga. Vou convencionar chamar a elasticidade da viga por EI, simplesmente.
O trabalho virtual devido à força externa não conservativa p é:
[
][
]
dx t x y t x p W dx W l l NC NC .) , ( ). , ( . al transvers virtual to deslocamen . va conservati não externa força 0 0∫
∫
= = δ δ δPelo princípio generalizado de Hamilton,
(
)
0 2 1 2 1 = + −∫
∫
K U dt W dt t t t t NC δ δ 0 .) , ( ). , ( ) , ( . . 2 1 ) , ( . . 2 1 2 1 2 1 0 0 2 2 2 0 2 = + ∂ ∂ − ∂ ∂∫ ∫
∫
∫
∫
dx dt p x t y x t dx dt x t x y EI dx t t x y t t l t t l l δ ρ δ 0 .) , ( ). , ( ) , ( . 2 ) , ( . 2 2 1 0 0 2 2 2 0 2 = + ∂ ∂ − ∂ ∂∫
∫
∫
dx∫
p x t y x t dx dt x t x y EI dx t t x y t t l l l δ δ δ ρ 0 .) , ( ). , ( . . 2 . . 2 2 1 0 0 2 2 2 2 0 = + ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂∫
∫
∫
dx∫
p x t y x t dx dt x y x y EI dx t y t y t t l l l δ δ δ ρ (Eq.i) Da equação i temos,31 a)
( )
( )
( )
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ l l l l l l dx x y t x t y dx t y t x x y dx t y t y dx t y t y dx t y t y t y t y dx t y t y 0 0 0 0 0 0 . . . . . . . . . . . . . 2 . . 2 δ ρ δ ρ δ ρ δ ρ δ δ ρ δ ρFazendo uma integração por partes onde,
dx t y du t y dx du t y t t y x x t t y t dx du t y x t x t y t x x t x t y x dx du t x t y u . 0 . . 2 2 1 2 2 1 1 1 1 ∂ ∂ = ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = → ∂ ∂ ∂ ∂ =
( )
( )
( )
y v y d v y d dx y x dv δ δ δ δ = = = ∂ ∂ =∫
1 1 1 . Daí, dx t y y dx t y y t x t y y du v u v l l l l l∫
∫
∫
∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ − 0 2 2 0 2 2 0 0 1 1 0 1 1 . . . . δ δ δ Finalmente, dx y t y dx t y t y l l∫
∫
=− ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 0 2 2 0 . . 2 δ ρ δ ρ (Eq.ii) b)32
( )
∫
∫
∫
∫
∂ ∂ ∂ ∂ − = ∂ ∂ ∂ ∂ − = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ − = ∂ ∂ ∂ ∂ − l l l l dx x y x y EI dx x y x y EI dx x y x y x y x y EI dx x y x y EI 0 2 2 2 2 0 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 . . . 2 . . 2 δ δ δ δ δ( )
( )
y x v dx y x dv dx x y du x y dx du x y u δ δ ∂ ∂ = → ∂ ∂ = ∂ ∂ = → ∂ ∂ = → ∂ ∂ = 2 2 2 2 3 3 2 3 3 2 2 2 2( )
( )
( )
( )
( )
∫
( )
∫
∫
∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ − l l l l l l y d x y x y y x dx y x x y x y y x dx x y y x x y y x 0 3 3 0 2 2 0 3 3 0 2 2 0 3 3 0 2 2 δ δ δ δ δ δResolvendo (apenas) a integral,
( )
∫
∂∂ − ∂ ∂ = → = ∂ ∂ = → ∂ ∂ = l l ydx x y x y y y v y d dv dx x y du x y u 0 4 4 0 4 4 2 2 4 4 2 3 3 3 . δ δ δ δLogo, juntando as soluções teremos:
( )
l l l l x y y x EI x y y EI ydx x y EI dx x y x y EI 0 2 2 0 4 4 0 4 4 0 2 2 2 2 . . . . 2 ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ ∂ ∂ −∫
δ∫
δ δ δ (Eq.iii)Substituindo as equações ii e iii na equação i teremos:
( )
( )
0 . . ) , ( 0 . . ). , ( 0 2 2 0 4 4 0 4 4 2 2 0 2 2 0 4 4 0 0 4 4 0 2 2 2 1 2 1 = ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ + + ∂ ∂ − ∂ ∂ − = ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ + + ∂ ∂ − − ∂ ∂ −∫ ∫
∫
∫
∫
∫
l l t t l l l t t l l l x y y x EI x y y EI dt ydx t x p x y EI t y x y y x EI x y y EI dt ydx t x p ydx x y EI dx y t y δ δ δ ρ δ δ δ δ δ ρ33
