III SEMINARIO POLÍTICAS SOCIAIS E CIDADANIA AUTOR DO TEXTO: Thaine Souza Santana
Modelagem Matemática na sala de aula: diálogos com a Educação Matemática Crítica
RESUMO: Este artigo visa promover uma discussão acerca da Modelagem Matemática em sala de aula, por meio de uma Educação Matemática Crítica. Proponho assim, a Modelagem numa perspectiva sócio-crítica, a fim de promover a formação crítica do aluno, tornando-o preparado para intervir em debates políticos, sociais e econômicos.
Palavras-chave: Modelagem Matemática; Educação Matemática Crítica; Alunos Introdução
A Matemática tem estado presente em diversas situações do cotidiano, entre elas, em atividades do campo econômico, político e social. Em contrapartida, no contexto educacional pouco se tem explorado acerca da importância do uso da matemática aprendida nas escolas em situações do dia-a-dia (SKOVSMOSE, 2007). Como conseqüência, os alunos têm dificuldade em explorar o papel dos modelos matemáticos na descrição e previsão acerca de fenômenos econômicos, políticos e sociais, criando-se assim uma barreira na formação crítica do aluno.
Visando propor uma formação crítica do aluno em aulas de matemática, muitos pesquisadores (BARBOSA, 2007; FERREIRA e WODEWOTZKI, 2007; JACOBINI, 2004) têm proposto o desenvolvimento de atividades de Modelagem Matemática1 de forma crítica, a fim de que os alunos reflitam sobre os modelos matemáticos que são impostos na sociedade.
O debate acerca das práticas dos alunos em atividades de Modelagem tem crescido entre os pesquisadores da área (ALMEIDA; BRITO 2005; BARBOSA, 2006; BORBA, MENEGUETTI, HERMINI, 1999). Apesar dos diferentes entendimentos na comunidade de educadores matemáticos sobre Modelagem, assumo-a aqui como um ambiente de aprendizagem no qual os alunos são convidados a indagarem ou investigarem por meio da matemática, situações com referência na realidade (BARBOSA, 2006).
Durante os momentos de interação (alunos-professor e aluno-aluno) para o desenvolvimento da atividade de Modelagem, os alunos passam a produzir significados de diversas maneiras, dentre elas através dos discursos. Para tentar explicar a dinâmica destas discussões produzidas pelos alunos num ambiente de Modelagem, Barbosa (2007a) propõe a noção de rotas de Modelagem compostas pelas discussões matemáticas, técnicas e reflexivas2. Creio que estas discussões podem ser influenciadas por situações com referência na realidade, que são características em uma atividade de modelagem, e dar novo rumo ás ações dos alunos e na reformulação de seus discursos. O presente trabalho tem como objetivo trazer uma discussão acerca da importância na Modelagem Matemática na sala de aula, numa perspectiva sócio-crítica, para a formação do aluno em vista de uma educação crítica.
1 Esta expressão será melhor discutida a seguir.
Porque inserir Modelagem Matemática na sala de aula
A discussão sobre a inserção da prática da Modelagem na sala de aula tem crescido nos debates entre pesquisadores da área de Educação Matemática (BARBOSA, 2001a, 2003b, 2004; CALDEIRA, 2005, 2007; ALMEIDA, 2003).
Cinco argumentos para a inserção da Modelagem no currículo são apresentados (BLUM apud BARBOSA, 2003b): Motivação, no sentido dos alunos se sentirem mais estimulados ao estudo da matemática; Facilitação da aprendizagem, já que é possível conectar as idéias matemáticas a outros assuntos; Preparação para utilizar a matemática em diferentes áreas; Desenvolvimento de habilidades gerais de exploração; Compreensão do papel sócio-cultural da matemática, ou seja, os alunos analisam como a matemática pode ser utilizada nas práticas sociais.
Caldeira (2005) discutiu as relações entre a Modelagem e o currículo oficial, destacando que a Modelagem não deve ser analisada apenas como uma metodologia, no sentido de oferecer auxílio para a manutenção do currículo oficial, mas como uma concepção de Educação Matemática na qual podemos mostrar como fazer para que o currículo que está posto ganhe significado social, político e principalmente, econômico. O autor também argumenta que a Modelagem é um forte instrumento para que os estudantes tenham clareza sobre a importância da Matemática no cotidiano das pessoas.