( )
l R t p t y x y EI t x p x y EI t y , 0 x e ; 0 ) , ( 2 2 4 4 4 4 2 2 ∈ ∈ ∀ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = + ∂ ∂ − ∂ ∂ − + ρ ρ35
CAPÍTULO 3
ABORDAGEM LAGRANGEANA DAS EQUAÇÕES DO MOVIMENTO
Como vimos, podemos compactar o integrando da equação (2.39) inserindo a noção de lagrangeana do sistema tal como abordado por Meirovitch (1980 e 1970), Leite (1978) e Greenwood (1965):
U K
L= − (3.1)
Logo, a equação (2.39) fica da seguinte forma:
∫
= = 2 1 0 . t t dt L S δ δ (3.2)Onde o S da equação (3.2), conhecido como “ação”, é expresso por:
∫
= 2 1 . t t dt L S (3.3)O objetivo agora é encontrar o valor estacionário da “ação”. Para tanto, reescrevamos a equação (3.3) considerando a lagrangeana L como função do tempo t , da posição r e da velocidade r•: dt r r t L S t t . , , 2 1
∫
= • (3.4)A ação S da equação (3.4) é um “funcional” dado que representa um mapeamento (ou função) de um espaço linear vetorial (onde estão os vetores r e r•) num campo numérico (um tipo especial de campo) que no caso é o conjunto dos números reais (Oden, 1979). Se inserirmos uma perturbação na equação (3.4), i.e.,
) ( ) (t t r R= +εη (3.5)
que é o valor perturbado da posição r, estaremos descrevendo o funcional S como função de ε , onde η(t1) = η(t2) = 0 (Figura 3.1), logo,
36 dt R R t L R R t S t t . , , ) , , , ( 2 1
∫
= • • ε (3.6) ε.η(t) t1 t2 qi(t, ε) qi(t)FIGURA 3.1- Trajetórias real e perturbada.
Podemos reescrever (3.6) com as chamadas “coordenadas generalizadas”:
∫
• • • • • = 2 1 ). ,..., ,..., , , ,..., ,..., , , ( ) , , ( 1 2 1 2 t t N i N i q q q q q dt q q q t L q q t S (3.7)Inserindo perturbações às coordenadas generalizadas teremos de uma forma geral:
) ( . t
q
qi = i +εη (3.8)
Onde qi é o valor perturbado da coordenada qi. Podemos trabalhar apenas com essas
coordenadas generalizadas perturbadas no prosseguimento dos cálculos, entretanto, para N coordenadas generalizadas devemos ter N soluções.
Derivando a equação (3.7) em relação à ε vem:
∫∑
∫
∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = = • • • 2 1 2 1 . . . . , , , t t N i i i i i t t dt q q L q q L dt d dL d q q t dS ε ε ε ε ε (3.9) Mas como,(
q (t) . (t))
(t) q i i εη η ε ε ∂ + = ∂ = ∂ ∂ (3.10) e ) ( ) ( . ) (t t t q q i i • • • • = + ∂ ∂ = ∂ ∂ η η ε ε ε (3.11)37 Daí, teremos
∫∑
∂ ∂ + ∂ ∂ = 2 • • 1 . ) ( . ) ( . t t N i i i dt t q L t q L d dS η η ε (3.12)∫∑
∫∑
• ∂ ∂ + ∂ ∂ = 2 1 2 1 ) ( . ). ( . t t N i i t t N i i t d q L dt t q L d dS η η ε (3.13)Integrando por partes a segunda parcela do segundo membro equação (3.13) vem que
∫∑
∑
∫∑
∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ = • 2 • 1 2 1 . ). ( ) ( . ). ( . 1 2 t t N i i N i i t t N i i dt q L dt d t t t t q L dt t q L d dS η η η ε (3.14)∫∑
∂ ∂ − ∂ ∂ = 2 • 1 ). ( . t t N i i i dt t q L dt d q L d dS η ε (3.15)Quando fizermos ε = 0, teremos dSdε =0;
i q qi = e i q qi • • = , e daí: 0 ). ( . 2 1 0 = ∂ ∂ − ∂ ∂ =
∫∑
• = t t N i i i dt t q L dt d q L d dS η ε ε (3.16)No intervalo
(
t1, t2)
o η(t) não é nulo o que permite concluir que a solução é dada por:0 = ∂ ∂ − ∂ ∂ • i i q L dt d q L (3.17) 0 = ∂ ∂ − ∂ ∂ • i i q L q L dt d (3.18)