Uma reflexão sobre o uso da Modelagem como uma alternativa pedagógica é discutida em Almeida (2003). Neste trabalho, a autora enfatiza que é bastante aceito pelos educadores a idéia de que a aprendizagem matemática baseada no paradigma do exercício (SKOVSMOSE, 2000), que privilegia cálculos e memorizações, além de não responder ás exigências do ensino do mundo atual, não traz contribuições para uma melhor compreensão da matemática. A autora traz a Modelagem numa perspectiva que vai além da possibilidade de interação entre a matemática e a realidade. Além disso, observa também alguns aspectos que estão relacionados com o que a literatura chama de Educação Matemática Crítica, principalmente com relação ao desenvolvimento da competência crítica e do conhecimento reflexivo dos alunos.
Acredito que as discussões levantadas acima vêm dar ênfase à importância de inserir a prática da Modelagem em sala de aula. Esta tendência não deve ser vista apenas como um método, no qual a maior preocupação é o ensino e a aprendizagem de conteúdos matemáticos, mas sim como uma oportunidade de explorar as discussões em sala de aula deixando claro o papel da matemática na sociedade, criando a possibilidade de que os alunos venham a analisar criticamente as situações com que se depara em seus cotidianos. Modelagem Matemática e a perspectiva sócio-crítica
No cenário de pesquisas em Modelagem, no âmbito da Educação Matemática, muitos entendimentos sobre esta tendência vêm sendo apresentados por pesquisadores da área (BARBOSA, 2006; BASSANEZZI, 2004; BORBA; MENEGUETTI; HERMINI, 1999). Alguns enfatizam a construção de modelos matemáticos3, outros dão prioridade á escolha pelos alunos do tema a ser investigado na atividade. Barbosa (2003b) destaca sua preocupação com relação ao envolvimento dos alunos em situações-problema com referência na realidade.
Em termos gerais, a Modelagem Matemática pode ser compreendida como uma abordagem, por meio da matemática, de uma situação não-matemática da realidade. Segundo Araújo (2003), essa perspectiva geral não dá conta de revelar a multiplicidade de perspectivas de Modelagem que se concretizam em diversos ambientes de aprendizagem, pelo fato de se localizarem em contextos diferentes, o que traz mudanças significativas, tanto na perspectiva quanto nos objetivos da Modelagem.
Alguns estudos têm discutido sobre as diversas perspectivas de Modelagem (ARAÚJO, 2007; BARBOSA, 2003b; KAISER, SRIRAMAN, 2006). Em Barbosa (2003b), o autor retrata a necessidade de teorizarmos Modelagem, assim como qualquer outro ambiente de aprendizagem, para criarmos a possibilidade de informarmos e potencializarmos esta prática. Neste trabalho, o autor tem como objetivo discutir duas perspectivas de Modelagem no cenário internacional a partir do texto de Kaiser-Messmer (1991): a pragmática, no sentido de utilizar a matemática para estimular habilidades de resoluções de problemas reais; e a científica-humanista, que para a autora tem como principal meta aprender matemática e seguir os tópicos previstos no programa.
Segundo Barbosa (2003b), a primeira perspectiva apresentada está relacionada ao conhecimento técnico, designado por Skovsmose (1990) como aquele que envolve a capacidade de resolver problemas. Já a outra perspectiva enfatiza o conhecimento matemático, não que estes conhecimentos estejam separados, mas a depender da perspectiva terão encaminhamentos diferentes. Segundo o autor, podemos observar um grande número de trabalhos que não têm se preocupado em convidar os alunos a analisar o papel da matemática nas práticas sociais, isso inclui o que Skovsmose (1990) chama de conhecimento reflexivo. Neste trabalho, Barbosa (2003b) propõe revisar a classificação oferecida por Kaiser-Messmer (1991), tornando legítima uma terceira perspectiva, a sócio-crítica. Esta perspectiva prioriza as discussões sobre as implicações dos resultados matemáticos, decorrentes da resolução de uma situação-problema, na sociedade.
Em estudos mais recentes Kaiser e Sriraman (2006) fazem uma revisão do trabalho apresentado por Kaiser (1991), e apresenta cinco perspectivas de Modelagem: a realística ou pragmática; a contextual; a educacional; a epistemológica ou teórica; e a perspectiva sócio-crítica, proposta por Barbosa.
Dentre as perspectivas apresentadas4, assumo neste estudo a sócio-crítica (ALMEIDA, 2003; ALMEIDA, FIDELIS, 2004; BARBOSA, 2001a, 2006a, 2003a; JACOBINI, 2005, 2007; BISOGNIN, SANTOS, 2007), como base de sustentação de uma atividade de Modelagem. Diversas atividades de Modelagem na perspectiva sócio-crítica são apresentadas na literatura (BARBOSA, 2007c; SANTOS, 2007; FERREIRA, WODEWOTZKI, 2007; JACOBINI, 2004).
Em estudos recentes, Barbosa (2007c) apresenta uma atividade de Modelagem com o tema: “O aumento da tarifa de ônibus”. O contexto da pesquisa foi uma turma do 2º semestre de Licenciatura em Matemática. Os alunos foram convidados a investigar e analisar o aumento na tarifa do ônibus coletivo da cidade de Feira de Santana, que na época havia aumentado de R$1,40 para R$1,50, mudança esta que criou descontentamento na população. Os alunos foram organizados em duplas para investigar o problema proposto. Mais adiante, durante a socialização dos resultados, os alunos observados notaram que as outras duplas chegaram a resultados diferentes, o que fez com que os mesmos analisassem como seus resultados estavam atrelados às hipóteses que eles assumiram para a questão em estudo. Sendo assim, podemos notar que os alunos refletiram sobre a influência dos
critérios utilizados na produção do modelo matemático nos resultados, o que é característica de uma atividade de Modelagem inserida na perspectiva sócio-crítica.
Ferreira e Wodewotzki (2007) expõem um trabalho no Ensino Fundamental envolvendo atividades relacionadas á questões ambientais. Uma das atividades desenvolvidas envolveu o tema Lixo. Para a construção do modelo, os alunos utilizaram a planilha do Excel como auxílio para obter as soluções. O grupo responsável pelo tema Lixo verificou as informações dadas pelo engenheiro da Prefeitura de Rio Claro, São Paulo, de que o novo aterro sanitário, a ser ativado em agosto de 2001, seria suficiente até o ano de 2017. Para verificar tal afirmação, os alunos coletaram dados e utilizaram alguns conteúdos matemáticos. Neste trabalho, as autoras descrevem dois modelos: O crescimento da população e a produção do volume de lixo.
Esta atividade possibilitou aos alunos conhecerem um pouco sobre a produção de lixo, além de permitir o contato com a planilha do Excel e com determinados conteúdos matemáticos. Os estudantes puderam perceber a necessidade de serem feitas simplificações para chegar a uma solução e também refletir sobre os resultados, verificando a ocorrência de equívocos e enganos. A temática ambiental surgiu não apenas como uma oportunidade para a aprendizagem da Matemática, mas também para a formação crítica, como cidadão participativo e consciente em uma sociedade na qual a Matemática tem lugar de destaque nos cenários sociais, políticos e econômicos.
Jacobini (2004) em sua tese analisa três cenários investigativos envolvendo os temas: “Eleições Presidenciais”, “Estresse e Democracia”, “Matemática e Cidadania”. Ao desenvolverem as atividades que abrangem estes temas, os alunos ficaram satisfeitos de trabalharem como pesquisadores, além de oportunizar a aprendizagem de conceitos matemáticos e permitir as discussões com os entrevistados acerca de suas opiniões em relação à política e ao social. Segundo o autor, inicialmente os alunos pareciam estar inseguros e não tinham idéia do alcance do trabalho. A partir do envolvimento com os temas, os alunos passaram a desenvolver questões como a proporcionalidade democrática nas diversas instâncias políticas e a questão da participação e envolvimento da população na ação de governabilidade.
Atividades como estas apresentadas, além de permitirem aos estudantes desenvolverem competências na construção de modelos e de aplicação matemática, possibilitam a preparação para a reflexão sobre suas descobertas e a sua relação com a sociedade, fazendo com que os alunos percebessem a Matemática como um meio de analisarem aspectos críticos de importância para a sociedade e poderem exercer uma cidadania crítica.