que é a equação diferencial de Euler-Lagrange calculada para cada q e i q•i. Segundo Junkins (1993), D’azzo (1981) e Meirovitch (1970), a Equação (3.18) pode ser escrita na forma mais geral tal como segue:
38 NC i i i i i Q Q q q L q L dt d = + ∂ ∂ℑ + ∂ ∂ − ∂ ∂ • • (3.19) onde =
∑
m k i k k i aQ λ . , representa as forças generalizadas oriundas de vínculos (podendo ser forças translacionais ou torques), λi são multiplicadores de Lagrange, aki são coeficientes de vínculo, Qi NC representa as forças não conservativas associadas aos qk (as forças conservativas já estão embutidas na lagrangeana L) e ℑ é a função de dissipação de Rayleigh (representando,por exemplo, forças de amortecimento viscoso):
∑∑
= = • • = ℑ n i n j j i ij q q c 1 1 . . . 2 1 (3.20) sendo os coeficientes cij simétricos em i e j. A equação (3.20) pode ser encontrada emJunkins (1993).
Exemplo 3: Deduza a equação do movimento para o sistema do exemplo 1 usando a equação de Euler-Lagrange. Resposta: U -K L , 2 1 U , . 2 1 2 = 2 − = = my kx mgy K &
( )
= ( )
−(
−( )
)
+ − − = − = ) ( 2 cos 1 cos 2 1 , : em ou , 2 1 . 2 1 ) , , , ( 2 2 2 2 2 θ θ θ θ θ θ θ sen l g m k ml L mgy kx y m U K y x y x L & & & & &Existem duas equações de vínculos:
( )
(
)
( )
0 . 0 cos 1 . 2 1 = − = = − − = θ θ sen l y g l x gTais vínculos são holônomos (integráveis) e, além disso, ainda são exclerônomos porque não contém o tempo mostrado explicitamente (caso tivessem seriam vínculos reônomos).
39
( )
( )
θ θ θ θ θ θ cos . ; 1 ; 0 . ; 0 ; 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 l g a y g a x g a sen l g a y g a x g a Y x Y x − = ∂ ∂ = = ∂ ∂ = = ∂ ∂ = − = ∂ ∂ = = ∂ ∂ = = ∂ ∂ =O sistema é conservativo (Qi NC= 0) e não possui forças dissipativas (ℑ= 0), assim teremos:
i i i i a a q L q L dt d , 2 2 , 1 1. λ . λ + = ∂ ∂ − ∂ ∂ •
Teremos três variáveis generalizadas q1= x, q2 = y, q3 = θ, e como temos dois vínculos, isso resulta em que o sistema será descrito em 3-2=1 grau de liberdade (variável θ). Assim, resolvendo as três equações de Euler-Lagrange:
x x a a x L x L dt d , 2 2 , 1 1. λ . λ + = ∂ ∂ − ∂ ∂ • x k x k . 0 . 1 . . 1 2 1 = + = λ λ λ y y a a y L y L dt d , 2 2 , 1 1. λ . λ + = ∂ ∂ − ∂ ∂ •
( )
mg y m mg y m dt d − = + = − && & 2 2 1.0 .1 λ λ λ θ θ λ λ θ θ 1.a1, 2.a2, L L dt d + = ∂ ∂ − ∂ ∂ •( )
[
θ θ]
θ.2.cos( ) ( )
θ θ 2(
1 cos( )
θ) ( )
θ 2 cos( )
θ λ.( )
θ λ . cos( )
θ2 1 cos 2 1 2 1 2 2 2 lsen l l g sen m k sen ml ml && − − & − − + =− −
Substituindo os valores para os λi como funções de θ (λ1 = lk..
(
1−cos(θ))
e(
)
(
)
mg sen l m mg dt l d m − = − + − = θ θ θ θ θλ . .cos( ) . ( ).&2 cos( ). &&
2 2
1 ) e considerando o resultado
para a situação de equilíbrio θ&&=θ&=0, finalmente chegamos à expressão:
(
)
kl mg = −cos( ).tan( ) 1 θ θ41
CAPÍTULO 4
VIGAS DE EULER-BERNOULI E TIMOSHENKO
Nesta seção serão abordados dois tipos de modelos de vigas (Junkins, 1993; e Craig, 1981). Na viga de Euler-Bernouli a elasticidade EI e a área transversal A dependem somente da posição x (Figura 4.1).
A
M S
x y
FIGURA 4.1- Viga de Euler-Bernouli.
O momento fletor está relacionado com a curvatura da viga da seguinte forma: )
.(curvatura
EI
M = (4.1)
Para uma viga de Euler-Bernoulli temos para o momento fletor:
µ
1 .
EI
M = (4.2)
e a tensão cisalhante é dada por:
x M S ∂ ∂ = (4.3)
Em muitos casos em que a flexão da viga é pequena, o momento fletor da viga pode ser aproximado por:
42 2 2 . ~ x y EI M ∂ ∂ (4.4) onde y(x,t) representa o movimento transversal de um ponto sobre a linha-neutra da viga
(região a qual não sofre deformações quando a viga é sujeita a deformações). O cálculo da tensão de cisalhamento é dado por substituição de (4.4) em (4.3):
3 3 . x y EI S ∂ ∂ = (4.5)
As energias cinética e potencial são dadas a seguir, respectivamente, pelas equações:
∫
∂ ∂ = L dx t y K 0 2 . . . 2 1 ρ (4.6)∫
∂∂ = L dx x y EI V 0 2 2 2 . . . 2 1 (4.7) onde ρ é a densidade de massa da viga e L é o comprimento da viga.Na viga de Timoshenko EI e A dependem das rotações da estrutura provocadas por forças de cisalhamento (Figura 4.2).
α
A
Fig. 1
FIGURA 4.2 - Viga de Timoshenko. Aqui α é a rotação da seção transversal dada por:
x y ∂ ∂ + =β α (4.8)
onde β é o chamado ângulo de cisalhamento.
43 x EI M ∂ ∂ = . α (4.9) e a tensão de cisalhamento: x EI S 2 2 . ∂ ∂ = α (4.10)
e as energias cinética e potencial:
∫
∫
• + • = 2 0 2 2 0 2. . ( ) . ) ( . . 2 1 dx I dx y A K ρ ρ α (4.11) dx x EI V L . . . 2 1 2 0∫
∂ ∂ = α (4.12)45
CAPÍTULO 5
O PROBLEMA DIFERENCIAL DO AUTOVALOR
Considere a equação diferencial linear do movimento transversal de uma viga engastada-livre de Euler-Bernouli quando não há termos forçantes (Junkins, 1993):
0 . . 2 2 4 4 = ∂ ∂ + ∂ ∂ t y x y EI ρ (5.1)
Empregando o método de separação de variáveis: ) ( ). ( ) , (x t Y x F t y = (5.2) e aplicando (5.2) em (5.1):
(
)
(
)
0 ) ( ). ( . ) ( ). ( . 2 2 4 4 = ∂ ∂ + ∂ ∂ t t F x Y x t F x Y EI ρ (5.3) 0 ) ( . ) ( 1 ) ( . ) ( . 2 2 4 4 = ∂ ∂ + ∂ ∂ t t F t F x x Y x Y EI ρ (5.4)O fato mostrado na Equação (5.4) de que os termos dependentes de x cancelam-se com os termos dependentes de t implica que são iguais a um termo constante e possuem sinais opostos: λ ρ ∂ = ∂ = ∂ ∂ 2 2 4 4 ( ) . ) ( 1 ) ( . ) ( . t t F t F x x Y x Y EI (5.5) Notemos que λ pode ser um valor estritamente positivo ou negativo. Para o caso estritamente
negativo assuma que λ = - ω2 onde ω é uma constante qualquer não nula. Analisemos o que
ocorre partindo de (5.5): λ ρ ∂ = ∂ 4 4 ( ) . ) ( . x x Y x Y EI (5.6) λ = ∂ ∂ 2 2 ( ) . ) ( 1 - t t F t F (5.7)
46 2 2 2 ( ) . ) ( 1 - =−ω ∂ ∂ t t F t F (5.8) 0 ) ( . ) ( 2 2 2 = − ∂ ∂ t F t t F ω (5.9) cuja solução é: t t C e e C t F . 2 . 1. . ) ( = −ω + +ω (5.10)
que é claramente divergente, não possuindo interesse físico prático. Por este motivo λ tem que ser estritamente positivo.