Sendo assim, tais atividades estão inseridas na perspectiva sócio-crítica, já que se baseiam no reconhecimento dos modelos matemáticos que são utilizados na sociedade como instrumento de poder (BORBA, SKOVSMOSE, 1997), o que torna esta perspectiva a mais adequada à minha compreensão do papel de uma atividade de Modelagem, pois acredito que os alunos têm a necessidade de compreender os modelos matemáticos de maneira crítica, analisando resultados e observando os critérios utilizados para a sua construção, e como eles são utilizados
Uma interpretação para a prática de Modelagem em sala de aula
Na atividade de Modelagem os alunos são convidados a investigarem determinada situação com referência na realidade. Neste convite a uma investigação por meio da Matemática, professores e alunos, se encontram em diferentes momentos do processo
escolar para discutirem a atividade. A estes momentos, Barbosa (2007b) denomina de
espaços de interação. O termo “convite” se remete à idéia de chamar/estimular alguém a
desenvolver determinadas tarefas, no caso uma atividade de Modelagem (SKOVSMOSE, 2000).
No ambiente onde os alunos desenvolvem a atividade de Modelagem, muitas ações podem ser desenvolvidas, como a realização de operações matemáticas, desenhos, esboços de gráficos e, principalmente a produção de discursos, já que ao realizarem estas atividades os estudantes são convidados a trabalharem em grupos, o que é uma característica prioritária deste ambiente de aprendizagem (ANTONIUS apud BARBOSA, 2007c) e que permite um contato maior entre os alunos para discutirem uma determinada situação.
Para a realização de uma ação específica é necessário um meio de mediação, que pode ser uma calculadora, um lápis ou a linguagem (WERTSCH apud BARBOSA, 2007c). Os discursos produzidos nos espaços de interação entre alunos ou entre estes e o professor são de importância significativa para a compreensão da prática de Modelagem dos alunos, já que podem mostrar o propósito de uma atividade de Modelagem.
A noção de rotas de Modelagem e a prática dos alunos
Borromeu Ferri (2006) apresenta diferenças teóricas e empíricas nas etapas do processo de Modelagem. A autora dividiu em grupos os estudos de diversos autores de acordo às suas organizações com relação aos momentos da atividade. A partir de seus estudos, ela identificou dificuldades de organizar as ações dos alunos durante as atividades de Modelagem em fases pré-definidas, propondo assim a noção de rotas de Modelagem aos processos internos e externos próprios que eles empreendem neste ambiente.
Já Barbosa (2007c) em seus estudos toma a noção de rotas de Modelagem para focar nos discursos produzidos no ambiente social. Ele entende o discurso como uma forma de ação, e o toma como o objeto de investigação. Neste mesmo trabalho, o autor destaca que,
Como toda ação mediada, a conceituação de rotas de Modelagem como progressão de discursos que conduz a um modelo matemático nos leva a analisá-las em termos do como as ações, no caso, as práticas discursivas, são desenvolvidas, tendo em vista os meios de mediação disponíveis. E o que os alunos dizem quando envolvidos com Modelagem? E por que dizem o que dizem? (BARBOSA, 2007c, p.164).
Com o intuito de afunilar estas questões, Barbosa (2007c) associa a idéia de rotas de Modelagem às noções de discussões matemáticas, técnicas e reflexivas. Estas noções de discussões têm aparecido em alguns de seus trabalhos (BARBOSA, 2006a, 2006b, 2007c), inspiradas nos conhecimentos matemáticos, técnicos e reflexivos propostos por Skovsmose (1990).
Skovsmose (2001) destaca que devemos ter que lidar com três tipos diferentes de conhecimento relacionados a um processo de Modelagem Matemática: o próprio conhecimento matemático; o conhecimento tecnológico, que trata do conhecimento para construir e utilizar o modelo matemático; e o conhecimento reflexivo, que permiti discutir a natureza dos modelos e o critério utilizado para sua construção, aplicação e análise.
Em suas análises, Barbosa (2006a) faz uma relação entre os conhecimentos propostos por Skovsmose (2001) e as discussões matemáticas, técnicas e reflexivas.