Assim sendo, façamos λ = + ω2 para ter a partir de (5.7):
2 2 2 ( ) . ) ( 1 - =ω ∂ ∂ t t F t F (5.11)
teremos a seguinte solução:
t j t j C e e C t F( )= 1. − .ω. + 2. + .ω. (5.12)
(
ω −φ)
=C t t F( ) .cos . (5.13)Podemos agora utilizar λ = + ω2 para obter uma solução para a equação (5.6):
2 4 4 ( ) . ) ( . ω ρ ∂ = ∂ x x Y x Y EI (5.14) 0 ) ( . . ) ( 2 4 4 = − ∂ ∂ x Y EI x x Y ω ρ (5.15) fazendo EI ρ ω β4 = 2. , vem: 0 ) ( . ) ( 4 4 4 = − ∂ ∂ x Y x x Y β (5.16) A equação (5.16) possui as seguintes raízes: β, -β, j.β, -j.β. Portanto, Y(x) será da forma:
x j x j x x k e k e k e e k x Y( )= 1. −β. + 2. β. + 3. − .β. + 4. .β. (5.17)
47
Para obter uma forma trigonométrica da Equação (5.17) temos que proceder da seguinte forma: x j x j x x x x x x k e k e k e k e k e k e k e e k x Y . . 4 . . 3 . 2 . 1 . 2 . 1 . 2 . 1. . . . ) ( = −β + β − β + −β + β − −β + − β + β (5.18)
[
] [
.]
. . .cos( . ) . ( . ) . ) (x k1 e . e . k2 e . e . k1e . k2e . C2 x C1sin x Y = −βx− βx + βx+ −βx + βx− −βx+ β + β (5.19) onde C1 = j.(
−k3+k4)
e C2 =k3 +k4. Continuando o desenvolvimento a partir da Equação (5.19) fazendo 3'2 1 C k =− e 4 2 2 C k = : ) . ( . ) . cos( . . . 2 . 2 '. ) ( . 2 1 1 . 2 . . 4 . . 3 k e k e C x C sin x e e C e e C x Y βx βx βx βx − βx+ βx+ β + β + + − − = − − − (5.20) − − + + − − + = − x x − x x e− x e x k k k e e C e e C x C x sin C x Y . . 1 2 1 . . 4 . . 3 2 1 . 2 . 2 '. ) . cos( . ) . ( . ) ( β β β β β β β β (5.21)Da Equação (5.21) obtém-se facilmente a seguinte equação:
) . cosh( . ) . ( . ) . cos( . ) . ( . ) (x C1sin x C2 x C3 sinh x C4 x Y = β + β + β + β (5.22) onde C3 =−C3 '−k.
Das condições geométricas de contorno temos:
0 0 ) 0 ( = ⇒ C2 +C4 = Y (5.23) 0 . . 0 ) 0 ( 3 1+ = ⇒ = C C dx dY β β (5.24) 0 . .L) cosh( . . .L) ( . .L). .cos( .L). .sin( 0 ) ( 4 2 3 2 2 2 1 2 2 2 = + + − ⇒ = C C sinh C C dx L Y d β β β β β β β β (5.25) 0 . .L) cosh( . . .L) ( . .L). .cos( .L). .sin( 0 ) ( 4 3 3 3 2 3 1 3 3 3 = + + − ⇒ = C C sinh C C dx L Y d β β β β β β β β (5.26) Colocando as Equações (5.23) a (5.26) na forma matricial vem:
= − − 0 0 0 0 . .L) ( . .L) cosh( . .L) .sin( .L) .cos( -.L) cosh( . .L) ( . .L) .cos( .L) .sin( -0 0 1 0 1 0 4 3 2 1 3 3 3 3 2 2 2 2 C C C C sinh sinh β β β β β β β β β β β β β β β β β β (5.27)
48
Para a Equação (5.27) fornecer uma solução não-trivial para C1, C2, C3, C4 é preciso que o determinante da matriz de coeficientes de C1, C2, C3, C4 seja igual à zero:
0 .L) ( . .L) cosh( . .L) .sin( .L) .cos( -.L) cosh( . .L) ( . .L) .cos( .L) .sin( -0 0 1 0 1 0 det 3 3 3 3 2 2 2 2 = − − β β β β β β β β β β β β β β β β β β sinh sinh (5.28)
Da Equação (5.28) teremos, finalmente: 1 ) . cosh( ). . cos(β L β L =− (5.29)
que é conhecida como a equação característica, e inclui uma função transcendental. Recorrendo à métodos numéricos obtemos infinitas raízes “βi⋅L” como soluções da Equação (5.29). Algumas dessas soluções estão apresentadas em Junkins (1993). Outros exemplos de arranjos de uma viga podem ser encontrados em Inman (1996) tal como mostrado na Figura 5.1.
As freqüências de vibração da estrutura, ou modos de vibração, podem ser dadas pela seguinte expressão (em Hertz):
(
)
,... 3 , 2 , 1 , . . 2 . 4 2 = = i L EI L fi i ρ π β (5.30) onde “βi.L” são as soluções de (5.29). A freqüência dos modos de vibração vai aumentandoà medida que o índice i aumenta. Não foi considerado nesses cálculos, mas se considerássemos o amortecimento estrutural ζ, perceberíamos que ele aumentaria à medida que a freqüência aumenta, conforme verificado experimentalmente em outros trabalhos. De acordo com Bryson (1994) não há uma teoria quantitativa satisfatória para predizer o amortecimento estrutural.
49
FIGURA 5. 1 – Diversos tipos de arranjos com uma viga, as equações transcendentais e modos de vibração correspondentes.
51
CAPÍTULO 6
MÉTODO DOS MODOS ASSUMIDOS
Uma aplicação bastante conhecida das equações de Euler-Lagrange para modelos contínuos é o chamado método dos modos assumidos (Craig, 1981). Para gerar um modelo de uma planta flexível que tenha equação diferencial de aproximadamente N graus de liberdade (D.O.F. – “Degrees Of Freedom”), o deslocamento elástico transversal pode ser expandido como uma combinação linear entre N funções de forma (“mode-shapes” ou autofunções)
) (x
i
φ que são construídas de forma a satisfazer as condições de contorno do problema em questão. Portanto a “deformação” (transversal ou longitudinal) υ
( )
x,t de uma viga pode ser descrita como uma combinação linear dessas funções de forma:∑
= = N i i i x q t t x 1 ) ( ). ( ) , ( φ υ (6.1)Os )φi(x são as funções de forma (“mode-shapes”) assumidas, qi(t) são as coordenadas
generalizadas e N denota o número de termos retidos na aproximação (caso de um modelo de N graus de liberdade ou N-DOF (“degrees of freedom”).
O método dos modos assumidos consiste em substituir (6.1) nas expressões correspondentes à energia cinética K, energia potencial U e do trabalho virtual δW e então aplicar a Equação de Euler-Lagrange para encontrar as equações do movimento.
Para υ
( )
x,t sendo considerado como uma deslocamento longitudinal (ou axial) de um elemento de massa numa viga de Euler-Bernoulli, a energia potencial elástica da viga pode ser dada por (Craig, 1981):∫
∂ ∂ = l dx x A E t U 0 2 . . . 2 1 ) ( υ (6.2)Onde E é o módulo de Young (módulo de elasticidade) e A é a área da seção transversal da viga. Assim, substituindo a equação (6.1) na (6.2) teremos,
∑∑
= = = N i N j j i ij q q t U 1 1 . . . 2 1 ) ( κ (6.3) onde,52
∫
∂∂ ∂∂ = l i j ij dx x x A E 0 . . φ φ κ (6.4)sendo cada κij um elemento da matriz elasticidade.
Em outras palavras, a energia potencial elástica U é uma função quadrática das coordenadas generalizadas como mostrado abaixo:
q q U . Tκ 2 1 = (6.5) onde,
[ ]
= = = N NN N N N N ij q q q q ... e ... ... ... ... ... ... ... 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11 κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ (6.6)Onde cada κij é dado pela equação (6.4).