Segundo Barbosa (2007b) as discussões matemáticas estão relacionadas aos conceitos/idéias matemáticas, enquanto que as discussões técnicas têm o propósito de desenvolver habilidades de resolução de problemas matemáticos aplicados. As discussões reflexivas analisam os resultados que estão atrelados às hipóteses assumidas na situação estudada.
Estas discussões são produzidas a partir da multiplicidade de vozes no ambiente de Modelagem, sendo que para Barbosa (2007b) algumas são mais privilegiadas. Esta privilegiação pode ser decorrente dos objetivos didáticos ou dos diferentes propósitos da Modelagem decididos pelo professor. Barbosa e Santos (2007) enfatizam que esta privilegiação não implica na eliminação das outras discussões, mas que o tipo de discussão enfatizada no contexto da sala de aula constitui perspectivas mais gerais sobre Modelagem.
Em Barbosa (2007a), ao analisar a prática dos alunos no ambiente de Modelagem, o autor percebeu que as discussões anteriormente apresentadas não davam conta de descrever os discursos produzidos naquele ambiente. Segundo o mesmo, tratava de discussões que não tinham clara relação com a produção do modelo matemático, e que ao serem retiradas não alterariam a compreensão das rotas de Modelagem. A estas discussões Barbosa (2007a) denominou de discussões paralelas.
Tomando a noção de rotas de Modelagem como os discursos que possuem um papel claro na abordagem da situação-problema, que Barbosa (2007c) faz o esboço de um
framework para esboçar seu conjunto de conceitos, oferecendo um modo de conceber a
prática dos alunos no ambiente de Modelagem, permitindo a teorização sobre as ações neste ambiente. A figura abaixo sintetiza os conceitos discutidos pelo autor, mostrando a que fenômenos se referem.
Figura 2. Esboço5 de um framework para a prática dos alunos no ambiente de
Modelagem Matemática proposto por Barbosa (2007c).
Na Figura 2, podemos observar que o autor elege como unidade de análise os espaços de interação. A figura sinaliza que os discursos podem ser classificados em discussões matemáticas, técnicas e reflexivas. O autor mostra também que os alunos podem
5 O autor utiliza o termo “esboço” para tornar claro que o framework está em processo de construção.
Prática de Modelagem
Espaços de Interações
Rotas de Modelagem
Discussões Paralelas
Discussões
matemáticas
Discussões
técnicas
Discussões
reflexivas
produzir discussões que não têm um papel claro na construção do modelo, e que, portanto não fazem parte das rotas de Modelagem, são as discussões paralelas.
É imprescindível explicitar que existem diversos estudos na literatura que buscam caracterizar a prática dos alunos em Modelagem Matemática (BASSANEZI, 2004; GALBRAITH, STILLMAN, 2006; KAIZER, 1995; MAAB, 2004), o que pode ser visto no trabalho de Borromeu Feri (2006), no qual a autora faz um estudo empírico e teórico sobre as etapas do processo de Modelagem segundo diversos autores. Porém, assumo aqui o esboço proposto por Barbosa (2007b) para a prática dos alunos no ambiente de Modelagem, sob o argumento de que estarei analisando as discussões matemáticas produzidas pelos alunos neste ambiente de aprendizagem, e que segundo o autor fazem parte das rotas de Modelagem, já que colaboram para a construção do modelo de uma determinada situação-problema.
Considerações Finais
Se estamos interessados em construir uma sociedade democrática, onde as pessoas possam participar de sua condução e, assim, exercer cidadania, entendida aqui genericamente como inclusão nas discussões públicas, devemos reconhecer a necessidade de as pessoas se sentirem capazes de intervir em debates baseados em matemática.
Essas questões trazem conseqüências para a educação matemática. Mais do que informar matematicamente, é preciso educar criticamente através da matemática. Esse tem sido um ponto importante assinalado pela perspectiva da educação matemática crítica (Skovsmose, 1994). Nela, inclui-se o interesse de que as atividades escolares preparem os alunos para a cidadania e reflitam sobre a natureza crítica da matemática. Uma das dimensões desse propósito inclui o envolvimento dos alunos com as aplicações da matemática.
O desenvolvimento da Modelagem na sala de aula dentro da perspectiva sócio crítica pode levar os alunos a refletirem criticamente acerca dos modelos matemáticos, desmistificando a idéia de que os modelos impostos à sociedade são prontos e acabados, e que desta forma, estão sujeitos a melhoras, adaptações ou até mudanças.