A energia cinética da viga devido ao deslocamento longitudinal υ é:
( )
∫
∫
= ∂ ∂ = l dx l dx t K 0 2 0 2 . . 2 1 . . 2 1 ρ υ ρ υ & (6.7) Substituindo (6.1) na (6.7) teremos:∑∑
= = = N i N j j i ij q q m K 1 1 . . . 2 1 & & (6.8) onde,∫
= l i j ij dx m 0 .φφ ρ (6.9)Reescrevendo (6.8) numa forma quadrática:
q M q K T & & . 2 1 = (6.10) onde,
[ ]
= = = N NN N N N N ij q q q q m m m m m m m m m m M ... e ... ... ... ... ... ... ... 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11 (6.11)53
Quando a viga está sujeita a forças externas as forças generalizadas podem ser calculadas aplicando os conhecimentos de trabalho virtual. Assim, se p(x,t) for uma força externa longitudinalmente aplicada na viga e υ
( )
x,t o deslocamento correspondente,( ) ( )
∑
( ) ( )
∫
= = = N i i i l t x t x p dx t x t x p W 1 0 , . , , . , δυ δυ δ (6.12)Empregando a expressão (6.1) para υ
( )
x,t em (6.12) teremos,( )
∫
∑
= = l N i i i x q t dx t x p W 0 1 ) ( ). ( . , δ φ δ (6.13)( )
∫
∑
= = l N i i i x q t dx t x p W 0 1 ) ( ). ( . , φ δ δ (6.14)( )
∑∫
= = N i l i i x q t dx t x p W 1 0 ) ( ). ( . , φ δ δ (6.15)∑
= = N i i i q t Q W 1 ) ( .δ δ (6.16)onde as forças generalizadas são dadas por
( )
∫
= l i i p x t x dx Q 0 ) ( . , φ (6.17)Fazendo-se uso da equação de Euler-Lagrange pode-se chegar à equação do movimento:
i i i Q q L q L dt d = ∂ ∂ − ∂ ∂ • ou Q q L q L dt d = ∂ ∂ − ∂ ∂ &
(
)
(
)
Q q U K q U K dt d = ∂ − ∂ − ∂ − ∂ & Q q q q q M q q q q q M q dt d T T T T = ∂ − ∂ − ∂ − ∂ κ . κ 2 1 . 2 1 . 2 1 . 2 1 & & & & &54 Q q q q q q M q dt d T T = ∂ − ∂ − ∂ ∂ . κ 2 1 . 2 1 & & &
( )
Mq( )
q Q dt d + = .2κ 2 1 2 . 2 1 & Q q q M.&&+ .κ = (6.18)que é a equação do movimento (desconsiderando-se efeitos dissipativos na estrutura), onde Q é o vetor das forças generalizadas (forças ou torques).
Para υ
( )
x,t sendo considerado como uma deslocamento transversal de um elemento de massa numa viga de Euler-Bernoulli, a energia potencial elástica da viga pode ser dada por:∫
∂ ∂ = l dx x I E t U 0 2 2 2 . . . 2 1 ) ( υ (6.19)Onde I é o momento de inércia da viga e E é o módulo de Young. A energia cinética é dada por uma expressão idêntica a (6.7):
( )
∫
= l A dx K 0 2 . . . 2 1 ρ υ & (6.20)Sendo υ
( )
x,t de acordo com (6.1) temos que,∫
∂∂ ∂∂ = l i j ij dx x x I E 0 2 2 2 2 . . φ φ κ (6.21)∫
= l i j ij A dx m 0 . . φφ ρ (6.22)( )
∫
= l i i p x t x dx Q 0 ) ( . , φ (6.23)A partir daí o procedimento para chegar à equação do movimento (6.18) é similar ao mostrado anteriormente.
O método dos modos assumidos segue o seguinte roteiro resumido (Craig, 1981): 1. Selecione o número de funções de forma φi(x)e construa tais funções; 2. Calcule os coeficientes κij da matriz elasticidade;
55
4. Calcule as forças generalizadas Qi =
∫
l p x t i x dx 0 ) ( ) , ( φ onde p(x,t) é um carregamento transversal sobre uma viga de comprimento l.5. Formar as equações do movimento usando a equação (6.18), caso não hajam forças dissipativas.
Observação: se o φi(x) for uma “função de comparação”, isto é, uma função que satisfaz condições de contorno físicas e geométricas de uma viga de Euler-Bernoulli engastada-livre de comprimento l, ela pode ser expressa por:
(
)
(
)
2 1. . . ) 1 .( 2 1 . . cos 1 ) ( − − + − − = − + l r x i l r x i r x i i π π φ (6.24)satisfazendo as seguintes condições de contorno: 0 3 3 2 2 = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = + = + = = = l r x i l r x i r x i r x i x x x φ φ φ
φ , onde normalmente considera-se o coeficiente r = 0, por razões de simplicidade. A equação (2.125) foi sugerida em (Junkins, 1993).
Exemplo 4: (Craig, 1981)
Use o método dos modos assumidos para obter o modelo de 2-DOF de uma viga engastada-livre que sofre deslocamento elástico υ
( )
x,t sujeito a ação de força externa P(t) longitudinalmente.Resposta:
1) Selecionando as funções de forma φi(x).
l y x
( )
x,t υ u(x t) x P56 A única condição de contorno é: υ
( )
0,t =0Assim, as funções de forma φi(x) deverão satisfazer às seguintes condições de contorno:
0 ) 0 ( ) 0 ( 2 1 =φ = φ ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) , ( 2 1 1 2 2 1 t q x t q x t q x t x i i i φ φ φ υ =
∑
= + =Os )φi(x sugeridos (assumidos) visando satisfazer às condições de contorno foram:
2 1 1 ) ( ) ( = = l x x l x x φ φ
2)Cálculo dos elementos da matriz de elasticidade:
= ∂ ∂ = ∂ ∂ l x l x l x 2 1 2 1 φ φ
∫
∂∂ ∂∂ =L i j ij dx x x A E 0 . . φ φ κ57 = = = = = ∂ ∂ =
∫
l EA l EA l EA l EA Assim l EA l EA l EA dx x A E l 3 4 , 3 4 . . 22 21 12 0 2 1 11 κ κ κ κ φ κ3) Agora para a montagem da matriz M,
∫
= l i j ij dx m 0 .φφ ρ = = = = = ∂ ∂ =∫
5 4 4 3 , 5 4 3 . 22 21 12 0 2 1 11 Al Al Al Al M Assim Al m Al m m Al dx x m l ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ φ ρ 4) Forças generalizadas:p(x,t)=P somente existe em x=l, logo,
( )
( )
) ( . ) ( . , ) ( . , 0 L P Q L t L p dx x t x p Q i i i l i i φ φ φ = ⇒ =∫
P L P Q P L P Q = = = = ) ( . ) ( . 2 2 1 1 φ φ58 = + = + = + P P q l EA q Al P P q l EA l EA l EA l EA q Al Al Al Al Q q q M . 3 4 1 1 1 . 5 1 4 1 4 1 3 1 . 3 4 . 5 4 4 3 . . && && && ρ ρ ρ ρ ρ κ
59
CAPÍTULO 7
CONCEITO DE MODELAGEM PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS O Método dos Elementos Finitos (“Finite Elements Method” – FEM) foi criado para resolver dois principais problemas encontrados no Método dos Modos Assumidos (Craig, 1981):
• No método dos modos assumidos é extremamente difícil escolher um conjunto de funções de forma φi(x) para uma estrutura que tenha uma geometria complexa;
• As equações resultantes do método dos modos assumidos são em geral altamente acopladas o que exige mais tempo de processamento numérico e mais espaço na memória do computador;
• Para cada nova geometria devemos elaborar quase sempre um novo conjunto de funções de forma φi(x).
O Método dos Elementos Finitos (FEM) pode ser considerado uma aplicação do método dos modos assumidos onde φi(x)representam formas de deflexão sobre uma porção da estrutura (elemento finito) com os elementos sendo montados para formar o sistema estrutural com sua geometria complexa.
Vamos ver aqui os casos de movimento longitudinal, transversal, torsional para o movimento em duas dimensões e combinações entre estes para o caso em três dimensões.
7.1 MOVIMENTO AXIAL
Seja uma barra de comprimento uniforme l, densidade de massa ρ, módulo de Young E e área da seção transversal A (Figura 7.1).
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FIGURA 7.1 – Um elemento uniforme sujeito à deformação longitudinal. FONTE: Craig (1981, p. 383).
A aproximação mais simples que se pode ter para o deslocamento nas duas extremidades,
) ( ). ( ) ( ). ( ) , (x t φ1 x q1 t φ2 x q2 t υ = + (7.1)
FIGURA 7.2 – Funções de forma para o elemento longitudinal.
Tendo em vista que υ(0,t)=q1(t) e υ(l,t)=q2(t) as condições de contorno das funções de forma que devem ser satisfeitas são;
1 ) ( 0 ) 0 ( 0 ) ( 1 ) 0 ( 2 2 1 1 = = = = l l φ φ φ φ (7.2)
Da equação diferencial que rege a dinâmica da deformação longitudinal de uma viga (Craig, 1981, cap.9) encontramos a expressão para a deformação υ (onde a densidade de massa ρ é
1 1 l x − = 1 1 φ 1 1 l x − = 1 1 φ x/l x/l