Referências
ALMEIDA, L. M. W.; BRITO, D. dos S. Atividades de Modelagem Matemática: que sentido os alunos podem lhe atribuir? Ciência & Educação, v. 11, n. 3, p. 483-497, 2005a.
ALMEIDA, L . M. W.; BRITO, D. dos S. O conceito de função em situações de Modelagem Matemática. Zetetiké, v.13, n.23, p. 63-85, 2005b.
ALMEIDA, L. M. W.; FIDELIS, R. Modelagem em sala de aula: um estudo. In: I Encontro Paranaense de Modelagem em Educação Matemática, 2004, Londrina. Anais.. Paraná, 2004.
1 CD-ROM.
ARAÚJO, J. L. Modelagem Matemática na sala de aula: imaginação ou realidade. In: SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISAS EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 2., 2003, Santos. Anais... São Paulo: SBEM, 2003. CD-ROM.
BARBOSA, J. C. Modelagem Matemática: concepções e experiências de futuros professores. 2001. 253 f. Tese (Doutorado em Educação Matemática) – Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2001a.
BARBOSA, J. C. Modelagem Matemática e a perspectiva sócio-crítica. In: SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISAS EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 2., 2003, Santos. Anais... São Paulo: SBEM, 2003a. CD-ROM.
BARBOSA, J. C. Modelagem Matemática na sala de aula. Perspectiva, Erechim, v. 27, n. 98, p. 65-74, 2003b.
BARBOSA, J. C. Modelagem Matemática em cursos para não-matemáticos. In: CURY, H. N. (Org.). Disciplinas matemáticas em cursos superiores: reflexões, relatos e propostas. Porto Alegre: EDIPUCRS, 2004. p. 63-83.
BARBOSA, J.C. Mathematical Modelling in classroom: a critical and discursive perspective.
ZDM. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, v. 38, n. 3, p. 293-301, 2006.
BARBOSA, J. C. Mathematical modelling and parallel discussions. In: CONGRESS OF THE EUROPEAN SOCIETY FOR RESEARCH IN MATHEMATICS EDUCATION, 5, Lamarca (Cyprus). Paper presented at WG13 (Applications and Modelling). 2007a. BASSANEZI, R. C.
Ensino-aprendizagem com modelagem matemática. 2. ed. São Paulo: Contexto, 2004.
BORBA, M. C.; MENGHETTI, R. C. G.; HERMINI, H. A.Estabelecendo critérios para avaliação do uso de modelagem em sala de aula: estudo de um caso em um curso de Ciências Biológicas In: BORBA, M. C. (Org.). Calculadoras gráficas e educação matemática. Rio de Janeiro: MEM/USU, Ed. Art. Bureau, 1999. p. 95-113.
CALDEIRA, A. D. Modelagem matemática e suas relações com o currículo. In: CONFERÊNCIA NACIONAL SOBRE MODELAGEM E EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 5,. Feira de Santana. Anais... Feira de Santana: UEFS, 2005. 1 CD-ROM.
BORROMEO FERRI, R. Theoretical and empirical differentiations of phases in the modelling process. ZDM. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, v. 38, n. 2, p. 86-95, 2006.
BLUM, W..; GALBRAITH, P. L.; HENN, H.; NISS, M. (Eds). Modelling and applications in
mathematics education: the 14th ICMI Study. New York: Springer, 2007.
BORBA, M. C.; MENGHETTI, R. C. G.; HERMINI, H. A.Estabelecendo critérios para avaliação do uso de modelagem em sala de aula: estudo de um caso em um curso de Ciências Biológicas In: BORBA, M. C. (Org.). Calculadoras gráficas e educação matemática. Rio de Janeiro: MEM/USU, Ed. Art. Bureau, 1999. p. 95-113.
CALDEIRA, A. D. Modelagem matemática e suas relações com o currículo. In: CONFERÊNCIA NACIONAL SOBRE MODELAGEM E EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 5,. Feira de Santana. Anais... Feira de Santana: UEFS, 2005. 1 CD-ROM.
COSTA, R. A S.; SANTOS, J. F.; FOSSA, J. A. A aplicação da matemática como instrumento de aprendizagem para a vida cooperativa. In: J. A. Fossa (org.). Presenças Matemáticas. Natal; RN: EDUFRN, 2004. p. 65-74.
FERREIRA, D. H. L; WODEWOTZKI, M. L. L. In: J. C. Barbosa, A. D. Caldeira, J. L. Araújo (org.). Modelagem Matemática na Educação Matemática Brasileira: pesquisas e práticas
educacionais. Recife; SBEM, 2007. p. 1115-132.
FIORENTINI, D; LORENZATO, S. Investigação em Educação Matemática: percurso teórico e metodológico. Campinas: Autores Associados, 2006. 226p.
GALBRAITH, P.; STILLMAN, G. A framework for identifying student blockages during transitions in the modeling process. ZDM. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, v. 38, n. 2, p. 143-162, 2006.
JACOBINI, O. R. A Modelagem Matemática como instrumento político na sala de aula 2004. 215f. Tese (Doutorado em Educação Matemática) – Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2004.
JACOBINI, O. R. A Modelagem matemática no contexto da Educação Matemática Crítica. In: CONFERÊNCIA NACIONAL SOBRE MODELAGEM E EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 5,. Feira de Santana. Anais... Feira de Santana: UEFS, 2005. 1 CD-ROM.
JACOBINI, O. R. Espaço para reflexões políticas e culturais nas aulas de matemática. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 9, Belo Horizonte. Anais... Recife: Sociedade Brasileira de Educação Matemática, 2007. 1 CD-ROM.
JACOBINI, O. R.; WODEWOTZKI, M. L. L. Mathematical modelling: a path to political reflection in the mathematics class. Teaching Mathematics and Its Applications, Oxford Journals, v. 35, p. 33-42, 2006.
KAISER-MESSMER, G. Aplication-orientated mathematics teaching: a survey of the theoretical debate. In: NISS, M.; BLUM, W.; HUNTLEY, I. Teaching of mathematical modeling and applications. Chichester: Horwood, 1991. p. 83-92.
KAIZER, G.; SRIRAMAN, B. A survey of international perspectives on modelling in mathematics education. ZDM. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, v. 38, n. 2, p. 302-310, 2006.
KAISER, G.; MAASS, K. Modeling in lower secondary mathematics classroom – problems and opportunities. In: BLUM, W..; GALBRAITH, P. L.; HENN, H.; NISS, M. (Eds). Modelling and
applications in mathematics education: the 14th ICMI Study. New York: Springer, 2007. p. 99-108.
MACHADO JÚNIOR, A. G.; ESPÍRITO SANTO, A. O..; SILVA, F. H. S. O ambiente de Modelagem Matemática e a aprendizagem dos alunos: relatos de experiência. In: SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 3., 2006, Águas de Lindóia. Anais... Curitiba: SBEM, 2006. 1 CD-ROM.
MAAß, K. Barriers and opportunities for the integration of modelling in mathematics classes: results of an empirical study. In: BLOMHOJ, M.; BRANDELL, G.; NISS, M.. (Eds). Teaching mathematics and applications : the 10th ICME. Conpenhagen, 2004. p. 61-74.
OLIVEIRA, M. L. C. de; BARBOSA, J. C. Modelagem Matemática: os alunos e a participação do professor nas suas estratégias. In: CONFERÊNCIA NACIONAL SOBRE MODELAGEM NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 5, Ouro Preto. Anais... Ouro Preto: UFOP/UFMG, 2007a. 1 CD-ROM.
SKOVSMOSE, O. Cenários de investigação. Bolema – Boletim de Educação Matemática, Rio Claro, n. 14, p. 66-91, 2000.
SKOVSMOSE, O. Educação Matemática crítica: a questão da democracia. Campinas: Papirus, Campinas, 2001.
SKOVSMOSE, O. Educação crítica: incerteza, matemática, responsabilidade. Tradução de Maria Aparecida Viggiani Bicudo. São Paulo: Cortez, 2007. 304p.
TATSCH, K. J. S.; BISOGNIN, V. Modelagem matemática no ensino médio: uma alternativa para a melhoria do processo de ensino e aprendizagem. In: SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 3., 2006, Águas de Lindóia. Anais... Curitiba: SBEM, 2006. 1 CD-ROM.
